HÕMÉRSÉKLETELOSZLÁS HOMOGÉN KÖZEGBEN MOZGÓ HŐFORRÁS ESETÉN V. MOSZKALEC - N. RUDAKOV - SZABÓ J. Kézirat beérkezett: 1974. augusztus 2-án. I.
A hővezetés differenciálegyenletének általános és különböző speciális esetekre vo.nııluızó megoldásai jól ismertek. A szokásos tárgyalásban azonban csaknem mindig felmz-lwıyıık. hogy a hőforrás teljesítménysűrűsége csak a helykoordinátáktól függ. Az ıımlılıı ıtlőhen az érdeklődés előterébe kerültek az olyan hővezetési jelenségek, amelyekhm zı Iıölorrás mozog a közeghez képest, vagyis amikor a hőforrás teljesítmény sűrűsége A lıı-lvkomdinátákon kívül az időnek is függvénye. A problémának két elvi-gyakorlati alkalmazását említjük meg. Az egyik alkalmazás jıhız ııızııeclınológiaiz a vágásra, hegesztésre használt plazmaivet hőtani szempontból mozp_-- lımııı rıisnak tekinthetjük [l]. A másik alkalmazás lézertechnikai vonatkozású: a köz.-glzı-ıı lyukat vágó lézersugár olyan mozgó hőforrással modellezhető, amely a közeg szub lı„ı.ı|m|:'isi sebességével halad előre a közegben [2]. Il.
I-igy szerűség kedvéért az olyan egydimenziós hővezetési probléma megoldásával ızzglzılkıızuıık, amikor a hőforrás teljesítménysűrűsége a t időn kívül csak az x koordinátnlrıl Iúgg:
w = w(x, t)
(1)
A wl x. t) függvényt az általános megoldás után konkrét esetekre specializáljuk. I-ellélelezzük továbbá, hogy a közeg tömegsűrűsége (p), hővezetési tényezője (X) eu laıjlıőjc (C) állandó.
.wı-: ımzız-„z.f„_v„ı, ıv. .s`0f„zzzz, Tz„„eszz::„z1„z„a„_ı»„ı<, 22(ıo7õ)_ 81--88
RI
E feltételek mellett a hővezetés differenciálegyenlete:
„p
ÖT
, gi” -zs
õ2T
, af§')+w(x,z)
(2)
A kezdeti és peremfeltételek a következők: T(x t) lt 0= T(x, 0)
(3) T(x, t) |
x-Pico
---+ 0
Alkalmazzuk a (2) egyenletre a t változóban Laplace-transzformációt:
F(p,x) = íz-Pf T(z, z-) az,
(4)
akkor a (3) kezdeti feltétel figyelembevételével az F( p, x) Laplace-transzformáltra a kö vetkező egyenletet kapjuk:
ZF (ãıx)
, Ö
ôx
x) = __ EB. T(x,
A
---
A
mi
'CJ "1- w(x, I) dt
>'.-A O*-„8
(5)
A peremfeltétel pedig:
F(P, X) l
x-+100
-* 0
(6)
Rövidség kedvéért vezessük be a következő jelölést:
A
_ e(p,×>=- ff T(x,0)- 31 Á°° zl” w(z,f>dz
(7)
Az (5) egyenlet általános megoldása: ı
-ˇ'
F(P,x)= EEK- 2” l A0(P,x)@`““dx- 31; @"“l võ(p,x)e'°°d×+ ahOl
K =
+Ae'“ + Be`“x, cpp A
A határfeltételek figyelembevételével (8) így alakul: 82
(8)
1«`(p.x)=~§-\/ššlf e'““"*)-(É- ãl- T(E,0)+ + -`/-Iz; e`“(x`Üócl°e""-Š?w(§,r)dzJd§+
'l'
e
2-<'-„3
K(×-E)
1
ci T (E: 0) _|_ Ă
`/5
§...
3
(9)
„(x-E) öl-3 °° -pr
-71-C w(E, t)dtl dč} Az iııverz-~Laplace~transzformációt alkalmazva és a Borel-tételt [3] figyelembe véve ıı lıfııııeısékleteloszlásra a következő kifejezést kapjuk:
ftzsftzselelzíszpl, 4, la zl ,
1
A
°°
1
09 (x-8)”
2.
z 1 “ azA (x--z>2],ı_ 1 j +g-É-zxpl 40 Ă w(s,z~ _ õwõdz
(10)
Az. eddigiekben a w(x, t) teljesítménysűrííség tetszőleges függvénye volt a változókıızık A w(x, t) függvény konkretizálásával megvizsgálunk most néhány speciális esetet. zı) Mozogjon a hőforrás periodikusan az x-tengely mentén, pontosabban: a w(x, I) ız-||«-ml ıııéııysűrűséget írja le a következő függvény: w(x,t)=q06(x-xo sinwt).
(ll)
A kt-Aleti feltételt most - egyszerűség kedvéért - a következőképpen adjuk meg: T(x, 0) = 0.
(12)
z\ ( IU) lıőmérsékleteloszlásra ebben az esetben a következő kifejezést kapjuk: T (x, t) -
qo
"""ı
f
ã--
2\/Cp7\ 0
exp
Í
cp
[x-xo sinw(t-6)]2
Ă
46
(13)
A lormulák egyszerűsítése végett célszerű bevezetni a következő dimenziótlan paızıııııtlcrcket:
ll
T
~
T qo/\/cpiw
;
x Ü =“`_'__ ; X \/X7cpw
H3
llxo-"=x0l\/lllcpw;
[l,=wt;
ll6=w0.
(14)
A (dimenziótlan) hőmérséklet eloszlására ezekben a változókban a (13) formˇula így alakul
___1 “f n,~(n„,n,)-.25
expl
frlëf Hxe mi-Hill]
4n `/TWe _
p dn„.
(ıs)
b) Mozoon most a pontszerű hõforrás egyenletesen az x-tengely mentén, vagyis a teljesítménysűrűségét a következő függvény írja le: w(x, t) =q0õ(x--vt).
(16)
A kezdeti feltétel legyen most is: T(x, 0) = 0.
(17)
Ebben az esetben a hőmérsékleteloszlást leíró (10) kifejezés a következő alakot ölti:
40 Jf `/E 1_ expl foĂ [X-VU-0)l°] T(x„f) _ 2`/cp_Ă 46 de
(18)
Célszerűnek látszik most is dimenziótlan változókat bevezetni a következő definíciókkal: HT' T qûlcpv'
_ H'
z
ll- x' x Mcpv ,
_
H _
6
6
Ălcpvf
Mcpvz'
(19)
A dimenziótlan mennyiségekkel kifejezve a hőmérsékleteloszlás (18) formulája így alakul:
1”
1
*[n-(-n)]2
“T=`z',{tT/Tru-;°*Pl
'“ Š, 9 l““õ“
0*”
A (20) formula a következőképpen alakítható át: 1 _ _ ll Il;-=-l-|l-e (H1 “*)|+
,(--5--)+ 2 211
,,<„,,„,,. ,zjëäzãíla H I
84
~/-,
(zl)
..ı„„ı
I ( Í 1
Nx ` "t`.:::`*
' \/ııı,
(I),
)
2
ııxı íj
2-`-` “““+.::""
" 211,- ııx `/-2” Í
\/zz
Á 2
2
Zznd e
Z_
mz- “zh/211: _,z,,
.f
„
e
dz.
A mozgó hőforrás okozta hőmérséklet-eloszlás konkrét eseteinek numerikus vizsgitlııtaivzıl egy későbbi dolgozatban foglalkozunk. III.
A ıııozgó hőforrás által létrehozott hőmérséklet-eloszlás vizsgálatának másik, gyaltzıı lzııi vonatkozású alkalmazása a lézertechnika területére esik. A nagy teljesítményű lézersugár és az anyag kölcsönhatását leggyakrabban a folyaıııııı hıııı alkalmazott sugárzás teljesítménysűrűsége alapján szokták osztályozni [4]. A keıvskcdclıııi forgalomban levő rubinlézerek felületi energiasűrűsége 10°-10° wattslcma; vlılıeıı ıı tartományban a termikus effektusok - vagyis a hevités, olvadás, szublimáció -|z\ıssı.ák a döntő szerepet. Ebben a fejezetben a lézersugár létrehozta elgőzőlgési felület vloıclıaladásának vizsgálatával foglalkozunk. A felület mozgása úgy fogható fel, mintha a leıersııgár hordozta hőforrás haladna előre a közegben. A lézer sugárzási energiáját részben a kristályrács, részben a vezetési elektronok ve.-ulk al. Minthogy az ionhőmérséklet és az elektronhőmérséklet kiegyenlítődésének relııxfıciós ideje igen kicsi (l0ˇ" sec), a sugárzás elnyelődését, átalakulását hővé, pillanatnyi lolyıııııatnak tekinthetjük. Az abszorpció 10*-l0ˇ5 cm vastagságú rétegben történik |'i |. Minthogy a lézersugár maximális intenzitású részében az elnyelődés néhány mikron vııslagszigú rétegre esik, az abszorpciós réteget jó közelítésselhőforrást hordozó mozgó lvlıilettel modellezhetjük. A szublimációs felület felett elhelyezkedő folyadékréteg jeleıılé té től vizsgálatunkban eltekintünk. Nem könnyű megbecsülni azoknak az. effektusoknak a szerepét, amelyek a lézersugár elnyelődésére, az energiaátalakulásra befolyással vannak. A lézersugár intenzitásának egy része a fémfelületről re ektálódik. A mérési eredıııéııyek azonban azt mutatják, hogy a re ektált sugárzás döntő mértékben a környező, még nem olvadt fémfelületről származik [6], a reflexió szerepe tehát a lézernyaláb centrrllıs részében elhanyagolható. A fe mfelületről elpárolgó ionizált gáz a sugárzás egy részét elnyeli, az elválasztó lııılzirfelületeken többszörös reflexió következik be, a lézersugár vágta lyukba az intenzilıls H5
táseloszlás többé-kevésbé deformálódik. A kísérleti eredmények azonban arra utalnak, hogy a nagy lézerintenzitások esetén ezek az effektusok elhanyagolhatók. Tárgyalásunkban a közeg termodinamikai paramétereit konstansoknak, vagyis a hőmérséldettől is és a lézerintenzitástól is függetleneknek tekintjük. Feltételezzük továbhá, hogy a közeg T szublimációs hőmérséklete anyagi állandó. Tökéletes párolgást tételezünk fel és az anyag lökésszerű kidobását kizárjuk, ami nagyobb lézerintenzitások esetén fordul elő. A közeg párolgása közben plazmaállapotú gáz távozik a lézer vágta lyukból; a nagy intenzitású lézernyaláb a plazmában lökéshullámokat gerjeszthet. Ennek lehetőségétől tárgyalásunkban eltekintünk. Ezek után megfogalmazzuk a szublimációs felületre vonatkozó legfontosabb fizikai és matematikai feltételezéseket. Ha a lézersugárban az intenzitáseloszlás henge rszimmetrikus, akkor a párolgás a homogén, izotróp közegben jól definiált rp(r, t) felületen következik be é,s ez a felület a lézersugár tengelye mentén halad előre a közegben. A q:(r, t) függvény meghatározása nehezen kezelhető, bonyolult integro-differenciálegyenletre vezet, ezért egyszerűsítés végett a szublimációs felület centruma mozgásának a meghatározására korlátozódunk. Ez a ga(0, t) = zp(t) függvény meghatározását jelenti. Modellünkben feltételezzük, hogy a hőfelvétel teljes egészében a zp(t) síkon történik (1. ábra). A numerikus becslés azt mutatja, hogy a párolgási felület centrumában a hőmérséklet nem változik lényegesen az intenzitáseloszlás alakjának a változásakor. Vizsgálatunkban az intenzitáseloszlást Gauss-típusúnak választottuk. A hengerszimmetrikus lézernyaláb intezitását a következő alakban vesszük fel:
' , lézersugár
a konstans intenzitás görbéje
i I
z = 20 fókuszsík
«p(r. I) “““““ ' “ ~
““
_ s,a( t ) L közeg
Iz 1. ábra. 86
intenzitáseloszlás
!(r`, z', t`, )= !0f1(t')f§(r',z'),
(22)
alıol r`. z' a hengerkoordinátákat, t' pedig az idõt jelöli. Az f1(t') és az jã (r', z') függvéııvvkcl ıı következőképpen normáljuk: fr
J f, (z')af= 1
(23)
X
dl f, (r”, 2*) 2rrr'dr' = 1
(24)
„ılu ıl r, egy lézerimpulzus időtartama. (IO tehát egy lézerimpulzus teljes energiáját jelenti). A ı lııleuzitás-eloszlást - mint említettük - a koordinátákban Gauss-típusúnak választjuk vagyis
-2
fz(r,v Z),=_1__ m,(z,) <-mpl __:_ w,(z,)] ,
(25)
ahol oı(z') a Gauss-görbe félszélességét jelenti. A (25) Gauss-eloszláshoz tartozó hővezeıõıı (ireen-függvény a következő [2]: G
r (razı
+ex l P
:s 2
,f
9 zs
)_
pc s/27.
(2 L_Z,_Z)2 T2
M8
l
n=_°°IeXp
[
(2TrL+z'-z)2 '+ T2
_
____l___ expl- --ri--1 <.o2(z')+r2 w2(z')+'r2 z
(26)
ulıol T L |4D(t - t')]m és D = Alcp a termikus diffuzivitás. A (26) Green-függvény arról ml száıııot, hogyan változik a hőmérséklet hővezetés következtében az (r, z) pontban r ızıllıuuu baıı, ha a 2' helyen t' pillanatban egységnyi felületű, radiális Gauss-eloszlású felülvıl lıöforrás helyezkedik el. A párolgási felület mozgását szábalyozza az a feltétel, hogy 71. hőmérséklete a mozgns kozben nem változik. Ha.C-lel jelöljük a fém szublimációs hőjét, akkor a szublimációs lvlıılct ıııozgására a következő eg/enlet írható fel:
H1,(f'.s0'(f).f”)=[HoJ'ı(1")"-C085(f) fzûzä ıp(t,)) Jfz(f'„v>(fˇ)) (27) Iflıhcıı a felírásban azt a közelítést alkalmaztuk, hogy a ı,b(t) szublimációs sebesség radiáIıs fıˇlggése és így a latens hő is arányos a lézer-intenzitás radiális eloszlásával. A (27) z-gyeıılctben az f, (r', zp(t”) együtthatója a felületi hőforrás teljesítménysűrűsége:
87
Q (W) o = Hsfnf) - Lpv>(r'> M,=(', M)
(28)
A rp(t) függvényre vonatkozó integrálegyenlet tehát:
7} =f Q(v>(f'). f) G(f = 0. W). I. v>(f”), f) dt' 0
(29)
v>(f=0);
«E=(f= 0)=0
A (29) integrálegyenlet numerikusan pl. iterációs módszerrel oldható meg. (Erre egy későbbi dolgozatban visszatérünk). Amegoldási módszert illetően a következő meegyzés látszik célszerűnek: Amig 3 fém hőmérséklete nem éri el a Í; SZUIJIÍIIIEÍCÍÓS hőmérsékletet, 3 (29) jObb-
oldalából go(t) = 0 feltétellel kapjuk a hőmérsékletemelkedést; a T; érték elérése után (29) jobboldala megadja a zp(t) szublimációs felület mozgását. Ha a ip(t) függvényt (29)ből meghatároztuk, az izotermikus felületeket is meghatározhatjuk a következő integrálegyenletből: T(r, z, t) =f Q(4o (t'), t') G(r, z, t) dt”
(30)
0
IRODALOM
[1]
V. A. BAZAKUCA et al.: Nekotorie rezultati iszszledovanija plazmotrona, prednaznacsennogo dlja plazmohimicseszkih reakcii. Szbornik: Voproszü fizikí nizkotemperaturnogo plazmi. Izd. ,,Nauka i Tehnika”, Minszk, 1970.
[2]
C. BAR - ISAAC, U. KORNIJ. Appl. Phys. , 3, 45(l974)
[3]
A. V. LIKOV: Teorija teploprovodnoszti, Gosztehizdat, Moszkva, 1952.
[4]
C. DeMICHELIS:IEEE`J. Quant. Elec. OE-6, 630(1970)
[5]
SZ. I. ANISZIMOV et a1.:ZS. Teh. FÍZ. 11. 945(1967)
[6] J. F. REaDYzJ. Appı. Phys. 36, 462(1 965)
A szerzők címe: DR. SZABÓ JÁNOS tanszékvezető egyetemi tanár
-
V. MOSZKALEC egyetemi docens
N. RUDAKOV . egyetemı adjunktus
a tˇızikai tudományok kandidátusa NME Fizikai Tanszék 3515. Miskolc-Egyetemváros
88
I-Iarkovi Műszaki Egyetem Általános és Kísérleti Fizikai Tanszék, Harkov (Szovjetunió)
A NEHEZıPARı MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI
IV. sorozat
TERMESZETTUDOMÁNYOK 22. KÖTET - 1 - 3. FÜZET
MISKOLC 1976
SZERKESZTÖ BIZOTTSÁG: VINCZE ENDRE felelős szerkesztő BERECZ ENDRE, SZABÓ JÁNOS
A kiadásért felelős: Dr. Tajnafőí József rektorhelyettes Sajtó alá rendezte: Dr. Vincze Endre egyetemi tanár Technikai szerkesztő: Németh Zoltánné Megjelent az NME Közleményei Szerkesztőségének gondozásában Kézirat szedése: 1.976. június 25 - 1976. november 16., nyomása: 1977. január 5 - 1977. február 15 Példányszám: 450 Készült: IBM-72 composer szedéssel, rotaprint lemezről az MSZ 5601-59 és MSZ S602-55 szabványok szerint, 15 BI5 ív terjedelemben Engedély száma: MTTH-III-3183I1976. A sokszorosításért felelős: Tóth Ottó mb. üzemvezető Nyomdaszám: KSZ 77-1-NME
TARTALOMJEGYZÉK
Medvec Andrej ~ Szentirmai Zsolt: Anyagi pont kísérő trléderlıez vlıznnyltntt mozgása z z .ez z :~ z~ 2 ~Obádovics J. Gyula: Differenciálegyenlewendszerrel kapcsolatos Cauchy-féle prıılı léma Lp[a, b]>beli együttható fiiggvényekkel - - - -Vincze Endre: Valós kétkomponensű gyűrűk és testek előállítása függvéııyuıyııı letek segítségével ~ ~ ~ f ~ - - -V. Moszkalec - N. Rudakov - Szabó J.: Hőmérsékleteloszlás homogén ktlzellıeıı mozgó hőforrás esetén
1
1
~
- - - -
--
-
~
A
A
-~ ~
-
-
Vincze Endre: Kiegészítések az additív típusú függvényegyenletek elméletéhez, l. DO:-mány Mihály: Néhány megjegyzés a kétállapotú rendszerek mintavételes vízs-
gáızıáıõı ~
z~ z
A
ll W ltl
Mohamed Maher Ali Mohamed El-Naggar: Lineáris másodfajú operátoregyenletek numerikus megoldása javított iterációval, I. - - - - Mohamed Maker Ali Mohamed El-Naggar: Lineáris másodfajú operá toregyenletek megoldása javított iterációval, II.
I
e z - --
H9 ll3
l43
ı49
Dormány Mihály: Egy dichotom döntési probléma megoldása szekvenciális minta-
võıeıezésizijázzisszı
z
zz z
~ - - - - --
7- --
Hancsik Zsolt: Eljárások előírt térgörbére illeszkedő felület által burkolt forgás~ felület számítására - - - -- - --- - -- - - - - - - - --
189 l67
