ALJABAR LINEAR : MATRIKS
MATRIKS ======PENGERTIAN====== Matriks merupakan Susunan bilangan-bilangan yang membentuk segi empat siku-siku. Susunan bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Matriks dinotasikan dengan huruf besar yaitu A,B,C, ... sedangkan entri dinotasikan dengan huruf kecil yaitu , , … atau , , , … . Contoh : 1 2 , 3 4
,
ℎ ,
ℎ
Misalkan A adalah suatu matriks yang terdiri dari m buah baris dan n buah kolom, maka matriks A mempunyai orde/ukuran ( × ) dan !" merupakan elemen-elemen/unsur-unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A maka secara lengkap sebuah matriks × dapat ditulis dengan ⋯ & ⋯ & (*) #= ⋮ ⋮ ⋮ atau ) !" *(×& ( ( ⋯ (& dimana = elemen matriks = 1,2,3, . . . , , = 1,2,3, . . . ,
======MACAM-MACAM MATRIKS====== ~~Matriks Kuadrat~~ Jika baris sama dengan kolom maka matriks tersebut dinamakan matriks kuadrat. Karena jumlah baris sama dengan jumlah kolom maka matriks kuadrat dikatakan berorde . Orde/ukuran dari matriks dapat ditulis × atau . ⋯ & ⋯ & ⋮ ⋮ ⋮ atau ) !" *&×& & & ⋯ && , , ,, , … , && merupakan diagonal utama matriks. 2 0 3 1 2 , 1 2 4 3 4 5 6 4 ~~Matriks Identitas~~ Matriks kuadrat yang setiap barisnya mempunyai satu utama atau , , ,, , … , && = 1 sedangkan entri lain adalah nol. Matriks identitas dinyatakan dengan 0. By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd |
1
ALJABAR LINEAR : MATRIKS 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 , 10 0 1 02 1 0 0 0 1 ~~Matriks Nol~~ Matriks yang semua entrinya adalah nol. Matriks nol dinyatakan dengan 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 ~~Matriks Diagonal~~ Matriks kuadrat yang entri-entri selain diagonal utamanya adalah nol. 2 0 0 4 0 0 3 0 , 0 9 0 0 5 ~~Matriks Segitiga Atas~~ Matriks kuadrat yang entri di bawah diagonal utamanya adalah nol. 2 3 1 6 3 2 6 3 1 , 0 4 1 , 10 5 7 92 0 0 4 1 0 4 0 0 5 0 0 0 8 (akan dibahas lebih lanjut pada pembahasan determinan) ~~Matriks Segitiga Bawah~~ Matriks kuadrat yang entri di atas diagonal utamanya adalah nol. 2 0 0 0 3 0 0 3 0 , 1 4 0 , 13 5 0 02 1 7 4 0 2 4 2 6 5 4 9 3 8 (akan dibahas lebih lanjut pada pembahasan determinan) 1 0 1 0 , 0 1 0 1 0 0
======OPERASI PADA MATRIKS DAN SIFAT-SIFATNYA====== ~~Penjumlahan Matriks~~ Pengertian Jika # dan 6 adalah sebarang matriks yang berukuran sama, maka # + 6 diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada kedua matriks. Contoh : Perhatikan matriks-matriks berikut ini. 2 4 3 4 1 2 ,8 = 6 ,6 = #= 8 5 6 3 4 10 12 Tentukan : a. # + 6 b. 6 + 8 By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd |
2
ALJABAR LINEAR : MATRIKS 1+3 2+4 4 6 3 4 1 2 = = + 3+5 4+6 8 10 5 6 3 4 1+2 2+4 2 4 1 2 + 6 #+8 = 8 = 3 + 6 4 + 8 = matriks tidak terdefinisi 3 4 ? +10 ? +12 10 12 Matriks–matriks dengan ukuran berbeda tidak bisa dilakukan operasi penjumlahan. Sifat operasi penjumlahan pada matriks: 1. Sifat komutatif : # + 6 = 6 + # 2. Sifat asosiatif : # + :6 + 8; = :# + 6; + 8 # dan 6 adalah matriks berukuran × . ~~Perkalian Matriks Dengan Konstanta~~ Pengertian Jika # adalah sebuah matriks dan adalah suatu skalar maka # diperoleh dengan mengalikan seluruh entri dari matriks # dengan . Contoh : Carilah 2# dengan A adalah matriks berukuran 3 × 2. 2 4 #= 6 8 10 12 Jawab : 2 4 2×2 2×4 4 8 2# = 2 6 = = 8 2×6 2×8 12 16 10 12 2 × 10 2 × 12 20 24 Sifat operasi perkalian matriks dengan konstanta: 1. :−1;# = −# Akibat dari sifat 1 adalah # + :−6; = # − 6 :# + 6; = # + 6 2. :# − 6; = # − 6 3. 4. : + ;6 = 6 + 6 5. : − ;# = # − # 6. : ;6 = : 6; Dengan , adalah skalar (anggota bilangan real), # dan 6 adalah matriks berukuran × . ~~Perkalian Matriks~~ Pengertian Jika A adalah matriks yang berukuran × = dan B adalah matriks yang berukuran = × maka #6 adalah matriks berukuran × yang entrientrinya diperoleh dengan ketentuan: pilihlah baris dari matriks # dan Jawab:
#+6 =
By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd |
3
ALJABAR LINEAR : MATRIKS kolom dari matriks 6 kemudian kalikan entri-entri yang bersesuaian dan jumlahkanlah hasil kali tersebut. Contoh : Perhatikan matriks berikut ini.
Hitunglah #6! Jawab:
1 2 1 0 3 # = 3 0 ,6 = 4 1 6 4 5
2 5
1 2 1 0 3 2 #6 = 3 0 4 1 6 5 4 5
Matriks # berukuran 3 × 2 dan matriks 6 berukuran 2 × 4 maka matriks hasil kali #6 berukuran 3 × 4. Matriks Matriks Matriks > × ? = >? @×A 2×4 = 3×4
:1 × 1; + :2 × 4; :1 × 0; + :2 × 1; :1 × 3; + :2 × 6; :1 × 2; + :2 × 5; 1:3 × 1; + :0 × 4; :3 × 0; + :0 × 1; :3 × 3; + :0 × 6; :3 × 2; + :0 × 5;2 :4 × 1; + :5 × 4; :4 × 0; + :5 × 1; :4 × 3; + :5 × 6; :4 × 2; + :5 × 5; 1 + 8 0 + 2 3 + 12 2 + 10 9 2 15 12 = 3+0 0+0 9+0 6+0 = 3 0 9 6 4 + 20 0 + 5 12 + 30 8 + 25 24 5 42 33 Sifat Perkalian Matriks : Sifat Asosiatif : #:68; = :#6;8 Dengan #, 6 dan 8 adalah matriks berukuran × . Pada operasi perkalian matriks, sifat komutatif tidak berlaku. ~~Sifat-Sifat Operasi Lainnya Pada Matriks~~ A Misalkan adalah skalar (anggota bilangan real), #, 6 dan 8 adalah matriks berukuran × maka 1) #:6 + 8; = #6 + #8 2) :6 + 8;# = 6# + 8# 3) #:6 − 8; = #6 − #8 4) :6 − 8;# = 6# − 8# 5) :68; = : 6;8 = 6: 8; B Misalkan A adalah suatu matriks yang mempunyai ukuran sedemikian rupa sehingga dapat dilakukan operasi atasnya maka
By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd |
4
ALJABAR LINEAR : MATRIKS 1. # + 0 = 0 + # = # 2. # − # = 0 3. 0 − # = −# 4. 0# = #0 = 0 Ket : 0 adalah matriks nol
C Perpangkatan pada Matriks Jika matriks A adalah matriks yang berukuran × (matriks kuadrat), maka pangkat-pangkat bilangan bulat tak negatif dari matriks A dapat didefinisikan #B = 0 #& = ## ⋯ # >0 n faktor
Misalkan A adalah matriks kuadrat, r dan s adalah bilangan bulat, maka 1. #C #D = #CED 2. :#C ;D = #CD Contoh: Misalkan A adalah matriks yang berukuran 2 × 2. Hitunglah: # , #, ! Jawab : 1 2 # = ## = 1 3 1+2 = 1+3
#=
1 2 1 3 2+6 3 8 = 2+9 4 11 3 8 1 2 = #, = ### = # # = 4 11 1 3 1 2 3 8 = ## = = 1 3 4 11
1 1
2 3
3 + 8 6 + 24 11 30 = 4 + 11 8 + 33 15 41 3 + 8 8 + 22 11 30 = 3 + 12 8 + 33 15 41
======TRANSPOS MATRIKS DAN TRACE MATRIKS====== ~~Transpos Matriks~~
Pengertian Jika A adalah matriks yang berukuran × , maka matriks transpos A adalah matriks yang berukuran × di mana kolom pada matriks A menjadi baris bagi matriks transpos A. Matriks transpos A dilambangkan dengan #F . By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd |
5
ALJABAR LINEAR : MATRIKS Contoh : Hitunglah #F , 6 F dan 8 F serta tentukan ukuran matriksnya jika diberikan matriks #, 6 dan 8 berikut ini. 1 1 4 #= 2 ,6 = 5 3 3 8 6 Jawab : #F = H1 2 3I 1 5 8 6F = 4 3 6 Sifat-Sifat Matriks Transpos Misalkan A dan B adalah matriks yang mempunyai ukuran sedemikian rupa sehingga dapat dilakukan operasi atasnya, maka 1. :#F ;F = # 2. :# + 6;F = #F + 6 F 3. : #;F = #F , adalah sebarang skalar. 4. :#6;F = 6 F #F ~~Trace Matriks~~ Pengertian Jika A adalah matriks kuadrat, maka trace matriks A dinyatakan dengan tr:#; yang dapat didefinisikan dengan menjumlahkan entri-entri pada diagonal utama matriks. Contoh : Perhatikan matriks-matriks berikut ini. 1 1 2 5 6 −2 4 1 3 , 6 = 0 1 3 , 8 = 12 3 0 12 #= 3 5 6 7 2 5 7 7 5 2 2 4 6 1 3 3 2 5 J = 3 4 ,K = 9 1 2 8 9 Hitunglah tr:#;, tr:6;, tr:8;, dan tr:J;! Jawab : tr:#; = 1 + 5 = 6 tr:6; = 6 + 1 + 5 = 12 tr:8; = 1 + 3 + 6 + 6 = 16 tr:J; dan tr:K; tidak ada karena bukan matriks kuadrat. ======LATIHAN====== 1. Misalkan A , B, C, D dan E adalah matriks yang berukuran sebagai berikut: By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd |
6
ALJABAR LINEAR : MATRIKS
2.
3.
4.
5.
A B C D E 4×5 4×5 5×3 4×3 5×4 Tentukanlah yang mana di antara pernyataan matriks berikut yang didefinisikan. Untuk matriks-matriks yang didefinisikan, berikanlah ukuran matriks yang dihasilkan. (a) #6 (b) 68 + J (c) :6 + #;K (d) #J + 8 F F F (e) :6 + K;J (g) :K + #;8 (f) K 6 (h) 8 F K + J Misalkan −3 −1 3 0 1 5 2 4 −1 # = −1 2 , 6 = −1 1 0 , 8 = 2 1 ,J = 2 0 4 3 1 1 −4 1 3 Yang manakah di antara matriks-matriks berikut ini yang terdefinisi. :# + 6;, :# + 8;, #6, 6#, 8J, J8 Tinjaulah matriks-matriks. 3 0 1 4 2 4 −1 8= # = −1 2 6= 3 1 5 0 2 1 1 6 1 3 1 5 2 = −2, = 3 J = −1 1 5 K = −1 0 1 4 1 3 3 2 4 Hitunglah: (a) −3# (b) :#6;8 (c) :46;8 + 8 (d) J + K F F F (g) L=:J + :#8; ; (h) L=:8 F 6; (e) : K; (f) :68; + # Misalkan 3 −1 4 #= 2 6 4 3 7 1 , a. Carilah matriks # dan # ! b. Tentukan :# − 0; ! 2 3 ,6 = Diketahui M dan N adalah suatu skalar, matriks # = −1 −2 6 12 dan # = M ∙ # + N ∙ 6. Carilah nilai M ∙ N ! −4 −10 ======SELAMAT BEKERJA======
By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd |
7
