Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B

Den Dolech 2, 5612 AZ Eindhoven Postbus 513, 5600 MB Eindhoven www.tue.nl

Auteur

Marco ten Eikelder & Wouter van der Heide ID (resp.): 0748594 & 0739052 Begeleider: prof.dr.ir. E.H. van Brummelen Opdrachtgever: dr. S.W. Rienstra Faculteit: W&I Vakcode: 2WH02 Datum

September 2011 - Oktober 2011

Where innovation starts

Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B

Inhoudsopgave Titel


1

Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2

Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3

Probleemomschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4

Blokmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

4.1

Model AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

4.2

Model AB met warmtebronnen . . . . . . . . . . . .

7

4.3

Model ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4.4

Model ABCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4.5

Blokmodel A1 ,...,A10 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

5

Variabele buitentemperatuur . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

6

Tocht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

7

Warmtestroom door muren/ramen . . . . . . . . . . . . . .

18

7.1

Warmtestroom door muur bestaande uit meerdere lagen (serie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Totale warmtestroom door muren en ramen (parallel)

19

8

Model op basis van de warmtewet van Newton . . . . . . .

20

9

Wet van Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

10

Fourierreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

11

Simulatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

11.1

1-dimensionaal in de plaats . . . . . . . . . . . . . .

30

11.2

3-dimensionaal in de plaats . . . . . . . . . . . . . .

32

12

Fourier versus simulatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

13

Resultaten

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

13.1

Insteltijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

13.2

Plaatsing verwarming . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Wet van Fourier dimensieloos . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

7.2

14 Where innovation starts

Inhoudsopgave Titel


Where innovation starts

15

Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

16

Bijlage 1: Energiebalans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

17

Bijlage 2: Laplace transformatie . . . . . . . . . . . . . . . .

42

18

Bijlage 3: Warmtestroom

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

19

Bijlage 4: Dimensieloos maken . . . . . . . . . . . . . . . .

42

20

Bijlage 5: Verwarming ’s nachts . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Technische Universiteit Eindhoven University of Technology

1

Summary

Heating in houses is essential for our living comfort. Many people prefer a constant temperature of about 18 degrees Celsius in their rooms. But what is needed to keep it that way? In this report the most important effects on heating in houses are investigated. A model is created using Newton’s law of cooling, that states that temperature change is proportional to the temperature difference between inside and outside. The model describes the heat flow through the walls to other rooms and to the outside. Draft can be an important factor in the model based on Newton’s law. The model shows how important it exactly is and how effective it is to reduce draft. Of course the changing outside temperatures due to the day-night cycle are studied. How much does the temperature inside vary because of the variations outside? This model uses linear temperature functions in the walls. A more detailed model using Fourier’s law also takes the buffer effect of walls into account. Temperature changes on the outside need some time to be passed on by the wall, but when is that important? An exact solution and simulations show what happens in the wall. Questions like where to place the heating and at which temperature the heating should be at night, can be answered using the model.

3 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


2

Inleiding

De warmtehuishouding in huizen is een onderwerp waar iedereen mee te maken heeft. Iedereen wil het aangenaam warm hebben zonder te hoge kosten of energieverspilling. Uit ervaring weten de meeste mensen best wat af van warmte. Zo heeft het geen zin om de verwarming op volle kracht te zetten als alle ramen open staan. Ook de dikte en het materiaal van de muren en ramen is van belang. Ramen met dubbel glas isoleren beter dan ramen met enkel glas, dikke betonnen muren isoleren beter dan dunne houten muren. Het is duidelijk dat een goed geïsoleerd huis de warmte beter vast houdt dan een slecht geïsoleerd huis. Maar hoeveel scheelt het dan? Waar moet de verwarming staan en hoe hard moet die werken? Hoeveel warmte lekt er weg door de muren en ramen? Specifieke factoren in de warmtehuishouding die extra aandacht krijgen in dit verslag zijn tocht en warmte-opslag in de muren. Hoe belangrijk zijn deze factoren en welk effect hebben ze? Voor het warmteverloop in de muren worden twee methodes gebruikt, analytisch en numeriek. Beiden zijn nuttig om het probleem te bestuderen.

3

Probleemomschrijving

De hoeveelheid warmte in een woonhuis wordt bepaald door de hoeveelheid warmte die wordt (en werd) geproduceerd en de hoeveelheid die van binnen naar buiten en omgekeerd gaat (en ging). Het idee is om een model te maken van de temperatuur in een woonhuis gebaseerd op de warmtewet van Newton. De vragen waar we antwoord op willen geven zijn: 1. Hoe ziet een model van blokken/kamers gebaseerd op de warmtewet van Newton eruit? 2. Wat is de invloed van een warmtebron/meerdere warmtebronnen? 3. Wat is de invloed van een variabele buitentemperatuur? 4. Hoe zit het met warmteverlies door ramen/deuren? 5. Wat is de invloed van tocht? Vervolgens zal het model verfijnd worden met warmte-opslag in de muren. Dat gebeurt met de wet van Fourier, die iets zegt over temperatuurverandering afhankelijk van de tijd én de plaats. Dit model zal zowel exact als met een simulatie bekeken worden. Vragen die we daarmee willen beantwoorden zijn: 1. 2. 3. 4. 5.

Hoe ziet een model gebaseerd op de warmtewet van Fourier eruit? Hoe kunnen Fourierreeksen de oplossing benaderen? Hoe is het probleem numeriek te simuleren? Wanneer is warmte-opslag in muren van belang? Waar kan een warmtebron het beste geplaatst worden?



4

Blokmodel

Om de temperatuur in een kamer te modelleren, wordt er eerst gekeken naar een eenvoudig blokmodel. De temperatuur wordt berekend met de warmtewet van Newton. Deze wet zegt dat de verandering van de temperatuur van een object dT evenredig is aan het verschil dt tussen de temperatuur van het object T (t) en de omgevingstemperatuur Tomgeving : dT = −k(T − Tomgeving ) dt

(1)

waarin k een constante is afhankelijk van het object en de omgeving, zoals dichtheid, massa, contactoppervlak, etc. Een formele afleiding met behulp van een energiebalans is te vinden in de bijlage. Bij een grote k verandert de temperatuur sneller dan bij een lagere k. Als we een model van de temperatuur van een kamer willen maken, is het handig om de tijd in uren te nemen in plaats van in seconden. De oplossing van de differentiaalvergelijking (1) met een constante Tomg is: T (t) = (Tbegin − Tomg )e−kt + Tomg

(2)

Op een aantal manieren is te zien of dit inderdaad de correcte functie is. Er geldt T (0) = Tbegin en de temperatuurfunctie is stijgend als de omgevingstemperatuur hoger is dan de begintemperatuur. Bovendien geldt T (t) → Tomg voor t → ∞. Met het blokmodel wordt de interacties tussen kamers bestudeerd. Er wordt verondersteld dat elke kamer een uniforme temperatuur heeft. In de eerste twee voorbeelden wordt verondersteld dat er alleen warmteoverdracht is tussen de kamers onderling, niet naar buiten. In de overige voorbeelden is de buitenwereld gemodelleerd als een oneindig grote kamer, zodat deze een k van 0 heeft. De temperatuur verandert dus niet.

4.1

Model AB

Er wordt gekeken naar het temperatuurverloop van twee aangrenzende identieke objecten A en B (zie figuur 1). De temperatuur van A en B worden respectievelijk weergegeven met TA en TB .

Figuur 1: Twee aangrenzende identieke blokken A en B

Er wordt verondersteld dat elk blok op een bepaald tijdstip slechts een temperatuur kan



hebben, ofwel de temperatuur in een blok is overal hetzelfde. Er geldt dan:  dTA   = −k(TA (t) − TB (t))   dt   dTB   dt

= −k(TB (t) − TA (t)).

Dit stelsel kan ook in matrixvorm geschreven worden:

0 TA (t) −k k TA (t) = . TB (t) k −k TB (t)

Dit kan worden opgelost met eigenwaarden en eigenvectoren. De karakteristieke vergelijking is −k − λ k = λ(λ + 2k) = 0. k −k − λ Er zijn dus twee eigenwaarden, λ1 = 0 en λ2 = −2k. De eigenruimte bij λ1 : E 0 = h(1, 1)i en bij λ2 : E −2k = h(1, −1)i. We vinden dan TA (t) 1 1 c1 = waarin c1 , c2 ∈ R. TB (t) 1 −1 c2 e−2kt Als TA (0) = TA0 en TB (0) = TB0 , dan levert dit  TA0 + TB0 TA0 − TB0 −2kt   + e   TA (t) = 2 2   T + TB0 TA0 − TB0 −2kt   TB (t) = A0 − e . 2 2 B0 B0 Als t → ∞ dan TA → TA0 +T en TB → TA0 +T ; de temperatuur van zowel blok A als blok B 2 2 gaat uiteindelijk (in het evenwicht) naar het gemiddelde. Dit hadden we ook kunnen vinden A B door te bedenken dat in het evenwicht dT = dT = 0, waaruit volgt dat TA (∞) = TB (∞) = dt dt T A0 +TB0 . 2 In figuur 2 is voor k = 0, 36h −1 , TA0 = 283K , TB0 = 293K , het temperatuurverloop van A en B getekend.



T

292

A B

290

288

286

284 2

4

6

8

10

t

Figuur 2: Temperatuurverloop blokken A en B

4.2

Model AB met warmtebronnen

We beschouwen net als in het vorige model 2 aangrenzende blokken A en B, maar nu zijn de blokken niet identiek en hebben beide een warmtebron en verschillende constanten. Temperaturen van de blokken A en B worden weer aangegeven met TA en TB , de warmtebronnen geven we weer met Q A en Q B . Er geldt nu:  dTA   = −k1 (TA (t) − TB (t)) + Q A   dt   dTB   dt

= −k2 (TB (t) − TA (t)) + Q B .

De homogene differentiaalvergelijking lijkt erg op de differentiaalvergelijking uit het model zonder de warmtebronnen; de k’s zijn vervangen door k1 en k2 . Als we de homogene differentiaalvergelijking op een analoge manier oplossen vinden we:  TA0 k2 + TB0 k1 k1 (TA0 − TB0 ) −(k1 +k2 )t   TA (t) = + e   k1 + k2 k1 + k2     TB (t) = TA0 k2 + TB0 k1 + k2 (TB0 − TA0 ) e−(k1 +k2 )t . k1 + k2 k1 + k2 We zoeken dus slechts nog een We particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking. u v w 1 1 1 ,v = en w = als particuliere opproberen ut + v + we−(k1 +k2 )t met u = u2 v2 w2 lossing. Invullen geeft: −k1 k1 ut + v + we−(k1 +k2 )t + Q, u= k2 −k2 ofwel u 1 − (k1 + k2 )w1 e−(k1 +k2 )t − k1 (u 1 t + v1 + w1 e−(k1 +k2 )t ) + k1 (u 2 t + v2 + w2 e−(k1 +k2 )t ) + Q A = . u 2 − (k1 + k2 )w2 e−(k1 +k2 )t k2 (u 1 t + v1 + w1 e−(k1 +k2 )t ) − k2 (u 2 t + v2 + w2 e−(k1 +k2 )t ) + Q B



Hieruit volgt het stelsel:  u1          0         u2          0

= −k1 v1 + k1 v2 + Q A = −k1 u 1 + k1 u 2 = +k2 v1 − k2 v2 + Q B = +k2 u 1 − k2 u 2

  −(k1 + k2 )w1          −(k1 + k2 )w2         v1 + w1        v2 + w2

⇒

= −k1 w1 + k1 w2 = k2 w1 − k2 w2 =0

(voorwaarde op t = 0)

=0

(voorwaarde op t = 0)

 u1          u2           v1

=

Q A k2 +Q B k1 k1 +k2

=

Q A k2 +Q B k1 k1 +k2

=

k1 (Qa−Qb) (k1 +k2 )2

  v2 =          w1 =         w2 =

k2 (Qb−Qa) (k1 +k2 )2 k1 (Qb−Qa) (k1 +k2 )2 k2 (Qa−Qb) (k1 +k2 )2

Dus de oplossing van de differentiaalvergelijking is:  TA0 k2 + TB0 k1 k1 (TA0 − TB0 ) −(k1 +k2 )t   TA (t) = + e +   k1 + k2 k1 + k2     TB (t) = TA0 k2 + TB0 k1 + k2 (TB0 − TA0 ) e−(k1 +k2 )t + k1 + k2 k1 + k2

Q A k2 +Q B k1 t k1 +k2

+

k1 (Q A k1 +k2

− Q B )(1 − e−(k1 +k2 )t )

Q A k2 +Q B k1 t k1 +k2

+

k2 (Q B k1 +k2

− Q A )(1 − e−(k1 +k2 )t ).

Als we t = 0 invullen volgt inderdaad TA (0) = TA 0 en TB (0) = TB 0. Merk op als Q A > 0 of Q B > 0 en t → ∞ dan TA → ∞ en TB → ∞. In dit geval gaat er geen warmte verloren en wordt er constant warmte toegevoegd (Q A > 0 of Q B > 0), dus is het logisch dat TA → ∞ en TB → ∞ als t → ∞.

4.3

Model ABC

Er wordt nu gekeken naar een model met 3 blokken: A, B en C. Blok A en C zijn net buiten het huis en hebben een constante temperatuur (bijvoorbeeld voor en achter het huis een 8 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


verschillende constante temperatuur). Blok B stelt de lucht in een huis voor. Blok B bevat een warmtebron Q(zie figuur 3). Er geldt nu:

Figuur 3: Blokken A, B en C

dTB = −k1 (TB (t) − TA0 ) − k2 (TB (t) − TC0 ) + Q. dt Dit is makkelijker op te lossen dan het stelsel differentiaalvergelijkingen uit “Model AB”, nu hebben we immers 1 vergelijking. Deze kan opgelost worden aan de hand van de integrerende factor methode. De differentiaal vergelijking kan als volgt herschreven worden: TB0 (t) + TB (t) (k1 + k2 ) = k1 TA0 + k2 TC0 + Q ⇔ e(k1 +k2 )t TB0 (t) + e(k1 +k2 )t TB (t) (k1 + k2 ) = e(k1 +k2 )t (TA0 k1 + TC0 k2 ) + e(k1 +k2 )t Q 0 ⇔ e(k1 +k2 )t TB (t) = e(k1 +k2 )t (TA0 k1 + TC0 k2 ) + e(k1 +k2 )t Q ⇒ e(k1 +k2 )t TB (t) = ⇒ TB (t) =

TA0 k1 + TC0 k2 (k1 +k2 )t Q e + e(k1 +k2 )t +d k1 + k2 k1 + k2

TA0 k1 + TC0 k2 Q + + d · e−(k1 +k2 )t k1 + k2 k1 + k2

waarin d ∈ R.

waarin d ∈ R.

Met de randvoorwaarde TB (0) = TB0 levert dit: Q TA0 k1 + TC0 k2 Q TA0 k1 + TC0 k2 + + TB0 − − · e−(k1 +k2 )t ⇒ TB (t) = k1 + k2 k1 + k2 k1 + k2 k1 + k2 TA0 k1 + TC0 k2 TA0 k1 + TC0 k2 Q ⇔ TB (t) = e−(k1 +k2 )t TB0 − + + 1 − e−(k1 +k2 )t . k1 + k2 k1 + k2 k1 + k2 In figuur 4 is TB (t) getekend met k1 = 0.2 h −1 , k2 = 0.5 h −1 , TA0 = 278 K , TB0 = 293 K , TC0 = 283 K en Q = 2 K h −1 .

4.4

Model ABCDE

Er wordt gekeken naar een blokmodel met 5 aangrenzende blokken (zie figuur 5). De blokken stellen een model van een huis voor, de blokken zijn niet identiek. Blok A en blok E zijn net buiten het huis en hebben constante temperatuur. Tussen zowel blok A en B als blok D en E



T 302 300 B

298 296 294 292 290 288 0

2

4

6

8

10

t

Figuur 4: Temperatuur blok B

Figuur 5: Vijf aangrenzende blokken

zit een muur van het huis. De blokken B, C en D zijn luchtblokken binnen het huis. In blok B staat een warmtebron Q. Er geldt dan  dTB = −k1 (TB (t) − TA0 ) − k2 (TB (t) − TC (t)) + Q  dt     dTC = −k2 (TC (t) − TB (t)) − k2 (TC (t) − TD (t)) dt      dTD = −k2 (TD (t) − TC (t)) − k1 (TD (t) − TE0 )). dt Dit stelsel differentiaalvergelijkingen is op een analoge manier op te lossen als gedemonstreerd in “Model AB”, maar dat oplossen gaat niet zo makkelijk met de hand. De eigenwaarden van een 3 x 3 matrix moeten dan gevonden worden, er moet dan dus een derdegraadsvergelijking in λ opgelost worden. Voor k1 = 1 h −1 , k2 = 2 h −1 , TA0 = TE0 = 283 K , TB0 = 283 K , TC0 = 288 K , TD0 = 293 K en Q = 3 K h −1 geeft dit (m.b.v. Mathematica) de volgende oplossing:  1 √ √ √ 11e−3t 7 7 35 − 21 (7− 33)t  √ T (t) = 285 − + (33 + 5 33)e + − e− 2 (7+ 33)t  B 2 132 4  4 33      1 √ 1 √ 7 7 49 49 − 2 (7− 33)t √ √ TC (t) = 579 + + e + − e− 2 (7+ 33)t 2 4 4 4 33 4 33      √ √  √   TD (t) = 284 − 11e−3t + 7 (33 + 5 33)e− 21 (7− 33)t + 7 − √35 e− 12 (7+ 33)t 2 132 4 4 33 Merk op dat in het evenwicht (t = ∞): TB (∞) > TC (∞) > TD (∞). Dit is niet zo raar, want in blok B staat de warmtebron en blok C staat dichter bij blok B dan blok D bij blok B staat. 10 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


T B 292 C

290

D

288 286 284 282 280 278 0

2

4

6

8

t

Figuur 6: Temperatuurverloop blokken B, C en D

Om de temperaturen van de blokken in het evenwicht te weten te komen, was het oplossen van deze differentiaalvergelijking niet nodig. In het evenwicht verandert de temperatuur niet meer, dus geldt dan dT = 0. Dit levert dan een stelsel vergelijkingen met als oplossing: dt  TB (∞) =         T (∞) = C      TD (∞) =   

TE0 k1 k2 +T A0 k1 (2k1 +k2 )+(2k1 +k2 )Q 2k1 (k1 +k2 ) T A0 k1 +TE0 k1 +Q 2k1 TE0 k1 (2k1 +k2 )+k2 (T A0 k1 +Q) . 2k1 (k1 +k2 )

Als we de waardes invullen, dan levert het inderdaad respectievelijk 285 K , 284 12 K en 284 K op voor TB (∞), TC (∞) en TD (∞).

4.5

Blokmodel A1 ,...,A10

Een realistischer model dan het model met 5 blokken is een model met 10 blokken, A1 ,...,A10 . Net als in het vorige model stellen de blokken aan de zijkant (blok A1 en A10 ) de plaatsen net buiten het huis voor en deze hebben weer een constante temperatuur. De blokken A2 en A9 hebben warmtebronnen respectievelijk Q2 en Q9 . De differentiaalvergelijkingen zijn dan  dTA 2  = −k1 (TA2 (t) − TA1 ) − k2 (TA2 (t) − TA3 (t)) + Q 2  dt     dT Ai = −k2 (TAi (t) − TAi−1 (t)) − k2 (TAi (t) − TAi+1 (t)) voor i = 3, ..., 8 dt       dTA9 = −k2 (TA9 (t) − TA8 (t)) − k3 (TA9 (t) − TA10 ) + Q 9 . dt



We kunnen dit stelsel ook als volgt opschrijven:   0  TA2 (t) −(k1 + k2 ) 0 0 0 0 0 0 0 TA2 (t)  TA3 (t)  TA3 (t) k2 −2k2 k2 0 0 0 0 0       TA4 (t)  TA4 (t) 0 k2 −2k2 k2 0 0 0 0       TA5 (t)  TA5 (t) 0 0 k2 −2k2 k2 0 0 0    =   TA (t)  TA (t) 0 0 0 k2 −2k2 k2 0 0  6    6   TA (t)  TA (t) 0 0 0 0 k2 −2k2 k2 0  7    7   TA (t)  TA (t) 0 0 0 0 0 k2 −2k2 k2 8 8 TA9 (t) 0 0 0 0 0 0 k2 −(k2 + k3 ) TA9 (t)   k 1 T A1 + Q 2   0     0     0 .  +   0     0     0 

k3 TA10 + Q 9 Laat A de vierkante matrix in de bovenstaande formule zijn en de I de 8x8 vierkante identiteitsmatrix zijn. Dit stelsel kan worden opgelost door een Laplace-transformatie toe te passen. We noteren de Laplace-transformatie van TAi als LTAi = Ti , dan is LTA0 i = sTi − TAi (0) (zie bijlage Laplace transformatie). Invullen geeft:         T2 TA2 (0) T2 k 1 T A1 + Q 2 T3  TA3 (0) T3    0         T4  TA4 (0) T4    0         T5  TA5 (0) T5  1   0         s − = A· +    0 T6  TA6 (0) T6  s   T7  TA (0) T7    0    7      T8  TA (0) T8    0 8 T9 TA9 (0) T9 k3 TA10 + Q 9      k 1 T A1 + Q 2 TA2 (0) T2 TA3 (0)   T3  0         TA4 (0) T4  0       TA5 (0)  T5  1  0       ⇔ − = (A − s I ) ·   +    0  TA6 (0) T6  s    TA (0) T7  0    7      TA (0) T8  0 

8

TA9 (0)

T9

k3 TA10 + Q 9

In deze berekening gebruiken we dat de matrix (A − s I ) inverteerbaar is. Deze matrix is inverteerbaar dan en slechts dan als geldt: |A − s I | 6= 0. Voor de determinant van (A − s I ) vinden we |A − s I | = 15k1 k27 + 15k28 + 15k1 k26 k3 + 15k27 k3 6= 0, want k1 , k2 , k3 > 0.



Hieruit vinden we dan een stelsel vergelijkingen waaruit Ti bepaald kan worden:  −TA2 (0) = −(k1 + k2 + s)T2 + 1s k1 TA1 + Q 2      −TAi (0) = k2 Ti−1 − (2k2 + s)Ti + k2 Ti+1 voor i = 3, ..., 8      −TA9 (0) = −(k2 + k3 + s)T9 + 1s k3 TA10 + Q 9 Volgens kan de temperatuursfunctie TAi (t) bepaald worden door de laplace getransformeerde Ti terug te transformeren. De oplossing voor bepaalde constantes zijn getekend in de figuren 7 en 8. In figuur 7 is de oplossing getekend voor dunne muren (k1 = k3 = 12 h −1 ), k2 = 2 h −1 , TA1 = TA10 = 283 K , TA2 = TA3 = ... = TA9 = 293 K en een sterke verwarming in A2 en een zwakkere in A9 : Q2 = 7 K h −1 en Q9 = 2 K h −1 . Dit gaat in de limiet naar een continu model.

Figuur 7: Temperatuurverloop blokken A1 ,...,A10

Merk op dat de temperatuur erg snel naar de temperatuur in het evenwicht convergeert. In figuur 8 zijn dikkere muren gebruikt en is de verwarming lager gezet: k1 = 0.05 h −1 , k3 = 0.1 h −1 en Q2 = 21 K h −1 en Q9 = 1 K h −1 . Verder is k2 = 2 h −1 en is in de begintoestand de temperatuur binnen net als buiten: 283 K .



Figuur 8: Temperatuurverloop blokken A1 ,...,A10

5

Variabele buitentemperatuur

In werkelijkheid is de temperatuur buiten niet constant, maar varieert met de tijd. In de middag zal het buiten het warmst zijn en ’s nachts wordt de minimale temperatuur bereikt. In de warmtewet van Newton is de omgevingstemperatuur dan ook een functie in plaats van een constante. Een voor de hand liggende benadering is een sinus. Deze heeft de periodiciteit die in het echt ook voorkomt. Een combinatie van sinussen en cosinussen zou realistischer resultaten opleveren, maar zou ook de berekeningen moeilijker maken en de resultaten zouden lastiger te begrijpen worden. Vandaar de keuze voor een eenvoudige sinus. Definieer Tomg (t) = Tgem + A sin ωt Hierin is Tgem A ω t

= de gemiddelde temperatuur of evenwichtsstand van de functie = de amplitude ofwel de afwijking van de evenwichtsstand = frequentie (in s −1 ) die de periode van de sinus bepaalt = de tijd (in s)

De sinus heeft periode 2π en er zitten 60 × 60 × 24 = 86400 seconden in een dag, dus zal ω 2π de waarde 86400 moeten hebben om de buitentemperatuur een periode van 24 uur te geven. De warmtewet van Newton wordt na invullen van de buitentemperatuur-functie: dT = −k(T (t) − Tomg (t)) = −k(T (t) − Tgem − A sin ωt) (3) dt Oplossingen van dit type differentiaalvergelijkingen zijn van de vorm ’homogene oplossingen + particuliere oplossing’. De homogene oplossingen zijn weer e-machten: Ce−kt . De particuliere oplossing zal waarschijnlijk een sinus en een constante term bevatten, net als de 14 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


functie van de buitentemperatuur. Verder zal er een cosinus in de oplossing voorkomen, omdat de afgeleide van de sinus de cosinus is. Zowel sinus en cosinus zullen dezelfde periode als de buitentemperatuur hebben. Invullen in vergelijking (3) geeft als particuliere oplossing: Tparticulier (t) = Tgem +

ωk k2 A sin ωt − 2 A cos ωt 2 2 ω +k ω + k2

(4)

Nu ’homogene oplossingen + particuliere oplossing’ en de voorwaarde T (0) = Tbegin : k2 ωk T (t) = Ce−kt + Tgem + 2 A sin ωt − 2 A cos ωt (5) 2 ω +k ω + k2 ωk k2 ωk −kt T (t) = Tbegin − Tgem + 2 A e + T + A sin ωt − A cos ωt (6) gem ω + k2 ω2 + k 2 ω2 + k 2 Ter controle de afgeleide van deze temperatuurfunctie: ωk ωk 2 ω2 k dT −kt = −k Tbegin − Tgem + 2 A e + A cos ωt + A sin ωt dt ω + k2 ω2 + k 2 ω2 + k 2

(7)

En de andere kant van vergelijking 4: −k (T (t) −Tgem − A sin ωt) = −k( Tbegin − Tgem + − = =

ωk k2 −kt A e + T + A sin ωt gem ω2 + k 2 ω2 + k 2

ωk A cos ωt − Tgem − A sin ωt) + k2 ωk k2 ωk 2 −kt −k Tbegin − Tgem + 2 A e − k − 1 A sin ωt + A cos ωt ω + k2 ω2 + k 2 ω2 + k 2 ωk ωk 2 ω2 k −kt −k Tbegin − Tgem + 2 A e + A cos ωt + A sin ωt ω + k2 ω2 + k 2 ω2 + k 2 ω2

Beiden zijn gelijk, dus deze temperatuurfunctie voldoet aan de warmtewet van Newton. T 20

Binnen

Buiten 18

16

14

12

10

20

30

40

t

Figuur 9: Temperatuurfuncties voor binnen en buiten met t in uren en T in graden Celsius In afbeelding 9 is een plot te zien met de volgende waardes: Tgem = 15, A = 5, ω = 2π ,k = 24 0, 000025×60×60. De tijd wordt dus in uren bekeken en de relatief kleine k-waarde geeft aan 15 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


dat het huis behoorlijk geïsoleerd is. Daarom schommelt de temperatuur binnen (blauwe lijn) tussen 13 en 17 graden Celsius, lang niet zo sterk als buiten (paarse lijn). De toppen van de temperatuurfunctie binnen liggen niet toevallig op de snijpunten van beide grafieken. In die snijpunten is er geen temperatuurverschil en dus ook geen temperatuurverandering. Interessant is de invloed van de constante k op de temperatuurfunctie. Voor zeer kleine k, bij extreme isolatie en nauwelijks warmte-uitwisseling, schommelt de temperatuur zeer weinig. Voor relatief grote k, corresponderend met een slechte isolatie en veel warmteuitwisseling, volgt de temperatuur binnen die van buiten sneller en schommelt meer. De variërende temperatuur buiten heeft dus minder invloed op een beter geïsoleerde kamer, zoals te verwachten.

lim T (t) =

k→0

= lim T (t) =

k→∞

=

ωk k2 ωk −kt lim Tbegin − Tgem + 2 A e + T + A sin ωt − 2 A cos ωt gem 2 2 2 k→0 ω +k ω +k ω + k2 Tbegin ωk k2 ωk −kt lim Tbegin − Tgem + 2 A e + T + A sin ωt − 2 A cos ωt gem 2 2 2 k→∞ ω +k ω +k ω + k2 Tgem + A sin ωt = Tomg

Merk op dat k → ∞ niet realistisch is, omdat de benodigde tijd om de temperatuur aan te passen dan naar 0 gaat. In werkelijkheid duurt warmte-overdracht altijd even. Het is wel bemoedigend dat de formule dan ook T (t) = Tomg geeft.

6

Tocht

Door drukverschillen buiten een huis kan er lucht gaan stromen door kieren in het huis. Deze tocht heeft invloed op de temperatuur in huis. Een eenvoudige modellering van dit verschijnsel is te kijken naar het volume lucht dat per tijdseenheid in en uit de kamer stroomt. Een deel lucht op kamertemperatuur wordt vervangen door lucht met de temperatuur van buiten. Door een kier met oppervlakte A stroomt in t seconden lucht over een afstand L. Het volume van deze lucht is AL. Per seconde stroomt dus AL kubieke meter lucht weg. De lucht stroomt t met snelheid v = Lt en dus AL = Av. Het totale volume in de kamer verandert niet, dus geldt: t Ain vin = Auit vuit = ξ

(8)

Veronderstel dat de dichtheid van lucht in dit model constant is. In werkelijkheid hangt de dichtheid van lucht af van de temperatuur, maar deze aanname zorgt voor behoud van het totale volume en de totale massa in de kamer. Vermenigvuldigen met de dichtheid van lucht levert namelijk dat de totale massa ook behouden blijft: ρ Ain vin = ρ Auit vuit = ρξ . Hierin is ρξ de massa die per seconde vervangen wordt. De eenheden kloppen: [ρ][ξ ] = [ρ][A][v] = kg 2 m m s = kgs m3 16 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


A

t

L Figuur 10: Blok lucht dat wegstroomt door tocht

Er komt even veel massa bij als er wegstroomde, maar er is wel een verschil in energie tussen beide massa’s. Lucht uit de kamer heeft de temperatuur van de kamer en lucht van buiten heeft de buitentemperatuur. De totale energie in het systeem verandert dus: dE d = m tot e = m in ein − m uit euit = ρ Ain vin ein − ρ Auit vuit euit dt dt Invullen van e = c p T : d T = ρ Ain vin c p Tomg − ρ Auit vuit c p Tbinnen dt Nu komt vergelijking (8) van pas: m tot c p

dT ρξ =− (Tbinnen − Tomg ) dt m tot Neem γ =

ρξ , m tot

(9)

(10)

(11)

dan is de bijdrage van tocht aan de temperatuurverandering:

dT = −γ (Tbinnen − Tomg ) dt Omdat ρ constant is verondersteld, is γ als volgt te interpreteren:

(12)

massa die per seconde vervangen wordt volume dat per seconde vervangen wordt = totale massa in de kamer totale volume in de kamer (13) Hoe kleiner γ , hoe minder temperatuurverandering door tocht per tijdseenheid. γ kan kleiner gemaakt worden door het oppervlak van de kier te verkleinen, de stroomsnelheid van de lucht te verminderen of de kamer groter te maken. Kieren dichtstoppen is hiervan verreweg de makkelijkste oplossing. Maar wanneer is tocht een factor van belang? In hoofdstuk 8 wordt hierop ingegaan. γ =



7

Warmtestroom door muren/ramen

Voor het eenvoudige model op basis van de wet van Newton wordt verondersteld dat het temperatuurverloop in de muren lineair is. Verandert er buiten iets, dan merk je dat binnen direct. Die aanname is redelijk als de veranderingen relatief langzaam gaan en de muur dun is. Onder deze aanname is een hele wand of kamer met meerdere isolerende lagen en met ramen te vatten in één k-waarde. Later wordt in meer detail gekeken naar warmteuitwisseling via de muur.

7.1

Warmtestroom door muur bestaande uit meerdere lagen (serie)

Een muur in een normaal woonhuis bestaat niet uit slechts een laag baksteen of beton; er worden meerdere lagen gebruikt. We bekijken de warmtestroom door een muur bestaande uit meerdere lagen, waarbij verondersteld wordt dat de binnen en buitentemperatuur constant zijn. Er wordt gekeken naar een muur bestaande uit 3 verschillende lagen van verschillende diktes (d1 , d2 en d3 ). De drie lagen hebben alledrie een eigen warmteoverdrachtscoëfficient: λ1 , λ2 en λ3 , zie figuur 11. Met de formule voor warmtestroom op pagina 42 uit de bijlage:

Figuur 11: Warmtestroom door muur bestaande uit 3 lagen

 q=         q=      q=    18 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B

λ1 A (Tbinnen d1

− T1 )

λ2 A (T1 d2

− T2 )

λ3 A (T2 d3

− Tbuiten ).


Het stelsel vergelijkingen uit (7.1) kan herschreven worden tot:  Tbinnen − T1 = qA · λd11       T1 − T2 = qA · λd22      q d3  T −T 2 buiten = A · λ3 . Het optellen van deze drie vergelijkingen levert: Tbinnen − Tbuiten

q = A

d1 d2 d3 + + λ1 λ2 λ3

hieruit volgt dan voor de warmtestroom q: q=

A(Tbinnen − Tbuiten ) 3 X di i=1

.

λi

Dit resultaat kan eenvoudig gegeneraliseerd worden naar n lagen, dan is de warmtestroom q: A (Tbinnen − Tbuiten ) 1 q= (14) = (Tbinnen − Tbuiten ) . n n X di 1 X di i=1

λi

A

i=1

λi

Merk op dat de warmteweerstand R als vervangingsweerstand voor meerdere lagen in serie gegeven wordt door: n n X 1 X di R= = Ri . (15) A i=1 λi i=1

7.2

Totale warmtestroom door muren en ramen (parallel)

Net als in Warmtestroom door muur bestaande uit meerdere lagen (serie) kan een vervangingswaarde voor de constantes gevonden worden, als de lagen parallel geschakeld worden. Er worden gekeken naar de warmtestroom door verschillende lagen naast elkaar (parallel), dus bijvoorbeeld een muur met daarin een raam. De lagen hebben verschillende oppervlakte (A), dikte (d) en warmteoverdrachtscoëfficient (λ). De warmtestroom naar buiten, q, door laag i wordt weer gegeven door vergelijking (37) op pagina 42: q=

λi Ai (Tbinnen − Tbuiten ). di

Dit geldt voor elke laag i, dus als er n lagen zijn wordt de totale warmtestroom naar buiten gegeven door: n X λi Ai q= (Tbinnen − Tbuiten ). (16) d i i=1 19 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


Merk op dat de warmteweerstand R als vervangingsweerstand voor meerdere parallele lagen gegeven wordt door: R=

8

1 1 1 = n = n . n X X X λi Ai 1 1 di di Ri i=1 i=1 i=1 λi Ai

(17)

Model op basis van de warmtewet van Newton

Het hele model met warmtebron en tocht wordt beschreven met de volgende vergelijking: dT = −k T − Tomg − γ T − Tomg + Q dt

(18)

Door dT = 0 te stellen, kan uitgerekend worden wat het eindniveau van de temperatuur dt wordt. Omgekeerd kan iedere gewenste constante temperatuur bereikt worden door Q aan te passen. Als de warmtebron op een bepaald moment net zo veel energie toevoegt als er door de muren en door tocht wordt verloren, blijft de temperatuur constant. Het model kan ook in de vorm van de oorspronkelijke warmtewet opgeschreven worden: dT Q = − (k + γ ) T − Tomg + (19) dt k+γ Volgens dit model is de situatie met warmtebron identiek aan de situatie zonder warmtebron Q maar met een omgevingstemperatuur die k+γ K hoger is. Een daling in de omgevingstemQ peratuur met 1 K kan dus volledig teniet gedaan worden door een warmtebron die k+γ meer K aan warmte afgeeft. Bovendien heeft beperking van de tocht (verlaging van γ ) hetzelfde effect als betere isolatie (verlaging van k) als de verlaging van γ of k even groot is. Tocht is een belangrijke factor als γ niet te klein is. k



9

Wet van Fourier

In dit deel van het verslag wordt het temperatuurverloop in de muur nader bekeken. Als de buitenkant van de muur opwarmt of afkoelt, hoe lang duurt het dan totdat daar binnen iets van te merken is? Bij dunne muren zal dat vrijwel direct zijn, bij dikke muren zoals van een bunker kan dat heel lang duren. De wet van Newton zegt niets over plaatsafhankelijkheid van de temperatuur en dus gebruiken we de wet van Fourier: u t − ku x x = 0

(20)

Deze wet geeft een verband tussen de afgeleide naar de tijd en de tweede afgeleide naar de plaats van een temperatuurfunctie u(x, t). Als de tweede afgeleide in een punt positief is, zal de temperatuur daar stijgen, is de tweede afgeleide negatief, dan zal de temperatuur dalen. Hoe groter de tweede afgeleide, hoe sneller de temperatuur verandert. Dit verband geeft aan dat scherpe pieken en dalen snel uitvlakken. Als er geen grote schommelingen in de temperatuur zijn, zal de verandering veel langzamer gaan. Is er ook een stabiele toestand? In dat geval verandert de temperatuur niet meer met de tijd, ofwel u t = 0. Maar dan moet gelden u x x = 0. Als de temperatuurfunctie een rechte lijn is, zal de temperatuur dus niet meer veranderen. Er zal blijken dat het temperatuurverloop inderdaad convergeert naar een rechte lijn. Wanneer die convergentie heel snel gaat, was de aanname van een lineair verloop misschien voldoende. Bij relatief langzame convergentie vergeleken met andere effecten moet het verloop in de muren wel meegenomen worden. Vanuit een bepaalde begintoestand willen we het temperatuurverloop op latere tijdstippen kunnen voorspellen. Dat wordt in dit verslag op twee manieren gedaan. De eerste manier is door de begintoestand te benaderen met Fourierreeksen, de tweede manier is het numeriek benaderen van het probleem in een simulatie. Beide manieren hebben hun voor- en nadelen, en samen geven ze meer inzicht in warmtediffusie.

10

Fourierreeksen

De eerste aanpak gaat met behulp van Fourierreeksen. De aanpak is om een algemene oplossing van vergelijking (20) te zoeken van de vorm u(x, t) = X (x) · T (t), dus een oplossing die het product is van een functie van x en een functie van t. Zo’n gescheiden oplossing is makkelijk, want uit de begintoestand kunnen we X (x) bepalen. Aan T (t) is dan te zien hoe groot de veranderingen in temperatuur op een tijdstip zijn. Merk verder op dat elke lineaire combinatie van oplossingen weer een nieuwe oplossing is. Daarmee kan een hele familie van eenvoudige oplossingen bepaald worden. Vervolgens kiezen we de oplossing die de begintoestand het beste benadert. Het stelsel dat we willen oplossen is:  u t = ku x x , 0 < x < L , t > 0      u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ L      u(0, t) = T0 , u(L , t) = TL , t > 0, 21 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


waarbij f (x) differentieerbaar en f (0) = T0 en f (L) = TL . Een mogelijke temperatuurfunctie is weergeven in figuur 12. u uHx,0L

10 8

T0 6

T1

4 2 0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Figuur 12: Een mogelijke temperatuurgrafiek op t = 0 De stationaire oplossing u s is (t = ∞): u s (x) =

TL − T0 L

· x + T0 .

Definieer v(x, t) := u(x, t)−u s (x). Dan volgt dat vt = u t , vx x = u x x en v(x, 0) = f (x)−u s (x) =: g(x). Zodat het stelsel equivalent is aan:  vt = kvx x , 0 < x < L , t > 0      v(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L      v(0, t) = 0 = v(L , t), t > 0. De beginsituatie na transformatie is weergeven in figuur 13. We proberen als oplossing: v(x, t) = X (x) · T (t). Dan volgt dat vt (x, t) = X (x)T 0 (t) en vx x (x, t) = X 00 (x)T (t). We vinden dan T 0 (t) X 00 (x) = . kT (t) X (x) Merk op dat de linkerkant alleen van t afhangt en de rechterkant alleen van x afhangt. Omdat t en x onafhankelijk zijn, volgt dan dat ze gelijk moeten zijn aan een constante. Noem deze constante −λ. Dus dan geldt: T 0 (t) X 00 (x) = −λ en = −λ, kT (t) X (x) ofwel T 0 (t) + λkT (t) = 0 en X 00 (x) + λk X (x) = 0. De eerste differentiaalvergelijking heeft als algemene oplossing T (t) = Ce−λkt . Nu zoeken we dus nog een oplossing van X 00 + λX = 0 met randvoorwaarde X (0) = X (L) = 0. We 22 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


v 10 8 6 vHx,0L 4 2 0 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

-2 -4

Figuur 13: Een mogelijke temperatuurgrafiek na transformatie op t = 0

onderscheiden nu 3 gevallen: i : λ = 0, ii : λ < 0, iii : λ > 0. Geval i: X 00 (x) = 0 ⇒ X (x) = ax + b met a, b ∈ R. Uit de randvoorwaarde volgt nu dat X (x) = 0, zodat v(x, t) = 0. Hierin zijn we niet geïnteresseerd. Geval ii: Noem λ = −r 2 , dan zoeken we een oplossing voor X 00 − r 2 X = 0. Probeer als oplossing X (x) = Ce−λx , met C ∈ R. Het wordt dan Cλ2 e−λx − Cr 2 e−λx = 0 ⇒ λ = ±r. Zodat de algemene oplossing wordt X (x) = C1 er x + C2 e−r x

met C1 , C2 ∈ R.

Invullen van de randvoorwaarden geeft 0 = X (0) = C1 + C2 0 = X (L) = C1 er L + C2 e−r L , waaruit volgt dat C1 (er L − e−r L ) = 0. Omdat r 6= 0 vinden we dat C1 = 0 ⇒ C2 = 0 zodat weer X (x) = 0. Geval iii: Noem λ = ω2 , dan X 00 + ω2 X = 0. Dit heeft als algemene oplossing: X (x) = a cos(ωx) + b sin(ωx)

met a, b ∈ R.

Uit de randvoorwaarde volgt dan dat a = 0 en b sin(ωL) = 0, zodat sin(ωL) = 0. We vinden dan dat ωL = nπ met n ∈ Z. Dit levert op λn = ω2 = 23 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B

nπ x n2π 2 ⇒ X (x) = b sin . n L2 L


Hieruit volgt ook dat Tn (t) = Cn e−λn kt = Cn e

−n

2π2 kt L2

.

De totale oplossing wordt dan: v(x, t) =

∞ X

Cn e

−n

2π2 kt L2

sin

nπ x L

n=0

.

(21)

Om aan te tonen dat deze reeks uniform convergent is, gebruiken we het M-criterium. We √ n nemen hierbij aan dat |Cn | begrensd is. 2π2 kt L2

nπ x . L 2 2 2 2 − π kt − n π2 kt L Merk op dat e L 2 < r < 1 voor zekere r ∈ R zodat e < r n < 1. + 2 Dan vinden we: ||Yn ||∞ < Cn · r n . ∞ X 2 Om te laten zien dat de reeks Cn · r n convergent is, maken we gebruik van het wortel-

Definieer Yn (x) := Cn e

−n

sin

n=0

criterium: lim

n→∞

q n

|Cn | · r n 2 = lim

n→∞

p n

|Cn | · r n = 0 < 1 ⇒

∞ X √ 2 Cn · r n is convergent (want n |Cn | n=0

is begrensd). Volgens het M-criterium is nu de reeks

∞ X

Yn (x) uniform convergent.

n=0

Voor elke verzameling constanten Cn is dit een oplossing van de differentiaalvergelijking. Nu moeten we alleen nog waarden voor Cn bepalen zodat (21) op tijdstip t = 0 aan de beginconditie voldoet. Invullen van de beginconditie v(x, 0) = g(x) levert g(x) = v(x, 0) =

∞ X n=1

Cn sin

nπ x L

.

We berekenen de volgende integraal met p ∈ Z vast. Z pπ x 2 L dx g(x) sin L 0 L Z ∞ nπ x pπ x 2 LX Cn sin sin dx = L 0 n=1 L L Z L ∞ pπ x nπ x 2X (∗) = Cn sin sin d x. L n=1 L L 0 (∗)

Om het gelijkteken = te mogen gebruiken, moeten we aantonen dat de reeks uniform convergeert, zodat we integratie en sommatie mogen verwisselen. Dit op eenzelfde gaat nπweer pπ x x manier als zojuist beschreven: het M-criterium. We gebruiken dat sin sin ≤1 L L √ n en dat |Cn | begrensd is. Om dit verder uit te rekenen, moeten we dus de volgende integraal berekenen: Z L nπ x pπ x sin sin d x. L L 0 24 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


Als p 6 = n dan is de integraal als volgt te berekenen Z (n + p)π x 1 L (n − p)π x − cos dx cos 2 0 L L 1 L (n − p)π x L (n + p)π x L = sin − sin 2 (n − p)π L (n + p)π L 0

= 0,

want n, p ∈ Z.

Als p = n dan staat er L

Z

sin2

nπ x L

0

dx =

Zodat Z

L

sin

nπ x

0

L

We vinden dus dat: 2 Cp = L

Z

sin

pπ x

L

g(x) sin

L

( dx =

pπ x

0

L . 2

L

dx

0 L 2

p 6= n . p=n

(22)

∀ p ∈ Z.

Beschouw het volgende stelsel:  1 vx x , 0 < x < 1, t > 0 vt = 100      v(x, 0) = −4x 2 + 4x, 0 ≤ x ≤ 1      v(0, t) = 0 = v(1, t), t > 0. In figuur 14 is de beginsituatie (t = 0) getekend. v 1.0 vHx,0L 0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Figuur 14: Temperatuur op t=0 We verwachten natuurlijk dat naarmate de tijd verstrekt, de temperatuur grafiek ’afplat’. Immers de randen (x = 0 en x = 1) zijn constant 0 en er wordt geen energie toegevoegd. Dit 25 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


vHx,0L v

vHx,3L

1.0

vHx,6L 0.8

vHx,9L vHx,12L

0.6

vHx,15L 0.4

vHx,18L

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Figuur 15: Temperatuur op tijdstip t

is ook te zien in de exacte oplossing: v(x, t) =

∞ X

C n e−

n2 π 2 100 t

sin (nπ x) ,

(23)

n=0

Z met Cn = 2

1

(−4x 2 + 4x) sin (nπ x) d x. Als t toeneemt wordt de temperatuur v(x, t) ’afplat’

0

door de e-macht. In figuur 15 is de oplossing weergeven voor een aantal waarden van t. Beschouw nu het volgende voorbeeld. Stel dat de buitenmuur van een huis een constante temperatuur heeft. Als de zon die op de buitenmuur schijnt ineens achter een wolk komt, zal de temperatuur van de muur aan de buitenkant in een korte tijd snel dalen. In figuur 16 is zo’n situatie weergegeven. De positie x = 1 stelt de binnenzijde van de buitenmuur voor, x = 0 stelt de buitenzijde van buitenmuur voor. De gebruikte functie die de temperatuur van de buitenmuur op t = 0 √ voorstelt is u(x, 0) = x − x log x. Als de binnen en buitentemperatuur niet verder veranderen, dan zal zich een evenwicht instellen. We weten al voordat we iets uitgerekend hebben hoe het evenwicht eruit zal zien: u(x, ∞) = x. Maar we weten nog niet hoe de temperatuur grafiek zal convergeren naar het evenwicht. Het stelsel dat we nu willen oplossen is (kies 1 k = 100 ):  1 u t = 100 u x x , 0 < x < 1, t > 0      √ (24) u(x, 0) = x − x log x, 0 ≤ x ≤ 1      u(0, t) = 0, u(1, t) = 1, t > 0, Omdat de temperatuur op de randen niet gelijk aan 0 is, passen we de transformatie v(x, t) := u(x, t) − x toe. In figuur 17 is de temperatuurfunctie v(x, 0) weergegeven. 26 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


u 1.0

0.8 uHx,0L 0.6

0.4

0.2

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Figuur 16: Temperatuur buitenmuur op tijdstip t=0 v 1.0

0.8

0.6 vHx,0L 0.4

0.2

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Figuur 17: Temperatuurfunctie na transformatie op tijdstip t=0

Dit levert dan het volgende aan 0 is.  vt      v(x, 0)      v(0, t)

stelsel waarbij wel geldt dat de temperatuur op de randen gelijk 1 v , 100 x x

=

= x−

√

0 < x < 1, t > 0

√ x log x − x = − x log x,

= 0 = v(1, t),

0≤x ≤1

t > 0.

De oplossing van dit stelsel is v(x, t) =

∞ X n=0


C n e−

n2 π 2 100 t

sin (nπ x) ,

(25)


Z met Cn = 2

1

√ (− x log x) sin (nπ x) d x.

0

De temperatuurfunctie v(x, 0) kan worden benaderd door de som niet tot oneindig te laten lopen, maar op een gegeven moment af te breken: v M (x, 0) ≈

M X

Cn sin (nπ x) ,

waarbij M ∈ N+ .

n=0

Het zal duidelijk zijn dat hoe groter men M kiest hoe beter de benadering zal zijn. In figuur 18 is de temperatuurfunctie v M (x, 0) voor verschillende waarden van M getekend. vHx,0L vP1T Hx,0L vP2T Hx,0L

v 1.0

vP3T Hx,0L vP4T Hx,0L

0.8

vP5T Hx,0L

0.6

vP6T Hx,0L

0.4

0.2

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Figuur 18: Temperatuurfunctie v(x, 0) voor verschillende waarden van M

De oplossing van het stelsel voor M = 15 voor verschillende waarden van t is weergegeven in figuur 19. Merk op dat voor kleine t de temperatuurgrafiek v(x, t) alleen aan de linkerkant verandert, links verdwijnt de ’bult’ snel maar rechts gebeurt niets. Dit is te verklaren door het feit dat aan de rechterkant bij x = 1 de v(x, t)-grafiek bij benadering een rechte lijn is. Immers vx x (x, t) is dan bijna gelijk aan 0, zodat er geen verandering optreedt. Merk ook op dat dit komt omdat de stationaire oplossing van dit stelsel een rechte lijn is. We zien dat de convergentiesnelheid van de reeks v M (x, 0) niet erg hoog is. Voor t > 0 is in figuur 19 te zien dat er geen ’schommelingen’ meer in de temperatuurgrafiek te zien zijn.



vHx,0L vP15T Hx,0L vP15T Hx,1L vP15T Hx,2L

v 1.0

vP15T Hx,5L

0.8

vP15T Hx,10L

0.6

0.4

0.2

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Figuur 19: Temperatuurfunctie v15 (x, 0) voor verschillende waarden van t

Hier lijkt de convergentiesnelheid wel erg hoog. We berekenen: |v(x, t) − v M (x, t)|

≤

∞ X

|Cn | e

−n

2π2 kt L2

n=M+1

≤

≤ 2 µ:= π 2kt L

=

√ y:= µn

=

= =


2 L

Z

2 L

Z

2 L

Z

L

|g(x)| d x · 0

∞ X

e

n=M+1 Z∞

L

|g(x)| d x · 0

e M Z∞

L

|g(x)| d x · 0

1 2 √ · µ L

−n

−n

2π2 kt L2

2π2 kt L2

dn

e−n µ dn 2

M

Z

Z∞

L

|g(x)| d x · 0

√ µM

2

e−y dy

√ Z π 1 2 L √ |g(x)| d x · erfc( µM) ·√ · 2 µ L 0 √ Z L π √ |g(x)| d x · erfc( µM) √ L µ 0


waarin we gebruik hebben gemaakt van het feit dat Z 2 L |g(x)| d x Cn ≤ L 0 en dat

Z ∞ 2 2 e−ξ dξ. erfc(x) := 1 − erf(x) = √ π x Omdat de erfc-functie erg snel afneemt naarmate de M toeneemt, concluderen we dat (voor ’normale’ beginvoorwaarde) de convergentiesnelheid voor t > 0 van de fourierreeks erg hoog is.

11

Simulatie

De manier waarop warmte overgedragen wordt kan ook gesimuleerd worden. Het idee is dat de ruimte wordt opgedeeld in kleine vakjes van breedte 1x. Ook de tijd loopt met discrete stapjes 1t. Vervolgens kan door de computer voor elk vakje na elk tijdstapje de temperatuur berekend worden. De temperatuur in vakje i op tijdstip n geven we aan met u in . Het resultaat van de simulatie is een matrix ter grootte [aantal vakjes] × [aantal tijdstappen] met temperaturen. Deze losse punten vormen samen een benadering voor het continue probleem. Naarmate 1x en 1t kleiner worden, verwacht je een betere benadering.

11.1

1-dimensionaal in de plaats

Warmtediffusie moet voldoen aan de wet van Fourier: u t − ku x x = 0 De afgeleiden kunnen benaderd worden met behulp van Taylorreeksen: 1 u(t − 1t) = u(t) − u 0 (t)1t + u 00 (t)(1t)2 − u 000 (t)(1t)3 + O(1t)4 6 u(t) − u(t − 1t) u 0 (t) = + O(1t), 1t waarbij O(1t) een functie aangeeft die begrensd is door een constante maal 1t. 1 u(x + 1x) = u(x) + u 0 (x)1x + u 00 (x)(1x)2 + u 000 (x)(1x)3 + O(1x)4 6 1 u(x − 1x) = u(x) − u 0 (x)1x + u 00 (x)(1x)2 − u 000 (x)(1x)3 + O(1x)4 6 u(x − 1x) − 2u(x) + u(x + 1x) u 00 (x) = + O(1x)2 (1x)2 Met de notatie u in krijgen we u 0 (n1t) ≈ u 00 (i1x) ≈

u in − u in−1 1t n−1 n−1 u i−1 − 2u in−1 + u i+1 (1x)2


(achterwaartse differentie) (centrale tweede differentie)


Door de termen van O(1t) en O(1x)2 af te kappen, ontstaat een benadering. Deze benadering heeft een afbreekfout T (1t, (1x)2 ). Kleinere 1t en 1x verkleinen de fout. Uiteindelijk wordt de benaderde wet van Fourier: n−1 u n−1 − 2u in−1 + u i+1 u in − u in−1 − k i−1 =0 1t (1x)2

En dus is, met behulp van de temperaturen op tijdstip n − 1 in een vakje en de buurvakjes, ook de temperatuur op tijdstip n te berekenen. Alleen de begintoestand is nodig om de rest 1t van de matrix te vullen. Gaat dit altijd goed? Definieer s := k (1x) 2. 1t n−1 ) (u n−1 − 2u in−1 + u i+1 (1x)2 i−1 n−1 n−1 + u i+1 ) = (1 − 2s)u in−1 + s(u i−1

u in = u in−1 + k

= (1 − 2s)u in−1 + 2s

n−1 n−1 u i−1 + u i+1 2

Bij warmtediffusie vlakken pieken en dalen uit totdat een lineair verloop ontstaat. u in moet dus dichter bij het gemiddelde van de temperaturen in de twee buurvakjes komen te liggen 1t 1 na een tijd 1t. Dat geeft de conditie 2s < 1 ofwel s = k (1x) 2 < 2 . Voor een stabiel systeem is het dus van belang dat 1t voldoende klein is ten opzichte van (1x)2 . Om de ruimte in 10 keer zo kleine vakjes op te kunnen delen moeten de tijdstapjes 100 keer zo klein worden! De hoeveelheid rekenwerk neemt snel toe als je een betere benadering wilt krijgen. MSE

10-5

10-7

10-9

10-11

10-13

50

100

500

1000

5000

n

Figuur 20: Mean squared error voor verschillende aantallen punten in de simulatie voor beginfunctie u = sin(π x) op t = 1. Met behulp van Fourierreeksen kunnen we de exacte oplossing bepalen voor beginfunctie u = sin(π x) op tijdstip t = 1. Daarmee kunnen we dus de fout die de simulatie maakt benaderen. Kies k = 0.001 en 1t = 0.000004. Varieer nu het aantal punten n in de simulatie (1x = 1/n) en bereken de Mean Squared Error (MSE). Daarvoor geldt n+1

MSE =


1 X (u benaderd (i) − u exact (i))2 . n + 1 i=1


In figuur 20 is voor diverse n de MSE uitgezet op een loglog-schaal. Voor n ≤ 500 is dit een rechte lijn met helling ongeveer 2, want de dominante term in de fout is dan (1x)2 . Voor n > 1000 zijn (1x)2 en 1t van dezelfde ordegrootte en dan begint de fout in de tijdstapjes mee te spelen. Bovendien is het temperatuurverschil tussen buurcellen dan zo klein, dat ook het afronden van java belangrijk wordt. Als de verschillen tussen buurcellen te klein worden voor het aantal decimalen dat java gebruikt, werkt de iteratiestap slecht. Dit veroorzaakt de enorme stijging in de MSE van n = 1000 naar n = 5000. Paradoxaal genoeg moet 1x dus niet te klein worden om de fout te minimaliseren. Natuurlijk kan de simulatie ook gebruikt worden om de aanpak met Fourierreeksen te verifi√ eren en andersom. Het voorbeeld van de functie v = − x log x is ook uitgevoerd in de simulatie met 1t = 0, 0000025, 1x = 0, 005 en k = 0, 01. Merk op dat voldaan is aan de 1t 1 stabiliteitsconditie, k (1x) 2 < 2 . Dit levert figuur 21. Vergelijk deze met figuur 19, te zien is dat beide aanpakken hetzelfde temperatuurverloop laten zien. v 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Figuur 21: Temperatuurfunctie vsimulatie (x, 0) voor verschillende waarden van t Toch is er natuurlijk een verschil tussen de Fourierreeks die afgekapt is na 15 termen en de numerieke simulatie. Dit verschil op t = 2 en t = 10 is te zien in figuur 22. De fout is het grootst op t = 2 rond 0.1 < x < 0.2. Al eerder was te zien dat de Fourierreeks de functie daar niet zo goed benaderde op t = 0 (Figuur 18). Voor grotere t (bijvoorbeeld t = 10), wordt de fout kleiner. De simulatie voorspelt dan iets langzamere convergentie dan de afgekapte Fourierreeks. Het verschil is ongeveer van de orde 10−5 graad, dus niet iets om wakker van te liggen.

11.2

3-dimensionaal in de plaats

Een groot voordeel van het simuleren van de heat equation, is dat het eenvoudig kan worden uitgebreid naar 3 dimensies in de plaats. Hiervoor gebruiken we de wet van Fourier in 3 dimensies: 2 ∂u ∂ u ∂ 2u ∂ 2u −k + 2 + 2 = 0. (26) ∂t ∂x2 ∂y ∂z



Err x 5. ´ 10-6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

-5. ´ 10-6 -0.00001 -0.000015

√ Figuur 22: |Fourier - simulatie| voor de functie v = − x log x op t = 2 (rood) en t = 10 (blauw).

Er is nu dus een warmteflux in zowel de x, y als z richting. We verdelen de 3 dimensionale ruimte in kleine blokjes met afmetingen 1x · 1y · 1z. De tijd loopt nog steeds met discrete stapjes 1t. We noteren de temperatuur van het i, j, l e blokje in de respectievelijk x, y, z-richting op tijdstip n met u i,n j,l . We vinden dan: u 0 (n1t) ≈ u 00 (i1x) ≈ u 00 ( j1y) ≈ u 00 (l1z) ≈

u i,n j,l − u i,n−1 j,l

(achterwaartse differentie)

1t n−1 n−1 n−1 u i−1, j,l − 2u i, j,l + u i+1, j,l

u i,n−1 j−1,l

(centrale tweede differentie in de x-richting)

(1x)2 n−1 − 2u i,n−1 j,l + u i, j+1,l

(centrale tweede differentie in de y-richting)

(1y)2 n−1 n−1 u i,n−1 j,l−1 − 2u i, j,l + u i, j,l+1

(centrale tweede differentie in de z-richting).

(1z)2

Merk op dat de temperatuur van een blokje nu afhangt van de 6 aangrenzende buren en zijn vorige temperatuur. De benaderde wet van Fourier wordt nu dan: u i,n j,l − u i,n−1 j,l 1t

−k

n−1 n−1 n−1 u i−1, j,l − 2u i, j,l + u i+1, j,l

(1x)2

+

n−1 n−1 u i,n−1 j−1,l − 2u i, j,l + u i, j+1,l

(1y)2

+

n−1 n−1 u i,n−1 j,l−1 − 2u i, j,l + u i, j,l+1

(1z)2

We nemen de stapgrootte in de plaats voor alledrie de richtingen gelijk (1x = 1y = 1z). Net als in het 1 dimensionaal geval vinden we een uitdrukking voor de temperatuur van blokje


! =0


1t u i,n j,k (we gebruiken weer s = k (1x) 2 ):

1t n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 (u n−1 − 2u i,n−1 j,l + u i+1, j,l + u i, j−1,l − 2u i, j,l + u i, j+1,l + u i, j,l−1 − 2u i, j,l + u i, j,l+1 ) (1x)2 i−1, j,l n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 = (1 − 6s)u i,n−1 j,l + s(u i−1, j,l + u i+1, j,l + u i, j−1,l + u i, j+1,l + u i, j,l−1 + u i, j,l+1 )

u in = u i,n−1 j,l + k

= (1 − 6s)u i,n−1 j,l + 6s

n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 u i−1, j,l + u i+1, j,l + u i, j−1,l + u i, j+1,l + u i, j,l−1 + u i, j,l+1

6

.

De temperatuur in een kamer kunnen we visualiseren door elk blokje afhankelijk van zijn temperatuur een kleur te geven. Het model bestaat uit 1 kamer in de vorm van een kubus. Aan de randen van de kamer zitten muren en buiten die muren is de buitenlucht. We veronderstellen dat de buitenlucht een constante temperatuur heeft. Aan elk blokje geven we een k-waarde. De blokjes aan de rand, dus de muren, hebben een erg lage k-waarde. De andere blokje midden in de kamer hebben een hogere k-waarde. Dus de muren houden de warmte dus goed vast. Aan het model voegen we een verwarming toe. De verwarming houdt niet een aantal blokjes op constante (hoge) temperatuur, maar voegt aan een aantal blokjes extra warmte toe. In figuur 23 is dezelfde kamer na een aantal tijdseenheden weergegeven. De temperatuur is dan dicht naar de evenwichtssituatie genaderd. Net zoals we in het 1 dimensionaal model

Figuur 23: Evenwichtssituatie in een kamer met verwarming gezien hebben, is dit systeem niet altijd stabiel. Het systeem is stabiel als voor elk blokje 34 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


de vorige temperatuur wordt meegenomen. We vinden dan dus als stabiliteitsvoorwaarde 0 < 1 − 6s < 1 ofwel 0 < s < 16 . Als we bijvoorbeeld kiezen: s = 51 , dan is het systeem zeker niet stabiel. In figuur 24 zien we het resultaat van het programma voor s = 51 .

Figuur 24: Onstabiel systeem



12

Fourier versus simulatie

Er zijn nu twee methodes besproken om het probleem aan te pakken. Maar waarom is één aanpak niet genoeg? Een voordeel van de simulatie is dat er eenvoudig een warmtebron toegevoegd kan worden. Dat kan bijvoorbeeld door één cel altijd op constante temperatuur te houden. Ook de temperaturen aan de rand hoeven niet voortdurend 0 te blijven. Dit kan iedere andere constante zijn of zelfs een variabele waarde hebben. Bovendien is de simulatie ook 3-dimensionaal uit te breiden. Bij Fourierreeksen is een warmtebron toevoegen moeilijk of ronduit onmogelijk. Bovendien is er bij Fourierreeksen eerst een transformatie nodig om aan de rand constante temperatuur 0 te krijgen. Daarna moeten dan veel integralen uitgerekend worden en is het nodig om een oneindige reeks af te kappen. Wat overblijft is dus ook maar een benadering. Toch is er een goede reden om Fourierreeksen te gebruiken. Fourierreeksen geven meer inzicht in warmtediffusie. De simulatie blijft een black box, waar wat getallen in worden gestopt en even later grafiekjes uitkomen. De gebruiker moet zelf nadenken of de simulatie wel in de buurt van de werkelijkheid komt. Een goed voorbeeld hoe 1t 1 het mis kan gaan, is te zien als niet wordt voldaan aan de stabiliteitsconditie k (1x) 2 < 2 . In figuur 25 staat mogelijke uitvoer. Daarom zijn Fourierreeksen ook belangrijk om de simulatie te controleren. v 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Figuur 25: Resultaat van simulatie die niet aan de stabiliteitsconditie voldoet

13

Resultaten

In dit hoofdstuk zal bestudeerd worden hoe Fourierreeksen het begrip voor het probleem kunnen vergroten. De simulatie zal handig blijken om lastigere situaties te bekijken.



13.1

Insteltijd

Bekijk nog eens de standaard gedaante van de oplossingen met Fourierreeksen. v(x, t) =

∞ X

Cn e

−n

2π2 kt L2

sin

nπ x L

n=0

Voor t → ∞ gaat de hele uitdrukking naar 0, de stationaire toestand is de nulfunctie. Als er getransformeerd was met v(x, t) = u(x, t) − u s (x), blijkt dit te corresponderen met een lineair verloop tussen de twee randpunten. Hoe lang duurt het voordat dit lineaire verloop zich heeft ingesteld? −n

2π2

k

De sinussen worden snel gedempt met ’snelheid’ e L 2 . Hoe groter n, hoe sneller de term naar 0 convergeert. We zagen al eerder dat scherpe pieken veel sneller uitvlakken dan brede pieken. De dominante term is dus de term voor n = 1, alle andere termen gaan veel sneller 2

− kπ t

naar 0. Aan e L 2 is te zien hoe snel het systeem naar de stabiele toestand convergeert. Dikke muren (grote L) met veel isolatie (kleine k) doen er veel langer over om in stabiele toestand te raken. Het evenwicht is ongeveer ingesteld als er nog maar 5% van de oorspronkelijke pieken L2 over is. Dit correspondeert met een factor e−3 ≈ 0.0499 ofwel t = kπ 2 . Deze tijd totdat het evenwicht zich ongeveer heeft ingesteld noemen we de insteltijd. De insteltijd geeft aan of warmteopslag in muren van belang is. Als de muren bijvoorbeeld een insteltijd van 10 seconden hebben, terwijl de temperatuur buiten er uren over doet om te veranderen, kan het temperatuurverloop in de muren gerust verwaarloosd worden. In een bunker of kasteel met metersdikke muren kan de insteltijd in de muren veel langer zijn en dan moet het warmteverloop in de muren wel gemodelleerd worden. Het meenemen van het effect van de muren heeft een demping van temperatuurveranderingen tot gevolg. De kamer opwarmen gaat langzamer, want de muren zijn nog kouder. Plaatselijk wordt de helling van de temperatuurfunctie aan de binnenkant van de muur steiler, dus is er meer warmteflux. Omgekeerd gaat afkoelen door een tochtvlaag ook minder snel, nu omdat de helling juist minder steil wordt en er dus minder warmteflux is. Als de verwarming langere tijd aan is of er is langere tijd tocht, verandert de temperatuur in de kamer wel terwijl het evenwicht in de muur zich instelt.

13.2

Plaatsing verwarming

Waar in huis kan de verwarming het beste staan? Veel huizen hebben een verwarming bij het raam. De warmte vliegt zo naar buiten. Is het niet beter om de verwarming ergens anders te zetten? Dit is een typisch probleem dat te lastig is om met Fourierreeksen te doen. Het is wel mogelijk om verschillende isolatiewaarden van materialen en een warmtebron te simuleren. Aan de overgangen tussen verschillende materialen moet een extra voorwaarde opgelegd worden: u i − u i−1 u i+1 − u i k0 = k1 1x 1x 37 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


De warmteflux links en rechts van de overgang moet immers gelijk zijn. De verschillende k-waardes geven een ’knik’ in de temperatuurfunctie. Het verloop is steiler in het materiaal met de laagste k-waarde om dezelfde flux te houden.

Figuur 26: Doorsnede van een huis, links een muur, rechts een raam. De gele stip stelt een kachel voor. In figuur 26 is de temperatuurfunctie in de doorsnede van een huis getekend. Afgebeeld is de stabiele toestand waarbij een straalkachel in het midden staat, links een muur en rechts een raam. Het huis heeft wat overdreven eigenschappen in dit voorbeeld om de effecten goed in beeld te brengen. Muur en raam zijn extra dik gekozen en de k-waardes zijn 0.0005 voor de muur, 0.01 voor de kamer en 0.005 voor het raam. In de stabiele toestand voegt de kachel warmte toe en stroomt er net zo veel warmte weer weg door de muur en het raam. Omdat het raam slechter geïsoleerd is, gaat daar meer warmte verloren. In de kamer loopt de lijn tot het raam dus steiler dan naar de muur.

Figuur 27: Kachel op twee verschillende plekken geplaatst. Steile lijnen met hoge k-waardes geven meer warmteverlies aan. In de geïsoleerde muur moet het temperatuurverloop een sterkere helling hebben om dezelfde warmteflux te hou38 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


den. Dankzij de steile helling in de muur is het verloop in de kamer veel gelijkmatiger. Aan de kant van het raam zitten grote temperatuurverschillen, iets wat je niet wilt in je huis. Door de verwarming bij het raam te zetten is de temperatuurverdeling veel gelijkmatiger. Uit het oogpunt van energiebesparing moet de verwarming juist ver van het raam staan. Als de kachel even hard werkt, blijkt de gemiddelde kamertemperatuur te stijgen als de kachel naar de muur geschoven wordt. Het blijft dan koud bij het raam. In de meeste huizen wordt gekozen voor een gelijkmatig verdeelde temperatuur met een kachel die wat meer energie kost. Bovendien is het ook niet praktisch om een verwarming midden in je leefruimte te plaatsen. Vergelijk in figuur 26 en 27 de verschillende opties.

14

Wet van Fourier dimensieloos

We kunnen de wet van Fourier als volgt noteren: ∂ ∂2 u(x, t) = k 2 u(x, t). ∂t ∂x We voeren de typische tijd t˜ in. Voor zekere α ∈ R geldt dan: t = α t˜. We vinden dan 1 ∂ ∂ ∂ = , = ∂t α ∂ t˜ ∂α t˜ invullen in de wet van Fourier geeft dan ∂2 1 ∂ u x, t˜ = k 2 u x, t˜ . α ∂ t˜ ∂x Hieruit volgt dan dat α =

1 k

(dus t˜ = kt) zodat geldt: ∂u ∂ 2u = 2. ∂x ∂ t˜

15

(27)

Conclusie

Met het uiteindelijke model is te bepalen welke factoren invloed hebben op de warmtehuishouding in een woonhuis. Elk hebben ze een eigen typische tijd of insteltijd. Effecten (bijvoorbeeld minieme tocht) met een lange typische tijd van weken kunnen verwaarloosd worden ten opzichte van effecten met een typische tijd van uren. Als de typische tijden van dezelfde ordegrootte zijn is dat een nader onderzoek waard. Te zien is dat tocht alleen een rol speelt als γ niet veel groter is dan k. Aan die twee constanten is te zien waar het beste iets aan gedaan kan worden: tocht of isolatie van de muren. Het model op basis van de wet van Newton kon ook als volgt opgeschreven worden: Q dT = − (k + γ ) T − Tomg + dt k+γ 39 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


factor temperatuurverschil tussen ruimtes tocht dag-nacht temperatuurcyclus warmteverloop muren

typische tijd 1/k 1/γ enkele uren L2 kπ 2

Figuur 28: typische tijd voor verschillende factoren

Hieruit blijkt dat het verkleinen van k of γ hetzelfde effect heeft. Dat verkleinen zou kunnen door tochtgaten dicht te stoppen (γ ) of beter isolerend materiaal te gebruiken (k). Ook is de relatie te zien tussen de warmtebron en de buitentemperatuur. Hoe beter de kamer geïsoleerd is, hoe lager k + γ , hoe minder energie de verwarming hoeft toe te voegen om de kamer warm te houden. Voor Q = (k + γ )(T − Tomg ) blijft de kamertemperatuur constant. Een verfijnder model op basis van de wet van Fourier neemt ook warmteverloop in de muren mee. Merk op dat een grote typische tijd voor het warmteverloop wijst op langzame convergentie in de muur. Dan betekent een grote typische tijd juist dat deze factor wel nader bekeken moet worden. Het warmteverloop in muren speelt een belangrijkere rol voor dikkere muren (grote L). Wie in een kasteel of bunker woont, moet daar rekening mee houden. Dikke muren dempen veranderingen, dus opwarmen of afkoelen van de kamer gaat minder snel. Met beide modellen is inzicht verkregen in de warmtehuishouding van een woonhuis. Het samenspel tussen de verschillende factoren is duidelijker geworden en er is te bepalen welke effecten nu echt bepalen hoe warm het in huis is. In het bijzonder is ingegaan op het warmteverloop in de muren met behulp van Fourierreeksen en simulaties. Met het model zijn problemen als de plaatsing van de verwarming of de instelling ’s nachts op te lossen.



16

Bijlage 1: Energiebalans

De warmtewet van Newton kan als volgt geschreven worden: q = −h A(T (t) − Tomg ) + 8

(28)

waarin q = de warmteoverdracht (in W ) T = de temperatuur (in K ) t = de tijd (in s) h = de warmteoverdrachtscoëfficient (in mW2 K ) A = het hitteoverdrachtsoppervlak (in m 2 ) Tomg= de omgevingstemperatuur (in K ) 8 = een warmtebron (in W ). De totale energie in het system E wordt gegeven door: (29)

E =m·e waarin E m e

= de totale energie van het system (in J ) = de massa van het object (in kg) = de energie per eenheid massa (in kgJ ).

De energie per eenheid massa wordt gegeven door: (30)

e = cp · T waarin c p = de soortelijke warmte van het materiaal (in T = de temperatuur van het object (in K ).

J ) kg·K

Voor een constante massa en constante soortelijke warmte kunnen (29) en (30) gecombineerd worden tot: d d d d (me) = m e = m (c p T ) = mc p T (31) dt dt dt dt (28) en (31) gelijkstellen levert de energiebalans: d T = −h A(T (t) − Tomg ) + 8. dt

(32)

dT hA 8 =− (T (t) − Tomg ) + . dt mc p mc p

(33)

mc p Delen door mc p levert dan

Met k =

hA 8 en Q = geeft het dan mc p mc p dT = −k(T (t) − Tomg ) + Q. dt

Merk op dat [k] = s −1 en [Q] = K · s −1 . 41 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B

(34)


17

Bijlage 2: Laplace transformatie

Definitie: De Laplace-getransformeerde van een functie f is de functie L f , voor voldoende grote s gedefinieerd door: Z ∞

(L f )(s) =

f (t)e−st dt.

(35)

0

Met partiële integratie is dan na te gaan dat voor een voldoende vaak differentieerbare functie f geldt: (L f (n) )(s) = s n (L f )(s) − s n−1 f (0) − s n−2 f 0 (0) − ... − f (n−1) (0).

18

(36)

Bijlage 3: Warmtestroom

Met wet van Newton anders opgeschreven kan de warmtestroom naar buiten bepaald worden: λA q= (T (t) − Tomg ) (37) d waarin q = de warmtestroom (in W ) T = de temperatuur (in K ) t = de tijd (in s) λ = de warmteoverdrachtscoëfficient (in mWK ) A = het hitteoverdrachtsoppervlak (in m 2 ) d = de dikte van het oppervlak (muur/raam) (in m) Tomg= de omgevingstemperatuur (in K ).

De warmtestroom kan ook in de gebruikelijke R waarde uitgedrukt worden: q= hierin is R de warmteweerstand (in

19

K ). W

1 (T (t) − Tomg ) R

(38)

R wordt gegeven door R =

d . Aλ

Bijlage 4: Dimensieloos maken

De warmtewet van Newton is: mc p waarin m cp T

dT = −h A(T (t) − Tomg ) dt

= de massa van het object (in kg) = de soortelijke warmte van het materiaal (in = de temperatuur (in K )


J ) kg·K

(39)


t = de tijd (in s) h = de warmteoverdrachtscoëfficient (in mW2 K ) A = het hitteoverdrachtsoppervlak (in m 2 ) Tomg= de omgevingstemperatuur (in K ). Dit kan herschreven worden tot: hA hA dT + T (t) = Tomg . dt mc p mc p Met τ =

mc p hA

levert het:

Met 4T = T (t) − Tomg levert het:

dT 1 1 + T (t) = Tomg . dt τ τ

dT 1 = − 4T. dt τ We maken nu dimensieloos door te stellen: dT = −4T, d t˜ voor zekere t˜ = t · α. Zodat we vinden dT dT dT 1 1 = = = − 4T = −4T, dtα dt α τα d t˜ ⇒α=

20

1 τ

(40)

ofwel t˜ = t · τ1 .

Bijlage 5: Verwarming ’s nachts

Een vraag die in mensen opkomt als je vertelt dat je de warmtehuishouding in een woonhuis bestudeert, is de afstelling van hun eigen verwarming ’s nachts. Is het goed om de verwarming ’s nachts laag te zetten of kost het dan meer energie om het huis weer op te warmen? Ook op verschillende internetfora vragen mensen zich dit af. "Een collega vertelde me dat je ’s nachts beter niet je verwarming uit kan zetten omdat je huis volledig opwarmen meer energie kost dan je huis warm houden." Met de wet van Newton wordt het antwoord duidelijk. Hoe groter het temperatuurverschil met buiten, hoe meer warmteverlies. De verwarming ’s nachts laag zetten verkleint het temperatuurverschil en dus gaat er gedurende de nacht minder energie verloren. Een valkuil kan zijn hoe die energie wordt opgewekt. Als de ketel een heel slecht rendement heeft als hij in korte tijd ’s ochtends het huis op moet warmen, kan dat meer energie kosten dan de winst die het laag zetten opleverde. In de praktijk wisselt het rendement van ketels niet zo sterk, dus speelt dit geen belangrijke rol. In de nacht is het uit het oogpunt van energiebesparing dus het beste de verwarming laag te zetten. Overigens hoeft dat geen 0 graden te zijn, gedurende de nacht heeft het huis niet genoeg tijd om zo af te koelen. 43 Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B


Bibliografie

[1] University Physics, Young and Freedman, San Francisco USA, Pearson, 2008 [2] R-value (insulation), auteur onbekend, http://en.wikipedia.org/wiki/R-value_(insulation), oktober 2011 [3] Newton’s Law of Cooling, Dr. J. R. White, http://gershwin.ens.fr/vdaniel/Doc-Locale/Cours-Mirrored/MethodesMaths/white/math/a1/nwtcool/nwtcool.html, datum onbekend [4] Partial Differential Equations R.M.M. Mattheij, S.W. Rienstra, J.H.M ten Thije Boonkkamp Eindhoven, SIAM, 2005 [5] Partial Differential Equations, an introduction Walter A. Strauss, John Wiley & Sons, Inc., 1992 [6] Welke temperatuur ’s nachts is goed voor energie besparing?, http://www.goeievraag.nl/vraag/temperatuur-nachts-energie-besparing.30032, vember 2009

derko, no-

[7] A Friendly Introduction to ANALYSIS, Kosmala, Witold A.J., New Jersey USA, Pearson, 2004 [8] Syllabus Lineaire Algebra A en B, Sterk, H., Eindhoven, Nederland, TU/e, 2010


Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B

Recommend Documents