Wiskunde en zorg: achtergronden voor een betere planning NVZ/VLM Masterclass patiëntenlogistiek
Prof.dr. Ger Koole PICA, kenniscentrum patiëntenlogistiek VU/VUmc
Doel bijdrage masterclass • Inzicht relatie vraag en aanbod onder fluctuaties en onzekerheid • Inzicht vermogen en onvermogen wiskundig modelleren in de zorg • Enkele beginpunten voor een meer rationele planning en capaciteitsmanagement • Weten hoe de vervolgstappen te zetten
Wiskunde in de zorg is in Institute for Healthcare Improvement (IHI), VS
Inhoud • Wat is plannen? • Rol van fluctuaties en onzekerheid bij plannen • Enkele wiskundige modellen voor plannen en het managen van capaciteit • Geïllustreerd a.d.h.v. voorbeelden uit de zorg • Zelf er mee aan de slag
Wat is plannen in de zorg? “Een plan is een bedenksel dat een intentie weergeeft om iets te bereiken“ (wikipedia) • Afstemming zorgvraag en aanbod (van behandelingen, bedden, MRI-slots, enz.) • Het “iets”, het doel van de planning, moet duidelijk zijn • Vb: minder dan 5% weigeringen, wachtlijst korter dan 4 weken
Lange en korte termijn • Lange vs. korte termijn • Vb: – aantal bedden vs. toewijzen MRI slots – OK, van lang naar kort: sessieindeling / patiënttoewijzing / operationele bijsturing
• Strategisch/tactisch vs. operationeel • Capaciteitsbepaling vs. capaciteitsbenutting
De “ideale” wereld • Geen fluctuaties • Voorbeeld – vraag naar exact 2 OHO´s per dag – elke patiënt precies 1 dag IC – 2 “geoormerkte” IC bedden voor OHO’s Geen weigeringen, 100% bezetting OK en IC
• Is dit realistisch? • Nee: aantal OHO’s fluctueert in realiteit, en soms IC bed bezet door spoedpatiënt
Fluctuaties • Voorbeelden: – – – –
Weekend minder operaties ‘s Nachts minder spoed ‘s Zomers minder afspraken Variatie in ligduren
• Classificatie: Intern/kunstmatig/vermijdbaar vs. Extern/natuurlijk/onvermijdelijk
– – – –
Kunstmatig Natuurlijk Kunstmatig Natuurlijk (?)
Onzekerheid • Soms zijn fluctuaties vantevoren bekend (dag/nacht patroon SEH), soms niet (exacte aantal aankomsten): onzekerheid • “Onzekerheid is informatie die je nog niet hebt maar die wel nodig is” (Galbraith) • Voorbeelden: – aantal aankomsten acute patiënten – operatiedurenligduren (LoS) – Beschikbaarheid personeel (ziekte, te laat)
• Informatie nodig om capaciteit af te stemmen op vraag
onzeker
niet onzeker
Fluctuaties & onzekerheid Overdag meer spoed dan ’s nachts
Alle OK’s op 1 dag
Ligduren, aantal spoed, enz.
Geen communicatie
extern
intern
Vermijden fluctuaties • Interne fluctuaties vermijden • Focused factories voor voorspelbare electieve zorg • Planning op basis van rationele argumenten, geen verworven rechten • Hoe om te gaan met externe fluctuaties?
Omgaan met fluctuaties in vraag • Antwoord logistiek: vooruitwerken • Korte termijn onzekerheid: veiligheidsvoorraad (meer op de plank dan gemiddelde dagelijkse behoefte) • Lange termijn fluctuatie: seizoensvoorraad (bijv. kerstartikelen) • Relevant voor logistiek disposables en medicijnen
Omgaan met fluctuaties in vraag Vooruitwerken onmogelijk in zorg (want dienst) Dus: • of aanbod afstemmen op maximum vraag, gevolg: lage produktiviteit/hoge kosten • of aanbod tussen gemiddelde en maximum vraag met wachttijden (nawerken) en/of afzeggingen/doorverwijzingen als gevolg
Wiskundige modellen • Wiskundige modellen om: – afweging capaciteit – wachttijd/weigeringen te kwantificeren – Planning te optimaliseren en/of planningsmethoden te vergelijken
• Benaderingen van de werkelijkheid • Controle of benadering goed (genoeg) is heet validatie • Vaak te implementeren in rekenhulpen (in bijv Excel)
Wiskundige modellen • Bouwstenen: aankomstproces, proceslogica, behandelingsduren • Wiskundige beschrijving van onzekerheid: kansrekening • Oplossen: – Soms een formule – Vaak alleen computersimulatie
Wat is simulatie? • Voorbeeld: bereken de oppervlakte van een cirkel met straal 1 • Methode: kies willekeurige punten in een vierkant van 2x2, bereken % in een cirkel met straal 1 die in vierkant valt • Bepalen of punt in cirkel valt m.b.v. Pythagoras: c a c<1 als a²+b²<1 b • Demo m.b.v. Excel
Wat is simulatie? • Vb: 79 keer van 100 in cirkel • Dan: cirkel beslaat 79% van 4, dus opp. ong. 0.79 x 4 = 3.16 • Maar ook: formule voor opp. cirkel: π r², c a met r=1 de straal van de cirkel b • Conclusies: – Oppervlakte = 3.141592654….. – We kunnen nu π berekenen – Simulatie is niet erg nauwkeurig, gebruik een formule als je kan
Wiskundige modellen Achtereenvolgens: • Ligduren + OK planning • Geplande aankomsten + poliplanning • Ongeplande aankomsten + capaciteitsberekeningen verpleegeenheden
Lig- en behandelduren • Lig- en behandelduren zijn onvoorspelbaar (behalve bij bijv. fysiotherapeut) • Karakteriseren duren: – Gemiddelde, ALOS (average length of stay) – Met standaard deviatie, maat voor afwijking van gemiddelde – Vb: 2,3,2,3: gem 2.5, std dev 1 – 1,4,5,0: gem ook 2.5, std dev 2.38 – Zelf proberen in Excel mbv STDEV
Lig- en behandelduren • Ligduren (LOS) hebben vaak “dikke staart” (hoge std.dev): veel korte en enkele heel lange liggers • Voorbeelden zonder en met dikke staart, CT = std.dev / ALOS 90
250
N =575 ALOS = 67 Median = 48 CT = 0,99
80 70 60
200
Frequentie
40 30
150
100
20 50
10
LOS [hr]
LOS [hr]
Meer
92_96
96_100
88_92
84_88
80_84
76_80
72_76
68_72
64_68
60_64
56_60
52_56
48_52
44_48
40_44
36_40
32_36
28_32
24_28
20_24
16_20
12_16
4_8
8_12
0 0_4
Meer
240_252
228_240
216_228
204_216
192_204
180_192
168_180
156_168
144_156
132_144
120_132
96_108
108_120
84_96
72_84
60_72
48_60
36_48
24_36
12_24
0 0_12
Frequentie
50
N =494 ALOS = 18 Median = 5 CT = 2,6
OK planning • Vast aantal, variabiliteit operatieduren van belang • Vraag: gegeven geplande operaties op een OK, wat is kans/duur van overschrijding? • Van belang: gem. operatieduur maar ook variabiliteit • Wiskundetool: normale verdeling
Rekenregels normale verdeling • Gekarakteriseerd door gemiddelde µ en standaard deviatie σ Normale verdeling
250
Frequency
200 150 100 50 0 -2.611984081 -1.565407818 -0.518831555 0.527744708
1.574320971
• µ ± σ bedekt ca. 68%, µ ± 2σ bedekt ca. 95% • NORMDIST functie in Excel: bijvoorbeeld =NORMDIST(1,0,1,TRUE) = 0.84
Rekenregels sommen en OK duren • Elk som is ongeveer normaal verdeeld • Voor lengte som kan je gemiddeldes en varianties = σ * σ optellen • Bruikbaar voor berekenen OK duren • Voorbeeld: – – – –
sessielengte 8 uur 2 operaties van gem 2 uur met σ 1 uur 2 operaties van gem 1 uur met σ 0.5 uur Kans op overschrijding?
• Excel berekening
Aankomstproces • Gepland – Op afroep beschikbaar (OK planning, gedaan) – Ingeplande afspraken (polibezoeken)
• Ongepland – Spoed – Inloopspreekuur – Maken van afspraken
Ingeplande afspraken • Aankomstmomenten niet helemaal voorspelbaar (no shows, niemand exact op tijd) • Wat zijn de beste afspraakmomenten? • Het beste voor wie? • Experimenteren met obp.math.vu.nl/healthcare/software/ges
Ongeplande aankomsten • Spoed: grote populatie met elk kleine kans ⇒ Poisson verdeling • Histogram Poisson verdeling met gemiddelde 6: 0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Vb Poisson verdeling • CT scan met 10 vrije slots voor klinische patiënten • Aantal klinische CT-patiënten is Poisson verdeeld met historisch gemiddelde 8.5 • Wat is de kans dat er meer dan 10 zijn? • Oplossingen: – Formule doorrekenen – Excel het laten doen: “=1-POISSON(10,8.5,TRUE)” = 0.236638021 – Monte Carlo simulatie (demo Crystal ball)
Aankomsten EHH VUmc 0.18
2003
Poisson
0.16 0.14
Kans
0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Aa nta l a rriva ls op de EHH pe r da g
14
15
16
17
18
Het Erlang B “wachtrij”model • Modelleert verpleegeenheid met weigeringen • Poisson aankomsten, willekeurige LOS • Webtool: obp.math.vu.nl/healthcare/masterclass
Het Erlang B “wachtrij”model • Invoer: 3 van: – – – – –
Gemiddelde vraag per dag ALOS Aantal bedden % Weigeringen Bezetting
• Uitvoer: andere 2
Het Erlang B “wachtrij”model • Vraag vaak onbekend, wel bezetting (=instroom * ALOS / aantal bedden) • Experiment: neem willekeurige input voor vraag, ALOS, # bedden. Bekijk output. Verdubbel nu vraag en # bedden: schaaleffecten
Validatie Erlang B model Erlang B modelleert niet: • Seizoenseffecten • Weekeffecten • Ad hoc beslissingen t.a.v. LOS en capaciteit Ook Erlang C met wachten i.p.v. weigeren (supermarktmodel)
Complexere processen • Wachtrijmodellen alleen voor eenvoudige systemen • Discrete-event simulatie voor o.a. zorgpaden Emergency PTCA
Refused Admission Emergency patient
First Cardiac Aid FCA
Coronary Care Unit CCU
Normal Care clinical ward
Re-admission
Home Other nursing unit Rest
Conclusies • Capaciteitsmanagement rationeel te onderbouwen • Kennis van relevante wiskundige kennis schaars in ziekenhuizen • Verder lezen: – obp.math.vu.nl/healthcare – www.ihi.org
• Verder leren: – www.vumc.nl/pica
