Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově
05_6_Mechanika tuhého tělesa
Ing. Jakub Ulmann
6 Mechanika tuhého tělesa 6.1 Pohyb tuhého tělesa 6.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení 6.3 Skládání sil
6.4 Rozklad sil 6.5 Těžiště tuhého tělesa
6.6 Rovnovážná poloha tuhého tělesa
6.1 Pohyb tuhého tělesa Zkoumali jsme pohyby těles, která jsme nahrazovali hmotným bodem (bod v prostoru, který má hmotnost, zanedbatelná velikost tělesa z hlediska řešeného problému). Nyní nebudeme zanedbávat rozměry tělesa ani jeho tvar a budeme také uvažovat o jeho rotaci. Budeme však zanedbávat deformační účinky sil. Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se účinkem libovolně velkých sil nemění. pohyb posuvný - všechny body předmětu se pohybují po stejné Rozlišujeme: trajektorii, se stejnou rychlostí,
pohyb otáčivý.
Celkový pohyb je pak složený z těchto dvou základních.
Př. 1: Demonstruj pomocí tužky: a) posuvný pohyb, b) otáčivý pohyb, c) otáčivý pohyb s osou otáčení ležící mimo tužku. Př. 2: Jaký pohyb je na obrázku?
Př. 3: Jaký pohyb koná (konají) brusný kotouč, píst ve válci motoru, disk, který při letu rotuje, dveře, kolo od auta při jízdě, Měsíc s tzv. vázanou rotací? Př. 4: Jak by se pohyboval Měsíc bez vázané rotace?
6.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení Př. 1: Do obrázku kolotoče (pohled shora) nakresli: a) stejně velké síly, které různě roztáčejí kolotoč, b) stejně velké síly v různých situacích, které kolotoč neroztáčejí ani nebrzdí.
Otáčivý účinek síly závisí na: • velikosti síly (větší síla má větší účinek), • vzdálenosti působiště síly od osy otáčení (ve větší vzdálenosti od osy otáčení má síla větší účinek) • směru síly Veličina udávající otáčivý účinek síly se nazývá moment síly vzhledem k ose otáčení, značí se M. Př. 2: Do obrázku jednoduché houpačky vyznač na obě strany po jedné síle tak, aby obě síly měly různé vzdálenosti působiště od osy otáčení a stejný moment síly. Směr sil zvol tak, aby byl jejich otáčivý účinek maximální.
Jedná se o páku a v tomto případě pro rovnováhu platí: Můžeme ověřit pomocí závaží na páce. F1 r1 F2 r2
Př. 3: Nakresli do obrázku houpačky dvě síly v místě působení síly F tak, aby způsobily maximální a minimální moment ke středu otáčení.
Velikost momentu síly je určena vztahem:
M F r sin kde F je velikost působící síly, r vzdálenost jejího působiště od osy otáčení a α je úhel, který svírá směr síly s přímkou spojující její působiště s osou otáčení. Jednotka momentu síly: 1Nm Moment síly je vektorová veličina. Budeme pouze rozlišovat, zda působí po směru nebo proti směru hodinových ručiček. Př. 4: Urči momenty sil ke středu na obrázku. Osa je číslována v metrech.
Na obrázku ještě prostudujeme význam výrazu sin α. Sin je definován protilehlá odvěsna ku přeponě místo ramena r dostaneme kolmou vzdálenost d.
d sin r
d r sin
Vztah pro výpočet velikosti momentu síly pak můžeme upravit do tvaru: M F d , kde d je kolmá vzdálenost přímky, na které leží vektor síly F, od osy otáčení. Vzdálenosti d říkáme rameno síly.
Př. 5: Vyznač ramena sil, které působí na páku.
Př. 6: Na houpačce o délce 3 m, která je podložena ve svém středu se chce houpat dítě o hmotnosti 18 kg a jeho tatínek o hmotnosti 75 kg. Urči, jak daleko od středu si musí na houpačku sednout tatínek, pokud dítě bude sedět na konci druhé strany. 0,3 m
6.3 Skládání sil Př. 1: Najdi výslednice sil na obrázcích.
Provádíme vektorový součet: F F1 F2 ... Fn Výslednice F je určena svou velikostí, směrem a polohou působiště.
U tuhého tělesa působí zpravidla síly v různých místech. Pokud nepůsobí síly ve stejném působišti, můžeme je posouvat po jejich nositelkách.
Výslednice také musí mít stejné otáčivé účinky jako skládané síly. Výsledný moment od výslednice musí být stejný jako součet momentů od jednotlivých sil.
M M1 M 2 ... M n
Které podmínky musí být splněny, aby dokonale tuhé těleso zůstalo v klidu (u hmotného bodu stačila podmínka nulové výslednice sil)? Dokonale tuhé těleso zůstává v klidu tehdy, když jsou výslednice i výsledný moment působících sil nulové.
Výslednice rovnoběžných sil
F2 = 40 N F1 = 80 N Snadno určíme velikost, ale neznáme působiště.
Nejprve si probereme příklady na páce (těleso je podepřeno v otáčivém bodě). Př. 3: Urči momenty i výsledný moment sil na obrázku, pokud platí F1 = 60 N , F2 =20 N, r1 = 0,3 m, r2 =0,9 m. a)
b)
0 Nm, 36 Nm
Nahraď v tomto příkladě síly výslednicí (jednou silou). F1 = 60 N , F2 =20 N, r1 = 0,3 m, r2 =0,9 m. a)
Aby byl moment od výslednice nulový, musí výslednice působit na nulovém rameni – tedy v místě podpory.
b)
Směr výslednice je podle směru větší síly. Rameno výslednice určíme z celkového momentu:
Př. 4: Nakresli do obrázku páky z předchozího příkladu všechny síly, které na páku působí. K silám zapiš jejich velikosti. Hmotnost páky zanedbej.
C
A
B
Př. 5: Na vodorovnou páku o délce 1,5 m a zanedbatelné hmotnosti působí na koncích směrem kolmo dolů síly o velikostech 100 N a 200 N. Urči, ve kterém místě musí být páka podložena, aby byla v rovnováze (zároveň je to místo, kde leží výslednice těchto sil).
Nyní budeme řešit výslednici bez podmínky rovnováhy. Př. 6: Nahraď v tomto příkladě 2 síly výslednicí.
d = 0,4 m
F1 = 80 N
F2 = 40 N
d = 0,4 m A
F1 = 80 N
F2 = 40 N
Účinek výslednice k jakémukoliv bodu musí nahradit účinek zadaných sil. Např. k bodu A platí: tedy:
Př. 7: Na páku zanedbatelné hmotnosti působí 0,4 metru od sebe kolmo vzhůru síly F1 = 40 N a F2 = 120 N. Nakresli situaci a najdi jejich výslednici.
Př. 8: Na konce páky o délce d působí dvě rovnoběžné opačně orientované síly. Urči jejich výslednici. F1 = 80 N d = 1,4 m
Z rovnosti momentů k pravému okraji:
F2 = 40 N
Př. 8: Na konce páky o délce d působí dvě rovnoběžné opačně orientované síly o stejné velikosti. Urči jejich výslednici. d = 1,4 m F = 40 N 1
F2 = 40 N
2.273 Najděte velikost a polohu působiště výslednice tří rovnoběžných sil, znázorněných na obr. Velikosti sil jsou F1 = 50 N, F2 = 80 N, F3 = 30 N, vzájemné vzdálenosti působišť jsou a = 0,6 m, b = 0,3 m.
2.274 Najděte velikost výslednice a polohu jejího působiště pro soustavu čtyř rovnoběžných sil, znázorněných na obr. Velikosti sil jsou F1 = 400 N, F2 = 200 N, F3 = 500 N, F4 = 300 N, vzájemné vzdálenosti působišť sil jsou a = 0,6 m, b = 0,3 m, c = 0,6 m.
6.4 Rozklad sil Př. 1: Rozlož sílu F do vyznačených směrů.
Př. 2: Narýsuj rozklad gravitační síly tělesa do směru nakloněné roviny a do směru kolmého na tento směr.
Fg Složka ve směru nakloněné roviny působí proti třecí síle.
Složka kolmá na nakloněnou rovinu je zachycena silou od podložky.
Př. 3: Načrtněte rozklad gravitační síly do směrů lan a vypočítejte velikosti sil působící na lana, je-li hmotnost tělesa 50 kg. 45°
90°
Př. 4: Načrtněte rozklad gravitační síly do směrů lan a vypočítejte velikosti sil působící na lana, je-li hmotnost tělesa 50 kg. 60°
30°
Př. 5: Načrtněte rozklad gravitační síly do směrů lan a vypočítejte velikosti sil působící na lana, je-li hmotnost tělesa 50 kg. 60°
60°
6.5 Těžiště tuhého tělesa
Nejprve si ukážeme, jak těžiště najít, jaké má vlastnosti apod. a poté si těžiště definujeme. U geometrických homogenních těles leží těžiště v jejich (geometrickém) středu. Na ose souměrnosti, v průsečíků úhlopříček apod.
Př. 1: Odhadni polohu těžiště nakreslených těles. Předpokládej, že jsou homogenní.
Těžiště nemusí ležet v tělese.
Př. 2: Uveď příklad, kdy těžiště neleží ve středu válce.
Např. jeho pravá část bude z materiálu o vyšší hustotě.
Těžiště umíme najít experimentálně:
U dlouhých těles řešíme polohu těžiště pouze v jednom směru hledáním bodu, kde bude těleso v rovnováze. Např. u běžkových lyží má poloha těžiště velký význam a nemusí ležet uprostřed. Př. 3: Pokus se popsat postup jak najít těžiště u dvourozměrných těles. Nápověda na obrázku.
Moment gravitační síly je nenulový ⇒ těleso se otočí. Moment gravitační síly je nulový ⇒ těleso zůstává v klidu. Svislá přímka z bodu A se nazývá těžnice. Zavěsíme na jiném místě. Těžiště pak získáme jako průsečík dvou těžnic.
Těžiště zavádíme jako působiště výslednice tíhových sil působících na jednotlivé části tělesa v tíhovém poli.
Také můžeme říct, že je to bod, vůči němuž je výsledný moment působících tíhových sil od jednotlivých částí nulový.
Definice těžiště:
Těžiště tuhého tělesa je působiště gravitační (tíhové) síly působící na těleso v homogenním tíhovém poli. V homogenním tíhovém poli leží těžiště v hmotném středu tělesa. Hmotný střed je bod, který je pevně určen tvarem tělesa a rozložením hustoty. Těžiště je středem tělesa z hlediska rozložení hmoty.
Pojem těžiště jako působiště tíhové síly ztrácí význam v beztížném stavu. V homogenním tíhovém poli (např. v těsné blízkosti zemského povrchu) splývá pojem těžiště s hmotným středem a velmi často se používají jako synonyma. V nehomogenním tíhovém poli je však nutno oba pojmy rozlišovat. Hmotný střed, kolem kterého obíhají kosmická tělesa na svých drahách, se nazývá barycentrum. U dvou těles stejné hmotnosti je barycentrum uprostřed spojnice jejich těžišť, u těles s výrazně rozdílnou hmotností leží barycentrum uvnitř hmotnějšího tělesa. Např. barycentrum Země s Měsícem leží vzhledem k poměru hmotnosti obou těles na spojnici Měsíc-Země asi 1700 km pod zemským povrchem.
Př. 4: Určete polohu těžiště tělesa na obrázku. koule: r1 = 10 cm, m1 = 24 kg, r2 = 8 cm, m2 = 12 kg, tyč: d = 50 cm, m3 = 4 kg Vyznačíme tíhové síly od jednotlivých částí. Moment výsledné síly musí být roven součtu momentů od jednotlivých tíhových sil.
6.6 Rovnovážná poloha tuhého tělesa
Existují tři druhy rovnovážných poloh: 1. stálá (stabilní) rovnovážná poloha
-při vychýlení vzrůstá potenciální energie, poté se výchylka samovolně zmenšuje a předmět se vrátí do původní polohy.
Pozn.: Velikost potenciální energie určujeme z výšky těžiště.
2. vratká (labilní) rovnovážná poloha: - při vychýlení se potenciální energie zmenšuje, předmět se do původní polohy nevrátí.
3. volná (indiferentní) rovnovážná poloha - při vychýlení se potenciální energie nemění, předmět se do původní polohy nevrátí.
Př. 1: Popiš rovnovážné polohy zavěšeného tělesa.
Př. 2: Na obrázku jsou nakresleny na nakloněné rovině tři kvádry. Všechny jsou homogenní, jejich těžiště jsou tedy v jejich geometrických středech. Tření mezi podstavami kvádrů a nakloněnou rovinou je dostatečně velké, aby kvádry nesjížděly. Rozhodni, které jsou v rovnovážné poloze, a které naopak musí ihned spadnout.
Př. 3: Na obrázku je kvádr ve třech polohách. Která z těchto poloh je nejstabilnější?
Podle výšky těžiště nad podložkou je nejstabilnější třetí poloha. Př. 2.280 Dřevěná a železná krychle mají stejné rozměry a stojí na vodorovné podložce. Která krychle má větší stabilitu? Větší stabilitu má železná krychle, protože má větší hmotnost.
Stabilitu tělesa určujeme podle množství práce, kterou musíme vykonat, abychom těleso přemístili ze stálé rovnovážné polohy do polohy vratké.
W m g h2 h1
Př. 2.281 Čtyřboký hranol o hmotnosti 88 kg má délku hrany čtvercové podstavy 0,2 m a výšku 0,8 m. Jakou má stabilitu (tj. jakou práci musíme vykonat, abychom jej překlopili), a) stojí-li na vodorovné podložce, b) leží-li na vodorovné podložce?
6.7 Dynamika otáčivého pohybu tuhého tělesa
1. Newtonův zákon Těleso je v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, je-li výsledná síla působící na těleso nulová. Analogicky pro otáčivý pohyb: Těleso je v klidu nebo v rovnoměrném otáčivém pohybu, je-li výsledný moment působící na těleso nulový.
2. Newtonův zákon Zrychlení tělesa je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa. Analogicky pro otáčivý pohyb: Úhlové zrychlení tělesa je přímo úměrné působícímu momentu a nepřímo úměrné momentu setrvačnosti tělesa. Moment setrvačnosti udává odpor k roztáčení či brzdění (míru setrvačnosti při otáčivém pohybu), závisí na hmotnosti a rozložení látky vzhledem k ose otáčení. značíme jej J
Moment setrvačnosti hmotného bodu o hmotnosti m vzdáleného r od osy otáčení je určen vztahem: m r
J mr
Ze vztahu je patrné, že čím bude látka tělesa dál od osy otáčení, tím bude mít těleso větší moment setrvačnosti. Rozložení látky v tělese může být vzhledem k ose různé (prakticky nepoužitelný vztah).
2
Základní vztah můžeme použít pro tělesa ve tvaru obruče. Př. 1: Porovnej moment setrvačnosti ráfků s průměrem 26“ a 29“. Oba mají hmotnost 500 g. Jaká je jednotka momentu setrvačnosti?
Obecně platí:
J m r m r ... m r 2 1 1
2 2 2
2 n n
Pokud změníme osu, bude moment setrvačnosti jiný.
Pro základní tvary těles byl odvozen celkový moment setrvačnosti sčítáním momentů jednotlivých dílků (tento matematický postup se nazývá integrace).
Uvedené příklady: otáčející se kotouč, koule a tenká tyč (otáčející se kolem osy jdoucí jejich středem). Př. 2: Urči moment setrvačnosti kotouče cirkulárky, jestliže má hmotnost 0,5 kg a průměr 30 cm.
Kinetická energie rotujícího tělesa Obdobně jako vyjadřujeme kinetickou energii posuvného pohybu 1 2 Ek m v 2 můžeme vyjádřit kinetickou energii pohybu rotačního: 1 2 Ek J 2
Př. 3: Urči kinetickou energii otáčivého pohybu kotouče cirkulárky, jestliže se otáčí s frekvencí 50 Hz a má hmotnost 0,5 kg a průměr 30 cm. Kotouč cirkulárky má energii 280 J.
Celková energie tělesa je pak dána součtem těchto energií: 1 1 2 Ek m v J 2 2 2
Př. 3: Při provádění piruety mění krasobruslaři rychlost otáčení. Jak to dělají a čím to můžeme vysvětlit. Po přitáhnutí nohou a rukou k tělu se rychlost otáčení zvýší. Po jejich oddálení se rychlost otáčení sníží. Jde o důsledek něčeho obdobného zákonu hybnosti. Je to zákon zachování momentu hybnosti. Nohy od těla ⇒ velká hmotnost je umístěna daleko od osy otáčení ⇒ tělo má velký moment setrvačnosti. Přitáhnutím k tělu ⇒ zmenšila se vzdálenost od osy otáčení ⇒ zmenšení momentu setrvačnosti ⇒ pokud se má zachovat moment hybnosti, musí se zvětšit rychlost otáčení.
K následujícímu videu. Moment hybnosti je vektorová veličina L, je moment síly u nás označovaný M.
http://www.youtube.com/watch?v=ty9QSiVC2g0
Autor prezentace a ilustrací: Ing. Jakub Ulmann Fotografie použité v prezentaci: Na snímku 1: Ing. Jakub Ulmann Použitá literatura a zdroje: [1] RNDr. Milan Bednařík, CSc., doc. RNDr. Miroslava Široká, CSc.: Fyzika pro gymnázia - Mechanika, Prometheus, Praha 2007 [2] Doc. RNDr. Oldřich Lepil, CSc., RNDr. Milan Bednařík, CSc., doc. RNDr. Miroslava Široká, CSc.: Fyzika – Sbírka úloh pro střední školy, Prometheus, Praha 2010 [3] Mgr. Jaroslav Reichl: Klíč k fyzice, Albatros, Praha 2005 [4] Mgr. Jaroslav Reichl, www.fyzika.jreichl.com [5] Mgr. Martin Krynický, www.realisticky.cz
