X. ÖSSZEFOGLALÓ ÉS VERSENYRE ELŐKÉSZÍTŐ

Fejezet tartalma

Vissza

Tartalomjegyzék

Összefoglaló gyakorlatok és feladatok

223

X. ÖSSZEFOGLALÓ ÉS VERSENYRE ELŐKÉSZÍTŐ GYAKORLATOK, FELADATOK X.1. Összefoglaló gyakorlatok 1. Számítsd ki a

200 + {6 − 3[4 2 + ( 32 − 225 )]}

2. Oldd meg

1 2

tört értékét.

1231 − 35 + 5(440 − 21 ) − 2 -en a következő egyenleteket és egyenlőtlenségeket: 2

2

a)

3x − 1 x + 3 5x 2 − 6 x − 3 2 − = ; x +1 2x − 3 2x 2 − x − 3

c)

( x − 3)(− x + 1) ≤ 0. ( x + 2)(−3 x + 4)

b) 33x − 77 < 132 x + 99 ;

3. Vizsgáld az alábbi függvények monotonitását és előjelét, határozd meg a grafikus kép tengelyekkel való metszéspontjait, majd ábrázold a függvényt:

a) f :

→ ,

f ( x) = −3x + 2 ;

b) g :

→ ,

 x − 3, x < 3  g ( x) = 4, x ∈ [3, 4) . −2 x + 1, x ≥ 4 

x ≤1  x, , f ( x) =  2 függvényt. x >1  x − 2 x + 2, x 2 − 3x + 2 5. Oldd meg a valós számok halmazán az 2 > 1 egyenlőtlenséget. x − 7 x + 12 6. Határozd meg az m ∈ paraméter értékét úgy, hogy fennálljon az (m − 2) x 2 − 2mx + m − 3 > 0 egyenlőtlenség ∀ x ∈ esetén.

4. Ábrázold grafikusan az f :

→

 x 3 + x 2 y + xy 2 = 6 7. Oldd meg a valós számok halmazán az  2 egyenletrendszert.  x y + xy 2 + y 3 = −3 2x − 1 függvény bijektív, határozd 8. Bizonyítsd be, hogy az f : \ {2} → \ {2} , f ( x) = x−2 meg azt a g : \{2} → \ {2} függvényt, amelyre f o g = 1 \{2} és oldd meg az

f ( x) + xg ( x) = 0 egyenletet.

9. Ábrázold grafikusan az f : a monotonitását és előjelét.

→

x≤0 − x + 2, , f ( x) =  2 függvényt, majd vizsgáld  x − 3 x + 2, x > 0

Fejezet tartalma

224

Tartalomjegyzék


10. Oldd meg a valós számok halmazán az

x +1 1− x −2< egyenlőtlenséget. x 1− x

1 2. 11. Legyen E ( x) = 2 x + 2mx + m 2 + 1 a) Igazold, hogy E ( x) értelmezett minden m ∈ és x ∈ esetén. b) Határozd meg az m ∈ paraméter értékét úgy, hogy E ( x) legyen negatív minden x ∈ esetén. 3x 2 + 3 y 2 − 2 x 2 y 2 + 6 xy + 5 = 0 12. Oldd meg a valós számok halmazán az  2  x y + xy 2 = 12 − x 2 + (m + 1) x −

egyenletrendszert. 13. Ha az x = 2 egyenletű egyenes az f : → függvény grafikus képének szimmetriatengelye állapítsd meg az alábbi kijelentések igazságértékét: a) f (0) = f (4) ; b) f ( x + 2) = f ( x − 2), ∀x ∈ ; c) f (2 + x) = f (2 − x), ∀x ∈ ; d) f periodikus; e) f páros. Indokold meg válaszaidat! 14. Legyen f : → függvény úgy, hogy, f (m + n) = f (m) + f (n) f (1) = 1 . Bizonyítsd be, hogy a) f (0) = 0 ; b) f (n) = n, ∀n ∈ ; c) f páratlan; d) f (n) = n, ∀n ∈ .

∀m, n ∈

és

π  15. Határozd meg az f ( x) = tg 3x −  függvény maximális értelmezési tartományát és 4  főperiódusát! 16. Határozd meg az f ( x) = sin 6 x + cos 3 x függvény főperiódusát! 17. Tanulmányozd az f ( x) = sin 2 x + cos 3 x függvény periodicitását! 18. Adott az f : → , f ( x) = a sin x + b cos x ( a, b ∈ ) függvény. Igazold, hogy f ( x) = 0 ∀x ∈ ⇔ ∃x1 , x2 ∈ úgy, hogy x1 − x2 ≠ kπ (k ∈ ) és f ( x1 ) = f ( x 2 ) = 0 . 19. Legyen sin x + cos x = p . Számítsd ki a tg x + ctg x + tg 2 x + ctg 2 x + tg 3 x + ctg 3 x kifejezés értékét p függvényében. 20. Igazold, hogy 1 sin 4 x + cos 4 x ≥ , ∀x ∈ ; 2 1 sin 6 x + cos 6 x ≥ , ∀x ∈ ; 4 1 − sin 2 x ≤ 2 , ∀x ∈ . sin x − cos x

Fejezet tartalma

Tartalomjegyzék


225

a −b , majd oldd meg a 2 (sin a + sin b )x 2 − 2(cos a + cos b)x − sin a − sin b = 0 egyenletet. x1 -gyel és x2 -vel jelölve a

21. Igazold, hogy

(cos a + cos b )2 + (sin a + sin b )2 = 4 cos 2

fenti egyenlet gyökeit, számítsd ki az a + b értékét, ha x12 + x22 = 2 ( a és b a másodfokú egyenlet együtthatóit jelöli a szokásos jelöléssel). 22. Határozd meg az f : → , f ( x) = 3 sin 2 x − cos 2 x függvény maximumát és minimumát. 23. Ha sin 2(a + c ) = n sin 2b , akkor igazold, hogy tg (a + b + c ) =

n +1 tg (a − b + c ) . n −1

24. Bizonyítsd be, hogy igazak az alábbi ekvivalenciák: sin (a + b ) sin (c + d ) cos(a + d ) cos(c + b ) tg a tg c = = = ⇔ ⇔ . sin (a − b ) sin (c − d ) cos(a − d ) cos(c − b ) tg b tg d 25. Bizonyítsd be, hogy cos cos

3π 2π π = − cos , majd számítsd ki cos -öt és igazold a 5 5 5

2π 4π 1 + cos = − egyenlőséget. 5 5 2

(

) (

)

26. Bizonyítsd be, hogy tg α + tg α + 60 o + tg α + 120 o = 3 tg 3α . 26. Bizonyítsd be, hogy ha egy háromszögben a sin B + b sin A = 2c sin C és b sin C + c sin B = 2a sin A , akkor az ABC∆ egyenlő oldalú. 27. Bizonyítsd be, hogy ha egy háromszögben b cos C = c cos B , akkor a háromszög egyenlő szárú. 28. Bizonyítsd be, hogy ha egy háromszögben b 2 + 2ac cos B = a 2 + 2bc cos A , akkor a háromszög egyenlő szárú. 29. Bizonyítsd be, hogy ha egy háromszögben a cos A = c cos B , akkor az ABC ∆ egyenlő szárú vagy derékszögű. b+c 30. Bizonyítsd be, hogy ha egy háromszögben cos B + cos C = , akkor az ABC ∆ derékszögű. a b + c ha 31. Bizonyítsd be, hogy ha egy háromszögben = = 2 , akkor az ABC ∆ derékszögű. a la b3 + c3 − a3 = a 2 , akkor m( A) = 60o . b+c−a 1 1 3 + = , akkor m( B ) = 60o . 33. Bizonyítsd be, hogy ha egy háromszögben a+b b+c a+b+c

32. Bizonyítsd be, hogy ha egy háromszögben

34. Bizonyítsd be, hogy ha egy háromszögben (b + c)a = b 2 + c 2 és b + c =

2 3 a , akkor 3

m( A) = 30o .

35. Bizonyítsd be, hogy ha egy háromszögben b 2 + c 2 = 2a 2 , akkor m( A) ≤ 60o . →

→

36. Tekintsük az O kezdőpontú, i és j egymásra merőleges egységvektorokkal megadott koordinátarendszert. Határozzuk meg a P és Q pontok koordinátáit ebben a →

→

→

 →

→

→

koordinátarendszerben, ha tudjuk hogy OP = 3 i − 2 j és PQ = 2 i − 4 j .

Fejezet tartalma

226

Tartalomjegyzék


X.2. Összefoglaló feladatok 1. Bizonyítsd be, hogy tg α + tg α + 20 o + tg α + 40 o + tg α + 60 o + ... + tg α + 160 o = 9 tg 9α .

(

) (

2. Bizonyítsd be, hogy cos

) (

)

(

)

8π 12π 18π 1 7 π π + cos + cos = cos + sin . 35 35 35 2 5 2 5

(

π

)(

)

= 2 −1 3 − 2 . 24 5π = 6 + 3 − 2 −2. 4. Bizonyítsd be, hogy tg 24 5. Hasonlítsd össze a cos 36 o és tg 36 o értékeket.

3. Bizonyítsd be, hogy tg

6. Bizonyítsd be, hogy tg 55 o > 1,4 . 7. Bizonyítsd be, hogy tg 11o < 0,2 . 8. Bizonyítsd be, hogy bármely x1 , x2 , x3 ∈

esetén

9. Bizonyítsd be, hogy bármely x ∈

(

1 − cos(x 3 − x 2 ) + 1 − cos(x 2 − x1 ) ≥ 1 − cos(x 3 − x1 ) .

10. Bizonyítsd be, hogy tg 2

π

+ tg 2

13

11. Bizonyítsd be, hogy 2 cos

π 2n

)

(

)

esetén sin sin 2 x + cos cos 2 x > 3π 4π + tg 2 = 39 − 10 13 . 13 13

1 . 2

= 2 + 2 + ... + 2 . n −1 gyök

(

)

(

)

3 ≤ sin 2 4 x + 8o + cos 2 4 x − 82o ≤ 2 . 2 3π 5π 7π π , tg és tg . 13. Bizonyítsd be, hogy az x 4 − 6 x 2 + 1 = 0 egyenlet gyökei tg , tg 8 8 8 8 1 π 21 14. Bizonyítsd be, hogy ha n ≥ , akkor cos > 1 − . n n +1 4

12. Bizonyítsd be, hogy ha 13o ≤ x ≤ 28o , akkor

15. Periodikus-e az f :

→

, f ( x) = sin x függvény ? Hát a g :

→

,

g ( x) = sin x + cos 2 x ?

2π 3π 4π 5π 1 + cos − cos + cos = . 11 11 11 11 11 2 17. Bizonyítsd be az alábbi egyenlőségeket, ha A , B és C egy háromszög szögeinek mértékei: a) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C − 2 cos A cos B cos C = 2 ; A B C A B C b) sin 2 + sin 2 + sin 2 = 1 − 2 sin sin sin ; 2 2 2 2 2 2 A B C A B C c) cos 2 + cos 2 + cos 2 = 2 + 2 sin sin sin . 2 2 2 2 2 2

16. Bizonyítsd be, hogy cos

π

− cos

Fejezet tartalma

Tartalomjegyzék


227

 π 18. Bizonyítsd be, hogy, ha x ∈ 0,  , akkor  2 tg x + sin x ≥ x. 2 19. Bizonyítsd be, hogy ha az ABC∆ háromszögben b 2 + c 2 = 2a 2 , akkor a) 2 ctg A = ctg B + ctg C ; b) a ⋅ ma = b ⋅ mb . 20. Számítsd ki az R sugarú körbe írt szabályos a) hatszög; b) ötszög; c) nyolcszög oldalát. 21. Bizonyítsd be, hogy ha az ABC háromszögben b + c = a , akkor B C B C A b) T = a ⋅ ra ; a) 2 tg tg = 1 ; c) sin sin = sin . 2 2 2 2 2 22. Bizonyítsd be, hogy ha az ABC háromszögben b + c = a , akkor B C b) 2 cos A + cos B + cos C = 2 . a) 3 tg tg = 1 ; 2 2 π 2π 23. Bizonyítsd be, hogy ha az ABC háromszögben m( A) = és m( B ) = , akkor 7 7 b c a −b , cos B = , cos C = ; a) cos A = 2a 2b 2b 1 c) ha = hb + hc . b) cos A cos B cos C = − ; 8 24. Bizonyítsd be az alábbi egyenlőtlenségeket: b) a cos A + b cos B + c cos C ≤ p ; a) ra + rb + rc ≥ 9r ;

a) tg x sin x ≥ x 2 ;

c) ra2 + rb2 + rc2 ≥ p 2 ;

b)

d)

(b + c )2

≤

ma ; la

e)

b 2 + c 2 ma ≤ . 2bc 4a

4bc 25. Bizonyítsd be az alábbi azonosságokat: a) ra + rb + rc = 4 R + r ; b) ra rb + rb rc + rc ra = p 2 ;

c) p 2 = 2r (6 R − r ) ;

e) a 2 + b 2 + c 2 = 2 p 2 − 2r 2 − 8Rr ; g) ra rb = p( p − c ) ; i) 2S =

a2 ; ctg B + ctg C

b−a = k) c

B−A 2 C cos 2

d) ab + bc + ca = p 2 + r 2 + 4 Rr ; f) a ctg A + b ctg B + c ctg C = 2(R + r ) ; h) (ra + rb )(rb + rc )(rc + ra ) = 4Rp 2 ; j) a =

sin

l)

p sin

A 2

B C cos cos 2 2

;

( p − a ) 2 ( p − b) 2 ( p − c ) 2 2 R − r + + = bc ac ab 2R

m) (c − a )(c cos B + b cos C ) = ab(cos A − cos B ) + a (a − c ) cos B ; n) a ⋅ ctg A + b ⋅ ctg B + c ⋅ ctg C = 2 R + 2r ; o) ra (rb + rc ) + rb (rc + ra ) + rc (ra + rb ) = 2 p 2 .

Fejezet tartalma

228

Tartalomjegyzék


26. Bizonyítsd be, hogy bármely n ∈ * és azon x ∈ esetén, amelyekre az egyenlőségben szerepelő kifejezések értelmezettek, igazak az alábbi egyenlőségek: n cos(n + 1)x sin nx ; + 2 2 sin x n cos(n + 1)x sin nx ; b) sin 2 x + sin 2 2 x + ... + sin 2 nx = − 2 2 sin x sin 2 x sin 4 x sin 2nx 1 c) + + ... + = ⋅ cos 2 x − sin 2 x cos 4 x − sin 4 x cos 2nx − sin 2nx 2

a) cos 2 x + cos 2 2 x + ... + cos 2 nx =

sin n(n + 1)x ; π  sin  − n(n + 1)x  4 

sin x sin 3x sin 5 x sin (2n − 1)x tg 2 nx + + + ... + = . 2 2 2 2 2 2 2 cos x cos x cos 2 x cos 2 x cos 3x cos (n − 1)x cos nx sin x 27. a) Bizonyítsd be, hogy ha k ∈ és a, α ∈ úgy, hogy az alábbi kifejezések értelmezettek, akkor 2 sin a tg (a + kα ) − tg kα = és cos a + cos(a + 2kα ) 2 sin a ctg kα − ctg(a + kα ) = ( k ≠ 0 ). cos a − cos(a + 2kα ) n n 1 1 b) Számítsd ki a ∑ és ∑ összegeket. k =1 cos a + cos(2k + 1)a k =1 cos a − cos(2k + 1)a 28. Számítsd ki az alábbi összegeket, majd az eredményt igazold a matematikai indukció módszerével: a) S1 = sin 2 x + sin 2 3 x + ... + sin 2 (2n − 1) x ; b) S 2 = cos3 x + cos3 2 x + ... + cos3 nx ;

d)

c) S3 = sin 3 x + sin 3 2 x + ... + sin 3 nx . 29. Bizonyítsd be, hogy az ABCD körbeírható négyszögben a) AC ⋅ BD = AB ⋅ CD + AD ⋅ BC (Ptolemaiosz I. tétele); AC AB ⋅ AD + CB ⋅ CD b) = (Ptolemaiosz II. tétele). BD BA ⋅ BC + DA ⋅ DC 30. Az AB körív felezőpontját jelöljük C -vel és legyen P egy tetszőleges pont az AB köríven. Bizonyítsd be, hogy PA ⋅ PB = AC 2 − PC 2 . 31. Bizonyítsd be, hogy ha H az ABC hegyesszögű háromszög ortocentruma, akkor HA + HB + HC = 2(R + r ) , ahol R és r az ABC háromszög köré illetve a háromszögbe írt kör sugara. 32. Három egymással párhuzamos egyenes közül a középső a két szélsőtől a és b távolságra van. Határozd meg annak az egyenlő oldalú háromszögnek az oldalhosszát, amelynek csúcsai a három egyenesen vannak (mindenik egyenesen van csúcs). BM 1 33. Az ABC∆-ben legyenek M ∈ (BC ) és N ∈ ( AM ) pontok úgy, hogy = és MC 2 AN = 3 valamint {P} = BN ∩ AC , {Q} = CN ∩ AB . NM

Fejezet tartalma

Tartalomjegyzék


229

AP AQ BN arányokat. ; ; PC AB NP b) Határozzuk meg a CNP∆ és ABC∆ háromszögek területeinek arányát. 34. Legyen ABC egy nem elfajult háromszög és M∈(BC) úgy, hogy MB = kMC (k ∈ *+ ) . Igazoljuk, hogy (1 + k ) AM < AB + kAC . 35. Igazoljuk, hogy egy háromszög egy belső szögfelezőjének hossza kisebb, mint az ugyanabból a csúcsból kiinduló oldalak hosszainak harmonikus középarányosa. 36. Az ABC∆ -ben legyenek E ∈ ( AB) és F ∈ ( AC ) úgy, hogy EF || BC valamint

a) Határozzuk meg az

M ∈ ( EF ) és N ∈ (BC ) úgy, hogy

BN EM . Igazoljuk, hogy az A, M és N pontok = NC MF

kollineárisak. 37. Legyen ABCD paralelogramma, M az [AB] felezőpontja és N egy pont a [DM]-en úgy, 1 hogy MN = MD . 3 →

 →

 →

 →

a) Fejezd ki az AN és BN vektorokat az AB és BC vektorok lineáris kombinációjaként. b) Igazold, hogy az A, N és C pontok kollineárisak. DP AQ 1 c) Ha P ∈ ( AD ) és Q ∈ ( AM ) úgy, hogy = = , bizonyítsd be, hogy az PA QM 2 [ AN ], [ MP] és [ DQ] szakaszokkal, mint oldalakkal szerkeszthető háromszög. 3   1 1 + 3    1 38. Legyenek A1 + 3 , , B , és C 1,  pontok a síkban. Igazoljuk, hogy az 2 2 2    2 ABC ∆ derékszögű. Melyik a derékszög?.

39. Számítsd ki: a)

3

7 + 50 + 3 7 − 50 ;

b)

3

45 − 29 2 ;

c)

3

38 14 − 100 2 − 3 99 − 70 2 ; d)

3

1+

2 3

7 3 2 − 1− 3 3

7 . 3

A+ B =

40. Határozd meg az X és Y valós számokat úgy, hogy

X + Y , ha A, B ≥ 0

és A − B ≥ 0 . 2

41. Bizonyítsd be, hogy ha a, b, c ∈ * , a + b + c ≠ 0 és 1 a

2001

+

1 b

2001

+

1 c

2001

=

1 1 1 1 + + = , akkor a b c a+b+c

1 a

2001

+b

2001

+ c 2001

.

Fejezet tartalma

230

Tartalomjegyzék


42. Bizonyítsd be, hogy ha a, b, c > 0 , akkor abc(a + b + c ) ≤ a 3 b + b 3 c + c 3 a . 43. Határozd meg az összes olyan p prímszámot, amelyre p 2 − 2 , 2 p 2 − 1 és 3 p 3 + 4 szintén prímszám. 44. Bizonyítsd be, hogy 1 −

1 1 1 1 1 1 1 + − + ... + − = + ... + .(Catalan összefüggés) 2 3 4 2n − 1 2n n + 1 2n

45. Bizonyítsd be, hogy ha a + b + c = 0 , akkor

bc − a 2 ac − b 2 ab − c 2 + + = 0 , ahol bc + 2a 2 ac + 2b 2 ab + 2c 2

a, b, c ∈ és a nevezők egyike sem 0. 46. Egy mesebeli fa egyszer elkezdett növekedni. Az első nap félszeresével nőtt, a második nap az egyharmadszorosával, a harmadik nap az egynegyedszeresével és így tovább. Hány nap alatt nőtt a százszorosára? 47. Bizonyítsd be, hogy az f : A → B függvény pontosan akkor szürjektív, ha ∀X ⊂ A

esetén C B f ( X ) = f (C A X ) . 48. Bizonyítsd be, hogy az f : A → B függvény pontosan akkor injektív, ha f ( X ∩ Y ) = f ( X ) ∩ f (Y ), ∀X , Y ⊂ A .

49. Határozd meg az f : → , f ( x) = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 függvény képeinek halmazát. 50. Az m és n valós paraméterek milyen értékeire teljesül az Im f = [−4, 5] egyenlőség, ha 3x 2 + mx + n , ∀x ∈ . x2 + 1 51. Határozd meg az a és b valós paramétereket úgy, hogy az 2 2 f ( x) = max x + ax + b, x + bx + a függvény grafikus képe áthaladjon a (−1, 4) és (2, 9) pontokon. 52. Az f : → , f ( x) = ax + b függvény minden valós x esetén teljesíti az f ( f (x )) = x egyenlőséget. Milyen geometriai transzformációja f a számegyenesnek? f:

→

, f ( x) =

{

}

53. Legyen α az x 2 + px + q = 0 és β a − x 2 + px + q = 0 egyenlet egy-egy gyöke. 1 2 x + px + q = 0 egyenletnek van legalább egy gyöke α és β közt. 2 54. Az ABCD négyzet AB oldalegyenesén mozog a P pont. Milyen határok között változik PC a arány? PD 55. Határozd meg az f : → , f ( x) =| x − a1 | + | x − a 2 | +...+ | x − a n | függvény minimumát, ha a1 < a 2 < ... < a n .

Bizonyítsd be, hogy az

56. Határozd meg a z = x + y +

(a − x )2 + (b − y )2

kifejezés minimumát, ha a és b valós

számok, x és y tetszőleges nemnegatív számok. 57. Ábrázold grafikusan az f :

→

, f ( x) = x ⋅ [ x] függvényt.

Fejezet tartalma

Tartalomjegyzék

Összefoglaló gyakorlatok és feladatok 58. Számítsuk ki a következő f : D ⊆

→

231

függvényekre az f o f o ... o f összetételt: n − szer

x a) f ( x) = ; 3 1 4 c) f ( x) =  x +  ; 2 x 59. Bizonyítsd be, hogy ha a, b, c ∈

b) f ( x) = x + α , α ∈ d) f ( x) =

;

x−2 . x+2

, a ≠ 0 és a(4a + 3b + 2c) ≥ 0 , akkor nem lehet az

ax 2 + bx + c = 0 egyenlet mindkét gyöke az (1, 2 ) intervallumban.

60. Bizonyítsd be, hogy ha a, b, c ∈ , a ≠ 0 , b 2 < 4ac és 4a + 2b + c > 0 , akkor a + 2b + 4c > 0 . 61. Hány olyan f : [0, 1] → [0, 1] függvény létezik, amelyre f ( x) − f ( y) ≥| x − y | ∀x, y ∈[0, 1] ?

62. Bizonyítsd be, hogy az ABC pontosan akkor derékszögű vagy egyenlő szárú, ha tgB sin 2 B = . tgC sin 2 C 63. Bizonyítsd be, hogy ha 8 cos A cos B cos C = 1 , akkor ABC egyenlő oldalú. 64. Adott kerületű téglalapok közül melyiknek a legnagyobb a területe? 65. Adott területű téglalapok közül melyiknek a legkisebb a kerülete? 66. Adott kerületű háromszögek közül melyiknek a legnagyobb a területe? 67. Adott területű háromszögek közül melyiknek a legkisebb a kerülete? 68. Számítsuk ki az M ( x0 , y 0 ) pont távolságát az ax + by + c = 0 egyenletű egyenestől! 69. Adott az A( x1 , y1 ) és B( x 2 , y 2 ) pont. Határozzuk meg az M (x, 0) pont abszcisszáját úgy, hogy az A-M-B útvonal hossza minimális legyen! 70. Egy téglalap egyik oldalára félkört szerkesztünk. Mennyi a téglalap oldalainak aránya, ha a kapott alakzat kerülete K és a területe maximális? Fogalmazd meg, majd oldd is meg a duális feladatot! 71. Számítsuk ki adott körbe írt téglalap területének maximumát! 72. Számítsuk ki az R sugarú kör köré írt trapéz kerületének minimumát! 73. Egy folyó partján 3200 m2 nagyságú, téglalap alakú területet kell elkeríteni. Mekkorának válasszuk a téglalap méreteit, ha azt szeretnénk, hogy a kerítés a legrövidebb legyen? (a parton nincs kerítés) 74. A vízszintessel ϕ szöget bezáró irányba kilövünk egy lövedéket. Milyen magasra emelkedik ez a lövedék, ha a légellenállást elhanyagoljuk? 75. Egy gyalogos az A helyiségből a D helyiségbe tart. D A két helyiséget nem köti össze közvetlen út. Hol kell letérnie az AB útról a mezőre, ha az úton a sebessége v1 , míg a mezőn v 2 , a lehető legrövidebb idő alatt szeretne A C B D-be érkezni, és a D-nek AB-re eső vetülete A-tól a méternyi távolságra van? 76. Két vasútvonal derékszögben metszi egymást. A kereszteződés felé egyidejűleg egy-egy vonat halad a két vasútvonalon. Az első vonat, amely a kereszteződéstől 40 km távolságra fekvő állomásról indul, percenként 800 m-t tesz meg, a második vonat pedig a kereszteződéstől 50 km távolságra fekvő állomásból indul és percenként 600 m-t tesz meg. Az indulás pillanatától számítva hány perc múlva lesz a két mozdony távolsága a legkisebb?

Fejezet tartalma

232

Tartalomjegyzék


77. Egy függőleges tartályban víz van. Hova kell a tartály falába nyílást vágni, hogy a vízsugár a lehető legmesszebbre jusson, ha gondoskodunk, hogy a tartályban a víz szintje állandó maradjon? 78. Egy pontszerű fényforrás két gömb középpontját összekötő egyenesen helyezkedik el. A fényforrás milyen helyzetére lesz a gömbfelületek megvilágított részeinek összege maximális? 79. Egy repülőgép félkörívet leírva repül az A repülőtérről a B repülőtérre. A repülőterek légvonalban mért távolsága c km. Az AB szakasz melyik pontjában van a megfigyelő a legtávolabb a repülőgéptől, abban a pillanatban, amikor a repülő ugyanolyan távol van az A repülőtértől mint a megfigyelő? 80. Határozd meg a síknak azt a tartományát, amelynek M ( x, y ) pontjaira teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek: − 2 x + y ≤ 1 x − y ≥ 4 2 x + y = 4 x + 2 y ≤ 4 x + y ≤ 3  1     ; c) − x + y ≥ 0 ; d)  x − y ≥ −1 . a) 2 x + y ≥ 2 ; b)  x − 2 y ≤ 3 x + 2 y ≥ 0  2 x ≤ 2    x ≥ 0, y ≥ 0  x ≥ 0, y ≥ 0 81. Határozd meg az x és y értékét úgy, hogy az f ( x, y ) = 3 x + y kifejezés értéke maximális legyen, ha teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek: x − y ≤ 1  x + y ≤ 3 .  x ≥ 0, y ≥ 0  82. Határozd meg az x és y értékét úgy, hogy az f ( x, y ) = 3 x + 2 y kifejezés értéke minimális legyen, ha teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek: 2 x + y ≥ 5 3x − 2 y ≤ 6  .  x + y ≤ 4  x ≥ 0, y ≥ 0 83. Egy asztalosműhelyben kétféle bútorsort készítenek. Az első típusúhoz 1,2 m3 diófa és 0,8 m3 cserefa szükséges, míg a másik fajta bútorsor előállításához 0,5 m3 diófát és 1 m3 cserefát használnak fel. A két típusú bútorsorból származó bevétel rendre 400 DM illetve 500 DM. Határozd meg, hogy melyik fajtából mennyit kell gyártani, ha azt szeretnénk, hogy a bevétel a lehető legnagyobb legyen, és ha 61 m3 diófa és 74 m3 cserefa áll rendelkezésünkre. 84. Két raktárban (A1 és A2) 200 t és 300 t tüzelőanyag áll, és ezt kell elszállítanunk három (B1, B2, és B3) fogyasztóhoz úgy, hogy a fogyasztókhoz 100 t, 300 t és 100 t tüzelőanyag jusson. Ha az A1 raktárból az egyes fogyasztókhoz a szállítási költségek rendre 4, 9 és 3 millió lej, és az A2 raktárból a fogyasztókhoz való szállítási költségek rendre 5, 8 és 7 millió lej, adjál olyan szállítási tervet, amely szerint a szállítási kö1tség minimális!

Fejezet tartalma

Tartalomjegyzék


233

X.3. Versenyre előkészítő feladatok 1. Rendelkezésünkre áll két rúd és gyújtóeszköz. Ha mindkét rúd egy óra alatt ég el (de nem tudni, hogy milyen gyorsasággal) ki lehet-e mérni háromnegyed órát? 2. A kannibálok elfogtak n matematikust és másnapra matekos-tokányt szándékoznak főzni. A törzsfőnök a következőt javasolja: reggel sorba állítják a matematikusokat és mindenki fejére felhúznak egy-egy sapkát. A sapkák egymástól függetlenül feketét vagy fehérek. Minden matematikus láthatja a többi fején levő sapkát, de az övét nem. Ezután sorra mindenki mondhatja, hogy fehér vagy fekete. Aki eltalálja a saját sapkája színét azt szabadon bocsátják, a többit megeszik. Legalább hány matematikus kerül a kondérba, ha éjjel kidolgozhatnak bármilyen stratégiát?  k 2   3. Hány különböző szám van az A =   1 ≤ k ≤ n  halmazban?  n   4. Bizonyítsd be a következő egyenlőtlenségeket, ha (a k )k =1, n és (bk )k =1, n pozitív számok: a1 + a 2 + ... + a n b1 + b2 + ... + bn n + ≥ (a1 + b1 )(a 2 + b2 ) ... (a n + bn ) ≥ n n ≥ n a1 a 2 ... a n + n b1b2 ... bn .

5. Ha x ≥

1 és n ≥ 1 , akkor 2

(n + 1) 2 x +

n(n + 1)(2n + 3) n(n + 1) 2 . < x + x + 1 + x + 2 + ... + x + n < (n + 1) 2 x + 2 6

(Bencze Mihály) 6. Bizonyítsd be, hogy ha

a b c a b c + + = 0 , akkor + + = 0. 2 2 b−c c−a a −b (b − c ) (c − a ) (a − b )2

7. Bizonyítsd be, hogy minden n természetes szám végtelen sok különböző módon előállítható n = ε 1 ⋅12 + ε 2 ⋅ 2 2 + ... + ε k ⋅ k 2 alakban, ahol k ∈ és ε j ∈{−1, 1}, ∀ j = 1, k . 8. Határozd meg azokat az f : a) f (2) = 2 ;

*

→

*

szigorúan növekvő függvényeket, amelyekre

b) f (m ⋅ n) = f (m) ⋅ f (n), ∀ m, n ∈

és

*

.

9. Határozd meg azokat az f : → szigorúan növekvő függvényeket, amelyekre a) f ( p) = p , bármely prímszám esetén; *

*

b) f (m ⋅ n) = f (m) ⋅ f (n), ∀ m, n ∈ * . 10. Bizonyítsd be, hogy az f : → , f ( x) = ax + b függvény esetén nem lehet az f (0) − 1 , f (1) − 3 és f (2) − 9 számok mindegyike 1-nél kisebb.

11. Bizonyítsd be, hogy ha f : [−1, 1] → [−1, 1] , f ( x) = ax 2 + bx + c , akkor

Fejezet tartalma

234

Tartalomjegyzék

Összefoglaló gyakorlatok és feladatok a) | a | + | b | + | c |≤ 3 ;

12. Bizonyítsd be, hogy az f :

b) a 2 + b 2 + c 2 ≤ 5 . →

,

n − 1 1  2   f ( x) = [ x] +  x +  +  x +  + ... +  x + − [nx] n n n       függvény periodikus, majd igazold, hogy 1  2 n − 1   [ x] +  x +  +  x +  + ... +  x + = [nx], ∀x ∈ . n  n n     2 p − 1 13. Bizonyítsd be, hogy ha p prímszám és q =   , valamint  3  1 1 1 1 a + − + ... + (−1) q −1 = , akkor a p . q b 2 3 4 14. Bizonyítsd be, hogy bármely n ∈ esetén létezik n egymásutáni összetett szám. 15. Határozd meg a 4 ⋅ 3 50 + 5 ⋅ 4 30 szám utolsó három számjegyét. 16. Bizonyítsd be, hogy ha a, b ∈ * , akkor (a, b)[a, b] = a ⋅ b . Általánosítás! 1−

17. Az α ∈

szám pontosan akkor irracionális, ha végtelen sok olyan

létezik, amelyre α − 18. Számítsd ki az

p 1 . < q q2

p racionális szám q

(Dirichlet tétele)

1 szám első 200 tizedesjegyét. 1, 000...01 99

19. Bizonyítsd be, hogy p + 1 = 1 + p 1 + ( p + 1) 1 + ... + ( p + r ) 1 + ( p + r + 1)( p + r + 3) .

(Ramamujan)

20. Oldd meg az x + y = a  2 2  xy − z = a egyenletrendszert a valós számok halmazában, ha a ∈ . 21. Oldd meg az ax + by + cz + dt = 0 bx − ay + dz − ct = 0   cx − dy − az + bt = 0 dx + cy − bz − at = 0

egyenletrendszert a valós számok halmazában, ha a, b, c, d ∈

és nem mind nullák (azaz

a + b + c + d ≠ 0 ). 22. Bizonyítsd be, hogy ha ABC egyenlő oldalú és P egy pont a síkjában, akkor érvényesek a következő tulajdonságok: (Pompeiu) a) PA + PB ≥ PC , PB + PC ≥ PA és PA + PC ≥ PB ; 2

2

2

2

Fejezet tartalma

Tartalomjegyzék


235

b) az előbbi egyenlőtlenségek közül egyszerre egyben lehet egyenlőség és ebben az esetben P az ABC köré írt körön van; (Van Shoeten) c) ha P1 , P2 és P3 a P vetületei a BC , CA és AB oldalakra, akkor a P1 P2 P3 háromszög hasonló az AP , BP és CP szakaszokkal szerkeszthető háromszöghöz. (Sajátosan P1 , P2 és P3 pontosan akkor kollineárisak, ha P az ABC háromszög köré írt körön van (Simson tétele).) 23. Ha P egy pont az ABC∆ síkjában és P1 , P2 és P3 a P vetületei a BC , CA illetve AB 2 2 T [P1 P2 P3 ] OP − R = . T [ABC ] 4R 2 24. Bizonyítsd be, hogy ha P egy tetszőleges pont az ABCD négyszög köré írt körön, akkor az AB és CD oldalaktól mért távolságainak szorzata egyenlő a BC és AD oldalaktól mért távolságainak szorzatával. (Papposz tétele) 25. Az ABC háromszög BC oldalán felvettünk egy olyan M pontot, amelyre az AMB és

oldalakra, akkor

AMC háromszögekbe írt körök sugara kongruens. Bizonyítsd be, hogy AM =

p( p − a) .

26. Bizonyítsd be, hogy ha az ABC háromszög belső pontjának az oldalaktól mért távolságai d a , d b , d c és a csúcsoktól való távolságai R a , Rb , R c , akkor R a + Rb + R c ≥ 2(d a + d b + d c ) . 27. Az ABC háromszögben m( BAC ) = 20 , AB = AC , M ∈ ( AB ) , N ∈ AC úgy, hogy m( MCA) = m( NBC )30 és C ∈ ( AN ) . Számítsd ki a BNM szög mértékét.

Az

ABC

háromszögben

AB = AC , O ∈ Int ( ABC ) , m(OBC ) = 10

m(OCA) = 20

és

m(OAB ) = 70 . Bizonyítsd be, hogy m( BAC ) = 80 . 28. Bizonyítsd be, hogy az a1 x 2 + 2a 2 x + a3 = 0 , a 2 x 2 + 2a 3 x + a 4 = 0 , a3 x 2 + 2a 4 x + a 5 = 0 , …………………. a n −1 x 2 + 2a n x + a1 = 0 , a n x 2 + 2a1 x + a 2 = 0 .

egyenletek közül legalább az egyiknek van valós gyöke, ha ak ∈ , bármely k = 1, n esetén! Adjál példát olyan a1 , a 2 , ..., a n számokra, amelyekre az előbbi egyenletek közül pontosan egynek van valós gyöke! (Radó Ferenc Emlékverseny) 29. Bizonyítsd be, hogy n darab, n-nel nem osztható természetes szám közül kiválasztható néhány, amelyek összege osztható n-nel! (Radó Ferenc Emlékverseny) 30. Az ABC háromszög köré írt körön felvesszük az A′ ∈ ( BC ) , B′ ∈ ( AC ) és C ′ ∈ ( BA) pontokat úgy, hogy az ABC és A′B ′C ′ háromszögek kongruensek legyenek. Bizonyítsd be, hogy az A′ , B ′ és C ′ pontokon át BC-vel, CA-val illetve AB-vel húzott párhuzamosoknak ugyanezen pontokon át egy tetszőleges d egyenessel húzott párhuzamosokra vonatkozó szimmetrikusai összefutó egyenesek és az összefutási pont a háromszög köré írt körön van. (Radó Ferenc Emlékverseny)

Fejezet tartalma

236

Tartalomjegyzék


31. A C (O1 , R ) és C (O2 , R ) körök közös belső érintői merőlegesek és az O ∈ (O1O2 ) pontban metszik egymást. Határozd meg az OM 1 + OM 2 kötött vektor végpontjának a mértani helyét,

ha M 1 ∈ C (O1 , R ) és M 2 ∈ C (O2 , R ) változó pontok.

(Radó Ferenc Emlékverseny) 32. Legalább hány lépés szükséges ahhoz, hogy egy 10 × 10 -es tábla bal alsó sarkából a jobb felső sarkába jussunk lólépésben? 33. Bizonyítsd be, hogy 4 sin 20 o ⋅ cos 2 10 o = 3 sin 50 o .

(Radó Ferenc Emlékverseny)

34. Oldd meg és tárgyald a x + x + 1 − x − x + 1 = m , (x ∈ ) egyenletet az m valós paraméter függvényében. 35. Az ABC háromszög (BC), (CA) és (AB) oldalain felvesszük az M, N és P pontokat úgy, BM CN AP = = = k . Bizonyítsd be, hogy az AM, BN és CP szakaszokkal szerkeszthető hogy MC NA PB egy H háromszög! Számítsd ki a H és az ABC háromszögek területének arányát k függvényében! (Radó Ferenc Emlékverseny) 36. Bizonyítsd be, hogy ha az a és b szigorúan pozitív valós számok összege 1, akkor 1 1 + ≥3 2. (Radó Ferenc Emlékverseny) a+ b+ a b 2

2

37. Oldjátok meg az x 2 + y 2 = xy + 2000 egyenletet az egész számok halmazában! 38. Az a, b és c, nullától különböző valós számok összege nulla. Bizonyítsátok be, hogy: 3 a2 b2 c2 + + = . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a −b −c b −c −a c −a −b 39. Az ABC háromszöglapot az ábrán látható három A összefutó egyenes hat kisebb háromszögre bontja. Közülük négy háromszög területének mérőszámát az ábrán feltüntettük. Határozzátok meg az ABC háromszög területét! 84 35 40. Az ABCD négyzet oldalain mozog az M és a P P N pont. Ha O a négyzet középpontja, határozzátok meg O 40 az OM + OP összegvektor végpontjának mértani 30 helyét, az alábbi esetekben: C M B a) az M pont az [AB], a P pont pedig a [CD] szakaszon mozog, egymástól függetlenül; b) a két pont a négyzet oldalain mozog, tetszőlegesen, egymástól függetlenül (egymásra is kerülhetnek). p p p p 41. Lehet-e a 1 + 2 + 3 + + k összeg egész szám, ha p1 , p 2 ,…, p k +1 páronként p 2 p3 p 4 pk +1 különböző prímszámok. (SZAT* miniverseny 5 perc, Szilágyi Zsolt) 1 1 1 1 a 42. Bizonyítsd be, hogy ha + + + + = , (a, b ∈ ) akkor a osztható 73-mal. 30 31 32 43 b (SZAT miniverseny 5 perc)

*

Székelyudvarhelyi Matematikai Alkotótábor 2001.

Fejezet tartalma


Tartalomjegyzék

237

43. Három üres csupor van az asztalon. Micimackó, Nyuszi és Bagoly felváltva tesznek egyegy mogyorót a csuprokba. A kezdőt pénzfeldobással sorsolják ki. Micimackó csak az első két csuporba tehet, Nyuszi a másodikba és a harmadikba, Bagoly az elsőbe vagy a harmadikba. Aki valamelyik csuporba a 2001-edik mogyorót teszi, az veszít. Bizonyítsd be, hogy Micimackó és Bagoly összefoghat Nyuszi ellen. (SZAT miniverseny 5 perc) 44. Legfeljebb hány huszár helyezhető el egy 4 × 4 -es sakktáblán úgy, hogy ne legyen köztük kettő, amely ütné egymást. Általánosítás. (SZAT miniverseny 5 perc) 45. Legalább hány egymást nem ütő huszárt kell elhelyeznünk egy 4 × 4 -es sakktáblán ahhoz, hogy a tábla minden üres mezejét üssék. Általánosítás. (SZAT miniverseny 5 perc)

[ ][ ][ ]

[

]

46. Számítsd ki az 1 + 2 + 3 + + n 2 − 1 összeget. (SZAT miniverseny 5 perc) 47. Az (a n )n≥0 természetes számsorozat teljesíti az a a = 3a n − 2n összefüggést, ahol a 0 = 3 . n

Számítsd ki az a3069 tag értékét.

(SZAT miniverseny 10 perc)

48. a) Mutassuk meg, hogy ha két természetes szám a + 3b 2 alakú( a, b ∈ ), akkor a szorzatuk is ugyanilyen alakú. b) Bizonyítsd be, hogy ha valamilyen n természetes számra a 7 n szám a 2 + 3b 2 alakú (SZAT miniverseny 15 perc) ( a, b ∈ ), akkor n is a 2 + 3b 2 alakú. 49. Egy szavahihető ember a következő történetet mondta el: Egyszer egy teknőc hat percen át ment egyenesen előre. Útját többen figyelték a következő feltételek szerint: a) a hat perc alatt mindig figyelte valaki, b) mindenki egy percig figyelte, c) mindenki úgy találta, hogy amíg figyelte, addig a teknőc egy métert haladt előre. Ennek ellenére a teknőc a hat perc alatt 10 métert ment előre. Hogyan volt ez lehetséges? (TOK* Matematikaverseny 2000.) 50. Melyik az a legnagyobb páros szám, amely nem írható fel két páratlan összetett szám összegeként? (TOK Matematikaverseny 2000.) 51. Egy pingpongbajnokságon az n résztvevő közül mindenki egyszer játszott minden más résztvevővel. Az egyes versenyzők győzelmeinek és vereségeinek számát jelöljük rendre x , x2 ,...xn illetve y , y 2 ,... y n -nel. Bizonyítsd be, hogy 2

1

1

x12 + x22 + ... + xn2 = y12 + y 22 + ... + y n2 . (TOK Matematikaverseny 2000.)

52. Oldd meg és tárgyald az y 2 − xz = a( x + y + z ) 2 z 2 − xy = b( x + y + z ) 2 x 2 − yz = c( x + y + z ) 2

egyenletrendszert ha a, b, c ∈ . (TOK Matematikaverseny 2000.) 53. Egy zár, amelyen három nyomógomb van, akkor nyílik ki, ha a gombokat egy előírt sorrendben nyomjuk meg, közvetlenül egymás után. Legkevesebb hány gombnyomás szükséges ahhoz, hogy biztosan kinyíljék a zár? (a megfelelő három gombnyomást esetleg megelőző gombnyomások nem befolyásolják a zár szerkezetét). Mi a válasz a feltett kérdésre ha a záron négy gomb található? (TOK Matematikaverseny 2000.) 54. Egymás után elhelyezünk nyolc korongot és megszámozzuk őket 1-től 8-ig. Lépés alatt azt értjük, hogy két szomszédos korongot felcserélünk. Ilyen lépések ismétlésével elérhetjük-e, *

Teleki Oktatási Központ Versenye

Fejezet tartalma

238

Tartalomjegyzék


hogy a korongok fordított sorrendben legyenek? Hát akkor, ha egy lépés alatt azt értjük, hogy három szomszédos korongot cserélünk fel az alábbi ábrának megfelelően: 1

4

7

7

4

1

Mi a válasz az előbbi kérdésekre ha eredetileg kilenc korongunk van? (TOK Matematikaverseny 2000.) 55. a) Egy játékgyár olyan naptárat szeretne készíteni, amelyen a dátumot (a napokat) két kockával jelzik. Mindkét kockának minden oldalára egy-egy számjegyet írnak és a két kocka megfelelő oldalainak egymás mellé helyezése jelzi a megfelelő dátumot. Például augusztus 9.ét az Augusztus feliratú táblácska és a 0 illetve 9-es számjegyek jelzik. Milyen számokat kell az egyes kockákra ráfesteni, ha a 9-es 6-osnak is olvasható és fordítva? b) Határozd meg a legnagyobb olyan n természetes számot, amelyre 1-től n-ig minden szám kirakható az előbbi módon három kocka segítségével! (TOK Matematikaverseny 2000.) 56. Egy 8x8-as sakktáblán 42 figura áll. Bizonyítsd be, hogy létezik a táblának legalább egy 4x4-es kis résztáblája, amelynek átlós mezőin legalább négy figura áll! (TOK Matematikaverseny 2000.) 57. Két gyerek meg kell tegyen egy 50 km hosszú utat és rendelkezésükre áll egy bicikli. Ha a biciklin egyszerre csak egyikük lehet, gyalog a sebességük 5 km/h és biciklivel 15 km/h legalább mennyi időre van szükségük a távolság megtételéhez? Hát akkor, ha hárman vannak és két bicikli áll rendelkezésükre?

X. ÖSSZEFOGLALÓ ÉS VERSENYRE ELŐKÉSZÍTŐ

Recommend Documents