BINTIKC4TU Liek Wilardjo
::,.
.· :~;J BINTIK CATlJ
- . . ,:<;...
~~~~>
'rt~
··'
.···~·.,;::~~) ..
.· · '\ \.V'
$
Liek Wilardjo
Program Studi Teknik Elektro, Fakultas Teknik Elektronika dan Komputer- UKSW Jalan Diponegoro 52-60, Salatiga 50711
ABSTRACT One-dimensional square potential well is used as a model for quantum dots. Its Schroedinger's equations and their solutions -
both eigenstates and eigenenergies -
for he
lowest three levels are explained qualitatively and derived mathematically.
1. PENGANTAR University Physics susunan Young dan Freedman (2008) dinyatakan oleh penerbitnya sebagai buku teks laris nomor wahid. Pernyataan itu tidak berlebihan, sebab sebagai buku teks Fisika untuk mahasiswa S-1 bertahana "tama" (freshman) dan "muda" (sophomore), buku Y & F itu memang komprehensif, ringkas, bernas, dan jelas. Penjelasannya diberikan· baik secara kuantitatif-matematis, maupun secara kualitatif-konseptual. Contoh-contoh soalnya diselesaikan dengan lebih dulu menegaskan apa-apa yang diketahui dan menggariskan siasat yang hendak ditempuh. Tetapi karena terlalu tajam (succint)nya, ada bagian-bagian yang rincian penurunan matematis (dan/atau grafis)nya tidak diberikan, misalnya pada pokok bahasan potensial sumur persegi (square-well potential) dengan potensial yang anta (finite) [Y & F, p. 1382-3].
1
' \
' I
Techne Jurnal Ilmiah Elektroteknika Vol. 11 No. 1 April 2012 Hal 1 - 8
E
-
[~)
£3
(,' -------- - - - - - - - -
Artike1 ini mengisi bagian yang nunpang itu. Untuk r--
memudahkan
5.09
mencari
eigentenaganya
secara
matematis-grafis, kita mengikuti Eisberg ( 1961 ) £2
2.-n
£1
0.625 .... x ()
dengan
dengan menggeser sumbu ordinat (tenaga, dalam
Uo Er/), di Gb.l) ke tengah, sehingga dinding kiri
~
-a/2
Penyele
a/2
sedang
dan kanan sumur itu setangkup terhadap sumbu tersebut. Di sini Uo ialah tenaga potensial, sedang E
Gambar 1 : Uo = 6Eoo
ffln 2 /2ma 2
=
ialah tenaga dasar zarah di dalam
dan
kotak. Lebar sumur itu, yang dalam Y & F dinamai
L, di sini dinyatakan dengan a, sehingga dindingdinding kiri dan kanan sumur itu posisinya berturutturut di x = -
(:'J
dengan
a dan x = + L7 a, di sumbu absisa.
Indeks L, 1 Untuk Uo = 6 Er/), Y & F memberikan ketiga aras tenaga yang terendah, yaknidalam Eoo -£1 = 0,635,£2 = 2,43, dan £3 = 5,09 (Gambar 1).
dengan dit
Bahwa
memasukll
2. PERSAMAAN SCHROEDINGER DAN EIGENKEADAAN Kalau H ialah pengandar (operator) Hamilton, If/ ialah eigenfungsi atau
penyelesai
G = 0, seb
eigenkeadaan, danE ialah eigentenaga, persamaan Schroedinger kita tulis: Hlf/ = Elf/.
dan
Untuk soal ekamatra, H
2
= P 2/2m = ,11111
d , dan eigenfungsinya lf/(X). Maka di dx 2
-
Penye
kiri dan kanan sumur: ( 1)
2 d If/ - 2m (U - E) w = 0 . 2 2 dx ;,
°
,.
sedang di dalam sumur (2)
2
2 d 1f/ J dx-
+ 2mE w J
;,-
,.
=0
.
'
'
malar (co1
BINTIKCATU Liek Wilardjo
Penyelesaian persamaan (2) ialah fungsi sinusoida: secara
(3)
( 1961)
lf/.11 =A sin ktx + B cos ktx ;
dengan
dalam
(4) sedang penyelesaian persamaan ( 1) ialah fungsi eksponensoal :
sumbu (5)
sedang E
, k2x + (-,1 e -k2x , x::;- a 1
If' L = (_ e
dan (6)
dengan
lndeks L, M, dan R pada If' berturut-turut-turut menandai daerah kiri, tengah, dan kanan, dengan dinding-dinding di x =
+1a sebagai batasnya.
Bahwa (3 ), ( 5 ), dan (6) secara matematis benar, mudah diverifikasi dengan memasukkannya ke dalam persamaan diferensialnya masing-masing. Tetapi secara fisis penyelesaian-penyelesaian itu harus tetap anta bila x ~ ± oc, pun! Karena itu haruslah F
=
G = 0, sehingga
dan (6.a)
lf/R=De
-k2x
,
Penyelesaian-penyelesaian (3), (S.a), dan (6.a) dan turunan pertamanya juga harus
oa
malar (continuous) di batas-batas daerah. Tegasnya, If/ L
lf/'M
=If/ R
x=-la 2
x=-la 2
x=-1a
2
2
2
lf/M
x=-la
x=-la
x=-la
= lfl' M
If!' L
=If/ M
l x=--a
2
= lfl' R x=-la 2
3
Techne Jurnal Ilmiah Elekiroteknika Vol. 11 No. 1 April2012 Hal l- 8
sehingga bertumt-turut kita dapatkan persamaan-persamaan syarat batas, Jadi, pe
(8)
Ce-(k2al 2 ) =-Asin(kla12)+Bcos(klal2)
(9)
k 2 C e-(k2a/ 2 ) = ki{A cos(kta12)+B sin(k1al2)}
Kategori l :
(10)
A sin (ktai2)+B cos(k1a12) =De -(k2a/2)
sehingga
(11)
k1 {A cos (k1a I 2)- B sin(k1a I 2)}= -k2 D e -(k2a I 2 >
atau
yang dapat diselesaikan secara simultan.
kategori.
dan (3), (5.
Dari ( 10)- (8) kita peroleh (12)
(D-C) e-(k2a/ 2 ) = 2A sin(k1al2)
dan dari ( 10) + (8) : (13)
(D+C)e-(k2a/ 2 ) =2Bcos(k1al2),
sedang dari (9)- ( 11) kita dapatkan ( 14)
Kategori 2:
dan (3), (5
k 2 (D+C) e-(k2a/ 2 ) = 2k1B sin(ktal2) ,
dan dari (9) + ( 11) : (15)
-k2(D-C) e-(k2a/ 2 ) = 2k1 cos(ktal2).
Asalkan B =F 0 dan (D + C) =F 0 , ( 14) dapat dibagi dengan ( 13 ), dan hasilnya ialah (16)
k.2 =
kt tan(kta/2) .
AsalkanA :f= 0 dan (D-C) :f= 0, (15) dapat dibagi dengan (12). dan hasilnya ialah ( 17)
3c
-k2 = kt cot(kla/2).
Dengan reductio ad absurdum (yang juga disebut reductio ad impossibile), dapat
2-
dibuktikan bahwa ( 16) dan ( 17) tidak dapat dipenuhi kedua-keduanya secara bersama,
t~
sebab- seandainya bisa - maka ( 16) + ( 17) akan memberikan : 0 = ki{tan(k1a/2) + cot(kla/2)} Kalikanlah ini dengan tan(kta/2), maka hasilnya ialah : 0 = kt{tan 2 (kta/2) + 1} atau
Dari s tan\k1a/2) = -1
yang "absurd'' atau mustahil, sebab k1 dan a kedua-keduanya nyata. 4
3. EIGE
berturut-n
BINTIKC4TU Liek Wilardjo
Jadi, penyelesaian persamaan Schroedinger ( 1) dan (2) terpi1ah ke dalam dua kategori.
}
k1 tan(kla/2) = k2, A= 0, (D-C')= 0
Kategori 1 : (l 0)
sehingga /2)
menjadi
atau dan (3), (S.a) dan (6.a) menjadi:
Bcos (k1a/2) /k2a 12 l/k2x),
/ (18)
!JI (x)
= ~
Bcos(ktx), -a/2 :S x :S a/2 Bcos (k a/2) e
Kategori 2:
xs-a/2
x"C.a/2
k 1cot(ktal2) = -k2, B = 0, (D + C') = 0
dan (3), (S.a) dan (6.a) menjadi : -Asin(k1al2)e(k2al 2 )e(k2x),
/
xsa/2
!JI(x) = ~ A sin(k1x), -a/3 :S x :S a/2
(19)
Asin(k1a/2)e(k2a/ 2 )e-(k2x),
£3
3
x"C.a/2
Tampak dari (18) bahwa lf/u adalah fungsi genap (yakni kosinus), dan dari (19)
), dapat
2
£2
1
£1 X
- a/2
bahwa !JI.\I adalah fungsi gasal (yakni sinus). Gambar 2 memperlihatkan eigenfi.mgsieigenfungsi itu.
a/2
Gambar 2
3. EIGENTENAGA Dari syarat untuk Kategori 1, yakni persamaan (16) dengan memakai kt dan k2 berturut-turut dari (4) dan (7) kita peroleh:
5
Techne Jumal Ilmiah Elektroteknika Vol. 11 No. 1 April 2012 Hal I - 8
'VImU0 a 2 In 2
Kalau
= R,
atau
dan ruas kiri dan ruas kanan kita namakan (16.a) q(r;) =
~R 2 -~ 2
q(~),
maka:
=;tan;
Ruas kiri dan tengah dari (16. a) dapat ditulis sebagai ; dan 17 > 0 -
2
+
IT = R2 yang -
Ruasl karena ~ > 0
rad, dan o
grafik ( 17 versus ; )-nya berupa seperempat lingkaran di kuadran-1, dengan
secara asi1
pusat di titik asal 0 dan ruji (radius) R. Ruas kiri dan kanan dari ( 16.a) ialah fungsi '7 = ; tan; yang grafiknya nol di
~
=0
diberikan
dan di JT (=3, 14) rad, dan naik, mula- mula landai
bersanglaJ
tetapi lalu makin terjal, secara asimtoti menghampiri sumbu x
= Jd2 (= 1,5
rad) dan sumbu x = 3x/2 (= 4,71 rad Perpotongannya
seperempat lingkaran tadi memberika
;t
dan
4-
kurv
dengan
titik-titik dengan absisa
5-
;.1
yan
~-
2-
bersangkutan dengan eigentenaga 1 1-
dan £3. (Lihat Gambar.3 ). lt
1~24
2
. t 4 tr • ~.85
5
6
0'-----'-0
8
7
~As
Gamhar :i
Dari
;=~mE a 2 1211 2 ~ E = (211 2I ma 2 ) ~ 2 , atau
I , . , "I . , . , =(4I . ,
£=(4 JT-)(JT-17-
e.
= (4/;) (Uo/6) dan £3 = 0,848 Uo
2ma-)~}
. , yanguntuk(f.:,=6£et:>,membenkan . E
JT-)Ex;.~-
Gb.3 memberikan ~~ = 1,24 dan ;3
=
3,55, sehingga £1
Dari syarat untuk Kategori 2, yakni persamaan ( 17), diperoleh :
6
=
0,104 Uo
BINTIKC4TU Liek Wilan{jo
atau ( 17.a) Ruas kiri dan kanan persamaan ini ialah 17 =~cot~ yang grafiknya nol di ;r/2 (=1,57) rad, dan naik, mula-mula landai tetapi lalu terjal, menghampiri sumbu x = ;r (= 3,14) rad secara asimtotis. Perpotongannya dengan kurve seperempat lingkaran di kuadran 1 yang diberikan oleh ruas kiri dan tengah persamaan ( 17.a) ialah titik dengan absisa ~ 2 yang bersangkutan dengan eigentenaga £2 (lihat Gambar 4). secara asi X =
;r/2 (=
!]{~)
5-
3x/2 (= 4,71 Dari Gambar 4 diperoleh
dengan
~ 2 = 2,45,
sehingga eigentenaganya , £2 = ~~
dan
.;1
0,405 lf.). Dalam Gambar3 dan
2-
Gambar4:
eigentenaga 1-
1
3
2 7r
:~
5
6
7
8
3.85
2
Gamhar 4
R
= ~mU0 a 2 I 2n 2 , yang untuk Uo = 6 E"" =
~m(6E00 )a 2 12n 2 =~6(ma 2 12n 2 )(;r 2 n 2 12nu.1 2 )
=
~6;r 2 I 4 = (;r 12)J6 .:::; 3,85.
7
Techne Jurnal Ilmiah Elektroteknika Vol. 11 No. 1 April2012 Hall- 8
£ 1, £ 2 dan £ 3 inilah, bersama dengan Eao, yang ditunjukkan dengan bagan aras tenaga (energy level diagram) di Gb.l, dengan tenaga E yang dinyatakan dalam Eao sebagai ordinat.
4. WASANAKATA Seperti disebutkan dalam Y & F {p.l384 ), salah satu terapan model potensial sumur persegi ini ialah bintik catu (quantum dots), yakni zarah-zarah berukuran nanometer dan bahan semipenghantar, seperti kadmium-selenida (CdSe). Bila bintik-bintik catu disinari dengan foton ultraungu, elektron-elektronnya menyerap tenaga foton itu dan terteral
Sistem ~
(excited) ke aras-aras tenaga yang tinggi, misalnya aras ketiga. Kemudian elektron itu
menjadi
kembali ke aras tenaga dasar secara beriam (cascading), ke aras ke dua dulu, lalu dari
Sistem i
sana ke aras pertama. Salah satu langkah itu dibarengi dengan dipancarkannya foton
Sehingg
cahaya kasatmata, yang disebut pendaran-fluor (fluorescence). Bintik-bintik catu dapat
penamb;
disuntikkan ke jaringan hidup dan pendaran-fluornya dipakai sebagai perunut (tracers)
penamb;
untuk penelitian biologi dan biomedis. Bintik catu dapat menjadi kunci perancangan laser dan komputer ultracepat generasi baru.
hubung~
.Kata k1
Pernah ada usulan untuk RUTI (Riset Unggulan Terpadu Internasional) untuk merancang dan memproduksi bintik-bintik catu guna memetakan agihan suhu di bagian-
1. GA1
bagian tubuh tertentu, dalam pendeteksian tumor di bidang Onkologi.
spesifila
diletakk
ACUAN
Spesifik
I. Eisberg, Robert M. : Fundamentals of Modern Physics, John Wiley & Sons, New York, 1961, p.239 -45 2. Young, Hugh D. & Roger A Freedman: Sears and Zemansky's University Physics {lih ed.) Addison-Wesley, San Francisco, 2008, p.1382- 4
paket d kapasita pengm11
cepat d peningk
8
