VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ GEODETICKÉ SÍTĚ MODUL 02 VYROVNÁNÍ GEODETICKÝCH SÍTÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ

GEODETICKÉ SÍTĚ MODUL 02 VYROVNÁNÍ GEODETICKÝCH SÍTÍ

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

©

Ladislav Bárta a František Soukup, Brno 2005 revize: únor 2006

Obsah

OBSAH 1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klíčová slova.........................................................................................6 1.5 Metodický návod pro práci s textem.....................................................6 2 Polohové a výškové geodetické sítě .............................................................7 2.1 Polohová bodová pole...........................................................................7 2.2 Výšková bodová pole............................................................................9 2.3 Shrnutí.................................................................................................11 3 Polohové geodetické sítě s úhlovými veličinami.......................................13 3.1 Síť s vnějšími osnovami směrů ...........................................................13 3.2 Síť s vnitřními osnovami směrů..........................................................16 3.3 Kombinovaná síť s vnějšími a vnitřními osnovami směrů .................19 3.4 Síť s neorientovanými osnovami směrů..............................................22 3.5 Shrnutí.................................................................................................26 4 Geodetické sítě s délkovými veličinami ....................................................37 4.1 Síť s měřenými délkovými veličinami ................................................37 4.2 Fiktivní měřené souřadnice daných bodů ...........................................40 4.3 Shrnutí.................................................................................................44 5 Společné vyrovnání délek a směrů............................................................51 5.1 Společné vyrovnání orientovaných osnov směrů a délek ...................52 5.2 Společné vyrovnání neorientovaných osnov směrů a délek ...............54 5.3 Shrnutí.................................................................................................57 6 Vyrovnání polohové složky družicových měření .....................................67 6.1 Vektorová síť ......................................................................................67 6.2 Shrnutí.................................................................................................71 7 Výškové geodetické sítě ..............................................................................75 7.1 Nivelovaná geodetická síť...................................................................75 7.2 Síť tvořená elipsoidickými převýšeními .............................................78 7.3 Shrnutí.................................................................................................79 8 Transformace ..............................................................................................83 8.1 Popis úlohy a druhy transformací .......................................................83 8.2 Shodnostní transformace (2D) ............................................................85 8.3 Podobnostní transformace (2D) ..........................................................88 8.4 Přibližné transformační vztahy (2D)...................................................94 8.5 Shodnostní transformace (3D) ............................................................98 8.6 Podobnostní transformace (3D) ........................................................101 8.7 Přibližné transformační vztahy (3D).................................................105 8.8 Shrnutí...............................................................................................110 9 Do-transformace .......................................................................................129

- 3 (140) -

Geodetické sítě . Modul 02

9.1 Jungova do-transformace.................................................................. 129 9.2 Grafická metoda do-transformace .................................................... 131 9.3 Do-transformace pomocí mřížky...................................................... 132 9.4 Shrnutí .............................................................................................. 133 10 Závěr ......................................................................................................... 139 10.1 Shrnutí .............................................................................................. 139 10.2 Studijní prameny .............................................................................. 139 10.2.1 Seznam použité literatury................................................... 139 10.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury................................. 139 10.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny ........................ 139 10.3 Klíč ................................................................................................... 140 10.4 Poznámka ......................................................................................... 140

- 4 (140) -

Úvod

1

Úvod

Úkolem této kapitoly je informovat čtenáře o předmětech, na které problematika geodetických sítí přímo navazuje. Jde tedy o stručné vymezení teoretického základu předmětu.

1.1

Cíle

Cílem předkládaného studijního materiálu je seznámení čtenáře se způsoby řešení různých geodetických sítí. Čtenář se bude teoreticky a prakticky zabývat i postupy aplikovanými při řešení sítí a různými interpretacemi výsledků výpočtu. Znalost matematického operátu používaného při řešení úloh vyrovnání totiž obecně nezaručuje nejvěrohodnější vystižení měřením zachycené skutečnosti. Náplní tohoto materiálu jsou tedy i zásady pro správné použití MNČ. Významná část textu je věnována též řešení úloh 2D a 3D transformací.

1.2

Požadované znalosti

Pro zvládnutí látky tohoto studijního materiálu jsou vyžadovány znalosti z řady odborných a teoretických předmětů.

Z oblasti matematiky je vyžadována znalost: •

lineární algebry – zejména matice a maticové operace a řešení soustav lineárních rovnic

•

diferenciálního počtu – zejména parciální derivace funkcí a rozvoje funkcí v řady

Z oblasti matematické statistiky a pravděpodobnosti nás budou zajímat odhady charakteristik polohy a proměnlivosti náhodných veličin a náhodných vektorů. Zvláštní kapitolu pak tvoří testování parametrů náhodných veličin a tvaru jejich rozdělení. Geodetické sítě jsou postaveny na předmětu teorie chyb a vyrovnávací počet. Znalosti z této oblasti jsou tedy pro úspěšné zvládnutí tohoto materiálu zcela zásadní. Tento předmět se tématicky zabývá problematikou měřických chyb, problematikou jejich šíření a druhy vyrovnání měřených veličin metodou nejmenších čtverců – MNČ. Z oblasti nižší geodézie se očekává znalost základních souřadnicových úloh pro získání počátečního řešení geodetické sítě. Jde tedy o výpočty, které obecně předchází vyrovnání sítí užitím MNČ.

1.3

Doba potřebná ke studiu

Doba potřebná k nastudování látky probírané v rámci tohoto modulu odpovídá výuce 2 hodin cvičení a 2 hodin přednášek týdně po dobu 5 týdnů. Jedná se

- 5 (140) -


tedy orientačně o 20 hodin. Je však třeba mít na paměti, že čas potřebný ke studiu je značně individuální záležitost.

1.4

Klíčová slova

Polohová a výšková geodetická síť, geodetické základy, linearizace funkčního vztahu, zprostředkující vyrovnání užitím MNČ, charakteristiky polohy a proměnlivosti, statistický test, intervaly spolehlivosti, transformace a dotransformace souřadnic.

1.5

Metodický návod pro práci s textem

Zde uvedené informace jsou základním materiálem pro pochopení problematiky. V rámci studia a zájmu o danou problematiku je vhodné si doplnit znalosti pročtením další literatury. Příklady pro procvičení jsou v podstatě jednoduché z pohledu použitého matematického a fyzikálního operátu. Některé jsou ovšem řešitelné pouze pokud je student ochoten se zamyslet a chvíli logicky uvažovat. Při problémech s nalezením postupu řešení autoři doporučují konzultace (a to jak osobní, tak formou vhodných informačních technologií).

- 6 (140) -

Polohové a výškové geodetické sítě

2


Při budování polohových, případně výškových bodových polí na našem území vycházíme ze závazných geodetických základů a bodových polí, které tyto základy dále zahušťují.

Tato kapitola přináší základní informace o rozdělení bodových polí a o údajích, které o jednotlivých bodech můžeme získat.

2.1

Polohová bodová pole

Polohová bodová pole se budují v souřadnicovém systému S-JTSK. Jmenovaný systém je definovaný Křovákovým konformním obecným kuželovým zobrazením realizujícím převod bodů umístěných na Besselově elipsoidu do roviny kartografického zobrazení tj. systému S-JTSK. Základní polohová bodová pole můžeme rozdělit na: • body nultého řádu, • body České státní trigonometrické sítě, • body Astronomicko geodetické sítě, • body Geodynamických sítí.

Podrobná polohová bodová pole můžeme rozdělit na: • zhušťovací body, • ostatní body podrobných polohových bodových polí.

Obr. 2-1

Přehled základního bodového pole – triangulační list 34-25 - 7 (140) -


Body základního bodového pole – trigonometrické body a body podrobného bodového pole – zhušťovací body jsou vedeny databázově a jsou bezplatně přístupné na internetu. Evidenční jednotkou zůstává jeden triangulační list. Ostatní body podrobného bodového pole jsou k dispozici na odpovídajících katastrálních úřadech. Základní výstupy o bodech polohových bodových polí jsou: • seznamy souřadnic bodů, • přehledné zákresy bodů bodových polí ve vhodných mapových podkladech, • geodetické údaje o bodech.

Obr. 2-2

Geodetické údaje o bodech základního bodového pole

Informace o základních bodových polích můžete získat na WWW stránkách http://dataz.cuzk.cz/. Uvedená adresa je přístupovou branou do databáze trigonometrických a zhušťovacích bodů.

- 8 (140) -


2.2

Výšková bodová pole

Body výškových bodových polí jsou vyjádřeny ve výškovém systému Baltském po vyrovnání – BPV . Na našem území jsou nivelovaná převýšení převáděna do systému Normálních Moloděnského výšek.

Základní výšková bodová pole rozdělujeme na: • základní nivelační body, • body České státní jednotné nivelační sítě I. řádu, • body České státní jednotné nivelační sítě II. řádu, • body České státní jednotné nivelační sítě III. řádu.

Podrobná výšková bodová pole rozdělujeme na: • body České státní jednotné nivelační sítě IV. řádu, • body plošných nivelačních sítí, • stabilizované body technických nivelací.

Obr. 2-3

Přehled základního bodového pole

Body České státní jednotné nivelační sítě I. až IV. řádu jsou vedeny databázově a jsou bezplatně přístupné na internetu. Nivelační body jsou číslovány v rámci nivelačních pořadů označením rozlišených podle jednotlivých řádů. Podrobná výšková bodová pole jsou k dispozici na odpovídajících katastrálních úřadech.

- 9 (140) -


Základní výstupy o bodech výškových bodových polí jsou: • seznamy výšek bodů, • přehledné zákresy bodů bodových polí ve vhodných mapových podkladech, • geodetické údaje o bodech.

Obr. 2-4

Geodetické údaje o bodech základního bodového pole

Informace o základních výškových bodových polích můžeme získat na WWW stránkách http://nivelace.cuzk.cz/Nivelace/. Uvedená adresa je přístupovou branou do databáze nivelačních bodů I. až IV. řádu.

- 10 (140) -


2.3

Shrnutí

Tato podkapitola je návodem pro doplnění a zopakování vědomostí týkajících se bodových polí budovaných státními organizacemi.

Kontrolní otázky Jaké je rozdělení základního polohového bodového pole ? V rámci jakých evidenčních jednotek jsou body základního bodového pole evidovány ? Jak jsou body základního bodového pole číslovány a stabilizovány ?

Jaké je rozdělení podrobného polohového bodového pole ? V rámci jakých evidenčních jednotek jsou body podrobného polohového bodového pole evidovány ? Jak jsou tyto body číslovány a stabilizovány ? Zamyslete se nad přesnostmi bodů polohových bodových polí. Jakými metodami jsou body polohových bodových polí budovány ? Jaké je rozdělení základního výškového bodového pole ? V rámci jakých evidenčních jednotek jsou body základního bodového pole evidovány ? Jak jsou body základního bodového pole číslovány a stabilizovány ? Jaké je rozdělení podrobného výškového bodového pole ? V rámci jakých evidenčních jednotek jsou body podrobného výškového bodového pole evidovány ? Jak jsou tyto body číslovány a stabilizovány ? Zamyslete se nad přesnostmi bodů výškových bodových polí. Jakými metodami jsou body výškových bodových polí budovány ? Řešení Odpovědi na kontrolní otázky jsou obsaženy v souvisejících studijních materiálech. Informace Následující kapitoly jsou věnovány vyrovnání polohových geodetických sítí.

- 11 (140) -


- 12 (140) -

Polohové geodetické sítě s úhlovými veličinami

3


V této kapitole je prezentován základní model vyrovnání 2D sítí tvořených orientovanými případně neorientovanými osnovami směrů. Základní informace o přípravě dat pro vyrovnání byly poskytnuty v modulu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání.

3.1

Síť s vnějšími osnovami směrů

Měřené osnovy směrů na známých bodech převádíme na vhodnou výpočetní plochu. Následnými orientacemi těchto osnov získáme tzv. osnovy směrů předběžně orientované. Předběžně orientovaný směr ve své podstatě představuje fiktivně měřený směrník. Za výpočetní plochu zvolíme rovinu Křovákova kartografického zobrazení tj. systém S-JTSK. σ i,mer j

(3.1)

mσ i , j

(3.2)

Přesnost orientovaných směrů můžeme odvodit: • z údajů od výrobců přístrojů • z odhadů přesnosti vyrovnaných osnov směrů • z odhadů přesnosti vypočtených při orientacích osnov směrů

Výše uvedená problematika je podrobně probrána ve studijním materiálu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání. Základní rovnice Observační rovnice pro sestavení úlohy vyrovnání bude mít tvar daný vztahem 3.3. σ i , j = fσ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) = arctg

Y j − Yi

(3.3)

X j − Xi

Symboly Y j , Yi , X j a X i představují souřadnice koncových bodů záměry. Vztah 3.3 je nejobecnější podobou observačních rovnic pro předběžně orientované směry tj. rovnice, kdy oba body záměry považujeme za neznámé parametry pro vyrovnání. Tato rovnice může být použita např. při přímé metodě měření směrníků resp. azimutu převedeného na směrník. Vztah 3.4 udává bod rozvoje pro linearizaci observační rovnice 3.3. H 0 = (Y0,i , X 0,i , Y0, j , X 0, j )

(3.4)

T

Výsledná podoba rovnice 3.3 je dána vztahem 3.6. f 0,σ ,i , j = fσ ,i , j (Y0,i , X 0,i ,Y0, j , X 0, j )

(3.5)

- 13 (140) -


σ i , j = σ imer , j + vσ i , j = f 0 ,σ ,i , j + ∂fσ ,i , j ∂Yi ∂fσ ,i , j ∂X i ∂f σ ,i , j ∂Y j ∂fσ ,i , j ∂X j

=−

=+

=+

=−

∂fσ ,i , j ∂Yi

dYi +

∂f σ ,i , j ∂X i

dX i +

∂fσ ,i , j ∂Y j

dY j +

∂f σ ,i , j ∂X j

cos σ isour ,j

dX j

(3.6) (3.7)

sisour ,j sin σ isour ,j

(3.8)

sisour ,j cos σ isour ,j

(3.9)


(3.10)

sisour ,j

Modelová úloha V dalším textu se pokusíme sestavit úlohu vyrovnání 2D sítě tvořené vnějšími orientovanými směry. Pro zjednodušení úlohy vyjdeme z konkrétní sítě dané obrázkem 3-1. Úlohu budeme řešit užitím MNČ a vyjdeme z observační rovnice 3.3. Body A, B, C, D a E budou konstantami pro vyrovnání. Body 1 a 2 budou body o neznámých souřadnicích.

Obr. 3-1

2D síť s vnějšími orientovanými směry

Uvažovaná úloha vyrovnání je tvořena čtyřmi neznámými parametry – souřadnice Y1 , X 1 , Y2 a X 2 a deseti observačními rovnicemi – σ A, E , σ A,1 , σ A, B ,

σ B, A , σ B ,1 , σ B , 2 , σ B ,C , σ C , B , σ C , 2 a σ C , D . Varianty observačních rovnic Budeme-li řešit konkrétní 2D síť, získáme observační rovnice podle známých a neznámých souřadnic koncových bodů měřené záměry v několika variantách.

- 14 (140) -


Varianta A – příklad orientovaného směru ze známého na neznámý bod σ A,1 = σ Amer ,1 + vσ A,1 = f σ , A,1 (Y1 , X 1 ) = arctg

Y1 − YA X1 − X A

(3.11)

Varianta B – příklad orientovaného směru ze známého na známý bod σ A, B = σ Amer , B + vσ A, B = fσ , A, B ( ) = arctg

YB − YA XB − XA

(3.12)

Obecná rovnice 3.13 pro sestavení geodetické sítě není ve svých parametrech lineární. O řešení úlohy užitím MNČ prohlásíme, že bude konvergovat k výsledku v jednom iteračním kroku pouze v případě velmi kvalitního počátečního řešení úlohy H 0 . σ i , j = σ imer , j + vσ i , j = fσ , i , j (Y1 , X 1 , Y2 , X 2 ) = arctg

Y j − Yi X j − Xi

mσ = konst

(3.13)

∑ pσ vσ vσ = min

(3.14)

U uvažované úlohy zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 3.15. H 0 = (Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 )

(3.15)

T

Vektor výsledného řešení pak udává rovnice 3.16. (3.16)

H = H0 + dH

Sestavení úlohy

Úlohu vyrovnání sestavíme jen pro dvě observační rovnice. Rovnice 3.11 a 3.12 linearizujeme rozvojem v řadu podle počátečního řešení 3.15. Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 3.18. f 0,σ ,i , j = fσ ,i , j (Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 )

σ Amer ,1 + vσ A,1 = f 0 ,σ , A,1 + σ Amer , B + vσ A, B = f 0 ,σ , A, B

(3.17)

cos σ Asour sin σ Asour ,1 ,1 dY1 − dX 1 sour s A,1 s Asour ,1

(3.18)

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 3.19 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy dvou lineárních rovnic o čtyřech neznámých parametrech.  cos σ Asour ,1  vσ A,1  + v = s Asour ,1  σ A, B   0 

−

sin σ Asour ,1 s Asour ,1 0

 dY1    sour mer 0 0  dX 1  σ A,1 − σ A,1  +  sour    dY  σ − σ Amer ,B  0 0  2   A, B dX 2 

(3.19)

Zvolíme-li mσ = m0.apri pak matice vah P bude jednotková – rovnice 3.20. diag (P ) = (1 1)

(3.20)

- 15 (140) -


Sestavený systém rovnic rozšíříme podle obrázku 3-1 o zbývající veličiny a řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání. Výsledkem výpočtu bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. vyrovnané souřadnice neznámých bodů a jim odpovídající kovarianční matice cov(H ) . Vektor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. vyrovnané konečně orientované směry, které budou opět doplněny odpovídající kovarianční maticí cov(L ) . Shrnutí Observační rovnice pro veličiny měřené mezi známými body nebudou mít žádný vliv na vyrovnané souřadnice určovaných bodů. Tyto zprostředkující rovnice tedy můžeme ze systému rovnic vyloučit.

Následující podkapitola bude věnována vyrovnání sítí s vnitřními orientovanými osnovami směrů.

3.2

Síť s vnitřními osnovami směrů

Měřené osnovy směrů na neznámých bodech opět převedeme na vhodnou výpočetní plochu. Následnými orientacemi těchto osnov směrů získáme tzv. osnovy směrů přibližně orientované. Přibližně orientovanou osnovu budeme muset mírně pootočit i při vlastním vyrovnání geodetické sítě. Za výpočetní plochu zvolíme rovinu Křovákova kartografického zobrazení tj. systém S-JTSK. ψ i,mer j

(3.21)

mψ i , j

(3.22)

Odhad přesnosti přibližně orientovaných osnov směrů můžeme odvodit: • z údajů od výrobců přístrojů • z odhadů přesností vyrovnaných osnov směrů Výše uvedená problematika je podrobně probrána ve studijním materiálu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání. Základní rovnice Základní observační rovnice pro sestavení úlohy vyrovnání bude mít tvar rovnice 3.23. ψ i , j = fψ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j , Oi ) = arctg


− Oi

(3.23)

Symboly Y j , Yi , X j a X i představují souřadnice koncových bodů záměry. Poslední parametr Oi představuje tzv. orientační posun osnovy přibližně orientované na bodě i. Vztah 3.24 udává bod rozvoje pro linearizaci observační rovnice 3.23. H 0 = (Y0,i , X 0,i , Y0, j , X 0, j , O0,i )

(3.24)

T

- 16 (140) -


Výsledná podoba rovnice 3.23 je dána vztahem 3.26. f 0,ψ ,i , j = fψ ,i , j (Y0,i , X 0,i , Y0, j , X 0, j , O0,i )

ψ i , j = ψ imer , j + vψ i , j = f 0 ,ψ ,i , j + ∂fψ ,i , j ∂Yi ∂fψ ,i , j ∂X i ∂fψ ,i , j ∂Y j

∂fψ ,i , j ∂X j ∂fψ ,i , j ∂Oi

=−

=+

=+

=−

∂fψ ,i , j ∂Yi

dYi +

(3.25) ∂fψ ,i , j ∂X i

dX i +

∂fψ ,i , j ∂Y j

dY j +

∂fψ ,i , j ∂X j

cos σ isour ,j

dX j +

∂fψ ,i , j ∂Oi

dOi

(3.26) (3.27)


(3.28)


(3.29)

sisour ,j

sin σ isour ,j

(3.30)

sisour ,j

(3.31)

= −1

Modelová úloha V dalším textu se pokusíme sestavit úlohu vyrovnání 2D sítě tvořené vnitřními orientovanými směry. Pro zjednodušení úlohy vyjdeme z konkrétní sítě dané obrázkem 3-2. Úlohu budeme řešit užitím MNČ a vyjdeme z observační rovnice 3.23. Body A, B, C, D a E budou konstantami pro vyrovnání a body 1 a 2 budou body o neznámých souřadnicích. V úloze přibudou dva další neznámé parametry v podobě orientačních posunů pro měřené osnovy na bodech 1 a 2.

Obr. 3-2

2D síť s vnitřními orientovanými směry

Uvažovaná úloha vyrovnání je tvořena šesti neznámými parametry – souřadnice Y1 , X 1 , Y2 a X 2 a orientační posuny O1 a O2 a osmi observačními rovnicemi – ψ 1, A , ψ 1, E , ψ 1, 2 , ψ 1, B , ψ 2,1 , ψ 2, D , ψ 2,C a ψ 2, B .

- 17 (140) -


Varianty observačních rovnic Budeme-li řešit konkrétní 2D síť, získáme observační rovnice podle známých a neznámých souřadnic koncových bodů měřené záměry v několika variantách.

Varianta A – příklad měřeného směru z neznámého na neznámý bod ψ 1, 2 = ψ 1mer , 2 + vψ 1, 2 = fψ ,1, 2 (Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , O1 ) = arctg

Y2 − Y1 − O1 X 2 − X1

(3.32)

Varianta B – příklad měřeného směru z neznámého na známý bod ψ 1, A = ψ 1mer , A + vψ 1, A = fψ ,1, A (Y1 , X 1 , O1 ) = arctg

YA − Y1 − O1 X A − X1

(3.33)

Obecná rovnice 3.34 pro sestavení geodetické sítě není v některých parametrech lineární. O řešení úlohy užitím MNČ prohlásíme, že bude konvergovat k výsledku v jednom iteračním kroku pouze v případě velmi kvalitního počátečního řešení úlohy H 0 . ψ i , j = ψ imer , j + vψ i , j = fψ ,i , j (Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , O1 , O2 ) = arctg


− Oi

mψ = konst

(3.34)

∑ pψ vψ vψ = min

(3.35)

U uvažované úlohy zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 3.36. H 0 = (Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 ,0,0 )

(3.36)

T


H = H0 + dH

Sestavení úlohy Úlohu vyrovnání sestavíme jen pro dvě observační rovnice. Rovnice 3.32 a 3.33 linearizujeme rozvojem v řadu podle počátečního řešení 3.36. Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 3.39. f 0,ψ ,i , j = fψ ,i , j (Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 ,0,0 )

ψ 1mer , 2 + vψ 1, 2 = f 0 ,ψ ,1, 2 − ψ 1mer , A + vψ 1, A = f 0 ,ψ ,1, A −

cos σ 1sour ,2 s1sour ,2 cos σ 1sour ,A s1sour ,A

dY1 + dY1 +

(3.38) sin σ 1sour ,2 s1sour ,2 sin σ 1sour ,A s1sour ,A

dX 1 +

cos σ 1sour ,2 s1sour ,2

dY2 −

sin σ 1sour ,2 s1sour ,2

dX 2 − 1dO1

(3.39)

dX 1 − 1dO1

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 3.40 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy dvou lineárních rovnic o šesti neznámých parametrech.

- 18 (140) -


 cos σ 1sour ,2 −  vψ 1, 2   s1sour ,2 v  =  sour  ψ 1, A  − cos σ 1, A s1sour ,A 

+ +

sin σ 1sour ,2 s1sour ,2 sin σ 1sour ,A

+


−

sin σ 1sour ,2

0

s1sour ,A

s1sour ,2 0

 dY1    dX 1   − 1 0  sour mer   dY2  + σ 1, 2 − ψ 1, 2      sour  dX − ψ 1mer σ ,A  − 1 0  2   1, A     dO1   dO2 

(3.40)

Zvolíme-li mψ = m0.apri pak matice vah P bude jednotková – rovnice 3.41. diag (P ) = (1 1)

(3.41)

Sestavený systém rovnic rozšíříme podle obrázku 3-2 o zbývající veličiny a řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání. Výsledkem výpočtu bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. vyrovnané souřadnice neznámých bodů a vyrovnané hodnoty orientačních posunů a jim odpovídající kovarianční matice cov(H ) . Vektor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. vyrovnané konečně orientované směry, které budou opět doplněny odpovídající kovarianční maticí cov(L ) . Shrnutí Následující podkapitola bude věnována vyrovnání sítí kombinovaných tj. sítí s vnitřními i vnějšími osnovami směrů.

3.3

Kombinovaná síť s vnějšími a vnitřními osnovami směrů

Geodetická síť tvořená kombinací orientovaných osnov směrů měřených na známých a neznámých bodech se nazývá sítí kombinovanou. σ i,merj , ψ i,mer j

(3.42)

mσ i , j , mψ i, j

(3.43)

Vztah 3.42 představuje označení jednotlivých typů veličin, ze kterých bude geodetická síť vytvořena. Vztahy pro odhady přesností přibližně a předběžně orientovaných osnov směrů jsou podrobně diskutovány ve studijním materiálu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání. Základní rovnice Do vyrovnání vstupují dva druhy veličin:

• předběžně orientovaný směr σ i , j = fσ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) = arctg

Y j − Yi

(3.44)

X j − Xi

• přibližně orientovaný směr ψ i , j = fψ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j , Oi ) = arctg


(3.45)

− Oi

- 19 (140) -


Observační rovnice jsou totožné s rovnicemi uvedenými v předchozích podkapitolách a nebudou tedy dále rozepisovány. Modelová úloha V dalším textu se pokusíme sestavit úlohu vyrovnání 2D sítě tvořené vnitřními a vnějšími orientovanými směry. Pro zjednodušení úlohy vyjdeme z konkrétní sítě dané obrázkem 3-3. Úlohu budeme řešit užitím MNČ a vyjdeme z observačních rovnic 3.44 a 3.45. Body A, B, C, D a E budou konstantami pro vyrovnání a body 1 a 2 budou body o neznámých souřadnicích. U osnov směrů měřených na určovaných bodech tj. bodech 1 a 2 budeme určovat orientační posuny.

Obr. 3-3

2D síť s vnitřními a vnějšími orientovanými směry

Uvažovaná úloha vyrovnání je tedy tvořena šesti neznámými parametry – souřadnice Y1 , X 1 , Y2 a X 2 a orientační posuny O1 a O2 , sedmi observačními rovnicemi pro vnější osnovy směrů – σ A, E , σ A,1 , σ A, B , σ B, A , σ B ,1 , σ B , 2 a

σ B,C a osmi observačními rovnicemi pro vnitřní osnovy směrů – ψ 1, A , ψ 1, E , ψ 1, 2 , ψ 1, B , ψ 2,1 , ψ 2, D , ψ 2,C a ψ 2, B . Varianty observačních rovnic Budeme-li řešit konkrétní 2D síť, získáme observační rovnice podle známých a neznámých souřadnic koncových bodů měřené záměry v několika variantách.

Varianta A – příklad měřeného směru ze známého na neznámý bod σ A,1 = σ Amer ,1 + vσ A,1 = f σ , A,1 (Y1 , X 1 ) = arctg

Y1 − YA X1 − X A

(3.46)

Varianta B – příklad měřeného směru ze známého bodu na bod známý σ A,B = σ Amer , B + vσ A, B = f σ , A, B ( ) = arctg

YB − YA XB − XA

- 20 (140) -

(3.47)


Varianta C – příklad měřeného směru z neznámého na neznámý bod ψ 1, 2 = ψ 1mer , 2 + vψ 1, 2 = fψ ,1, 2 (Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , O1 ) = arctg

Y2 − Y1 − O1 X 2 − X1

(3.48)

Varianta D – příklad měřeného směru z neznámého bodu na bod známý ψ 1, A = ψ 1mer , A + vψ 1, A = fψ ,1, A (Y1 , X 1 , O1 ) = arctg

YA − Y1 − O1 X A − X1

(3.49)

Obecné rovnice 3.50 a 3.51 pro sestavení geodetické sítě nejsou v některých parametrech lineární. O řešení úlohy užitím MNČ prohlásíme, že bude konvergovat k výsledku v jednom iteračním kroku pouze v případě velmi kvalitního počátečního řešení úlohy H 0 . σ i , j = σ imer , j + vσ i , j = f σ ,i , j (Y1 , X 1 , Y2 , X 2 ) = arctg


(3.50)

mσ = konst

ψ i , j = ψ imer , j + vψ i , j = fψ ,i , j (Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , O1 , O2 ) = arctg


− Oi

mψ = konst

(3.51)

∑ pψ vψ vψ + ∑ pσ vσ vσ = min

(3.52)

U uvažované úlohy zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 3.53. H 0 = (Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 ,0,0 )

(3.53)

T


H = H0 + dH

Sestavení úlohy

Úlohu vyrovnání sestavíme jen pro čtyři observační rovnice. Rovnice 3.46 až 3.49 linearizujeme rozvojem v řadu podle počátečního řešení 3.53. Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 3.56. f 0,σ ,i , j = fσ ,i , j (Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 )

(3.55)

f 0,ψ ,i , j = fψ ,i , j (Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 ,0,0 ) σ Amer ,1 + vσ A,1 = f 0 ,σ , A,1 + σ Amer , B + vσ A, B = f 0 ,σ , A, B ψ 1mer , 2 + vψ 1, 2 = f 0 ,ψ ,1, 2 − ψ 1mer , A + vψ 1, A = f 0 ,ψ ,1, A −

cos σ Asour ,1 s

sour A,1

cos σ 1sour ,2 s1sour ,2 cos σ 1sour ,A s1sour ,A

dY1 −

dY1 + dY1 +

sin σ Asour ,1 s Asour ,1 sin σ 1sour ,2 s1sour ,2 sin σ 1sour ,A s1sour ,A

dX 1

dX 1 +


dY2 −


(3.56) dX 2 − 1dO1

dX 1 − 1dO1

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 3.57 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy čtyř lineárních rovnic o šesti neznámých parametrech.

- 21 (140) -


 cos σ Asour ,1 + sour s A,1  vσ A,1   0   v  σ A, B  =  cos σ 1sour ,2  vψ 1, 2   − sour s 1, 2   v  ψ 1, A   cos σ 1sour ,A − s1sour  ,A

−

+ +

sin σ Asour ,1 s Asour ,1 0 sin σ 1sour ,2 s1sour ,2 sin σ 1sour ,A s1sour ,A

+

0

0

0 cos σ 1sour ,2

0 sin σ 1sour ,2

s1sour ,2 0

−

s1sour ,2 0

 0  dY1    dX 1  σ Asour   ,1 0 0  sour   dY2  + σ A, B − 1 0 dX  σ sour 1, 2   2   sour   dO1  σ 1, A − 1 0  dO    2  0

 − σ Amer ,1 mer  − σ A, B   − ψ 1mer ,2  − ψ 1mer  ,A 

(3.57)

Pro vnější orientované směry zvolíme přesnost mσ = konst a pro vnitřní orientované směry mψ = konst . Matice vah P bude za tohoto předpokladu diagonální – rovnice 3.58.  m02.apri diag (P ) =  2  m  σ

m02.apri 2

mσ

m02.apri 2

mψ

m02.apri   mψ2 

(3.58)

Sestavený systém rovnic rozšíříme podle obrázku 3-3 o zbývající veličiny a řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání. Výsledkem výpočtu bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. vyrovnané souřadnice neznámých bodů a hodnoty orientačních posunů a jim odpovídající kovarianční matice cov(H ) . Vektor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. vyrovnané konečně orientované směry, které budou opět doplněny odpovídající kovarianční maticí cov(L ) . Shrnutí Řešení geodetických sítí s orientovanými osnovami směrů má několik předností:

• při orientacích osnov směru před vyrovnáním jsme schopni na základě konfrontace měření s bodovým polem odhalit hrubé chyby a následně je vyloučit ze souboru měření • u předběžně orientované osnovy směru již nemusíme určovat orientační posun při vyrovnání sítě • předběžně orientovaný směr mezi danými body představuje observační rovnici, která nemá vliv na výsledek vyrovnání sítě a můžeme jej tedy z výpočtu vyloučit Následující podkapitola je věnována vyrovnání sítě s neorientovanými osnovami směrů.

3.4

Síť s neorientovanými osnovami směrů

Tato podkapitola se bude zabývat sestavením geodetické sítě z neorientovaných osnov směrů. V praktickém řešení úlohy to znamená, že osnovy orientujeme až při vlastním vyrovnání geodetické sítě. U každé osnovy směrů tedy při vyrovnání určíme hodnotu orientačního posunu. ϕi,mer j

(3.59)

mϕ i , j

(3.60)

- 22 (140) -


Přesnost neorientovaných osnov směrů můžeme odvodit: • z údajů od výrobců přístrojů • z odhadu přesnosti vyrovnaných osnov směrů Výše uvedená problematika je podrobně probrána ve studijním materiálu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání. Základní rovnice Základní observační rovnice pro sestavení úlohy vyrovnání bude mít tvar rovnice 3.61. ϕ i , j = fϕ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j , Oi ) = arctg


(3.61)

− Oi

Symboly Yi , X i , Y j a X j představují souřadnice koncových bodů záměry. Parametr Oi představuje tzv. orientační posun neorientované osnovy na bodě i. Vztah 3.62 udává bod rozvoje pro linearizaci observační rovnice 3.61. H 0 = (Y0,i , X 0,i , Y0, j , X 0, j , O0,i )

(3.62)

T

Výsledná podoba rovnice 3.61 je dána vztahem 3.64. f 0,ϕ ,i , j = fϕ ,i , j (Y0,i , X 0,i , Y0, j , X 0, j , O0,i )

ϕ i , j = ϕ imer , j + vϕ i , j = f 0 ,ϕ ,i , j + ∂fϕ ,i , j ∂Yi ∂fϕ ,i , j ∂X i ∂f ϕ ,i , j ∂Y j

∂fϕ ,i , j ∂X j ∂f ϕ ,i , j ∂Oi

=−

=+

=+

=−

∂f ϕ ,i , j ∂Yi

dYi +

(3.63) ∂fϕ ,i , j ∂X i

dX i +

∂f ϕ ,i , j ∂Y j

dY j +

∂f ϕ ,i , j

cos σ isour ,j

∂X j

dX j +

∂f ϕ ,i , j ∂Oi

dOi

(3.64) (3.65)


(3.66)


(3.67)

sisour ,j

sin σ isour ,j

(3.68)

sisour ,j

(3.69)

= −1

Modelová úloha V dalším textu se pokusíme sestavit úlohu vyrovnání 2D sítě tvořené neorientovanými osnovami směrů. Pro zjednodušení úlohy vyjdeme z konkrétní sítě dané obrázkem 3-4.

Úlohu budeme řešit užitím MNČ a vyjdeme z observační rovnice 3.61. Body A, B, C, D a E budou konstantami pro vyrovnání. Body 1 a 2 budou body o neznámých souřadnicích. V úloze se objeví čtyři další neznámé parametry v podobě orientačních posunů pro měřené osnovy na bodech A, B, 1 a 2.

- 23 (140) -


Obr. 3-4

2D síť s neorientovanými osnovami směrů

Uvažovaná úloha vyrovnání je tvořena osmi neznámými parametry – souřadnice Y1 , X 1 , Y2 a X 2 a orientační posuny OA , OB , O1 a O2 a patnácti observačními rovnicemi – ϕ A, E , ϕ A,1 , ϕ A, B , ϕ B , A , ϕ B ,1 , ϕ B , 2 , ϕ B ,C , ϕ 1, A , ϕ 1, E , ϕ 1, 2 ,

ϕ 1, B , ϕ 2,1 , ϕ 2, D , ϕ 2,C a ϕ 2, B . Varianty observačních rovnic Budeme-li řešit konkrétní 2D síť získáme observační rovnice podle známých a neznámých souřadnic koncových bodů měřené záměry v několika variantách. Varianta A – příklad měřeného směru z neznámého bodu na bod neznámý ϕ 1, 2 = ϕ1mer , 2 + vϕ 1, 2 = f ϕ ,1, 2 (Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , O1 ) = arctg

Y2 − Y1 − O1 X 2 − X1

(3.70)

Varianta B – příklad měřeného směru z neznámého bodu na známý ϕ 1, A = ϕ1mer , A + vϕ 1, A = f ϕ ,1, 2 (Y1 , X 1 , O1 ) = arctg

YA − Y1 − O1 X A − X1

(3.71)

Varianta C – příklad měřeného směru ze známého na neznámý bod ϕ A,1 = ϕ Amer ,1 + vϕ A,1 = f ϕ , A,1 (Y1 , X 1 , O A ) = arctg

Y1 − YA − OA X1 − X A

(3.72)

Varianta D – příklad měřeného směru ze známého na známý bod ϕ A, B = ϕ Amer , B + vϕ A, B = f ϕ , A, B (O A ) = arctg

YB − YA − OA XB − XA

(3.73)

Obecná rovnice 3.74 pro sestavení geodetické sítě není v některých parametrech lineární. O řešení úlohy užitím MNČ prohlásíme, že bude konvergovat k výsledku v jednom iteračním kroku pouze v případě velmi kvalitního počátečního řešení úlohy H 0 .

- 24 (140) -


ϕ i , j = ϕ imer , j + vϕ i , j = f ϕ ,i , j (Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , O1 , O2 , O A , OB ) = arctg


− Oi

mϕ = konst

(3.74)

∑ pϕ vϕ vϕ = min

(3.75)

U uvažované úlohy zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 3.76. H 0 = (Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 ,0,0,0,0 )

(3.76)

T


H = H0 + dH

Sestavení úlohy

Úlohu vyrovnání sestavíme jen pro čtyři observační rovnice. Rovnice 3.70 až 3.73 linearizujeme rozvojem v řadu podle počátečního řešení 3.76. Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 3.79. f 0,ϕ ,i , j = f ϕ ,i , j (Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 ,0,0,0,0) ϕ 1, 2 = ϕ1mer , 2 + vϕ 1, 2 = f 0 ,ϕ ,1, 2 −

cos σ 1sour ,2

ϕ 1, A = ϕ1mer , A + vϕ 1, A = f 0 ,ϕ ,1, A − ϕ A,1 = ϕ Amer ,1 + vϕ A,1 = f 0 ,ϕ , A ,1 +

s1sour ,2 cos σ 1sour ,A s1sour ,A cos σ Asour ,1 s Asour ,1

dY1 +

(3.78) sin σ 1sour ,2

dY1 + dY1 −

s1sour ,2 sin σ 1sour ,A s1sour ,A sin σ Asour ,1 s Asour ,1

dX 1 +


dY2 −


dX 2 − 1dO1

dX 1 − 1dO1

(3.79)

dX 1 − 1dO A

ϕ A, B = ϕ Amer , B + vϕ A, B = f 0 ,ϕ , A , B − 1dO A

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 3.80 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy čtyř lineárních rovnic o osmi neznámých parametrech.  cos σ 1sour ,2 − sour s 1 , 2  vϕ 1, 2    v   cos σ 1sour ,A  ϕ 1, A  = − sour s 1, A  vϕ A,1     cos σ Asour  ,1 v  ϕ A, B  + s Asour  ,1  0

Zvolíme-li

+ + −

sin σ 1sour ,2 s1sour ,2 sin σ 1sour ,A s1sour ,A sin σ Asour ,1 s Asour ,1 0

mϕ = m0.apri

+


−


−1 0

0

0

−1 0

0

0

0

0

0

0

0

0

 dY1    0 0  dX 1  mer   dY2  σ 1sour  , 2 − ϕ1, 2    mer mer  dX σ ϕ − 0 0  2   1, A 1, A    dO  + σ sour − ϕ mer  1 A,1 A,1    sour mer  − 1 0  dO2  σ A, B − ϕ A, B   dO  − 1 0  A  dOB 

(3.80)

pak matice vah P bude jednotková – rovnice 3.81.

diag (P ) = (1 1 1 1)

(3.81)

Sestavený systém rovnic rozšíříme podle obrázku 3-4 o zbývající veličiny a řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání. Výsledkem výpočtu bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. vyrovnané souřadnice neznámých bodů a hodnoty orientačních posunů a jim odpovídající kovarianční matice cov(H ) . Vektor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. vyrovnané konečně

- 25 (140) -


orientované směry, které budou opět doplněny odpovídající kovarianční maticí cov(L ) . Souhrn Látka probraná v předchozích podkapitolách je věnována vyrovnání geodetických sítí tvořenými měřenými osnovami směrů. Principiálně je nutno rozlišit orientované a neorientované osnovy směrů.

Při řešení geodetické sítě s orientovanými směry pracujeme s osnovami přibližně a předběžně orientovanými. Vyrovnáním sítě získáme osnovy směrů konečně orientované. V případě předběžné orientace osnovy směrů přechází měřené směry na fiktivně měřené směrníky tj. provádíme eliminaci orientačního posunu. Orientacemi osnov směrů v procesu přípravy dat pro vyrovnání provádíme kontrolu výskytu hrubých a odlehlých měření. O výše uvedené kontroly přicházíme při vyrovnání sítě s neorientovanými osnovami směrů.

3.5

Shrnutí

V této podkapitole procvičíme probranou látku. Příklad 3-1

Proveďte vyrovnání sítě s vnějšími orientovanými směry. 2110 [Y = 593987.890m, X = 1142743.110m] 2040 [Y = 593427.420m, X = 1142807.460m]

4002 [Y0 = 593596.130m, X 0 = 1142426.05m] mer  256.6844 g  σ 2110 , 4002 =  mer g  σ 2040 , 4002  173.4912 

Pozn.: Přesnost orientovaných směrů byla odhadnuta na mσ 2110, 4002 = 12 cc a mσ 2040 , 4002 = 8cc . Příklad 3-2

Proveďte vyrovnání sítě s vnitřními orientovanými směry. 2090 [Y = 592751.680m, X = 1141928.240m] 2120 [Y = 592478.600m, X = 1143019.860m] 2040 [Y = 593427.420m, X = 1142807.460m] 4001 [Y0 = 593126.000m, X 0 = 1142474.270m] mer   238.2521g  ψ 4001 , 2090    mer g ψ 4001, 2120  = 344.5764  g mer ψ 4001, 2040   46.8154     

Pozn.: Přesnost směrů v orientované osnově směrů byla odhadnuta na mψ 4001, j = 11cc pro j ∈ {2090,2120,2040} .

- 26 (140) -


Příklad 3-3

Proveďte vyrovnání sítě s vnitřními a vnějšími orientovanými směry. 2090 [Y = 592751.680m, X = 1141928.240m] 2120 [Y = 592478.600m, X = 1143019.860m] 2040 [Y = 593427.420m, X = 1142807.460m] 2110 [Y = 593987.890m, X = 1142743.110m] 4001 [Y0 = 593126.000m, X 0 = 1142474.270m] 4002 [Y0 = 593596.130m, X 0 = 1142426.050m] mer   238.2521g  ψ 4001 , 2090    mer g ψ 4001, 2120  344.5764  mer g ψ 4001, 2040   46.8154     mer g ψ 4001, 4002  = 106.5049   256.6844 g  σ mer , 4002    2110  mer g σ 2040, 4002  173.4912    σ mer g  2040, 4001  246.8199 

Pozn.: Přesnost směrů v orientovaných osnovách směrů byla odhadnuta na mψ 4001, j = 11cc pro j ∈ {2090,2120,2040,4002} , mσ 2040, j = 9cc pro j ∈ {4001,4002} a mσ 2110 , j = 12 cc pro j ∈ {4002} .

Příklad 3-4

Proveďte vyrovnání sítě s neorientovanými osnovami směrů. 2030 [Y = 593624.290m, X = 1143841.810m] 2040 [Y = 593427.420m, X = 1142807.460m] 2080 [Y = 593369.920m, X = 1141974.690m] 2090 [Y = 592751.680m, X = 1141928.240m] 2110 [Y = 593987.890m, X = 1142743.110m] 2120 [Y = 592478.600m, X = 1143019.860m] 2130 [Y = 592832.380m, X = 1143878.800m] 4001 [Y0 = 593126.000m, X 0 = 1142474.270m] 4002 [Y0 = 593596.130m, X 0 = 1142426.050m] mer ϕ 2110,2030   0.0000 g   mer   g ϕ 2110,2080  = 263.4658  mer ϕ 2110,4002  277.0308 g   mer   g ϕ 2110,2040  327.6234  mer ϕ 4001,2090   0.0000 g   mer   g ϕ 4001,2120  = 106.3243  mer ϕ 4001,2040   208.5633g   mer   g ϕ 4001,4002  268.2528 

- 27 (140) -


mer   0.0000 g  ϕ 2040,2120    mer g  ϕ 2040,2130   53.7032  mer   97.9550 g  ϕ 2040,2030 =  mer g ϕ 2040,2110  193.2586   259.4716 g  ϕ mer    2040,4002  mer g ϕ 2040,4001  332.8003 

Pozn.: Přesnost směrů v neorientovaných osnovách směrů byla odhadnuta na mϕ 4001, j = 11cc pro j ∈ {2090,2120,2040,4002} , mϕ 2040 , j = 7 cc pro j ∈ {2120,2130,2030,2110,4002,4001} a mϕ 2110 , j = 10 cc pro j ∈ {2030,2080,4002,2040} .

Řešení

Řešení příkladu 3-1 – vyrovnání sítě s vnějšími orientovanými směry A. Sestavení úlohy vyrovnání σ i , j = σ imer , j + vσ i , j = f σ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) = arctg


m0.apri = 1.000000 mσ 2110, 4002 = 12 cc

,

mσ 2040, 4002 = 8cc

Y0, 4002 = 593596.130m

, X 0, 4002 = 1142426.050m

vσ 2110, 4002   - 1.248E - 03 1.542E - 03   dY4002  + 0.0000 g   = +  g vσ 2040, 4002  - 2.193E - 03 - 9.700E - 04 dX 4002   − 0.0038 

B. Základní údaje o provedeném vyrovnání n = 2 , k = 2 , n − k = 0 , m0.apost = m0.apri = 1

Pozn.: Při nízkém počtu nadbytečných měření často volíme aposteriorní střední jednotkovou chybu rovnou jednotkové chybě apriorní. C. Test střední jednotkové chyby Pozn.: Nelze provést, protože její hodnota v tomto případě nešla vypočítat viz. vzorec pro výpočet střední jednotkové chyby po vyrovnání a n − k = 0 . D. Vektor vyrovnaných měřených veličin, středních chyb a oprav σ 2110, 4002  256.6844g  =  g σ 2040, 4002  173.4912 

cc , mσ 2110, 4002  = 12  ,

mσ 2040, 4002 

- 28 (140) -

cc

8 

vσ 2110 , 4002  0 cc    =  cc  vσ 2040 , 4002  0 


E. Histogram reziduí

F. Vyrovnané neznámé veličiny a jejich přesnost  Y4002   593596.110 m   X  = 1142426.03 3m    4002  

,

 mY 4002   6mm  m =   X 4002  10mm 

G. Kovarianční matice bodů a parametry elips chyb c cov(H 4002 ) =  yy c xy

mmax = 0.010m

,

c xy   3.37E - 05 - 2.14E - 05 = c xx  - 2.14E - 05 9.27E - 05  m min = 0.005m

,σ

= 180.02 g

H. Přehled bodového pole

Řešení příkladu 3-2 – vyrovnání sítě s vnitřními orientovanými směry A. Sestavení úlohy vyrovnání ψ i , j = ψ imer , j + vψ i , j = fψ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j , Oi ) = arctg


m0.apri = 1.000000 mψ 4001, j = 11cc

pro

j ∈ {2090,2120,2040} .

- 29 (140) -

− Oi


Y0 , 4001 = 593126.000 m

, X 0, 4001 = 1142474.27 0m , O0, 4001 = 0.0000 g

vψ   1.246E - 03  4001, 2090   vψ 4001, 2120  = - 7.612E - 04 v   - 1.651E - 03  ψ 4001, 2040  

− 1  dY4001  + 0.0055 g      - 9.032E - 04 − 1 dX 4001  + + 0.0038 g  1.493E - 03 − 1  dO4001  + 0.0002 g 

- 8.541E - 04

B. Základní údaje o provedeném vyrovnání n = 3 , k = 3 , n − k = 0 , m0.apost = m0.apri = 1

Pozn.: Při nízkém počtu nadbytečných měření často volíme aposteriorní střední jednotkovou chybu rovnou jednotkové chybě apriorní. C. Test střední jednotkové chyby Pozn.: Nelze provést, protože její hodnota v tomto případě nešla vypočítat viz. vzorec pro výpočet střední jednotkové chyby po vyrovnání a n − k = 0 . D. Vektor vyrovnaných měřených veličin, středních chyb a oprav ψ 4001, 2090   238.2521g     g ψ 4001, 2120  = 344.5764  ψ   46.8154 g    4001, 2040  

 11cc  m  ψ 4001, 2090   cc  , mψ 4001, 2120  = 11   11cc  m   ψ 4001, 2040  

,

vψ  0 cc   4001, 2090   cc  vψ 4001, 2120  = 0  v  0 cc   ψ 4001, 2040   


F. Vyrovnané neznámé veličiny a jejich přesnost  Y4001   593125.987m   X  = 1142474.289m    4001  

,

 mY 4001  12mm  m =   X 4001  13mm 

[O4001 ] = [0.0034 g ] , [mO 4001 ] = [7 cc ] Pozn.:

H = [H YX

HO]

T


c xy  1.43E - 04 1.12E - 04 = c xx  1.12E - 04 1.67E - 04

- 30 (140) -


mmax = 0.016m

,

m min = 0.007m

,σ

= 46.50 g


Řešení příkladu 3-3 – vyrovnání sítě s vnitřními a vnějšími orientovanými směry

A. Sestavení úlohy vyrovnání σ i , j = σ imer , j + vσ i , j = f σ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) = arctg


ψ i , j = ψ imer , j + vψ i , j = fψ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j , Oi ) = arctg


− Oi

m0.apri = 1.000000 mψ 4001,i = 11cc

,

mσ 2040,i = 9 cc

,

mσ 2110,i = 12 cc

Y0, 4001 = 593126.000 m

, X 0, 4001 = 1142474.270m ,

Y0, 4002 = 593596.130 m

, X 0, 4002 = 1142426.050m

O0, 4001 = 0.0000 g

 vψ 4001, 2090   1.246E - 03 - 8.541E - 04 0 0   v 7.612E 04 9.032E 04 0 0  ψ 4001, 2120    vψ 4001, 2040   - 1.651E - 03 1.493E - 03 0 0    v = 2.159E 04 2.105E 03 2.159E 04 2.105E - 03 ψ  4001, 4002    vσ 2110, 4002   0 0 - 1.248E - 03 1.542E - 03    0 0 - 2.193E - 03 - 9.700E - 04  vσ 2040, 4002     - 1.651E - 03 1.493E - 03 v 0 0  σ 2040, 4001  

B. Základní údaje o provedeném vyrovnání n=7

,

k =5

,

n−k = 2

, m0.apost = 1.114318

C. Návrh technologie měření m0.apost = 1.114318

- 31 (140) -

− 1  + 0.0055 g     − 1  dY4001   + 0.0038 g  − 1  dX 4001  + 0.0002 g     − 1  dY4002  + + 0.0020 g    0  dX 4002  + 0.0000 g     0   dO4001   − 0.0038 g   − 0.0043 g  0   


k1 =

(m

m0.apost m0.apri

NEW

ψ , 4001,i

= 1.114318

mσNEW , 2040 ,i

mσNEW , 2110 ,i

)

T

(

= k1 mψOLD , 4001,i

mσOLD , 2040 ,i

mσOLD , 2110 ,i

) = (12.2 T

g

10.0 g 13.3 g

D. Vektor vyrovnaných měřených veličin, středních chyb a oprav ψ 4001, 2090  238.2510 g     g ψ 4001, 2120  344.5770    46.8153g  ψ  4001, 2040   g ψ 4001, 4002  = 106.5055   256.6850 g   σ 2110, 4002    σ 2040, 4002  173.4910 g     g σ 2040, 4001   246.8193 

 mψ 4001, 2090   9 g  m   g  ψ 4001, 2120  11   mψ   9g   4001, 2040   g   mψ 4001, 4002  = 11  mσ  12 g   2110, 4002   g  mσ 2040, 4002  10  m   g  σ 2040, 4001   7 

,

,

 vψ 4001, 2090  − 11g    g v  ψ 4001, 2120   + 6   vψ 4001, 2040   − 1g    g   vψ 4001, 4002  =  + 6   vσ 2110, 4002   + 6 g    g   vσ 2040, 4002   − 2    g v  σ 2040, 4001   − 6 


F. Vektor vyrovnaných neznámých veličin a jejich přesnost  Y4001   593125.973m   X  1142474.279m   4001  =    Y4002   593596.109m       X 4002  1142426.039m 

,

 mY 4001   9mm    m   X 4001  =  9mm   mY 4002   7 mm      mX 4002  10mm

[O4001 ] = [0.0040 g ] , [mO 4001 ] = [7 cc ] Pozn.:

H = [H YX

HO]

T

G. Kovarianční matice bodů a parametry elips chyb c cov(H 4001 ) =  yy c xy

mmax = 0.012m

,

c cov(H 4002 ) =  yy c xy

mmax = 0.010m

,

c xy  8.51E - 05 5.89E - 05 = c xx  5.89E - 05 8.27E - 05 mmin = 0.005m

,σ

= 50.65g

c xy   4.71E - 05 - 1.82E - 05 = c xx  - 1.82E - 05 9.38E - 05  mmin = 0.006m

,σ

= 178.93g

- 32 (140) -

)

T



Řešení příkladu 3-4 – vyrovnání sítě s neorientovanými směry A. Sestavení úlohy vyrovnání ϕ i , j = ϕ imer , j + vϕ i , j = f ϕ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j , Oi ) = arctg


− Oi

m0.apri = 1.000000 mϕ 2110,i = 10 cc

,

mϕ 4001,i = 11cc

,

mϕ 2040,i = 7 cc

Y0 , 4001 = 593126.000 m

, X 0 , 4001 = 1142474.27 0 m

Y0 , 4002 = 593596.130 m

, X 0 , 4002 = 1142426.05 0 m

O0, 2110 = 0.0000 g  vϕ  2110,2030  0 vϕ 2110,2080    0  vϕ 2110,4002  0   vϕ  2110,2040  0 vϕ 4001,2090  b    vϕ 4001,2120  b  b v  ϕ 4001,2040  =  vϕ 4001,4002  b    vϕ 2040,2120  0  0 v  ϕ 2040,2130    0 vϕ  2040,2030  0 vϕ 2040,2110    0  vϕ 2040,4002  c   v  ϕ 2040,4001 

,

O0, 4001 = 0.0000 g

0 0 0 0 0 0 0 a a

0 0 0

0 0 0 0 b 0 0 −1 b 0 0 −1 b 0 0 −1 b b b −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c c

0 0 0

c 0 0

0

−1 −1 −1

,

O0, 2040 = 0.0000 g

 - 20.3459 g     g   - 20.3474    - 20.3464 g     g  −1 0   - 20.3460  dY  4001   g 0 0   - 161.7424    dX 4001   g 0 0  - 161.7441   dY4002   g  0 0   - 161.7477   dX 4002  +  g 0 0    dO2110  - 161.7459   g 0 −1     dO4001   - 85.9800   - 85.9793g  0 − 1     dO2040   g  0 − 1  - 85.9813   - 85.9812 g  0 − 1    g 0 − 1  - 85.9842   - 85.9847 g  0 − 1   0 0 0

- 33 (140) -


B. Základní údaje o provedeném vyrovnání n = 14 , k = 7 , n − k = 7 , m0.apost = 1.1701

C. Test střední jednotkové chyby Test T3 : hypotézy H 0 : σ 2 = σ 02 proti hypotéze H : σ 2 ≠ σ 02 σ 0 = m0.apri = 1 , σ = m0.apost = S = 2.6366 , η = 0 , n = 14 , k = 7 , α = 0.05 R=

(n − k )S 2 σ

=

2 0

(14 − 7 )2.6366 2

= 9.5839

1

{ } = {r , r < χ (14 − 7,0.025) ∪ r > χ (14 − 7,0.975)}

W3 = r , r < χ 2 (n − k , α 2 ) ∪ r > χ 2 (n − k ,1 − α 2 ) W3

2

2

W3 = (− ∞,1.690 ) ∪ (16.010,+∞ )

R ∉ W3 Nulovou hypotézu H 0 se nepodařilo zamítnout. D. Vektor vyrovnaných měřených veličin, středních chyb a oprav ϕ 2110,2030   0.0004 g     g ϕ 2110,2080  = 263.4646    277.0313g  ϕ  2110,4002   g ϕ 2110,2040  327.6237 

ϕ 4001, 2090   − 0.0011g     g  ϕ 4001, 2120  = 106.3249   208.5632 g  ϕ  4001, 2040   g ϕ 4001, 4002  268.2534  ϕ 2040,2120   0.0006 g     g  ϕ 2040,2130   53.7044  ϕ   97.9543g   2040,2030  =  g ϕ 2040,2110  193.2580     g ϕ 2040,4002  259.4715  ϕ 2040,4001  332.7999 g 

Pozn.:

L = [L 2110

L 4001

,

,

,

 mϕ cc  2110,2030   7  mϕ 2110,2080   7 cc  =  cc mϕ 2110,4002  11   m 7 cc   ϕ 2110,2040  

,

mϕ  cc  4001,2090  10  cc mϕ 4001,2120  11    = cc mϕ 4001,2040   9  m  12 cc   ϕ 4001,4002   mϕ  cc  2040,2120  4    mϕ 2040,2130  4 cc    cc  mϕ 2040,2030  4  m  = 4 cc   ϕ 2040,2110    mϕ  8cc  2040,4002    cc   mϕ 2040,4001  7   

L 2040 ]

T

- 34 (140) -

  + 4 cc  vϕ  2110,2030    vϕ 2110,2080  − 12 cc  =   cc   vϕ 2110,4002   + 5    + 3cc  vϕ  2110,2040  

,

,

vϕ  − 11cc   4001,2090    vϕ 4001,2120   + 6 cc  =    cc  vϕ 4001,2040   − 1  vϕ   + 6 cc   4001,4002  

 vϕ cc  2040,2120   + 6   vϕ 2040,2130  + 12 cc    cc   v ϕ  2040,2030  =  − 7    − 6 cc  vϕ  2040,2110   cc  vϕ 2040,4002   − 1    − 4 cc     vϕ 2040,4001  



F. Vyrovnané neznámé veličiny a jejich přesnost  Y4001  593125.973m   X  1142474.28m   4001  =    Y4002   593596.11m       X 4002  1142426.04m  g O2110   - 20.3463  O  = - 161.7439g    4001   g O2040   - 85.9806 

Pozn.:

H = [H YX

,

 mY 4001  10mm   m   X 4001  =  9mm   mY 4002   7 mm      m X 4002  10mm

mO 2110  7 cc     cc   mO 4001  = 7  mO 2040  4 cc 

,

HO]

T


mmax = 0.012m

,

c cov(H 4002 ) =  yy c xy

mmax = 0.010m

,

c xy  9.07E - 05 6.50E - 05 = c xx  6.50E - 05 8.60E - 05 m min = 0.005m

,σ

= 51.16 g

c xy   4.23E - 05 - 2.28E - 05 = c xx  - 2.28E - 05 9.46E - 05  m min = 0.006m

,σ

= 177.19 g

- 35 (140) -



Kontrolní otázky

Vysvětlete čím se liší úloha vyrovnání sítě s orientovanými a neorientovanými směry. Vysvětlete pojem přibližně a předběžně orientovaná osnova směrů. Proč je potřeba převést měřené směry před vyrovnáním sítě na výpočetní plochu ? Jakými metodami lze ověřit apriorní přesnost technologie měření osnov směrů ? Řešení

Odpovědi na kontrolní otázky jsou obsaženy v této kapitole. Informace

Následující kapitola je věnována vyrovnání geodetických sítí s délkovými veličinami.

- 36 (140) -

Geodetické sítě s délkovými veličinami

4


V této kapitole je prezentován základní model vyrovnání 2D sítí tvořených délkovými veličinami. Základní informace o přípravě dat pro vyrovnání byly poskytnuty v modulu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání.

4.1

Síť s měřenými délkovými veličinami

Délky měřené na fyzickém zemském povrchu převádíme na vhodnou výpočetní plochu, za kterou zvolíme rovinu Křovákova kartografického zobrazení tj. systém S-JTSK. simer ,j

(4.1)

mS i , j

(4.2)

Přesnost délek můžeme odvodit: • z údajů od výrobců přístrojů • z dvojic protisměrně měřených délek

Výše uvedená problematika je podrobně probrána ve studijním materiálu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání. Základní rovnice

Základní observační rovnice pro sestavení úlohy vyrovnání bude mít tvar daný vztahem 4.3. S i , j = f S ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) =

(Y

− Yi ) + (X j − X i ) 2

j

(4.3)

2

Symboly Y j , Yi , X j a X i představují souřadnice koncových bodů záměry. Vztah 4.4 udává bod rozvoje pro linearizaci observační rovnice 4.3. H 0 = (Y0 ,i , X 0 ,i , Y0 , j , X 0 , j )

(4.4)

T

Výsledná podoba rovnice 4.3 je dána vztahem 4.6. f 0,S ,i , j = f S ,i , j (Y0,i , X 0,i , Y0, j , X 0, j )

S i , j = simer , j + v S i , j = f 0 , S ,i , j +

∂f S ,i , j ∂Yi ∂f S ,i , j ∂X i

∂f S ,i , j ∂Y j ∂f S ,i , j ∂X j

∂f S ,i , j ∂Yi

(4.5) dYi +

∂f S ,i , j ∂X i

dX i +

∂f S ,i , j ∂Y j

dY j +

∂f S ,i , j ∂X j

dX j

(4.6)

= − sin σ isour ,j

(4.7)

= − cosσ isour ,j

(4.8)

= + sin σ isour ,j

(4.9)

= + cosσ isour ,j

(4.10)

- 37 (140) -


Modelová úloha

V dalším textu se pokusíme sestavit úlohu vyrovnání 2D sítě tvořené délkovými veličinami. Pro zjednodušení úlohy vyjdeme z konkrétní sítě dané obrázkem 4-1. Úlohu budeme řešit užitím MNČ a vyjdeme z observační rovnice 4.3. Body A, B a C budou konstantami pro vyrovnání. Body 1 a 2 budou body o neznámých souřadnicích.

Obr. 4-1

2D síť s měřenými délkovými veličinami

Uvažovaná úloha vyrovnání je tvořena čtyřmi neznámými parametry – souřadnice Y1 , X 1 , Y2 a X 2 a osmi délkovými observačními rovnicemi – S A,1 , S A, B ,

S B , A , S B ,1 , S B , 2 , S 2, B , S1, 2 a S 2,C Varianty observačních rovnic

Budeme-li řešit konkrétní 2D síť, získáme observační rovnice podle známých a neznámých souřadnic koncových bodů měřené záměry v několika variantách.

Varianta A – příklad měřené délky z neznámého na neznámý bod S1, 2 = s1mer , 2 + v S 1, 2 = f S ,1, 2 (Y1 , X 1 , Y2 , X 2 ) =

(Y2 − Y1 )2 + ( X 2 − X 1 )2

(4.11)

Varianta B – příklad měřené délky z neznámého bodu na bod známý S 2,C = s2mer ,C + vS 2 ,C = f S , 2 ,C (Y2 , X 2 ) =

(YC − Y2 )2 + ( X C − X 2 )2

(4.12)

Varianta C – příklad měřené délky ze známého na neznámý bod S A,1 = s Amer ,1 + v S A,1 = f S , A,1 (Y1 , X 1 ) =

(Y1 − YA )2 + ( X 1 − X A )2

(4.13)

Varianta D – příklad měřené délky ze známého bodu na bod známý S A, B = s Amer , B + v S A, B = f S , A, B ( ) =

(YB − YA )2 + ( X B − X A )2

(4.14)

Obecná rovnice 4.15 pro sestavení geodetické sítě není v některých parametrech lineární. O řešení úlohy užitím MNČ prohlásíme, že bude konvergovat

- 38 (140) -


k výsledku v jednom iteračním kroku pouze v případě velmi kvalitního počátečního řešení úlohy H 0 . S i , j = simer , j + v S i , j = f S ,i , j (Y1 , X 1 , Y2 , X 2 ) =

(Y

− Yi ) + (X j − X i ) 2

j

2

mS = konst

(4.15)

∑p v v

(4.16)

S S S

= min

U uvažované úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 4.17. H 0 = (Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 )

(4.17)

T


H = H0 + dH

Sestavení úlohy

Úlohu vyrovnání sestavíme pouze pro čtyři rovnice.

Rovnice 4.11 až 4.14 linearizujeme rozvojem v řadu podle počátečního řešení 4.17. Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 4.20. f 0,S ,i , j = f S ,i , j (Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 )

(4.19)

sour sour sour sour s1mer , 2 + v S 1, 2 = f 0 , S ,1, 2 − sin σ 1, 2 dY1 − cos σ 1, 2 dX 1 + sin σ 1, 2 dY2 + cos σ 1, 2 dX 2 mer sour sour s 2,C + vS 2,C = f 0,S , 2,C − sin σ 2,C dY2 − cos σ 2,C dX 2 sour sour s Amer ,1 + v S A,1 = f 0 , S , A,1 + sin σ A,1 dY1 + cos σ A,1 dX 1

(4.20)

s Amer , B + v S A, B = f 0 , S , A, B

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 4.21 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých parametrech.  vS 1, 2   − sin σ 1sour ,2 v   0 S 2 , C =   vS A,1  + sin σ Asour ,1    0 vS A, B  

− cos σ 1sour ,2

+ sin σ 1sour ,2

0 + cos σ Asour ,1

− sin σ 2sour ,C 0

0

0

  dY1   s1sour + cos σ 1sour ,2 ,2    s sour dX − cos σ 2sour 1 ,C   +  2,C   dY2   s Asour 0 ,1    sour 0  dX 1   s A, B

 − s1mer ,2 mer  − s 2 ,C   − s Amer ,1 mer  − s A, B 

(4.21)

Matice vah P bude za předpokladu mS = m0.apri jednotková – rovnice 4.22. diag (P ) = (1 1 1 1)

(4.22)

Sestavený systém rovnic rozšíříme podle obrázku 4-1 o zbývající veličiny a řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání. Výsledkem výpočtu bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. vyrovnané souřadnice neznámých a jim odpovídající kovarianční matice cov(H ) . Vektor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. vyrovnané délky, které budou opět doplněny odpovídající kovarianční maticí cov(L ) .

- 39 (140) -


Souhrn

Observační rovnice definované mezi známými body nebudou mít žádný vliv na vyrovnání sítě, proto můžou být ze systému rovnic vypuštěny.

Následující podkapitola se bude zabývat vyrovnáním délkové sítě s uvážením přesnosti souřadnic bodů daných.

4.2

Fiktivní měřené souřadnice daných bodů

Pojem fiktivní měřené souřadnice daných bodů sítě najdete již ve studijním materiálu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání. Dané body při sestavení úlohy vyrovnání sítě figurují jako neznámé parametry a jejich poloha je s určitou přesností dána fiktivním měřením 4.23 a kovarianční maticí – rovnice 4.24.  y mer  l i =  imer   xi  c y , y cov(l i ) =  c y , x

(4.23) cx, y  c x , x 

(4.24)

Údaje o přesnosti výchozího bodového pole získáme z dokumentace o bodech, případně z původních protokolů o vyrovnání. Zohlednění přesnosti výchozího bodového pole je vhodné především v situacích, kdy je přesnost klasicky měřených veličin vyšší jak přesnost výchozího bodového pole a nově budovanou síť nechceme na toto bodové pole plnou mírou deformovat. Výše uvedená problematika je podrobně probrána ve studijním materiálu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání. Základní rovnice

Základní observační rovnice pro definici fiktivně měřeného bodu mají tvar rovnice 4.25. Yi fik = f Y (Yi ) = Yi

(4.25)

X i fik = f X ( X i ) = X i

Symboly Yi a X i představují neznámé souřadnice fiktivně měřeného bodu pro vyrovnání. Linearizované rovnice jsou uvedeny ve studijním materiálu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání. Modelová úloha

V dalším textu se pokusíme sestavit úlohu vyrovnání 2D sítě tvořené délkovými veličinami. Pro zjednodušení úlohy vyjdeme z konkrétní sítě dané obrázkem 4-2. Úlohu budeme řešit užitím MNČ a vyjdeme z observační rovnice 4.3 a 4.25. Body A, B, C, 1 a 2 budou body o neznámých souřadnicích.

- 40 (140) -


Obr. 4-2

2D síť s měřenými délkovými veličinami a fiktivními body

Uvažovaná úloha vyrovnání je tvořena deseti neznámými parametry – souřadnice YA , X A , YB , X B , YC , X C , Y1 , X 1 , Y2 a X 2 , osmi délkovými observačními rovnicemi – S A,1 , S A, B , S B , A , S B ,1 , S B , 2 , S 2, B , S1, 2 a S 2,C a šesti fiktivně měřenými souřadnicemi bodů výchozí sítě – YAfik , X Afik , YBfik , X Bfik , YCfik a

X Cfik . Varianty observačních rovnic

Budeme-li řešit konkrétní 2D síť, získáme observační rovnice podle známých a neznámých souřadnic koncových bodů měřené záměry v několika variantách.

Varianta A – příklad měřené délky z neznámého na neznámý bod S1, 2 = s1mer , 2 + v S 1, 2 = f S ,1, 2 (Y1 , X 1 , Y2 , X 2 ) =

(Y2 − Y1 )2 + ( X 2 − X 1 )2

(4.26)

Varianta B – příklad měřené délky z neznámého na fiktivně měřený bod S 2,C = s2mer ,C + v S 2 ,C = f S , 2 ,C (Y2 , X 2 , YC , YC ) =

(YC − Y2 )2 + ( X C − X 2 )2

(4.27)

Varianta C – příklad měřené délky z fiktivně měřeného na neznámý bod S A,1 = s Amer ,1 + v S A,1 = f S , A,1 (Y A , X A , Y1 , X 1 ) =

(Y1 − YA )2 + ( X 1 − X A )2

(4.28)

Varianta D – příklad měřené délky z fiktivně měřeného na fiktivně měřený bod S A, B = s Amer , B + v S A, B = f S , A, B (Y A , X A , YB , X B ) =

(YB − YA )2 + ( X B − X A )2

(4.29)

Následují rovnice pro fiktivně měřené body A, B a C. YAfik = y Amer + vY A = f Y , A (YA ) = YA X Afik = x Amer + v X A = f X , A ( X A ) = X A

(4.30)

YBfik = y Bmer + vY B = f Y ,B (YB ) = YB X Bfik = xBmer + v X B = f X ,B ( X B ) = X B

(4.31)

YCfik = yCmer + vY C = f Y ,C (YC ) = YC X Cfik = xCmer + v X C = f X ,C ( X C ) = X C

(4.32)

- 41 (140) -


Obecná rovnice 4.33 pro sestavení geodetické sítě není v neznámých parametrech lineární. O řešení úlohy užitím MNČ prohlásíme, že bude konvergovat k výsledku v jednom iteračním kroku pouze v případě velmi kvalitního počátečního řešení úlohy H 0 . S i , j = simer , j + v S i , j = f S ,i , j (Y A , X A , YB , X B , YC , X C , Y1 , X 1 , Y2 , X 2 ) =

(Y

− Yi ) + (X j − X i ) 2

j

2

(4.33)

mS = konst

Yi fik = yimer + vY i = f Y ,i (YA , YB , YC ) = Yi

X i fik = ximer + v X i = f X ,i ( X A , X B , X C ) = X i

mY = konst m X = konst

(4.34)

∑ p v v +∑ p S S

S

(4.35)

v v + ∑ p X v X v X = min

Y Y Y

U uvažované úlohy zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 4.36. H 0 = (Y0, A , X 0, A , Y0, B , X 0, B , Y0,C , X 0,C , Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 )

T

(4.36)


H = H0 + dH

Sestavení úlohy

Úlohu vyrovnání sestavíme pouze pro čtyři délkové veličiny. Rovnice 4.26 až 4.32 linearizujeme rozvojem v řadu podle počátečního řešení 4.36. Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 4.39 a 4.40. f 0,S ,i , j = f S ,i , j (Y0, A , X 0, A , Y0, B , X 0, B , Y0,C , X 0,C , Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 )

f 0,Y ,i = f Y ,i (Y0, A , Y0, B , Y0,C ) f 0, X ,i = f X ,i ( X 0, A , X 0, B , X 0,C ) s1mer ,2 s2mer ,C s Amer ,1 s Amer ,B

sour sour sour + v S 1, 2 = f 0,S ,1, 2 − sin σ 1sour , 2 dY1 − cos σ 1, 2 dX 1 + sin σ 1, 2 dY2 + cos σ 1, 2 dX 2 sour sour sour + v S 2,C = f 0, S , 2,C − sin σ 2sour ,C dY2 − cos σ 2 ,C dX 2 + sin σ 2 ,C dYC + cos σ 2 ,C dX C sour sour sour + v S A,1 = f 0, S , A,1 − sin σ Asour ,1 dY A − cos σ A,1 dX A + sin σ A,1 dY1 + cos σ A,1 dX 1 sour sour sour + v S A, B = f 0,S , A, B − sin σ A, B dYA − cos σ A, B dX A + sin σ A, B dYB + cos σ Asour , B dX A

(4.38)

(4.39)

y Amer + vY A = f 0,Y , A + dYA x Amer + v X A = f 0, X , A + dX A y Bmer + vY B = f 0,Y , B + dYB xBmer + v X B = f 0, X ,B + dX B

(4.40)

yCmer + vY C = f 0,Y ,C + dYC xCmer + v X C = f 0, X ,C + dX C

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 4.41 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy deseti lineárních rovnic o deseti neznámých parametrech.

- 42 (140) -


 vS 1, 2   0 0 0 0   v  S 2,C   0 0 0 0  vS A,1   c c 0 0    v S A , B   d d d d  vY A   1 0 0 0 =   vX A  0 1 0 0  v  0 0 1 0  YB    vX B  0 0 0 1  v  0 0 0 0  YC    v X C   0 0 0 0

0 b 0 0 0 0 0 0 1 0

0 b 0 0 0 0 0 0 0 1

a 0 c 0 0 0 0 0 0 0

a 0 c 0 0 0 0 0 0 0

a b 0 0 0 0 0 0 0 0

a   dYA   s1sour ,2  b  dX A   s2sour ,C 0   dYB   s Asour ,1    0   dX B   s Asour ,B 0   dYC   y Asour +  0  dX C   x Asour 0   dY1   y Bsour    0   dX 1   x Bsour 0   dY2   yCsour   0   dX 2   xCsour

 − s1mer ,2 mer  − s2,C   − s Amer ,1 mer  − s A, B  − y Amer   − x Amer  − y Bmer   − x Bmer   − yCmer  − xCmer 

(4.41)

Kovarianční matice všech měřených veličin pak bude mít tvar – rovnice 4.42. 04 x6  cov(l S ) cov(l ) =  0 cov (l YX )  6x4 m S2 1, 2  0 cov(l S ) =   0   0

0 m

2 S 2 ,C

(4.42) 0 0

0

m S2 A,1

0

0

0   0  0   2 m S A, B 

(4.43)

02 x2  cov(l A ) 0 2 x 2   cov(lYX ) =  0 2 x 2 cov(l B ) 0 2 x 2   0 2 x 2 02 x2 cov(l C )

(4.44)

Symbol 0ixj představuje nulovou matici o rozměru i x j. Přesnost fiktivně měřených bodů můžeme popsat úplnými kovariančními maticemi. V tomto případě tedy vyrovnáváme korelované veličiny. Matici vah P −1 tedy musíme nahradit maticí váhových koeficientů Q l (4.45)

−1

P = Ql Ql =

1 cov(l ) m02.apri

(4.46)

Sestavený systém rovnic rozšíříme podle obrázku 4-2 o zbývající veličiny a řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání s korelovanými veličinami. Výsledkem výpočtu bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. vyrovnané souřadnice neznámých bodů a jim odpovídající kovarianční matice cov(H ) . Vektor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. vyrovnané měřené délky a vyrovnané souřadnice fiktivně měřených bodů, které budou opět doplněny odpovídající kovarianční maticí cov(L ) . Shrnutí

Uvažovaná úloha zahrnuje různé typy měřených veličin. Zvláštní pozornost je tedy třeba věnovat volbě správného poměru apriorních přesností vstupujících veličin do vyrovnání.

Následující podkapitola bude věnována opakování látky týkající se vyrovnání sítí s délkovými veličinami.

- 43 (140) -


4.3

Shrnutí


Proveďte vyrovnání sítě s měřenými délkovými veličinami. 2040 [Y = 593427.420m, X = 1142807.460m] 2090 [Y = 592751.680m, X = 1141928.240m] 2110 [Y = 593987.890m, X = 1142743.110m] 4001 [Y0 = 593126.000m, X 0 = 1142474.270m] 4002 [Y0 = 593596.130m, X 0 = 1142426.050m] mer  661.982m   s4001 , 2090    mer   s4001, 2040   449.321m  mer  472.605m   s4001 , 4002 =  mer   s2040, 4002  417.060m  449.319m  s mer , 4001    2040  mer  s2110, 4002   504.011m 

Pozn.: Délky byly převedeny na výpočetní plochu. Pozn.: Přesnost měřených délek je mS = 2mm + 2 ppm Příklad 4-2

Proveďte vyrovnání sítě s měřenými délkovými veličinami a s uvážením přesnosti výchozího bodového pole. 2040 [Y = 593427.420m, X = 1142807.460m] 2090 [Y = 592751.680m, X = 1141928.240m] 2110 [Y = 593987.890m, X = 1142743.110m] 4001 [Y0 = 593126.000m, X 0 = 1142474.270m] 4002 [Y0 = 593596.130m, X 0 = 1142426.050m] mer  661.982m   s4001 , 2090    mer  s  4001, 2040   449.321m  mer   472.605m   s4001 , 4002 =  mer   s2040, 4002  417.060m  449.319m  s mer , 4001    2040  mer  s2110, 4002   504.011m 

Pozn.: Délky byly převedeny na výpočetní plochu. Pozn.: Přesnost měřených délek je mS = 2mm + 2 ppm Pozn.: Přesnost výchozího bodového pole je mY = mX = 0.015m

- 44 (140) -


Řešení

Řešení příkladu 4-1 – vyrovnání délkové sítě A. Sestavení úlohy vyrovnání S i , j = simer , j + v S i , j = f S ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) =

(Y

− Yi ) + (X j − X i ) 2

j

2

m0.apri = 1.000000 mS i , j =

a[mm] b[ ppm] sour si , j + 1000 1000000

mS = 2mm ± 2 ppm

Y0 , 4001 = 593126.000 m

, X 0, 4001 = 1142474.27 0m

Y0 , 4002 = 593596.130 m

, X 0, 4002 = 1142426.05 0m

vS 4001, 2090   5.654E - 01 8.248E - 01 0 0  + 0.033m      0 0   dY4001  − 0.022m  vS 4001, 2040  - 6.709E - 01 - 7.416E - 01 v  - 9.948E - 01 1.020E - 01 9.948E - 01 - 1.020E - 01  dX  − 0.009m  4001   S 4001, 4002  =  +   0 0 4.045E - 01 - 9.145E - 01  dY4002   − 0.003m  vS 2040, 4002     v  - 6.709E - 01 - 7.416E - 01 0 0  dX 4002  − 0.020m   S 2040, 4001      vS 2110, 4002   0 0 - 7.773E - 01 - 6.291E - 01 − 0.024m 

B. Základní údaje o provedeném vyrovnání n = 6 , k = 4 , n − k = 2 , m0.apost = 2.6366

C. Test střední jednotkové chyby Test T3 : hypotézy H 0 : σ 2 = σ 02 proti hypotéze H : σ 2 ≠ σ 02 σ = m0.apri = 1 , σ = m0.apost = S = 2.6366 , η = 0 , n = 6 , k = 4 , α = 0.05 R=

(n − k )S 2 σ

2 0

=

(6 − 4)2.6366 2 1

= 13.9033

W3 = {r , r < χ 2 (n − k ,α 2 ) ∪ r > χ 2 (n − k ,1 − α 2)}

{

}

W3 = r , r < χ 2 (2,0.025) ∪ r > χ 2 (2,0.975) W3 = (− ∞,0.051) ∪ (7.378,+∞ )

R ∈ W3 Na hladině významnosti α = 0.05 zamítáme nulovou hypotézu a přijímáme hypotézu alternativní. Na základě výsledku testu je třeba upravit apriorní předpoklad o přesnosti technologie měření. mSNEW = 2.6366(2mm + 2 ppm ) = 5mm + 5 ppm

¨

- 45 (140) -


D. Vektor vyrovnaných měřených veličin, středních chyb a oprav  S 4001, 2090  661.992m       S 4001, 2040  449.324m  S 4001, 4002  472.604m =    S 2040, 4002   417.061m   449.324m S  2040, 4001     S 2110, 4002  504.010m 

,

 mS 4001, 2090  0.005m       mS 4001, 2040  0.005m   0.008m  m  S 4001, 4002  =   mS 2040, 4002  0.007 m  0.005m  m  S 2040, 4001    mS 2110, 4002  0.008m 

,

vS 4001, 2090  + 0.010m     vS 4001, 2040   + 0.003m  v   − 0.001m   S 4001, 4002  =   vS 2040, 4002   + 0.001m  v  + 0.005m   S 2040, 4001    vS 2110, 4002   − 0.001m 


F. Vyrovnané neznámé veličiny a jejich přesnost  Y4001   593125.974m       X 4001  = 1142474.26 0m   Y4002   593596.111m       X 4002  1142426.03 7m 

,

 mY 4001  11mm     m X 4001  = 11mm   9mm  m  Y 4002     m X 4002   7mm 

G. Kovarianční matice bodů a parametry elips chyb c cov(H 4001 ) =  yy c xy

mmax = 0.014m c cov(H 4002 ) =  yy c xy

mmax = 0.009m

c xy   1.17E - 04 - 9.45E - 05 = c xx  - 9.45E - 05 1.12E - 04 

, mmin = 0.004m , σ

= 149.17g

c xy   7.86E - 05 - 4.16E - 06 = c xx  - 4.16E - 06 4.72E - 05 

, mmin = 0.007m , σ

= 108.24 g


- 46 (140) -


Řešení příkladu 4-2 – vyrovnání délkové sítě s uvážením přesnosti výchozího bodového pole

A. Sestavení úlohy vyrovnání S i , j = simer , j + v S i , j = f S ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) =

(Y

− Yi ) + (X j − X i ) 2

j

2

Yi fik = yimer + vY i = fY ,i (Yi ) = Yi

X i fik = ximer + v X i = f X ,i ( X i ) = X i

m0.apri = 1.000000 mS i , j =

a[mm] b[ ppm] sour si , j + 1000 1000000

mS = 2mm ± 2 ppm

, mY = m X = 0.015m

Y0, 2040 = 593427.420m,

X 0, 2040 = 1142807.460m,

Y0, 2090 = 592751.680m,

X 0, 2090 = 1141928.240m,

Y0, 2110 = 593987.890m,

X 0, 2110 = 1142743.110m,

Y0, 4002 = 593126.000m, Y0, 4002 = 593596.130m,

X 0, 4002 = 1142474.270m, X 0, 4002 = 1142426.050m,

vS 4001, 2090  0    vS 4001, 2040  a v  0  S 4001, 4002   vS 2040, 4002  a v  a  S 2040, 4001   vS 2110, 4002  0  =  vY 2040  1  vX  0 2040     vY 2090  0  v  0  X 2090    vY 2110  0  v    X 2110  0

0 a a 0 0 a a 0 0  + 33mm  a 0 0 0 0 0 0 a a   dY2040  − 22mm   0 0 0 0 0 a a a a  dX 2040   − 9mm     a 0 0 0 0 0 0 a a  dY2090   − 3mm    a 0 0 0 0 a a 0 0  dX 2090  − 20mm    0 0 0 a a 0 0 a a  dY2110  − 24mm +  0 0 0 0 0 0 0 0 0  dX 2110   + 0mm     1 0 0 0 0 0 0 0 0  dY4001   + 0mm    0 1 0 0 0 0 0 0 0   dX 4001   + 0mm     0 0 1 0 0 0 0 0 0   dY4002   + 0mm     0 0 0 1 0 0 0 0 0  dX 4002   + 0mm   + 0mm  0 0 0 0 1 0 0 0 0 

B. Základní údaje o provedeném vyrovnání m0.apost = 0.573183 , n = 12 , k = 10 , n − k = 2 C. Návrh apriorní přesnosti technologie měření na základě výsledků vyrovnání. m0.apost = 0.5676 , m0.S .apost = 0.4714 , m0.YX .apost = 0.6498 k1 =

m0.apost m0.apri

= 0.5676 , k 2 =

m0.S .apost m0.YX .apost

= 0.7255

NEW OLD mSNEW = k1mSOLD = 1.1mm , mYX = k1mYX = 8.5mm NEW OLD mSNEW = k 2 mSOLD = 1.5mm , mYX = mYX = 15.0mm NEW OLD mSNEW = mSOLD = 2.0mm , mYX = (1 k 2 )mYX = 20.7 mm

- 47 (140) -

, nS = 6 , nYX = 6


Pozn.: Před volbou nové přesnosti technologie měření obvykle provedeme statistické testování střední jednotkové chyby po vyrovnání a testování poměru středních jednotkových chyb jednotlivých technologií měření. D. Vektor vyrovnaných měřených veličin, středních chyb a oprav  S 4001, 2090  661.982m       S 4001, 2040  449.320m  S 4001, 4002  472.605m   =   S 2040, 4002  417.060m S  449.320m  2040, 4001     S 2110, 4002   504.011m  fik   593427.416   Y2040  fik    X  2040  1142807.454 fik  Y2090   592751.684   fik  =    X 2090  1141928.245  Y fik   593987.891     2110  fik  X 2110  1142743.111

,

,

 mS 4001, 2090  2mm      mS 4001, 2040  1mm  m  2mm  S 4001, 4002  =   mS 2040, 4002  2mm m  1mm   S 2040, 4001    mS 2110, 4002  2mm  mY 2040  8mm      m X 2040  7mm m  8mm   Y 2090  =   m X 2090  7mm m  9mm  Y 2110    m X 2110  9mm

,

,

 v S 4001   v S 4001 v  S 4001  v S 2040 v  S 2040  v S 2110 

 v Y 2040   v X 2040 v  Y 2090  v X 2090 v  Y 2110  v X 2110

, 2090 , 2040 , 4002 , 4002 , 4001 , 4002

  + 0 mm   − 1 mm     − 0 mm  =    + 0 mm   + 1 mm     − 0 mm 

  − 4 mm   − 6 mm     + 4 mm  =    + 5 mm   + 1 mm    + 1 mm 

        

        

E. Grafy reziduí

Pozn.: Vlevo je graf reziduí pro délkové veličiny a vpravo graf reziduí pro fiktivní měřené body F. Vyrovnané neznámé veličiny a jejich přesnost  Y2040   593427.416m       X 2040  1142807.454m   Y2090   592751.684m       X 2090  1141928.245m   Y   593987.891m   2110  =    X 2110  1142743.111m   Y   593125.974m   4001     X 4001  1142474.256m       Y4002   593596.112m   X 4002  1142426.035m 

,

 mY 2040   8m      m X 2040   7 m  m   8m   Y 2090    m X 2090   7 m  m   9m   Y 2110  =   m X 2110   9m     9m   mY 4001     m X 4001  11m       mY 4002  10m m X   4002   8m 

- 48 (140) -


G. Kovarianční matice bodů a parametry elips chyb c cov(H 2040 ) =  yy c xy mmax = 0.009m

, mmin = 0.006m , σ

c cov(H 2092 ) =  yy c xy mmax = 0.009m

mmax = 0.013m

mmax = 0.010m

= 157.63g

c xy   8.15E - 05 - 7.03E - 05 = c xx  - 7.03E - 05 1.22E - 04 

, mmin = 0.005m , σ

c cov(H 4002 ) =  yy c xy

= 138.27 g

c xy   7.35E - 05 - 3.36E - 07  = c xx  - 3.36E - 07 7.37E - 05 

, mmin = 0.009m , σ

c cov(H 4001 ) =  yy c xy

= 140.64 g

c xy   6.41E - 05 - 1.43E - 05 = c xx  - 1.43E - 05 5.30E - 05 

, mmin = 0.007m , σ

c cov(H 2110 ) =  yy c xy mmax = 0.009m

c xy   5.96E - 05 - 1.93E - 05 = c xx  - 1.93E - 05 4.80E - 05 

= 159.01g

c xy   9.33E - 05 - 3.39E - 06 = c xx  - 3.39E - 06 5.84E - 05 

, mmin = 0.008m , σ

= 106.11g


- 49 (140) -


Kontrolní otázky

Jak vypadá základní observační rovnice pro vyrovnání délkových sítí ? Proč se v geodetických sítích používají fiktivní měřené veličiny ? Proč je potřeba převést délkové veličiny před vyrovnáním sítě na výpočetní plochu ? Jakými metodami lze zjistit apriorní přesnost určité technologie měření délek ? Řešení


Následující kapitola je věnována společnému vyrovnání směru a délek v geodetické síti.

- 50 (140) -

Společné vyrovnání délek a směrů

5


V technické praxi běžně řešené geodetické sítě kombinují společné úhlové a délkové veličiny.

Pro vyřešení takových sítí můžeme zvolit dva základní postupy: • vyrovnání sítí s orientovanými směry a délkami

Tento model je charakteristický maximální redukcí observačních rovnic a neznámých parametrů při sestavování modelu vyrovnání. Úloha vyrovnání je přehledněji a úsporněji napsána a v případě rozsáhlých sítí se významně redukuje i čas potřebný pro vyřešení systému normálních rovnic. • vyrovnání sítí s neorientovanými směry a délkami

Tento model je univerzální z hlediska počtu typů observační rovnic. Pro směry a délky používáme po jedné observační rovnici. Úloha vyrovnání však vede na dosti rozsáhlý systém rovnic. Počet neznámých v úloze vyrovnání bývá o 30 procent větší vzhledem k výše uvedené variantě. Počet observačních rovnic se může zvýšit až několikanásobně.

Geodetické sítě, o kterých hovoříme, využívají dvou různých typů měřených veličin. Často hovoříme o tzv. různorodých veličinách. Práce s různorodými veličinami vyžaduje zvýšenou pozornost volby apriorních přesností vstupních dat pro vyrovnání. Velmi důležitá je především volba poměru přesností jednotlivých typů veličin. Při navrhování technologií pro zaměření určité geodetické sítě a při následném ověřování dosažených přesností naměřených veličin je potřeba postupovat v několika krocích: • použít technologie měření srovnatelně přesné

V našem případě budeme vyžadovat, aby podélná chyba měření délkového byla při záměře průměrné délky v síti stejná jako chyba příčná vyplívající z měření úhlového.

Obr. 5-1

Zásada stejného vlivu

Technologie měření navrhneme tak, aby platil vztah 5.1. mψgrad mS ρ grad

(5.1)

∈ 0.4,2.5

- 51 (140) -


• ověřit apriorní přesnosti technologií měření na základě rozptylů měření před vlastním sestavením úlohy vyrovnání Postupy vedoucí k odhadu správného poměru přesnosti jednotlivých technologií do vyrovnání na základě přípravy dat pro vyrovnání byly poskytnuty v modulu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání. • testovat přesnost technologických postupů na základě výsledků prvního vyrovnání sítě Postupy vedoucí k odhadu správného poměru přesnosti jednotlivých technologií měření na základě výsledků vyrovnání byly poskytnuty v modulu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání.

Obr. 5-2

Geodetická síť s měřenými směry a délkami

Výše uvedený obrázek bude ukázkou jednoduché sítě se společnými měřenými směry a délkami.

5.1

Společné vyrovnání orientovaných osnov směrů a délek

Tato podkapitola bude věnována vyrovnání geodetické sítě tvořené orientovanými směry na známých a neznámých stanoviscích a měřenými délkami. Základní rovnice

Pro vyrovnání sítě s orientovanými směry a délkami použijeme následující observační rovnice:

• vnější orientovaný směr σ i , j = fσ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) = arctg


- 52 (140) -

(5.2)


• vnitřní orientovaný směr ψ i , j = fψ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j , Oi ) = arctg


(5.3)

− Oi

• měřená délka S i , j = f S ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) =

(Y

− Yi ) + (X j − X i ) 2

j

(5.4)

2

Původní zprostředkující rovnice pro sestavení úlohy vyrovnání nebudou dále převáděny na přetvořené rovnice oprav. Podrobné odvození najdete v kapitolách 3.1, 3.2 a 4.1. Modelová úloha

V dalším textu se pokusíme sestavit úlohu vyrovnání 2D sítě tvořené vnitřními a vnějšími orientovanými směry a délkami. Pro zjednodušení úlohy vyjdeme z konkrétní sítě dané obrázkem 5-2. Úlohu budeme řešit užitím MNČ a vyjdeme z observačních rovnic 5.2, 5.3 a 5.4. Body A, B, C, D a E budou konstantami pro vyrovnání. Bod 1 bude bodem o neznámých souřadnicích. Další neznámou bude orientační posun pro osnovu směrů měřenou na stanovisku 1. Varianty observačních rovnic

Geodetická síť je dána: • čtyřmi vnějšími orientovanými směry Do úlohy vyrovnání sítě však vstoupí pouze jeden orientovaný směr tj. směr měřený mezi daným a určovaným bodem. Ostatní směry jsou měřené mezi známými body a nemají tedy žádný vliv na řešení úlohy. σ A,1 = σ Amer ,1 + vσ A,1 = f σ , A,1 (Y1 , X 1 ) = arctg

Y1 − YA X1 − X A

(5.5)

• dvěma vnitřními orientovanými směry Do úlohy vyrovnání v tomto případě vstoupí všechny rovnice a to z důvodu měření veličin na bodě neznámém. YA XA Y = fψ ,1, E (Y1 , X 1 , O1 ) = arctg E XE

ψ 1, A = ψ 1mer , A + vψ 1, A = fψ ,1, A (Y1 , X 1 , O1 ) = arctg ψ 1,E = ψ 1mer , E + vψ 1, E

− Y1 − O1 − X1 − Y1 − O1 − X1

(5.6)

• šesti měřenými délkovými veličinami Do úlohy vyrovnání sítě vstoupí pouze tři měřené délky. Zbývající veličiny jsou měřeny pouze mezi danými body a na výsledek tedy nebudou mít žádný vliv. S A,1 = s Amer ,1 + v S A,1 = f S , A,1 (Y1 , X 1 ) = S1, A = s1mer , A + v S 1, A = f S ,1, A (Y1 , X 1 ) =

S1, E = s1mer , E + v S 1, E = f S ,1, E (Y1 , X 1 ) =

(Y1 − YA )2 + ( X 1 − X A )2 (YA − Y1 )2 + ( X A − X 1 )2 (YE − Y1 )2 + ( X E − X 1 )2

(5.7)

Uvažovaná úloha vyrovnání je tvořena třemi neznámými parametry a šesti observačními rovnicemi.

- 53 (140) -


Pro nalezení jednoznačného řešení aplikujeme základní podmínku metody nejmenších čtverců danou vztahem 5.9. mσ = konst mψ = konst mS = konst

(5.8)

∑ pσ vσ vσ + ∑ pψ vψ vψ + ∑ p v v

(5.9)

= min

S S S

Vektor nulového řešení volíme podle rovnice 5.10. H 0 = (Y0,1 , X 0,1 , O0,1 ) = (Y0,1 , X 0,1 ,0 ) T

(5.10)

T

Sestavení úlohy

Finální maticové sestavení úlohy bude mít tvar rovnice 5.11 a rovnice 5.12.  cos σ Asour ,1 + sour s A,1 vσ A,1     cos σ 1sour  ,A vψ 1, A  − sour s1, A vψ    1, E  =  cos σ 1sour ,E  v S A,1  − s1sour ,E v    S 1, A   + sin σ Asour ,1  v S 1, E   sour  − sin σ 1, A  − sin σ sour 1, E 

− + +

sin σ Asour ,1 sour A,1 sour 1, A sour 1, A sour 1, E sour 1, E sour A,1 sour 1, A sour 1, E

s sin σ

s sin σ

s + cos σ − cos σ − cos σ

 0  σ Asour ,1   sour σ 1, A − 1    dY1  σ sour   dY1  +  1, E sour  − 1   s A,1  dO1   sour s ,A  1sour 0   s1, E 0 0 

 − σ Amer ,1 mer  − ψ 1, A   − ψ 1mer ,E mer  − s A,1   − s1mer ,A  mer − s1, E 

(5.11)

Zvolíme-li mσ = konst , mψ = konst a mS = konst , pak matice vah P bude diagonální ve tvaru rovnice 5.12.  m02.apri diag (P ) =   m2  σ

m02.apri 2

mψ

m02.apri 2

mψ

m02.apri m

m02.apri

2 S

m

2 S

m02.apri   mS2 

(5.12)

Shrnutí

Úlohu dále řešíme užitím MNČ s interpretací výsledků stejnou jako v předchozích uváděných úlohách.

5.2

Společné vyrovnání neorientovaných osnov směrů a délek

Tato podkapitola bude věnována vyrovnání geodetické sítě tvořené neorientovanými směry a měřenými délkami. Základní rovnice

Pro vyrovnání sítě s neorientovanými směry použijeme následující dvě observační rovnice:

• neorientovaný směr ϕ i , j = fϕ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j , Oi ) = arctg


− Oi

- 54 (140) -

(5.13)


• měřená délka S i , j = f S ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) =

(Y

− Yi ) + (X j − X i ) 2

j

(5.14)

2

Původní zprostředkující rovnice pro sestavení úlohy vyrovnání nebudou dále převáděny na přetvořené rovnice oprav. Podrobné odvození najdete v kapitolách 3.4 a 4.1. Modelová úloha

V dalším textu se pokusíme sestavit úlohu vyrovnání 2D sítě tvořené neorientovanými směry a délkami. Pro zjednodušení úlohy vyjdeme z konkrétní sítě dané obrázkem 5-2. Úlohu budeme řešit užitím MNČ a vyjdeme z observačních rovnic 5.13 a 5.14. Body A, B, C, D a E budou konstantami pro vyrovnání. Bod 1 bude bodem o neznámých souřadnicích. Dalšími neznámými parametry budou orientační posuny na stanoviscích A a 1. Varianty observačních rovnic

Geodetická síť je dána: • šesti neorientovanými směry Do úlohy vyrovnání sítě tentokrát vstoupí observační rovnice pro všechny měřené směry. YD − YA − OA XD − XA YC − YA ϕ A,C = ϕ Amer − OA ,C + vϕ A,C = f ϕ , A,C (O A ) = arctg XC − X A YB − YA ϕ A,B = ϕ Amer − OA , B + vϕ A, B = f ϕ , A, B (O A ) = arctg XB − XA Y1 − YA ϕ A,1 = ϕ Amer − OA ,1 + vϕ A,1 = f ϕ , A,1 (Y1 , X 1 , O A ) = arctg X1 − X A YA − Y1 ϕ 1, A = ϕ1mer − O1 , A + vϕ 1, A = f ϕ ,1, A (Y1 , X 1 , O1 ) = arctg X A − X1 YE − Y1 ϕ 1,E = ϕ1mer − O1 , E + vϕ 1, E = f ϕ ,1, E (Y1 , X 1 , O1 ) = arctg X E − X1

ϕ A,D = ϕ Amer , D + vϕ A, D = f ϕ , A, D (O A ) = arctg

(5.15)

• šesti měřenými délkovými veličinami Do úlohy vyrovnání opět vstoupí jen tři měřené délky. Zbývající veličiny jsou měřeny mezi danými body a na výsledek nebudou mít žádný vliv. S A,1 = s Amer ,1 + v S A,1 = f S , A,1 (Y1 , X 1 ) = S1, A = s1mer , A + v S 1, A = f S ,1, A (Y1 , X 1 ) =

S1, E = s1mer , E + v S 1, E = f S ,1, E (Y1 , X 1 ) =

(Y1 − YA )2 + ( X 1 − X A )2 (YA − Y1 )2 + ( X A − X 1 )2 (YE − Y1 )2 + ( X E − X 1 )2

(5.16)

Uvažovaná úloha vyrovnání je tvořena čtyřmi neznámými parametry a devíti observačními rovnicemi. Pro nalezení jednoznačného řešení aplikujeme základní podmínku metody nejmenších čtverců danou vztahem 5.18. mϕ = konst mS = konst

(5.17)

∑ pϕ vϕ vϕ + ∑ p v v

(5.18)

S S

S

= min

- 55 (140) -


Vektor nulového řešení volíme podle rovnice 5.19. H 0 = (Y0,1 , X 0,1 , O0, A , O0,1 ) = (Y0,1 , X 0,1 ,0,0 ) T

(5.19)

T

Sestavení úlohy

Finální maticové sestavení úlohy bude mít tvar rovnice 5.20 a rovnice 5.21. 0   0 vϕ A, D      0 vϕ A,C   cos σ sour A,1 v  +  ϕ A, B   s Asour ,1  vϕ A,1   cos σ sour 1, A   −  vϕ 1, A  =  s1sour ,A  vϕ   sour  1, E  − cos σ 1,E  vS A,1   s1sour ,E v   sour  S 1, A   + sin σ A,1  vS 1, E   − sin σ 1sour ,A  − sin σ sour 1, E 

− + +

0 0 0 sin σ Asour ,1 s Asour ,1 sin σ 1sour ,A s1sour ,A sin σ 1sour ,E

s1sour ,E + cos σ Asour ,1 − cos σ 1sour ,A − cos σ 1sour ,E

−1 −1 −1

  σ Asour  ,D  sour  σ  A,C  σ Asour −1 0  ,B   dY1   sour σ   dX   A,1 0 − 1  1  + σ sour ,A  dO A   1sour σ   1,E  0 − 1  dO1   s sour  A,1   s1sour ,A 0 0  sour  s 0 0  1,E  0 0 0 0 0

 − ϕ Amer ,D mer  − ϕ A,C   − ϕ Amer ,B mer  − ϕ A,1   − ϕ1mer ,A  mer − ϕ1,E   − s Amer ,1  − s1mer ,A   − s1mer ,E 

(5.20)

Zvolíme-li mϕ = konst a mS = konst , pak matice vah P bude diagonální ve tvaru rovnice 5.21.  m02.apri diag (P ) =   m2  ϕ

m02.apri 2

mϕ

m02.apri 2

mϕ

m02.apri 2

mϕ

m02.apri 2

mϕ

m02.apri 2

mϕ

m02.apri m

2 S

m02.apri m

2 S

m02.apri   mS2 

(5.21)

Shrnutí

Úlohu dále řešíme užitím MNČ s interpretací výsledků stejnou jako v předchozích uváděných úlohách.

- 56 (140) -


5.3

Shrnutí


Proveďte vyrovnání sítě s orientovanými osnovami směrů a délkovými veličinami. 2090 [Y = 592751.680m, X = 1141928.240m] 2120 [Y = 592478.600m, X = 1143019.860m] 2040 [Y = 593427.420m, X = 1142807.460m] 2110 [Y = 593987.890m, X = 1142743.110m] 4001 [Y0 = 593126.000m, X 0 = 1142474.270m] 4002 [Y0 = 593596.130m, X 0 = 1142426.050m] mer  s4001  661.982m  , 2090  mer     s4001, 2040   449.321m  mer  s4001  472.605m  , 4002  mer =   s2040, 4002  417.060m  s mer  449.319m , 4001  2040    mer  s2110, 4002   504.011m  mer ψ 4001   238.2521g  , 2090  mer   g ψ 4001, 2120  344.5764  mer g ψ 4001, 2040   46.8154   mer   g ψ 4001, 4002  = 106.5049  σ mer  256.6844 g  , 4002  2110    mer σ 2040, 4002  173.4912 g  σ mer   g  2040, 4001  246.8199 

Pozn.: Přesnost měřených délek je mS = 2mm + 2 ppm Pozn.: Přesnost směrů v orientovaných osnovách směrů byla odhadnuta na mψ 4001, j = 11cc pro j ∈ {2090,2120,2040,4002} , mσ 2040, j = 9cc pro j ∈ {4001,4002} a mσ 2110 , j = 12 cc pro j ∈ {4002}

Příklad 5-2

Porovnejte výsledky příkladu 5-1 vypočtené v iteraci 1 a iteraci 2. Pozn.: Prezentujte číselně a graficky. Pozn.: Analyzujte další možné příčiny deformace sítě.

- 57 (140) -


Řešení

Řešení příkladu 5-1 – vyrovnání sítě s měřenými délkami a orientovanými směry

A. Sestavení úlohy vyrovnání – Iterace 1 σ i , j = σ imer , j + vσ i , j = f σ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) = arctg


ψ i , j = ψ imer , j + vψ i , j = fψ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j , Oi ) = arctg S i , j = simer , j + v S i , j = f S ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) = mS i , j =

(Y


− Yi ) + (X j − X i ) 2

j

− Oi 2

a[mm] b[ ppm ] sour si , j + 1000 1000000

m0.apri = 1.000000 mψ 4001, j = 11cc

,

mσ 2110, j = 12 cc

,

mψ 2040, j = 9 cc , mS = 2mm ± 2 ppm

Y0, 4001 = 593126.000m

X 0, 4001 = 1142474.270m O0, 4001 = 0.0000 g

Y0, 4002 = 593596.130m

X 0, 4002 = 1142426.050m

 v S 4001 , 2090   5.654E - 01     v S 4001 , 2040   - 6.709E - 01   - 9.948E - 01 v  S 4001 , 4002   0  v S 2040 , 4002     v 6.709E - 01 S 2040 , 4001     v S 2110 , 4002   0  =  1.246E - 03 v  ψ 4001 , 2090    v ψ 4001 , 2120   - 7.612E - 04   - 1.651E - 03   v ψ 4001 , 2040     2.159E - 04  vψ  4001 , 4002   0 v  σ 2110 , 4002     v 0  σ 2040 , 4002   1.651E - 03  vσ 2040 , 4001  

8.248E - 01 - 7.416E - 01 1.020E - 01 0 - 7.416E - 01 0 - 8.541E - 04 - 9.032E - 04 1.493E - 03 2.105E - 03 0 0 1.493E - 03

0 0 9.948E - 01 4.045E - 01 0 - 7.773E - 01 0 0 0 - 2.159E - 04 - 1.248E - 03 - 2.193E - 03 0

0 0 - 1.020E - 01 - 9.145E - 01 0 - 6.291E - 01 0 0 0 - 2.105E - 03 1.542E - 03 - 9.700E - 04 0

 + 0.033m  0   + 0.022m  0     - 0.009m  0     0   - 0.003m  0   dY 4001   - 0.020m      0   dX 4001   - 0.024m  − 1  dY 4002  +  + 0.0055 g     − 1  dX 4002   + 0.0038 g    − 1  dO 4001   + 0.0002 g     − 1  + 0.0020 g   g 0  + 0.0000   0  - 0.0038 g   g  0   - 0.0043 

B. Základní údaje o provedeném vyrovnání – Iterace 1 n = 13

, k = 5 , n − k = 8 , m0.apost = 1.682063

m0.apost = 1.68 , m0.S .apost = 2.12 , m0.ψ .apost = 1.18

, nS = 3.7 , nψ = 4.3

C. Úprava technologie měření – Iterace 1 • testování středních jednotkových chyb jednotlivých technologií měření

Test T1 : hypotézy H 0 : σ x2 = σ y2 proti hypotéze H : σ x2 ≠ σ y2 kde σ x > σ y a α = 0 .1 σ x = m0.S .apost = 2.12 , n x − k x = nS − k S = 3.7 σ y = m0.ψ .apost = 1.18 , n y − k y = nψ − kψ = 4.3

- 58 (140) -


F=

S x2 2.12 2 = = 3.23 S y2 1.18 2

  α  W1 = r , r > F 1 − , n x − k x , n y − k y  2    W1 = {r , r > F (1 − 0.05,3.7,4.3)}

W1 = (6.39,+∞ ) F ∉ W1

Pozn.: Zvoleným statistickým testem se nepodařilo zamítnout nulovou hypotézu H 0 . Pozn.: Nulovou hypotézu jsme nezamítli především z důvodu nízké spolehlivosti středních jednotkových chyb m0.S .apost a m0.ψ .apost vypočtených z malého počtu nadbytečných měření. Z nespolehlivých hodnot ve své podstatě nemůžeme provést žádný závěr. Pozn.: Z výukových důvodů budeme předpokládat, že střední jednotkové chyby m0.s.apost a m0.ψ .apost byly vypočteny z většího výběrového souboru. • testování středních jednotkových chyb jednotlivých technologií měření

Test T1 : hypotézy H 0 : σ x2 = σ y2 proti hypotéze H : σ x2 ≠ σ y2 kde σ x > σ y a α = 0 .1 σ x = m0.S .apost = 2.12 , n x − k x = nS − k S = 9.25 , σ y = m0.ψ .apost = 1.18 , n y − k y = nψ − kψ = 10.75 F=

S x2 2.12 2 = = 3.23 S y2 1.18 2

  α  W1 = r , r > F 1 − , n x − k x , n y − k y  2    W1 = {r , r > F (1 − 0.05,9.25,10.75)}

W1 = (2.98,+∞ )

F ∈ W1

Pozn.: Zamítáme nulovou hypotézu H 0 a přijímáme alternativní hypotézu H s rizikem omylu maximálně 100 α procent. • návrh nové přesnosti technologie měření k1 =

m0.apost m0.apri

= 1.68 , k 2 =

m0.S .apost m0.ψ .apost

= 1.80

(

m SNEW = k1 mSOLD = 3.36mm ± 3.36 ppm , mψNEW = k1 mψOLD = mψ , 4001,i = 18 cc

(

m SNEW = k 2 mSOLD = 3.60mm ± 3.60 ppm , mψNEW = mψOLD = mψ , 4001,i = 11cc

(

mσ , 2110,i = 20 cc mσ , 2110,i = 12 cc

mSNEW = mSOLD = 2.00mm ± 2.00 ppm , mψNEW = (1 k 2 )mψOLD = mψ , 4001,i = 6 cc

mσ , 2110,i = 7 cc

mσ , 2040,i = 15 cc mσ , 2040,i = 9 cc

)

)

mσ , 2040,i = 8 cc

)

Pozn.: Pro další výpočty zvolíme následující předpoklady o přesnosti technologií měření mS = 3.60mm ± 3.60 ppm mψ , 4001,i = 11cc , mσ , 2110,i = 12cc a mσ , 2040,i = 9cc - 59 (140) -


D. Vektor vyrovnaných měř. veličin, středních chyb a oprav – Iterace 1  S 4001, 2090  661.994m       S 4001, 2040  449.323m  S 4001, 4002  472.607m =    S 2040, 4002  417.060m  449.323m S  2040, 4001     S 2110, 4002  504.013m 

,

ψ 4001, 2090   238.2515 g     g ψ 4001, 2120  344.5782    46.8148 g  ψ  4001, 2040   g ψ 4001, 4002  = 106.5042   256.6850 g   σ 2110, 4002    σ 2040, 4002  173.4913 g     g σ 2040, 4001  246.8186 

Pozn.:

L = [L S

 m S 4001, 2090  3mm       m S 4001, 2040  3mm  m  4mm  S 4001, 4002  =   m S 2040, 4002  4mm m  3mm   S 2040, 4001    m S 2110, 4002  4mm   mψ 4001, 2090  12 cc  m   cc   ψ 4001, 2120  10  mψ  11cc   4001, 2040   cc  mψ 4001, 4002  = 11   mσ   5cc   2110, 4002   cc   mσ 2040, 4002   6  m   cc   σ 2040, 4001   8 

,

,

,

v S 4001, 2090  + 12mm     v S 4001, 2040   + 2mm  v   + 2mm   S 4001, 4002  =   v S 2040, 4002   + 0mm  v   + 4mm   S 2040, 4001    v S 2110, 4002   + 2mm     vψ 4001, 2090   − 6 cc    v cc   ψ 4001, 2120  + 15   vψ 4001, 2040   − 6 cc     cc   vψ 4001, 4002  =  − 7   vσ 2110, 4002   + 6 cc    cc    vσ 2040, 4002   + 1    v cc   σ 2040, 4001   − 13 

Lψ ]

T

E. Histogram reziduí – Iterace 1

Pozn.: Vlevo je graf reziduí pro délkové veličiny a vpravo graf reziduí pro orientované směry. F. Vyrovnané neznámé veličiny a jejich přesnost – Iterace 1  Y4001   593125.968m   X  1142474.266m   4001  =    Y4002   593596.108m       X 4002  1142426.037m 

,

 mY 4001  4mm    m   X 4001  = 4mm   mY 4002  4mm      m X 4002  4mm 

[O4001 ] = [0.0037 g ] , [mO 4001 ] = [10 cc ] Pozn.:

H = [H YX

HO]

T

- 60 (140) -


G. Kovarianční matice bodů a parametry elips chyb – Iterace 1 c cov(H 4001 ) =  yy c xy

mmax = 0.006m

, mmin = 0.003m , σ

c cov(H 4002 ) =  yy c xy

mmax = 0.004m

c xy   2.01E - 05 - 1.20E - 05 = c xx  - 1.20E - 05 1.96E - 05  = 149.28g

c xy   1.79E - 05 - 1.32E - 06 = c xx  - 1.32E - 06 1.68E - 05 

, mmin = 0.004m , σ

= 137.01g

H. Přehled bodového pole – Iterace 1

I. Sestavení úlohy vyrovnání – Iterace 2 σ i , j = σ imer , j + vσ i , j = f σ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) = arctg


ψ i , j = ψ imer , j + vψ i , j = fψ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j , Oi ) = arctg S i , j = simer , j + v S i , j = f S ,i , j (Yi , X i , Y j , X j ) = mS i , j =

(Y


− Oi

− Yi ) + (X j − X i ) 2

j

2

a[mm] b[ ppm ] sour + si , j 1000 1000000

m0.apri = 1.000000 mψ 4001,i = 11cc

,

mσ 2110,i = 12 cc

,

mψ 2040,i = 9 cc

,

m S = 3.6mm ± 3.6 ppm

Y0, 4001 = 593126.000m

X 0, 4001 = 1142474.270m O0, 4001 = 0.0000 g

Y0, 4002 = 593596.130m

X 0, 4002 = 1142426.050m

- 61 (140) -


 v S 4001 , 2090   5.654E - 01     v S 4001 , 2040   - 6.709E - 01   - 9.948E - 01 v  S 4001 , 4002   v 0  S 2040 , 4002     v 6.709E - 01 S 2040 , 4001     v S 2110 , 4002   0  =  1.246E - 03 v  ψ 4001 , 2090    v ψ 4001 , 2120   - 7.612E - 04   - 1.651E - 03   v ψ 4001 , 2040     2.159E - 04  vψ  4001 , 4002   0 v  σ 2110 , 4002     v 0  σ 2040 , 4002   1.651E - 03  vσ 2040 , 4001  

8.248E - 01 - 7.416E - 01 1.020E - 01 0 - 7.416E - 01 0 - 8.541E - 04 - 9.032E - 04 1.493E - 03 2.105E - 03 0 0 1.493E - 03

0 0 9.948E - 01 4.045E - 01 0 - 7.773E - 01 0 0 0 - 2.159E - 04 - 1.248E - 03 - 2.193E - 03 0

0 0 - 1.020E - 01 - 9.145E - 01 0 - 6.291E - 01 0 0 0 - 2.105E - 03 1.542E - 03 - 9.700E - 04 0

 + 0.033m  0   + 0.022m  0     - 0.009m  0     0   - 0.003m  0   dY 4001   - 0.020m      0   dX 4001   - 0.024m  − 1  dY 4002  +  + 0.0055 g     − 1  dX 4002   + 0.0038 g    − 1  dO 4001   + 0.0002 g     − 1  + 0.0020 g   g 0  + 0.0000   g 0  - 0.0038   g  0   - 0.0043 

Pozn.: Síť bude vyrovnána na základě nových předpokladů o přesnosti technologií měření. J. Základní údaje o provedeném vyrovnání – Iterace 2 n = 13

, k = 5 , n − k = 8 , m0.apost = 1.682063

m0.apost = 1.14 , m0.s.apost = 1.28 , m0.ψ .apost = 1.01

, nS − k S = 3.7 , nψ − kψ = 4.3

K. Úprava technologie měření – Iterace 2 • testovaní středních jednotkových chyb jednotlivých technologií měření

Pozn.: Z výukových důvodů budeme předpokládat, že střední jednotkové chyby m0.s.apost a m0.ψ .apost byly vypočteny z většího výběrového souboru. • testovaní středních jednotkových chyb jednotlivých technologií měření

Test T1 : hypotézy H 0 : σ x2 = σ y2 proti hypotéze H : σ x2 ≠ σ y2 kde σ x > σ y a α = 0 .1 σ x = m0.S .apost = 1.28 , n x − k x = nS − k S = 9.25 , σ y = m0.ψ .apost = 1.01 , n y − k y = nψ − kψ = 10.75 F=

S x2.0 1.28 2 = = 1.61 S y2.0 1.012

  α  W1 = r , r > F 1 − , n x − k x , n y − k y   2   W1 = {r , r > F (1 − 0.05,9.25,10.75)}

W1 = (2.98,+∞ )

F ∉ W1

Pozn.: Zvoleným statistickým testem se nepodařilo zamítnout nulovou hypotézu H 0 . Pozn.: Poměr přesností technologií měření pro vyrovnání je zvolen správně.

- 62 (140) -


• test celkové střední jednotkové chyby

Test T3 : hypotézy H 0 : σ 2 = σ 02 proti hypotéze H : σ 2 ≠ σ 02 σ 0 = m0.apri = 1 , σ = m0.apost = S = 1.14 , η = 0 , n = 13 , k = 5 , α = 0.05 R=

(n − k )S 2 σ

=

2 0

(13 − 5)1.14 2

= 10.40

12

{ = {r , r < χ (8,0.025) ∪ r > χ (8,0.975)}

}

W3 = r , r < χ 2 (n − 1,α 2 ) ∪ r > χ 2 (n − 1,1 − α 2) W3

2

2

W3 = (− ∞,2.18) ∪ (17.54,+∞ )

R ∉ W3 Pozn.: Zvoleným statistickým testem se nepodařilo zamítnout nulovou hypotézu H 0 . Pozn.: Apriorní přesnost technologie měření pro vyrovnání je zvolena správně. • návrh nové přesnosti technologie měření k1 =

m0.apost m0.aprior

= 1.14 , k 2 =

m0.s.apost m0.ψ .apost

= 1.27

(

m SNEW = k1 m SOLD = 4.10mm ± 4.01 ppm , mψNEW = k1 mψOLD = mψ , 4001,i = 13 cc

m

NEW S

= k2 m

OLD S

= 4.57mm ± 4.57 ppm , mψ

NEW

= mψ

OLD

(

= mψ , 4001,i = 11

cc

(

mSNEW = mSOLD = 3.60mm ± 3.60 ppm , mψNEW = (1 k 2 )mψOLD = mψ , 4001,i = 9 cc

mσ , 2110 ,i = 14 cc

mσ , 2110,i = 12

cc

mσ , 2110,i = 9 cc

mσ , 2040,i = 10 cc

mσ , 2040,i = 9

cc

mσ , 2040,i = 7 cc

Pozn.: Návrh přesností technologií měření pro třetí iteraci výpočtu. L. Vektor vyrovnaných měř. veličin, středních chyb a oprav – Iterace 2  S 4001, 2090  661.995      S 4001, 2040  449.322  S 4001, 4002   472.608 =    S 2040, 4002  417.060  449.322 S  2040, 4001     S 2110, 4002  504.013

,

ψ 4001, 2090   238.2511g     g ψ 4001, 2120  344.5780    46.8151g  ψ  4001, 2040   g ψ 4001, 4002  = 106.5045   256.6849 g   σ 2110, 4002    σ 2040, 4002  173.4914 g     g σ 2040, 4001  246.8190 

Pozn.:

L = [L S

 m S 4001, 2090  3mm       m S 4001, 2040  3mm   5mm  m  S 4001, 4002  =   m S 2040, 4002  5mm   3mm  m  S 2040, 4001    m S 2110, 4002  4mm  

,

,

mψ 4001, 2090  8cc    cc  m  ψ 4001, 2120  7   8cc  mψ  4001, 2040   cc  mψ 4001, 4002  = 8   6 cc   mσ  2110 , 4002   cc   mσ 2040 , 4002  6    cc  m  σ 2040 , 4001  6 

v S 4001, 2090  + 13mm     v S 4001, 2040   + 1mm    + 3mm  v  S 4001, 4002  =   v S 2040, 4002   + 0mm    + 3mm  v  S 2040, 4001    v S 2110, 4002   + 2mm   

,

 vψ 4001, 2090   − 10 cc    v cc   ψ 4001, 2120  + 16   vψ 4001, 2040   − 3cc     cc   vψ 4001, 4002  =  − 4   vσ 2110, 4002   + 5 cc      cc  vσ 2040, 4002   + 2    v cc   σ 2040, 4001   − 9 

Lψ ]

T

- 63 (140) -

)

)

)


M. Histogram reziduí – Iterace 2

Pozn.: Vlevo je graf reziduí pro délkové veličiny a vpravo graf reziduí pro orientované směry. Pozn.: Po úpravě technologie měření výrazně vystoupla normovaná hodnota jedné veličiny (graf reziduí délkových veličin). Tuto veličinu je pravděpodobně potřeba vyloučit ze souboru měření, provést nové vyrovnání sítě a znovu analyzovat apriorní přesnosti technologických postupů měření. N. Vyrovnané neznámé veličiny a jejich přesnost – Iterace 2  Y4001   593125.967m   X  1142474.269m  4001  =    Y4002   593596.107m       X 4002  1142426.037m

,

 mY 4001  4mm    m   X 4001  = 4mm   mY 4002  4mm      m X 4002  4mm 

[O4001 ] = [0.0039 g ] , [mO 4001 ] = [7 cc ] Pozn.:

H = [H YX

HO]

T

O. Kovarianční matice bodů a parametry elips chyb – Iterace 2 c cov(H 4001 ) =  yy c xy

mmax = 0.005m

, mmin = 0.003m , σ

c cov(H 4002 ) =  yy c xy

mmax = 0.005m

c xy   1.56E - 05 - 4.77E - 06 = c xx  - 4.77E - 06 1.55E - 05  = 149.51g

c xy   1.71E - 05 - 1.77E - 06 = c xx  - 1.77E - 06 1.98E - 05 

, mmin = 0.004m , σ

= 170.57 g

- 64 (140) -


P. Přehled bodového pole – Iterace 2

Řešení příkladu 5-2 – porovnání výsledku z příkladu 4-1 tj. iterace 1 a iterace 2. A.

Číselné porovnání

 Y4001   593125.968m  X  1142474.266m  4001   =  Y4002   593596.108m       X 4002  ITERACE.1 1142426.037m

B.

,

 Y4001   593125.967m  X  1142474.269m   4001   =  Y4002   593596.107m       X 4002  ITERACE .2 1142426.037m 

,

 vY .4001   − 1mm  v     X .4001  =  + 3mm   vY .4002   − 1mm      v X .4002  + 0mm

Grafické porovnání

Pozn.: Z obrázku je patrná deformace sítě vyplývající ze špatné volby poměru apriorních středních chyb různorodých technologií měření.

- 65 (140) -


Kontrolní otázky

Jaký je rozdíl mezi společným vyrovnáním orientovaných směrů a délek a společným vyrovnáním neorientovaných směrů a délek ? Jak lze ověřit správnost apriorních předpokladů o přesnosti jednotlivých technologií měření ? Řešení


Následující kapitola je věnována principu vyrovnání horizontální složky družicových měření.

- 66 (140) -

Vyrovnání polohové složky družicových měření

6


V této kapitole je prezentován základní model vyrovnání horizontální složky družicových měření převedených na vhodnou výpočetní plochu. Základní informace o přípravě dat pro vyrovnání byly poskytnuty v modulu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání.

6.1

Vektorová síť

Měřené veličiny pro vyrovnání budou horizontální složky prostorových vektorů. V našem případě za referenční plochu zvolíme rovinu Křovákova kartografického zobrazení tj. systému S-JTSK. ∆y mer  mer ,j l i , j =  imer   ∆xi , j 

( )

 ci ,i cov l i , j =  c j ,i

(6.1) ci , j  c j , j 

(6.2)

Výsledkem zpracování družicových měření je 3D vektor udávající vztah dvou bodů v prostorovém systému – obvykle WGS-84. Uvažovaný vektor můžeme rozložit na horizontální a vertikální složku. Horizontální složku i s odpovídající kovarianční maticí převedeme do zvoleného kartografického zobrazení, kde sestavíme úlohu a provedeme vyrovnání družicové sítě.

( )

mer

Kovarianční matici cov l i , j měřeného 2D vektoru l i , j můžeme odvodit:

• z údajů o použité družicové technologii měření Přesnost družicových měření se udává obdobně jako u délek měřených elektrooptickými dálkoměry. m∆Y i , j = a∆S [mm] ± b∆S [ ppm]

(6.3)

m∆X i , j = a∆S [mm] ± b∆S [ ppm]

Symbol ∆S přestavuje délku vektoru. • z výsledků post-procesního zpracování družicových dat • z dvojího měření stejných vektorů • z uzávěrů obrazců tvořených družicovými vektory Základní rovnice

Observační rovnice pro sestavení úlohy vyrovnání bude mít tvar daný vztahem 6.4. ∆Yi , j = f ∆y ,i , j (Yi , Y j ) = Y j − Yi

(6.4)

∆X i , j = f ∆x ,i , j (X i , X j ) = X j − X i

Symboly Y j , Yi , X j a X i představují souřadnice koncových bodů 2D vektoru.

- 67 (140) -


Vztah 6.4 je nejobecnější podobou observačních rovnic pro 2D měřený vektor. Vztah 6.5 udává bod rozvoje pro linearizace observačních rovnic 6.4. H 0 = (Y0,i , X 0,i , Y0, j , X 0, j )

(6.5)

T

Výsledná podoba rovnic 6.4 je dána vztahem 6.7. f 0,∆y ,i , j = f ∆y ,i , j (Y0,i , X 0,i , Y0, j , X 0, j )

(6.6)

∆Yi , j = ∆yimer , j + v ∆y i , j = f 0 ,∆y ,i , j + 1dY j − 1dYi

(6.7)

f 0,∆x ,i , j = f ∆x ,i , j (Y0,i , X 0,i , Y0, j , X 0, j )

∆X i , j = ∆ximer , j + v ∆x i , j = f 0 ,∆x ,i , j + 1dX j − 1dX i

Modelová úloha

V dalším textu se pokusíme sestavit úlohu vyrovnání 2D družicové sítě. Pro zjednodušení úlohy vyjdeme z konkrétní sítě dané obrázkem 6-1. Úlohu budeme řešit užitím MNČ a vyjdeme z observačních rovnic 6.4. Každému měřenému vektoru přiřadíme úplnou kovarianční matici. Body A a B budou konstantami pro vyrovnání. Body 1 a 2 budou body o neznámých souřadnicích.

Obr. 6-1

2D vektorová síť

Uvažovaná úloha vyrovnání je tvořena čtyřmi neznámými parametry – souřadnice Y1 , X 1 , Y2 a X 2 a deseti observačními rovnicemi – ∆YA, B , ∆X A, B , ∆YA,1 , ∆X A,1 , ∆YB ,1 , ∆X B ,1 , ∆Y2, B , ∆X 2, B , ∆Y2,1 a ∆X 2,1 . Varianty observačních rovnic

Budeme-li řešit konkrétní 2D družicovou síť, získáme podle známých a neznámých souřadnic koncových bodů vektorů observační rovnice v několika variantách. Varianta A – příklad měřeného vektoru mezi dvěma neznámými body ∆Y2,1 = ∆y 2mer ,1 + v ∆y 2 ,1 = f ∆y , 2 ,1 (Y2 , Y1 ) = Y1 − Y2

∆X 2,1 = ∆x2mer ,1 + v ∆x 2 ,1 = f ∆x , 2 ,1 ( X 2 , X 1 ) = X 1 − X 2

- 68 (140) -

(6.8)


Varianta B – příklad měřeného vektoru ze známého bodu na neznámý ∆YA,1 = ∆y Amer ,1 + v ∆y A,1 = f ∆y , A,1 (Y1 ) = Y1 − Y A

(6.9)

∆X A,1 = ∆x Amer ,1 + v ∆x A,1 = f ∆x , A ,1 ( X 1 ) = X 1 − X A

Varianta C – příklad měřeného vektoru z neznámého bodu na známý ∆Y2,B = ∆y 2mer , B + v ∆y 2 , B = f ∆y , 2 , B (Y2 ) = YB − Y2

(6.10)

∆X 2,B = ∆x2mer , B + v∆x 2 , B = f ∆x , 2 , B ( X 2 ) = X B − X 2

Varianta D – příklad měřeného vektoru mezi známými body ∆YA,B = ∆y Amer , B + v∆y A, B = f ∆y , A, B ( ) = YB − YA

(6.11)

∆X A,B = ∆x Amer , B + v ∆x A , B = f ∆x , A , B ( ) = X B − X A

Obecné rovnice 6.12 pro sestavení geodetické sítě jsou ve svých parametrech lineární. O řešení úlohy užitím MNČ prohlásíme, že bude konvergovat k výsledku v jenom iteračním kroku pro každé počáteční řešení H 0 . ∆Yi , j = ∆yimer , j + v∆y i , j = f ∆y ,i , j (Y1 , X 1 , Y2 , X 2 ) = Y j − Yi

∆X i , j = ∆ximer , j + v∆x i , j = f ∆x ,i , j (Y1 , X 1 , Y2 , X 2 ) = X j − X i

m∆y = m∆x = konst

(6.12)

∑p

(6.13)

v v + ∑ p∆x v∆x v∆x = min

∆y ∆y ∆y

U uvažované úlohy zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 6.14. H 0 = (Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 )

(6.14)

T


H = H0 + dH

Sestavení úlohy

Úlohu vyrovnání sestavíme jen pro osm observačních rovnic.

Rovnice 6.8 až 6.11 linearizujeme rozvojem v řadu podle počátečního řešení

6.14. Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 6.17. f 0,∆y ,i , j = f ∆y ,i , j (Y0,1 , Y0, 2 )

(6.16)

f 0,∆x ,i , j = f ∆x ,i , j ( X 0,1 , X 0, 2 )

∆y2mer ,1 + v∆y 2 ,1 = f 0 ,∆y , 2 ,1 + 1dY1 − 1dY2 ∆x2mer ,1 + v∆x 2 ,1 = f 0 ,∆x , 2 ,1 + 1dX 1 − 1dX 2 mer ∆y A,1 + v∆y A,1 = f 0,∆y , A,1 + 1dY1

(6.17)

∆x Amer ,1 + v∆x A,1 = f 0 , ∆x , A,1 + 1dX 1 mer ∆y2,B + v∆y 2, B = f 0,∆y , 2,B − 1dY2 ∆x2mer , B + v∆x 2 , B = f 0 ,∆x , 2 , B − 1dX 2 ∆y Amer , B + v∆y A, B = f 0 ,∆y , A, B ∆x Amer , B + v∆x A, B = f 0 ,∆x , A, B

- 69 (140) -


Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 6.18 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy osmi lineárních rovnic o čtyřech neznámých parametrech. v∆y  1  2,1   v∆x 2,1  0   v y ∆  A,1  1 v∆x A,1  0 =  v∆y 2,B  0  0 v x ∆  2 ,B   v∆y A,B  0  0  v∆x A,B  

mer  ∆y2sour 0 −1 0  ,1 − ∆y2 ,1   sour mer  1 0 − 1 ∆x2,1 − ∆x2,1  mer  0 0 0   dY1  ∆y Asour ,1 − ∆y A,1   sour   1 0 0   dX 1  ∆x A,1 − ∆x Amer ,1  + mer  0 − 1 0   dY2  ∆y2sour , B − ∆y 2 , B     mer 0 0 − 1 dX 2  ∆x2sour , B − ∆x2 , B  ∆y sour − ∆y mer  0 0 0 A, B   A, B  mer ∆x Asour 0 0 0  x − ∆ A, B  ,B 

(6.18)

Kovarianční matice úlohy bude mít tvar – rovnice 6.19. 0 0 0  cov(l 2,1 )   0 cov(l A,1 ) 0 0   cov(l ) =   0 0 cov(l 2, B ) 0   0 0 cov(l A, B )  0

(6.19)

Symbol 0 představuje nulovou matici o rozměru 2 x 2. V tomto případě vyrovnáváme korelované veličiny. Matici P nahradíme mati−1 cí váhových koeficientů Q l −1

(6.20)

1 cov(l ) m02.apri

(6.21)

P = Ql Ql =

Sestavený systém rovnic rozšíříme podle obrázku 6-1 o zbývající rovnice a řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání s korelovanými veličinami. Výsledkem výpočtu bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. vyrovnané souřadnice neznámých bodů a jemu odpovídající kovarianční matice cov(H ) . Vektor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. vyrovnané měřené souřadnicové rozdíly, které budou opět doplněny odpovídající kovarianční maticí cov(L ) . Shrnutí

Problematika vyrovnání družicových sítí a stanovení apriorních předpokladů o přesnosti družicových dat bude podrobně probrána v předmětech kosmická geodézie a účelové geodetické sítě.

Následující podkapitola je věnována procvičení probrané látky.

- 70 (140) -


6.2

Shrnutí


Proveďte vyrovnání 2D vektorové sítě. 2110 [Y = 593987.890m, X = 1142743.110m] 2040 [Y = 593427.420m, X = 1142807.460m] 4002 [Y0 = 593596.130m, X 0 = 1142426.05m] ∆y 2110, 4002  - 391.795m  =   ∆x2110, 4002  - 317.059m ∆y2040, 4002  + 168.688m  =   ∆x2040, 4002   - 381.421m 

0.012 cov(H ∆y ,∆x ) =   0

0   0.012 

Pozn.: Měřené vektory mají stejnou přesnost a jednotlivé složky vektoru jsou vzájemně nezávislé. Řešení

Řešení příkladu 6-1 – vyrovnání vektorové sítě A. Sestavení úlohy vyrovnání ∆Yi , j = ∆yimer , j + v ∆y i , j = f ∆y ,i , j (Yi , Y j ) = Y j − Yi

∆X i , j = ∆ximer , j + v ∆x i , j = f ∆x ,i , j ( X i , X j ) = X j − X i

m0.apri = 1.000000 m∆y = m∆x = 10mm

Y0 , 4002 = 593596.130 m  v∆Y 2110, 4002  1 v    ∆X 2110, 4002  = 0  v∆Y 2040, 4002  1     v∆Y 2040, 4002  0

, X 0, 4002 = 1142426.05 0m

0 + 0.035m  1  dY4002   − 0.001m  + 0 dX 4002  + 0.022m    1  + 0.011m 

B. Základní údaje o provedeném vyrovnání m0.apost = 0.884590

, n = 4,

k=2

, n−k = 2

C. Návrh apriorní technologie měření na základě výsledků vyrovnání m0.apost = 0.884590 k1 =

m0.apost m0.apri

= 0.884590

- 71 (140) -


(m

NEW ∆y

m∆NEW x

)

T

(

= k1 m∆OLD y

m∆OLD x

)

T

=

(8.8mm

8.8mm )

T

D. Vektor vyrovnaných měřených veličin, středních chyb a oprav  ∆Y2110, 4002  - 391.788m   m∆Y 2110, 4002  6mm v∆y 2110, 4002  + 0.007              ∆X 2110, 4002  = - 317.065m  , m∆X 2110, 4002  = 6mm , v∆y 2110, 4002  =  - 0.006     6mm v  ∆Y2040, 4002   168.681m   m∆Y - 0.007  2040 , 4002 ∆y          2040, 4002      ∆X 2040, 4002  - 381.415m  m∆X 2040, 4002  6mm v∆y 2040, 4002   + 0.006

E. Graf reziduí

F. Vyrovnané neznámé parametry a jejich střední chyby  Y4002   593596.102 m  = X   4002  1142426.04 5m 

,

 mY 4002  6mm m =   X 4002  6mm

G. Kovarianční matice bodů sítě c cov(H 4002 ) =  yy c xy

mmax = 0.006m

c xy  3.91E - 05 0  = c xx   0 3.91E - 05

, mmin = 0.006m , σ

= 0g


- 72 (140) -


Kontrolní otázky

Jak vypadají základní observační rovnice pro vyrovnání vektorových sítí ? Jak vypadá charakteristika přesnosti měřeného vektoru ? Kdy bude přesnost technologie měření navržená na základě výsledků vyrovnání dostatečně spolehlivá ? Řešení


Následující kapitola je věnována vyrovnání výškových sítí.

- 73 (140) -


- 74 (140) -

Výškové geodetické sítě

7


V této kapitole budeme prezentovat vyrovnání 1D sítí. Principiálně budeme hovořit o vyrovnání sítí s nivelovanými převýšeními a o vyrovnání sítí tvořených převýšeními elipsoidickými. Základní informace o přípravě dat pro vyrovnání byly poskytnuty v modulu Geodetické sítě – Příprava dat pro vyrovnání.

7.1

Nivelovaná geodetická síť

Měřené veličiny pro vyrovnání budou nivelovaná převýšení mezi dvěmi body. ∆himer ,j

(7.1)

m ∆h i , j

(7.2)

je převedeno na převýšení systému Normálních MoMěřené převýšení ∆himer ,j loděnského výšek. Přesnost měřených převýšení m∆h i , j vychází ze střední kilometrové chyby m0 použité nivelační techniky. Střední kilometrová chyba nivelace udává přesnost nivelovaného převýšení pro body vzdálené 1 km při měření tam a zpět. m∆h i , j = m0 si , j kde si , j je vzdálenost koncových bodů pořadu v km

(7.3)

Střední jednotkovou chybu technologie měření při nivelaci můžeme získat: • z údajů o přesnosti zvolené technologie měření (TN, PN, VPN) • z rozptylů měření tam a zpět v nivelačních oddílech 1 1 n (∆hi ,TAM − ∆hi ,ZPET ) ∑ si 2 n i =1

2

m0 =

(7.4)

Symbol n udává počet měřených nivelačních oddílu a symbol si je délka i-tého nivelačního oddílu v km. Základní rovnice

Základní observační rovnice pro sestavení úlohy vyrovnání bude mít tvar daný vztahem 7.5. ∆ h i , j = f ∆h,i , j (h i , h j ) = h j − h i

(7.5)

Symboly hi a h j představují nadmořské výšky bodů nivelační sítě. Vztah 7.5 je nejobecnější podobou observačních rovnic pro nivelované převýšení. Vztah 7.6 udává bod rozvoje pro linearizace observační rovnice 7.5. H 0 = (h0,i , h0, j )

(7.6)

T

- 75 (140) -


Výsledná podoba rovnice 7.5 je dána vztahem 7.8. f 0,∆h ,i , j = f ∆h ,i , j (h0,i , h0, j )

(7.7)

∆ h i , j = ∆himer , j + v ∆h i , j = f 0 , ∆h ,i , j + 1dh j − 1dhi

(7.8)

Modelová úloha

V dalším textu se pokusíme sestavit úlohu vyrovnání nivelační sítě. Pro zjednodušení úlohy vyjdeme z konkrétní sítě dané obrázkem 7-1. Úlohu budeme řešit užitím MNČ a vyjdeme z observační rovnice 7.5. Budeme předpokládat, že měřená převýšení jsou stejně přesná. Body A, B, C a D budou konstanty pro vyrovnání a body 1, 2, 3 a 4 budou body o neznámých výškách.

Obr. 7-1

Nivelační síť

Uvažovaná úloha vyrovnání je tvořena čtyřmi neznámými parametry – nadmořské výšky h1 , h 2 , h3 a h 4 a osmi observačními rovnicemi – nivelovaná převýšení ∆ h1, B , ∆ h B , A , ∆ h1, 4 , ∆ h1, 2 , ∆ hC , 2 , ∆ h3, 2 , ∆ h D ,3 a ∆ h 4, D . Varianty observačních rovnic

Budeme-li řešit konkrétní nivelační síť, získáme podle známých a neznámých výšek bodů sítě observační rovnice v několika variantách.

Varianta A – příklad měřeného převýšení mezi dvěma neznámými body ∆ h1, 4 = ∆h1mer , 4 + v ∆h1, 4 = f ∆h ,1, 4 (h1 , h 4 ) = h 4 − h1

(7.9)

Varianta B – příklad měřeného převýšení ze známého bodu na neznámý ∆ h D ,3 = ∆hDmer , 3 + v ∆h D , 3 = f ∆h , D , 3 (h 3 ) = h 3 − h D

(7.10)

Varianta C – příklad měřeného převýšení z neznámého bodu na známý ∆ h1,B = ∆h1mer , B + v ∆h1, B = f ∆h ,1, B (h1 ) = h B − h1

(7.11)

Varianta D – příklad nivelovaného převýšení mezi známými body ∆ h B , A = ∆hBmer , A + v ∆h B , A = f ∆h , B , A ( ) = h A − h B

- 76 (140) -

(7.12)


Obecná rovnice 7.13 pro sestavení geodetické sítě je ve svých parametrech lineární. O řešení úlohy užitím MNČ prohlásíme, že bude konvergovat k výsledku v jenom iteračním kroku pro každé počáteční řešení H 0 . ∆ h i , j = ∆himer , j + v ∆h i , j = f ∆h ,i , j (h1 , h 2 , h 3 , h 4 ) = h i − h j

m∆h = konst

(7.13)

∑p

(7.14)

v v = min

∆h ∆h ∆h

U uvažované úlohy zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 7.15. H 0 = (h0,1 , h0, 2 , h0,3 , h0, 4 )

(7.15)

T


H = H0 +dH

Sestavené úlohy

Úlohu vyrovnání sestavíme pouze pro čtyři vybrané observační rovnice.

Rovnice 7.9 až 7.12 linearizujeme rozvojem v řadu podle počátečního řešení 7.16. Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 7.18. f 0,∆h ,i , j = f ∆h ,i , j (h0,1 , h0, 2 , h0,3 , h0, 4 )

(7.17)

∆h1mer , 4 + v∆h1, 4 = f 0 ,∆h ,1, 4 + 1dh4 − 1dh1 ∆hDmer , 3 + v∆h D , 3 = f 0 ,∆h , D , 3 + 1dh3 mer ∆h1,B + v∆h1, B = f 0,∆h ,1,B − 1dh1

(7.18)

∆hBmer , A + v ∆ h B , A = f 0 , ∆h , B , A

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 7.19 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých parametrech.  v∆h1, 4  − 1   v  ∆h D , 3  =  0  v∆h1, B  − 1    v∆h B , A   0

0 0 1  dh1  ∆h1sour ,4  0 1 0 dh2  ∆hDsour ,3 + 0 0 0  dh3  ∆h1sour ,B    0 0 0 dh4  ∆hBsour ,A

 − ∆h1mer ,4 mer  − ∆hD ,3   − ∆h1mer ,B mer  − ∆hB , A 

(7.19)

Zvolíme-li m0.apri = m∆h pak matice vah P je jednotková – rovnice 7.20. diag (P ) = (1,1,1,1)

(7.20)

Sestavený systém rovnic rozšíříme podle obrázku 7-1 o zbývající veličiny a řešíme jej jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání. Výsledkem výpočtu bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. vyrovnané výšky neznámých bodů a jemu odpovídající kovarianční matice cov(H ) . Vektor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. vyrovnaná měřená převýšení, které budou opět doplněny odpovídající kovarianční maticí cov(L ) .

- 77 (140) -


Shrnutí

Následující podkapitola přináší stručnou informaci k vyrovnání elipsoidických převýšení.

7.2

Síť tvořená elipsoidickými převýšeními

Měřené veličiny pro vyrovnání budou elipsoidická převýšení. ∆H imer ,j

(7.21)

m ∆H i , j

(7.22)

Výsledkem zpracování družicových měření je 3D vektor udávající vztah dvou bodů v prostorovém systému – obvykle WGS-84. Uvažovaný vektor můžeme rozložit na horizontální a vertikální složku. Za vertikální složku můžeme uvažovat elipsoidické převýšení definované k zvolenému referenčnímu elipsoidu. Střední chybu elipsoidických převýšení můžeme odvodit:

• z údajů o použité družicové technologii měření Přesnost družicových měření se udává obdobně jako u měřených délek. m∆H i , j = a∆H [mm ] ± b∆H [ ppm ]

(7.23)

• z výsledků post-procesního zpracování družicových dat • z dvojího měření stejných vektorů • z uzávěrů obrazců tvořených družicovými vektory Základní rovnice

Základní observační rovnice pro sestavení úlohy vyrovnání bude mít tvar daný vztahem 7.24. d H i , j = f ∆H ,i , j (H i , H j ) = H j − H i

(7.24)

Symboly H i a H j představují elipsoidické výšky bodů tj. vertikální složku prostorové sítě. Vztah 7.24 je nejobecnější podobou observačních rovnic pro elipsoidické převýšení. Vztah 7.25 udává bod rozvoje pro linearizace observační rovnice 7.24. H 0 = (H 0,i , H 0, j )

(7.25)

T

Výsledná podoba rovnice 7.24 je dána vztahem 7.27. f 0,∆H ,i , j = f ∆H ,i , j (H 0,i , H 0, j )

(7.26)

∆ H i , j = ∆H imer , j + v∆H i , j = f 0,∆H ,i , j + 1dH j − 1dH i

(7.27)

- 78 (140) -


Shrnutí

Řešení vertikální sítě tvořené elipsoidickými převýšeními užitím MNČ bude identické s řešením sítí nivelačních. Model úlohy vyrovnání na základě výše uvedeného nebude dále rozepisován. Problematika vyrovnání družicových sítí a stanovování apriorních předpokladů o přesnosti družicových dat bude podrobně probrána v předmětech kosmická geodézie a účelové geodetické sítě.

7.3

Shrnutí


Proveďte vyrovnání sítě s nivelovanými převýšeními. Kj2 - 24.0 [ H = 283.915m] Kj4 - 02.1 [ H = 281.243m] 2110 [ H 0 = 317.61m] 2040 [ H 0 = 282.67 m] mer  33.689m ∆hKj2 - 24.0,2110    mer  ∆hKj4-02.1,2040  =  1.431m  mer  34.949m  ∆h2040,2110  

mdh



0.004m

 mdh 2040,2110   

0.004m

Kj2-24.0,2110   , m   dh Kj4-02.1,2040  = 0.004m

Pozn.: Přesnost měřených převýšení zvolte mdh = 0.004m Řešení

Řešení příkladu 7-1 – vyrovnání nivelační sítě A. Sestavení úlohy vyrovnání ∆h i , j = ∆himer , j + v∆h i , j = f ∆h ,i , j (h i , h j ) = h j − h i m0.apri = 1.0000 m ∆h = 4mm

H 0, 2110 = 317.61m

, H 0, 2040 = 282.67m

v∆h KJ2-24.0, 2110  1 0  + 0.006m dH 2110        v∆h KJ4-02.1, 2040  = 0 1  dH  +  - 0.004m   v∆h 2040, 2110  1 − 1  2040   - 0.009m   

B. Základní údaje o provedeném vyrovnání m0.apos = 2.742414

, n = 3,

k=2

, n − k =1

- 79 (140) -


C. Návrh apriorní přesnosti technologie měření na základě výsledků vyrovnání m0.apost = 2.742414 k1 =

m0.apost m0.aprior

= 2.742414

m∆NEW = k1m∆OLD = 11.0mm h h

D. Vektor vyrovnaných měřených veličin, středních chyb a oprav ∆ h KJ2-24.0,2110  33.695m      ∆ h KJ4-02.1,2040  =  1.425m   ∆h  34.943m  2040,2110    

,

m∆ h KJ2-24.0,2110  9mm v∆h KJ2-24.0,2110  + 6mm        ,  m∆ h KJ4-02.1,2040  = 9mm v∆h KJ4-02.1,2040  = − 6mm  m  9mm  v    ∆h 2040,2110  − 6mm  ∆ h 2040,2110  

E. Graf reziduí

F. Vyrovnané neznámé parametry a jejich střední chyby  H 2110  317 .610 m  , mH 2110  9mm =   H  =  282 .668m  m   H 2040  9mm  2040  

G. Kovarianční matice bodů sítě cov(H 2110 ) = (chh ) = 8.02E - 05

=> mh = 0.009m

cov(H 2110 ) = (chh ) = 8.02E - 05

=> mh = 0.009m


- 80 (140) -


Kontrolní otázky

Jak vypadá základní observační rovnice pro vyrovnání nivelačních sítí ? Jak určíte apriorní přesnost měřených převýšení před vyrovnáním sítě ? Kdy bude přesnost technologie měření navržená na základě výsledků vyrovnání dostatečně spolehlivá ? Řešení


Následující kapitoly budou věnovány transformacím souřadnic.

- 81 (140) -


- 82 (140) -

Transformace

8

Transformace

Transformace souřadnic je úloha řešící převod souřadnic bodů z jednoho systému do jiného. Příkladem může být geodetická síť vyrovnaná v místním systému, kterou chceme dodatečně převést do systému závazného. Tento převod realizujeme pomocí tzv. transformačních rovnic, jejichž parametry určíme na základě tzv. identických bodů tj. bodů známých v obou soustavách. Parametry transformačních rovnic definují tzv. transformační klíč zvoleného typu transformace. Výsledkem úlohy převodu souřadnic do nové soustavy však nebudou pouze souřadnice bodů, ale i transformované charakteristiky přesnosti tj. kovarianční matice bodů.

Popis úlohy a druhy transformací

8.1

Úlohu transformace souřadnic můžeme definovat jako zobrazení mezi dvěma ortogonálními prostory libovolné dimenze. V geodézii mají praktický význam následující druhy transformací:

• rovinné – transformace 2D na 2D Yi fik = yimer + v y ,i = f y (transformační klíč , Vi , U i )

(8.1)

X i fik = ximer + v x ,i = f x (transformační klíč , Vi , U i )

Bod v nové soustavě souřadnic Yi fik a X i fik je funkcí transformačního klíče a téhož bodu v soustavě staré Vi a U i .

• prostorové – transformace 3D na 3D

( ) = f (transforma ční klíč , V , U , W ) = f (transforma ční klíč , V , U , W )

Yi fik = yimer + v y ,i = f y transforma ční klíč , Vi , U i , Wi Xi = x Z i fikr = z fik

mer i mer i

+ v x ,i + v z ,i

x

i

i

i

z

i

i

i

(8.2)

Bod v nové soustavě souřadnic Yi fik , X i fik a Z i fik je funkcí transformačního klíče a téhož bodu v soustavě staré Vi , U i a Wi . Jednotlivé transformační vztahy pak mohou mít různé vlastnosti:

• realizují shodnostní zobrazení • realizují podobnostní zobrazení • realizují afinní zobrazení • atd. Popis úlohy transformace

Úlohu transformace souřadnic bodů z jedné soustavy do jiné můžeme rozepsat do několika kroků:

• Volba typu transformace

- 83 (140) -


Definice transformačních vztahů a podle zákona hromadění chyb rovněž odvození vztahů pro transformaci kovariančních matic bodů.

• Určení transformačního klíče Volba identických bodů a sestavení úlohy vyrovnání pro stanovení parametrů transformačního klíče. Na tomto místě je vhodné si uvědomit, že souřadnice bodů v soustavě nové považujeme za tzv. fiktivní měřené veličiny a můžeme jim tedy při vyrovnání přiřadit určitou přesnost tj. zohlednění přesnosti identického bodu. Parametry transformačního klíče se stanou v úloze vyrovnání neznámými a souřadnice bodů v soustavě staré konstantami. Dále můžeme definovat pojem tzv. neúplný identický bod tj. bod, jehož úplné souřadnice v soustavě hlavní neznáme. Tento jev může nastat například v prostorových sítích, kdy u některých bodů známe jen výšku a u jiných polohu. Na základě výše uvedeného můžeme u prostorových transformací rozlišit následující typy identických bodů:

• úplný – yimer , ximer , z imer

( ) = f (transformační klíč , V , U , W ) = f (transformační klíč , V , U , W )

Yi fik = yimer + v y ,i = f y transformační klíč , Vi , U i , Wi Xi Zi

fik

fik

=x

+ v x ,i

=z

+ v z ,i

mer i mer i

x

i

i

i

z

i

i

i

(8.3)

• neúplný polohový – yimer , ximer

( ) = f (transforma ční klíč , V , U , W )

Yi fik = yimer + v y ,i = f y transforma ční klíč , Vi , U i , Wi Xi

fik

=x

mer i

+ v x ,i

x

i

i

(8.4)

i

• neúplný výškový – z imer

(

Z i fikr = zimer + v z ,i = f z transforma ční klíč , Vi , U i , Wi

)

(8.5)

Podle typu identického bodu můžeme definovat různý počet observačních rovnic pro určení transformačního klíče zprostředkujícím vyrovnáním.

• Posouzení identity nové a staré souřadnicové soustavy Míra identity obou souřadnicových soustav může být vyjádřena odhadem střední jednotkové chyby po vyrovnání tj. chyby vypočtené z oprav fiktivních měřených veličin. m0.apost =

∑

p y ,i v y ,i v y ,i + ∑i =1 p x ,i v x ,i v x ,i + ∑i =1 p z ,i v z ,i v z ,i

n

n

i =1

n

3n − k

(8.6)

Míru identity můžeme též definovat zvlášť pro horizontální a vertikální složku sítě. m0. yx.apost =

m0.h.apost =

∑

n

p y ,i v y ,i v y ,i + ∑i =1 p x ,i v x ,i v x ,i n

i =1

2n − k

∑

n

i =1

p z ,i v z ,i v z ,i

(8.7) (8.8)

n−k

- 84 (140) -

Transformace

Vztahy uvažují transformaci s úplnými identickými body. Parametr n je pak počet identických bodů a parametr k počet parametrů transformačního klíče. Výsledek transformace dále hodnotíme vizuálně podle grafického zákresu vektorů odchylek na identických bodech v přehledné situaci bodového pole.

• Transformace bodů a jejich charakteristik přesnosti do nové souřadnicové soustavy Pro převod bodů do nové soustavy využijeme rovnic 8.1 nebo 8.2. Kovarianční matice bodů transformujeme na základě vztahů odvozených pomocí zákona hromadění středních chyb. Následující podkapitoly budou věnovány vybraným typům 2D a 3D transformací.

8.2

Shodnostní transformace (2D)

V této podkapitole budeme definovat shodnostní vztah mezi dvěma rovinnými ortogonálními systémy. Obecné transformační vztahy

Vztah dvou ortogonálních rovinných systémů popisujeme transformačními rovnicemi se třemi neznámými parametry, ty označujeme jako transformační klíč. V úloze máme dva translační parametry a jeden rotační. Yi fik = yimer + v y ,i = f y (YT , X T , ε z ,Vi ,U i )

(8.9)

X i fik = ximer + vx ,i = f x (YT , X T , ε z ,Vi ,U i )

Opravy v y ,i a vx,i v rovnicích 8.9 představují složky tzv. vektoru odchylek na identických bodech. Vektory odchylek 8.10 jsou graficky znázorněny na obrázku 8-1. Z obrázku je též patrné, že shodnostní transformací nedeformujeme tvarově ani měřítkově realitu vyjádřenou v soustavě staré. v i = (v y ,i

Obr. 8-1

v x ,i )

(8.10)

T

Odchylky na identických bodech

- 85 (140) -


Varianta 1 – shodnostní transformace 2D Yi fik = YT + cos(ε z )Vi + sin(ε z )U i X i fik = X T − sin(ε z )Vi + cos(ε z )U i

(8.11)

Definice

Vyrovnaná Y souřadnice bodu i v nové soustavě souřadnic – Yi fik je funkcí V a U souřadnice téhož bodu v soustavě staré – Vi a U i a parametrů transformačního klíče – YT a ε z . Vyrovnaná X souřadnice bodu i v nové soustavě souřadnic – X i fik je funkcí V a U souřadnice téhož bodu v soustavě staré – Vi a U i a parametrů transformačního klíče – X T a ε z . Parametry YT a X T se nazývají translační parametry a udávají polohu počátku staré souřadnicové soustavy v souřadnicích soustavy nové. Parametr ε z je tzv. rotačním úhlem. Jedná se o úhel, který svírají směry souřadnicových os nové a staré soustavy souřadnic.

Obr. 8-2

Shodnostní 2D transformace

Modelová úloha – 2D shodnostní transformace

V dalším textu se pokusíme určit transformační klíč udávající vzájemný vztah dvou souřadnicových soustav. Pro zjednodušení úlohy budeme předpokládat existenci tří identických bodů se stejnou přesností. Úlohu budeme řešit užitím MNČ a vyjdeme z observačních rovnic 8.11.

Z hlediska zprostředkujícího vyrovnání budeme souřadnice Y a X bodu i nové soustavy souřadnic považovat za fiktivní měřené veličiny yimer a ximer , kterým na základě vyrovnání přisoudíme opravy v y ,i a vx ,i . Parametry YT , X T a ε z budou neznámými v úloze vyrovnání. Souřadnice V a U bodu i ve staré soustavě při řešení úlohy zůstanou konstantami.

- 86 (140) -

Transformace

Observační rovnice

Rovnice 8.12 nám představují zápis úlohy vyrovnání s šesti observačními rovnicemi o třech neznámých parametrech. Y1 fik = y1mer + v y ,1 = f y ,1 (YT , X T , ε z ) = YT + cos(ε z )V1 + sin (ε z )U 1

X 1fik = x1mer + v x ,1 = f x ,1 (YT , X T , ε z ) = X T − sin (ε z )V1 + cos(ε z )U 1

Y2fik = y 2mer + v y , 2 = f y , 2 (YT , X T , ε z ) = YT + cos(ε z )V2 + sin (ε z )U 2 X

fik 2 fik 3 fik 3

=x

mer 2 mer 3 mer 3

Y

=y

X

=x

+ v x , 2 = f x , 2 (YT , X T , ε z ) = X T − sin (ε z )V2 + cos(ε z )U 2

(8.12)

+ v y ,3 = f y ,3 (YT , X T , ε z ) = YT + cos(ε z )V3 + sin (ε z )U 3

+ v x ,3 = f x ,3 (YT , X T , ε z ) = X T − sin (ε z )V3 + cos(ε z )U 3

Obecné observační rovnice 8.13 nejsou v některých parametrech lineární. O řešení úlohy užitím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku v jednom výpočetním kroku – jedna iterace pouze při znalosti přibližného řešení diferenciálně blízkého k řešení finálnímu. Yi fik = yimer + v y ,i = f y ,i (YT , X T , ε z ) = YT + cos(ε z )Vi + sin (ε z )U i

X i fik = ximer + v x ,i = f x ,i (YT , X T , ε z ) = X T − sin (ε z )Vi + cos(ε z )U i

(8.13)

m y = mx = konst

∑ p v v +∑p v v y y y

x x x

(8.14)

= min

U uvažované úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 8.15. H 0 = (YT , 0 , X T ,0 , ε Z ,0 ) = (0,0,0) T

T

(8.15)

Vektor výsledného řešení pak udává rovnice 8.16. H = H0 + dH

(8.16)

Sestavení úlohy

Původní zprostředkující rovnice 8.12 linearizujeme rozvojem v řadu podle počátečního řešení 8.15.

Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 8.18. f 0, y ,i = f y ,i (0,0,0,Vi ,U i ) f 0, x,i = f x ,i (0,0,0,Vi , U i ) y1mer + v y ,1 = x1mer + v x ,1 = y2mer + v y , 2 = x2mer + v x , 2 = y3mer + v y ,3 = x3mer + v x ,3 =

f 0, y ,1 + 1dYT + 0dX T f 0, x ,1 + 0dYT + 1dX T f 0, y , 2 + 1dYT + 0dX T f 0, x , 2 + 0dYT + 1dX T f 0, y ,3 + 1dYT + 0dX T f 0, x ,3 + 0dYT + 1dX T

(8.17) + (− sin (ε 0, z )V1 + cos(ε 0, z )U1 )dε z + (− cos(ε 0, z )V1 − sin (ε 0, z )U 1 )dε z + (− sin (ε 0, z )V2 + cos(ε 0, z )U 2 )dε z + (− cos(ε 0, z )V2 − sin (ε 0, z )U 2 )dε z + (− sin (ε 0, z )V3 + cos(ε 0, z )U 3 )dε z + (− cos(ε 0, z )V3 − sin (ε 0, z )U 3 )dε z

(8.18)

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 8.19 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy šesti lineárních rovnic o třech neznámých parametrech.

- 87 (140) -


 v y ,1  1 v    x ,1  0  v y , 2  1  =  v x , 2  0  v y , 3  1     vx ,3  0

U1   V1 − y1mer    − V1  U1 − x1mer    dYT  mer U2   V2 − y2    dX T  +  − V2  U − x2mer   dε Z   2 mer V − y  U3  3   3  mer − V3  U x −  3 3 

0 1 0 1 0 1

(8.19)

Zvolíme-li m0.apri = m y ,i = m x ,i pro i = 1, 2 a 3, pak matice vah P je jednotková – rovnice 8.20. diag (P ) = (1,1,1,1,1,1)

(8.20)

Shrnutí

Sestavený systém rovnic řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání. Výsledkem výpočtu bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. transformační klíč a jemu odpovídající kovarianční matice cov (H ) . Vektor L bude představovat vyrovnané fiktivní měřené veličiny tj. transformované body ze staré do nové soustavy souřadnic. Vektor oprav z vyrovnání v bude vektorem odchylek identických bodů.

Následující podkapitola se bude zabývat úlohou rovinné podobnostní transformace mezi dvěma souřadnicovými systémy.

8.3

Podobnostní transformace (2D)

V této podkapitole budeme definovat podobnostní vztah mezi dvěma rovinnými ortogonálními systémy. Obecné transformační vztahy

Vztah dvou ortogonálních rovinných systémů popisujeme transformačními rovnicemi se čtyřmi neznámými parametry, které označíme za transformační klíč. V úloze máme dva translační parametry, jeden parametr rotační a jeden měřítkový faktor. Yi fik = yimer + v y ,i = f y (YT , X T , ε z , q, Vi , U i )

X i fik = ximer + v x ,i = f x (YT , X T , ε z , q, Vi , U i )

(8.21)

Opravy v y ,i a vx ,i v rovnicích 8.21 představují složky tzv. vektoru odchylek na identických bodech. Vektory odchylek 8.22 jsou graficky zobrazeny na obrázku 8-3. Z obrázku je též patrné, že podobnostní transformací tvarově nedeformujeme realitu vyjádřenou v soustavě staré. v i = (v y ,i

vx ,i )

(8.22)

T

- 88 (140) -

Transformace

Obr. 8-3

Odchylky na identických bodech

Varianta 1 – podobnostní transformace 2D Yi fik = YT + q cos(ε z )Vi + q sin(ε z )U i X i fik = X T − q sin(ε z )Vi + q cos(ε z )U i

(8.23)

Definice

Vyrovnaná Y souřadnice bodu i v nové soustavě souřadnic – Yi fik je funkcí V a U souřadnice téhož bodu v soustavě staré – Vi a U i a parametrů transformačního klíče – YT , ε z a q . Vyrovnaná X souřadnice bodu i v nové soustavě souřadnic – X i fik je funkcí V a U souřadnice téhož bodu v soustavě staré – Vi a U i a parametrů transformačního klíče - X T , ε z a q . Parametry YT a X T se nazývají translační parametry a udávají polohu počátku staré souřadnicové soustavy v souřadnicích soustavy nové. Parametr ε z je tzv. rotačním úhlem. Jedná se o úhel, který svírají směry souřadnicových os nové a staré soustavy souřadnic. Poslední parametr označený jako q je tzv. měřítko a umožňuje rozměrovou změnu staré souřadnicové soustavy.

Obr. 8-4

Podobnostní 2D transformace

- 89 (140) -


Modelová úloha – 2D podobnostní transformace

V dalším textu se pokusíme určit transformační klíč udávající vzájemný vztah dvou souřadnicových soustav. Pro zjednodušení úlohy budeme předpokládat existenci tří identických bodů se stejnou přesností. Úlohu budeme řešit užitím MNČ a vyjdeme z observačních rovnic 8.23.

Z hlediska zprostředkujícího vyrovnání budeme souřadnice Y a X bodu i nové soustavy souřadnic považovat za fiktivní měřené veličiny yimer a ximer , kterým na základě vyrovnání přisoudíme opravy v y,i a vx ,i . Parametry YT , X T , ε z a q budou neznámými v úloze vyrovnání. Souřadnice V a U bodu i ve staré soustavě při řešení úlohy zůstanou konstantami. Observační rovnice

Rovnice 8.24 nám představují zápis úlohy vyrovnání s šesti observačními rovnicemi o čtyřech neznámých parametrech. Y1 fik = y1mer + v y ,1 = f y ,1 (YT , X T , ε z , q ) = YT + q cos(ε z )V1 + q sin (ε z )U 1

X 1fik = x1mer + v x ,1 = f x ,1 (YT , X T , ε z , q ) = X T − q sin (ε z )V1 + q cos(ε z )U 1

Y2fik = y2mer + v y , 2 = f y , 2 (YT , X T , ε z , q ) = YT + q cos(ε z )V2 + q sin (ε z )U 2 X

fik 2 fik 3 fik 3

=x

mer 2 mer 3 mer 3

Y

=y

X

=x

+ v x , 2 = f x , 2 (YT , X T , ε z , q ) = X T − q sin (ε z )V2 + q cos(ε z )U 2

(8.24)

+ v y ,3 = f y ,3 (YT , X T , ε z , q ) = YT + q cos(ε z )V3 + q sin (ε z )U 3

+ v x ,3 = f x ,3 (YT , X T , ε z , q ) = X T − q sin (ε z )V3 + q cos(ε z )U 3

Obecné observační rovnice 8.25 nejsou v některých parametrech lineární. O řešení úlohy užitím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku v jednom výpočetním kroku – jedna iterace pouze při znalosti přibližného řešení diferenciálně blízkého k řešení finálnímu. Yi fik = yimer + v y ,i = f y ,i (YT , X T , ε z , q ) = YT + q cos(ε z )Vi + q sin (ε z )U i

X i fik = ximer + v x ,i = f x ,i (YT , X T , ε z , q ) = X T − q sin (ε z )Vi + q cos(ε z )U i

(8.25)

m y = mx = konst

∑p v v +∑p v v y y y

x x x

(8.26)

= min

U uvažované úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 8.27. H 0 = (YT , 0 , X T , 0 , ε Z , 0 , q0 ) = (0,0,0,1) T

T

(8.27)


H = H0 + dH

Sestavení úlohy


Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 8.30. f 0, y ,i = f y ,i (0,0,0,1, Vi , U i ) f 0, x ,i = f x,i (0,0,0,1, Vi , U i )

(8.29)

- 90 (140) -

Transformace

y1mer + v y ,1 = f 0, y ,1 + 1dYT + 0dX T + + q0 (− sin (ε 0, z )V1 + cos(ε 0, z )U1 )dε z + (+ cos(ε 0, z )V1 + sin (ε 0, z )U 1 )dq x1mer + v x ,1 = f 0, x ,1 + 0dYT + 1dX T + + q0 (− cos(ε 0, z )V1 − sin (ε 0, z )U1 )dε z + (− sin (ε 0, z )V1 + cos(ε 0, z )U1 )dq y2mer + v y , 2 = f 0, y , 2 + 1dYT + 0dX T +

+ q0 (− sin (ε 0, z )V2 + cos(ε 0, z )U 2 )dε z + (+ cos(ε 0, z )V2 + sin (ε 0, z )U 2 )dq

(8.30)

x2mer + vx , 2 = f 0, x + 0dYT + 1dX T +

+ q0 (− cos(ε 0, z )V2 − sin (ε 0, z )U 2 )dε z + (− sin (ε 0, z )V2 + cos(ε 0, z )U 2 )dq

y3mer + v y ,3 = f 0, y ,3 + 1dYT + 0dX T +

+ q0 (− sin (ε 0, z )V3 + cos(ε 0, z )U 3 )dε z + (+ cos(ε 0, z )V3 + sin (ε 0, z )U 3 )dq x3mer + v x ,3 = f 0, x ,3 + 0dYT + 1dX T +

+ q0 (− cos(ε 0, z )V3 − sin (ε 0, z )U 3 )dε z + (− sin (ε 0, z )V3 + cos(ε 0, z )U 3 )dq

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 8.31 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy šesti lineárních rovnic o čtyřech neznámých parametrech.  v y ,1  1 v    x ,1  0 v y , 2  1  =  v x , 2  0 v y ,3  1     v x ,3  0

0

U1

− V1 0 U2

1

1 − V2 0 U3 1 − V3

V1   V1 − y1mer     U1   dYT  U1 − x1mer  V2  dX T  V2 − y2mer  +   U 2   dε Z  U 2 − x2mer    V3   dq  V3 − y3mer     mer U 3  U 3 − x3 

(8.31)


(8.32)

Shrnutí


Následující podkapitola se bude zabývat úlohou rovinné podobnostní transformace mezi souřadnicovými systémy. Varianta 2 – podobnostní transformace 2D

Někdy bývají observační rovnice pro úlohu podobnostní transformace upraveny na tvar – rovnice 8.33. Yi fik = YT + (1 + dq ) cos(ε z )Vi + (1 + dq ) sin (ε z )U i X i fik = X T − (1 + dq ) sin (ε z )Vi + (1 + dq ) cos(ε z )U i

(8.33)

Parametr dq pak udává změnu měřítka staré souřadnicové soustavy.

- 91 (140) -


Varianta 3 – podobnostní transformace 2D

Observační rovnice 8.23 upravme substitucí 8.34. a = q sin (ε z ) b = q cos(ε z )

(8.34)

Úpravou získáme observační rovnice ve tvaru 8.35. Yi fik = YT + BVi + AU i X i fik = X T − AVi + BU i

(8.35)

Definice

Vyrovnaná Y souřadnice bodu i v nové soustavě souřadnic – Yi fik je funkcí V a U souřadnice téhož bodu v soustavě staré – Vi a U i a parametrů transformačního klíče – YT , A a B .

Vyrovnaná X souřadnice bodu i v nové soustavě souřadnic – X i fik je funkcí V a U souřadnice téhož bodu v soustavě staré – Vi a U i a parametrů transformačního klíče – X T , A a B . Obě observační rovnice jsou lineární vzhledem k neznámým parametrům YT , X T , A a B . Úloha vyrovnání tedy bude konvergovat k řešení v jednom výpočetním kroku – jedné iteraci pro libovolné počáteční řešení H 0 . Vypočtené parametry transformace A a B bývá zvykem převést zpět na parametry ε z a q . Parametr q totiž představuje měřítkovou deformaci staré soustavy, kterou je vhodné konfrontovat s deformací očekávanou.

Obr. 8-5

Definice goniometrických funkcí

A 2 + B 2 = q 2 sin ε z2 + q 2 cos ε z2

(8.36)

q=

(8.37)

A2 + B 2

sin ε z = cos ε z =

A

(8.38)

A + B2 2

B

(8.39)

A + B2 2

- 92 (140) -

Transformace

Modelová úloha – 2D podobnostní transformace

Dále v textu opět odvodíme přetvořené rovnice oprav pro úlohu podobnostní transformace. Vyjdeme z upravených vztahů 8.35. Pro přehlednější zápis úlohy budeme opět uvažovat pouze tři identické body. Observační rovnice

Rovnice 8.40 nám představují zápis úlohy vyrovnání s šesti observačními rovnicemi o čtyřech neznámých parametrech. Y1 fik = y1mer + v y ,1 = f y ,1 (YT , X T , B, A) = YT + BV1 + AU 1

X 1fik = x1mer + v x ,1 = f x ,1 (YT , X T , B, A) = X T − AV1 + BU 1

Y2fik = y2mer + v y , 2 = f y , 2 (YT , X T , B, A) = YT + BV2 + AU 2 X

fik 2 fik 3 fik 3

=x

mer 2 mer 3 mer 3

Y

=y

X

=x

+ v x , 2 = f x , 2 (YT , X T , B, A) = X T − AV2 + BU 2

(8.40)

+ v y ,3 = f y ,3 (YT , X T , B, A) = YT + BV3 + AU 3

+ v x ,3 = f x ,3 (YT , X T , B, A) = X T − AV3 + BU 3

Obecné observační rovnice 8.41 jsou ve svých parametrech lineární. O řešení úlohy užitím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku v jednom výpočetním kroku – jedna iterace pro každé počáteční řešení. Yi fik = yimer + v y ,i = f y ,i (YT , X T , B, A) = YT + BVi + AU i

X i fik = ximer + v x ,i = f x ,i (YT , X T , B, A) = X T − AVi + BU i

(8.41)

m y = mx = konst

∑ p v v +∑p v v y y y

x x x

(8.42)

= min

U uvažované úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 8.43. H 0 = (YT , 0 , X T , 0 , A0 , B0 ) = (0,0,1,1) T

(8.43)

T


H = H0 + dH

Sestavení úlohy


Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 8.46. f 0, y ,i = f y ,i (0,0,1,1, Vi ,U i )

(8.45)

f 0, x ,i = f x ,i (0,0,1,1,Vi ,U i )

y1mer + v1 = f 0, y ,1 + 1dYT + 0dX T + U 1dA + V1dB x1mer + v1 = f 0, x ,1 + 0dYT + 1dX T − V1dA + U 1dB

(8.46)

y2mer + v2 = f 0, y , 2 + 1dYT + 0dX T + U 2 dA + V2 dB x

mer 2 mer 3 mer 3

+ v2 = f 0, x , 2 + 0dYT + 1dX T − V2 dA + U 2 dB

y

+ v3 = f 0, y ,3 + 1dYT + 0dX T + U 3 dA + V3 dB

x

+ v3 = f 0, x ,3 + 0dYT + 1dX T − V3 dA + U 3 dB

- 93 (140) -


Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 8.47 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy šesti lineárních rovnic o čtyřech neznámých parametrech.  v y ,1  1 v    x ,1  0 v y , 2  1  =  v x , 2  0 v y ,3  1     v x ,3  0

0

U1

− V1 0 U2

1

1 − V2 0 U3 1 − V3

V1   V1 + U1 − y1mer     U1   dYT   − V1 + U1 − x1mer  V2  dX T   V2 + U 2 − y2mer  +   U 2   dA  − V2 + U 2 − x2mer    V3   dB   V3 + U 3 − y3mer     mer U 3   − V3 + U 3 − x3 

(8.47)


(8.48)

Shrnutí


Následující podkapitola je věnována transformacím blízkých rovinných souřadnicových systémů.

8.4

Přibližné transformační vztahy (2D)

Zjednodušené transformační vztahy pro shodnostní a podobnostní transformace můžeme definovat pro souřadnicové soustavy, které si jsou vzájemně blízké. Předpoklady pro zjednodušení transformačních vztahů 2D transformací

Blízké soustavy můžeme charakterizovat podobným měřítkem a alespoň přibližně rovnoběžnými souřadnicovými osami. Rotační uhel ε z je blízký k nule – rovnice 8.49 a měřítko q je blízké jedné – rovnice 8.50. εz ≅ 0

(8.49)

q ≅1

(8.50)

Na základě uvedených předpokladů můžeme napsat následující zjednodušení. sin ε z = ε z

(8.51)

cos ε z = 1

(8.52)

Varianta 1 - shodnostní transformace 2D

Úpravou observačních rovnic 8.11 pro shodnostní transformace užitím vztahů 8.51 a 8.52 získáme rovnice 8.53.

- 94 (140) -

Transformace

Yi fik = YT + Vi + ε zU i X i fik = X T − ε zVi + U i

(8.53)

Varianta 1 - podobnostní transformace 2D

Úpravou observačních rovnic 8.23 pro podobnostní transformace užitím vztahů 8.51 a 8.52 získáme rovnice 8.54. Yi fik = YT + qVi + qε zU i

(8.54)

X i fik = X T − qε zVi + qU i


Observační rovnice můžeme dále upravit substitucí q = 1 + dq . Yi fik = YT + (1 + dq )Vi + (1 + dq )ε zU i X i fik = X T − (1 + dq )ε zVi + (1 + dq )U i

(8.55)

Roznásobením získáme – rovnice 8.56. Yi fik = YT + Vi + dqVi + ε zU i + dqε zU i X i fik = X T − ε zV − dqε zVi + U i + dqU i

(8.56)

Zanedbáním některých členů rovnice 8.56 získáme konečnou podobu transformačních rovnic podobnostní transformace 8.57. Yi fik = YT + Vi + dqVi + ε zU i X i fik = X T + U i − ε zVi + dqU i

(8.57)

Modelová úloha – 2D shodnostní transformace (varianta 1)

Transformační klíč určíme na základě tří identických bodů známých ve dvou blízkých souřadnicových soustavách. Vyjdeme z transformační rovnice 8.53. Observační rovnice

Rovnice 8.58 nám představují zápis úlohy vyrovnání s šesti observačními rovnicemi o třech neznámých parametrech. Y1 fik = y1mer + v y ,1 = f y ,1 (YT , X T , ε z ) = YT + V1 + ε zU1 X 1fik = x1mer + v x ,1 = Y2fik = y2mer + v y , 2 = X 2fik = x2mer + v x , 2 = Y3 fik = y3mer + v y ,3 =

f x ,1 (YT , X T , ε z ) = X T + U1 − ε zV1 f y , 2 (YT , X T , ε z ) = YT + V2 + ε zU 2 f x , 2 (YT , X T , ε z ) = X T + U 2 − ε zV2 f y ,3 (YT , X T , ε z ) = YT + V3 + ε zU 3

(8.58)

X 3fik = x3mer + v x ,3 = f x ,3 (YT , X T , ε z ) = X T + U 3 − ε zV3

Obecné observační rovnice 8.59 jsou ve všech svých parametrech lineární. O řešení úlohy užitím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku v jednom výpočetním kroku – jedna iterace pro každé počáteční řešení. Yi fik = yimer + v y ,i = f y ,i (YT , X T , ε z ) = YT + Vi + ε zU i

X i fik = ximer + v x ,i = f x ,i (YT , X T , ε z ) = X T + U i − ε zVi

(8.59)

m y = mx = konst


x x x

(8.60)

= min

- 95 (140) -


U uvažované úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 8.61. H 0 = (YT , 0 , X T , 0 , ε z , 0 ) = (0,0,0) T

(8.61)

T


H = H0 + dH

Sestavení úlohy


Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 8.64. f 0, y ,i = f y ,i (0,0,0,Vi ,U i )

(8.63)

f 0, x ,i = f x ,i (0,0,0,Vi ,U i )

y1mer + v y ,1 = f 0, y ,1 + 1dYT + 0dX T + U1dε z x1mer + v x ,1 = f 0, x ,1 + 0dYT + 1dX T y2mer + v y , 2 = f 0, y , 2 + 1dYT + 0dX T x2mer + v x , 2 = f 0, x , 2 + 0dYT + 1dX T y3mer + v y ,3 = f 0, y ,3 + 1dYT + 0dX T

− V1dε z + U 2 dε z − V2 dε z + U 3 dε z

(8.64)

x3mer + v x ,3 = f 0, x ,3 + 0dYT + 1dX T − V3 dε z

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 8.65 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy šesti lineárních rovnic o třech neznámých parametrech.  v y ,1  1 v    x ,1  0  v y , 2  1  =  v x , 2  0  v y , 3  1     v x ,3  0

0 1 0 1 0 1

U1   V1 − y1mer    − V1  U1 − x1mer   dYT   mer U2   V2 − y2    dX T  +  − V2  U − x2mer   dε Z   2 mer V − y  U3  3  3   mer − V3  − U x  3 3 

(8.65)


(8.66)

Shrnutí


- 96 (140) -

Transformace

Modelová úloha – 2D podobnostní transformace (varianta 2)

Transformační klíč určíme na základě tří identických bodů známých ve dvou blízkých souřadnicových soustavách. Využijeme transformační rovnice 8.57. Observační rovnice

Rovnice 8.67 nám představují zápis úlohy vyrovnání s šesti observačními rovnicemi o čtyřech neznámých parametrech. Y1 fik = y1mer + v y ,1 = f y ,1 (YT , X T , ε z , dq ) = YT + V1 + dqV1 + ε zU 1

X 1fik = x1mer + v x ,1 = f x ,1 (YT , X T , ε z , dq ) = X T + U 1 − ε zV1 + dqU 1

Y2fik = y2mer + v y , 2 = f y , 2 (YT , X T , ε z , dq ) = YT + V2 + dqV2 + ε zU 2 X

fik 2 fik 3 fik 3

=x

mer 2 mer 3 mer 3

Y

=y

X

=x

+ v x , 2 = f x , 2 (YT , X T , ε z , dq ) = X T + U 2 − ε zV2 + dqU 2

(8.67)

+ v y ,3 = f y ,3 (YT , X T , ε z , dq ) = YT + V3 + dqV3 + ε zU 3

+ v x ,3 = f x ,3 (YT , X T , ε z , dq ) = X T + U 3 − ε zV3 + dqU 3

Obecné observační rovnice 8.68 jsou lineární vzhledem ke všem neznámým parametrům. O řešení úlohy užitím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku v jednom výpočetním kroku – jedna iterace pro každé počáteční řešení H 0 . Yi fik = yimer + v y ,i = f y ,i ( X T , YT , ε z , dq ) = YT + Vi + dqVi + ε zU i

X i fik = ximer + v x ,i = f x ,i (YT , X T , ε z , dq ) = X T + U i − ε zVi + dqU i

(8.68)

m y = mx = konst


x x x

(8.69)

= min

U uvažované úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 8.70. H 0 = (YT , 0 , X T , 0 , ε z , 0 , dq0 ) = (0,0,0,0) T

(8.70)

T


H = H0 + dH

Sestavení úlohy


Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 8.73. f 0, y ,i = f y ,i (0,0,0,0, Vi , U i ) f 0, x ,i = f x ,i (0,0,0,0, Vi ,U i )

(8.72)

y1mer + v y ,1 = f 0, y ,1 + 1dYT + 0dX T + U1dε z + V1ddq x1mer + v x ,1 = f 0, x ,1 + 0dYT + 1dX T − V1dε z + U1ddq

(8.73)

y2mer + v y , 2 = f 0, y , 2 + 1dYT + 0dX T + U 2 dε z + V2 ddq x

mer 2 mer 3 mer 3

+ vx , 2 = f 0, x , 2 + 0dYT + 1dX T − V2 dε z + U 2 ddq

y

+ v y ,3 = f 0, y ,3 + 1dYT + 0dX T + U 3 dε z + V3ddq

x

+ v x ,3 = f 0, x ,3 + 0dYT + 1dX T − V3 dε z + U 3 ddq

- 97 (140) -


Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 8.74 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy šesti lineárních rovnic o čtyřech neznámých parametrech.  v y ,1  1 v    x ,1  0 v y , 2  1  =  v x , 2  0 v y ,3  1     vx ,3  0

0

U1

1 − V1 0 U2 1 − V2 0

U3

1 − V3

V1   V1 − y1mer    U1   dYT  U1 − x1mer  V2  dX T  V2 − y2mer  +   U 2   dε Z  U 2 − x2mer    V3   dq  V3 − y3mer     mer U 3  U 3 − x3 

(8.74)


(8.75)

Shrnutí


Následující podkapitoly budou věnovány prostorovým transformacím.

8.5

Shodnostní transformace (3D)

V této podkapitole budeme definovat shodnostní vztah mezi dvěma prostorovými ortogonálními systémy. Varianta 1 – shodnostní transformace 3D

Základní transformační vztahy pro dva 3D ortogonální systémy udávají observační rovnice 8.76, 8.77 a 8.78. Pro popsání vzájemného vztahu obou systémů je použito šesti transformačních parametrů – tři translace a tři rotace. Tento typ transformace se podle počtu parametrů transformačního klíče často nazývá šesti prvkovou shodnostní transformací. Yi fik = YT

X i fik = X T

Z i fik = Z T

+ Vi (sin ε X sin ε Y sin ε Z + cos ε X cos ε Z )

+ U i (sin ε X sin ε Y cos ε Z − cos ε X sin ε Z ) + Wi (sin ε X cos ε Y ) + Vi (cos ε Y sin ε Z )

(8.76)

(8.77)

+ U i (cos ε Y cos ε Z ) + Wi (− sin ε Y ) + Vi (cos ε X sin ε Y sin ε Z − sin ε X cos ε Z )

+ U i (cos ε X sin ε Y cos ε Z + sin ε X sin ε Z ) + Wi (cos ε X cos ε Y )

- 98 (140) -

(8.78)

Transformace

Definice

Vyrovnaná Y souřadnice bodu i v nové soustavě souřadnic – Yi fik je funkcí V, U a W souřadnice téhož bodu v soustavě staré – Vi , U i a Wi a parametrů transformačního klíče – YT , ε Y , ε X a ε Z . Vyrovnaná X souřadnice bodu i v nové soustavě souřadnic – X i fik je funkcí V, U a W souřadnice téhož bodu v soustavě staré – Vi , U i a Wi a parametrů transformačního klíče – X T , ε Y , ε X a ε Z . Vyrovnaná Z souřadnice bodu i v nové soustavě souřadnic – Z i fik je funkcí V, U a W souřadnice téhož bodu v soustavě staré – Vi , U i a Wi a parametrů transformačního klíče – ZT , ε Y , ε X a ε Z . Parametry YT , X T a Z T se nazývají translační parametry a udávají polohu počátku staré souřadnicové soustavy v souřadnicích soustavy nové. Parametry ε Y , ε X a ε Z jsou tzv. rotačními úhly. Linearizace funkčních vztahů

Chceme-li užitím MNČ určit parametry transformačního klíče, je nutné provést linearizaci výše definovaných transformačních vztahů. Rozvoj v řadu maximálně prvního řádu provedeme podle nulového bodu H 0 – rovnice 8.79. H 0 = (YT , 0

X T ,0

Z T ,0

ε X ,0 ε Y ,0 ε Z ,0

)

(8.79)

T

Linearizace observační rovnice 8.76. yimer + v y ,i = f 0,Y ,i

∂f ∂f Y ∂f dYT + Y dX T + Y dZ T ∂YT ∂X T ∂Z T ∂fY ∂f Y ∂f dε X + dε Y + Y dε Z + ∂ε X ∂ε Y ∂ε Z

+

f 0,Y ,i = + Vi (sin ε X , 0 sin ε Y ,0 sin ε Z , 0 + cos ε X ,0 cos ε Z ,0 )

+ U i (sin ε X , 0 sin ε Y , 0 cos ε Z ,0 − cos ε X , 0 sin ε Z , 0 ) + Wi (sin ε X , 0 cos ε Y , 0 )

(8.80)

(8.81)

Následující rovnice představují výpočetní vzorce pro vyčíslení hodnot parciálních derivací pro linearizovanou rovnici 8.80. ∂f Y ∂YT = 1

(8.82)

∂f Y ∂X T = 0

(8.83)

∂f Y ∂Z T = 0

(8.84)

∂fY ∂ε X = + Vi (+ cos ε X , 0 sin ε Y , 0 sin ε Z ,0 − sin ε X ,0 cos ε Z , 0 )

+ U i (+ cos ε X , 0 sin ε Y , 0 cos ε Z , 0 + sin ε X , 0 sin ε Z , 0 ) + Wi (+ cos ε X , 0 cos ε Y , 0 )

- 99 (140) -

(8.85)


∂fY ∂ε Y = + Vi (+ sin ε X ,0 cos ε Y , 0 sin ε Z , 0 + 0)

+ U i (+ sin ε X , 0 cos ε Y ,0 cos ε Z ,0 − 0 ) + Wi (− sin ε X , 0 sin ε Y , 0 )

∂fY ∂ε Z = + Vi (+ sin ε X , 0 sin ε Y , 0 cos ε Z , 0 − cos ε X , 0 sin ε Z , 0 ) + U i (− sin ε X , 0 sin ε Y , 0 sin ε Z − cos ε X ,0 cos ε Z , 0 ) + Wi (+ 0)

(8.86)

(8.87)

Linearizace observační rovnice 8.77. ximer + v x ,i = f 0, X ,i

∂f X ∂f ∂f dYT + X dX T + X dZ T ∂Z T ∂YT ∂X T ∂f ∂f ∂f + X dε X + X dε Y + X dε Z ∂ε X ∂ε Y ∂ε Z +

f 0, X ,i = + Vi (cos ε Y ,0 sin ε Z , 0 )

+ U i (cos ε Y , 0 cos ε Z , 0 )

(8.88)

(8.89)

+ Wi (− sin ε Y , 0 )

Následující rovnice představují výpočetní vzorce pro vyčíslení hodnot parciálních derivací pro linearizovanou rovnici 8.88. ∂f X ∂YT = 0

(8.90)

∂f X ∂X T = 1

(8.91)

∂f X ∂Z T = 0

(8.92)

∂f X ∂ε X = + Vi (+ 0)

(8.93)

+ U i (+ 0 ) + Wi (+ 0 )

∂f X ∂ε Y = + Vi (− sin ε Y , 0 sin ε Z , 0 )

+ U i (− sin ε Y ,0 cos ε Z , 0 ) + Wi (− cos ε Y , 0 )

∂f X ∂ε Z = + Vi (+ cos ε Y , 0 cos ε Z ,0 )

+ U i (− cos ε Y , 0 sin ε Z , 0 ) + Wi (− 0)

(8.94)

(8.95)

Linearizace observační rovnice 8.78. zimer + v z ,i = f 0,Z ,i

∂f Z ∂f ∂f dYT + Z dX T + Z dZ T ∂Z T ∂YT ∂X T ∂f ∂f ∂f + Z dε X + Z dε Y + Z dε Z ∂ε X ∂ε Y ∂ε Z +

f 0,Z ,i = + Vi (cos ε X , 0 sin ε Y , 0 sin ε Z , 0 − sin ε X , 0 cos ε Z , 0 )

+ U i (cos ε X , 0 sin ε Y ,0 cos ε Z , 0 + sin ε X , 0 sin ε Z , 0 ) + Wi (cos ε X , 0 cos ε Y , 0 )

(8.96)

(8.97)

Následující rovnice představují výpočetní vzorce pro vyčíslení hodnot parciálních derivací pro linearizovanou rovnici 8.96.

- 100 (140) -

Transformace

∂f Z ∂YT = 0

(8.98)

∂f Z ∂X T = 0

(8.99)

∂f Z ∂Z T = 1

(8.100)

∂f Z ∂ε X = + Vi (− sin ε X ,0 sin ε Y , 0 sin ε Z , 0 − cos ε X ,0 cos ε Z , 0 )

+ U i (− sin ε X , 0 sin ε Y ,0 cos ε Z , 0 + cos ε X , 0 sin ε Z , 0 ) + Wi (− sin ε X , 0 cos ε Y , 0 )

∂f Z ∂ε Y = + Vi (+ cos ε X , 0 cos ε Y ,0 sin ε Z ,0 − 0)

+ U i (+ cos ε X , 0 cos ε Y , 0 cos ε Z ,0 + 0) + Wi (− cos ε X ,0 sin ε Y , 0 )

(8.101)

(8.102)

∂f Z ∂ε Z = + Vi (+ cos ε X , 0 sin ε Y , 0 cos ε Z ,0 + sin ε X ,0 sin ε Z , 0 ) + U i (− cos ε X , 0 sin ε Y , 0 sin ε Z , 0 + sin ε X ,0 cos ε Z , 0 )

(8.103)

+ Wi (0)

Shrnutí

Uvedené transformační rovnice jsou nelineární v neznámých parametrech. Pro řešení úlohy užitím MNČ je nutné znát přibližné řešení úlohy v diferenciálních hodnotách blízkých k řešení finálnímu. Následující podkapitola bude věnována řešení úlohy prostorové podobnostní transformace.

8.6

Podobnostní transformace (3D)

Chceme-li definovat podobnostní vztah mezi dvěma prostorovými ortogonálními systémy, musíme umožnit měřítkovou deformaci staré soustavy souřadnic na soustavu novou. Měřítkový faktor q se stane jedním z parametrů transformačního klíče. Varianta 1 – podobnostní transformace 3D

Rovnice 8.104, 8.105 a 8.106 představují transformační rovnice prostorové podobnostní transformace. Transformační klíč má nyní sedm parametrů – tři translace, tři rotace a jeden měřítkový faktor. Tento typ transformace se proto často nazývá sedmi prvkovou podobnostní transformací. Yi fik = YT

+ qVi (sin ε X sin ε Y sin ε Z + cos ε X cos ε Z )

+ qU i (sin ε X sin ε Y cos ε Z − cos ε X sin ε Z )

(8.104)

+ qWi (sin ε X cos ε Y ) X i fik = X T

+ qVi (cos ε Y sin ε Z )

(8.105)

+ qU i (cos ε Y cos ε Z ) + qWi (− sin ε Y )

Z i fik = Z T

+ qVi (cos ε X sin ε Y sin ε Z − sin ε X cos ε Z )

+ qU i (cos ε X sin ε Y cos ε Z + sin ε X sin ε Z ) + qWi (cos ε X cos ε Y )

- 101 (140) -

(8.106)


Definice

Vyrovnaná Y souřadnice bodu i v nové soustavě souřadnic – Yi fik je funkcí V, U a W souřadnice téhož bodu v soustavě staré – Vi , U i a Wi a parametrů transformačního klíče – YT , ε Y , ε X , ε Z a q .

Vyrovnaná X souřadnice bodu i v nové soustavě souřadnic – X i fik je funkcí V, U a W souřadnice téhož bodu v soustavě staré – Vi , U i a Wi a parametrů transformačního klíče – X T , ε Y , ε X , ε Z a q . Vyrovnaná Z souřadnice bodu i v nové soustavě souřadnic – Z i fik je funkcí V, U a W souřadnice téhož bodu v soustavě staré – Vi , U i a Wi a parametrů transformačního klíče – ZT , ε Y , ε X , ε Z a q . Parametry YT , X T a ZT se nazývají translační parametry a udávají polohu počátku staré souřadnicové soustavy v souřadnicích soustavy nové. Parametry ε Y , ε X a ε Z jsou tzv. rotačními úhly. Parametr q udává tzv. měřítko. Linearizace funkčních vztahů

Chceme-li užitím MNČ určit parametry transformačního klíče, je nutné provést linearizaci výše definovaných transformačních vztahů. Rozvoj v řadu maximálně prvního řádu provedeme podle nulového bodu H 0 – rovnice 8.107. H 0 = (YT , 0

X T ,0

ZT ,0

ε X ,0 ε Y ,0 ε Z ,0

q0 )

T

(8.107)

Linearizace observační rovnice 8.104. yimer + v y ,i = f 0,Y ,i

∂f ∂f ∂fY dYT + Y dX T + Y dZ T ∂Z T ∂YT ∂X T ∂f ∂f ∂f ∂f + Y dε X + Y dε Y + Y dε Z + Y dq ∂ε X ∂ε Y ∂ε Z ∂q

+

f 0,Y ,i = + q0Vi (sin ε X ,0 sin ε Y ,0 sin ε Z , 0 + cos ε X ,0 cos ε Z ,0 ) + q0U i (sin ε X ,0 sin ε Y ,0 cos ε Z ,0 − cos ε X ,0 sin ε Z , 0 ) + q0Wi (sin ε X ,0 cos ε Y , 0 )

(8.108)

(8.109)

Následující rovnice představují výpočetní vzorce pro vyčíslení hodnot parciálních derivací pro linearizovanou rovnici 8.108. ∂f Y ∂YT = 1

(8.110)

∂f Y ∂X T = 0

(8.111)

∂f Y ∂Z T = 0

(8.112)

∂f Y ∂ε X = + q0Vi (+ cos ε X , 0 sin ε Y , 0 sin ε Z , 0 − sin ε X ,0 cos ε Z , 0 ) + q0U i (+ cos ε X ,0 sin ε Y ,0 cos ε Z , 0 + sin ε X ,0 sin ε Z , 0 ) + q0Wi (+ cos ε X ,0 cos ε Y ,0 )

- 102 (140) -

(8.113)

Transformace

∂fY ∂ε Y = + q0Vi (+ sin ε X , 0 cos ε Y , 0 sin ε Z , 0 + 0 )

+ q0U i (+ sin ε X , 0 cos ε Y , 0 cos ε Z ,0 − 0) + q0Wi (− sin ε X , 0 sin ε Y ,0 )

(8.114)

∂f Y ∂ε Z = + q0Vi (+ sin ε X sin ε Y cos ε Z − cos ε X sin ε Z )

+ q0U i (− sin ε X sin ε Y sin ε Z − cos ε X cos ε Z ) + q0Wi (+ 0)

∂fY ∂q = + Vi (sin ε X ,0 sin ε Y , 0 sin ε Z , 0 + cos ε X , 0 cos ε Z ,0 )

+ U i (sin ε X , 0 sin ε Y , 0 cos ε Z , 0 − cos ε X ,0 sin ε Z , 0 ) + Wi (sin ε X , 0 cos ε Y , 0 )

(8.115)

(8.116)

Linearizace observační rovnice 8.105. ximer + v x ,i = f 0, X ,i

∂f X ∂f ∂f dYT + X dX T + X dZ T ∂Z T ∂YT ∂X T ∂f ∂f ∂f ∂f + X dε X + X dε Y + X dε Z + X dq ∂ε X ∂ε Y ∂ε Z ∂q +

f 0, X ,i = + q0Vi (cos ε Y , 0 sin ε Z , 0 )

+ q0U i (cos ε Y , 0 cos ε Z , 0 ) + q0Wi (− sin ε Y , 0 )

(8.117)

(8.118)

Následující rovnice představují výpočetní vzorce pro vyčíslení hodnot parciálních derivací pro linearizovanou rovnici 8.117. ∂f X ∂YT = 0

(8.119)

∂f X ∂X T = 1

(8.120)

∂f X ∂Z T = 0

(8.121)

∂f X ∂ε X = + q0Vi (+ 0)

(8.122)

+ q0U i (+ 0) + q0Wi (+ 0)

∂f X ∂ε Y = + q0Vi (− sin ε Y , 0 sin ε Z , 0 ) + q0U i (− sin ε Y , 0 cos ε Z ,0 )

(8.123)

+ q0Wi (− cos ε Y ,0 )

∂f X ∂ε Z = + q0Vi (+ cos ε Y ,0 cos ε Z , 0 ) + q0U i (− cos ε Y ,0 sin ε Z ,0 )

(8.124)

+ q0Wi (− 0)

∂f X dq = + Vi (cos ε Y , 0 sin ε Z , 0 )

+ U i (cos ε Y , 0 cos ε Z , 0 )

(8.125)

+ Wi (− sin ε Y , 0 )

Linearizace observační rovnice 8.106. zimer + v z ,i = f 0,Z ,i

∂f Z ∂f ∂f dYT + Z dX T + Z dZ T ∂Z T ∂YT ∂X T ∂f Z ∂f Z ∂f ∂f + dε X + dε Y + Z dε Z + Z dq ∂ε X ∂ε Y ∂ε Z ∂q +

- 103 (140) -

(8.126)


f 0,Z ,i = + q0Vi (cos ε X , 0 sin ε Y , 0 sin ε Z ,0 − sin ε X , 0 cos ε Z , 0 )

+ q0U i (cos ε X , 0 sin ε Y , 0 cos ε Z , 0 + sin ε X , 0 sin ε Z ,0 ) + q0Wi (cos ε X , 0 cos ε .Y ,0 )

(8.127)

Následující rovnice představují výpočetní vzorce pro vyčíslení hodnot parciálních derivací pro linearizovanou rovnici 8.126. ∂f Z ∂YT = 0

(8.128)

∂f Z ∂X T = 0

(8.129)

∂f Z ∂Z T = 1

(8.130)

∂f Z ∂ε X = + q0Vi (− sin ε X , 0 sin ε Y , 0 sin ε Z , 0 − cos ε X , 0 cos ε Z , 0 ) + q0U i (− sin ε X , 0 sin ε Y ,0 cos ε Z , 0 + cos ε X , 0 sin ε Z , 0 )

(8.131)

+ q0Wi (− sin ε X , 0 cos ε Y , 0 )

∂f Z ∂ε Y = + q0Vi (+ cos ε X ,0 cos ε Y ,0 sin ε Z , 0 − 0)

+ q0U i (+ cos ε X , 0 cos ε Y , 0 cos ε Z , 0 + 0) + q0Wi (− cos ε X , 0 sin ε Y , 0 )

∂f Z ∂ε Z = + q0Vi (+ cos ε X , 0 sin ε Y ,0 cos ε Z , 0 + sin ε X , 0 sin ε Z , 0 )

+ q0U i (− cos ε X , 0 sin ε Y ,0 sin ε Z , 0 + sin ε X ,0 cos ε Z , 0 ) + q0Wi (0)

∂f Z ∂q + Vi (cos ε X , 0 sin ε Y , 0 sin ε Z , 0 − sin ε X , 0 cos ε Z , 0 )

+ U i (cos ε X , 0 sin ε Y ,0 cos ε Z , 0 + sin ε X , 0 sin ε Z , 0 ) + Wi (cos ε X , 0 cos ε Y , 0 )

(8.132)

(8.133)

(8.134)

Varianta 2 – podobnostní transformace 3D

Výše uvedené observační rovnice můžeme také upravit substitucí q = 1 + dq na rovnice 8.135, 8.136 a 8.137. Yi fik = YT

+ (1 + dq )Vi (sin ε X sin ε Y sin ε Z + cos ε X cos ε Z )

+ (1 + dq )U i (sin ε X sin ε Y cos ε Z − cos ε X sin ε Z )

(8.135)

+ (1 + dq )Wi (sin ε X cos ε Y ) X i fik = X T

+ (1 + dq )Vi (cos ε Y sin ε Z )

+ (1 + dq )U i (cos ε Y cos ε Z )

(8.136)

+ (1 + dq )Wi (− sin ε Y ) Z i fik = Z T

+ (1 + dq )Vi (cos ε X sin ε Y sin ε Z − sin ε X cos ε Z )

+ (1 + dq )U i (cos ε X sin ε Y cos ε Z + sin ε X sin ε Z )

(8.137)

+ (1 + dq )Wi (cos ε X cos ε Y )

Měřítkový faktor q je nahrazen diferenciální změnou měřítka dq . Shrnutí

Uvedené transformační rovnice jsou nelineární v neznámých parametrech. Pro řešení úlohy užitím MNČ je nutné znát přibližné řešení úlohy v diferenciálních hodnotách blízkých k řešení finálnímu. Tento typ úlohy se obecně vyznačuje pomalou konvergencí k řešení při použití iteračního postupu. Bude-li provede-

- 104 (140) -

Transformace

na volba přibližného řešení náhodně, řešení iteračním postupem nebude nalezeno tj. úloha nebude konvergovat k správnému výsledku. Následující podkapitola bude věnována řešení 3D transformací u souřadnicových soustav, které si budou vzájemně blízké.

8.7

Přibližné transformační vztahy (3D)

Zjednodušené transformační vztahy pro shodnostní a podobnostní transformace v prostoru můžeme definovat pro souřadnicové soustavy, které si jsou vzájemně blízké. Blízké soustavy jsou charakteristické podobným měřítkem a přibližně rovnoběžnými souřadnicovými osami. Předpoklady pro zjednodušení transformačních vztahů 3D transformací

Rotační úhly ε X , ε Y a ε Z jsou tedy blízké k nule – rovnice 8.138 a měřítko q je blízké jedné – rovnice 8.139.

ε X ≅ 0 , εY ≅ 0 a ε Z ≅ 0

(8.138)

q ≅1

(8.139)

Na základě uvedených předpokladů můžeme napsat následující zjednodušení. sin ε X = ε X , sin ε Y = ε Y a sin ε Z = ε Z

(8.140)

cos ε X = 1 , cos ε Y = 1 a cos ε Z = 1

(8.141)

Varianta 1 - shodnostní transformace 3D

Úpravou observačních rovnic 8.76, 8.77 a 8.78 3D shodnostní transformace užitím vztahů 8.140 a 8.141 získáme rovnice 8.142 , 8.144 a 8.146. Yi fik = YT

+ Vi (ε X ε Y ε Z + 1)

(8.142)

+ U i (ε X ε Y − ε Z ) + Wi (ε X )

Rovnici zjednodušíme na tvar 8.143. Yi fik = YT + Vi (+ 1) + U i (− ε Z ) + Wi (+ ε X ) X i fik = X T

(8.143)

+ Vi (+ ε Z )

(8.144)

+ U i (+ 1)

+ Wi (− ε Y )

Rovnici zjednodušíme na tvar 8.145. X i fik = X T + Vi (+ ε Z ) + U i (+ 1) + Wi (− ε Y ) Z i fik = ZT

(8.145)

+ Vi (+ ε Y ε Z − ε X )

(8.146)

+ U i (+ ε Y + ε X ε Z )

+ Wi (+ 1)

Rovnici zjednodušíme na tvar 8.147 Z i fik = ZT + Vi (− ε X ) + U i (+ ε Y ) + Wi (+ 1)

(8.147)

- 105 (140) -


Finální rovnice pro shodnostní transformaci v prostoru pro dva blízké systémy udává rovnice 8.148. Yi fik = YT + Vi (+ 1) + U i (− ε Z ) + Wi (+ ε X )

X i fik = X T + Vi (+ ε Z ) + U i (+ 1) + Wi (− ε Y ) Z i fik = ZT + Vi (− ε X ) + U i (+ ε Y ) + Wi (+ 1)

(8.148)


Podobným postupem lze odvodit finální rovnice pro 3D podobnostní transformaci. Yi fik = YT + q[Vi (+ 1) + U i (− ε Z ) + Wi (+ ε X )]

X i fik = X T + q[Vi (+ ε Z ) + U i (+ 1) + Wi (− ε Y )] Z i fik = ZT + q[Vi (− ε X ) + U i (+ ε Y ) + Wi (+ 1)]

(8.149)

Rovnice pro podobnostní transformaci získáme též přidáním měřítkového faktoru q do observačních rovnic 8.148. Varianta 2 - podobnostní transformace 3D

Observační rovnice můžeme dále upravit substitucí q = 1 + dq . Yi fik = YT + (1 + dq )[Vi (+ 1) + U i (− ε Z ) + Wi (+ ε X )]

X i fik = X T + (1 + dq )[Vi (+ ε Z ) + U i (+ 1) + Wi (− ε Y )]

(8.150)

Z i fik = ZT + (1 + dq )[Vi (− ε X ) + U i (+ ε Y ) + Wi (+ 1)]

Roznásobením získáme – rovnici 8.151. Yi fik = YT + Vi + dqVi − ε ZU i − dqε ZU i + ε X Wi + dqε X Wi X i fik = X T + ε ZVi + dqε ZVi + U i + dqU i − ε YWi − dqε YWi

(8.151)

Z i fik = ZT − ε X Vi − dqε X Vi + ε YU i + dqε YU i + Wi + dqWi

Zanedbáním některých členů rovnice 8.151 získáme konečnou podobu transformačních rovnic podobnostní transformace 8.152. Yi fik = YT + Vi + dqVi − ε Z U i + ε X Wi X i fik = X T + U i + ε Z Vi + dqU i − ε Y Wi Zi

fik

(8.152)

= Z T + Wi − ε X Vi + ε Y U i + dqWi

Modelová úloha – 3D shodnostní transformace – přibližné rovnice


Rovnice 8.153 nám představují zápis úlohy vyrovnání s devíti observačními rovnicemi o šesti neznámých parametrech.

- 106 (140) -

Transformace

Y1 fik = y1mer + v y ,1 = f y ,1 (YT , X T , ZT , ε X , ε X , ε Y , ε Z ) = YT + V1 − ε ZU1 + ε X W1 X 1fik = x1mer + v x,1 = f x,1 (YT , X T , ZT , ε X , ε X , ε Y , ε Z ) = X T + ε ZV1 + U1 − ε Y W1 Z1fik = z1mer + v z ,1 = f z ,1 (YT , X T , ZT , ε X , ε X , ε Y , ε Z ) = ZT − ε X V1 + ε Y U1 + W1

Y2fik = y2mer + v y , 2 = f y , 2 (YT , X T , Z T , ε X , ε X , ε Y , ε Z ) = YT + V2 − ε ZU 2 + ε X W2 X 2fik = x2mer + vx , 2 = f x, 2 (YT , X T , ZT , ε X , ε X , ε Y , ε Z ) = X T + ε ZV2 + U 2 − ε Y W2

(8.153)

Z 2fik = z2mer + v z , 2 = f z , 2 (YT , X T , ZT , ε X , ε X , ε Y , ε Z ) = ZT − ε X V2 + ε Y U 2 + W2 Y3 fik = y3mer + v y ,3 = f y ,3 (YT , X T , ZT , ε X , ε X , ε Y , ε Z ) = YT + V3 − ε ZU 3 + ε X W3

X 3fik = x3mer + v x,3 = f x,3 (YT , X T , ZT , ε X , ε X , ε Y , ε Z ) = X T + ε ZV3 + U 3 − ε Y W3 Z 3fik = z3mer + v z ,3 = f z ,3 (YT , X T , ZT , ε X , ε X , ε Y , ε Z ) = ZT − ε X V3 + ε Y U 3 + W3

Obecné observační rovnice 8.154 jsou lineární vzhledem ke všem neznámým parametrům. O řešení úlohy užitím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku v jednom výpočetním kroku – jedna iterace pro každé počáteční řešení H 0 . Yi fik = yimer + v y ,i = f y ,i (YT , X T , Z T , ε X , ε Y , ε Z ) = YT + Vi − ε ZU i + ε X Wi

X i fik = ximer + v x ,i = f x ,i (YT , X T , Z T , ε X , ε Y , ε Z ) = X T + ε ZVi + U i − ε Y Wi

Z i fik = zimer + v z ,i = f z ,i (YT , X T , Z T , ε X , ε Y , ε Z ) = Z T − ε X Vi + ε Y U i + Wi

(8.154)

m y = mx = mz = konst

∑ p v v +∑ p v v +∑ p v v y y y

x x x

z z z

(8.155)

= min

U uvažované úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 8.156. H 0 = (YT , 0 , X T , 0 , ZT , 0 , ε X , 0 , ε Y , 0 , ε Z , 0 ) = (0,0,0,0,0,0) T

T

(8.156)


H = H0 + dH

Sestavení úlohy


Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 8.159. f 0, y ,i = f y ,i (0,0,0,0,0,0, Vi , U i , Wi ) f 0, x ,i = f x ,i (0,0,0,0,0,0, Vi , U i , Wi )

(8.158)

f 0, z ,i = f z ,i (0,0,0,0,0,0, Vi , U i , Wi )

y1mer + v y ,1 = f 0, y ,1 + 1dYT + 0dX T + 0dZT + W1dε X + 0dε Y − U1dε Z x1mer + v x,1 = f 0, x ,1 + 0dYT + 1dX T + 0dZT + 0dε X − W1dε Y + V1dε Z z1mer + v z ,1 = f 0, z ,1 + 0dYT + 0dX T + 1dZT − V1dε X + U1dε Y + 0dε Z y2mer + v y , 2 = f 0, y , 2 + 1dYT + 0dX T + 0dZT + W2 dε X + 0dε Y − U 2 dε Z x2mer + v x , 2 = f 0, x , 2 + 0dYT + 1dX T + 0dZT + 0dε X − W2 dε Y + V2 dε Z z2mer + v z , 2 = f 0, z , 2 + 0dYT + 0dX T + 1dZT − V2 dε X + U 2 dε Y + 0dε Z y3mer + v y ,3 = f 0, y ,3 + 1dYT + 0dX T + 0dZT + W3 dε X + 0dε Y − U 3 dε Z x3mer + v x ,3 = f 0, x ,3 + 0dYT + 1dX T + 0dZT + 0dε X − W3 dε Y + V3 dε Z 3 z3mer + v z ,3 = f 0, z ,3 + 0dYT + 0dX T + 1dZT − V3 dε X + U 3 dε Y + 0dε Z

- 107 (140) -

(8.159)


Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 8.160 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy devíti lineárních rovnic o šesti neznámých parametrech.  v y ,1  1 v    x ,1  0  v z ,1  0    v y , 2  1 v x , 2  = 0    v z , 2  0 v  1  y ,3    v x ,3  0  v  0  z ,3  

0 0 + W1 1 0 0

0 − W1

0 1 − V1 0 0 + W2

+ U1 0

1 0

− W2

0

0 1 − V2 0 0 + W2

+ U2 0

1 0

0

− W3

0 1

− V3

+ U3

− U1   V1 − y1mer     + V1  U1 − x1mer    dY  0   T  W1 − z1mer     dX − U 2   T  V2 − y2mer   dZT  mer + V2    + U − x2     dε X   2 0  W − z 2mer   dε Y   2 − U3   V − y3mer     dε Z   3 + V3  U 3 − x3mer   mer  0  W3 − z3 

(8.160)

Zvolíme-li m0.apri = m y ,i = mx ,i = mz ,i pro i = 1, 2 a 3, pak matice vah P je jednotková – rovnice 8.161. diag (P ) = (1,1,1,1,1,1,1,1,1)

(8.161)

Shrnutí

Sestavený systém rovnic řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání. Výsledkem výpočtu bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. transformační klíč a jemu odpovídající kovarianční matice cov (H ) . Vektor L bude představovat vyrovnané fiktivní měřené veličiny tj. transformované body ze staré do nové soustavy souřadnic. Vektor oprav z vyrovnání v bude vektorem odchylek identických bodů. Modelová úloha – 3D podobnostní transformace – přibližné rovnice


Rovnice 8.162 nám představují zápis úlohy vyrovnání s devíti observačními rovnicemi o sedmi neznámých parametrech. Y1 fik = y1mer + v y ,1 = f y ,1 (YT , X T , Z T , ε X , ε Y , ε Z , dq ) = YT + V1 + dqV1 − ε ZU1 + ε X W1 X 1fik = x1mer + v x ,1 = f x,1 (YT , X T , Z T , ε X , ε Y , ε Z , dq ) = X T + U1 + ε ZV1 + dqU1 − ε Y W1 Z1fik = z1mer + v z ,1 = f z ,1 (YT , X T , ZT , ε X , ε Y , ε Z , dq ) = Z T + W1 − ε X V1 + ε Y U1 + dqW1

Y2fik = y2mer + v y , 2 = f y , 2 (YT , X T , ZT , ε X , ε Y , ε Z , dq ) = YT + V2 + dqV2 − ε ZU 2 + ε X W2 X 2fik = x2mer + v x , 2 = f x , 2 (YT , X T , ZT , ε X , ε Y , ε Z , dq ) = X T + U 2 + ε ZV2 + dqU 2 − ε Y W2

(8.162)

Z 2fik = z 2mer + v z , 2 = f z , 2 (YT , X T , Z T , ε X , ε Y , ε Z , dq ) = Z T + W2 − ε X V2 + ε Y U 2 + dqW2 Y3 fik = y3mer + v y ,3 = f y ,3 (YT , X T , Z T , ε X , ε Y , ε Z , dq ) = YT + V3 + dqV3 − ε ZU 3 + ε X W3

X 3fik = x3mer + v x,3 = f x ,3 (YT , X T , ZT , ε X , ε Y , ε Z , dq ) = X T + U 3 + ε ZV3 + dqU 3 − ε Y W3 Z 3fik = z3mer + v z ,3 = f z ,3 (YT , X T , ZT , ε X , ε Y , ε Z , dq ) = Z T + W3 − ε X V3 + ε Y U 3 + dqW3

Obecné observační rovnice 8.163 jsou opět lineární vzhledem ke všem neznámým parametrům. O řešení úlohy užitím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku v jednom výpočetním kroku – jedna iterace pro každé počáteční řešení H 0 .

- 108 (140) -

Transformace

Yi fik = yimer + v y ,i = f y ,i (YT , X T , Z T , ε X , ε Y , ε Z , dq ) = YT + Vi + dqVi − ε Z U i + ε X Wi X i fik = ximer + v x ,i = f x ,i (YT , X T , Z T , ε X , ε Y , ε Z , dq ) = X T + U i + ε Z Vi + dqU i − ε Y Wi Z i fik = zimer + v z ,i = f z ,i (YT , X T , Z T , ε X , ε Y , ε Z , dq ) = Z T + Wi − ε X Vi + ε Y U i + dqWi

(8.163)

m y = mx = mz = konst

∑ p v v +∑ p v v +∑ p v v y y y

x x x

z z z

(8.164)

= min

U uvažované úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 8.165. H 0 = (YT , 0 , X T , 0 , Z T , 0 , ε X , 0 , ε Y , 0 , ε Z , 0 , dq0 ) = (0,0,0,0,0,0,0) T

T

(8.165)


H = H0 + dH

Sestavení úlohy


Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 8.168. f 0, y , i = f y , i (0,0,0,0,0,0,0,Vi ,U i ,Wi )

(8.167)

f 0, x , i = f x , i (0,0,0,0,0,0,0,Vi ,U i ,Wi ) f 0, z , i = f z ,i (0,0,0,0,0,0,0,Vi ,U i ,Wi )

y1mer + v y ,1 = f 0,Y ,1 + 1dYT + 0dX T + 0dZT + W1dε X + 0dε Y − U1dε Z + V1ddq x1mer + v x ,1 = f 0, X ,1 + 0dYT + 1dX T + 0dZT + 0dε X − W1dε Y + V1dε Z + U1ddq z1mer + v z ,1 = f 0,Z ,1 + 0dYT + 0dX T + 1dZT − V1dε X + U1dε Y + 0dε Z + W1ddq y2mer + v y , 2 = f 0,Y , 2 + 1dYT + 0dX T + 0dZT + W2 dε X + 0dε Y − U 2 dε Z + V2 ddq x2mer + v x, 2 = f 0, X , 2 + 0dYT + 1dX T + 0dZT + 0dε X − W2 dε Y + V2 dε Z + U 2 ddq

(8.168)

z 2mer + v z , 2 = f 0,Z , 2 + 0dYT + 0dX T + 1dZT − V2 dε X + U 2 dε Y + 0dε Z + W2 ddq y3mer + v y ,3 = f 0,Y ,3 + 1dYT + 0dX T + 0dZT + W3 dε X + 0dε Y − U 3 dε Z + V3 ddq x3mer + v x ,3 = f 0, X ,3 + 0dYT + 1dX T + 0dZT + 0dε X − W3 dε Y + V3 dε Z + U 3 ddq z3mer + v z ,3 = f 0,Z ,3 + 0dYT + 0dX T + 1dZT − V3 dε X + U 3 dε Y + 0dε Z + W3 ddq

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav po dosazení nulového řešení – rovnice 8.169 představuje finální sestavení úlohy tj. soustavy devíti lineárních rovnic o sedmi neznámých parametrech.  v y ,1  1 v    x ,1  0  v z ,1  0    v y , 2  1 v x , 2  = 0    v z , 2  0 v  1  y ,3    v x ,3  0  v  0  z ,3  

0 0 1 0

W1 0

0 1 − V1 0 0 W2 1 0

0

0 − W1 U1 0 − W2

0 1 − V2 0 0 W3

U2 0

1 0

− W3

0

0 1 − V3

U3

− U1 V1   V1 − y1mer     V1 U1   dYT  U1 − x1mer  0 W1  dX T  W1 − z1mer     − U 2 V2   dZT  V2 − y2mer    V2 U 2   dε X  + U 2 − x2mer     0 W2   dε Y  W2 − z 2mer    − U 3 V3   dε Z  V3 − y3mer     V3 U 3   ddq  U 3 − x3mer   mer  0 W3  W3 − z3 

- 109 (140) -

(8.169)


Zvolíme-li m0.apri = m y ,i = mx ,i = mz ,i pro i = 1, 2 a 3, pak matice vah P je jednotková – rovnice 8.170. diag (P ) = (1,1,1,1,1,1,1,1,1)

(8.170)

Shrnutí


Závěr této kapitoly bude věnován procvičení probrané látky.

8.8

Shrnutí


Určete transformační klíč 2D podobnostní transformace.

Pozn.:Vyjděte z transformačních rovnic 8.35. Yi fik = YT + BVi + AU i X i fik = X T − AVi + BU i

Seznam bodů v nové soustavě souřadnic 925032410 [Y = 559880.820m, X = 1078718.530m] 925082520 [Y = 560019.460m, X = 1077778.560m] 925082580 [Y = 563691.530m, X = 1079657.940m] 925082600 [Y = 562827.190m, X = 1079016.520m] 925082620 [Y = 561821.090m, X = 1079238.360m] 925090030 [Y = 565991.630m, X = 1081806.120m] 925090392 [Y = 563859.680m, X = 1082278.780m] 925090530 [Y = 562978.830m, X = 1081765.910m]

Seznam bodů ve staré soustavě souřadnic 925032410 [Y = 559880.830m, X = 1078718.626m] 925082520 [Y = 560019.461m, X = 1077778.664m] 925082580 [Y = 563691.527m, X = 1079658.066m] 925082600 [Y = 562827.180m, X = 1079016.634m] 925082620 [Y = 561821.074m, X = 1079238.463m] 925090030 [Y = 565991.653m, X = 1081806.266m] 925090392 [Y = 563859.626m, X = 1082278.919m] 925090530 [Y = 562978.766m, X = 1081765.998m]

- 110 (140) -

Transformace

102 [Y = 560537.626m, X = 1078225.310m] 666 [Y = 561259.464m, X = 1078702.501m] 667 [Y = 561914.345m, X = 1078741.296m] 727 [Y = 562857.892m, X = 1079353.213m] 756 [Y = 563922.939m, X = 1080243.844m]

Pozn.: Zvolte následující vektor počátečního řešení. H 0 = (YT , 0 , X T , 0 , A0 , B0 ) = (0,0,0,1) T

T

Pozn.: Předpokládejte přesnost identických bodů 0.02m Příklad 8-2


Pozn.: Vyjděte ze zjednodušených transformačních rovnic 8.57. Yi fik = YT + Vi + dqVi + ε zU i X i fik = X T + U i − ε zVi + dqU i

Seznam bodů v nové soustavě souřadnic 925032410 [Y = 559880.820m, X = 1078718.530m] 925082520 [Y = 560019.460m, X = 1077778.560m] 925082580 [Y = 563691.530m, X = 1079657.940m] 925082600 [Y = 562827.190m, X = 1079016.520m] 925082620 [Y = 561821.090m, X = 1079238.360m] 925090030 [Y = 565991.630m, X = 1081806.120m] 925090392 [Y = 563859.680m, X = 1082278.780m] 925090530 [Y = 562978.830m, X = 1081765.910m]

Seznam bodů ve staré soustavě souřadnic 925032410 [Y = 559880.830m, X = 1078718.626m] 925082520 [Y = 560019.461m, X = 1077778.664m] 925082580 [Y = 563691.527m, X = 1079658.066m] 925082600 [Y = 562827.180m, X = 1079016.634m] 925082620 [Y = 561821.074m, X = 1079238.463m] 925090030 [Y = 565991.653m, X = 1081806.266m] 925090392 [Y = 563859.626m, X = 1082278.919m] 925090530 [Y = 562978.766m, X = 1081765.998m] 102 [Y = 560537.626m, X = 1078225.310m] 666 [Y = 561259.464m, X = 1078702.501m] 667 [Y = 561914.345m, X = 1078741.296m] 727 [Y = 562857.892m, X = 1079353.213m] 756 [Y = 563922.939m, X = 1080243.844m]

Pozn.: Zvolte následující vektor počátečního řešení. H 0 = (YT , 0 , X T , 0 , A0 , B0 ) = (0,0,0,1) T

T

Pozn.: Předpokládejte přesnost identických bodů 0.02m

- 111 (140) -


Příklad 8-3

Napište transformační rovnice pro převod souřadnic bodů ze staré do nové souřadnicové soustavy a následně do soustavy cílové přetransformujte všechny body.

Pozn.: Vyjděte z výsledků příkladu 8-1 a 8-2. Pozn.: V přehledné tabulce uveďte souřadnice bodů fiktivně měřených, opravy na identických bodech, souřadnice přetransformovaných bodů a odhady přesnosti vyrovnaných fiktivně měřených bodů. Příklad 8-4

Napište transformační rovnice pro převod kovariančních matic jednotlivých bodů sítě do nové soustavy souřadnic. V  0.02 2 H i =  i  , cov(H i ) =   0 U i 

0   0.02 2 

Pozn.: Vyjděte z výsledků příkladu 8-3. Pozn.: Předpokládejte, že všechny body sítě mají stejnou kovarianční matici. Příklad 8-5

Proveďte interpretaci výsledků řešení 2D transformace.

Vypočtěte: • míru identity staré a nové souřadnicové soustavy • závěr o identitě souřadnicových systémů vyslovte na základě vhodného statistického testu • vyhotovte histogram reziduí • graficky prezentujte výsledky transformace

Pozn.: Vyjděte z výsledků příkladů 8-1 až 8-4. Příklad 8-6


Pozn.: Vyjděte ze zjednodušených transformačních rovnic 8.152. Yi fik = YT + Vi + dqVi − ε Z U i + ε X Wi X i fik = X T + U i + ε Z Vi + dqU i − ε Y Wi Z i fik = Z T + Wi − ε X Vi + ε Y U i + dqWi

Seznam bodů v nové soustavě souřadnic 925032410 [Y = 559880.820m, X = 1078718.530m, Z = 333.000m] 925082520 [Y = 560019.460m, X = 1077778.560m, Z = 330.840m] 925082580 [Y = 563691.530m, X = 1079657.940m, Z = 307.070m] 925082600 [Y = 562827.190m, X = 1079016.520m, Z = 313.310m]

- 112 (140) -

Transformace

925082620 [Y = 561821.090m, X = 1079238.360m, Z = 318.460m] 925090030 [Y = 565991.630m, X = 1081806.120m, Z = 364.630m] 925090392 [Y = 563859.680m, X = 1082278.780m, Z = 308.350m] 925090530 [Y = 562978.830m, X = 1081765.910m, Z = 345.160m]

Seznam bodů ve staré soustavě souřadnic 925032410 [Y = 559880.830m, X = 1078718.626m, Z = 333.572m] 925082520 [Y = 560019.461m, X = 1077778.664m, Z = 331.395m] 925082580 [Y = 563691.527m, X = 1079658.066m, Z = 307.529m] 925082600 [Y = 562827.180m, X = 1079016.634m, Z = 313.810m] 925082620 [Y = 561821.074m, X = 1079238.463m, Z = 318.973m] 925090030 [Y = 565991.653m, X = 1081806.266m, Z = 365.041m] 925090392 [Y = 563859.626m, X = 1082278.919m, Z = 308.723m] 925090530 [Y = 562978.766m, X = 1081765.998m, Z = 345.648m] 102 [Y = 560537.626m, X = 1078225.310m, Z = 327.889m] 666 [Y = 561259.464m, X = 1078702.501m, Z = 323.003m] 667 [Y = 561914.345m, X = 1078741.296m, Z = 318.495m] 727 [Y = 562857.892m, X = 1079353.213m, Z = 312.967m] 756 [Y = 563922.939m, X = 1080243.844m, Z = 306.195m]

Pozn.: Zvolte následující vektor počátečního řešení. H 0 = (YT , 0 , X T , 0 , Z T , 0 , ε X , 0 , ε Y , 0 , ε Z , 0 , dq ) = (0,0,0,0,0,0,0) T

T

Pozn.: Předpokládejte přesnost identických bodů 0.02m a to v horizontální i vertikální složce. Příklad 8-7

Napište transformační rovnice pro převod souřadnic bodů ze staré do nové souřadnicové soustavy a následně do soustavy cílové přetransformujte všechny body.

Pozn.: Vyjděte z výsledků příkladu 8-6. Pozn.: V přehledné tabulce uveďte souřadnice bodů fiktivně měřených, opravy na identických bodech, souřadnice přetransformovaných bodů a odhady přesnosti vyrovnaných fiktivně měřených bodů. Příklad 8-8

Napište transformační rovnice pro převod kovariančních matic jednotlivých bodů sítě do nové soustavy souřadnic.  Vi  H i = U i Wi 

0.02 2    ,  cov(H i ) =  0  0   

0 0.02 2 0

0   0  0.02 2 

Pozn.: Vyjděte z výsledků příkladu 8-7. Pozn.: Předpokládejte, že všechny body sítě mají stejnou kovarianční matici.

- 113 (140) -


Příklad 8-9

Proveďte interpretaci výsledků řešení 3D transformace. Vypočtěte: • míru identity staré a nové souřadnicové soustavy (horizontální a vertikální složky sítě a celkovou) • závěr o identitě souřadnicových systémů vyslovte na základě vhodného statistického testování • vyhotovte histogram reziduí (pro horizontální a vertikální složku a složku celkovou) • graficky prezentujte výsledky transformace

Pozn.: Vyjděte z výsledků příkladů 8-6 – 8-8. Příklad 8-10

Řešte příklad 3D podobnostní transformace s neúplnými identickými body.

Pozn.: Vyjděte ze zjednodušených transformačních rovnic 8.152. Yi fik = YT + Vi + dqVi − ε Z U i + ε X Wi X i fik = X T + U i + ε Z Vi + dqU i − ε Y Wi Z i fik = Z T + Wi − ε X Vi + ε Y U i + dqWi

Seznam bodů v nové soustavě souřadnic 925032410 [Y = 559880.820m, X = 1078718.530m] 925082520 [Y = 560019.460m, X = 1077778.560m] 925082580 [Y = 563691.530m, X = 1079657.940m] 925082600 [Y = 562827.190m, X = 1079016.520m] 925082620 [Y = 561821.090m, X = 1079238.360m] 925090030 [Y = 565991.630m, X = 1081806.120m] 925090392 [Y = 563859.680m, X = 1082278.780m] 925090530 [Y = 562978.830m, X = 1081765.910m] 102 [ Z = 327.353m] 666 [ Z = 322.468m] 667 [ Z = 317.968m] 727 [ Z = 312.471m] 756 [ Z = 305.744m]

Seznam bodů ve staré soustavě souřadnic 925032410 [Y = 559880.830m, X = 1078718.626m, Z = 333.572m] 925082520 [Y = 560019.461m, X = 1077778.664m, Z = 331.395m] 925082580 [Y = 563691.527m, X = 1079658.066m, Z = 307.529m] 925082600 [Y = 562827.180m, X = 1079016.634m, Z = 313.810m] 925082620 [Y = 561821.074m, X = 1079238.463m, Z = 318.973m] 925090030 [Y = 565991.653m, X = 1081806.266m, Z = 365.041m] 925090392 [Y = 563859.626m, X = 1082278.919m, Z = 308.723m] 925090530 [Y = 562978.766m, X = 1081765.998m, Z = 345.648m]

- 114 (140) -

Transformace

102 [Y = 560537.626m, X = 1078225.310m, Z = 327.889m] 666 [Y = 561259.464m, X = 1078702.501m, Z = 323.003m] 667 [Y = 561914.345m, X = 1078741.296m, Z = 318.495m] 727 [Y = 562857.892m, X = 1079353.213m, Z = 312.967m] 756 [Y = 563922.939m, X = 1080243.844m, Z = 306.195m]

Pozn.: Zvolte následující vektor počátečního řešení. H 0 = (YT , 0 , X T , 0 , Z T , 0 , ε X , 0 , ε Y , 0 , ε Z , 0 , dq0 ) = (0,0,0,0,0,0,0) T

T

Pozn.: Předpokládejte přesnost identických bodů 0.02m a to v horizontální i vertikální složce. Příklad 8-11

Pro příklad 8-10 graficky prezentujte vektory odchylek na identických bodech. Řešení

Řešení příkladu 8-1 – 2D podobnostní transformace A. Sestavení úlohy vyrovnání Yi fik = yimer + v y ,i = f y (YT , X T , A, B ) = YT + BVi + AU i X i fik = ximer + v x ,i = f x (YT , X T , A, B ) = X T − AVi + BU i

m y i = mx i = 0.02m m0.apri = 1.000000

YT , 0 = 0.00m

X T , 0 = 0.00m

 v y , 241  1   v  x , 241   0 v y , 252  1     v x , 252   0  v y , 258  1     v x , 258   0  1 v  y , 260    v x , 260   0 = v  y , 262  1  v x , 262   0     v y , 003  1  v x , 003   0     v y , 039  1  0 v  x , 039    v y , 053  1   v  x , 053   0

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

A0 = 0 B0 = 1

1.07871862 6E006 - 5.59880830 0E005 1.07777866 4E006 - 5.60019461 0E005 1.07965806 6E006 - 5.63691527 0E005 1.07901663 4E006 - 5.62827180 0E005 1.07923846 3E006 - 5.61821074 0E005 1.08180626 6E006 - 5.65991653 0E005 1.08227891 9E006 - 5.63859626 0E005 1.08176599 8E006 - 5.62978766 0E005

5.59880830 0E005   0.010m   0.096m  1.07871862 6E006     0.001m  5.60019461 0E005     1.07777866 4E006   0.104m  - 0.003m  5.63691527 0E005     1.07965806 6E006   0.126m  5.62827180 0E005   dYT  - 0.010m     1.07901663 4E006   dX T   0.114m  + 5.61821074 0E005   dA  - 0.016m      1.07923846 3E006   dB   0.103m     5.65991653 0E005   0.023m   0.146m  1.08180626 6E006     5.63859626 0E005  - 0.054m   0.139m  1.08227891 9E006     5.62978766 0E005  - 0.064m   0.088m  1.08176599 8E006   

B. Základní údaje o provedeném vyrovnání n = 16

,

k =5

,

n − k = 12

,

m0.apost = 1.104142

- 115 (140) -


C. Vektor vyrovnaných měřených veličin, středních chyb a oprav fik   559880.838 m   Y241  fik    X 241  1078718.53 7m   fik  Y252   560019.461 m   fik     X 252  1077778.57 5m   Y fik   563691.536 m   258fik     X 258  1079657.94 3m   Y fik   562827.185 m   260    fik  1079016.52 0m   X 260  fik  =  ,  Y262   561821.083 m  fik  1079238.35 7m   X 262  fik    Y  003   565991.676 m  fik  X  1081806.12 0m     003  fik  Y039   563859.657 m   X fik  1082278.79 0m     039  fik   562978.794 m   Y053  fik  1081765.87 8m    X 053  

 mY 241   0.012m       m X 241   0.012m    0.013m  m  Y 252     m X 252   0.013m    0.009m  m  Y 258     m X 258   0.009m    0.008m    mY 260     m X 260   0.008m  =     ,  mY 262   0.009m   m X   0.009m   262     mY 003   0.014m    0.014m  m  X 003     mY 039   0.011m    0.011m  m  X 039     mY 053   0.010m       m X 053   0.010m 

 v y , 241   0.018m v     x , 241   0.007m v y , 252   0.001m     v x , 252   0.015m v y , 258   0.006m      v x , 258   0.003m v   − 0.005m  y , 260    v x , 260   0.000m = v     y , 262  − 0.007m v x , 262   − 0.003m     v y , 003   0.046m  v x ,003   0.000m     v y ,039   − 0.023m v   0.010m  x , 039    v y , 053   − 0.036m v     x ,053   − 0.032m

D. Vyrovnané neznámé veličiny a jejich přesnost - 8.042m  YT   X   6.467m  T=  A  0.000008364      B   0.999998263

,

3.844m   mY T   m   3.844m   XT  =   m A  0.00000315 7       m B  0.00000315 7 

Řešení příkladu 8-2 – 2D podobnostní transformace A. Sestavení úlohy vyrovnání Yi fik = yimer + v y ,i = f y (YT , X T , q, ε z ) = YT + Vi + dqVi + ε zU i X i fik = ximer + v x ,i = f x (YT , X T , q, ε z ) = X T + U i − ε zVi + dqU i

m y i = mx i = 0.02m m0.apri = 1.000000

YT ,0 = 0.00m

X T ,0 = 0.00m dq0 = 0 ε z , 0 = 0.0000 g

 v y , 241  1 v    x , 241   0 v y , 252  1     v x , 252   0  v y , 258  1     v x , 258   0 v  1  y , 260    v x , 260   0 v =  y , 262  1  v x , 262   0     v y , 003  1  v x , 003   0     v y , 039  1 v  0  x , 039    v y , 053  1 v    x , 053   0

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

1.07871862 6E006 - 5.59880830 0E005 1.07777866 4E006 - 5.60019461 0E005 1.07965806 6E006 - 5.63691527 0E005 1.07901663 4E006 - 5.62827180 0E005 1.07923846 3E006 - 5.61821074 0E005 1.08180626 6E006 - 5.65991653 0E005 1.08227891 9E006 - 5.63859626 0E005 1.08176599 8E006 - 5.62978766 0E005

5.59880830 0E005   0.010m    0.096m  1.07871862 6E006     0.001m  5.60019461 0E005     1.07777866 4E006   0.104m  - 0.003m  5.63691527 0E005     1.07965806 6E006   0.126m  5.62827180 0E005   dYT  - 0.010m     1.07901663 4E006   dX T   0.114m  + 5.61821074 0E005   d ε z  - 0.016m      1.07923846 3E006   ddq   0.103m     5.65991653 0E005   0.023m   0.146m  1.08180626 6E006     5.63859626 0E005  - 0.054m   0.139m  1.08227891 9E006     5.62978766 0E005  - 0.064m   0.088m  1.08176599 8E006   

- 116 (140) -

Transformace


,

k =5

,

,

n − k = 12

m0.apost = 1.104142

C. Vektor vyrovnaných měřených veličin, středních chyb a oprav fik   559880.838 m   Y241  fik    X  241  1078718.53 7m  fik   Y252  560019.461 m   fik    X  252  1077778.57 5m   Y fik   563691.536 m   258fik     X 258  1079657.94 3m   Y fik   562827.185 m   260    fik  1079016.52 0m   X 260 =  fik   ,  Y262   561821.083 m  fik  1079238.35 7m   X 262  fik     Y003   565991.676 m   X fik  1081806.12 0m     003  fik  Y039   563859.657 m   X fik  1082278.79 0m     039  fik   562978.794 m   Y053  fik  1081765.87 8m    X 053  

 mY 241  0.012m       m X 241  0.012m   0.013m  m  Y 252     m X 252  0.013m   0.009m  m  Y 258     m X 258  0.009m   0.008m  m  Y 260     m X 260  0.008m  =     ,  mY 262  0.009m   m X  0.009m   262     mY 003  0.014m   0.014m  m  X 003     mY 039  0.011m   0.011m  m  X 039     mY 053  0.010m       m X 053  0.010m 

 v y , 241   0.018m v     x , 241   0.007 m v y , 252   0.001m     v x , 252   0.015m v y , 258   0.006m      v x , 258   0.003m v   − 0.005m  y , 260    v x , 260   0.000m = v     y , 262  − 0.007 m v x , 262   − 0.003m     v y , 003   0.046m  v x ,003   0.000m     v y ,039   − 0.023m v   0.010m  x , 039    v y , 053   − 0.036m v     x ,053   − 0.032m

D. Vyrovnané neznámé veličiny a jejich přesnost - 8.042m  YT   X   6.467m  T=  ε z   0.000532g       dq  - 0.000001737

,

 mY T   3.844m  m   3.844m   XT  =   mε z   0.000201g       mdq  0.00000315 7 

Řešení příkladu 8-3

A. Transformační rovnice podle příkladu 8-1 Yi fik = yimer + v y ,i = f y (Vi ,U i ) = YT + BVi + AU i X i fik = ximer + v x ,i = f x (Vi ,U i ) = X T − AVi + BU i

Yi fik = y imer + v y ,i = f y (Vi ,U i ) = −8.0424 + 0.99999826 Vi + 0.00000836 U i X i fik = ximer + v x ,i = f x (Vi , U i ) = +6.4673 − 0.00000836 Vi + 0.99999826 U i

B. Transformační rovnice podle příkladu 8-2 Yi fik = yimer + v y ,i = f y (Vi ,U i ) = YT + Vi + dqVi + ε zU i

X i fik = ximer + v x ,i = f x (Vi ,U i ) = X T + U i − ε zVi + dqU i

Yi fik = y imer + v y ,i = f y (Vi , U i ) = −8.0424 + Vi − 0.00000174 Vi + 0.00000836 U i X i fik = x imer + v x ,i = f x (Vi , U i ) = +6.4673 + U i − 0.00000836 Vi − 0.00000174 U i Yi fik = y imer + v y ,i = f y (Vi , U i ) = −8.0424 + 0.99999826 V i + 0.00000836 U i X i fik = x imer + v x ,i = f x (Vi , U i ) = +6.4673 − 0.00000836 Vi + 0.99999826 U i

- 117 (140) -


C. Transformace bodů do nové soustavy souřadnic  v y , 241   0 .018 m  v     x , 241   0 .007 m   v y , 252   0 .001 m       v x , 252   0 .015 m   v y , 258   0 .006 m       v x , 258   0 .003 m  v   − 0 .005 m   y , 260     v x , 260   0 .000 m  v = ,  y , 262   − 0 .007 m   v x , 262   − 0 .003 m       v y , 003   0 .046 m   v x , 003   0 .000 m       v y , 039   − 0 .023 m  v   0 .010 m   x , 039     v y , 053   − 0 .036 m  v     x , 053   − 0 .032 m 

mer  y 241   559880.820 m   mer     x 241  1078718.53 0m  mer   y 252  560019.460 m   mer     x 252  1077778.56 0m   y mer   563691.530 m   258    mer  x 258  1079657.94 0m   y mer   562827.190 m   260    mer  x 260  1079016.52 0m   mer  =  ,  y 262   561821.090 m  mer  x 262  1079238.36 0m   mer     y 003   565991.630 m   x mer  1081806.12 0m   003    mer  y 039   563859.680 m   x mer  1082278.78 0m   039    mer  y 053   562978.830 m   mer  1081765.91 0m    x 053  

fik  Y241   559880.838 m   fik     X 241  1078718.53 7m  fik   Y252  560019.461 m   fik     X 252  1077778.57 5m   Y fik   563691.536 m   258fik     X 258  1079657.94 3m   Y fik   562827.185 m   260    fik  X 260  1079016.52 0m   fik  =    Y262   561821.083 m  fik  X 262  1079238.35 7m   fik     Y003   565991.676 m   X fik  1081806.12 0m   003    fik  Y039   563859.657 m   X fik  1082278.79 0m   039    fik  Y053   562978.794 m   fik  1081765.87 8m    X 053  

 Y102fik   560537.629m   fik     X 102  1078225.216m  fik   Y666  561259.469m   fik    X  666  1078702.400m   Y fik   561914.350m   667fik  =    X 667  1078741.190m   Y fik   562857.900m   727    fik  1079353.098m   X 727  fik     Y756   563922.953m  fik  1080243.718m   X 756

Pozn.: Transformační klíče podle varianty 8-3-A a 8-3-B jsou identické, řešení příkladu je tedy v obou případech shodné. Řešení příkladu 8-4

A. Zadání úlohy podle příkladu 8-3-A a 8-3-B V  H vu ,i =  i  U i 

, cov(H vu ,i ) = 0.020 

0

2

0   0.020 2 

Yi fik = f y (Vi , U i ) = −8.0424 + 0.99999826 Vi + 0.00000836 U i

X i fik = f x (Vi , U i ) = +6.4673 − 0.00000836 Vi + 0.99999826 U i

B. Řešení úlohy cov(H yx ,i ) = F cov(H vu ,i )F

 ∂f y  ∂v F = i  ∂f x  ∂v  i

T

∂f y   ∂u i   0.99999826 0.00000836 = ∂f x  − 0.00000836 0.99999826 ∂u i 

- 118 (140) -

Transformace

 Y fik  H yx ,i =  i fik  Xi 

, cov (H yx ,i ) = 0.00039999 9  0



0  0.020 2 = 0.00039999 9   0

  0.020  0

2

Pozn.: Jde o blízké systémy a kovarianční matice bodu se tedy oprávněně nezměnila. Pozn.: Transformační klíče podle varianty 8-3-A a 8-3-B jsou identické, řešení příkladu je tedy v obou případech shodné. Řešení příkladu 8-5

A. Výpočet míry identity souřadnicových systémů Apriorně předpokládáme, že systémy jsou si identické na úrovni níže zadaných přesností bodů: m y ,i = 0.020m , mx ,i = 0.020 m

Volíme: m0.apri = 1

Míru identity horizontální složky získáme z výsledků vyrovnání: m0. yx.apost = m0.apost = 1.104142

B. Statistické testování míry identity Test T3 : hypotézy H 0 : σ 2 = σ 02 proti hypotéze H : σ 2 ≠ σ 02 σ 0 = m0.apri = 1 , σ = m0.apost = S = 1.104 , η = 0 , n = 16 , k = 4 , α = 0.05 R=

(n − k )S 2 σ 02

=

(16 − 4)1.104 2 12

= 14.62

{ = {r , r < χ (12,0.025) ∪ r > χ (12,0.975)}

}

W3 = r , r < χ 2 (n − k , α 2) ∪ r > χ 2 (n − k ,1 − α 2) W3

2

2

W3 = (− ∞,4.75) ∪ (23.50,+∞ )

R ∉ W3 Pozn.: Závěr testu je tedy, že nulovou hypotézu H0 se nepodařilo zamítnout na hladině významnosti α = 0.05 . Pozn.: Statistickým testem se nepodařilo zamítnout domněnku, že souřadnicové systémy jsou identické na přesnostní úrovni 0.020m.

- 119 (140) -


C. Histogram reziduí

Pozn.: Měření, které překročí kritickou hodnotu ± t krit můžeme interpretovat jako odlehlá. D. Grafický zákres vektorů odchylek

Pozn. Body 3 a 53 v jižní části sítě evidentně porušují homogenitu bodového pole. Řešení příkladu 8-6 – 3D podobnostní transformace A. Sestavení úlohy vyrovnání Yi fik = yimer + v y ,i = f y (YT , X T , Z T , ε x , ε y , ε z , dq ) = YT + Vi + dqVi − ε Z U i + ε X Wi

X i fik = ximer + v x ,i = f x (YT , X T , Z T , ε x , ε y , ε z , dq ) = X T + U i + ε Z Vi + dqU i − ε Y Wi Z i fik = z imer + v z ,i = f z (YT , X T , Z T , ε x , ε y , ε z , dq ) = Z T + Wi − ε X Vi + ε Y U i + dqWi

m y i = m x i = m z i = 0.02m m0.apri = 1.000000

YT ,0 = 0.00m

X T ,0 = 0.00m Z T ,0 = 0.00m ε x , 0 = 0 g

- 120 (140) -

ε x,0 = 0 g

ε x,0 = 0 g

dq0 = 0

Transformace

 v y , 241  1   v  x , 241   0  v z , 241   0     v y , 252  1  v x , 252   0     v z , 252   0  1 v  y , 258    v x , 258   0   v  z , 258   0  v y , 260  1     v x , 260   0  v z , 260   0 =   v y , 262  1  0 v  x , 262    v z , 262   0  1 v  y , 003    v x , 003   0     v z , 003   0  v y , 039  1     v x , 039   0  v z , 039   0     v y , 053  1  0 v  x , 053    v z , 053   0

0 1

0 0

3.33572000 E02 0.00000000

0.00000000 - 3.33572000 E02

- 1.07871863 E06 5.59880830 E05

0 0 1

1 0 0

- 5.59880830 E05 3.31395000 E02 0.00000000

1.07871863 E06 0.00000000 - 3.31395000 E02

0.00000000 - 1.07777866 E06 5.60019461 E05

0 0 1 0

1 0 0 1

- 5.60019461 E05 3.07529000 E02 0.00000000 - 5.63691527 E05

1.07777866 E06 0.00000000 - 3.07529000 E02 1.07965807 E06

0.00000000 - 1.07965807 E06 5.63691527 E05 0.00000000

0 1 0

0 0 1

3.13810000 E02 0.00000000 - 5.62827180 E05

0.00000000 - 3.13810000 E02 1.07901663 E06

- 1.07901663 E06 5.62827180 E05 0.00000000

0 1 0 0

0 0 1 0

3.18973000 E02 0.00000000 - 5.61821074 E05 3.65041000 E02

0.00000000 - 3.18973000 E02 1.07923846 E06 0.00000000

- 1.07923846 E06 5.61821074 E05 0.00000000 - 1.08180627 E06

1 0 0

0 1 0

0.00000000 - 5.65991653 E05 3.08723000 E02

- 3.65041000 E02 1.08180627 E06 0.00000000

5.65991653 E05 0.00000000 - 1.08227892 E06

1 0 0

0 1 0

0.00000000 - 5.63859626 E05 3.45648000 E02

- 3.08723000 E02 1.08227892 E06 0.00000000

5.63859626 E05 0.00000000 - 1.08176600 E06

1 0

0 1

0.00000000 - 5.62978766 E005

- 3.45648000 E02 1.08176600 E006

5.62978766 E05 0.00000000

5.59880830 E05   0.010m   0.096m  1.07871863 E06     0.572m  3.33572000 E02     5.60019461 E05   0.001m   0.104m  1.07777866 E06     3.31395000 E02   0.555m   - 0.003m  5.63691527 E05     1.07965807 E06   0.126m    0.459m  3.07529000 E02    dYT   5.62827180 E05     - 0.010m     dX T   0.114m  1.07901663 E06   dZ T   3.13810000 E02     0.500m    dε x  +  - 0.016m  5.61821074 E05    dε y   1.07923846 E06     0.103m     dε z   3.18973000 E02     0.513m   ddq    0.023m  5.65991653 E05    1.08180627 E06   0.146m     3.65041000 E02   0.411m   - 0.054m  5.63859626 E05     1.08227892 E06   0.139m   0.373m  3.08723000 E02     5.62978766 E05   - 0.064m    0.088m  1.08176600 E06    3.45648000 E002   0.488m 


,

k =7

,

n − k = 17

,

m0.apost = 1.265035

C. Vektor vyrovnaných měřených veličin, středních chyb a oprav fik  Y241   559880.838 m   fik     X 241  = 1078718.53 7 m  , fik  Z 241   333.015 m   

 mY 241   0 .014 m       m X 241  =  0 .014 m  , m     Z 241   0 .016 m 

v y , 241   + 0.018m      v x , 241  = + 0.007m  v z , 241   + 0.015m 

fik  Y252   560019.461 m   fik    X  252  = 1077778.57 5 m  , fik  Z 252   330.825 m   

 m Y 252   0 .015 m       m X 252  =  0 .015 m  , m     Z 252   0 .016 m 

v y , 252   + 0.001m      v x , 252  = + 0.015m  v z , 252   − 0.015m 

fik  Y 258   563691.537 m   fik    X  258  = 1079657.94 4 m  , fik   Z 258    307.059 m 

 m Y 258   0 .010 m       m X 258  =  0 .010 m  , m     Z 258   0 .014 m 

v y , 258  + 0.007m     v x , 258  =  + 0.004m   v z , 258   − 0.011m 

fik  Y260   562827.186 m   fik     X 260  = 1079016.52 0 m  , fik  Z 260   313.313 m   

 m Y 260   0 .010 m       m X 260  =  0 .010 m  , m   0 .014 m    Z 260  

v y , 260  − 0.004m      v x , 260  = + 0.000m  v z , 260   + 0.003m 

fik  Y262   561821.083 m   fik    X 262   = 1079238.35 7 m  , fik  Z 262   318.461 m   

 m Y 262   0 .010 m       m X 262  =  0 .010 m  , m     Z 262   0 .010 m 

v y , 262  − 0.007m     v x , 262  =  − 0.003m   v z , 262   + 0.001m 


 m Y 003   0 .016 m       m X 003  =  0 .016 m  , m     Z 003   0 .018 m 

v y , 003   + 0.045m      v x , 003  = + 0.000m  v z ,003  + 0.019m

fik  Y039   563859.657 m   fik    X  039  = 1082278.79 1m  , fik   Z 039    308.299 m 

 m Y 039   0 .013 m       m X 039  =  0 .013 m  , m   0 .017 m    Z 039  

v y ,039  − 0.023m     v x , 039  =  + 0.011m   v z , 039   − 0.021m 

- 121 (140) -



 m Y 053   0 .011 m       m X 053  =  0 .011 m  , m     Z 053   0 .017 m 

v y ,053   − 0.036m      v x , 053  =  − 0.033m   v z ,053  + 0.039m

D. Vyrovnané neznámé veličiny a jejich přesnost - 8.038m YT   X   6.481m  T  Z T   - 28.546m     = 0.00001896 6 ε  x   ε y   0.000016103     ε z  - 0.000008369 dq  - 0.000001742    

,

4.405m  mY T   m   4.404m   XT   m Z T   7.083m      m = 0.00000757 5  εx   mε y  0.00000918 6     mε z  0.00000361 7  m  0.00000361 7    dq  

Řešení příkladu 8-7 A. Transformační rovnice podle příkladu 8-6 Yi fik = yimer + v y ,i = f y (Vi , U i , Wi ) = YT + Vi + dqVi − ε Z U i + ε X Wi X i fik = ximer + v x ,i = f x (Vi , U i , Wi ) = X T + U i + ε ZVi + dqU i − ε Y Wi Z i fik = zimer + v z ,i = f z (Vi , U i , Wi ) = Z T + Wi − ε X Vi + ε Y U i + dqWi Yi fik = yimer + v y ,i = f y (Vi , U i , Wi ) = −8.0381 + Vi − 0.00000174 2 Vi + 0.00000836 9 U i − 0.00001896 6 Wi

X i fik = ximer + v x ,i = f x (Vi , U i , Wi ) = +6.4807 + U i − 0.00000836 9 Vi − 0.00000174 2 U i − 0.00001610 3 Wi

Z i fik = z imer + v z ,i = f z (Vi , U i , Wi ) = −28.5462 + Wi + 0.00001896 6 Vi + 0.00001610 3 U i − 0.00000174 2 Wi Yi fik = y imer + v y ,i = f y (Vi , U i , Wi ) = −8.0381 + 0.999998258 Vi + 0.00000836 9 U i − 0.00001896 6 Wi

X i fik = x imer + v x ,i = f x (Vi , U i , Wi ) = +6.4807 − 0.00000836 9 Vi + 0.999998258 U i − 0.00001610 3 Wi

Z i fik = z imer + v z ,i = f z (Vi , U i , Wi ) = −28.5462 + 0.00001896 6 Vi + 0.00001610 3 U i + 0.999998258Wi

B. Transformace bodů do nové soustavy souřadnic mer  y 241   559880.820 m   mer    x  241  = 1078718.53 0 m  , mer   z 241    333.000 m 

v y , 241   + 0.018m      v x , 241  = + 0.007m ,  v z , 241   + 0.015m 

fik  Y241   559880.838 m   fik    X  241  = 1078718.53 7 m  fik   Z 241    333.015 m 

mer  y 252   560019.460 m   mer    x  252  = 1077778.56 0 m  , mer   z 252    330.840 m 

v y , 252   + 0.001m      v x , 252  = + 0.015m ,  v z , 252  − 0.015m 



v y , 258  + 0.007m     v x , 258  = + 0.004m ,  v z , 258   − 0.011m 



v y , 260   − 0.004m      v x , 260  = + 0.000m ,  v z , 260   + 0.003m 



v y , 262  − 0.007m     v x , 262  =  − 0.003m  ,  v z , 262   + 0.001m 


mer  y 003   565991.630 m   mer    x  003  = 1081806.12 0 m  , mer  z 003   364.630 m   

v y ,003  + 0.045m      v x ,003  = + 0.000m ,  v z , 003  + 0.019m

fik  Y003   565991.675 m   fik    X  003  = 1081806.12 0 m  fik  Z 003   364.649 m   

- 122 (140) -

Transformace

mer  y 039   563859.680 m   mer    x  039  = 1082278.78 0 m  , mer  z 039   308.350 m   

v y ,039  − 0.023m     v x , 039  =  + 0.011m  ,  v z , 039   − 0.021m 

fik  Y039   563859.657 m   fik    X  039  = 1082278.79 1m  fik  Z 039   308.299 m   

mer  y 053   562978.830 m   mer    x 053   = 1081765.91 0 m  , mer  z 053   345.160 m   

v y ,053  − 0.036m      v x ,053  =  − 0.033m  ,  v z ,053  + 0.039m

fik  Y053   562978.794 m   fik    X 053   = 1081765.87 7 m  fik  Z 053   345.199 m   

 Y102fik   560537.629 m   fik     X 102  = 1078225.21 6 m  fik  Z 102   327.336 m    fik  Y666   561259.469 m   fik    X  666  = 1078702.40 0 m  fik  Z 666   322.472 m    fik  Y667   561914.350 m   fik    X 667   = 1078741.19 0 m  fik  Z 667   317.977 m    fik  Y727   562857.900 m   fik    X 727   = 1079353.09 8 m  fik  Z 727   312.476 m    fik  Y756   563922.953 m   fik    X 756   = 1080243.71 9 m  fik  Z 756   305.739 m   

Řešení příkladu 8-8

A. Zadání úlohy podle příkladu 8-7 H vuw,i

 Vi  = U i Wi 

    

,

0.020 2  cov(H vuw,i ) =  0  0 

0 0.020 0

  0  0.020 2  0

2

Yi fik = yimer + v y ,i = f y (Vi , U i , Wi ) = −8.0381 + Vi − 0.00000174 2 Vi + 0.00000836 9 U i − 0.00001896 6 Wi

X i fik = ximer + v x ,i = f x (Vi , U i , Wi ) = +6.4807 + U i − 0.00000836 9 Vi − 0.00000174 2 U i − 0.00001610 3 Wi

Z i fik = z imer + v z ,i = f z (Vi , U i , Wi ) = −28.5462 + Wi + 0.00001896 6 Vi + 0.00001610 3 U i − 0.00000174 2 Wi

B. Řešení úlohy cov(H yxz ,i ) = F cov(H vuw,i )F  ∂f y   ∂v i ∂f F= x  ∂v i  ∂f  z  ∂v i H yxz ,i

∂f y ∂u i ∂f x ∂u i ∂f z ∂u i

 Yi fik    =  X i fik   Z i fik   

T

∂f y   ∂wi  1 − 0.00000174 2 + 0.00000836 9 − 0.00001896 6  ∂f x   =  − 0.00000836 9 1 − 0.00000174 2 − 0.00001610 3  ∂ wi   + 0.00001610 3 1 − 0.00000174 2  ∂f z   + 0.00001896 6  ∂wi 

 0.000399999

1.22164E - 13 5.39064E - 14  0.000399999 - 6.34906E - 14 5.39064E - 14 - 6.34906E - 14 0.000399999 

, cov(H yxz ,i ) = 1.22164E - 13 

Pozn.: Jde o blízké systémy a kovarianční matice bodu se tedy oprávněně nezměnila.

- 123 (140) -


Řešení příkladu 8-9 A. Výpočet míry identity souřadnicových systémů Apriorně předpokládáme, že systémy jsou si identické na úrovni níže zadaných přesností bodů: m y ,i = 0.020m , mx ,i = 0.020 m , m z ,i = 0.020m

Volíme: m0.apri = 1

Míru identity horizontální složky získáme z výsledků vyrovnání. m0.apost = 1.263864 m0. yx.apost = 1.13091581 8 m0. z .apost = 1.49469650 7

Pozn.: Různé hodnoty jednotlivých středních chyb mohou stejně jako u vyrovnání geodetických sítí naznačovat nesprávný poměr přesností vstupních veličin do vyrovnání. B. Statistické testování míry identity Test T3 : hypotézy H 0 : σ 2 = σ 02 proti hypotéze H : σ 2 ≠ σ 02 σ 0 = m0.apri = 1 , σ = m0.apost = S = 1.263864 , η = 0 , n = 24 , k = 7 , α = 0.05 R=

(n − k )S 2

=

σ 02

(24 − 7 )1.2638 2 12

= 27.15

{ } = {r , r < χ (17,0.025) ∪ r > χ (17,0.975)}

W3 = r , r < χ 2 (n − k , α 2) ∪ r > χ 2 (n − k ,1 − α 2) W3

2

2

W3 = (− ∞,7.01) ∪ (33.5,+∞ )

R ∉ W3 Pozn.: Závěr testu je tedy, že nulovou hypotézu H0 se nepodařilo zamítnout na hladině významnosti α = 0.05 . Pozn.: Statistickým testem se nepodařilo zamítnout domněnku, že souřadnicové systémy jsou identické na přesnostní úrovni 0.020m.

- 124 (140) -

Transformace

C. Histogram reziduí Pozn.: Horizontální složka

Pozn.: Vertikální složka

Pozn.: Měření, které překročí kritickou hodnotu ± t krit můžeme interpretovat jako odlehlá. D. Grafický zákres vektorů odchylek

Pozn. Body 3 a 53 v jižní části sítě evidentně porušují homogenitu bodového pole.

- 125 (140) -


Řešení příkladu 8-10 – 3D podobnostní transformace

A. Sestavení úlohy vyrovnání Yi fik = yimer + v y ,i = f y (YT , X T , Z T , ε x , ε y , ε z , dq ) = YT + Vi + dqVi − ε Z U i + ε X Wi

X i fik = ximer + v x ,i = f x (YT , X T , Z T , ε x , ε y , ε z , dq ) = X T + U i + ε Z Vi + dqU i − ε Y Wi Z i fik = z imer + v z ,i = f z (YT , X T , Z T , ε x , ε y , ε z , dq ) = Z T + Wi − ε X Vi + ε Y U i + dqWi

m y i = m x i = m z i = 0.02m m0.apri = 1.000000

YT ,0 = 0.00m  v y , 241   1   v  x , 241   0  v y , 252   1     v x , 252   0  v y , 258   1     v x , 258   0  1 v  y , 260    v x , 260   0   v  y , 262   1  v x , 262   0     v y , 003  =  1  v x , 003   0     v y , 039   1  0 v  x , 039    v y , 053   1  0 v  x , 053    v z ,102   0     v z , 666   0  v z , 667   0     v z , 727   0  v z , 756   0   

X T ,0 = 0.00m Z T ,0 = 0.00m ε x , 0 = 0 g

ε x,0 = 0 g

0 1 0 1 0

0 0 0 0 0

3.33572000 E02 0.00000000 3.31395000 E02 0.00000000 3.07529000 E02

0.00000000 - 3.33572000 E02 0.00000000 - 3.31395000 E02 0.00000000

- 1.07871863 E06 5.59880830 E05 - 1.07777866 E06 5.60019461 E05 - 1.07965807 E06

1 0 1

0 0 0

0.00000000 3.13810000 E02 0.00000000

- 3.07529000 E02 0.00000000 - 3.13810000 E02

5.63691527 E05 - 1.07901663 E06 5.62827180 E05

0 1

0 0

3.18973000 E02 0.00000000

0.00000000 - 3.18973000 E02

- 1.07923846 E06 5.61821074 E05

0 1 0

0 0 0

3.65041000 E02 0.00000000 3.08723000 E02

0.00000000 - 3.65041000 E02 0.00000000

- 1.08180627 E06 5.65991653 E05 - 1.08227892 E06

1 0

0 0

0.00000000 3.45648000 E02

- 3.08723000 E02 0.00000000

5.63859626 E05 - 1.08176600 E06

1 0

0 1

0.00000000 - 5.60537626 E05

- 3.45648000 E02 1.07822531 E06

5.62978766 E05 0.00000000

0 0 0 0

1 1 1 1

- 5.61259464 - 5.61914345 - 5.62857892 - 5.63922939

1.07870250 1.07874130 1.07935321 1.08024384

E05 E05 E05 E05

E06 E06 E06 E06

0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000

ε x,0 = 0 g

dq0 = 0

5.59880830 E05   0.010m   0.096m  1.07871863 E06     0.001m  5.60019461 E05     1.07777866 E06   0.104m   - 0.003m  5.63691527 E05     1.07965807 E06   0.126m   - 0.010m  5.62827180 E05     1.07901663 E06   dYT   0.114m      5.61821074 E05  dX T  - 0.016m        0.103m  1.07923846 E06  dZ T     5.65991653 E05   d ε x  +  0.023m  1.08180627 E06   d ε y   0.146m      5.63859626 E05   d ε z   - 0.054m  1.08227892 E06   ddq   0.139m     5.62978766 E05   - 0.064m    1.08176600 E06 0.088m     3.27889000 E02   0.536m     3.23003000 E02   0.535m   0.527m  3.18495000 E02     3.12967000 E02   0.496m   0.451m  3.06195000 E02 


,

k =7

,

n − k = 14

,

m0.apost = 1.048589

C. Vektor vyrovnaných měřených veličin, středních chyb a oprav fik  Y241   559880.838 m   fik  =  ,  X 241  1078718.53 6 m 

 m y   0 .012 m   241  =  ,  m x 241   0 .012 m 

v y , 241   + 0.018m = v   x , 241  + 0.006m

fik  Y252   560019.461 m   fik  =  , X  252  1077778.57 5 m 

 m y   0 .013 m   252  =  ,  m x 252   0 .013 m 

v y , 252   + 0.001m = v   x , 252  + 0.015m

fik  Y 258   563691.536 m   fik  =  , X  258  1079657.94 4 m 

 m y   0 .008 m   258  =  ,  m x 258   0 .008 m 

v y , 258  + 0.006m = v   x , 258  + 0.004m

fik  Y260   562827.185 m   fik  =  ,  X 260  1079016.52 0 m 

 m y   0 .008 m   260  =  ,  m x 260   0 .008 m 

v y , 260   − 0.005m = v   x , 260  + 0.000m

fik  Y262   561821.083 m   fik  =  ,  X 262  1079238.35 7 m 

 m y   0 .008 m   262  =  ,  m x 262   0 .008 m 

v y , 262  − 0.007m = v   x , 262   − 0.003m

fik  Y003   565991.676 m   fik  =  , X  003  1081806.11 9 m 

 m y   0 .014 m   003  =  ,  m x 003   0 .014 m 

v y ,003  + 0.046m = v   x ,003   − 0.001m

- 126 (140) -

Transformace

fik  Y039   563859.657 m   fik  =  , X  039  1082278.79 1m 

 m y   0 .011m   039  =  ,  m x 039   0 .011m 

v y ,039  − 0.023m v =   x ,039   + 0.011m

fik  Y053   562978.794 m   fik  =  ,  X 053  1081765.87 7 m 

 m y   0 .009 m   053  =  ,  m x 053   0 .009 m 

v y ,053  − 0.036m = v   x ,053   − 0.033m

 m z 1102   0 .016 m       m z 1666   0 .014 m   m z  =  0 .016 m  ,  1667     m z 1727   0 .014 m  m     z 1756   0 .020 m 

fik  327.342 m   Z 1102  fik     Z 1666  322.477 m  fik   Z 1667 = 317.974 m  ,  fik    Z  1727  312.473 m  fik  Z  1756  305.739 m 

 v z ,1102   − 0 .011 m  v     z ,1666   + 0 .009 m   v z ,1667  =  + 0 .006 m       v z ,1727   + 0 .002 m   v z ,1756   − 0 .005 m   

D. Vyrovnané neznámé veličiny a jejich přesnost - 8.027m YT   X   6.393m  T  Z T   43.111m     ε x  = - 0.000004995 ε y   0.000036879     ε z  - 0.000008322 dq  - 0.000001679    

,

3.653m   mY T   m   3.652m  X  T  m Z T   48.864m      mε x  = 0.00003749 2 mε y  0.00006419 2     mε z   0.00000300 1 m  0.00000299 8   dq  

Řešení příkladu 8-11 – grafický zákres vektorů odchylek

- 127 (140) -


Kontrolní otázky

Vysvětlete pojem identický bod. Vysvětlete pojem transformační klíč. Jak posoudíte kvalitu transformace ? Co je to translace ? Co je to míra identity ? Jaký je potřeba mít minimální počet identických bodů pro vyřešení 2D podobnostní transformace ? Jaký je potřeba mít minimální počet identických bodů pro vyřešení 3D podobnostní transformace ? Kdy můžeme používat zjednodušené transformační rovnice ? Řešení


Následující kapitola bude věnována metodám do-transformace souřadnic.

- 128 (140) -

Do-transformace

9

Do-transformace

Problémem klasických transformací jsou zbytkové odchylky na identických bodech způsobené nedostatečnou deformací sítě bodů staré soustavy souřadnic na body soustavy nové. Např. transformace shodnostní zachovává tvar a rozměr sítě původní.

Existuje několik důvodů pro deformaci sítě původní na body nové soustavy souřadnic tak, aby na identických bodech byly nulové odchylky. Do-transformaci provedeme: • je-li soustava cílová přesnější jak soustava výchozí, • jsou-li pro nás souřadnice bodů v soustavě cílové bez ohledu na jejich přesnost závazné.

V praxi často nastává varianta, při které je potřeba napasovat velmi přesné měření do systému měně kvalitního. Na tomto místě si je nutné uvědomit, že provedením do-transformace degradujeme naše měření na přesnost bodového pole, do kterého měření převádíme.

9.1

Jungova do-transformace

Jungova do-transformace je založena na obecných aritmetických průměrech. Na změně souřadnic transformovaných bodů se nejvíce podepíšou odchylky na nejbližších identických bodech. Transformace identických bodů

Identické body transformujeme podle rovnic 9.1. Y j = f y (V j , vv , j ) = V j + vv , j X j = f x (U j , vu , j ) = U j + vu , j pro j = 1 .. n, kde n je počet identických bodů Z j = f z (W j , vw, j ) = W j + vw, j

(9.1)

Opravy vv , j , vu, j a vw, j určíme pomocí rovnic 9.2. tj. např. z výsledků klasické transformace. vv , j = Y j − V j vu , j = X j − U j pro j = 1 .. n, kde n je opět počet identických bodů

(9.2)

vw, j = Z j − W j

Z uvedených rovnic vyplívá, že identický bod přejde ze souřadnic v soustavě původní přímo na jeho polohu v soustavě nové. Transformace ostatních bodů

Na hodnotách korekcí souřadnic ostatních bodů se projeví odchylky všech identických bodů v předem stanoveném okolí. Do výpočtu se berou všechny identické body uvnitř kružnice se středem v souřadnicích transformovaného bodu a o voleném poloměru rk .

- 129 (140) -


Yi = f y (Vi , vv ,1 ,..., vv ,n ) = Vi

∑ + ∑

X i = f x (U i , vu ,1 ,..., vu ,n ) = U i +

Z i = f z (Wi , vw,1 ,..., vw,n ) = Wi +

n

j =1 n

∑ ∑

p j vv , j pj

j =1

n

j =1 n

p j vu , j

j =1

∑ ∑ n

j =1 n

pro i = 1 .. m

(9.3)

pj

p j v w, j

j =1

pj

Parametr m je počet transformovaných bodů a váhu p j vypočteme podle rovnice 9.4. pi =

1 sik, j

(9.4)

Symbol si , j představuje vzdálenost k identickému bodu j. si , j =

(y

− yi ) + (x j − xi ) 2

j

(9.5)

2

Parametr k udává tzv. stupeň do-transformace. Při volbě k = 2 hovoříme o tzv. do-transformaci Jungově.

Obr. 9-1

Princip výpočtu odchylek pro transformovaný bod P.

Následující obrázek ilustruje vliv identických bodů na body nově transformované do nové soustavy souřadnic.

Obr. 9-2

Jungova do-transformace

- 130 (140) -

Do-transformace

Souhrn

Následující podkapitola je věnována grafickým metodám do-transformací bodů.

9.2

Grafická metoda do-transformace

V této podkapitole popíšeme jednu z grafických metod do-transformací souřadnic. Metoda je ve svém principu založena na interpolaci korekcí polohy transformovaného bodu na základě oprav tří nejbližších bodů identických. Popis metody

Pro transformaci bodů do nové soustavy souřadnic použijeme transformační rovnice 9.6. Y j = f y (V j , vv , j ) = V j + vv , j X j = f x (U j , vu , j ) = U j + vu , j pro j = 1 .. m Z j = f z (W j , vw, j ) = W j + vw, j

(9.6)

Opravy vv , j , vu , j a vw, j pro transformace bodů do nové soustavy souřadnic určíme jako funkční hodnotu funkcí f y , f x a f z . vv , j = f y (v j , u j )

vu , j = f x (v j , u j ) pro j = 1 .. m

(9.7)

vw, j = f z (v j , u j )

Výše jmenované funkce se konstruují graficky na základě oprav na identických bodech. Výsledkem jsou pak mapy izolinií pro odchylky ve směrech souřadnicových os y, x a z.

Obr. 9-3

Příklad funkce f y (vi , ui )

Z obrázku 9-3 je patrné, že hodnoty korekcí pro y souřadnici bodu 1 a 2 získáme na základě interpolace průběhu funkce f y v trojúhelníku daného body 252,

666 a 262.

- 131 (140) -


Souhrn

Následující podkapitola bude věnována mřížkové transformaci.

9.3

Do-transformace pomocí mřížky

Mapy izolinií, kterými vystihujeme průběhy korekcí vv,i , vu ,i a vw,i pro převod z jednoho systému do druhého mohou být také generovány pomocí výpočetní techniky. K tomuto účelu se používají programy pro modelovaní 3D ploch, ve kterých se v různé míře automatičností vytváří drátová kostra modelu. Ta je obvykle složena z trojúhelníků. V rámci dílčích ploch drátové kostry modelu pak probíhá interpolace jednotlivých korekcí. Jedná se tedy o postup podobný grafické metodě popsané v předchozí podkapitole. Princip metody

Pro zajištění jednotného ukládání výše definovaných ploch se tyto plochy ukládají v podobě mřížek tj. body v předem zvolené čtvercové nebo obdélníkové pravoúhlé síti. Pro body mřížky jsou před uložením interpolovány hodnoty jednotlivých korekcí.

Obr. 9-4

Příklad funkce f y (vi , ui ) definované mřížkou

Funkce f y (vi , ui ) je uložena v podobě matice – rovnice 9.8. + 0.002  − 0.003  − 0.007  − 0.010

+ 0.006 + 0.012 + 0.015 + 0.002 + 0.007 + 0.010 − 0.002 + 0.001 + 0.002  − 0.007 − 0.006 − 0.004

(9.8)

Z obrázku 9-4 a matice dané rovnicí 9.8 je patrné, že hodnoty korekcí pro y souřadnice bodů 1 a 2 získáme interpolací z odpovídajících čtverců mřížky, ve kterých se nacházejí. Prostřednictvím mřížkových souborů v binární podobě jsou uživatelům poskytovány funkce pro výpočet korekcí vv,i , vu,i a vw,i . Souhrn

Následující podkapitola je věnována procvičení probrané látky.

- 132 (140) -

Do-transformace

9.4

Shrnutí


Jungovou do-transformací převeďte souřadnice bodů 102, 666, 667, 727 a 756 ze souřadnicové soustavy VU do souřadnicové soustavy YX.  V 241   559880.838 m      U 241  1078718.53 7m   V 252   560019.461 m      U 252  1077778.57 5m   V   563691.536 m   258    U 258  1079657.94 3m   V   562827.185 m   260    U 260  1079016.52 0m  =    ,  V 262   561821.083 m  U 262  1079238.35 7m       V 003   565991.676 m  U  1081806.12 0m   003     V 039   563859.657 m  U  1082278.79 0m   039     V 053   562978.794 m      U 053  1081765.87 8m 

 v v , 241   − 0 .018 m    v   u , 241   − 0 .007 m   v v , 252   − 0 .001 m       v u , 252   − 0 .015 m   v v , 258   − 0 .006 m       v u , 258   − 0 .003 m    + 0 .005 m  v  v , 260    v  u , 260   − 0 .000 m  =   v ,  v , 262   + 0 .007 m   v u , 262   + 0 .003 m       v v , 003   − 0 .046 m   v u , 003   − 0 .000 m       v v , 039   + 0 .023 m    − 0 .010 m  v  u , 039     v v , 053   + 0 .036 m    v   u , 053   + 0 .032 m 

 Y241   559880.820 m       X 241  1078718.53 0m   Y 252   560019.460 m       X 252  1077778.56 0m   Y   563691.530 m   258     X 258  1079657.94 0m   Y   562827.190 m   260     X 260  1079016.52 0m  =      Y 262   561821.090 m   X 262  1079238.36 0m       Y003   565991.630 m   X  1081806.12 0m   003     Y039   563859.680 m   X  1082278.78 0m   039     Y053   562978.830 m       X 053  1081765.91 0m 

 V102   560537.629 m      U 102  1078225.21 6m   V666   561259.469 m      U 666  1078702.40 0m   V   561914.350 m   667  =   U 667  1078741.19 0m   V   562857.900 m   727    U 727  1079353.09 8m       V756   563922.953 m  U 756  1080243.71 8m 

Pozn. Kritický poloměr rk pro volbu identických bodů zvolte 8 km. Pozn.: Graficky prezentujte výsledky výpočtu. Příklad 9-2

Metodou grafické do-transformace převeďte souřadnice bodů 102, 666, 667, 727 a 756 ze souřadnicové soustavy VU do souřadnicové soustavy YX.

Pozn.: Číselné zadání je shodné s příkladem 9-1. Pozn.: Graficky prezentujte výsledky výpočtu Příklad 9-3

Porovnejte výsledky příkladu 9-1 a 9-2. Pozn.: Sestavte přehlednou tabulku výsledků.

- 133 (140) -


Řešení

Řešení příkladu 9-1 – Jungova do-transformace A. Tabulka výsledků 102 [V = 560537.629 m, U = 1078225.21 6 m ] 666 [V = 561259.469 m, U = 1078702.40 0 m ] 667 [V = 561914.350 m, U = 1078741.19 0 m ] 727 [V = 562857.900 m, U = 1079353.09 8m ] 756 [V = 563922.953 m, U = 1080243.71 8m ] 102 [v v = −0.006m, v u = −0.009m] 666 [v v = +0.002m, v u = −0.001m] 667 [v v = +0.005m, v u = +0.001m] 727 [v v = +0.004m, v u = +0.000m] 756 [v v = −0.001m, v u = +0.000m]

102 [Y = 560537.623 m, X = 1078225.20 7 m ] 666 [Y = 561259.471 m, X = 1078702.39 9 m ] 667 [Y = 561914.355 m, X = 1078741.19 1m ] 727 [Y = 562857.904 m, X = 1079353.09 8m ] 756 [Y = 563922.952 m, X = 1080243.71 8m ]

B. Grafická prezentace výsledků

Pozn.: Všimněte si, že polohu transformovaných bodů vždy nejvíce ovlivní nejbližší identický bod.

- 134 (140) -

Do-transformace

Řešení příkladu 9-2 – grafická metoda do-transformace A. Mapa izolinií vv

Pozn.: Definice funkce f y (vi , ui ) B. Mapa izolinií vu

Pozn.: Definice funkce f x (vi , ui )

- 135 (140) -


C. Tabulka výsledků 102 [V = 560537.629 m, U = 1078225.21 6 m ] 666 [V = 561259.469 m, U = 1078702.40 0 m ] 667 [V = 561914.350 m, U = 1078741.19 0 m ] 727 [V = 562857.900 m, U = 1079353.09 8m ] 756 [V = 563922.953 m, U = 1080243.71 8m ] 102 [v v = +0.001m, v u = −0.010m] 666 [v v = +0.004m, v u = −0.004m] 667 [v v = +0.004m, v u = −0.003m] 727 [v v = +0.001m, v u = −0.001m] 756 [v v = −0.005m, v u = −0.004m]

102 [Y = 560537.630 m, X = 1078225.20 6 m ] 666 [Y = 561259.473 m, X = 1078702.39 6m ] 667 [Y = 561914.354 m, X = 1078741.18 7 m ] 727 [Y = 562857.901 m, X = 1079353.09 7 m ] 756 [Y = 563922.948 m, X = 1080243.71 4m ]

D. Grafická prezentace výsledků

- 136 (140) -

Do-transformace

Řešení příkladu 9-3 – číselné a grafické porovnání metod do-transformací souřadnic A. Srovnávací tabulka Jungova do-transformace 102 [v v = −0.006m, v u = −0.009m] 666 [v v = +0.002m, v u = −0.001m] 667 [v v = +0.005m, v u = +0.001m] 727 [v v = +0.004m, v u = +0.000m] 756 [v v = −0.001m, v u = +0.000m]

Grafická metoda do-transformace 102 [v v = +0.001m, v u = −0.010m] 666 [v v = +0.004m, v u = −0.004m] 667 [v v = +0.004m, v u = −0.003m] 727 [v v = +0.001m, v u = −0.001m] 756 [v v = −0.005m, v u = −0.004m]

B. Grafické srovnání

- 137 (140) -


Kontrolní otázky

K čemu slouží metody do-transformací souřadnic ? Popište princip Jungovi do-transformace. Popište princip grafické do-transformace. Popište princip mřížkové do-transformace. Řešení


Následující kapitola bude věnována závěrečným informacím o tomto studijním materiálu.

- 138 (140) -

Závěr

10

Závěr

Tato kapitola je rekapitulací získaných znalostí a dovedností z oblasti řešení geodetických sítí a transformací souřadnic užitím MNČ.

10.1 Shrnutí Tento studijní materiál se zabýval: • vyrovnáním polohových geodetických sítí • vyrovnáním výškových geodetických sítí • 2D transformacemi souřadnic • 3D transformacemi souřadnic • metodami do-transformací souřadnic

10.2 Studijní prameny Uvedená literatura umožňuje čtenáři hlubší proniknutí do problematiky řešení geodetických sítí a transformací souřadnic užitím MNČ a je tedy námětem pro další studium a rozšiřování vlastních znalostí v dané problematice.

10.2.1 Seznam použité literatury [1]

Kratochvíl, V. Polohové geodetické sítě – Aplikace metody nejmenších čtverců a transformace souřadnic. Vojenská akademie v Brně 2000.

[2]

Kratochvíl, V., Fixel, J. Globální systém určování polohy – GPS - Aplikace v geodézii. Vojenská akademie v Brně 2001.

[3]

Nevosád, Z., Vitásek, J., Bureš, J. Geodézie IV. CERM Brno 2002.

10.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury [4]

Hampacher, M., Radouch, V. Teorie chyb a vyrovnávací počet 10. Ediční středisko ČVUT Praha 1997.

[5]

Hampacher, M., Radouch, V. Teorie chyb a vyrovnávací počet 20. Ediční středisko ČVUT Praha 1997.

[6]

Koutková, H., Moll, I. Úvod do pravděpodobnosti a matematické statistiky. CERM Brno 2001.

10.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny [7]

Velmi doporučuji prostudování souvisejících studijních opor vydaných Ústavem geodézie VUT v Brně.

- 139 (140) -


10.3 Klíč Odpovědi na otázky, výsledky příkladů a postupy řešení úkolů obsažených v tomto studijním materiálu jsou vždy situovány na konce jednotlivých kapitol. V případě nejasnosti doporučuji vyhledat výše uvedenou literaturu.

10.4 Poznámka Postřehy a náměty ze strany čtenářů jsou obecně velmi prospěšné pro inovace a další rozšiřování studijních materiálů libovolného typu. Cestou zpětné vazby od čtenářů mohu též velmi operativně upravit méně srozumitelné pasáže a případně i chyby textu. Vaše připomínky a náměty zasílejte na emailovou adresu [email protected].

- 140 (140) -

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ GEODETICKÉ SÍTĚ MODUL 02 VYROVNÁNÍ GEODETICKÝCH SÍTÍ

Recommend Documents