Pythagorova věta
Platí pro pravoúhlý trojúhelník. Znění: Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahu čtverců nad oběma odvěsnami.
c
b
a
Využití spočívá v možnosti určit velikost jedné ze stran pravoúhlého trojúhelníku ze znalosti velikosti zbývajících dvou stran.
Př.: Odvěsny pravoúhlého trojúhelníku mají velikost 4 cm a 3 cm. Určete velikost jeho přepony. a = 4 cm b = 3 cm c=?
c a 2 b2 c b
c
4cm 2 3cm 2
Přepona trojúhelníku má velikost 5 cm.
c 16cm 2 9cm 2 c 25cm 2 c 5cm
a
Př.: Odvěsna pravoúhlého trojúhelníku má velikost 6 cm a přepona 10 cm. Určete velikost druhé odvěsny. a = 6 cm c = 10 cm b=?
c
b c2 a 2 b
a
10cm 2 6cm 2
b 100cm 36cm 2
b
Odvěsna trojúhelníku má velikost 8 cm.
2
b 64cm 2 b 8cm
Př.: Šárka střílela z luku. Stála v bodě S. První šíp dopadl do bodu D1 vzdáleném 30 m od bodu S. Druhý šíp dopadl do bodu D2 vzdáleném 60 m od bodu S (viz obrázek níže). Urči vzájemnou vzdálenost obou šípů po jejich dopadu. D1
Uvědom si, co již víš o Pythagorově větě a pokus se příklad spočítat. Výsledek je přibližně 67 metrů.
x
S
D2
Goniometrické funkce Následující vzorce platí pro pravoúhlý trojúhelník. Funkce se nazývají tangens (tg), sinus (sin) a kosinus (cos) umožňují v pravoúhlém trojúhelníku vypočítat úhly, které jednotlivé strany svírají, nebo určit velikosti jednotlivých stran (je nutno znát aspoň jednu ze stran jeden z úhlů). Definice goniometrických funkcí v pravoúhlém trojúhelníku. Funkce tangens (tg)
Funkce tangens určitého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je definována jako poměr protilehlé odvěsny (odvěsna naproti daného úhlu) a přilehlé odvěsny (odvěsna přiléhající k danému úhlu).
c
b
a
tg
b a
tg
a b
tg není definováno
Funkce sinus (sin)
Funkce sinus určitého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je definována jako poměr protilehlé odvěsny (odvěsna naproti daného úhlu) a přepony.
c
b
a
sin
b c
sin
a c
sin není definováno
Funkce kosinus (cos)
Funkce sinus určitého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je definována jako poměr přilehlé odvěsny (přiléhá k danému úhlu) a přepony.
c
b
a
cos
a c
cos
b c
cos není definováno
Pro určování hodnot úhlů a také hodnot goniometrických funkcí je zapotřebí umět používat matematických tabulek, nebo raději kalkulátorů. Bude tedy nutné si zjistit, jak se na daném kalkulátoru s goniometrickými funkcemi pracuje.
Př.: Odvěsny pravoúhlého trojúhelníku mají velikost a = 4 cm a b = 3 cm. Určete velikost úhlu a . b a 3 cm tg 0,75 4 cm tg
c
b
tg 0,75 36,9
a b 4 cm tg 1,33 3 cm tg 1,33 53 tg
a
Úhel má velikost 36,9° a úhel velikost 53°.
Př.: Odvěsna pravoúhlého trojúhelníku má velikost c = 7,8 cm a b = 6 cm. Určete velikost úhlu a . b c 6 cm sin 0,77 7,8 cm sin 0,77 50,4 sin
c
b
b c 6 cm cos 0,77 7,8 cm cos 0,77 39,6 cos
a
Úhel má velikost 50,4° a úhel velikost 39,6°.
Př.: Odvěsna pravoúhlého trojúhelníku má velikost a = 7 cm a úhel = 50,4°. Určete velikost přepony c. cos
c
a 7cm 7cm cos cos 50,4 0,77 c 9,1cm c
b
a c
Přepona c má velikost 9,1 cm.
a
Př.: Odvěsna pravoúhlého trojúhelníku má velikost b = 3 cm a úhel = 53°. Určete velikost odvěsny a úhel .
Využij svých znalostí o goniometrických funkcích a předchozích řešených příkladů výše a pokus se tento příklad vypočítat. Výsledek je přibližně a = 4 cm a úhel = 36,9.
c
b
a
Úpravy fyzikálních vzorců Fyzikální vzorce jsou vlastně rovnice, a proto pro úpravy fyzikálních vzorců můžeme využít všechny znalosti, které o rovnicích známe z matematiky. Přesto uveďme určitá pravidla, která pro úpravu použijeme.
Fyzikální veličina, kterou chceme pomocí vzorce vypočítat, musí stát na levé straně rovnice. Pokud se nachází na pravé straně rovnice, můžeme vzájemně tyto strany prohodit, aniž by se platnost rovnice změnila. Fyzikální veličiny můžeme libovolně převádět z jedné strany rovnice na druhou, pokud ovšem dodržíme následující pravidla: Jestliže má fyzikální veličina na jedné straně rovnice znaménko kladné (+), pak po převodu na druhou stranu rovnice získá znaménko záporné (-), a naopak. Jestliže je fyzikální veličina na jedné straně rovnice v čitateli (takže násobí), po převodu na druhou stranu rovnice je ve jmenovateli (tedy dělí), a naopak
Př.: Z následujícího vzorce vyjádřete veličinu y. yx z z y x
Abychom mohli vyjádřit veličinu y, musí stát na levé stráně rovnice o samotě. Proto jsme převedli veličinu x na druhou stranu rovnice. Protože na levé straně rovnice veličina x násobila (byla v čitateli), pak po převodu bude dělit (bude ve jmenovateli).
Př.: Z následujícího vzorce vyjádřete veličinu x. x z y x yz
Abychom mohli vyjádřit veličinu x, musí stát na levé stráně rovnice o samotě. Proto jsme převedli veličinu y na druhou stranu rovnice. Protože na levé straně rovnice veličina y dělila (byla ve jmenovateli), pak po převodu bude násobit (bude v čitateli).
Př.: Z následujícího vzorce vyjádřete veličinu x. y xz xz y y x z
Abychom mohli vyjádřit veličinu x, musí stát na levé stráně rovnice o samotě. Proto jsme vzájemně prohodili obě strany rovnice a pak převedli veličinu z na druhou stranu rovnice. Protože na levé straně rovnice veličina z násobila, pak po převodu bude dělit.
Př.: Z následujícího vzorce vyjádřete veličinu z. y z y z x x
V tomto případě prohodíme mezi sebou veličinu x i z. Protože veličina x na levé straně rovnice násobí (je v čitateli), pak převodu na druhou stranu bude dělit (je ve jmenovateli). Protože veličina z na pravé straně rovnice dělí (je ve jmenovateli), pak pro převodu na druhou stranu rovnice bude násobit (bude v čitateli).
Př.: Z následujícího vzorce vyjádřete veličinu y. x 2y z 2y z x zx y 2
Abychom mohli vyjádřit veličinu y, musí stát na levé stráně rovnice o samotě. Proto jsme převedli veličinu x na druhou stranu, ale tím se změnilo její znaménko z kladného na záporné. Pak jsme převedli číslo 2 také na druhou stranu rovnice. Protože 2 na levé straně rovnice násobí, bude po převodu na druhou stranu dělit
Složené zlomky Jsou to zlomky složené ze dvou dílčích zlomků. Pro převod zlomku složeného na zlomek jednoduchý platí pravidlo, že v jednoduchém zlomku bude v čitateli součin vnějších členů a ve jmenovateli součin vnitřních členů. x y u v
vnější členy
x xv y u yu v
vnitřní členy
Př.: Převeďte složené zlomky na jednoduché. u bv ux y bvy x
a b ad c bc d
c d c2 x u du 2x
u u ud 1 c c c d d
Slučování fyzikálních vzorců Je běžným způsobem při výpočtech, kdy sloučením dvou nebo i více vzorců získáme jeden vzorec jediný. Počet výpočtů se zmenšuje a výpočet se zjednodušuje a zrychluje. x z uv y z y
x uv
Do prvního vzorce zleva dosadíme za veličinu x vzorec zprava.
Př.: Slučte následující vzorce. z x z y ab y
x ab
z
x y
y
u v
x uv 2
x x xv z 1 u u u v v
xu
v
a b
a2 b2
Př.: Využijte svých znalostí z úprav vzorců a vyjádřete z následujících vzorců veličinu y.
x
y z
yx z
x 3 y 2z
x
z y
y x 2z
Př.: Využijte svých znalostí z úprav vzorců a slučte následující vzorce a vyjádřete z nich veličinu z.
z
y x
x 2u
z
y x
y
u v
z yx 2
x 2a
z
x y
x
a b
y
u v
Vzájemný vztah fyzikálních veličin ve fyzikálním vzorci (čtení ve vzorci) Fyzikální veličiny, které jsou ve vzorci obsaženy, spolu vzájemně souvisí a také se mohou vzájemně ovlivňovat. Nyní se naučíme tuto vzájemnou souvislost nalézt a umět ji používat. Této činnosti se také někdy říká čtení souvislosti ve fyzikálním vzorci, zkráceně čtení ve vzorci. Abychom mohli souvislosti nalézt, musíme se nejprve naučit používat následující pravidla.
x
Vyjdeme z obecného vzorce uvedeného vlevo. To sice není fyzikální vzorec, ale pravidla v něm platí stejně, přičemž budeme uvažovat, že x, y a z jsou určité fyzikální veličiny.
y z
1. Veličina na levé straně rovnice (x) je závislá na veličinách na pravé straně rovnice (y,z). 2. Veličina na levé straně rovnice (x), je závislá na veličinách na pravé straně v čitateli (y) přímo úměrně. To znamená, že kolikrát se veličina y zvětší, tolikrát se zvětší i veličina x a naopak, kolikrát se veličiny y zmenší, tolikrát se zmenší i veličina x. 3. Veličina na levé straně rovnice (x), je závislá na veličinách na pravé straně ve jmenovateli (z) nepřímo úměrně. To znamená, že kolikrát se veličina z zvětší, tolikrát se zmenší veličina x a naopak, kolikrát se veličiny z zmenší, tolikrát se zvětší veličina x.
Př.: V následujícím vzorci nalezněte vzájemné vztahy mezi veličinami a určete, jakým způsobem se ovlivňují.
p
F S
p je tlak, který vzniká při rovnoměrném rozložení tlakové síly na určité kolmé ploše. F je tlaková síla, která působí kolmo na danou plochu, a která se na ní rovnoměrně rozkládá S je obsah plochy, na kterou se daná síla rovnoměrně rozkládá
Pokud umíme ve vzorci číst, pak můžeme jednoznačně říci, že tlak p je přímo úměrný velikosti působící tlakové síly F a nepřímo úměrný velikosti obsahu plochy S. To znamená např., že když se tlaková síla F 3 krát zvětší, tak se tlak p také 3 krát zvětší. Nebo když se tlaková síla F 5 krát zmenší, tak se tlak p rovněž 5 krát zmenší atp. Ale rovněž tak jestliže se velikost obsahu plochy S 6 krát zvětší, pak se tlak p 6 krát zmenší. Nebo když se obsah plochy S 50 krát zvětší, pak se tlak p 50 krát zmenší atp. Př.: V následujícím vzorci nalezněte vzájemné vztahy mezi veličinami a určete, jakým způsobem se ovlivňují.
mv2 Ek 2
Ek je pohybová energie pohybujícího se tělesa m je hmotnost pohybujícího se tělesa
Pokud umíme ve vzorci číst, pak můžeme jednoznačně říci, že pohybová energie tělesa Ek je přímo úměrná hmotnosti tělesa m a přímo úměrná druhé mocnině velikosti rychlosti v. To znamená např., že jestli se hmotnost tělesa m 4 krát zvětší a rychlost se nezmění, pak se pohybová energie tělesa Ek také 4 krát zvětší. Nebo pokud se hmotnost tělesa 2 krát zmenší a rychlost se nezmění, pohybová energie tělesa Ek se 2 krát zmenší atp. Podobně pokud se rychlost tělesa 5 krát zvětší a rychlost se nezmění, pak se pohybová energie tělesa Ek 25 krát zvětší, protože rychlost v se sice 5 krát zvětšila, ale ve vzorci je druhá mocnina rychlosti a tak se energie pohybová zvětší 52 krát, atp. Př.: V následujícím vzorci nalezněte vzájemné vztahy mezi veličinami a určete, jakým způsobem se ovlivňují. Využijte znalostí ze čtení ve fyzikálních vzorcích a pokuste se sami najít jak spolu veličiny v následujícím vzorci souvisí a jak se navzájem ovlivňují.
I
U R
I je elektrický proud protékající vodičem U je elektrické napětí na koncích vodiče R je elektrický odpor vodiče
Čísla v exponenciálním tvaru Čísla v exponenciálním tvaru. Používají se pro jednodušší a účelnější zápis velmi velkých nebo naopak velmi malých čísel. Zápis má svou vlastní strukturu. Skládá se z mantisy, znaménka exponentu a ze samotného exponentu.
8,59 . 10+ 6
exponent
znaménko
mantisa
Ukázka zápisu čísel v exponenciálním tvaru z číselexponentu v přirozeném tvaru: 1 000 000 000 = 1. 109
1 000 000 000 000 = 1.1012
0,000 001 = 1.10-6
0,000 000 002 = 2.10-9
3 250 000 000 = 3,25.109 0,000 025 = 2,5.10-5
Násobení čísel v exponenciálním tvaru Obecný vzorec pro tuto operaci je:
a.10x . b.10y = (a.b).10x+y 9.106 . 3.103 = 18.109
6.109 . 2.10-3 = 12.106
3.10-9 . 2.10-3 = 6.10-12
Dělení čísel v exponenciálním tvaru Obecný vzorec pro tuto operaci je:
a.10x : b.10y = (a:b).10x-y 9.109 : 3.103 = 3.106
12.109 : 3.10-3 = 4.10-12
18.10-9 : 2.10-3 = 9.10-6
Umocnění čísel v exponenciálním tvaru Obecný vzorec pro tuto operaci je:
(a.10x)y = ay.10x.y (9.109)2 = 81.1018
(3.102)3 = 27.106
Př.: Vypočtěte následující příklad
3.10 6.6.10 3 18.10 9 9.10 5 4 4 2.10 2.10 Př.: Pomocí kalkulátoru vypočtěte následující příklady:
3,5.105.6,25.106 7,2.10 5
(6.105 ) 2 4.105
Skládání vektorových veličin Vektorové fyzikální veličiny (vektory) jsou určeny:
značkou velikostí jednotkou směrem
Každou vektorovou veličinu můžeme znázornit graficky orientovanou úsečkou (úsečka se šipkou ukazující směr). Hlavní určují í prvky vektoru: vektorová přímka (nositelka vektoru) určuje polohu vektoru v rovině nebo v prostoru počáteční bod vektoru (určuje umístění vektoru na vektorové přímce) velikost vektoru je vyznačená délkou úsečky směr vektoru je vyznačený šipkou Postup grafického znázornění vektoru 1. Zvolíme vhodné měřítko 2. Nakreslíme vektorovou přímku a počáteční bod vektoru P 3. Pomocí měřítka naneseme velikost vektoru ne vektorovou přímku 4. Šipkou vyznačíme směr vektoru 5. Vektor vyznačíme dohodnutou značkou Ve fyzice se často setkáváme s fyzikálními jevy, kdy ve stejném okamžiku působí několik vektorových veličin. V takovém případě se účinky fyzikálních veličin skládají do výsledného účinku, Skládáním vektorových veličin rozumíme nalezení výsledné vektorové veličiny (výslednice), která svými účinky nahradí účinky skládaných veličin. Ukážeme se nyní způsoby, jakými se mohou vektorové veličiny skládat a způsoby určení výslednice graficky a výpočtem. 1. skládání vektorů stejného směru Vektorové veličiny leží na stejné vektorové přímce. a
b c
2. skládání vektorů opačného směru Vektorové veličiny leží na stejné vektorové přímce. Výslednice má stejný směr jako větší ze skládaných vektorů. Vždy musíme od většího vektoru odečítat vektor menší. a c
b
3. skládání vektorů různého směru Vektory doplníme na vektorový čtyřúhelník, ve kterém je výslednice větší z úhlopříček.
b
c
b
c a
a
b
V případě, že vektory svírají jiný úhel než 90° (viz obrázek vlevo), pak se skládání vektorů řeší jen grafickou metodou. Pro výpočet výslednice v takovém případě, se používají metody, které se v matematice naučíte ve vyšších ročnících.
Pokud vektory svírají úhel 90° (viz obrázek vlevo), pak pro výpočet výslednice využijeme Pythagorovu větu.
c a
Př.: Znázorněte vektor síly F = 25 N, která směřuje svisle vzhůru a F = 30 N, která svírá s vodorovným směrem úhel o velikosti 30°. Měřítko: 1cm 10N F
F 30°
Př.: Určete výslednici F sil F1 = 30 N a F2 = 20 N, jestliže jsou síly: a) stejného směru b) opačného směru c) svírají úhel 90° Úlohu řešte graficky i početně. Měřítko: 1 cm 10 N a)
F1
F2 F
Výpočet:
F F1 F2 F 30 N 20 N F 50 N
Podle měřítka 1 cm 10 N. Pro délku vektoru platí, že F 5 cm. Pro velikost výsledné síly platí F = 50 N.
b) F2
F1 F
Výpočet:
-F2
Podle měřítka 1 cm 10 N. Pro délku vektoru platí, že F 1 cm. Pro velikost výsledné síly platí F = 10 N.
F F1 F2 F 30 N 20 N F 10 N
c)
F2
Podle měřítka 1 cm 10 N. Pro délku vektoru platí, že F 3,6 cm. Pro velikost výsledné síly platí F = 36 N.
F
F1
Výpočet:
F 2 F12 F22 F F12 F22 F
30 N 2 20 N 2
F 1300N 2 F 36 N
