1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak az összeg nem változik. a+(b+c) = (a+b)+c Ellenőrzése: - tagokat más sorrendben adom össze - az összegből kivonjuk az egyik összeadandó tagot 2. Kivonás 32 – 8 = 24 kisebbítendő kivonandó különbség Ellenőrzése: - különbséghez hozzáadjuk a kivonandót, így kisebbítendőt kapjuk eredményül - kisebbítendőből kivonjuk a különbséget, így a kivonandót kapjuk eredményül 3. Szorzás 15 * 3 = 45 tényezők szorzat Szorzáskor a szorzat nem változik, ha a tényezőket felcseréljük. Szorzáskor a szorzat nem változik, ha a tényezőket átcsoportosítjuk. Ellenőrzése: - felcseréljük a tényezőket és elvégezzük a szorzást - szorzatot elosztjuk a szorzóval és a szorzandót kapjuk 4. Osztás 35 : 7 = 5 osztandó osztó hányados Ellenőrzése: - hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez
2. Műveletek sorrendje Ha nincs zárójel a műveletsorban: 1. Ha csak összeadás és kivonás szerepel, akkor balról jobbra haladva végezzük el a műveleteket. 2. Ha csak szorzás és osztás szerepel, akkor balról jobbra haladva végezzük el a műveleteket. 3. Ha mind a négy alapművelet szerepel, akkor először a szorzást, osztást végezzük el, majd az összeadást, kivonást. Ha zárójel is szerepel a műveletsorban: 1. Zárójelben lévő műveleteket végezzük el először a már tanult sorrendiség szerint, majd ezután következik a többi művelet. 2. Több egymásba lévő zárójel esetén a legbelső zárójelben lévő műveleteket végezzük el, és haladunk kifelé. Zárójelek: - kerek ( ) - szögletes [ ] - kapcsos { }
3. Nulla Értelmezése: két egyenlő szám különbsége. A pozitív és negatív számokat választja szét (ő egyikbe se tartozik bele). Műveletek a nullával: Bármely számhoz nullát adunk, akkor az összeg maga a szám. Pl.: 3 + 0 = 3 Nullához bármilyen számot adunk, akkor az összeg maga a szám. Pl.: 0 + 3 = 3 Bármely számból nullát kivonunk, akkor a különbség maga a szám. Pl.: 3 - 0 = 3 Nullából bármilyen számot kivonunk, akkor a különbség a szám ellentettje. Pl.: 0 - 3 = - 3 A nullát egy tetszőleges számmal megszorozzuk, akkor a szorzat nulla. Pl.: 3 * 0 = 0 Nullát bármely számmal szorozzuk, akkor a szorzat nulla. Pl.: 0 *3 = 0 Nullát bármely számmal osztjuk, akkor a hányados nulla. Pl.: 0 : 3 = 0 Nullával való osztásnak nincs értelme!
4. Számhalmazok Természetes számok: (naturális) N A számlálás tevékenységéből származó, végtelen sok számot tartalmazó számhalmaz. N={0,1,2,3…} előállítása: az egység ismételt hozzáadásával Egész számok: (zahlen) Z Olyan számok melyek felírhatók 2 N szám különbségeként. Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4…} Racionális számok: (quotiens) Q Azon számok, melyek felírhatók 2 Z szám hányadosaként, és ahol a nevező nem egyenlő O-val Ide tartoznak: + törtek, - törtek, véges tizedestörtek, végtelen szakaszos tizedestörtek.
5. Az előjeles számok Értelmezése A matematikában az ellentétes mennyiségeket a + (plusz), - (mínusz) jelekkel különböztetjük meg. Azokat a számokat, amik előtt + jel áll pozitív számoknak, amik előtt – jel áll negatív számoknak nevezzük. Fontos: - a + előjelet nem mindig írjuk ki, így ha egy 0-tól különböző szám előtt nincs előjel, akkor az pozitív szám - a 0 se nem pozitív, se nem negatív szám, páros szám! - az előjel azt is megmutatja, hogy a szám a számegyenesen a nullához képest hol helyezkedik el Ellentett Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyhez a számot hozzáadva nullát kapunk. (példák!) A nulla ellentettje nulla. Abszolútérték Megmutatja egy szám nullától való távolságát a számegyenesen. (példák!) - nem negatív szám abszolútértéke maga a szám - negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje Összevonás Az összeadás és a kivonás műveletét közös néven összevonásnak nevezzük. Előjeles számok szorzása, osztása a. két azonos előjelű számot úgy szorzunk vagy osztunk, hogy a tényezők abszolútértékének szorzatát vagy hányadosát + előjellel látjuk el. b. két különböző előjelű számot úgy szorzunk vagy osztunk, hogy a tényezők abszolútértékének szorzatát vagy hányadosát – előjellel látjuk el.
6. Törtek Tört értelmezése: Egy egészet = részekre osztjuk Egy tört… - kisebb, mint 1 ha a számláló < nevező - egyenlő, 1-gyel ha a számláló = nevező - nagyobb, mint 1 ha a számláló > nevező, ezeket a törteket áltörtnek nevezzük és felírhatók vegyes szám alakba. Törtek egyszerűsítése: A számlálót és a nevezőt, ugyanazzal a 0-tól különböző egész számmal elosztjuk. Törtek bővítése: A számlálót és nevezőt ugyanazzal a 0-tól különböző egész számmal szorozzuk. Törtek összehasonlítása: 1. Azonos nevezőjű törteknél az a nagyobb tört, amelyiknek a számlálója nagyobb (példa) 2. Azonos számlálójú törteknél az a nagyobb, amelynek a nevezője kisebb. (példa) 3. Különböző számlálójú és nevezőjű törtek esetén egyszerűsítéssel vagy bővítéssel, azonos nevezőjű törtekké alakítjuk azokat
7. Műveletek törtekkel (egy-egy példa segítségével kell elmondani, hogyan végzi el a műveletet, ha nem tud magától példát írni, akkor adunk mi) Törtek összeadása és kivonása •
Közös nevezőjű törtek esetén a számlálókat összeadjuk vagy kivonjuk, a közös nevezőt változatlanul leírjuk. pl.: 2 7 9 + = 5 5 5
•
Különböző nevezőjű törtek esetén a törteket általában bővítéssel közös nevezőre hozzuk (közös nevező : a legkisebb közös többszörös ) 2 3 2 * 4 3 * 3 8 + 9 17 + = + = = 3 4 12 12 12 12 Tört szorzása egész számmal a tört számlálóját szorozzuk az egész számmal és a nevezőt változatlanul leírjuk, vagy a tört nevezőjét osztjuk az egész számmal (ha osztható) és a számlálót változatlanul leírjuk. 2 3 3* 2 6 2 *3 = *2 = = 3 5 5 5 9
•
Számok reciproka ~ egy szám reciprokán azt a számot értjük, mellyel az eredeti számot megszorozva, a szorzat értéke 1. pl.: 2 * 3 = 1
1 5* = 1 5
3 2
• •
Általában egy szám reciprokát úgy kapjuk meg, hogy az 1-et elosztjuk a számmal. A 0-nak nincs reciproka.
Tört osztása egész számmal • a tört nevezőjét szorozzuk az egész számmal, és a számlálót változatlanul leírjuk, vagy a tört számlálóját elosztjuk az egész számmal (ha osztható) és a nevezőt változatlanul leírjuk. pl.: 6 : 3 = 6 : 3 = 2 5
5
5
2 2 2 :3= = 5 5 * 3 15
Tört, egész szám osztása törttel • törttel úgy osztunk, hogy az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk, majd a lehetséges egyszerűsítéseket elvégezzük. pl.:
8. Tizedestörtek Olyan tört, melynek a nevezője 10 vagy annak valamely hatványa (10, 100, 1000, …) Közönséges törtből tizedes tört előállítása: - A számlálót elosztjuk a nevezővel - A törtet addig bővítjük, míg a nevező 10 vagy annak valamely hatványa nem lesz Műveletek tizedestörtekkel • Tizedestörtek összeadása és kivonása a számban úgy írjuk egymás alá, hogy a megfelelő helyiértékek egymás alá kerüljenek, s amikor a tizedes vesszőhöz érünk, az összegben és a különbségben is kitesszük a tizedesvesszőt. Tizedestörtek szorzása • A szorzást úgy végezzük el mint egész számok esetén, majd a szorzatból annyi tizedesjegyet vágunk le amennyi a két tényezőbe van együttvéve. Tizedestörtek osztása • A kifejezést addig növeljük 10-zel , 100-zal …..stb. míg az osztó egész szám lesz, majd elvégezzük az osztást, mint egész számok esetében. pl.: 52,56 : 4,5 = 525,6 : 45= 5256 : 450 = …
9. Oszthatóság Egy szám osztója a másiknak, ha meg van benne maradéktalanul. Oszthatósági Szabályok (a szabályok mellé elég, ha egy-egy példát mond, hogy érzékeltesse érti a szabályt) 1-gyel és önmagával minden egész szám osztható. 2-vel osztható a szám , ha az egyesek helyén álló szám osztható 2-vel(páros szám). 3-mal akkor osztható a szám, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal. 13: 3
1 + 3 = 4 --- 4 nem osztható 3-mal, így a 13 sem.
51: 3 5 + 1 = 6 -----6 osztható 3-mal, így az 51 is.
4-gyel akkor osztható szám, ha a 2 utolsó számjegyéből képzett szám osztható 4-gyel. 2728 : 4
28 osztható 4-gyel, így a szám is
514 : 4
14 nem osztható 4-gyel, így a szám sem
5-tel akkor osztható a szám, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5. 8-cal akkor osztható szám, ha a 3utolsó jegyéből képzett szám osztható 8-cal. 27584 : 8
584 osztható 8-cal, így a szám is.
9-cel akkor osztható szám, ha számjegyeinek öszege osztható 9-cel . 783 : 9
7+8+3=18 --- 18 osztható 9-cel, így a 783 is.
2624 : 9
2+6+2+4=14 --- 14 nem osztható 9-cel, így a 2624 sem.
10-zel akkor osztható a szám, ha az utolsó számjegye 0. Összetett szabályok: (az előző szabályokból mindig két szabályra hivatkozunk) 6-tal akkor osztható egy szám, ha osztható 2-vel és 3-mal is. 12-vel akkor osztható egy szám, ha osztható 3-mal és 4-gyel is. 15-tel akkor osztható egy szám, ha osztható 3-mal és 5-tel is.
10. Prímek és a prímtényezős felbontás Azokat az 1-nél nagyobb pozitív egész számokat, melyeknek 1-en és önmagukon kívül más pozitív osztójuk nincs PRÍMSZÁMOKNAK vagy törzsszámoknak nevezzük. Prímszámok: 2;3;5;7;11;13;17, 19, 23… Azoknak az 1-nél nagyobb pozitív egész számoknak, melyeknek kettőnél több osztója van (vannak valódi osztóik) ÖSSZETETT számoknak nevezzük. Összetett számok: 4;6;8;9;10;12…Az 1 nem prím és nem is összetett szám Közös osztók, legnagyobb közös osztó: - több szám közös osztói azok a számok amelyek az adott számok mindegyikének osztói. Keressük meg a 60 és a 72 közös osztóit: 60 osztói: 1;2;3;4;5;6;10;|12|;15;20;30 72 osztói:1;2;3;4;6;|12|;18;24;36;72 közös osztók: 1;2;3;4;6; |12| a legnagyobb közös
-
két vagy több szám legnagyobb közös osztója (lnko): az adott számok mindegyikének osztója, az összes közös osztó közül a legnagyobb * kiszámíthatjuk, hogy a prímtényezős felbontásból az azonos alapú hatványokat a legkisebb kitevővel véve összeszorozzuk. ha két számnak nincs közös prímtényezője, akkor a legnagyobb közös osztójuk 1 – relatív prím. pl.: (5;9) = 1
* használata a törtek egyszerűsítésénél Közös többszörösök, legkisebb közös többszörös - két számnak(vagy többnek) végtelen sok közös többszöröse van . Pl.: a 6 többszörösei: 0;6;12;18;24;30;36;42;48;… A 8 többszörösei: 0;8;16;24;32;40;48;… A 6 és a 8 pozitív közös többszörösei: 24;48;72;… A legkisebb közös többszörös a |24|
-
két vagy több szám legkisebb közös többszöröse [lkkt]: az adott számok mindegyikének többszöröse, a közös többszörösök közül a legkisebb * kiszámíthatjuk, hogy a prímtényezős felbontásból az összes előforduló prímtényezőt a legnagyobb kitevővel véve összeszorozzuk. * használata törtek összevonásakor
11. Geometriai fogalmak Pont – két egyenes találkozása, ábécé nagybetűivel jelöljük Egyenes – végtelen ponthalmaz (egyenes vonal), ábécé kisbetűivel jelöljük Félegyenes – az egyenest bármely pontja két félegyenesre bontja, a tetszőleges pont mindkét félegyenes kezdőpontja, iránya ismert Szakasz – az egyenes két pontja által határolt véges rész (irány és nagyság) Konvex – domború, egy vágással pontosan két darabra esik a síkidom, bármely két pontját összekötő szakasz teljes egészében a síkidomban van. Konkáv – homorú, egy vágással kettőnél több darabra eshet, létezik két olyan pont melyet, ha összekötünk, akkor a szakasz egy része a síkidomon kívülre esik. Két egyenes kölcsönös helyzete Merőleges – merőleges két egyenes, ha a síkot négy egybevágó síknegyedre darabolja, azaz derékszöget zárnak be Metsző – metszi egymást két egyenes, ha csak egy közös pontjuk van Párhuzamos – párhuzamos két egyenes, ha nincs közös pontjuk vagy végtelen közös pontjuk van
12. Szögek Szög: - a síkot egy pontból kiinduló 2 félegyenes 2 szögtartományra bontja. - ha másként nem rendelkezünk a 2 szögtartomány közül mindig a kisebbet tekintjük. Szögfajták: Nullszög
Egyenes szög
Hegyesszög Homorú szög Derékszög Tompaszög
Teljes szög
Adott szög jelölése: - görög ábécé betűivel - szög csúcsának megadásával - három nagybetűvel
13. Síkidomok Síkidom: a sík záródó vonallal határolt része Konvex: - domború - egy síkidom bármely két pontját összekötő szakasz minden pontja a síkidomban van. - minden háromszög konvex, - sokszög esetén minden szöge egyenesszögnél kisebb, - egy vágással két darabra esik a síkidom. Konkáv: homorú, ami nem konvex. Sokszög: olyan síkidom, melyet szakaszok határolnak Csúcs: két szomszédos oldal találkozása Oldal: két szomszédos csúcsot összekötő szakasz Átló: két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz
14. Háromszög Olyan síkidom, amelynek 3 csúcs, 3 oldala, 3 szöge van. - belső szögeinek összege 180o - külső szögeinek összege 360o Csoportosításuk: 1. Oldalai szerint a. általános háromszög b. egyenlő szárú háromszög c. egyenlő oldalú vagy szabályos háromszög 2. Szögei szerint a. hegyesszögű háromszög b. derékszögű háromszög c. tompaszögű háromszög Elnevezések a háromszögre vonatkozólag: magasság: csúcsból a szemközti oldalra bocsátott merőleges szakasz hossza
15. Négyszögek Olyan síkidom, amelynek 4 oldala, 4 csúcsa, 4 szöge, 2 átlója van. - belső szögeinek összege 360o - külső szögeinek összege 360o Trapéz Olyan négyszög, melynek van párhuzamos oldalpárja. derékszögű trapéz – amelynek van derékszöge egyenlőszárú trapéz (húrtrapéz) – amelynek szárai egyenlő hosszúak - van két egyenlő oldala, ezeket szárnak hívjuk - a párhuzamos oldalakat alapnak hívjuk - az alapon fekvő szögek egyenlőek - az átlói egyenlő hosszúak
Paralelogramma Olyan négyszög, melynek két-két szemközti oldala párhuzamos. - két-két szemközti oldala egyenlő - szemközti szögei egyenlőek - szomszédos szögeinek összege 180o - átlói felezik egymást - középpontosan szimmetrikus alakzat Deltoid Olyan négyszög, melynek van olyan átlója, amely a négyszög szimmetriatengelye. - két-két szomszédos oldala egyenlő - átlói merőlegesek egymásra - szimmetria átlója felezi a másik átlót - van két szemközti szöge, ami egyenlő Rombusz Olyan négyszög, melyek minden oldala egyenlő - átlói merőlegesen felezik egymást - szemközti szögei egyenlőek - szomszédos szögeinek összege 180o - tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus
16. Négyszögek Olyan síkidom, amelynek 4 oldala, 4 csúcsa, 4 szöge, 2 átlója van. - egy átló két háromszögre bontja a négyszöget - belső szögeinek összege 360o - külső szögeinek összege 360o Kerület: a síkidom oldalainak együttes hosszúsága. Terület: hány egységnégyzettel fedhető le a síkidom.
Téglalap Olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő - két-két szemközti oldala egyenlő és párhuzamos - átlói felezik egymást és egyenlő hosszúak - tengelyesen szimmetrikus K = 2*(a+b) T = a*b Négyzet Olyan négyszög, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő - átlói merőlegesek egymásra - átlói felezik egymást - átlói egyenlő hosszúak - tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus K = 4*a T = a*a
17. Kör (ábra alapján el tudja mondani a definíciókat) Kör (körvonal): egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. Körlemez (körlap): körvonal által határolt sík rész. Sugár: a kör középpontját a körvonal bármely pontjával összekötő szakasz. Jele: r (rádiusz) Húr: a körvonal bármely két pontját összekötő szakasz. Átmérő: a leghosszabb húr, amely átmegy a körközépponton. Jele: d Szelő: a körvonal két pontján átmenő egyenes. Érintő: olyan egyenes, amelynek egy közös pontja van a körvonallal.
18. Mérés, Mértékegységek, Mennyiségek. Mérés összehasonlítást jelent, méréskor egységet választunk és meghatározzuk, hogy ennek hányszorosa a mérendő mennyiség. A mérés eredményét mennyiségnek nevezzük, amely mérőszámból és mértékegységből áll. Alapegységek: hosszúság – méter – m tömeg – kilogramm – kg
idő – másodperc – s űrtartalom – liter – l
A mértékegységek többszöröseit és törtrészeit előtaggal fejezzük ki. tízszeres – deka tized – deci – d százszoros – hekto század – centi – c ezerszeres – kilo ezred – milli – m
Terület Hosszúság
Tömeg Idő
Térfogat
Űrtartalom
19. Tengelyes tükrözés tulajdonságai 1. Pont képe pont. Tengely felezi a pont és képét összekötő szakaszt. 2. Tengelyen lévő pontok képe önmaga. 3. Pont és képe egyenlő távolságra van a tengelytől – távolságtartás 4. Egyenes képe egyenes. Párhuzamos egyenes képe párhuzamos az egyenessel és a tengellyel is. 5. Tengelyt metsző egyenes és képe ugyanabban a pontban metszi a tengelyt, egyenes és tükörképe ugyanakkora szöget zár be a tengellyel - szögtartás 6. Tengellyel párhuzamos egyenes képe párhuzamos a tengellyel és az egyenessel is – párhuzamosság tartás 7. Tengelyre merőleges egyenes képe is merőleges a tengelyre és a két egyenes egybeesik – merőlegesség tartás 8. Kör képe kör. 9. Tengelyes tükrözés során a körüljárás iránya ellentétesre változik.
