Mathematics. - Over de oplossingen van de vergelijking D,"u = 0, die aan zekere randvoorwaarden voldoen. 11. By O. - BOTTEMA and H. BREMEKAMP. (Communicated by Prof. W. VAN DER WOUDE.) (Communicated at the meeting of March 30. 1946.)
§ 4. Door de gevonden uitdrukkingen in de formule (1) te substi~ tueeren vindt men uitkomsten. die als analoga van de uit de potentiaal~ theorie bekende integraal van POISSON zijn te beschouwen. Wij zullen dit -uitvoeren voor de functie H 3 voor den cirkel. Om de functie voor te stellen. 0 en waarbij aan den cirkel die binnen den cirkel voldoet aan D, 3 u
=
u
=
oU 02U [(cp). On =g(cp). on 2
= h(cp). waarin [. g en h gegeven functies zijn
van den pool hoek cp. die de plaats op den cirkel bepaalt. zullen we op de formule (1) eerst nog een kleine transformatie toepassen. Wij hebben aan den cirkel .
_ 02 U 1 ou 1 02U _ 1 1 cP ( 6. u- or2 +7Ör + r2 Ocp2 -h (cp) + R g (q:»+ R2dcp2' De formule (1) gaat daardoor voor dit geval over in
+
~ h (cp) + ~ g (cp) + ~2 ~q 0~~3] dcp.
wat wij door partiëel integreeren van den term met
~:{ nog
herleiden tot
2,.
u=
~J'[h (cp) 06. H3 _g (cp) ~ 6.2 H 3 16;7l
Or
o
l
J.- 06. H3 ~ + R
Or
~
+ {( ) ~06.2H3 + J.- 0
2
([J?
Or
6. H3~l d
R2 Ocp2 Or ~
J
cp.
Door het invoeren der gevonden uitdrukking voor H 3 vindt men hieruit, na vrij omvangrijk rekenwerk. U
=
2:<
rL
2 (R2-a )3J h (cp) 16;7l RI
o
R2 _ ( ) (5R2+a 2-6Ra cos cp) R + 2 R2+a -2Racoscp g cp (R2+a 2-2RacosIPF
+ {( ) BR1-2Ra(9R2+a2 2)coscp+ 12 R 2a2cos2 cp] d cp (R2 + a -2 Ra cos cp)3 lP·
•
Eenvoudiger vindt men deze uitkomst langs den volgenden weg, waarbij wij echter omtrent de functies [, g en h verschillende onderstellingen in~ voeren, die blijkens het vorige voor de geldigheid der uitkomst niet noodig zijn. Wij zullen namelijk aannemen. dat deze functies een Fourierontwikke~ ling toelaten. waarbij de coëfficiënten bij toenemend rangnummer voldoende snel afnemen om de verschillende in het volgende toegepaste omzettingen te rechtvaardigen.
(20)
437 Wij stellen
u=ri U2 +r2ul + uo=aori+bor2 R2+CoRi+
+ bn.
Cl)
+ :E (an. I ri I
I ,2
R2
+ Cn.
I
Ri) rn cos n {}
+
De voorwaarden aan den cirkel geven dan
{({}) = (ao +
bo + co) Ri
+ 2-' (an.1 + 0:;
I
b n. I + cn. I) Rn+1 cos n {} + QO
+ .J:(an.2 I Cl)
g({})=(iao + 2bo)R3 +:E I(n + i)an.1 I
+ bn. 2 + Cn.2) RnH sin n {}.
+(n + 2) bn. 1+
n Cn.l! Rn+3cos n {}+
+ ~l(n +4)an.2 +(n+ 2)b n.2+ nCn.21 Rn+3 sin n {}. Cl)
•
I
+ +(n + 2)(n + l)b n. 1+ n (n-l)cn.l! Rn+2cosn{) + + :El(n +4)(n +3)an.2+(n + 2)(n + 1) bn. 2+ n(n-l)cn.2! Rn+2sin n{}. QO
2
h ({})=(12ao+2 bo)R + .J:l(n + 4)(n + 3)a n .1 I
Cl)
I
Hieruit volgt vooreerst
2n
2n
= 21;reJ {(tp) dtp. (4ao + 2bo) R3 =
(ao+ bo + Co) Ri
21;reJ g (tp) dtp,
o
0
waaruit
2n ao=
16~
2,..
Ri}R 2h(tp)-Rg(tp)!dtp. bo=
16~ R 1 ji- 2R 2h (tp)+6Rg(tp)ldtp.
o
0
2n
J'
Co= 16;re1 Ri
IR 2h(tp)-SRg(tp)+8{(tp)ldtp.
o
Verder
2n
a n. I
+ bn.
I
+ Cn. I
J'
= ;re RnH 1
{(tp) cos n cp dtp.
o
2n
1 (n + 4) an. I + (n + 2) bn.1 + n Cn.1 = ;re RnH.
j' g (tp) cos n tp dtp.
o
438
(n + 4) (n +3) an,l +(n +2)(n + l)b n,l +n (n-l)Cn,l
=
J2"
1 = n Rn+2
h (97) cos n 97 d97.
o
waaruit 2"
an,l
= 8n~nHJI n (n + 2) {(97)-(2n+ I) Rg(97) + R2 h(97)1 cosn97d97. o 2"
bn,l
= 8n~nHJI-2n (n + 4){(97)+ 2(2n+3)Rg(97)-2R2 h (97)1 cosn 97 d 97. 2",
Cn,l
= 8n ~nHJ l(n+2)(n +4) {(97)-(2n + 5) Rg (97) +
R 2h (97)1 cosn97d97.
o Wij vinden een dergelijk stel formules voor a n, 2. bn,2. Cn,2 door cos n 97 te vervangen door sin n 97. Substitutie van de gevonden waarden der coëffi~ ciënten in de reeks voor u geeft, na omzetting van sommatie en integratie 2"
1 u= 8nJOt(R2 h-Rg)
;i +t(-2R2
h +6Rg) ~2 + t(R 2h-5Rg+8{)1 +
o
+
f
00
[
IR 2h-(2n + I) Rg
+ n (n +
nH r 2) fI RnH +
rn+2 + 1(- 2 R2 h + 2 (2n + 3) Rg-2n (n + 4) fI Rn+2
rnJ
+ 1R 2h-(2n + 5) Rg + (n + 2) (n + 4) fI Rn cos n (97-~)) d97
439
Voor de herleiding van deze uitdrukking maken we gebruik van de formules
l-ecosa 1+e2-2e cosa'
t
1
2 (1
+ e - 2 e cos a ) 2
2 -e - (l-e ) (e-cos a) ~ -e 1 +e2-2ecosa (1 e2-2e cos a)2 ~ .
2: n ncos na 00
1 .
l-e 2
00
+ 1: en cos n a =
e
+
_ -2e 2 +e(1 +( 2)cos a (1 + e2-2e cos a)2 ~,
,.;.1 n
2
n
e
_
cos n a -
e
( cos a ++e(I- +2 e3cos ),a-
~ -4 e
(1
2
)
2
+
+(
2) cos a I ~ 4 (e-cos a) 1-2e2 e (1 (1 +e2-2ecosa)3 ~ -ie 2 (l-e 2) Voor den eersten term vinden we
voor den tweeden
=
+ e (I-ei) cos a + 2e 2(l-e 2) cos (I
+ e2-2 e cos a)3
2
a
HO voor den derden
+ 2 R d3 R2-r2) (R2-r 2) 1-2 R + (R2 + 1'2) cos (cp-1?) I + Ri I R2 + 1'2-2 R cos (cp-ij) F (R2-r 2)3 1-4 R + (R2 + 1'2) cos (cp-ij) + 2 R cos (cp-ij) IJ dcp = l'
l'
+R
l'
l'
l'
2
Ri ·1R + 1'2_2 R l' cos (cp-iJ)13 2
+R
l'
1-4 R l' + (R2 +r2) cos (cp-i?) + 2 R l' cos 2 (cp-ijl I ] d cp IR2 + 1'2-2 Rrcos (IP-iJ)13
=
en dus
j'[ 2,.
(R2-r 2)3 - 16:nRi • o
U _
R2 h (lP) _15W+r2-6Rrcos(
+ 18R 1-2R l' (9R 2 + 1'2) cos (lP-ij) + 12R 2r2cos 2 (lP-ij) I ((cp)] d IR2 1'2-2 Rrcos(lP-iJW lP.
+
een formule. die slechts door een geringe wijziging in de notatie van (20) verschilt. Het bewijs. dat de zoo bepaalde functie aan alle eischen voldoet. kan naar het vroeger voor de overeenkomstige uitdrukking voor het geval der vergelijking .6. 2 u 0 gegevene. worden nagemaakt.
=
§ 5. De in de § I. 2 en 3 gegeven beschouwingen kunnen zonder moeite worden uitgebreid tot de differentiaalvergelijking .6. Y IP = O. waarbij .6. de differentiaaloperator van LAPLACE is voor functies van konafhankelijke verander/ijken. Meetkundig geformuleerd komt het probleem dan neer op het bepalen van een functie van GREEN H7' k voor een puntenpaar P. Q in een ruimte van . k afmetingen. waarbij thans op een hyperspheer aan de randvoorwaarden voldaan moet zijn. Eenvoudigheidshalve beperken wij ons eerst tot het geval 'V = 2. Zooals in de inleiding is uiteengezet heeft de singulariteit der functie van GREEN dan alleen een logarithmisch karaktèr voor k = 2 en voor k 4. Het geval k 2 hebben wij reeds beha·ndeld. het geval k 4 sluiten wij vooreerst uit. De singulariteit der functie van GREEN is dan I bepaald door IP7 k4 en wij kunnen. lettend op hetgeen wij voor het
=
=
=
(}-
=
Hl
=
geval k 3 deden, trachten de gezochte functie van door ee·n uitdrukking van den vorm
1 Rk-4 I H 2,k = ek-4 - ak-4 e~-4
+a
GREEN
voor te stellen
Rk-4 (R2-a 2) (R2_r2) ak-2 e~-2 •
(21)
waarin R, a, r, e en el analoge beteekenis hebben als in het geval van den cirkel of van den bol. terwijl a een nog nader te bepalen constante voorstelt. Deze functie heeft immers de geëischte singulariteit, als P ~ Q, voldoet voor P '=1= Q aan ' /::,2H 0 en wordt nul, als P op de hyperspheer Smet straal R om den oorsprong komt.
=
.
oH
Voldaan moet nog worden aan de randvoorwaarde a,:-
= O.
Inderdaad
blijkt na differentiatie, dat deze voorwaarde voor de geheele hyperspheer vervuld kan worden; men vindt a
=-
k 2 4. Ons resultaat is dus:
Voor k '=1= 2, k '=1= 4 wordt de functie van GREEN, behoorend bij de ver0, voor een hyperspheer in een ruimte van kafmetingen, gelijking /::,2cp voorgesteld door
=
1 R~-4 1 k-4 Rk-4 (R2-a 2) (R2-r 2) H 2k - - - - -k----, - e k- 4 a - 4 . e~-4 2 a k- 2 e~-2 .
(22)
De generalisatie van de formule (1) voor een ruimte van kafmetingen k '=1= 2, k '=1= 4 luidt voor 'V 2:
=
2 (k-2)(k-i) d k
J
u (u O~H -
~~ 6
(23)
H)dO'
s waarbij de integratie over de hypersphe~r S moet worden uitgestrekt. Daarbij is dk een zoodanige constante, dat de inhoud van de begrenzing van een spheer met straal R in een ruimte van k afmetingen door dkRk-1 wordt voorgesteld; gelijk bekend is
_ klrH-)Ik
(24)
r (k-+1 )'
dk -
2
Door substitutie van de uitkomst (22) in (23) verkrijgt men de functie u, die binnen S voldoet aan /::,2cp = 0 en waarvan op S de functiewaarde en de waarde van de normale afgeleide zijn voorgeschreven. Met behulp van de betrekking /::,
l ek - 2 =
0, vindt men de
uitkomsten
6 _1___ 2 (k-:4) 6 _1_ - - 2 (k-4) . ek-i -
e k- 2 '
e~-4
e~-2 ~
-
6 ~ = ~ -4 (k-2) (a r-R2 cos *) r e~-2
e~-2
.
a e~
142 waaruit volgt
en
Wij krijgen dus: De functie u, welke voldoet aan de vergelijking
spheer S
aa~
de randvoorwaarden u
!::::.2qJ
= 0 en op de hyper-
= [. ~u = g, waarbij [
en g gegeven vn . functies zijn, wordt voor k ~ 2 en k ~ 4 gegeven door 2 _ (R2-a 2V 2e - ka (a-R cos ~) _ d (28) u - 2dk RJ . ek+2 g. ek a.
J[f
RJ
S
Voor k = 3 komt deze formule overeen met een vroeger gevondene 4). Voor k 2 werd eveneens reeds eerder de oplossing afgeleid 5) . met als resultaat
=
terwijl op den cirkel
l:::.H=
2 (R2-a 2)2 R2 r/
ol:::. H _ 4 (R2_a 2)2 R-a cos ~ en
~
e4
R2
waaruit voor u een formule volgt. die ook verkregen wordt door in (28) k 2 te nemen. Er blijft nog slechts het geval k 4 ter behandeling over. Daarbij wordt de singulariteit bepaald door qJ2 = In e. en het ligt voor de hand de functie van GREEN uit te drukken als een vorm van de gedaante
=
=
a
H2.4=lne- 1n R €IJ
(R2-a 2 ) (R2-r 2 )
+a ..
a2e:
.
Deze functie vertoont de gevraagde singulariteit en is op de hyperspheer r R gelijk aan nul. Het blijkt na differentiatie. dat a inderdaad zoo be-
= 4.)
BREMEKAMP. J.c. formule (9).
5)
Idem: formule (4).
443
paald kan worden, dat
wij voor k
°o~ op
S identiek nul is; men vindt a
= t,
zoodat
= 4 als functie van GREEN vinden: a (R2-a 2) (R2-r 2) H2,i=lne-lnRel+ 2 22 a el
(29)
Wifbepalen nog de analoga van de uitkomsten (26) en (27). Men vindt
=
dat is dus het rechterlid van (25) voor k 4, nadat men dit rechterlid door k - 4 heeft gedeeld. In verband daarmee heeft men nu onmiddellijk op de hyperspheer S:
en
terwijl ten slotte, voor u gevonden wordt de formule, die men verkrijgt door in (28) voor k de waarde 4 te substitueeren. Voor de vergelijking 6 2 g; 0 is daarmee voor willekeurige waarde van , k het door ons gestelde randwaardeprobleem volledig en expliciet opgelost.
=
=
De functie van GREEN Hy,k voor de vergelijking 6 Y g; 0 en in de ruimte van k afmetingen zal in de eenvoudigste gevallen (k oneven of k even en grooter dan 2v) de gedaante hebben van de in (6) (voor k = 3 en willekeurige v) en in (21) (voor k willekeurig , ~ 2 en ~ 4 en v = 2) gegeven formule, nl.
§ 6.
= n 2v-
H Y,
k"
k _
2Y-k _a__
R2>-k
fl2>-k
"I
+
m=y-l
~
~
m=1
C
(R2 m,
-a
2)m (R2 2)m -r (a fl )2>-k-2m. R2>-k "I
De c.oëfficiënten Cm kunnen daarbij op de in § 2 aangegeven wijze worden bepaald; het resultaat is
=
Voor de overige gevallen (k 2, 4, . .. 2v) zullen in. H 7,k logarithmische singulariteiten optreden, zooals die in de voorbeelden k ~ 2, v willekeurig (15) en k 2, k 4, v 2 (29) zijn ontmoet. ,
=
=
=
