AnalisisPembentukan Fortofolio 79
Efficient Frontier
+konthr *a*-A * -t1
-tr-c
:t,
-*-D 300
--x-
200
=*
0(
fvlax&Qk20) lvtaxftqR=40}
5:$ irbxEqc{R-€o} 100
--+-i,1ax&C{k80) --+-tlkxftQR=100)
--+-
lllaxEqqR=s)
--*-* i{axftciR=10}
Gambar 5 Efficient Frontier
Semua
-
Ekivalensi Kepastian
titik yang memaksimalkan ekivalensi ketidakpastian terletak
pada
efficient frontier Meskipun semua memiliki resiko, toleransi resiko yang sesuai dengan investasi minimum didaerah peralihan dari kurva.
4.
Kesimpulan
Hubungan antara teori preferensi dan efficient frontier untuk portofolio melalui CAPM Markowitz sangat berguna, mengarah pada keputusan investasiyang
optimal. Pembuat keputusan melihat kemungkinan investasi efisien yang berbeda dan memilih yang optimal, dengan memaksimalkan ekivalensi kepastian.
Makalah ini menjelaskan pentingnya dan potensi integrasi antata CAPM dan Teori Preferensi. Sebuah contoh kasus dieksplorasi, sebagai analogi untuk proyekproyek. Langkah berikutnya dalam manajemen resiko untuk proyek adalah pengembanga; dukungan keputusan terintegrasi memberikan_ investor perbandingan -baik antara prospek, dan yang bermanfaat untuk keputusan individual ,:*! f.Uifr (*utirg-rnusing prospek) atau untuk portofolio investasi' Efisien Frontier adalah profil return paling efisien untuk berbagai kombinasi Aset Beresiko. Maksud paling efisien itu berarti, retum sangat maksimum untuk pada kombinasi tertentu dari Aktiva Beresiko dan untuk Risiko yang diberikan, juga setiap titik pada Frontier Efisien. CAPM adalah hal yang sama, selain itu Beresiko. Aset mencakup Aset bebas resiko bersama dengan kombinasi
Jumal &btemalika Vol.10 No.l Nopember 201
1
I
t:. 5-t.
@il iEffi.r ._M4]!-
4iw; ;.r€: .
...c&+
r:.a...::;:Ji:,lw
....
a... .t; :.::,.:@a:
I
Volume 10
l,.i]]!i.:::#J
:. .... :.
:
. ;=::::jj:=..=H:
1.:. i.:.:4.:.f;-i.'W , .:r.:...::l;+ l::i.+:::i}-ff.... ::.a.::::.t:!..:.tat:
..
ISSN:1412-5056
ffilm
.
i,*.y.=,$!rength Dari
'Model Optimisasi Jonner Nainggolan
Graf Buku (P,,K,")
sytR
Teorema Green Bentuk Yektor Gani Gunawan
Pemodelan Kurva lmbal Hasil Obligasi Pemerintah Menggunakan Model Nerson-Siegel Muslim, Dedi Rosadi, Gunardi, Abdurakhman Kaj ian Te ntang Teorema-Burns ide dan Apli
.
kasinya
Hamidah Suryani Lukman & lcih Sukarsih
Model Antrian Muttichannel dan Muttiphase dengan Adanya Balking dan Renegrng Rahayu Nurfitri, Rini Cahyandari, Asep Solih Awalluddin
Analisis Pembentukan Portofolio Optimal Proyek Menggunakan Teori Preferensi dan Camp Efficient Frontier Elis Ratna Wulan Analisis Pengaruh Karakteristik Usaha Kecii Terhadap Efisiensi lndustri Sepatu Cibaduyut Eti Kurniati & lcih Sukarsih
F**:;iies
l
Volume 10 Nomor Nopember 201 1
1
ISSN:1412-5056
MATEMATIKA Daftar lsi Pengantar Daftar lsi
Rismawati Ramdani TotalVeftex lnegutaity Strength dari Graf Buku (Pz x Kr,,) Jonner Nainggolan
15
Model Optimisasi Vaksinasi Tipe SV/R
Gani Gunawan Teorema Green Bentuk Vektor
Muslim, Dedi Rosadi, Gunardi, Abdurakhman Pemodelan Kurva lmbal Hasil Obligasi Pemerintah Menggunakan Model NersonSiegel
Hamidah SuryaniLukman & lcih Sukarsih Kajian Tentang Teorema Burnside dan Aplikasinya
Rahayu Nurfitri, RiniGahyandari, Asep Solih Awalluddin g ng Modei Antri an M ulti ch an n el-M ulti phase deng an Adanya Balkin dan Ren egi
Elis Ratna Wulan Preferensi dan Anatisis Pembentukan Portofolio Optimal Proyek Menggunakan Teori Camp Efficient Frontier Eti Kumiati dan lcih Sukarsih lndustri Sepatu Analisis Pengaruh Karafteristik Usaha Kecil Terhadap Efisiensi Cibaduyut
81
72
Elis Ratna Wulan
Menurut Jogiyanto (2009), CAPM dapat digunakan untuk r.::.: -* return suatu sekuritas. Asumsi-asumsi yang digunakan di model CAP\i ::: ' semua investor mempunyai cakrawala satu periode yang sama, (2.; sei---: - : melakukan pengamatan keputusan investasi berdasarkan pertimbangar::--'- - return yang ekspektasi dan deviasi standar retunr dari portofoliony a. -i , * * investor memiliki harapan yang seragam terhadap faktor-faktor input ) a;:; : : untuk keputusan portofolio, (4) semua investor dapat meminjamka: :: -- r dananya atau meminjam sejumlah dana dengan jumlah yang tidak lerr:.-, i ' tingkat suku bunga bebas resiko, (5) penjualan pendek diijinkan, (6) s.. -, * dapat dipecah-pecah menjadi bagian yang lebih kecil dengan tidak ::.r::, semua aktiva dapat dipasarkan secara likuid sempurna, (8) tidak ada bia..'::,- * (9) tidak terjadi inflasi, (10) tidak ada pajak pendapatan pribadi, (11) inr 3s..: --- ,penerima harga, dan (12) pasar modal dalam kondisi ekuilibrium.
Model CAPM dikembangkan oleh Harry Markowitz pada
t :.. .:..-
Berdasarkan keseimbangan alami antara resiko dan return dari setiap in
diberikan, Markowitz membentuk teori untuk presifikasi aset. Ide ut:.r:.; adalah effi c ient portfol io frontier.
q.)
--
;
Tangency Portlolio
q) q)
N
r.-.-1
nsk free rate
Best possible CAL Standard Deviation
Gambar
1
Efficient Frontier
Sebagaimana dijelaskan pada gambar 1, setiap kombinasi aset yang i:---
=' '
dapat diplot dalam ruang risiko-return, dan kumpulan semua portorc.:- --: mungkin didefinisikan di ruang ini. Garis sepanjang tepi atas dari daerah in. : " .-sebagai perbatasan efisien (kadang-kadang "perbatasan Markowitz"). K.:: -' sepanjang garis ini mewakili portofolio (secara eksplisit tidak termasuk a.:=.-,bebas risiko) yang terendah risikonya untuk suatu tingkat pengembalian. Seb. ,-- * dengan jumlah resiko tertentu, portofolio terletak di perbatasan efisie:. . r = merupakan kombinasi penawaran keuntungan terbaik.
Jumal Matematika Vol.10 No.l Nopemba 2011
74
Elis Ratna Wulan
b.
Hitung resiko maksimum yang berhubungan dengm
c-
Hitung return maksimal untuk tingkat resiko
maksimum (yang dihitung
affin
berdasarkan
sebelumnya);
d.
Menghubungkan
titik-titik melalui smoothed currt-
diplot. Misalkan, hanya dua proyek dalam portofolio, rumusnlr f; Et."5y5
f::,".J
:
:
fi
Pf1
x1
=
.8ef3.":t1
io1r1); -,,6rr3i: .- ?o1r3r1xror..
di mana, Retp6nl adalah retum oportr adalah
portofolio
resiko portfolio
Ret1, Ret2 adalah return masing-masing proyek o1, o2 adalah resiko proYek-ProYek p1,2
adalah indeks korelasi di antara proyek-proyek dan
xr,xzadalah tingkat partisipasi pada setiap proyek Frontier tidak menonjolkan satu titik sebagai optimal, teapi rr1 resiko dan retum. Teori Preferensi memungkinkan untuk mencqbagi proyek.
2.
Fungsi Utilitas, Ekivalensi Ketidakpastian dan CAPM
Penggunaan fungsi utilitas pada proyek yang mengalokasih sama dengan modal adalah risk aversion, yaitu semakin besar resiko-: nilai tambah yang dirasakan oleh pembuat keputusan. Di sisi lair perusahaan teknologi baru cenderung risk prono. Salah satu cara mudah untuk mengukur hubungan ini adatah Fungsi utilitas cenderung mengikuti bentuk dasar yang ditunjukkan
Jumal l,latenralika Vol.10 No.l Nopember 201
1
76
Elis Ratna Wulan
Ketika beberapa proyek sedang dipertimbangkan penyederhanaan br_r_u dapat dilakukan:
EoC{-Pori;ri
:
tr1"
-i"=1 \ RI
di mana, EV adalah yang diharapkan dari portofolio o2 adalahvarians dari portofolio R adalah toleransi resiko
Menggunakan rumus di atas untuk nilai yang berbeda dari R. ber,.: ekivalensi ketidakpastian optimum dicapai. Setelah resiko toleransi ditenr:-. --. masalah seleksi portofolio ternyata menjadi masalah yang sederhana.
3.
Contoh Kasus
Misalkan investor memiliki empat pilihan berikut, proyek A, B, C dai: sebagai pilihan investasi yang memiliki karakteristik (biaya pengembangan. re:-dan risiko diberikan dalam miliar rupiah).
Projects
Project
Development Costs
A
300
B
200
C
180
D
130
Return
300 250 220 60
Risk 60 50
40 10
Gambar 3 Ringkasan Proyek
Misalkan juga bahwa perusahaan ini dapat berinvestasi sampai 400 mii::: rupiah dan kelonggaran anggaran minimum untuk proyek ini adalah 20 miliar rupi::: Mengikuti langkah-langkah yang disebutkan sebelumnya, relasi resiko-retum dape dioptimalkan. Efficient frontier ditunjukkan pada grafik pada gambar 4, deng-: indikasi resiko dan return untuk empat proyek secara individual.
Jumal lvhtematika Vol.'10 No.1 Nopemba2Cl'1
r{ :ir5t-i![ ;r:-]ll q
I Id
78
Elis Raha Wulan
Seiring meningkatnya resiko, proyek D cenderung ditinggalkan dan prcltt C B dan cenderung meningkatkan partisipasi hingga i00%. Metode CAPM saryil berguna dalam seleksi portofolio. Untuk mencapai resiko dan return setiap prolEl
.l'
umumnya analisis resiko yang lebih luas harus dibuat sebelumnya.
Efficient frontier diplot mempertimbangkan portofolio empat proleL Sekarang tujuan dari optimisasi adalah untuk memaksimalkan ekivalensi ketidakpastian dengan mengubah tingkat partisipasi dalam empat proyek. Tabel 2 menunjukkan, untuk toleransi resiko yarig berbeda, resiko dan
dicapai, serta tingkat partisipasi pada empat proyek, dan alokasi modal portofolio.
reun
dalil
T abel 2 Toleransi Resiko
Risk R:5
24.53
Return 260.6f
-JIl
o/oA.
304.37
20.8
25.0
3+.4
100.0
-'1
39.7
54.3
100.0
I
q
o/oB
'/oc
o/oD
R: l0
36.20
371.57
400.00
30.9
R:20
51 .91
463.7 |
400.00
42.9
61.1
82.9
0,0
R=d0
54.23
471.92
400.00
Jl i
70.0
92.2
0.0
R=60
57.70
479.76
400.00
20.3
79.5
100.00
0.0
R=80
61.29
485.85
400.00
12.2
91.7
100.00
0.0
R=100
64.16
490.00
400.00
6.7
100.00
100.00
0.0
R:200
64.16
490.00
400.00
6.7
100.00
100.00
0.0
R=300
64.16
490.00
400.00
6.7
100.00
100.00
0.0
R=400
64.16
490 00
400.00
67
100.00
100.00
0.0
[lG
i
1
e6={
,j.,q="-t-l
{. EJ
{
@cid{
cd ;{
r*i t EElq Fd
I
Melampaui toleransi resiko 100 miliar rupiah, titik ambang dicapai. Tidak la$i dapat ditamUatrtcan resiko atau retum pada portofolio ini. Hanya toleransi resiho terkecil, 5 miliar rupiah, tidak menggunakan semua modal yang tersedia. Dalam grafik pada gambar j, efficient frontier, empat proyek dan seleksi portofolio untuli R bervariasi dari 5 sampai 100 miliar rupiah ditampilkan-
14-t iE sl
1 ,!
-{g I
hrdl -1
=4i md
Jumal &htematika Vol.10 No.1 Nopember 201
I
80
Elis Raha Wulan
Daftar Pustaka
tl]' t21.
De Jong, T-J., dkk. optimization Models, cambridge University press.
Hartley, M.J. (199s). Marlawitz Models of portfurio selection: Prablem.
t3l.
Michailidis, G., dkk. (2006). Testing The capital Asset pricrng (GAPM): The case of The Emerging Greek securities Ma*ey hten
Research Journal of Finance and Economics 2AA6; 4; 7g
l4l.
l5l.
TI*
-
91.
Motta, R., dkk. (2001). Combining preferences Theory and CApM Frontier: Towards An optimum portfolio of upstream projects. san
Sukarno,
M.
QA\T. Analisis Pembentukan Portfulio Optimot di Bursa Efek Jakarta,
Menggunakan Metode Single Indelrs Diponegoro, Semarang.
t6l.
Tesarone,
F., dkk. (2010). Portfulio serection problems in
prm*s
comparison Between Linear and Quadratic optimization Models, Roma_
1
Jumal lvhtemalika Vol.10 No.1 Nopember 201'l
Volume 10 Nomor Nopember 201 1
1
ISSN: 1412-5456
MATEMATIKA PENANGGUNG JAWAB M. Yusuf Fajar, Drs., M.Si. (ex. officio Dekan Fakultas MIPA UNISBA)
KETUA PENYUNTING Gani Gunawan, S.Si., M.Si. PENYUNTING PELAKSANA Yani Ramdhani, Dra., M.Pd. Eti Kumiati, Dra., M.Si. Onoy Rohaeni, Dra., M.Sc. Didi Suhaedi, S.Si., M.Kom. Yurika Permanasari, S.Si., M.Kom. Farid Hirji Badruzzaman, Drs. Erwin Harahap, S,Si., M.Sc. lcih Sukarsih, S.Si., M.Si.
SEKRETARIAT Tinne Susiana Mastur, S.Pd.l.
PENGANTAR REDAKSI Bismillahirrahmanirrahim Assalamu'alaikum Wr. Wb. Dengan mengucapkan Alhamdulillah, segala puji dan
syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT bahwa Jurnal Matematika volume 10 No.1 ini dapat terbit di hadapan pembaca.
Seluruh artikel yang dimuat pada edisi kali ini merupakan hasil penelitian, analisis dan studi literatur di bidang matematika dan terapannya, yang sebagian besar ditulis oleh para dosen matematika di luar Unisba, Keseluruhan artikel yang disajikan pada edisi kali ini diharapkan dapat menambah wawasan pemikiran dan pengetahuan di bidang kajian matematika dan
menambah wawasan penerapan matematika di bidang ilmu lainnya bagi para pembaca.
Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada pa:'a ALAMAT REDAKSI Program Studi Matematika FMIPA UNISBA Jl. Purnawarman No. 63 Bandung 401 1 6 e-mail :
[email protected] Telp. (022)4203368 Pes.1 36 fax. {a22144o678
penulis yang telah mengirimkan artikelnya yang dimuat dalam jurnal terbitan kali ini. Kami mengharapkan para peneliti di bidang matematika dapat megirimkan hasil penelitiannya untuk dimuai pada Jurnal Matematika edisi berikutnya. Wassalamu'alaikum Wr. Wb.
Redaksi
.hrnai Matematika Vol.'|0 ilovember 2011 [i1 :80]
No.1
ANALISIS PEMBENTUKA}I PORTOFOI.IO OPTIMAL PROYEK MENGGTTNAKAI\ TEORI PREFERENSI I DAN CAPM EFFICIf,NT FRONTIER Elis Ratna Wulan Jurusan Matematika Universitas Islam Negeri Sunan Gunung
Djati Bandung
e-mail:
[email protected]
Abstrak Makalah ini menyajikan hubungan antaraalat optimasi.numerik ypng diaplikasikan pada investasi dan teori preferensi, menggunakan fungsi risk avertion, dalam pembentukan portofolio optimum proyek. Proyek memiliki ketidakpastian yang tinggi dihubungkan dengan return atau keuntungan investasi. Oleh karena itu perlu dicari alat yang dapat mengidentifikasi dan mengurangi resiko. Lebih jauh makalah ini menyajikan CAPM (Capital Asset Pricing Model) dan teknik analisis resiko yang diaplikasikan pada proyek sehingga terlihat integrasi antara CAPN{ dan analisis resiko melalui teori preferensi menggunakan fungsi utilitas dan konsep ekivalensi kepastian. Kata kunci:" CAP M.
P ortofolio
optimal
Abstract This paper presents the relationship between numerical optimization tool is applied to the invesftnent and the theory of preference, using a risk function avertion, in the
formation
of optimum portfolio of
prpjects. The project has
a high uncertainty
necessary to find a tool that can identify and reduce risk. Furthermore, this paper presents the CAPM associated with the return or return on investment.
It is therefore
(Capital Asset Pricing Model) and risk analysis techniques are applied to the project so that it looks the integration between the CAPM and risk analysis through the theory of preferences using utility functions and the concept ofcertainty equivalonce.
Keywords: CAPM. optimal Po*folio
l-
Pendahuluan
Definisi dari Capital Asset Pricing Model (CAPM) menurut Keown et. al. (2005) adalah:
"An equation stating that the expected rate of return on an investment is a furtion of the riskfree rote, the investment's systematic risk, and the expected risk pemiumfor the market portofolio of all risky securities".
Konsep CAPM pada umumnya berguna untuk mengkuantifikasikan h6ungan antira resiko dan retum. CAPM berfungsi menjelaskan tingkah laku dari hga-harga sekuritas dan memberikan mekanigme bagi investor untuk memiliki pmgaruh suatu sekuritas terhadap resiko dan retum-
.
Analisis Pernbentukan
Fortoffio
73
Secara matematis Frontier Efisien adalah persimpangan Himpunan Portofolio
dengan Varians Minimum dan Himpunan Portofolio dengan return maksimum. Perbatasan efisien digambarkan di gambar 1, dengan pp return pada sumbu y, dan op risiko pada sumbu-x. Perbatasan efisien akan cembung - ini karena karakteristik laba-risiko dari perubahan portofolio non-linear sebagai bobot komponen berubah. (Seperti dijelaskan di atas, risiko portofolio adalah fungsi korelasi dari komponen aset, dan dengan demikian perubahan non-linear sebagai bobot perubahan komponen aset.) Perbatasan efisien adalah sebuah parabola (hiperbola) ketika hasil yang diharapkan diplot terhadap varians (standar deviasi). Daerah di atas perbatasan tidak mungkin dapat dicapai dengan memegang aset berisiko saja. Tidak ada portofolio dapat dibangun sesuai dengan poin di daerah ini. Poin di bawah perbatasan adalah suboptimal. Seorang investor yang rasional akan memega,ng portofolio hanya di wilayah perbatasan.
Dalam setiap proyek atau investasi di mana ketidakpastian terlibat, return 5rang diberikan oleh rata-rata bersih nilai saat ini atau tingkat pengembalian intemal yang dihitung melalui sejumlah iterasi yang cukup besar untuk pendekatan hasil ratarata dengan nilai yang diharapkan dari investasi atau proyek.
Resiko dianggap sebagai dispersi hasil dari pengukuran return.
Pada
rryrumnya, deviasi standar digunakan dengan asumsi bahwa distribusi data adalah mungkin dipahami normal atau lognormal. Meningkatnya retum juga berarti resiko hbih besar, ini merupakan fakta alami. Model Markowitz menggambarkan hal trsebut dengan sangat baik, dengan efficient frontier dari portfolio.
Bekerja dengan angka yang diberikan oleh proyek, dan menggunakan teberapa pembatasan, seperti modal yang tersedia untuk diterapkan dalam portofolio, dalah mungkin untuk membangun efficient frontier. Pengoptimalan linier atau non linier merupakan komponen penting untuk mlusi dari masalah ini. Dalam hal ini pengoptimasi bekerja melalui metode steep descent, yaitu memodifiksi parameter dalam arah berlawanan dari pertumbuhan
fugsi
kesalahan.
Beberapa karakteristik dari proyek khususnya industri minyak terlibat dalam
sering membuat joint venture untuk nenyelesaikan proyek. Misalkan resiko maksimum yang akan diambil sebuah pusahaam, fungsi tujuan adalah untuk memaksimalkan return yang diberikan 6ng* pembatasan modal maksimum untuk diinvestasikan. Opimisasi dibuaat dengan mengubah tingkat partisipasi dalam setiap proyek (dari 0oZ sampai 100%).
nasalah
ini. Di sektor ini, perusahaan
Langkah-langkah berikut diperlukan untuk komposisi effi cient frontier:
a.
Tentukan resiko yang lebih kecil dari investasi minimum dan retumnya;
Jumal Bhbmafta Vol.10 No.1
l'loperta20ll
Analisis Peiltentuka
Fortofulb
75
Gambar 2 Fungsi Utilitas
Dari gambar 2, U(X) berarti utilitas investasi dan EV(X) adalah nilai yang diharapkan dari investasi yang sama, asumsikan resiko (standar deviasi) adalah proposional.
di mana sejumlah Memaksimalkan berresiko. investasi untuk pembuat keputusan akan membayar ekivalensi kepastian ini berarti memaksimalkan nilai investasi untuk pernbuat keputusan. Investor risk averse diharapkan memiliki ekivalensi ketidakpastian yang Ide ekivalensi kepastian berasal dari fungsi utilitas,
kurang dari nilai harapan dari bisnis yang dievaluasiPenggunaan fungsi utilitas eksponensial untuk ekivalensi ketidakpastian berdasarkan rumus berikut ini:
/
-l-t\ t,s!+pre-':'i'1'\ '.n;1 EnCi.r)-RInlpre -\J V1 adalah nilai keuangan investasi
1
Vz adalah nilai keuangan investasi 2 p1 adalah probabilitas dari peristiwa
1
p2 adalah probabilitas dari peristiwa 2
R adalah toleransi resiko. Menggunakan nilai R ini, ekivalensi kepastian dapat dihitung untuk investasi. Toleransi ."iit o yang lebih rendah berarti preferensi resiko bisnis yang lebih rendahJika toleransi resitco diketahui, maka mungkin untuk menghitung alokasi modal erbaik untuk portofolio.
Jumal ilhterna$ra Vd.10 No.l Nopen$er20ll
77 Analisis Pembeltukan FortofCio
Efficient Frontier 600 500 400 L
:
300
G'
200 100
0
Risk
Empat Proyek Gambar 4 Efficient Frontier untuk
return juga meningkat' Frontier Meningkatkan tingkat - minimal' hasil oun t"tutl. Tabel 1 menyajikan mencerminkan hubungan optimal ?nYrur.rito tingkatan partisipasi setiap pilihan' untuk optimisasi pada'Jiiui titir. Tabel
l
OPtimisasi
Portf. Cost 0.72
11.29
20.00
0.98
12.83
0.69
1.32
IM.I8
5.88
9.69
42.31
8l .96
7.05
7.60
10.73
77.28
190.28
17.71
149.7
|
12.88
13.89
t6.29
100.00
266.38
26.89
216.9l
19.55
20.17
22.78
100.00
320.68
37.59
279.39
27.34
26.45
100.00
372.71
29.N
47.85
339.25
34.79
32.74
33.03
80.-12
400,00
60.1 3
289.89
44.14
)9.02
39.47
400.00
38.24
7l
427.28
52.63
45.30
400.00
43.O7
82.09
462.01
60.50
51.59
400.00
80.17
100.00
480.09
19.89
57.87
400.00
100.00
100.00
490.00
6.61
64.16
.50
llo'1 Nopember 201 Jumal llhtematla Vol'1 0
1
j
