Yohanes Private
Matematika 3
081519611185, 08119605588 Irisan kerucut: Lingkaran Parabola Elips Hiperbola LINGKARAN Bentuk umum : x2 + y2 = r2 (x – a) 2 + (y – b) 2 = r2
pusat: (0 , 0) ; jari-jari = r
y
pusat: (a , b) ; jari-jari = r
rr b
2
2
x + y + Ax + Bx + C = 0
pusat: (-½A , -½B) jari-jari = ½ √¯A2 + B2 – 4C x a
Garis singgung: 1. Gradien garis singgung diketahui • y = mx r √m2 + 1 • y – b = m (x – a) r √m2 + 1 2. Titik singgung ( x1 , y1) diketahui • x . x1 + y. y1 = r2 • (x – a) (x1 – a ) + (y – b) (y1 – b) = r2 Garis polar: • x . x1 + y. y1 = r2 • (x – a) (x1 – a ) + (y – b) (y1 – b) = r2 Kuasa, panjang garis singgung dan garis kuasa: • Kuasa dari titik ( x1 , y1) terhadap lingkaran L 1. K = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 - r2 2. K = x12 + y12 + A x1 + B y1 + C (koefisien x2 dan y2 harus = 1) • Panjang garis singgung dari ( x1 , y1) terhadap L : d = √K ( x1 , y1) di luar L • Garis kuasa : g ≡ L1 – L2 = 0 • Titik kuasa pada 3 lingkaran : - cari garis kuasa antara L1 dan L2 - cari garis kuasa antara L1 dan L3 - Koordinat titik kuasa adalah perpotongan kedua garis tersebut Titik potong 2 lingkaran 1. Cari garis kuasa kedua lingkaran (yaitu g) 2. Substitusi g pada salah satu lingkaran, jadikan bentuk persamaan kuadrat 3. Periksa diskrimnan persamaan kuadrat yang terjadi: • D > 0 : kedua lingkaran berpotongan di 2 titik • D = 0 : kedua lingkaran berpotongan di 1 titik • D < 0 : kedua lingkaran tidak berpotongan
1
PARABOLA Parabola relasi
Parabola fungsi
Bentuk kurva y
direktriks
p
y
p F
b
p F
b p
a
Definisi
Persamaan Puncak Parameter Fokus Direktris Sb. simetri Eksentrisitas Latus rectum Garis singgung • m diketahui • ttk sg. diketahui Garis polar Grs. Tengah sekawan
direktriks
x
Tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tetap (disebut focus) dan sebuah garis tertentu (disebut direktris) Tempat kedudukan titik-titik sehingga perbandingan jaraknya ke titik tertentu (yaitu focus) dan garis tertentu (yaitu direktris) sama dengan 1 (eksentrisitas = e = 1) (y – b)2 = 4p (x – a) (x – a) 2 = 4p (y – b) (a , b) (a , b) P → + : membuka ke kanan P → + : membuka ke atas – : membuka ke kiri – : membuka ke bawah (a + p, b) (a , b + p) x=a–p y=b–p y=b x=a e=1 e=1 LR = 4p LR = 4p y – b = m (x – a) + p/m
y – b = m ( x – a) – pm2
(y – b)(y1 – b) = 2p (x + x1 – 2a) rumus bagi adil, (x1,y1) pada parabola (y – b)(y1 – b) = 2p (x + x1 – 2a) rumus bagi adil, (x1,y1) di luar parabola y – b = 2(p/m)
(x – a)(x1 – a) = 2p (y + y1 – 2b) rumus bagi adil, (x1,y1) pada parabola (x – a)(x1 – a) = 2p (y + y1 – 2b) rumus bagi adil, (x1,y1) di luar parabola x – a = 2pm
CATATAN : Menentukan rumus bagi adil : • Bentuk x2 dipecah menjadi x x1 • Bentuk x dipecah menjadi ½ (x + x1)
• Bentuk y2 dipecah menjadi y y1 • Bentuk y dipecah menjadi ½ (y + y1)
2
ELIPS Elips ( datar )
Elips ( tegak )
Bangun kurva
y y
direktriks direktriks
direktriks a
q
fF c f
F
F b
p
c
q
x
F
a
b direktriks
Definisi
Persamaan
Pusat Parameter
Fokus (2) Puncak (4) Direktriks (2) Sb. simetri Eksentrisitas Latus rectum Garis singgung • m diketahui • ttk singgung diketahui
Garis polar
Garis tengah sekawan
x p Tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu (disebut focus) adalah tetap harganya (yaitu sama dengan 2a) Tempat kedudukan titik-titik sehingga perbandingan jaraknya ke titik tertentu dan garis tertentu adalah kurang dari 1 ( 0 < e < 1 ) (x – p)2 (y – q)2 (x – p)2 (y – q)2 -------- + --------- = 1 -------- + --------- = 1 2 2 a b b2 a2 (p , q) (p , q) • a, b, c → a2 = b2 + c2 • a, b, c → a2 = b2 + c2 •a>b>0 •a>b>0 • sumbu panjang = 2a (sejajar sb. x) • sumbu panjang = 2a (sejajar sb. y) • sumbu pendek = 2b (sejajar sb. y) • sumbu pendek = 2b (sejajar sb. x) (p c , q) (p, q c) (p, q b) dan (p a, q) (p, q a) dan (p b, q) 2 x – p = (a /c) y – p = (a2/c) x = p dan y = q x = p dan y = q e = (c/a) ; 0 < e < 1 e = (c/a) ; 0 < e < 1 LR = 2b2 LR = 2b2 a A y – q = m(x – p) √(a2m2 + b2) (x – p)(x1 – p) (y – q)(y1 – q) ----------------- + ----------------- = 1 a2 b2 rumus bagi adil (x1 , y1) pada elips (x – p)(x1 – p) (y – q)(y1 – q) ----------------- + ----------------- = 1 a2 b2 rumus bagi adil (x1 , y1) diluar elips -b2 y – q = ------ (x – p ) a2m
3
y – q = m(x – p) √(b2m2 + a2) (x – p)(x1 – p) (y – q)(y1 – q) ----------------- + ----------------- = 1 b2 a2 rumus bagi adil (x1 , y1) pada elips (x – p)(x1 – p) (y – q)(y1 – q) ----------------- + ----------------- = 1 b2 a2 rumus bagi adil (x1 , y1) diluar elips -a2 y – q = ------ (x – p ) b2m
HIPERBOLA Hiperbola (datar)
Hiperbola (tegak)
Bentuk kurva y
asimtot
asimtot
y
b
c F q
F
F a b
q
a
c F
p
x p
Definisi
Persamaan
Pusat Parameter
Fokus (2) Puncak (2) Direktris (2)
Sb simetri Eksentrisitas
Latus rectum
Asimtot
Garis singgung • m diketahui • ttk sg. diketahui
Garis polar
Grs. Tengah sekawan
x
Tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu (disebut fokus) adalah tetap harganya (yaitu sama dengan 2a) Tempat kedudukan titik-titik sehingga perbandingan jaraknya ke titik tertentu dan ke garis tertentu adalah lebih dari 1 (e > 1) (x – p)2 (y – q)2 (y – q)2 (x – p)2 -------- - -------- = 1 -------- - -------- = 1 a2 b2 a2 b2 (p , q) (p , q) • a, b, c, → c2 = a2 + b2 • a, b, c, → c2 = a2 + b2 • sumbu transfer = 2a ( sejajar sumbu x ) • sumbu transfer = 2a ( sejajar sumbu y ) • sumbu imajiner = 2b ( sejajar sumbu y ) • sumbu imajiner = 2b ( sejajar sumbu x ) (pc,q) (p,qc) (pa,q) (p,qa) a2 a2 x – p = ---y – q = ---c c x = p dan y = q x = p dan y = q c c e = --- ; e > 1 e = --- ; e > 1 a a 2 2b 2 b2 LR = ----LR = ----a a b a y – q = --- (x – p) y – q = --- (x – p) a b y – p = m (x – p) √(a2m2 – b2)
y – p = m (x – p) √(a2 – b2 m2)
(x – p)(x1 – p) (y – q)(y1 – q) ----------------- - ----------------- = 1 a2 b2 rumus bagi adil, (x1 , y1) pada hiperbola (x – p)(x1 – p) (y – q)(y1 – q) ----------------- - ----------------- = 1 a2 b2 rumus bagi adil, (x1 , y1) di luar hiperbola b2 y – q = ------ (x – p) a2 m
(y – q)(y1 – q) (x – p)(x1 – p) ----------------- - ----------------- = 1 a2 b2 rumus bagi adil, (x1 , y1) pada hiperbola (y – q)(y1 – q) (x – p)(x1 – p) ----------------- - ----------------- = 1 a2 b2 rumus bagi adil, (x1 , y1) di luar hiperbola a2 y – q = ------ (x – p) b2 m
4
CATATAN • Elips - Sumbu panjang disebut sumbu mayor, dan sumbu pendek disebut juga sumbu minor • Hiperbola 1. Hiperbola sekawan x2 y2 x2 y2 --- - --- = 1 dan --- - --- = -1 adalah dua hiperbola yang sekawan a2 b2 a2 b2 Ciri : - pusat sama - sumbu nyata hiperbola yang satu merupakan sb. imajiner hiperbola lainnya - garis-garis asimtotnya sama - jarak semua fokus ke pusat adalah sama panjang - hiperbola sekawan umumnya tidak “sama dan sebangun” 2. Hiperbola orthogonal / hiperbola sama sisi adalah hiperbola yang asimtotnya saling tegak lurus, atau a = b → Mencari garis singgung jika titik singgung telah diketahui Cara yang termudah (tidak perlu mengetahui bentuk kurva dan tidak perlu menghafal rumus garis singgung) adalah dengan menggunakan differensial, mengingat bahwa m = y’ Contoh : Cari persamaan garis singgung di (5, 3) pada elips : x2 + 4y2 – 6x –16y + 17 = 0 Jawab : Differensialnya = 2x + 8yy’ – 6 – 16y’ = 0 Di (5, 3) → 2.5 + 8.3.y’ – 6 – 16y’ = 0 → y’ = -½ Persamaan garis singgung : y – 3 = -½ (x – 5) 2y – 6 = -x + 5 x + 2y = 11 →Mencari garis singgung dari titik (x1 , y1) di luar kurva (untuk semua bentuk kurva) Ada dua cara : I. Menggunakan rumus garis singgung jika m diketahui Langkah : 1. Misalkan garis singgung seolah-olah m (gradien) diketahui 2. Substitusi titik (x1 , y1) ke persamaan garis singgung tersebut - diperoleh suatu persamaan dalam m - pecahkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh nilai m 3. Gunakan rumus: y – y1 = m (x – x1) untuk mendapatkan persamaan garis singgung II. Menggunakan bantuan garis polar Langkah : 1. Cari persamaan garis polar titik (x1 , y1) (gunakan rumus bagi adil) 2. Substitusi garis polar ke persamaan kurva - pecahkan persamaan tersebut - diperoleh koordinat dari kedua titik singgung 3. Gunakan rumus bagi adil untuk mendapatkan persamaan garis singggung Contoh: Cari persamaan garis singung yang ditarik dari (7, 1) pada lingkaran x2 + y2 = 25 Cara I : Jawab : Karena lingkaran tersebut berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r = 5, maka garis singgungnya jika m telah diketahui ialah………. → y = mx 5 √(m2 + 1) garis lewat (7, 1) → 1= m.7 5 √(m2 + 1) 1 – 7m = 5 √(m2 + 1) (1 – 7m)2 = 25 (m2 + 1) 1 – 14m + 49m2 = 25m2 + 25 24m2 – 14m – 24 = 0 m = 4/3 m= -3/4 → y – 1 = 4/3 (x – 7) serta y – 1 = -3/4 (x – 7) → 4x – 3y – 25 = 0 serta 3x + 4y – 25 = 0
5
Cara II Jawab : Persamaan bagi adil : xx1 + yy1 = 25 1. Persamaan garis polar : x.7 + y.1 = 25 →7x + y = 25 → y = 25 – 7x 2. Substitusi ke lingkaran: x2 + (25 – 7x)2 = 25 x2 + 625 – 350x + 49x2 = 25 50x2 – 350x + 600 = 0 x2 – 7x + 12 = 0 (x – 4)(x – 3) = 0 x1 = 4 → y1 = 25 – 7.4 = -3 → (4, -3) x2 = 3 → y2 = 25 – 7.3 = 4 → (3, 4) 3. persamaan garis singgung di (4, -3) : x.4 + y(-3) = 25 → 4x – 3y – 25 = 0 persamaan garis singgung di (3, 4) : x.3 + y4 = 25 → 3x + 4y –25 = 0
Jenis kurva irisan kerucut Persamaan secara umum : Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 Jika : Lingkaran : A = B Elips : A ≠ B, A = +, B = + Hiperbola : A = 0 atau B = 0 Garis lurus: A = 0 dan B = 0 Kedudukan garis terhadap irisan kerucut D < 0 : garis tidak memotong kurva D = 0 : garis menyinggung kurva D > 0 : garis memotong kurva di dua titik
6
