Využití teorie náhodných matic

Úvod

Chaos

Approach to financial cross-correlations

Analysis of Human EEG Data

Využití teorie náhodných matic Hana Srbová ˇ Fakulta jaderná a fyzikálneˇ inženýrská, CVUT Praha

17. 4. 2012

Control of HIV infection

Úvod

Chaos



Obsah

1

Úvod

2

Chaos

3


4


5



Úvod

Chaos



Využití teorie náhodných matic

ˇ Statistika více promenných Numerická analýza Teorie grafu˚ Finanˇcní korelace pˇri dokonalé konkurenci Modelování dopravy a pohybu chodcu˚ Jaderná a kvantová fyzika Bezdrátová komunikace Šíˇrení zvuku Studium lidského EEG Studium HIV


Úvod

Chaos




CHAOS IN ONE - DIMENSIONAL INTEGRABLE QUANTUM SYSTEM Šeba P., Vašata D.. Physics Letters A, Vol. 373 (2009), pp. 826–831.

Úvod

Chaos




Model

ˇ Kvantová cˇ ástice rozmístena na kruhu s n bodovými ˇ interakcemi rozmístenými na pozicích 0 < x1 < . . . < xn < 2π Bodová interakce na poˇcátku popsána hraniˇcními podmínkami 1 f (0− ) = f (0+ ), α kde α ∈ (0, +∞) je parametr

f 0 (0− ) = f 0 (0+ ) ,

Úvod

Chaos




Model ˇ Hamiltonián systému je reprezentován jednorozmerným Laplaceovým operátorem Tα = −

d2 dx 2

a hraniˇcními podmínkami: f (2π− ) = f (0+ ) , 1 f (xk − ) = f (xk + ) , α

f 0 (2π− ) = f 0 (0+ ) , f 0 (xk − ) = f 0 (xk + ) .

Pozice bodových interakcí jsou xk = kde pk oznaˇcuje k -té prvoˇcíslo

√ 2π pk √ pn+1

(1) (2)

, k = 1, 2, . . . , n,

Úvod

Chaos




Výsledky pro pˇrípad α = 1

Místo vlastních cˇ ísel El = kl2 , které jsou dvakrát degenerované, uvažujeme hodnoty el = 2|kl | ˇ Rešení: e2l−1 = e2l = 2l, l = 1, 2, . . . Definujeme-li rozestupy sl = el+1 − el , je potom hustota ˇ pravdepodobnosti tvaru P(s) =

(δ(s) + δ(s − 2)) 2

Úvod

Chaos




Výsledky pro pˇrípad α 6= 1

Popis systému se liší pro sudá a lichá vlastní cˇ ísla Rozestupy lichých vlastních cˇ ísel podléhají Wigneroveˇ distribuci blížící se distribuci PGOE PW (s) =

π −πs2 /4 se 2

Distribuce rozestupu˚ sudých vlastních cˇ ísel se nikdy nepˇriblíží teorii náhodných matic

Úvod

Chaos




ˇ Obrázek: Srovnání hustoty pravdepodobnosti rozestupu˚ s2j−1 lichých vlastních cˇ ísel pro 47 bodových interakci, α = 1,001 a poˇcet použitých rozestupu˚ roven 1 · 105 ˇ s Wignerovou distribucí (plná cˇ ára) a pˇresným ˇrešením GOE (hvezdy).

Úvod

Chaos




ˇ Obrázek: Srovnání hustoty pravdepodobnosti rozestupu˚ sudých vlastních cˇ ísel pro 9 bodových interakci, α = 1,9 a poˇcet použitých rozestupu˚ roven 1 · 105 s Wignerovou ˇ distribucí (plná cˇ ára) a pˇresným ˇrešením GOE (hvezdy).

Úvod

Chaos




ˇ Obrázek: Srovnání hustoty pravdepodobnosti rozestupu˚ vlastních cˇ ísel pro model na pˇrímce pro 9 bodových interakci, α = 1,8 a poˇcet použitých rozestupu˚ 1 · 105 ˇ s Wignerovou distribucí (plná cˇ ára) a pˇresným ˇrešením GOE (hvezdy).

Úvod

Chaos




A RANDOM MATRIX THEORY APPROACH TO FINANCIAL CROSS - CORRELATIONS Plerou V., Gopikrishnan P., Rosenow B., Amaral L.A.N., Stanley H.E.. J. Phys. A: Statistical Mechanics and its Applications, Vol. 278 (2000), pp. 374–382.

Úvod

Chaos




Úvod do problematiky

ˇ Analyzujeme 30-minutový výnos 1 000 nejvetších US akcií v rozmezí dvou let 1994–1995 ˇ 20 z nejvetších vlastních cˇ ísel (2%) vykazují odchylky od RMT ⇒ ukazují na vlastnosti specifické pro daný systém U zbylých urˇcujeme korelaˇcní matici a testujeme rozestupy vl. cˇ ísel, abychom urˇcili, zda jsou opravdu náhodné Rozestupy získáme ze vztahu s ≡ λi+1 − λi , kde posl. λi oznaˇcuje rozbalená vlastní cˇ ísla seˇrazená podle velikosti

Úvod

Chaos




Výsledky

Pro korelaˇcní matici C vypoˇctenou ze vztahu Cij =

hGi Gj i − hGi ihGj i , σi σj

kde Gi je cˇ asový sled q cenových fluktuací pro i-tou akcii

i = 1, . . . , N a σi = hGi2 i − hGi i2 byla prokázána shoda s reálnou symetrickou náhodnou maticí (ˇci GOE maticí) ˇ Aplikace mnohem citlivejšího testu - rozptyl poˇctu vlastních cˇ ísel potvrdila shodu C s RMT

Úvod

Chaos




Problémy vyˇcíslení korelací

ˇ Chybí algoritmus pro urˇcení interakˇcní síly mezi dvema ˇ spoleˇcnostmi (pˇrestože by každá ze spoleˇcností mela interagovat pˇrímo cˇ i nepˇrímo, pˇresná povaha interakcí je neznámá) ˇ zahrnovat jen dveˇ spoleˇcnosti, ale celý Korelace by nemely shluk ˇ v cˇ ase Korelace Cij se mení Pro každou akcii máme pouze koneˇcný poˇcet interakcí Gij , ˇ ze kterých tvoˇríme prum ˚ ernou korelaci mezi firmami i a j

Úvod

Chaos




Analýza vlastních vektoru˚

Složky vlastních vektoru˚ náhodné korelaˇcní matice jsou normálneˇ rozloženy se stˇrední hodnotou rovnou 0 a rozptylem 1 ˇ vlastní cˇ íslo je silneˇ negaussovské, „má tendenci Nejvetší ˇ ˇ být z rovnomerného rozdelení“, což signalizuje, že všechny spoleˇcnosti jsou navzájem propojeny ˇ Stabilita vlastních vektoru˚ klesá smerem k hranici ˇ RMT pˇredpovedi

Úvod

Chaos



ˇ Obrázek: Rozdelení složek vlastních vektoru. ˚


Úvod

Chaos




Analýza výnosu˚ a S&P 500 indexu

P GSP500 ≡ 500 wi Gi , kde Gi jsou výnosy jednotlivých i=1 P firem, wi ≡ Si / N cuje trhové financování i-té j=1 Sj , Si oznaˇ spoleˇcnosti ˇ Oˇcekávání konvergence GSP500 ke Gaussovu rozdelení Gi i GSP500 mají stejné asymptotické chování blížící se 1 , kde 1 + α ≈ 4 k x 1+α V pˇrípadeˇ promíchání cˇ asu pro Gi (t), pozorované chování mezi výnosy S&P 500 indexu˚ již neplatí, což naznaˇcuje existenci netriviálních korelací

Úvod

Chaos




Další zajímavosti

Distribuce rustových ˚ sazeb firemních tržeb nezávisí ˇ prumyslu na odvetví ˚ ani na trhovém financování ˇ Šíˇre σ techto distribucí klesá se zvyšujícím se S, −β σ(S) ∼ S pro β ≈ 1/6 ˇ že za S byl Podobné β objeveny také napˇr. v pˇrípade, ˇ zvolen poˇcet zamestnanc u˚ Obdobné statistické vlastnosti nalezeny i pro GDP (gross domestic product) cˇ i pro financování univerzitních výzkumu˚

Úvod

Chaos




RANDOM MATRIX ANALYSIS OF HUMAN EEG DATA Šeba P.. Phys. Rev. Lett., Vol. 91 (2003), 198104.

Úvod

Chaos




Záznamy 90 lidí nejprve v klidu, poté stimulovaných ˇ rení elektrodami umístenými ˇ ˇ Meˇ na pokožku hlavy - nekteré ˇ rení pomocí 19 elektrod, nekteré ˇ meˇ pomocí 15 ⇒ sestavení korelaˇcní matice Potvrzení oˇcekávání, že spektrální analýza je závislá ˇ na jedinci, avšak nekteré rysy jsou spoleˇcné Pro malá vl. cˇ ísla závisí od jedince, pro velká pozorován algebraický chvost ⇒ zdánliveˇ individuální mozková aktivita obsahuje urˇcitou hladinu synchronizace

Úvod

Chaos




Obrázek: Hustota vlastních cˇ ísel pro data získaná od 3 osob v klidu.

Úvod

Chaos




Seˇrazení vlastních cˇ ísel ξn podle velikosti a definování rozestupu˚ sn = ξn+1 − ξn ˇ Rozdelení rozestupu˚ shodné s Wignerovou distribucí P(s) Rozptyl poˇctu Σ2 (L), kde L je poˇcet po sobeˇ jdoucích prvoˇcísel, lze pˇribližneˇ vyjádˇrit jako 2 π2 2 Σ (L) ≈ 2 log(2πL) + 1,5772 − 8 π Pˇri analýze vynechaná data s vlivy typu mrkání, pohyb jedince atd.

Úvod

Chaos




Obrázek: Hustota rozestupu˚ pro jedince v klidu (kˇrížky) a pro stimulovaní jedince (ˇctverce) srovnaná s Wignerovou formulí (plná cˇ ára).

Úvod

Chaos




Obrázek: Rozptyl poˇctu pro jedince v klidu (kˇrížky) a pro stimulované jedince (ˇctverce) srovnaný s výše uvedenou aproximací.

Úvod

Chaos




EFFECTS OF THYMIC SELECTION OF THE T- CELL REPERTOIRE ON HLA CLASS I - ASSOCIATED CONTROL OF HIV INFECTION Košmrlj A., Read E.L., Qi Y., Allen T.M., Altfeld M., Deeks S.G.,Pereyra F., Carrington M., Walker B.D., Chakraborty A.K.. Nature, Vol. 465 (2010), pp. 350–354.

Úvod

Chaos




Úvod do biologických pojmu˚

ˇ – imunitní bunka ˇ patˇrící ke skupineˇ bílých krvinek T-bunka ˇ TCR – receptor T-bunky MHC (major histocompability complex) – komplex, který ˇ ⇒ v pˇrípade, ˇ že se jedná vystavuje cˇ ásti proteinu˚ T-bunce o „cizí“ proteiny, nastává imunitní reakce HLA (human leukocyte antigen) – lidský MHC Mamu – MHC makaku˚ pMHC – peptid MHC

Úvod

Chaos



ˇ ˇ Clánek se skládá z techto 4 cˇ ástí: HLA-peptide binding predictions Thymic selection model and antigen recognition Host-pathogen interaction dynamics HLA-allele association with ability to control HIV


Úvod

Chaos




HLA-peptide binding predictions

Peptidy odvozené od lidského proteomu dávaly v podstateˇ stejné výsledky jako náhodneˇ generované peptidy Pro cca 107 jedineˇcných peptidu˚ odvozených od lidského proteomu máme tyto výsledky: 7 · 104 se naváže na HLA-B*5701 ⇒ imunitní reakce 18 · 104 se spojí s HLA-B*0701 ⇒ imunitní reakce nenastává

Využité metody: Artificial neural networks (ANN) Stabilized matrix method (SMM)

Úvod

Chaos




ˇ ˇ spojí urˇcitou interakˇcní silou Obrázek: Pravdepodobnost, s kterou se repertoár T-bunky ˇ rozpozná peptidu viru, když vazebná síla s peptidy viru. Konkrétní repertoár T-bunky pˇrekroˇcí poznávací práh (pˇrerušovaná cˇ ára).

Úvod

Chaos




Host-pathogen interaction dynamics ˇ ˇ Koeficient šíˇrení ˇretezce viru pochází z rovnomerného ˇ ˇ viru za den. rozdelení mezi 0–2 000 nových bunek ˇ Interakce volné energie mezi T-bunkou daného klonotypu a zbytkem viru na urˇceném epitopu je náhodná veliˇcina ˇ ˇ ˇ z rovnomerného rozdelení, pˇriˇcemž šíˇrka tohoto rozdelení ˇ ˇ urˇcuje, jaká je pravdepodobnost, že daná T-bunka rozpozná peptid viru. ˇ ˇ se blíží k normálnímu Rozdelení repertoáru˚ T-bunek ˇ rozdelení interagujících energií. Rozdílnosti ve vzájemném pusobení ˚ mezi antigenem a imunitním receptorem jsou kromeˇ virové šiˇritelností ˇ zachycené ve veliˇcineˇ σij , jejíž rozdelení je zobrazené viz následující obrázek.

Úvod

Chaos




ˇ Obrázek: Model generování prvku˚ σij matice popisující rozpoznání pMHC T-bunkou. ˇ ˇ Stupenˇ reaktivity v simulacích závisí na rovnomerném rozdelení, ze kterého jsou náhodneˇ vybrány interakˇcní síly mezi jednotlivými pozustatky ˚ epitopu˚ a TRC (vpravo).

Úvod

Chaos



ˇ Dekuji za pozornost.


Využití teorie náhodných matic

Recommend Documents