1. Számsorozatok és számsorok Konvergencia, korlátosság, monotonitás, Cauchy sorozatok, pozitív tagú sorok, konvergencia-kritériumok, Leibniz típusú sor. Végtelen számsorozat Olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete számhalmaz. Vagyis, meghatározott sorrendbe rendezett végtelen sok számból áll: ,
, … vagy {
,… ,
} ahol
= 1, 2, …
A számsorozatban lévő számok a számsorozat tagjai. A tagok között lehetnek egyenlők is. Egy számsorozatot akkor tekintünk adottnak, ha ismerjük a képzési szabályt, amely szerint a sorozat tetszőleges tagját fel tudjuk írni. Rendszerint az an általános tag alakját adjuk meg. Tulajdonságok ha {
} és {
{
} számsorozatok, illetve
}={
{
};
∈ ℝ.
}±{
}={
±
};
{
}{
}={
};
{
}
{
}
=
, ha {
} ≠ 0.
Monotonitás Az mondjuk, hogy az { } számsorozat monoton növekvő (csökkenő), ha minden ≥ 1 egészre igaz, ( hogy ≥ ≤ ) . Ha az egyenlőség nem megengedett, akkor szigorúan monoton növekvő (csökkenő) számsorozatról beszélhetünk. Korlátosság Az { } számsorozatot alulról (felülről) korlátosnak nevezzük, ha van olyan K szám, hogy minden ≥ 1 egészre igaz, hogy ≥ ( ≤ ). Ahol a K szám, a számsorozat alsó (felső) korlátja. Ha nem létezik ilyen K szám (korlát), akkor a számsorozat nem korlátos. Konvergencia és határérték (limesz) Az { } számsorozatot konvergens és határértéke (limesze) az A szám, ha minden > 0 számhoz létezik, olyan N szám, hogy > esetén | − | < . Az N számot küszöbszámnak nevezzük. Jelölés: → , illetve lim = → Konvergencia tételek Minden konvergens számsorozat korlátos és csak egy határértéke van. Ha a számsorozat monoton növekvő (csökkenő) és felülről (alulról) korlátos, akkor van határértéke. Ha minden n-re igaz, hogy ≤ ≤ és → és → , akkor → . (Rendőr-elv) Ha → +∞ vagy → −∞, akkor → 0. Műveletek ha {
} és {
} konvergens számsorozatok, és
lim (
lim (
lim (
) = lim
lim
=
→ → → →
) = lim
=
→
) = lim
±
→
→
→ →
ahol ± lim →
∙ lim
=
→
= , ha lim →
→
és
→ .
∈ ℝ. =
± .
. ≠ 0 és egyetlen
sem nulla.
Divergencia A nem konvergens számsorozat divergens. A divergens számsorozatok között meg kell különböztetnünk azokat a számsorozatokat, amelyeknek tagjai egy bizonyos n-től kezdve akármilyen számnál nagyobbak (illetve akármilyen kis számnál kisebbek). Az ilyen számsorozatok határértéke végtelen (illetve mínusz végtelen). Jelölés: lim = ∞, illetve lim = −∞ . →
→
Végtelen sor Az {
} számsorozat
tagjaiból az +
+⋯+
+⋯=
formális összeget képezhetjük, és ezt végtelen sornak nevezzük. Az =
,
=
+
,…,
=
összegeket részletösszegeknek mondjuk. Ezek a részletösszegek is számsorozatot alkotnak. Konvergens és divergens sorok Konvergens sorról akkor beszélünk, ha a { } részletösszegek sorozata konvergens. Az = lim
=
→
határértéket és limeszt nevezzük a sor összegének, az -t pedig a sor általános tagjának. Ha ilyen véges határérték nem létezik, akkor a sor divergens sor. Ebben az esetben a részletösszegek minden határon túl növekedhetnek, vagy oszcillálhatnak. A végtelen sor konvergenciájának kérdése így visszavezethető az { } sorozat határértékének meghatározására. (Egy sor konvergenciájának szükséges, de nem elégséges feltétele, hogy a sor tagjainak a sorozata nullához tartson: lim = 0.) →
Pozitív tagú sorokra vonatkozó konvergencia-kritériumok Összehasonlító kritérium Ha az
+
+ ⋯+
+⋯=
és a
+
+ ⋯+
+⋯=
csak pozitív tagokat tartalmaz, és ha bizonyos k-tól kezdve ≥ , akkor az első sor konvergenciájából következik a második sor konvergenciája. Fordítva, a második sor divergenciájából következik az első sor divergenciája. d’Alembert-féle hányadoskritérium Ha az sorban egy bizonyos n-től kezdve minden
hányados kisebb, mint egy
< 1 szám, akkor a
sor konvergens: <
< 1.
Ha ezek a hányadosok egy bizonyos n-től kezdve nagyobbak, mint egy Ebből következik, hogy amennyiben lim →
akkor a sor
< 1 esetén konvergens,
= ,
> 1 esetén pedig divergens.
Cauchy-féle gyökkritérium Ha az sorra fennáll, hogy egy bizonyos n-től kezdve minden < < 1, akkor a sor konvergens. Fordítva, ha egy bizonyos n-től kezdve minden > > 1, akkor a sor divergens. Ebből következik, hogy amennyiben lim = , akkor a sor
< 1 esetén konvergens,
> 1 szám, akkor a sor divergens.
számra teljesül az, hogy számra teljesül az, hogy
→
> 1 esetén pedig divergens.
Leibniz-féle konvergencia-kritérium Az
−
+⋯±
∓⋯=
Az alternáló sor konvergens, ha
(−1)
sor alternáló sor, ha
monoton csökkenő és határértéke nulla.
pozitív szám.
2. Egyváltozós függvények folytonossága és differenciálhatósága Műveleti tulajdonságok, lokális és globális tulajdonságok, függvényábrázolás. (A tételben előforduló függvények, mind ℝ → ℝ típusú függvények.)
Folytonosság Azt mondjuk, hogy az = ( ) függvény folytonos az = helyen, ha ( ) az a helyen értelmezve van és a lim → ( ) határérték létezik és egyenlő ( )-val. Ez pontosan akkor teljesül, ha bármely > 0 számhoz található egy ( ) > 0 szám úgy, hogy | ( ) − ( )| < minden olyan x-re, amelyre | − | < . Folytonos függvények tulajdonságai Ha két függvények folytonosak az [ , ] intervallumon, akkor ott összegük, különbségük, szorzatuk és hányadosuk is folytonos függvény; a hányados nevezőjében szereplő függvényről fel kell tenni, hogy az intervallumon nem egyenlő nullával. Egyváltozós folytonos függvények bármely folytonos függvénye szintén folytonos. Egy folytonos függvény görbéje az x-tengely egyik oldaláról a másik oldalára való átmenet során legalább egyszer metszi az x-tengelyt. (Bolzano tétel) Az [ , ] intervallumon folytonos ( ) függvény minden ( ) = és ( ) = közötti értéket legalább egyszer felvesz. (Középérték-tétel) Ha az ( ) az [ , ] intervallumon folytonos függvény, akkor az intervallumon felülről és alulról is korlátos. Ebből következik, hogy létezik abszolút maximuma és minimuma az [ , ] intervallumon. A szélsőértékek különbségét a függvény ingadozásának nevezzük. (Weierstrass tétel) Ha az ( ) az [ , ] intervallumon folytonos és szigorúan monoton függvény, akkor létezik a függvénynek folytonos és szigorúan monoton inverz függvénye. Differenciálhányados (derivált) Az = ( ) függvény differenciálhányadosa (deriváltja) a ( )=
( )
hányados határértéke, amikor ∆ → 0:
( +∆ )− ( ) ( )− ( ) más írásmódban lim → ∆ −
= lim ∆ →
Geometriai jelentés Ha a függvényt a Descartes-féle koordinátarendszerben ábrázoljuk, akkor ( ) = , vagyis az adott (x,y) pontba húzott érintő egyenes meredeksége. Differenciálhatóság Az ( ) függvény deriváltja az x változónak azon értékeire létezik, amelyekre a differenciálhányados véges. Ha az x pontban nem létezik differenciálhányados, akkor ennek oka lehet vagy az adott pontban nem húzható érintő, vagy az érintő merőleges az x-tengelyre. Az előbbiekből következik, hogy ha az ( ) függvény az x pontban differenciálható, akkor az x pontban folytonos is. Tehát a folytonosság a differenciálhatóság szükséges feltétele. Azonban nem elégséges feltétel ahhoz, hogy a függvény valamely pontban differenciálható legyen. Differenciálási szabályok Legyen u és v két differenciálható függvény.
= 0 ahol ∈ ℝ
Konstans deriváltja:
Összeg (különbség) deriváltja: ( ± ) = ′ ± ′
Szorzat deriváltja: (
Hányados deriváltja:
Összetett függvény deriváltja:
Inverz függvény deriváltja:
) =
illetve (
+
) =
= ( ) = ( )=
( )
( ) ( )
vagyis
=
ahol ∈ ℝ
Függvény vizsgálat
( ) [ , ] intervallum értelmezett függvénynek
Ha az
(minimuma) van és létezik
Ha az
( ) függvény az [ ∈[
bármely ( )-nek
+ ] intervallum differenciálható és
− ,
] pontra és
− ,
( ) = 0. (szükséges, de nem elégséges feltétel)
( ) ≤ 0 ( ( ) ≥ 0) bármely
( ) ≥ 0 ( ( ) ≤ 0)
∈[ ,
( )=
+ ] pontra, akkor
-ban lokális maximuma (minimuma) van. (elégséges feltétel)
Ha az ( ) [ , ] intervallum értelmezett függvény ( − 1)-szer differenciálható az és
( ), akkor
∈ [ , ] pontban lokális maximuma
( )=⋯=
(
)
( ) = 0, illetve létezik
o
ha k páratlan, akkor ( ) nem szélsőérték,
o
ha k páros, akkor ( ) szélsőérték. Maximum, ha
( )
∈ [ , ] pontban
( ) ≠ 0, akkor
( )
( ) < 0 és minimum, ha
( )
( ) > 0.
Ha az ( ) függvény az [ , ] intervallum differenciálható, akkor ( ) az intervallum minden
∈
[ , ] pontjában
o
monoton növekvő, ha
o
monoton csökkenő, ha
o
konstans, ha
( ) ≥ 0, ( ) ≤ 0,
( ) = 0.
Ha az ( ) függvény az [ , ] intervallum kétszeresen differenciálható, akkor az intervallumon ( ) o
konvex, ha
( ) ≥ 0. (szükséges és elégséges feltétel)
o
konkáv, ha
( ) ≤ 0. (szükséges és elégséges feltétel)
Összefoglalás 1. Az ( ) = 0 megadja az ( ) függvény – legtöbb esetben lokális – szélsőértékét és monotonitását. ( ) = 0 megadja az ( ) függvény inflexiós pontjait vagyis, hogy hol vált a konvexitást. 2. Az (konvex ∪, konkáv ∩)
L’Hospital–szabály Ha lim ( ) = 0 és lim ( ) = 0 vagy lim ( ) = ∞ és lim ( ) = ∞ és az ( ) és ( ) →
→
→
függvények az a hely környezetében differenciálhatók, továbbá lim →
→
( ) ≠ 0, akkor
( ) ′( ) = lim . → ( ) ′( )
3. Reimann-féle integrál Definíció, műveleti tulajdonságok, integrálható függvények, középérték tételek, Newton-Leibniz-formula . (A tételben előforduló függvények, mind ℝ → ℝ típusú függvények.)
Integrálszámítás Az integrálás a differenciálás következő értelemben vett megfordítását jelenti, míg a differenciálás során az adott ( ) függvényhez a deriváltját, az ( ) függvényt kell meghatároznunk, az integrálásnál az adott ( ) deriválthoz kell megkeresnünk olyan függvényt, amelynek a deriváltja az adott ( ) . Az eljárás eredménye nem egyértelmű, ezért nevezik határozatlan integrálnak. Primitív függvény Az [ , ] zárt intervallumon értelmezett = ( ) függvény primitív függvénye az az ( ) függvény, amelyik ugyanazon az intervallumon differenciálható, és amelynek deriváltja ( ). ( )= ( ) Mivel a deriváláskor a konstans összeadandó eltűnik, így egy adott ( ) függvényhez végtelen sok primitív függvény tartozik, amennyiben ilyen létezik. ( )+
( )
=
Határozott integrál (Reimann-féle integrál) Az integrálszámítás szemléletes feladatából indulunk ki. Meg kell határoznunk az = ( ) görbe alatti területet. Ez történhet pl. úgy, hogy megfelelően kis alapélű téglalapok összegével közelítünk a kérdéses területhez. Ha a beosztást minden határon túl finomítjuk, akkor az ilyen téglalapösszeg határértéke a határozott integrál. Newton-Leibniz-tétel Ha az ( ) integrandus az [ , ] intervallumon folytonos és egy primitív függvénye az ( ) függvény, akkor ( )
=
′( )
= [ ( )] = ( ) − ( ).
Integrálási szabályok Integrálási határok felcserélése:
=
( )
+
ahol ∈ [ , ]
ahol
∈ℝ
Összeg (különbség) integrálja: =
±
Parciális integrál: =[
( )
( )
=
( ± )
( )
Konstanssal szorzott függvény integrálja: ( )
=−
Az intervallum felbontása: ( )
( )
] −
′
Középérték tétel: ( )
= ( − ) ( ) ahol
∈[ , ]
4. Többváltozós függvények folytonossága differenciálszámítása Koordináta –függvények folytonossága, parciális derivált fogalma, derivált mátrix, Taylor-formula . Koordinátafüggvény Tekintsünk egy : [ , ] → ℝ görbét és jelöljük az ( ) vektor koordinátáit ( ), … , ( )-vel minden ∈ [ , ]-re. Ezzel minden = 1, . . , -re definiáltunk egy : [ , ] → ℝ függvényt, amelyet az f görbe i-edik koordinátafüggvényének nevezünk. Az mondhatjuk, hogy az f görbe folytonos, differenciálható, folytonosan differenciálható, stb. ha f mindegyik koordinátafüggvénye rendelkezik a megfelelő tulajdonsággal. Folytonosság Az : ℝ → ℝ függvény folytonos az ∈ ℝ helyen, ha ∀ > 0 -hoz ∃ | − | < esetén | ( ) − ( )| < . Másképp: lim ( ) = ( ).
> 0 , hogy ∀
∈ℝ ,
→
Parciális derivált Az = ( ,
,…,
) függvény = lim
szerinti parciális deriváltja az alábbi differenciálhányados
( ,
,… ,
+ ∆ ,…, ∆
∆ →
)− ( ,
,…,
) .
Az u függvény n változója közül példánkban az -t választottuk. Az összes többi tekinthetjük; úgy járunk el, mintha a függvény csak az változó függvénye lenne.
− 1 változót konstansnak
Parciális differenciál = Teljes differenciál =
+
+⋯+
Másképp felírva, definiáljuk az alábbi két vektort grad
=
,
=( ,
,…, ,…,
)
= grad
a teljes differenciál a fenti két vektor skalár szorzata,
∙
.
m-ed rendű teljes differenciál =
+
Derivált mátrix (Jacobi-mátrix) Az : ℝ → ℝ függvény deriválható az lim
∆ →
Ezt a mátrixot nevezzük az Mátrix elemek:
+⋯+
helyen, ha létezik
∙
∈ℝ
mátrix, hogy
( +∆ )− ( )− ∆ = 0. ∆
függvény derivált mátrixának a helyen. Jelölés: =
( )=
( )
Taylor-formula Az olyan folytonos függvénye, amely az = helyen végtelen sokszor differenciálható gyakran hatványsor összegeként írható fel. ( − ) ( − ) ( ) ( − ) ( ) − ( )= ( )+ ( )+ ( ) + ⋯+ ( )= ( ) 1! 2! ! !
5. Vektorterek Definíció, műveleti tulajdonságok, bázis, lineáris leképezés, mátrixok és vektorok fogalma, determináns. Csoport halmaz a rajta értelmezett * bináris művelettel ( ,∗) csoportot alkot, ha * asszociatív (átzárójelezhető), * műveletre vonatkozóan létezik neutrális elem ( ∗ = ∗ = ), minden ∈ elemhez tartozik olyan inverz elem, amelyre ∗ = ∗ = . Ha a * művelet kommutatív, akkor Abel- csoportról beszélhetünk. A
Vektortér (lineáris tér) Egy olyan halmaz, amelyen értelmezve van az összeadás és a skalár számmal való szorzás művelete. Teljes definíció Egy test feletti vektortér „vektorok” additívnak tekintett = ( , +) Abel-csoportjából, a „skalárok” = ( , +,∗) testéből valamint egy külső szorzásból × → áll, amely utóbbi minden rendezett ( , ) párhoz ( ∈ és ∈ ) egy ∈ vektort rendel. Műveleti tulajdonságok asszociativitás neutrális elem inverz elem kommutativitás disztributivitás
Összeadás Skalár számmal való szorzás ( + )+ = +( + ) ( )=( ) +0 = 1 = 1 + (− ) = 0 =1 + = + = ( + ) = + és ( + ) = +
Lineáris leképezés A vektorterek struktúrájával összeegyeztethető leképezéseket lineáris leképezéseknek nevezzük. Az : → leképezés lineáris, ha valamennyi , ∈ és ∈ esetén igaz ( + ) = ( ) + ( ) és ( ) = ( ). Az ℝ térből az ℝ térbe történő leképezéseket egy × méretű mátrix segítségével az ( ) = formában írhatjuk le. Vektor Nagysággal és iránnyal rendelkező mennyiség. Jelölések: ⃑, ⃗, Műveletek skalárszorzat (k,d): ⃑ ∙ ⃑ = | ⃑ | ∙ ⃑ ∙ ahol a két vektor által közbezárt szög vektoriális szorzat (anti-k,d): ⃑ × ⃑ = ⃑ ahol | ⃑| = | ⃑ | ∙ ⃑ ∙ és ⃑ ⊥ ⃑, ⃑ vegyes szorzat: ⃑, ⃑ , ⃑ = ⃑ × ⃑ ⃑ ciklikusan permutálható, ⃑, ⃑, ⃑ = ⃑, ⃑, ⃑ = ⃑, ⃑, ⃑ Lineáris kombináció Bármely vektor felírható ⃑ = ⃑ + ⃑ + ⃑ alakban, ha az ⃑, ⃑, és ⃑ vektorok lineárisan függetlenek (nem egy síkban helyezkednek el), vagyis ⃑, ⃑ , ⃑ ≠ 0. Cramer-szabály ⃑ vektor felbontása adott ⃑, ⃑, és ⃑ (lineárisan független) vektorokra: =
⃑, ⃑, ⃑ ⃑, ⃑, ⃑
=
( ⃑, ⃑, ⃑) ⃑, ⃑, ⃑
=
⃑, ⃑, ⃑ ⃑, ⃑, ⃑
Vektor reprezentáció Bármely háromdimenziós ⃑ vektor reprezentálható három skalár szám ( , független egység vektor ( ⃑ , ⃑ , ⃑ ) lineáris kombinációjaként.
,
) és három lineárisan
⃑=
⃑ ⇔
=( ,
,
)
Az ⃑ vektorokat bázis vektoroknak nevezzük. Általában a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben a tengelyek irányába mutató egység vektorok. Mátrix ×
típusú
mátrixnak nevezzük az alábbi
sorból és
oszlopból álló táblázatot.
⋯ =(
Determináns Egy
×
típusú
)=
⋮
⋱ ⋯
⋮
mátrixhoz rendelt valós vagy komplex szám. ⋯ det =
⋮
⋱ ⋯
⋮
pl. 3 × 3-es mátrix esetén: = =
(
)−
−
Műveleti tulajdonságok konjugálás: ∗ = (−1)
− −
)+
= (
−
)
vagyis elemeit az előjeles aldeterminánsokból képezzük
transzponálás: főátlóra való tükrözés, adjungálás: adj
(
+
=
∗
= = (−1) spur: főátló összeg, Sp( ) = ∑ egyenlőség: = , ha ∀ , esetén = összeadás és kivonás (a,k): ± = ± skalárral való szorzás (a,k,d): ( ) = ( ) , = ,( ± ) = ± ∑ ( ) szorzás: = = = ahol = 1, 2, … , ; = 1, 2, … , × ×
Mátrix inverze Egy mátrix inverzének nevezzük azt a mátrixot, amellyel önmagát megszorozva az egység mátrixot kapjuk. Kiszámítási módja a következő: 1 = adj det
6. Lineáris algebrai egyenletrendszerek és megoldásuk Definíció, a megoldás létezésének szükséges és elégséges feltétele, Cramer-szabály, Gauss-féle elimináció. Lineáris egyenlet Az ismeretlenek csak az első hatványon szerepelnek, és csak konstansokkal vannak megszorozva. Homogénnek nevezzük az egyenletet, ha csak ismeretleneket tartalmazó tagok szerepelnek benne. Ha az előbbi nem teljesül, tehát előfordulnak ismeretlent nem tartalmazó tagok, akkor az egyenlet inhomogén. Lineáris egyenletrendszer + + +
+ ⋯+ + ⋯+ … +⋯+
= =
⋯ ⇒
⋮
⋱ ⋯
=
⋮
⋮
=
⋮
⇒
=
Megoldhatóság Egy lineáris egyenletrendszer megoldható, ha létezik legalább egy = vektor, amely esetén igaz, hogy = . Egyébként a rendszer nem megoldható. A homogén ( = ) lineáris egyenletrendszernek csak akkor van – a triviális megoldástól eltérő – megoldása, ha det = 0. Az inhomogén ( ≠ ) lineáris egyenletrendszernek csak akkor van – a triviális megoldástól eltérő – megoldása, ha det ≠ 0. Ha a determináns nem nulla, akkor létezik az inverz mátrix. Ebből következően, = Vagyis a megoldások (Cramer-szabály) 1 ∗ = ( = 1, 2, … , ) det Gauss-féle elimináció Írjuk fel az alábbi mátrixot. 1 0 ⋯ ⇒ 0⋮1 ⋱ 0 0 ⋯
⋯ ⋮
⋱ ⋯
⋮
⋮
0 0 ⋮ ⋮ 1
Ha a mátrix baloldali részén egység mátrix szerepel, akkor a jobboldalról a megoldás már azonnal leolvasható. A cél az, hogy ekvivalens átalakítások segítségével ilyen mátrixot hozzunk létre! Ekvivalens átalakítások sorok cseréje, sorok felszorzása nem nulla számmal, egy sorhoz hozzáadni, vagy abból kivonni egy másik sort. (az oszlopok cseréje is lehetséges, de ez esetben jobboldali elemek sorrendjét is módosítani kell, ezért ez egy nem kifejezetten ajánlott átalakítás.)
Sajátérték probléma = Átalakítva, ( −
) =0
Ez viszont, csak akkor áll fenn, ha a zárójeles kifejezés determinánsa nulla. Tehát, det( −
)=0
2 × 2-es mátrix esetén: − (Sp ) + (det ) = 0 3 × 3-es mátrix esetén: − (Sp )
+ (Sp adj ) − (det ) = 0
Kiegészítés Komplex számok, gradiens, divergencia, rotáció, Laplace operátor, integrál formulák, Stokes tétel, Gauss – Osztrogradszij tétel. Komplex számok Képzetes egységként bevezetjük az számot, aminek négyzete mínusz egy. Felírási módok algebrai alak: =
+
ahol -t valós-, míg -t képzetes-résznek nevezzük. ( ) = és ( ) = trigonometrikus alak: = (cos + sin ) ahol = √ + exponenciális alak: =
Gradiens skalár → vektor művelet gradϕ = ϕ =
ϕ
,
ϕ
,
ϕ
Divergencia vektor → skalár művelet div
=
=
+
+
Rotáció vektor → vektor művelet − rot
=
×
⎛ =⎜ ⎜ ⎜
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
− −
⎝
⎠
Laplace operátor divgrad
=∆ =
+
+
Integrál formulák Vonal integrál:
()
=
( )∆
Felületi integrál:
()
=
( )∆
Térfogati integrál:
()
=
( )∆
=
rot
Stokes tétel
Gauss – Osztrogradszij tétel =
Hasznos szimbólumok Kronecker-féle delta = ⃑ ∙⃑ =
1, ha = 0, ha ≠
div
Levi-Civita szimbólum 0, ha , , nem különböző 1, ha , , ciklikusan permutálható = −1, ha , , anticiklikusan permutálható
7. A Newton törvények A tehetetlenség törvénye, a dinamika alaptörvénye, a hatás – ellenhatás törvénye és alkalmazásuk. Erőtörvények, mozgásegyenletek. A tehetetlenség törvénye (Newton I.) Minden test mindaddig nyugalmi állapotban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, amíg más testekkel való kölcsönhatása ennek megváltoztatására nem kényszeríti. Inerciarendszer Mindig található olyan koordinátarendszer, amelyben minden más testtől távol elhelyezkedő testek nyugalomban vannak, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek. Más szavakkal, az olyan vonatkoztatási rendszert, amelyekben teljesül a tehetetlenség törvénye, inerciarendszernek nevezzük. Erő Olyan hatás, mely képes megváltoztatni egy test mozgásállapotát. A dinamika alaptörvénye (Newton II.) Pontszerű test gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos a test tömegével. =
∙
Eredetileg Newton az impulzus felhasználásával fogalmazta meg a törvényt, =
ahol
=
∙ , az impulzus.
(A klasszikus fizikában a két kifejezés egyen értékű, de érdemes megjegyezni, hogy relativisztikus esetben csak a Newton-féle megfogalmazás marad érvényben!)
A hatás – ellenhatás törvénye (Newton III.) Két test esetén ugyanabban a kölcsönhatásban fellépő két erő (az erő és az ellenerő) egyenlő nagyságú, közös hatás vonalú és ellentétes irányú, egyik az egyik testre, a másik a másik testre hat. =− Eredőerő („Newton IV.”) Ugyan azon testre ható erők, vektoriálisan összegezhetők. Az így kapott erőt, eredőerőnek nevezzük. = Erőtörvények Az erőnek az erőhatást kifejtő környezeti jellemzőivel megadott függvényt erőtörvénynek nevezzük. = ∙ =− ∙
Nehézségi erő (homogén térben ható erőtörvény): Rugóerő (lineáris erő törvény): Gravitációs erő (a távolság négyzetével fordítottan arányos erő):
= =
Súrlódási erő (tapadási és csúszási):
∙
és
| | = ∙
Mozgásegyenlet A mozgásegyenlet, azaz egyenlet, amit akkor kapunk, ha a dinamika alaptörvényébe beírjuk az erőtörvényeket, valamint a gyorsulás helyébe a helyvektor második deriváltját. =
∙ ̈
Ahhoz, hogy a mozgás pontos leírását megadjuk, az erők mellet ismernünk kell valamely pillanatban a mozgás kinematikai jellemzőit. Általában a mozgás kezdőpillanatában szokás megadni a test helyét és sebességét. Ezek az adatokat a kezdeti feltételek nevezzük.
Szabad– és kényszererők Az olyan erőket, amelyeket nem korlátozzák a test mozgását, szabaderőknek nevezzük. Ha viszont, fellép valamilyen kényszer, ami korlátozza a test mozgását, akkor eme kényszer által kifejtett erőt már kényszererőnek nevezzük. Vagyis a mozgásállapot az erőtörvényekből közvetlenül megkapható, ha a testre csak szabaderők hatnak. Kényszer (pl.: fonálon lengés, lejtőn haladás) jelenlétében, a mozgásállapot meghatározásához, már figyelembe kell venni a rendszerben fellépő kényszererőket is. Alkalmazások (mozgás állandó erő esetén) A pontszerű testre csak egyetlen állandó erő hat. = ∙ ̈ Az -tengelyet úgy választjuk meg, hogy ezzel egy irányba (vagy esetenként ellentétesen) mutasson. Ebből következően a mozgásegyenlet a következő három egyenletként írható, ̈ = 0,
̈ = 0,
̈=
.
Az egyenletek kiintegrálásával megkaphatjuk a pályaegyenleteket, ( )=
+
( )=
,
+
( )=
,
2
+
+
,
Ilyen jellegű mozgást végez a szabadon eső, az elhajított, vagy a lejtőn lecsúszó test. Fontos, hogy a lejtőn való mozgásnál, már kényszererő is fellép. Lejtőn lecsúszó test (példa) Vegyünk fel olyan koordináta rendszert, amelynek -tengelye a lejtő mentén a test mozgásának irányába, -tengelye pedig a lejtő síkjával merőlegesen felfelé mutat. A sima (súrlódásmentes) lejtőn a testre a függőlegesen lefelé mutató erő és a lejtő síkjára merőleges kényszererő hat. A mozgásegyenletek, ̈=
sin ,
̈=
−
cos .
A kényszerfeltétel pedig az, hogy a testnek a lejtő mentén kell mozognia, azaz ̇ ( ) = ̈ ( ) = 0. Így a mozgásegyenletek integrálása a ( )=
sin
+
( ) = 0,
,
és ( )=
sin 2
+
+
,
=
.
eredményre vezet. Amennyiben a lejtő nem sima, de tudjuk, hogy a test biztosan lecsúszik rajta, akkor a súrlódási tényező felhasználásával a mozgásegyenletek az ̈=
sin −
,
̈=
−
cos
csúszási
=0
alakot öltik, a kényszerfeltétel változatlan. Az egyenletrendszer megoldásából a test lejtő menti gyorsulására az = (sin − cos ) eredmény adódik.
8. Megmaradási tételek a mechanikában Az impulzus, az impulzusmomentum és az energia megmaradás törvénye. Az impulzus megmaradás törvénye = Ha ezt kiintegráljuk tetszőleges
és
∙
∙ ̇ ⇒
=
=
időpontok között, akkor ( )− ( ) =
( ) .
Ha a testre ható erők eredője nulla – vagyis nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, akkor a két impulzus megegyezik, tehát a rendszerben az impulzus megmarad. Az impulzusmomentum megmaradás törvénye Impulzusmomentum: =
×
× ̇
=
Forgató nyomaték: =
×
(
× ̈ =
=
× ̇) =
Ha tehát rendszerben nem lép fel forgató nyomaték, akkor az impulzusmomentum állandó, vagyis megmarad. Felmerül viszont a kérdés, hogy miért nem lép fel forgató nyomaték, vagyis miként válhat nullává? Ennek két esete lehetséges (leszámítva a triviális nyugalmi esetet). Az első lehetőség, hogy a testre ható erők eredője nulla és ennek következtében nem lép fel forgató nyomaték. A másik eset – és ebben több ez a megmaradási törvény az előzőtől, hogy maga a vektoriális szorzat nulla. Ez pedig, csak akkor lehetséges, ha az erő párhuzamos az elmozdulással. Ekkor centrális erőről beszélünk. Az energia megmaradás törvény A rendszer teljes mechanikai energiája (kinematikus és a potenciális energia összege) megmarad, ha a rendszer konzervatív erőtérben mozog. 1 = + = állandó 2 Munka =
∙ =
Ha az erő függ a helytől, vagy a mozgás nem egyenes vonalon történik, akkor elmozdulás. Vagyis két tetszőleges pont között végzett munka, =
∙
ahol
az elemi
( )
Munka tétel (kinematikus energia tétele) =
( )
̈
=
=
1 2
=
̈ ̇
=
1 2 ̇
=
1 2
−
1 2
=∆
Konzervatív erőtér Az erőteret konzervatívnak nevezzük, ha a benne ható erők felírhatók egy potenciál negatív gradienseként. = −grad Ennek következtében – mivel a gradiens rotációja nulla – az ilyen típusú erőtér örvénymenetes!
9. Folyadékok és gázok áramlásának törvényei A súrlódásos és a súrlódásmentes áramlás, stacionárius áramlás. Kontinuitási egyenlet és Bernoulli törvény. Áramvonal Az áramvonal olyan görbe, amelynek bármely pontjában húzott érintő az illető pontbeli sebességvektor egyenese. Vagyis az érintő az áramlás irányába mutat. Áramlási cső Ha az áramlási térben, gondolatban felvett zárt görbe pontjain átmenő áramvonalak összességét vesszük, úgynevezett áramlási csövet kapunk. Az áramlási cső falának „alkotói” áramvonalak, emiatt a falon át nem kerülhet folyadék a csőbe és a csőből sem léphet ki, mert a cső falában áramló részek sebessége érintőirányú. Áramlások osztályozása I.
Súrlódásmenetes: nem lép fel belső súrlódás a folyadékon belül (a nyíróerők elhanyagolhatók, = 0). o örvénymentes: a folyadékrészek nem végeznek forgómozgást. o örvényes: a folyadékrészek végezhetnek forgómozgást. Súrlódásos: fellép belső súrlódás a folyadékon belül (a nyíróerők nem elhanyagolhatók, ≠ 0). o lamináris: a folyadék rétegesen áramlik. o turbulens: a folyadék kavarogva áramlik.
II.
Stacionárius: a sebességtér időben nem változik, azaz ha adott helyen a sebesség állandó. Nem stacionárius: a sebességtér időben változik, azaz ha adott helyen a sebesség nem feltétlen állandó.
Súrlódásos áramlás Súrlódásos folyadékban a belső súrlódási erő egyenesen arányos az egymáson csúszó folyadékrétegek felületének nagyságával és az áramlásra merőleges keresztmetszetben vett egységnyi távolságra eső sebességváltozással, valamint egy arányszámmal, amit dinamikai viszkozitásnak nevezünk. (Newton-féle belső súrlódási törvény) = Stokes-féle súrlódási törvény Áramlási térbe helyezett golyó közelében réteges áramlás alakulhat ki. A belső súrlódás miatt a közeg a golyóra erőt fejt ki, ami egyenesen arányos a közeg és a golyó relatív sebességével, a golyó sugarával és a közeg dinamikai viszkozitásával. =6 Reynolds-szám
Meghatározott sebességnél a lamináris áramlás turbulensbe csap át. Az átmenet akkor következik be, amikor az dimenzió nélküli Reynolds-szám elér egy kritikus értéket. = ahol
az áramlási sebesség,
az akadály átmérője,
∙
=
pedig a kinematikai viszkozitás.
Közegellenállás Az áramló közegben lévő testre ható erők helyettesíthetők egyetlen eredőerővel és egy erőpárral. Az eredő erőt felbonthatjuk az áramlás irányába eső és arra merőleges összetevőre. Az áramlás irányú összetevőt közegellenállási erőnek nevezzük. = ahol
alakellenállási tényező.
Kontinuitási egyenlet Stacionárius áramlásban bármely áramlási cső tetszőleges keresztmetszetén adott idő alatt egyenlő tömegű, vagyis az összenyomhatatlanság ( = ) miatt egyenlő térfogatú folyadék áramlik át. ∆
=∆
⇒(
∆ )
=(
∆ )
=
Általános formula )=0
+ div(
Bernoulli törvény Összenyomhatatlan folyadék súrlódásmentes, stacionárius áramlása közben 2 ahol
+
+
= állandó.
= + a fajlagos entalpia; a belső energia, a nyomás és a sűrűség hányadosával vett összege.
Nehézségi erőtérben Bármely áramfonal (vékony áramlási cső) mentén +
1 2
+
ℎ = állandó.
Ha az áramlás örvénymentes, akkor az összefüggés a teljes áramlási térre igaz, vagyis minden áramfonal mentén ugyanaz az érték. A tagokat rendre statikus, torló, és hidrosztatikai nyomásnak nevezzük.
10. A termodinamika főtételei Az állapotjelzők fogalma, osztályozás, főtételek, Carnot körfolyamat, az entrópia fogalma, fázisátalakulások. Termodinamikai paraméterek Azokat a fizikai mennyiségeket, amelyek egy anyagi rendszer egyensúlyi állapotát makroszkopiailag egyértelműen jellemzik, termodinamikai paramétereknek nevezzük. Állapotjelzők A közvetlenül mérhető termodinamikai paramétereket állapotjelzőknek nevezzük. Két csoportra oszthatók: extenzív: értéke az anyagban mérhető helyi értékek összegeként adódik (pl. : , , , , ). intenzív: értéke a helyi értékek összegével nem adható meg, kiegyenlítődő mennyiségek (pl. : , , ). Ideális gázok Ideális gázoknak tekintjük azokat a gázokat, amelyeknek részecskéi egymásra erőt nem fejtenek ki és pontszerűek. Vagyis az általuk ténylegesen elfoglalt térfogat ez egész gáz rendelkezésére álló térfogathoz képeset elhanyagolható. Állapotegyenlet =
∗
Alapvetően a termodinamika az ∗ = 8,314 univerzális gázállandót használja. A meteorológiában gyakrabban használatos az specifikus gázállandó. Értéke attól függően, hogy a száraz levegőre vonatkozóan, vagy a vízgőzre vonatkozóan számítjuk, kétféle lehet ( = 287 , = 461 ). Reális gázok állapotegyenlete + ahol
és
( −
)=
∗
a gázra jellemző konstansok. Melyek értéke zérus ideális gáz esetén.
Fundamentális egyenlet Az olyan állapotjelzőket tartalmazó állapotfüggvényt, amelyből a rendszer teljes termodinamikája felépíthető, fundamentális egyenletnek nevezzük.
0. főtétel Ha két, A és B termodinamikai rendszer termikus egyensúlyban van egy harmadikkal, a C rendszerrel (pl.: hőmérővel), akkor az A és a B rendszer egymással is termikus egyensúlyban van. I. főtétel A rendszer belső energiájának megváltozása a vele közölt (vagy az általa leadott) hőmennyiség és a végzett munka összege, = + . Ha a tagokat részletesen kifejtjük, akkor = − . Meteorológiában viszont, gyakran használatosak a = formulák, ahol
= 718
és
= 1005
+
=
−
az állandó térfogaton és állandó nyomáson vett fajhő.
II. főtétel A rendszeren végzett munka minden esetben hővé alakulhat, de a hő maradéktalanul sosem alakulhat munkává. Nem létezik olyan – külső behatás nélküli – hőerőgép, ami a melegebb tartályt melegíti, míg a hidegebb tartályt tovább hűti.
III. főtétel Folyékony és szilárd homogén anyagok entrópiája nulla kelvin hőmérsékleten zérus.
Entrópia = Reverzibilis folyamat esetén: ∫
=∫
=0
Irreverzibilis folyat esetén: ∆ > ∫
Carnot körfolyamat Az olyan folyamatot, amelynek során a termodinamikai rendszer eredeti állapotába tér vissza, körfolyamatnak nevezzük. A hőerőgépekben és a hűtőgépekben ilyen körfolyamatok mennek végbe. Carnot olyan négy – két izotermikus és két adiabatikus – nyílt folyamatból álló körfolyamatot tervezett, amely elvileg megvalósítható két, adott hőmérsékletű hőtartály között működő hőerőgéppel.
Megállapítható, hogy ha a körfolyamatban az ideális gáz térfogata csak nagyon lassan változik, akkor a gáz igen jó közelítéssel egyensúlyi állapotok sorozatán megy át. Ezek fontos jellemzője, hogy fordított (indirekt) irányba – ugyanazokon a közbülső állapotokon át – is végbemehetnek. Az ilyen folyamatokat reverzibilis folyamatoknak nevezzük. A Carnot-féle körfolyamatban dolgozó hőerőgépre jellemző, hogy hőt vesz fel a melegebb, hőmérsékletű hőtartályból; a felvett hő egy részét | | nagyságú külső munkavégzésre fordítja; a fennmaradó | | = − | | hőt pedig a < alacsonyabb hőmérsékletű (hűtőnek) adja át. A körfolyamat lépései izotermikus tágulás (1–2):
,
adiabatikus tágulás (2–3): izotermikus összenyomás (3–4):
−
adiabatikus összenyomás (4–1):
−
=
ln (
− ln
)
,
= =
,
=
(
−
)
,
(A pozitív munkákat a gáz végzi, a negatívakat mi nekünk kell végeznünk.)
Hatásfok =
=
,
+
,
− ,
,
−
,
= ⋯= 1−
hőtartálynak
Fázisátalakulások Az intenzív paraméterek folyamatos változásakor ugrásszerűen változnak az extenzív állapotjelzők. Elsőrendű fázisátalakulásról beszélünk, ha a szabadentalpia és a kémiai potenciál a nyomás, vagy a hőmérséklet folytonos függvénye, de egy kritikus nyomáson és hőmérsékleten első parciális differenciálhányadosaik ugrásszerűen változnak.
Clausius – Clapeyron egyenlet = ahol
∆
az átalakulási (latens) hő.
Meteorológiában használatosak az egyenlet alábbi alakjai, = ahol a telítési gőznyomás; a szublimációs hő. Fázisdiagram
,
és
(
−
)
illetve
=
(
−
) .
rendre a vízgőz, a víz és a jég fajlagos térfogata;
a párolgási hő és
11. Maxwell-egyenletek A Maxwell egyenletek differenciális és integrál alakja. Az elektro és a magnetosztatika, az egyen és váltóáram, valamint az elektromágneses hullámok leírása a Maxwell egyenletek alapján. Maxwell egyenletek rot
=
+
=
⟺
+
1
1
div
=
⟺
=
rot
=−
⟺
=−
div
=0
⟺
=0
Töltésre ható erő = Lorentz erő = ( +
× )
Coulomb törvény =
ahol
=
=
1 4
≈ 9 ∙ 10
− | − |
4
Biot – Savart törvény =
×( − | − |
4
)
Elektrosztatika Az elektrosztatikában elektromos tér konzervatív és örvénymentes, rot
=0⟺
= 0.
Vagyis a térerősség felírható egy skalármennyiség negatív gradienseként, = −grad Φ ahol Φ az elektromos tér potenciálja. Munka =
=
=
−grad Φ
=−
Φ( ) − Φ( ) = (Φ( ) − Φ( ))
Magnetosztatika Mágneses fluxus Ψ= Faraday – féle indukciós törvény Indukált feszültség keletkezik egy zárt görbén, ha a zárt görbe által határolt felületre vonatkozó mágneses fluxus – a felületen átmenő mágneses indukciós vonalak száma – megváltozik. A fluxus azért
változhat meg mert időben változik a mágneses tér (nyugalmi indukció), vagy a görbe alakja és így az általa határolt felület (mozgási indukció). Ψ =− ahol
az indukált elektromotoros erő.
Lentz törvény Az indukált áram iránya mindig olyan, hogy mágneses terével akadályozza az őt létrehozó változást. Egyenáram Q + á
P S
U á +
C + /
R / +
I + á
=
=
Ohm törvény = ahol =
=
az áramsűrűség,
az ellenállás,
∙
⇔ =
∙
= a vezetőképesség és
a fajlagos ellenállás.
Teljesítmény és munka = Kirchoff törvény I. Csomóponti törvény: ∑ II. Hurok törvény: ∑ = ∑
és
=
=0 ahol az elektromotoros erő
RLC–kör (CRL–kör) +
+
=
ahol
=
( )
⇓ + Elektromágneses hullám 1 ∆ − =0
⇒
↓ hullámegyenlet Ahol Ha
= ⊥ ,
, és
⊥
=
=
−
↓ síkhullám megoldás
a hullám terjedési iránya, ⊥
+
egység vektor.
akkor a hullám transzverzális.
⇒
=
(
)
