Rendszerelmélet II – Laboratóriumi gyakorlat -3
Állapotteres leírás A gyakorlat célja A rendszerek állapotteres leírásának bevetése jelentette a modern rendszerelmélet kezdetét. A gyakorlat célja bevezetni az állapotegyenletek fogalmát, megvizsgálni a különböző rendszerleírások közötti összefüggéseket, elemi koordináta transzformációk ismertetése valamint a szimulációs diagramok és az állapotteres leírás közötti összefüggések tanulmányozása. A feladatok valós rendszerek modellezése alapján ismertetik az állapotegyenletek módszerét.
Állapotteres leírás elméleti bevezető Számos tudományos és mérnöki terület használja dinamikus rendszerek leírására az úgynevezett állapotegyenleteket. Az állapotteres leírás szükségességét többféle módon származtatják. Talán a legegyszerűbb annak a felismerése, hogy bonyolult dinamikus rendszerek igen széles osztályának működését viszonylag nagy pontossággal modellezhetjük elsőrendű vektor differenciál egyenlettel amely ebben az esetben, egyszerűbb formában felírva dx d x(t ) = A⋅x + B⋅u = x& ( t ) = f ( x, u ) vagy LTI alakban dt dt y = g ( x, u ) y = Cτ + D ⋅ u Az állapotváltozónak nevezett x vektor a skalár x i komponenseket (állapotokat) rendezi vektorba. Az u a rendszer bemenő, az y pedig a kimenő jele. Állapotegyenlet – átviteli függvény transzformáció: x& = A ⋅ x + B ⋅ u s ⋅ X (s ) = A ⋅ X (s ) + B ⋅ U (s ) ⇒ y = C ⋅ x + D ⋅u Y (s ) = C ⋅ X (s ) + D ⋅ U (s )
(s ⋅ I − A) ⋅ X (s ) = B ⋅ U (s ) ⇒ X (s ) = (s ⋅ I − A)−1 ⋅ B ⋅ U (s ) −1 Y (s ) = [C ⋅ (s ⋅ I − A) ⋅ B + D ]⋅ U (s ) Átviteli függvény:
H (s ) =
Y (s ) −1 = C ⋅ (s ⋅ I − A) ⋅ B + D U (s )
Differenciál egyenlet – állapotegyenlet transzformáció: y ( n) (t ) + a n−1 ⋅ y ( n−1) (t ) + a n −2 ⋅ y ( n− 2) (t ) + K + + a 0 ⋅ y (t ) = u (t )
1
Rendszerelmélet II – Laboratóriumi gyakorlat -3 x1 (t ) = y (t ) x 2 (t ) = x&1 (t ) = y& (t ) x3 (t ) = x& 2 (t ) = &y&(t ) KKKKK x n (t ) = y ( n ) (t )
x& n (t ) = y ( n − ) (t ) = u (t ) − a n−1 ⋅ y ( n −1) (t ) − a n −2 ⋅ y ( n −2 ) (t ) − K − a 0 ⋅ y (t ) x&1 (t ) = u (t ) − a n −1 ⋅ x n (t ) − a n − 2 ⋅ x n −1 (t ) − K − a1 ⋅ x 2 (t ) − a 0 ⋅ x1 (t ) x&1 (t ) 0 1 0 K 0 x1 (t ) 0 & ( ) ( ) x t 0 0 1 K 0 x t 0 2 2 ⋅ u (t ) + = K K K K K K K K x& = A ⋅ x + B ⋅ u x& n (t ) − a 0 − a1 − a 2 K − a n−1 x n (t ) 1 ⇒ x1 (t ) y =C⋅x x 2 (t ) y (t ) = (1 0 0 K 0 ) K x (t ) n
Példa MATLAB függvények az ismertetett transzformációkra: H (s ) =
1 s + s +1 [A, B, C , D] = tf 2ss (num, den ) [mun1, den1] = ss 2tf ( A, B, C , D ) Próba: step (num, den ); step ( A, B, C , D ); 2
Koordináta transzformációk Az állapotteres leírás nem egyedi, elemi transzformációkkal különböző rendszermátrixokat kapunk, sok esetben előnyös átírni például átlós alakra az A rendszermátrixot. Koordináta transzformáció általánosan: x& = A ⋅ x + B ⋅ u y = C ⋅ x + D ⋅u Legyen x = P ⋅ X
⇒ x = P −1 ⋅ x
2
Rendszerelmélet II – Laboratóriumi gyakorlat -3 A = P ⋅ A ⋅ P −1 x& = P ⋅ A ⋅ P −1 ⋅ x + P ⋅ B ⋅ u P −1 ⋅ x& = A ⋅ P −1 ⋅ x + B ⋅ u B = P⋅B ⇒ ⇒ −1 −1 −1 y = C ⋅ P ⋅ x + D⋅u y = C ⋅ P ⋅ x + D⋅u C =C⋅P D = D
Példa A következő transzformáció átlós alakot eredményez: 2 − 1 − 0.5 0.5 0 ; B = 3 ; C = (0 0 1); D = 0; A= 2 −3 1 2 − 1 − 2 H = ss ( A, B, C , D )
[V , ev] = eig ( A) , ahol V – sajátvektor és ev- sajátérték Pinv = V ⇒ P = inv(V ); Pinv = P −1 ; A p = P ⋅ A ⋅ P −1 Bp = P ⋅ B −1 Cp = C ⋅ P D p = D
⇒ átlós
alak
A kapott szimulációs diagramm:
MATLAB környezetben ugyanez:
[A , B
]
, C p , Dp = ss 2 ss ( A, B, C , D, inv (V )) vagy A p , B p , C p , D p = canon( A, B, C , D, ' mod al ') p
[
p
]
3
Rendszerelmélet II – Laboratóriumi gyakorlat -3
0 x1 x&1 − 1 0 x& 2 = 0 − 3 0 x 2 + 0 ⋅ u x& 0 0 − 2 x3 3 Figyeljük meg a következő fogalmakat: x3 - nem megfigyelhető y - on keresztül x 2 - nem vezérelhető u - n keresztül
Feladat 1. Adott a következő áramkör:
a) Írjátok fel a rendszer állapotteres egyenletét x1 = i(t ) x 2 = u c (t ); b) Szimuláljátok le különböző bemenetre. c) Írjátok fel a rendszerszimulációs diagramot! 2. Legyen a következő mágneses lebegtető rendszer:
A rendszer matematikai modellje felírható: d 2h K ⋅i2 M 2 = Mg − h dt di V = L + R⋅i dt A rendszer állandók:
4
Rendszerelmélet II – Laboratóriumi gyakorlat -3 M = 0.05kg K = 0.0001 L = 0.01H R = 1Ω g = 9.81m / s 2 Linearizáljátok az egyenleteket a h=0.01m körül és írjátok fel a rendszer állapotteres modelljét(Ebben a pontban az áramerősség 7A). Vizsgáljátok meg a rendszer válaszát •
egységugrás illetve egységimpulzus bemenetre.( x = [∆h ∆h ∆i]; u = ∆V; y = h; ). Útmutató: A linearizáláshoz használd a következő összefüggést: ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) ∆x + f ( x, y ) = f ( x 0 , y 0 ) + ∆y ∂x ( x 0, y 0) ∂y ( x 0 , y 0 ) Linearizálandó függvény: f (i, h) =
i2 h
Az egyensúlyi pontban: i02 d 2 h0 M = 0 = Mg − K h0 dt 2 Az eredmény: 0 x1 d K i02 x2 = dt M h02 x3 0
1 0 0
0 x1 0 -K i0 x2 + 0 u M h0 x3 1 R L - L
Kérdések 1. Miért hasznos az állapotegyenletek bevezetése? Mi a hátránya és előnye az átviteli függvényekkel való leírással szemben? 2. Mi az összefüggés az átviteli függvények pólusa és a rendszermátrix sajátértékei között? 3. Mit jelent az irányíthatóság és megfigyelhetőség fogalma egy állapot esetében? 4. Miért nemlineáris a mágneses lebegtető rendszer dinamikáját leíró egyenlet?
5
