Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek

křivka

množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše – křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky ploch lze popisovat různým způsobem – rozlišujeme hlavně neparametrický a parametrický způsob vyjádření křivek

požadavky

důležitá nezávislost křivky na soustavě souřadnic důležité snadné vyjádření omezení oblouku křivky z těchto důvodů nejčastěji – parametrické vyjádření

Počítačová geometrie

Petra Surynková


modelování křivek

dělení křivek

použití v počítačové grafice a v souvisejících aplikacích modelování ve 2D i ve 3D různé aplikace – různé požadavky

rovinné prostorové

dělení křivek podle typu rovnice

explicitní implicitní parametrické


Petra Surynková


dělení křivek podle vlastností průchodu řídícími body

interpolační aproximační

interpolační křivka – prochází danými body


aproximační křivka – neprochází danými body, řídící body určují tvar křivky

Petra Surynková


Rovinné křivky

Explicitní rovnice

y = f ( x) , kde x ∈ a, b

f ( x) je funkce definovaná na intervalu a, b = I ⊂ \ , která každému x ∈ I jednoznačně přiřazuje f ( x) ∈ \ omezíme-li nezávisle proměnnou na interval I = a, b , je tím na křivce určen oblouk nad tímto intervalem s krajními body A a B křivku někdy orientujeme, většinou souhlasně s rostoucí souřadnicí x, pak je bod A počátečním a bod B koncovým bodem oblouku


Petra Surynková


Rovinné křivky

Explicitní rovnice

y = f ( x) , kde x ∈ a, b

explicitně zadanou křivku zobrazujeme tak, že pro dostatečný počet hodnot xk vyjádříme yk = f xk , k = 1, 2...

( )

dvojice

[ xk , yk ] jsou souřadnice bodů křivky

y A = [a, f (a )] B = [b, f (b)]


křivka je funkce

A

a

B

b

x

Petra Surynková


Rovinné křivky

Explicitní rovnice

y = f ( x) , kde x ∈ a, b

příklady

lineární funkce, kvadratické funkce, mocninné funkce, exponenciální funkce, logaritmické funkce, goniometrické funkce… příklady křivek

a ⎛ ax − ax ⎞ x y = ⎜ e + e ⎟ = a cosh a 2⎝ ⎠ řetězovka Počítačová geometrie

Petra Surynková


Rovinné křivky

y = x 2 n+1 , n ∈ `

y = x2n , n ∈ ` Počítačová geometrie

Petra Surynková


Rovinné křivky

y = x − (2 n+1) , n ∈ ` 0 , x ≠ 0

y = x −2 n , n ∈ ` , x ≠ 0 Počítačová geometrie

Petra Surynková


Rovinné křivky

y = a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0 parabola třetího stupně (kubická parabola)


Petra Surynková


Rovinné křivky

Implicitní rovnice

F ( x, y ) = 0

pokud tento tvar neumíme nebo nechceme převádět na explicitní, zobrazíme křivku tak, že volíme postupně konstantní hodnoty α jedné proměnné a počítáme hodnoty druhé proměnné řešením rovnic

F (α , y ) = 0 F ( x, α ) = 0


Petra Surynková


Rovinné křivky

Implicitní rovnice

F ( x, y ) = 0

příklady

kuželosečky – vlastnosti, rovnice, tečny příklady algebraických křivek

(x

2

+y

)

2 2

= 2a 2 ( x 2 − y 2 )

Bernoulliova lemniskáta


Petra Surynková


Rovinné křivky x 3 + y 3 − 3axy = 0, a > 0

x=a

Descartesův list

y = −x − a Dioklova kisoida

y 2 (a − x) = x3 , a > 0 Počítačová geometrie

Petra Surynková


Rovinné křivky

Parametrické rovnice

x = x(t ) y = y (t ), t ∈ a, b

parametrické rovnice vyjadřují vznik křivky jako dráhy pohybujícího se bodu

tento bod má v čase t souřadnice x(t) a y(t)

počáteční bod křivky

A[ x(a ), y (a )] koncový bod křivky B[ x (b), y (b)]


Petra Surynková


Rovinné křivky


funkcemi rovnice

x(t ), y (t ) (tzv. souřadnicové funkce) je určena bodová

Q(t ) = [ x(t ), y (t ) ]

nebo vektorová rovnice

q (t ) = ( x(t ), y (t ) )

vektor q (t ) = Q (t ) − [0,0] se nazývá polohový vektor, jeho velikost je rovna vzdálenosti bodu Q (t ) od počátku

výhoda parametrického zápisu je závislost na jediném parametru

oproti explicitnímu vyjádření výhoda - lze vyjádřit i takové křivky, které nejsou funkcemi, např. kružnice


Petra Surynková


Prostorové křivky


x = x(t ) y = y (t ) z = z (t ), t ∈ a, b

výhoda – parametricky lze zapisovat rovinné tak prostorové křivky analogie pojmů

bodová rovnice

vektorová rovnice

Q(t ) = [ x(t ), y (t ), z (t ) ] q (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) )


Petra Surynková



derivace parametricky vyjádřené křivky – po složkách

tečný vektor v bodě Q (t0 ) je určen

⎛ dx(t0 ) dy (t0 ) dz (t0 ) ⎞ ′ ′ ′ ′ q (t0 ) = ( x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) ) = ⎜ , , ⎟ dt dt dt ⎝ ⎠

rovnice tečny v bodě Q (t0 )

Q(t0 ) + sq′(t0 ), s ∈ \

výhoda parametrické reprezentace – snadné vyjádření tečny ke křivce, lze využít zejména při navazování křivek a skládání složitých tvarů z jednodušších částí


Petra Surynková



bod Q(t0 ) je inflexním bodem křivky

q′(t0 ) = kq′′(t0 ); k ≠ 0

křivka, jejíž všechny body jsou inflexní – přímka nebo část přímky

změna parametrizace

nahrazení parametru t jiným parametrem, který je zadán jako funkce s = s (t )

nové vyjádření R ( s ) = [ x ( s ), y ( s ), z ( s ) ] popisuje tutéž křivku s tím rozdílem, že tečný vektor v nějakém bodě křivky má stejný směr, ale jinou velikost, případně orientaci říkáme, že tečný vektor je závislý na parametrizaci (tečna na parametrizaci závislá není)


Petra Surynková



b

µ

Q(t )

τ

ν Q(t0 )

q′(t0 )

p

n q′′(t0 ) v bodě

p

- tečna

n

- hlavní normála

b

- binormála

τ ν µ Q(t0 )

- oskulační rovina - normálová rovina - rektifikační rovina

- není inflexní

(normála – každá přímka v normálové rovině) Počítačová geometrie

Petra Surynková



oskulační rovina v bodě Q(t0 )

b

µ q′(t0 )

Q(t )

τ

ν

Q(t0 )

n q′′(t0 )

p


určena tečnou p a vektorem q′′(t0 )

hlavní normála v bodě Q(t0 )

je přímka kolmá na tečnu p

leží v oskulační rovině

binormála v bodě Q(t0 )

je přímka kolmá na oskulační rovinu

Petra Surynková



normálová rovina v bodě Q(t0 )

b

µ q′(t0 )

Q(t )

τ

ν

určena přímkami b, n

rektifikační rovina v bodě Q(t0 )

určena přímkami b, p

Q(t0 )

n q′′(t0 )

p


Petra Surynková



Q1 (t ), Q2 (t )

- dvě části (segmenty) jediné křivky - spojené v bodě Q1 (1)

= Q2 (0)

Q(t )

- tzv. uzel

Q2 (t ) Q1 (t ) Q1 (1) = Q2 (0)


Petra Surynková



Q1 (t ), Q2 (t )

- důležité - způsob napojení, spojitost v uzlu

řekneme, že křivka Q (t ) je třídy spojité derivace do řádu n

označení

C n, má-li ve všech bodech

C n se nazývá parametrická spojitost Q2 (t )

Q1 (t ) Q1 (1) = Q2 (0) Počítačová geometrie

Petra Surynková



dva segmenty jsou spojitě navázány, mají spojení třídy C 0, pokud je koncový bod prvního segmentu = počátečnímu bodu druhého segmentu

dva segmenty mají spojení C , pokud je tečný vektor v koncovém bodě prvního segmentu = tečnému vektoru druhého segmentu v jeho počátečním bodě

dva segmenty mají spojen derivace

zkráceně

1

C 2 - rovnost vektoru první a druhé

q1( i ) (1) = q2( i ) (0); ∀i = 0,1...n Počítačová geometrie

Petra Surynková



platí

C n+1 ⇒ C n

C2

C0

C1

q1( i ) (1) = q2( i ) (0); ∀i = 0,1...n


Petra Surynková


Základní vlastnosti křivek n geometrická spojitost G

dva segmenty jsou G 0 spojité, pokud je koncový bod prvního segmentu = počátečnímu bodu druhého segmentu dva segmenty jsou G1 spojité, pokud je tečný vektor v koncovém bodě prvního segmentu lineárně závislý s tečným vektorem druhého segmentu v jeho počátečním bodě, tj.

q1′ (1) = kq2′ (0); k > 0

C1

tj. totožnost tečen, nikoli tečných vektorů

G1

platí

C n ⇒ Gn Počítačová geometrie

Petra Surynková

Základní vlastnosti křivek

Recommend Documents