Veranderingsprocessen in de tijd (eerste orde) update april 2009 © copyright WISNET-NHL Lees eerst aandachtig de inleiding
0 Inleiding In deze les, die niet beslist van begin tot eind doorgewerkt hoeft te worden, vind je een aantal voorbeelden van veranderingsprocessen die plaats vinden in de tijd of veranderen als de afstand verandert. Aan het eind van dit document (paragraaf 7) is een woordenlijst opgenomen, zodat snel een begrip kan worden opgezocht. • Het differentiaalquotiënt om de verandering van een grootheid te beschrijven. • Functies, varabelen en parameters • De afgeleide functie • Standaardfuncties zoals de exponentiële functie en logaritmische functie, cosinus en sinus • Werken met eenheden • Omtrek van cirkel, oppervlakte van een cirkel, inhoud van een bol, inhoud van een cilinder e.d. • Hoeken in radialen en graden
1 Functies die aan verandering onderhevig zijn Het verwarmen van een voorwerp is een natuurkundig verschijnsel dat geformuleerd kan worden met de volgende zin. De snelheid waarmee een voorwerp opwarmt is evenredig met het temperatuurverschil T t KTo tussen voorwerp en omgeving. 1
Dit soort beschrijvingen van een natuurkundig verschijnsel (Koelwet van Newton) gaat over een functie, al zie je dat niet direct. Je kunt je een functie voorstellen die afhankelijk is van de tijd en waarvan het verloop ongeveer als volgt is:
Koelwet van Newton
temperatuur
100 80 60 40 20 0 0
10
20
30
40
50
tijd In de figuur is de grafiek van de functie van de temperatuur T t te zien, uitgezet tegen de tijd. Verder is aan de grafiek te zien dat het voorwerp op tijdstip t = 0 een temperatuur heeft van 0 °C en dan opwarmt tot 80 °C. Waarschijnlijk wordt het voorwerp neergelegd in een omgeving van 80 °C, aan de grafiek te zien. De temperatuur kan gemeten worden maar kan ook wiskundig berekend en dus voorspeld worden. Hoe het wiskundig verloop van dit soort functies is, zullen we in het volgende gaan bekijken. Wat je ook kunt doen is een experiment waarbij je de temperatuur meet van een voorwerp dat wordt neergelegd in een omgeving van 80 °C. Je moet dan op veel tijdstippen gaan meten en de meetwaarden in een grafiek weergeven. Bijvoorbeeld in Excel. Hoe dat moet, leer je in een les over Excel. Bij het opstellen van een differentiaalvergelijking is het belangrijk te beseffen naar welke functie we op zoek zijn en welke onafhankelijke variabele we daarbij gebruiken. De beschouwde functie zal aan verandering onderhevig zijn. In de volgende voorbeelden is steeds de tijd t de onafhankelijke variabele. We zoeken dan ook naar een functie van t waarvan we niet alleen het functievoorschrift willen kennen maar ook de grafiek van deze functie om het verloop ervan te bestuderen. Bij gebruik van een computeralgebrasysteem zal het belangrijk zijn te vermelden welke de onafhankelijke variabele is, dus waarvan de beschouwde functie afhankelijk is. • Bij het opstellen van een model in de vorm van een differentiaalvergelijking is het erg handig om te kijken naar de eenheden. Voor een les over eenheden, kijk in WISNET en zoek bij de trefwoorden naar "eenheden". • Ook de stationaire toestand (evenwichtssituatie), indien deze zich voor zal doen, kan 2
informatie verschaffen over het model waaraan de functie voldoet. Zonder nog de differentiaalvergelijking op te lossen, is vaak al veel te zeggen van de functie.
1.1 Koelwet van Newton Het koelen van een voorwerp is een natuurkundig verschijnsel dat geformuleerd kan worden met de volgende zin. De snelheid waarmee een voorwerp afkoelt is evenredig met het temperatuurverschil T t KTo tussen voorwerp en omgeving.
1.1.1 Vraag a Formuleer het model in de vorm van een differentiaalvergelijking.
1.1.1.1 antwoord a Formuleer het model in de vorm van een differentiaalvergelijking.
d T t = k T t KT o dt Een andere manier van opschrijven is:
d T t = k T t Kk To dt Hier staat dat de toename (of de afname) van de temperatuur T t per tijdseenheid (dt) van een voorwerp evenredig is met het temperatuursverschil met de omgeving. De evenredigheidsconstante is hier k genoemd. Deze evenredigheidsconstante (parameter of systeemconstante) hangt af van het systeem: bijvoorbeeld hoe groot is het voorwerp dat opgewarmd wordt of van welk materiaal het voorwerp is gemaakt. Deze waarde van k kan experimenteel vastgesteld worden.
1.1.2 Vraag b Ga ook na wat de eenheden zijn van de evenredigheidsconstante k (systeemconstante of parameter).
1.1.2.1 antwoord b Ga ook na wat de eenheden zijn van de evenredigheidsconstante k (systeemconstante of parameter).
d T t = k T t KT o dt Links van het isgelijkteken staat kelvin per seconde. Dus rechts moet ook kelvin per seconde komen te staan. Daaruit volgt dat de evenredigheidsconstante k de eenheid
1 s
heeft.
Immers het temperatuursverschil T t KT is ook in kelvin. o
(Het temperatuursverschil in kelvin is natuurlijk hetzelfde als het verschil in graden 3
celcius.)
1.1.3 Vraag c Is de beschrijving met de differentiaalvergelijking dezelfde voor afkoelen en opwarmen?
1.1.3.1 antwoord c Is de beschrijving met de differentiaalvergelijking dezelfde voor afkoelen en opwarmen?
d T t = k T t KT O dt d T t negatief en T t KT is positief, immers de O dt omgevingstemperatuur To is lager dan de temperatuur van het voorwerp. Dan moet de systeemconstante k negatief zijn. d Voor opwarmen is T t positief en T t KT is negatief, immers de O dt omgevingstemperatuur To is hoger dan de temperatuur van het voorwerp. Dan moet de systeemconstante k negatief zijn. • Beide keren gebruik je dus dezelfde differentiaalvergelijking. Voor afkoelen is
1.1.4 Vraag d Wat zal de eindtemperatuur zijn als het proces lang genoeg geduurd heeft?
1.1.4.1 antwoord d Wat zal de eindtemperatuur zijn als het proces lang genoeg geduurd heeft? Als de temperatuur T t niet meer verder toe of afneemt is
d T t gelijk aan 0 en dt
dat is als T t = To, ofwel de eindtemperatuur (stationaire toetstand) wordt op den duur gelijk aan de omgevingstemperatuur.
1.2 Inwonertal Formuleer de differentiaalvergelijking van het proces dat de snelheid waarmee het inwonertal P t van een land toeneemt weergeeft. De toename van inwonertal per jaar blijkt op elk moment evenredig met het aantal inwoners op dat moment te zijn. Ga ook na wat de eenheid is van de systeemconstante k.
1.2.1 antwoord Formuleer de differentiaalvergelijking van het proces dat de snelheid waarmee het inwonertal P t van een land toeneemt weergeeft. De toename van inwonertal per jaar blijkt op elk moment evenredig met het aantal inwoners op dat moment te zijn. Ga ook na wat de eenheid is van de systeemconstante k. 4
d P t =k P t dt Links van het isgelijkteken staat het aantal per jaar. Rechts moet dus ook het aantal per jaar als eenheid hebben. 1 De eenheid van k is dan . jaar In het geval dat k groter is dan 0, dan is er dus een toename van het inwonertal. In dat geval zal er geen stationaire situatie zijn. Als k kleiner is dan 0, neemt het aantal inwoners steeds af. Als er begonnen wordt op tijdstip t = 0 met een zeker inwonertal, dan is op den duur het inwonertal 0 geworden. Zie daarvoor ook paragraaf 3 evenwichtssituaties. Deze differentiaalvergelijking is eentje die in de natuur vrij veel voorkomt.
1.3 Parachutist De snelheid van een parachutist met massa m, blijkt na enige tijd constant. Neem aan dat de luchtweerstand evenredig is met de snelheid van de parachutist. Formuleer de valbeweging van de parachutist met behulp van een differentiaalvergelijking waarbij de onbekende functie de snelheid is. Stel daarvoor de krachtenvergelijking op van de totale kracht die op de parachutist werkt en die het gevolg is van de zwaartekracht en de wrijvingskracht (luchtweerstand). Ga ook de eenheden na van de evenredigheidsconstante.
1.3.1 antwoord De snelheid van een parachutist met massa m, blijkt na enige tijd constant. Neem aan dat de luchtweerstand evenredig is met de snelheid van de parachutist. Formuleer de valbeweging van de parachutist met behulp van een differentiaalvergelijking waarbij de onbekende functie de snelheid is. Stel daarvoor de krachtenvergelijking op van de totale kracht die op de parachutist werkt en die het gevolg is van de zwaartekracht en de wrijvingskracht (luchtweerstand). Ga ook de eenheden na van de evenredigheidsconstante.
m
d v t dt
= m g Kk v t
1.3.1.1 uitleg De totale kracht is gelijk aan de massa maal de versnelling (Wet van Newton). De versnelling is de tijdsafgeleide van de snelheid op ieder moment. De zwaartekracht F is steeds constant: z
F = m g is de massa maal de versnelling van de zwaartekracht (g = 9.8 z
m 2
).
s
De luchtweerstand Kk v t is dus evenredig met de snelheid van de parachutist en zal steeds een remmende kracht zijn 1.3.1.2 eenhedenbeschouwing 5
De eenheid van k is
kg m 2
kg s
. De eenheid van kracht is immers Newton =
.
s
Omdat de luchtweerstand tegengesteld is aan de snelheid zal in de formule de waarde van k positief zijn. 1.3.1.3 stationaire toestand Als na enige tijd de snelheid niet meer verandert, is
d v t gelijk aan 0. dt
Hieruit kan afgelezen worden wat de stationaire toestand zal zijn. De parachutist zal ten slotte een sneheid krijgen die gelijk is aan v t =
mg . k
Zie voor de stationaire toestand (evenwichtssituatie) in paragraaf 3 Evenwichtssituaties
1.4 Ballon
Het volume V t van een bolvormige ballon neemt met een constante snelheid af. Geef een differentiaalvergelijking r t in waarbij r t de straal is van de bol. Als het volume verandert, verandert natuurlijk de straal ook. Zeg iets over de evenredigheidsconstante. Het volume V van een bol wordt bekend verondersteld. 3
4 πr V= 3
Zie ook bestudering van dit probleem in paragraaf 2.6 Lek in ballon.
1.4.1 antwoord Stel eerst de meest oorspronkelijke vorm van het model op en geef daarna een verfijning.
d V t = Kk dt Het volume is een functie van de tijd. 6
Je kunt echter ook de functie V schrijven als een formule met daarin de straal r t waarbij de straal r t een functie van de tijd is.
4πr t V t = 3 4 πr t
2
d r t dt
3
= Kk
Als je moeite hiermee hebt, dan staat er onder de knop uitleg over deze afleiding die met de kettingregel van het differentiëren te maken heeft. 1.4.1.1 kettingregel Het volume is een functie van de straal r maar r zelf is weer een functie van de tijd. Dus als je het vulume V differentieert naar de tijd, kun je eerst naar de straal differentiëren en daarna de straal weer verder differentiëren naar de tijd. Ga na dat
d V t = dt
d V r dr
d r t dt
of anders ook wel schematisch geschreven:
dV dV dr = dt dr dt Dit noemt men ook wel de kettingregel en is handig in dit soort situaties. 1.4.1.2 verfijning Eventueel kan deze differentiaalvergelijking nog in de vorm
d k r t =K dt 4πr t
2
gezet worden. De snelheid waarmee de straal afneemt is dus omgekeerd evenredig met de straal van de ballon in het kwadraat. Misschien zie je ook dat de snelheid waarmee de straal afneemt omgekeerde evenredig is met de oppervlakte van de ballon. 1.4.1.3 eenhedenbeschouwing 3
De evenredigheidsconstante k heeft als eenheid
m s
en is positief zoals deze
in de formule staat.(Volume per tijdseenheid.) Zie ook bestudering van de evenwichtssituatie in paragraaf 3 Evenwichtssituaties
1.5 Massabalansen Of je nu een model maakt van het inwonertal of van het opblazen van een ballon, feitelijk doe je steeds hetzelfde. Doordat er massa in en/of uitstroomt, verandert de totale massa. 7
Neem bijvoorbeeld het model van het inwoneraantal in paragraaf 1.2 Inwonertal.
d P t =k P t dt Hierin is: •
d P t de ophoping van het aantal inwoners: toename als dit positief is en afname dt als dit negatief is.
• k P t het aantal inwoners dan binnenstroomt, of wordt geproduceerd in technische termen. • Eventueel had er ook een sterfte gemodelleerd kunnen worden: Kks P t waarbij ks de systeemconstante is van het sterfteproces.
Algemene massabalans:
d m t =M t KM t instr uit dt Hierin is: •
d m t de toename van de massa m(t) (massa in kg) per tijdseenheid dt
• M
instr
• M
uit
t de hoeveelheid massa die binnenstroomt (in kg/s)
t de hoeveelheid massa die naar buiten stroomt
1.5.1 massabalans tank met schoonmaakmiddel Een tank van 5000 liter is gevuld met 3 kg van een schoonmaakmiddel. De tank wordt gespoeld met schoon water in een tempo van 100 liter per minuut. De hoeveelheid m t van dit schoonmaakmiddel wordt uitgedrukt in kg en is afhankelijk van de tijd. (De beginvoorwaarde is dus m 0 = 3.)
1.5.1.1 vraag Stel een DV op voor de hoeveelheid schoonmaakmiddel m t als functie van de tijd. 1.5.1.1.1 antwoord Hoeveelheid stof = concentratie × volume. De concentratie van de stof is hier in kg per liter. De concentratie is steeds de hoeveelheid stof in het systeem per totaal volume (
m t ). V tot
De hoeveelheid stof m t in het systeem is een functie van de tijd. 8
De concentratie is dan ook een functie van de tijd. Bij het spoelen gaat er steeds evenveel liter schoon water in de tank als dat er vuil water uitgaat. De differentiaalvergelijking kan dan als volgt worden geformuleerd: De verandering van de hoeveelheid stof m t in het systeem is gelijk aan de concentratie op een bepaald moment maal de verandering van het volume. In dit geval is er een toename van het volume met concentratie 0 (schoon water) en eenzelfde afname van het volume met concentratie:
m t . V tot
d m t =0 dt
d V t dt
m t K
d V t dt Vtot
Niet alleen massa kun je in een balans modelleren. Alles wat zich kan ophopen past in een balans. Blijkbaar niet alleen (discrete) voorwerpen, zoals inwoners en fietsen, maar ook (continue) concepten zoals geld, massa, energie en impuls (dat is overigens een lastige!) . In het algemeen is de vorm van een balans:
Ophoping = instroom - uitstroom waarbij: • de ophoping de vorm heeft van een afgeleide (verandering van massa per tijdseenheid). • de in- en uitstroom niet echt "ergens" in- of uit hoeven te stromen. Ook geboorte en productie zijn vormen van instroom en sterfte en consumptie de bijbehorende vormen van uitstroom.
1.6 Krachtbalansen In een krachtbalans worden alle krachten, die op een voorwerp staan opgeteld. Hierbij wordt er rekening mee gehouden dat krachten in een richting werken. Als er na de optelling geen kracht meer over is, dan heeft het voorwerp een constante snelheid. Dit is evenwicht. Bijvoorbeeld een voorwerp dat aan een touw hangt: de zwaartekracht naar beneden is gelijk aan de spankracht van het touw (naaar boven). Daardoor hangt het voorwerp stil. Ook bij een auto op volle snelheid zijn de krachten in evenwicht: de voorwaartse kracht die door de motor wordt geleverd is gelijk aan de wrijvingskracht naar achteren, zodat de snelheid constant is. De som van alle krachten is gelijk aan 0 als er dus evenwicht is (krachtbalans).
1.6.1 Evenwicht van krachten Een massa wordt in evenwicht gehouden door twee krachten die er op werken. 9
De zwaartekracht (F ) en de veerkracht (F z
) van de veer waar de massa aan hangt.
veer
De zwaartekracht werkt naar beneden en de veerkracht omhoog. De zwaartekracht is F = m g en de veerkracht is evenredig met de uitwijking s vanuit z
de evenwichtsstand van de veer met evenredigheidsconstante k die ook wel veerconstante wordt genoemd. Fz CFveer = 0 → m g Kk s = 0 Als er na het optellen van de krachten nog een kracht overblijft, dan krijgt het voorwerp een versnelling. Bijvoorbeeld met de parachutist: als deze uit het vliegtuig springt, is de wrijving klein en de zwaartekracht groot, zodat hij steeds sneller naar beneden valt. Aangezien de wrijving groter wordt bij hogere snelheid (wrijving is afhankelijk van de snelheid), wordt de wrijving op een gegeven moment net zo groot als de zwaartekracht en dan is er evenwicht: de snelheid blijft constant. Zie het voorbeeld in paragraaf 1.3 Parachutist
1.6.2 Geen evenwicht van krachten 1.6.2.1 vraag De snelheid van een parachutist met massa m, blijkt na enige tijd constant. Neem aan dat de luchtweerstand evenredig is met de snelheid van de parachutist. Formuleer de valbeweging van de parachutist met behulp van een differentiaalvergelijking waarbij de onbekende functie de snelheid is. Stel daarvoor de krachtenvergelijking op van de totale kracht die op de parachutist werkt en die het gevolg is van de zwaartekracht en de wrijvingskracht (luchtweerstand). 1.6.2.1.1 antwoord De totale kracht op een lichaam is de som van alle afzonderlijke krachten. Deze totale kracht zal zorgen voor een uiteindelijke snelheidsverandering (versnelling).
F = tot
>F
F = F CF tot
z
wrijving
waarbij
d v t dt
F =m a =m tot
m
d v t dt
= m g Kk v t
De totale kracht is gelijk aan de massa maal de versnelling (Wet van Newton). De versnelling is de tijdsafgeleide van de snelheid op ieder moment. De zwaartekracht F is steeds constant: F = m g is de massa maal de z
z
10
versnelling van de zwaartekracht (g = 9.8
m ). s
De luchtweerstand is dus evenredig met de snelheid van de parachutist. Zie verder in paragraaf 1.3 Parachutist.
1.6.3 Kracht, versnelling en snelheid • De versnelling bepaal je met de wet van Newton: Kracht = massa × versnelling F=m×a Hou er rekening mee dat de kracht en de versnelling eigenlijk vectoren zijn en dus een richting hebben. (Dezelfde richting!!)
• De versnelling a t is de verandering van de snelheid (v) per tijdseenheid d v t =a t dt • De afgelegde weg s t kan ook op deze manier bepaald worden: de toe- of afname van de afgelegde weg per tijdseenheid is gelijk aan de snelheid. d s t =v t dt • Als de versnelling a t bekend is, kan met een tweede orde differentiaalvergelijking de afgelegde weg achterhaald worden. d
2 2
s t =a t
dt
Kijk ook in de les met vectoren voor dezelfde differentiaalvergelijkingen in meer dimensies.
1.7 RC-circuit • De spanning u over een weerstand ter grootte R is altijd gelijk aan de stroom i t in R
het circuit maal de waarde van de weerstand. In formule is dat u = i t R. R
(De stroom in het circuit hoeft niet constant te zijn.) 11
• Op een condensator kan lading opgeslagen worden. De lading kan er ook van af stromen. De verandering per tijdseenheid van de spanning uC over een condensator maal de capaciteit C van de condensator is altijd gelijk aan de stroom i t in het circuit waarin de condensator zich bevindt. In formule is dat i t = C
d u t dt C
.
In het bovenstaande netwerk is een condensator met capaciteit C, een bronspanning u
B
(die niet beslist constant hoeft te zijn maar ook een functie van t kan zijn) en een weerstand R. Volgens de wet van Kirchhof is de bronspanning op ieder moment gelijk aan de som van de spanningen over de weerstand en de condensator.
1.7.1 Vraag Stel de differentiaalvergelijking op waarbij de spanning u
C
t de onbekende functie is
van de tijd. Doe ook een analyse van de eenheden. 1.7.1.1 antwoord dv in uC t Meestal hebben we in de elektrische netwerken liever de functie van de spanning beschikbaar. Deze is in een netwerk ook gemakkelijker te meten zonder een ingreep te doen in het netwerk zelf. Volgens de wet van Kirchhoff is de bronspanning gelijk aan de som van de spanningen in het circuit. De bronspanning in het gegeven circuit is dus gelijk aan de spanning over de weerstand R + de spanning over de condensator C. Dus u = R i t Cu B
C
Hierin is dus i t = C
t .
d u t dt C
De differentiaalvergelijking wordt dan:
RC
d u t dt C
Cu
C
t =u
B
Dit is de differentiaalvergelijking met de spanning over de condensator uC t als onbekende functie van de tijd. 1.7.1.1.1 Eenhedenbeschouwing De spanning is in volt (V), de weerstand in ohm (Ω), de stroom is in ampere (A = coulomb per seconde), de capaciteit is in farad (coulomb per volt). 12
Hoe meer lading op de condensator om een spanningsverschil van 1 volt te maken, des te groter de capaciteit C is). Ga nu met de eenheden in deze differentiaalvergelijking na dat de de combinatie R C de eenheid tijd heeft.
1.7.2 Vraag Stel de differentiaalvergelijking op waarbij de stroom i t de onbekende functie is van de tijd. Doe daarbij een analyse van de eenheden. 1.7.2.1 antwoord dv in i t De differentiaalvergelijking van de stroom heeft rechtstreeks te maken met de differentiaalvergelijking van de spanning. Volgens de wet van Kirchhoff is de bronspanning gelijk aan de som van de spanningen in het circuit.
Dus u = R i t Cu B
C
t
Differentieer deze vergelijking naar t waarbij dus weer geldt dat i t =C
d u t dt C
.
0 =R
R
d i t dt d i t dt
C C
d U t dt C
i t =0 C
i t d i t C =0 RC dt d i t i t =K RC dt We hebben nu een eerste orde differentiaalvergelijking in de onbekende i t . Merk op dat evenals in het vorige dat de combinatie R C de eenheid tijd heeft.
1.8 RL-circuit Gegeven is een netwerk met daarin een spoel (L) en een weerstand (R). De spanningsbron UB kan eventueel weggelaten worden en dan is de spanning over de bron dus gelijk aan 0. • De spanning u over een weerstand ter grootte R is altijd gelijk aan de stroom i t in R
het circuit maal de waarde van de weerstand. 13
In formule is dat u = i t R. R
(De stroom in het circuit hoeft niet constant te zijn.) • De spanning over een spoel (uL) is evenredig met de stroomverandering per tijdseenheid in deze spoel. De evenredigheidsconstante L van de spoel is een eigenschap van de spoel en wordt wel de coëfficiënt van zelfinductie genoemd.. In formule is dat u
L
t =L
d i t dt
Volgens de wet van Kirchhoff is de bronspanning gelijk aan de som van de spanningen in het circuit.
1.8.1 Vraag Stel de differentiaalvergelijking op met als onbekende functie de stroom i t . 1.8.1.1 antwoord Volgens de wet van Kirchhoff is de bronspanning gelijk aan de som van de spanningen in het circuit.
Dus u = R i t Cu t B
L
u = R i t CL
d i t dt
B
R i t = KL
d i t dt
CU
B
Dit is een differentiaalvergelijking waarin de functie i t als onbekende functie staat.
2 Het bepalen van de systeemconstante (parameter) In de volgende voorbeelden gaan we nog niet de differentiaalvergelijking oplossen maar we kunnen zonder de oplossing te kennen (de functie van de tijd) al heel wat te weten komen.
2.1 Elektrisch circuit 2.1.1 vraag Stel dat er in een elektrisch circuit de stroomsterkte i t afneemt met een snelheid die evenredig is met de momentane stroomsterkte. (De eenheid van stroom is hier mA.) Wanneer de stroomsterkte 40 mA bedraagt, neemt die af met
1 mA per seconde. 2
Beschrijf het verloop van de stroomsterkte i t met behulp van een differentiaalvergelijking en bepaal de evenredigheidsconstante uit het extra gegeven. 14
2.1.1.1 antwoord De volzin: "Stel dat er in een elektrisch circuit de stroomsterkte i t afneemt met een snelheid die evenredig is met de momentane stroomsterkte." is met een formule te schrijven:
dv :=
d dt
i t = Kk i t
Stel nu de stroomsterkte op een bepaald moment gelijk aan 40 mA, dan is de
1 mA per seconde. 2 1 De volgende vergelijking kan dan opgelost worden: K = K40 k . 2 1 1 Hieruit volgt dat de waarde van k gelijk is aan . 80 s verandering van de stroom op dat moment K
De differentiaalvergelijking wordt dan:
d i t i t =K 80 dt In deze differentiaalvergelijking is de functie i t de onbekende functie.
2.2 Afkoeling 2.2.1 vraag Een heet voorwerp koelt af met een snelheid die evenredig is met het temperatuurverschil tussen voorwerp en omringende lucht. De omgeving heeft een constante temperatuur van 15 graden celcius en het voorwerp blijkt met 12 graden per minuut af te koelen op een moment dat zijn temperatuur 150 graden celcius bedraagt. • Formuleer de differentiaalvergelijking. • Bepaal met de gegevens ook de evenredigheidsconstante. Zie ook bij voorbeeld paragraaf 1.1 koelwet van Newton. 2.2.1.1 antwoord De volgende zin: "Een heet voorwerp koelt af met een snelheid die evenredig is met het temperatuurverschil tussen voorwerp en omringende lucht." kan met een formule worden weergegeven:
d T t = k T t KT o dt Uit de gegevens is een vergelijking te formuleren dat de vermindering van de temperatuur gelijk is aan 12 graden per minuut op het moment dat de temperatuur 150 graden is. Het wil dus zeggen dat als To = 15, dat dan 15
d T t gelijk is aan -12. dt De differentiaalvergelijking gaat dan over in een gewone vergelijking waarbij de systeemconstante k de onbekende is. K12 = k 150 K15 Deze vergelijking kan opgelost worden zodat de waarde van k berekend kan worden K12 = 135 k k = -0.0888 De differentiaalvergelijking is nu volledig bekend.
d T t = K0.0888 T t KT o dt In dit voorbeeld is de systeemconstante k = - 0.088 per minuut. Zie voor de eenheden van de evenredigheidscontstante k in paragraaf 1.1 Koelwet van Newton. De evenredigheidsconstante is negatief! Zie ook in paragraaf 3.2 Afkoeling en opwarming, voor het bestuderen van de stationaire toestand.
2.3 Opwarming 2.3.1 vraag Een koud voorwerp wordt verwarmd doordat het in een warme omgeving wordt geplaatst. De toename van de temperatuur T t gaat met een snelheid die evenredig is met het temperatuurverschil tussen voorwerp en omringende lucht. De omgeving heeft een constante temperatuur van 80 graden celcius en het voorwerp blijkt met 10 graden per minuut op te warmen op een moment dat zijn temperatuur 5 graden celcius bedraagt. Formuleer de differentiaalvergelijking en bepaal met de gegevens ook de evenredigheidsconstante. Zie bij paragraaf 1.1 Koelwet van Newton. Zie ook bij paragraaf 3.2 Afkoeling. 2.3.1.1 antwoord Zie ook voorbeeldparagraaf 1.1 Koelwet van Newton. De volgende zin: "Een koud voorwerp wordt verwarmd doordat het in een warme omgeving wordt geplaatst. De toename van de temperatuur T t gaat met een snelheid die evenredig is met het temperatuurverschil tussen voorwerp en omringende lucht." kan met een formule worden weergegeven:
d T t = k T t KTo dt Uit de gegevens is een vergelijking te formuleren dat de vermeerdering van de 16
temperatuur gelijk is aan 10 graden per minuut op het moment dat de temperatuur 5 °C is. Het wil dus zeggen dat als T = 80 °C dat dan o
d T t gelijk is aan 10 °C per dt
minuut.. De differentiaalvergelijking gaat dan over in een gewone vergelijking waarbij de systeemconstante k de onbekende is.
10 = k 5 K80 Deze vergelijking kan opgelost worden zodat de waarde van k berekend kan worden
10 = K75 k k = K0.133 De differentiaalvergelijking is nu volledig bekend.
d T t = K0.133 T t KT o dt In dit voorbeeld is de systeemconstante k = -0.133 per minuut. Zie voor de eenheden van de evenredigheidscontstante k in paragraaf 1.1 Koelwet van Newton. De evenredigheidsconstante is negatief! Zie ook in paragraaf 3.2 Afkoeling en opwarming (evenwicht) voor het bestuderen van de stationaire toestand.
2.4 Poreuze tank 2.4.1 vraag Een tank van poreus materiaal met verticale zijwanden heeft een cirkelvormig grondvlak waarvan de straal r gelijk aan 0.5 meter is. De tank bevat water dat door grondvlak en zijwanden wegsijpelt. De totale oppervlakte A t dat in contact staat met het water, verandert dus per tijdseenheid omdat het water wegsijpelt. Dit gaat met een tempo dat evenredig is met de totale oppervlakte die met het water in contact staat. Verder is gegeven dat wanneer het water 3 meter hoog staat in de tank, dat het met een snelheid van 0.2 meter per uur daalt. Formuleer de differentiaalvergelijking waarin de hoogte h t van het water de onbekende functie is van de tijd. Geef ook informatie over de systeemconstante. 2.4.1.1 antwoord 17
De totale oppervlakte die in contact staat met het water is gelijk aan de oppervlakte 2
van de bodem (π r ) plus de manteloppervlakte waarmee het water met een hoogte h t in contact staat (2 π h t ). De verandering van de totale oppervlakte per tijdseenheid is evenredig met deze oppervlakte. Het zal duidelijk zijn dat in dit model de evenredigheidsconstante een negatieve waarde zal hebben. De differentiaalvergelijking is dan
d A t =k A t dt Daarbij is de functie van de oppervlakte een functie van t omdat de hoogte h t afhankelijk is van de tijd. 2
A = π r C2 π r h t De oppervlakte van het vat waarmee de voloeistof in aanraking komt is hiermee vastgelegd. De straal van de bodem is 0.5 m. Alles ingevuld geeft een nieuwe differentiaalvergelijking waarin de hoogte h t als onbekende functie afhankelijk van de tijd is gesteld. Met de kettingregel (zie ook de paragraaf met de kettingregel) kan de oppervlakt A gedifferentiëerd worden naar t.
1.0 π
d h t dt
= k 0.25 πC1.0 π h t
2.4.1.2 systeemconstante berekenen Gegevens ingevuld in de differentiaalvergelijking: als de hoogte van het water gelijk is aan 3 m, dan is de afname van de hoogte gelijk aan 0.2 meter per uur (let op het minteken).
K0.20 π = 3.25 k π Deze vergelijking oplossen geeft de waarde van k = -0.0615. De eenheid van k is rechtstreeks uit de meest oorspronkelijke 1 . differentiaalvergelijking af te lezen: uur
2.5 Kristalvorming 2.5.1 vraag De snelheid waarmee een opgeloste stof m t in kristalvorm M t wordt afgezet is evenredig met het product van de massa van de reeds afgezette stof en de massa van de nog opgeloste stof. Gegeven is dat de opgeloste stof m t en de stof in kristalvorm M t tesamen 20 gram zijn, formuleer dan de differentiaalvergelijking en zeg iets over de systeemconstante. 18
2.5.1.1 antwoord De snelheid waarmee een opgeloste stof m t in kristalvorm M t wordt afgezet is evenredig met het product van de massa van de reeds afgezette stof en de massa van de nog opgeloste stof. Gegeven is dat de opgeloste stof m t en de stof in kristalvorm M t tesamen 20 gram zijn, formuleer dan de differentiaalvergelijking en zeg iets over de systeemconstante. De formule van dit model is de volgende differentiaalvergelijking.
d m t =k m t M t dt Er zijn eigenlijk twee grootheden in deze differentiaalvergelijking, maar met het gegeven dat de totale hoeveelheid stof 20 gram is M t = 20 Km t , kan de differentiaalvergelijking geschreven worden als.
d m t =k m t dt
20 Km t
Als de massa's in grammen gegeven zijn, dan is de eenheid van k:
1 . gs
Bovendien is de waarde van k negatief want de opgeloste stof wordt minder.
2.6 Lek in ballon 2.6.1 vraag Uit een bolvormige ballon ontsnapt lucht in een tempo dat evenredig is met de oppervlakte van de ballon. (Dit is een andere situatie dan paragraaf 1.4 waar de verandering van het volume constant is.) Stel de differentiaalvergelijking op waarbij de veranderende straal r t van de ballon de onbekende functie is. De formule voor inhoud en oppervlakte van een bol moet bekend zijn. Wanneer de straal 20 cm bedraagt, ontsnapt er 8000 mL lucht per seconde. Bereken vervolgens in hoeveel tijd de straal van 20 tot 15 cm afneemt. Zie voor de bestudering van een eventuele stationaire toestand in paragraaf 3 Evenwichtssituaties 2.6.1.1 antwoord Uit een bolvormige ballon ontsnapt lucht in een tempo dat evenredig is met de oppervlakte van de ballon. De vertaling in de differentiaalvergelijking is dan
d V t = k opp t dt 19
Hierin is het volume een functie van de straal maar de straal is weer een functie van de tijd. Als volgt kan dat geformuleerd worden: 3
4 πr t V= 3
Verder is de oppervlakte ook een functie van de straal die op zichzelf ook weer een functie is van de tijd.
opp = 4 π r t
2
Alles invullen en ook gebruik maken van de kettingregel wordt de differentiaalvergelijking:
4πr t
d r t dt
2
=4 k πr t
2
Vereenvoudigen:
d r t =k dt Het blijkt dus dat de straal met een constante snelheid afneemt.
2.6.1.2 Systeemconstante berekenen Gegeven is dat de verandering van volume op een bepaald moment gelijk is aan -8000 mL/s. Deze verandering van volume is evenredig met de oppervlakte van de bol op dat moment dat de straal 20 cm is. De volgende vergelijking kan dan opgelost worden waarbij de systeemconstante k de onbekende is.
d V t = K8000 dt Ook geldt dat
d V t = k$4 π r t dt
2
Vul nu voor r t = 20 in en de volgende vergelijking kan opgelost worden met k als onbekende.
K8000 = 1600 k π 5 =K1.59 π
De waarde van k is dus k =K
20
De eenheid van de systeemconstante k is cm/s. De straal neemt dus af met 1.59 cm/s. De differentiaalvergelijking is nu vereenvoudigd tot
d r t = K1.59 dt Aan de hand hiervan is gemakkelijk uit het hoofd te berekenen hoe lang het duurt totdat de straal van 20 cm afgenomen is tot 15 cm. (Een afname van -5.)
5 . k
De vergelijking k t = K5 geeft als oplossing t = K
Daaruit volgt dat de tijd die het duurt is 3.144 seconden.
3 Het bepalen van de evenwichtssituatie Bij veranderingsprocessen die zich afspelen in de tijd is het vaak interessant om te bekijken hoe het proces op den duur verloopt. We kijken dan naar de verandering van de functie die in de differentiaalvergelijking beschreven wordt. Voor de processen die stabiel zijn is het zo dat op den duur de functie eigenlijk niet meer verandert. Zou dat wel zo zijn, dan is zo'n proces niet stabiel. Voor een stabiel proces is de verandering van de functie op den duur gelijk aan 0. Zonder de differentiaalvergelijking op te lossen kan vaak de evenwichtssituatie beschreven worden die geldt als te tijd voortschrijdt en oneindig wordt.
3.1 Elektrisch circuit evenwicht (evenwicht) 3.1.1 vraag In een situatie zoals beschreven in paragraaf 2.1 Elektrisch circuit waarbij de verandering van de stroom in een netwerk evenredig is met de stroom zelf. Als 0 ! k, dan is er steeds sprake van een afname van de stroom.
d i t = Kk i t dt Beschrijf de evenwichtssituatie voor verschillende waarden van k. 3.1.1.1 antwoord In deze differentiaalvergelijking is duidelijk te zien dat op den duur de stroom i t naar 0 gaat. Immers in de evenwichtssituatie is er geen toe of afname van de stroom meer en dan is
d i t = Kk i t = 0 dt Er was uitgegaan van een positieve waarde van k, dus de stroom neemt inderdaad 21
in dat geval steeds af. Als de waarde van k negatief zou zijn, dan zou de verandering van de stroom positief zijn. Als de beginwaarde van de stroom niet gelijk is aan nul, zou de stroom steeds verder toenemen en is er geen evenwicht.
3.2 Afkoeling en opwarming (evenwicht) Zie in paragraaf 1.1 Koelwet van Newton voor de differentiaalvergelijking
d T t = k T t KT o dt 3.2.1 vraag Beschrijf de evenwichtssituatie en bekijk of k positief of negatief is 3.2.1.1 antwoord Als de temperatuur niet meer verandert, kan gesteld worden dat
d T t = k T t KT = 0 ==> k T t KT = 0 o o dt en hieruit volgt dat op den duur de temperatuur T t gelijk wordt aan de omgevingstemperatuur T . o
Er zijn dus twee situaties:
d T t is negatief (de temperatuur neemt af). In dat geval is de dt temperatuur T t steeds hoger dan de omgevingstemperatuur. Dat wil zeggen T t KT is positief. Hieruit volgt dat k is negatief.
• Koelen:
o
d T t is positief (de temperatuur neemt toe). dt In dat geval is de temperatuur T t steeds lager dan de omgevingstemperatuur.
• Verwarmen:
Dat wil zeggen T t KT is negatief. o
Hieruit volgt dat k is negatief om het geheel weer positief te maken. Dit is het geval bij koelen én bij verwarmen. Zie uitgewerkt voorbeeld in paragraaf 2.2. en 2.3 bij afkoelen en opwarmen. 3.2.1.2 conclusie Bij de koelwet van Newton
d T t = k T t KT o dt is stééds de evenredigheidsconstante k negatief, zowel bij koelen als bij verwarmen. 22
3.3 Parachutist (evenwicht) Zie in paragraaf 1.3 Parachutist voor de differentiaalvergelijking van een vallende parachutist onder invloed van de zwaartekracht (m g) en een wrijvingskracht, evenredig met de snelheid.
d v t dt
m
= m g Kk v t
3.3.1 vraag Beschrijf de evenwichtssituatie. 3.3.1.1 antwoord Op den duur is de verandering van de snelheid gelijk aan 0 en dan kan uit de differentiaalvergelijking de uiteindelijke snelheid afgelezen worden.
m
d v t dt
= m g Kk v t = 0 / v t =
mg k
3.4 Lek in ballon (geen evenwicht) Bekijk in het geval van de ballon waarvan de straal steeds afneemt in de tijd of er zich ook een stationaire situatie voordoet.
3.4.1 Volume neemt af met constante snelheid 3.4.1.1 vraag Het volume V t van een bolvormige ballon neemt met een constante snelheid af. Zeg iets over een mogelijke evenwichtssituatie. Zie beschrijving van het probleem in paragraaf 1.4 Ballon
4 πr t
2
d r t dt
= Kk
3.4.1.1.1 antwoord Het zal hier niet mogelijk zijn om, uitgaande van de differentiaalvergelijking, te bekijken wat de evenwichtssituatie zal zijn. Omdat de straal steeds afneemt met de tijd, zal op een gegeven moment de straal gelijk worden aan 0. In de situatie dat de straal bijna gelijk is aan 0, verandert de straal juist zeer sterk. Dit is te zien aan de differentiaalvergelijking anders geschreven:
d k r t =K dt 4 πr t
2
Een onderzoek is nodig om er achter te komen hoe het verloop van de straal is 23
als functie van de tijd.
3.4.2 Volume neemt af met oppervlakte van de ballon 3.4.2.1 vraag Uit een bolvormige ballon ontsnapt lucht in een tempo dat evenredig is met de oppervlakte van de ballon. Zeg iets over een mogelijke evenwichtssituatie. Zie beschrijving van het probleem in paragraaf 2.6 Lek in ballon.
d r t =k dt 3.4.2.1.1 antwoord Het zal hier niet mogelijk zijn om, uitgaande van de differentiaalvergelijking, te bekijken wat de evenwichtssituatie zal zijn. Omdat de straal steeds afneemt met de tijd, zal op een gegeven moment de straal gelijk worden aan 0. In de situatie dat de straal bijna gelijk is aan 0, verandert de straal nog steeds met dezelfde snelheid. Echter het model is beperkt, de differentiaalvergelijking geldt alleen als de straal positief is. Het zal duidelijk zijn dat de waarde van k negatief is, omdat het een afname van de straal betreft.
24
