VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ ALEŠ DRÁB HYDROINFORMATIKA I MODUL M02 EXCEL PRO VODOHOSPODÁE

VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ

ALEŠ DRÁB

HYDROINFORMATIKA I MODUL M02 EXCEL PRO VODOHOSPODÁ E

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Hydroinformatika I · Modul 2

© Aleš Dráb, Brno 2005

- 2 (28) -

Obsah

OBSAH 1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí ová slova.........................................................................................5 1.5 Metodický návod na práci s textem ......................................................6 2 Aproximace ko en rovnic ..........................................................................7 3 ešení optimaliza ních úloh ......................................................................12 4 ešení oby ejných diferenciálních rovnic ................................................16 5 ešení soustavy oby ejných diferenciálních rovnic ................................18 6 Makra ..........................................................................................................23 7 Záv r ............................................................................................................27 7.1 Shrnutí.................................................................................................27 7.2 Studijní prameny .................................................................................27 7.2.1 Seznam použité literatury .....................................................27 7.2.2 Seznam dopl kové studijní literatury ...................................28

- 3 (28) -

Úvod

1

Úvod

EXCEL je velice užite ným univerzálním nástrojem v rukou vodohospodá e. Umož uje správu dat, provád ní analýz a grafickou prezentaci výsledk p edevším formou graf . Úlohy prezentované v tomto modulu odpovídají “tradi nímu” schématu hydroinforma ního systému (viz Modul 1, obrázek 2.1). Vaše znalosti z dosavadního studia, spolu se vstupními daty uvedenými v zadání úloh a p íklad , využijete pro sestavení matematického popisu jev ešených v úloze (tj. vytvo íte tzv. matematický model). Vztahy definované v rámci matematického modelu budete následn ešit bu analyticky nebo numericky v programu EXCEL. Definování matematického modelu a jeho následné ešení p edstavuje ve zmi ovaném schématu (viz Modul 1, obrázek 2.1) simula ní model. EXCEL je tedy nástrojem simula ního modelu. Na základ takto získaných výsledk doporu íte ešení dané úlohy.

1.1

Cíle

V tomto modulu se nau íte, jakým zp sobem je možné aplikovat EXCEL p i ešení úloh s využitím základních numerických metod. Konkrétn p jde o: • Aproximace ko en rovnic. • Optimaliza ní úlohy. •

ešení oby ejných diferenciálních rovnic (ODR).

•

ešení soustav (ODR).

Jednotlivé numerické metody budou prezentovány na konkrétních úlohách z oboru vodního hospodá ství. V záv ru se navíc ješt seznámíme s možnostmi využití maker p i ešení výše uvedených úloh.

1.2

Požadované znalosti

K úsp šnému zvládnutí tohoto modulu se p edpokládají základní znalosti numerických metod, hydrauliky a práce s programem EXCEL.

1.3

Doba pot ebná ke studiu

Doba pot ebná ke zvládnutí textu odpovídá 6 výukovým hodinám, tedy cca 6 x 50 min.

1.4

Klí ová slova

Numerické metody, hydraulika, Excel, matematický model, numerický model, makro.

- 5 (28) -


1.5

Metodický návod na práci s textem

Text modulu je t eba procházet postupn (nep eskakovat mezi kapitolami) a pr b žn zpracovávat uvedené p íklady a úlohy. Spln ním úlohy je mnohdy podmín no pochopení dalšího textu, který navazuje na poznatky získané b hem jejího ešení. Student by m l p i pro itání textu sou asn realizovat nazna ené postupy na po íta i v programu EXCEL.

- 6 (28) -

Aproximace ko en rovnic

2


V této kapitole se budeme zabývat možnostmi ešení rovnic typu f(x)=0, s využitím programu EXCEL. Mezi nejrozší en jší aproxima ní metody pat í nap .: • metoda t tiv (neboli regula falsi), • metoda te en (neboli Newtonova metoda), • itera ní metoda, • metoda p lení intervalu atd. Informace Podrobn jší informace o uvedených metodách m žete získat nap . v literatu e [1] a [2]. Úkol 2.1 S použitím odborné literatury si zopakujte základní principy výše uvedených numerických metod. Použití Newtonovy metody si budeme demonstrovat na p íklad ešení úlohy ustáleného rovnom rného proud ní v prizmatickém koryt . K ešení tohoto typu úloh se b žn používá Chezyho rovnice [5]: v = C RI

,

(2.1)

kde v je st ední profilová rychlost, C rychlostní sou initel, R hydraulický polom r a I podélný sklon dna koryta. Rychlostní sou initel C budeme uvažovat dle Manninga ve tvaru: C=

1 1/ 6 R , n

(2.2)

kde n je drsnostní sou initel. Pokud rovnici 2.1 dosadíme do rovnice kontinuity obdržíme pro objemový pr tok Q korytem vztah: Q = SC RI

,

(2.3)

kde S zna í pr to ný pr ez koryta toku. Naším úkolem je nyní stanovit hloubku h, kterou protéká, za daných podmínek, korytem pr tok Q. Ze vztahu 2.3 je patné, že explicitní ešení této úlohy není možné. To znamená, že z rovnice 2.3 není možné vyjád it prom nnou h. Je to dáno tím, že S=f(h), C=f(h), R=f(h). Tradi ní postup ešení této úlohy spo ívá ve vykreslení m rné k ivky koryta (tj. funk ní závislosti Q=f(h)) pro dostate ný rozsah hloubek, tak aby z této k ivky bylo možné následn ode íst pro hledaný pr tok odpovídající hloubku h.

- 7 (28) -


Druhou možností, která je snáze zpracovatelná s využitím výpo etní techniky je p evedení rovnice 2.3 na tvar f(h) = 0: SC RI − Q = 0 .

(2.4)

ešit tuto rovnici znamená nalézt všechny hloubky h, pro které rovnice f(h)=0. Každé takové íslo nazýváme ko en rovnice, k jehož nalezení m žeme použit n kterou z aproxima ních metod, zmín ných v úvodu kapitoly. V následujícím p íklad provedeme ešení ob ma postupy s použitím programu EXCEL. P íklad 2.1 Zjist te jakou hloubkou h, protéká v prizmatickém koryt dle obrázku 2.1 pr tok Q=20 m3/s. Koryto je ve dn široké b=15 m, stupe drsnosti n=0,020, podélný sklon I=1 ‰. Sklon svahu 1:2. C stanovte dle Manninga.

Obr. 2.1- Schéma p í ného profilu.

Nejprve provedeme vyjád ení vztah pro výpo et pr to né plochy S a omo eného obvodu koryta o: 1 S = b + mh h , 2

(2.5)

o = h + b + h 1+ m2 .

(2.6)

Nyní m žeme postupn jednotlivé vztahy vložit do sešitu aplikace EXCEL. Výsledek by m l odpovídat obrázku 2.2.

- 8 (28) -


Obr. 2.2- Výpo et funk ní závislosti Q=f(h).

Do grafu následn vyneseme funk ní závislost Q=f(h), ímž získáme m rnou k ivku, která je uvedena na obrázku 2.3.

M rná k ivka koryta 2.2 2 1.8

Hloubka h [m]

1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Pr tok Q [m3/s]

50

55

60

65

70

75

80

Obr. 2.3- M rná k ivka koryta.

Z grafické podoby m rné k ivky by bylo nyní možné ode íst pro p íslušný pr tok Q odpovídající hloubku h. Tento postup se však v programu EXCEL obtížn realizuje. Zvolíme tedy postupy jiné, založené na numerických metodách. Pokud se blíže podíváte na tabulku vypo tených hodnot hloubek vody a pr tok zjistíte, že hledaná hloubka se pohybuje p ibližn okolo hodnoty 0,9 m. My bychom však cht li znát ešení p esn jší. Jednou z cest k dosažení výsledku je metodou “pokus a omyl “ postupn zkoušet m nit hodnotu ve sloupci hloubek, tak dlouho než dosáhneme ve sloupci pr tok hodnoty 20 m3/s. Tento postup je však zna n zdlouhavý.

- 9 (28) -


EXCEL k tomuto ú elu disponuje nástrojem, který nalezneme v položce hlavního menu Nástroje | Hledání ešení (viz obrázek 2.4).

Obr. 2.4- Nástroj “Hledání ešení”.

Tento nástroj je založen na Newtonov aproxima ní metod . Jeho použití je velice jednoduché. Po spušt ní bude EXCEL hledat takovou hodnotu v bu ce “M n ná bu ka” dokud nedosáhne v bu ce “Nastavená bu ka” hodnoty stanovené v poli “Cílová hodnota”. Praktické použití pro náš p ípad je patrné z obrázku 2.5.

Obr. 2.5- Použití nástroje “Hledání ešení”.

Po spušt ní nástroje obdržíme výsledek h=0,914 m. Nástroj “Hledání ešení” si ukážeme ješt v jiné modifikaci. Obsah listu s výpo tem m rné k ivky si nakopírujeme na nový list a upravíme dle obrázku 2.6. Do bu ky f(h) dále vložíme rovnici 2.4 a pomocí nástroje “Hledání ešení” nalezneme její ko en.

- 10 (28) -


Obr. 2.6- Použití nástroje “Hledání ešení”pro nelezení ko enu rovnice.

Výsledkem je samoz ejm h=0,914 m.

hodnota shodná s p edchozím

ešením, tedy

Úkol 2.2 Navrhn te další možnosti využití nástroje “Hledání ešení” v hydraulických výpo tech. Inspiraci m žete nalézt nap . v literatu e [6], [7].

- 11 (28) -


3

ešení optimaliza ních úloh

V této kapitole se budeme zabývat možnostmi ešení úloh matematického programování (lineárního a nelineárního)[11] s využitím nástroje “ ešitel”, který je sou ástí programu EXCEL. Úlohy lineárního a nelineárního programování vycházejí zpravidla ze základního principu nalezení extrému (tj. absolutního minima, pop . absolutního maxima) tzv. ú elové funkce, p i dodržení vlastních omezujících podmínek (vlastních omezení) a podmínek nezápornosti [11]. P íklad 3.1 Na obrázku 3.1 je zakreslen systém prvk , které se budeme snažit optimalizovat na základ zadaných kritérií. Na vodním toku je umíst n odb r vody A pro úpravnu pitné vody. Tímto odb rem se snižuje pr tok vody v toku, na kterém dále leží istírna odpadních vod ( OV), která naopak do toku dodává organické zne išt ní. Problémem je, že ím v tší bude odb r pro úpravnu pitné vody, tím menší bude pr tok v míst vyúst ní OV a z toho plyne i v tší zne išt ní toku pod OV.

Obr. 3.1- Schéma systému prvk .

Vstupní parametry, které máme optimalizovat jsou následující: • R - procentuelní snížení odb ru pro úpravnu pitné vody (stávající odb r je A [m3/s]). • S - procentuelní snížení organického zne išt ní z OV (stávající zatížení je W [kg/den]). Náklady a škody vyvolané uvedenými opat eními jsou tyto: • Náklady na vybudování náhradních odb r pro pitnou vodu v d sledku procentuelního snížení odb ru A: XA = 2000 R 2 .

(3.1)

• Náklady na rozší ení kapacity išt ní W:

OV za ú elem procentuelního snížení zne-

XW = 4000000 + 50000 S 0,75 .

- 12 (28) -

(3.2)


• Škody vyvolané zne išt ním vodního toku pod cena pozemk , atd.):

OV (možnosti rekreace,

XC = 1000 D ,

(3.3)

kde D je délka toku pod OV v [km], kde je koncentrace kyslíku ve vod menší než 5 g/l. Racionální plánování, projektování, ízení a monitorování OV je z velké ásti založeno na porozum ní kyslíkové balanci toku a zajišt ní požadované koncentrace kyslíku. K tomu, abychom mohli tuto úlohu ešit pot ebujeme matematický model, pomocí kterého stanovíme hodnotu D. Za tímto ú elem použijeme Streeter vPhelps v model [12], který popisuje proces oxygenace, pop . deoxygenace vody v toku: x

c x = cs −

x

−Kd −Ka K d Lo v −e v e Ka − Kd

,

(3.4)

kde cx [g/m3] je aktuální koncentrace rozpušt ného kyslíku ve vzdálenosti x sm rem po toku od výusti OV, cs [g/m3] rovnovážná koncentrace kyslíku ve vod , Kd [s-1] rychlostní konstanta odbourávání zne išt ní, Ks [s-1] rychlostní konstanta reaerace vody v toku, Lo [g/m3] koncentrace zne išt ní v toku na výusti z OV (tj. pro x=0 m) a v [m/s] je st ední profilová rychlost vody v toku. Dále zavedeme hodnotu sníženého zatížení toku zne išt ním z OV – W’ a pr tok vody v toku v míst OV - Q’: W '= W 1−

S 100

Q' = Q − A 1 −

,

R 100

(3.5) .

(3.6)

St ední profilovou rychlost v toku potom vyjád íme vztahem: v = 0,2 (Q ' ) 0,55 .

(3.7)

Vztah vychází z Chezyho rovnice po dosazení parametr koryta, které nejsou pro zjednodušení sou ástí zadání (drsnost, sklon dna, p í ný profil). ešení provedeme pro tyto vstupní hodnoty: •

cs=10 g/m3,

•

Kd=2,31 . 10-5 s-1,

•

Ka=5,79 . 10-5 s-1,

•

W= 1500 kg/den,

•

Q= 5 m3/s,

•

A= 2 m3/s.

- 13 (28) -


Do sešitu v programu EXCEL nejd íve vložíme výše uvedené vstupní parametry, hodnoty po áte ního odhadu parametr S, R a dále vztahy pro výpo et XA, XW, W’, Q’, Lo a v. P íklad s vypo tenými hodnotami m žeme vid t na obrázku 3.2.

Obr. 3.2- Optimalizace – výchozí tabulka.

Jist jste si povšimli, že v tabulce na obrázku 3.2 není uvedena hodnota cx. Její výpo et je vhodné provést zvláš pro r zné hodnoty vzdálenosti x. V našem p ípad m žeme použít nap . x v intervalu od 0 do 50 000 m, s krokem 500m (viz obrázek 3.3). Pokud si vyneseme závislost cx=f(x) do grafu, zjistíme, že hodnota cx postupn klesá z po áte ní hodnoty cs=10 g/m3 na minimum a poté se zp t pozvolna vrací na po áte ní úrove 10 g/m3.

Obr. 3.3- Výpo et závislosti cx=f(x)

- 14 (28) -


Pro stanovení hodnoty D použijeme funkci KDYŽ(), která nám umožní ov it podmínku poklesu cx pod hodnotu 5 g/m3. Následn použijeme funkci MIN(), pro ur ení minimální hodnoty ve sloupci cx. Dále funkci MAX() pro ur ení maximální hodnoty ve sloupci D, ze které vypo teme škodu XC (viz obrázek 3.3 dole). V tuto chvíli již m žeme vypo ítat i hodnotu v bu ce “Celkem“ (viz obrázek 3.4 dole), jako sou et XC+XA+XW. Uvedený sou et náklad a škod tvo í ú elovou funkci, jejíž hodnotu se budeme snažit minimalizovat za sou asného dodržení t chto omezujících podmínek: • 0

R

100,

• 0

S

90,

• Minimální hodnota cx 4 g/m3 (uvažováno na celém ešeném úseku toku). Tato mezní hodnota je stanovena s ohledem na zabrán ní úhynu ryb v toku. K ešení použijeme v úvodu kapitoly zmi ovaný nástroj “ ešitel”, a to volbou položky z hlavního menu Nástroje | ešitel. Nastavení v zobrazeném dialogovém panelu je patrné z obrázku 3.4.

Obr. 3.4- Použití ešitele pro nalezení minima ú elové funkce p i spln ní v tšího po tu omezujících podmínek.

ešení Po spušt ní ešitele obdržíme tyto výsledky: R=1 %, S=52 % a celkové vyvolané náklady iní cca 5 mil. K . Vzhledem k velmi malé vypo tené hodnot R m žeme doporu it ponechat velikost odb ru A na stávající úrovni, tedy R= 0 %.

Úkol 3.1 Použijte nástroj “ ešitel” k nalezení hloubky vody v p íkladu 2.1.

- 15 (28) -


4

ešení oby ejných diferenciálních rovnic

Postup numerického ešení oby ejné diferenciální rovnice v programu EXCEL si ukážeme na jednoduchém p íklad ešení usazovací nádrže za pomocí Eulerovy metody [1], [3]. P íklad 4.1

Obr. 4.1- Schéma usazovací nádrže.

Uvažujme usazovací nádrž dle obrázku 4.1. Zne išt ná voda p itéká do usazovací nádrže a zde dochází k sedimentaci kalu. Bilanci mezi celkovou hmotností kalu v usazovací nádrži v závislosti na p itékajícím množství m žeme vyjád it diferenciální rovnicí: dM = Qcv − Qc − v s Ac , dt

(4.1)

kde M [g] je celková hmotnost kalu v usazovací nádrži, c [g/m3] koncentrace kalu v nádrži, cv [g/m3] koncentrace kalu v p itékající vod , Q [m3/den] p itékající množství vody (v tomto p íklad je shodné s odtékajícím), vs [m/den] sedimenta ní rychlost kalu, A [m2] plocha hladiny v nádrži. Pokud budeme p edpokládat, že objem nádrže V [m3] není funkcí asu, pak m žeme rovnici 4.1 upravit na tvar: vc dc Q Q = cv − c − s dt V V H

,

(4.2)

kde H [m] je pr m rná hloubka usazovací nádrže. Za p edpokladu, že všechny prom nné s výjimkou c, jsou nezávislé na ase existuje analytické ešení rovnice 4.2. Uvažujme koncentraci c=0 v ase t=0, pak:

c = cv

−t Q cv 1 − e V

Q vs + V H

Q vs + V H

- 16 (28) -

.

(4.3)

ešení oby ejných diferenciálních rovnic

ešení rovnice 4.3 provedeme pro tyto vstupní hodnoty: •

cv=40 g/m3,

•

Q=10 000 m3/den,

•

V=100 000 m3,

•

H=1 m,

•

vs=0,2 m/den.

Postup ešení v etn grafu závislosti c=f(t) je patrné z obrázku 4.2.

Obr. 4.2- Analytické ešení usazovací nádrže.

Nyní provedeme ešení stejné úlohy numericky, metodou Eulerovou. Rovnici 4.2 upravíme za použití aproximace 4.4 upravíme na tvar 4.5: ci +1 − ci dc = ti +1 − ti dt

ci +1 = ci +

,

(4.4)

i

vc Q Q cv − ci − s i V V H

(ti+1 − ti ) .

(4.5)

ešení provedeme pro po áte ní podmínku c=0 v ase t=0 s.Výsledné srovnání analytického a numerického ešení je uvedeno na obrázku 4.3.

Obr. 4.3- Srovnání analytického a numerického ešení usazovací nádrže. - 17 (28) -


5

ešení soustavy oby ejných diferenciálních rovnic

Postup ešení soustavy oby ejných diferenciálních rovnic si p iblížíme na p íklad ešení vyrovnávací komory na p ivad i vodní elektrárny. Vyrovnávací komory tvo í ást tlakového p ivad e nebo odpadu vodní elektrárny. Ú el vyrovnávacích komor je dvojí [5]: • zmírn ní vodního rázu, • vytvo ení nádrže, která v prvních okamžicích po zm n pracovního režimu pojme p ebyte né množství vody nebo dodává tlakovému potrubí chyb jící pr tok. Zmírn ní vodního rázu vyrovnávací komorou se projevuje omezením škodlivého p sobení vodního rázu na krátké tlakové potrubí, zatímco dlouhý p ivad z stává prakticky uchrán n. Dále pak zkrácením doby p sobení p ímého rázu v tlakovém potrubí, takže se sníží maximum tlakového p evýšení. Jakákoli zm na pracovního režimu vyvolá v soustav vodní nádrž – tlakový p ivad – vyrovnávací komora – tlakové potrubí – elektrárna neustálený pohyb vody, který se projeví jednak vodním rázem, jednak oscila ním pohybem vody v p ivad i a vyrovnávací komo e. Principem hydraulického ešení vyrovnávacích komor je hledání závislosti zm ny rychlosti proud ní (v) v p ivad i a polohy hladiny (z) ve vyrovnávací komo e na ase (t) pro známou asovou zm nu pr toku Q=f(t). Pro ur ení obou neznámých je nutno sestavit dv diferenciální rovnice, kterým se vzhledem k periodickým výkyv m hladiny ve vyrovnávací komo e íká oscila ní. První rovnice 5.1 je rovnicí kontinuity a vyjad uje rovnost pr toku p ivad em p ed vyrovnávací komorou, p ítokem do vyrovnávací komory a pr tokem turbínou [8]: dz 1 = (Q − Sv) , dt S k

(5.1)

kde t je as, z je okamžitá poloha hladiny ve vyrovnávací komo e (orientace je kladná, když je hladina zaklesnutá pod hydrostatickou hladinou v nádrži a záporná v opa ném p ípad ), Sk zna í plochu p594n0ho 5eyu vzrovn8vac9 komorou, Q je okamžitá hodnota pr toku od vyrovnávací komory k turbín a v st ední rychlost v p ivad i mezi akumula ní nádrží a vyrovnávací komorou (kladná orientace je ve sm ru proud ní k vyrovnávací komo e). Druhá rovnice 5.2 (pohybová) je odvozena na základ Newtonových zákon a vyjad uje závislost zrychlení vodní hmoty na poloze hladiny ve vyrovnávací komo e a na velikosti ztrát t ením v p ivad i [8]: dv g = (z dt l

Zt ) ,

(5.2)

kde g zna í gravita ní zrychlení, l délku p ivad e p ed vyrovnávací komorou a Zt souhrn tlakových ztrát v p ivad i mezi akumula ní nádrží a vyrovnávací komorou.

- 18 (28) -


Soustavu oby ejných diferenciálních rovnic budeme ešit numericky metodou Rungovou-Kuttovou [1], [3], [4] s použitím programu EXCEL v rámci následujícího p íkladu. P íklad 5.1 Vy ešte asový pr b h výkyv hladiny ve vyrovnávací komo e válcového tvaru s volnou hladinou p i náhlém uzav ení p ivad e na elektrárnu za komorou.

Obr. 5.1- Schéma vyrovnávací komory

Je dán pr tok p ed uzav ením Q=25,0 m3/s, pr m r kruhového p ivad e D=3,57 m, plocha pr ezu komory Sk=100 m2, rychlost v p ivad i p ed uzav ením vo=2,5 m/s, délka p ivad e mezi akumula ní nádrží a vyrovnávací komorou l=3000 m a stupe drsnosti p ivad e n=0,016. ešení zahájíme výpo tem ztrát v p ivad i za pomocí Chezyho rovnice [7]: Zt = l

Q2 2

C S 2R

,

(5.3)

kde C je rychlostní sou initel dle Manninga a R hydraulický polom r. Dosazením za C po úprav dostaneme vztah: Zt = v2

n 2l R4/3

= v 2ζ

.

(5.4)

Nyní již máme p ipraveny všechny pot ebné vztahy a m žeme p istoupit k ešení v programu EXCEL. P ed zahájením práce si ješt zopakujeme postup numerického ešení soustav diferenciálních rovnic Rungovou-Kuttovou metodou [1], [3], [4]. Uvažujme soustavu dvou diferenciálních rovnic tvaru y ' = f ( x, y , z ), z ' = g ( x, y, z ) ,

(5.5)

p i po áte ních podmínkách y(xo) = yo, z(xo) = zo. Dále položme

- 19 (28) -


k=

kde korekce

1 (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), r = 1 (r1 + 2r2 + 2r3 + r4 ), 6 6

(5.6)

k1 = f ( xo , yo , zo ) ,

(5.7)

hk hr h k 2 = f ( xo + , y o + 1 , z o + 1 ) , 2 2 2 hk 2 hr2 h k 3 = f ( xo + , y o + , zo + ), 2 2 2 k 4 = f ( xo + h, y o + hk 3 , z o + hr3 ) ,

(5.8)

r1 = g ( xo , y o , z o ) .

(5.9) (5.10) (5.11)

Korekce r2, r3 a r4 jsou utvo eny obdobn jako korekce k2, k3 a k4 jen s tím rozdílem, že místo funkce f v nich vystupuje funkce g. Pak hledané hodnoty funkcí y a z v bod xo + h jsou y ( x o + h) ≈ y o + hk , z ( x o + h) ≈ z o + h r.

(5.12)

Pokusme se nyní aplikovat nazna ený postup s využitím programu EXCEL. Nejprve do sešitu vložíme hodnoty a vztahy pro výpo et vstupních parametr , jak je patrné z obrázku 5.2.

h

Obr. 5.2- Vstupní parametry pro ešení

Na dalším obrázku 5.3 je ukázán postup jednoho kroku Rungovy-Kuttovy metody. Nejprve vytvo íme sloupec t, do kterého vložíme hodnoty asu odstup ované dle zvoleného asového kroku (zde h=10 s). Dále do bun k zo, yo zadáme po áte ní podmínky. Nyní již m žeme pokra ovat výpo tem korekcí k1 až k4 a r1 až r4. Výpo et prvního kroku zakon íme stanovením k, r a výpo tem y ( x o + h) ≈ y o + hk , z ( x o + h) ≈ z o + h r.

ešení úlohy provedeme pro asový interval 0 až 2000 s a výsledky vyneseme do grafu, jak je uvedeno na obrázku 5.4. Pro ú ely vynesení grafu byly vytvoeny nové sloupce do kterých byly kopírováním vloženy hodnoty asu, výkyv hladiny a rychlostí v p ivad i. Pro lepší p edstavu o pohybech hladiny ve vyrovnávací komo e byly navíc hodnoty výkyv vynásobeny hodnotou (-1).

- 20 (28) -


xo

yo

zo

yo + hk 1 k = (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) 6 r=

1 (r1 + 2r2 + 2r3 + r4 ) 6

k1 = f ( xo , yo , zo )

z o + hr

r1 = g ( x o , y o , z o )

yo +

k 2 = f (xo +

hk1 2

zo +

hr1 2

hk hr h , yo + 1 , z o + 1 ) 2 2 2 r2 = g ( x o +

hk hr h , yo + 1 , zo + 1 ) 2 2 2

Obr. 5.3- Postup ešení v programu EXCEL.

Obr. 5.4- Pr b h st edních rychlostí proud ní v p ivad i a kolísání hladiny ve vyrovnávací komo e v p ípad náhlého odstavení elektrárny.

Úkol 5.1 Úpravou po áte ních podmínek prove te simulaci stavu, kdy na po átku je elektrárna mimo provoz a náhle dojde k jejímu spušt ní. Odb r na turbíny iní Q=25 m3/s. Výsledky výpo tu by m ly odpovídat obrázku 5.5. Kontrolou je pro vás, že kóta ustálené hladiny v komo e a rychlost proud ní vody v p ivad i by m la být shodná s hodnotami v p vodním zadání (tj. v=2,5 m/s a z=5,6 m).

- 21 (28) -


ešení

6 4 2 0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

z [m], v [m/s]

-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14

Hladina v komo e - z Rychlost v p ivad i - v

-16

as [s]

Obr. 5.5- Pr b h st edních rychlostí proud ní v p ivad i a kolísání hladiny ve vyrovnávací komo e v p ípad náhlého spušt ní elektrárny.

Úkol 5.2 V odborné literatu e se seznamte s možnostmi stanovení chyb RungovyKuttovy metody.

- 22 (28) -

Makra

6

Makra

Tato kapitola poskytuje základní informace o tvorb maker v programu EXCEL. Makra m žeme chápat jako programy zapsané v programovacím jazyku VBA (Visual Basic for Application). Smyslem vytvá ení maker maker je p edevším usnadn ní opakovaného provád ní stejných úkon , pop . rozší ení programu EXCEL o nové funkce. Vytvo ení makra nutn nevyžaduje znalosti programování. Nyní si na jednoduchém p íklad ukážeme základní princip vytvo ení makra. Použijeme k tomu p íklad 2.1 ve kterém jsme pracovali s nástrojem “Hledání ešení”. Na obrázku 6.1 m žeme vid t otev ený sešit EXCEL, tak jak jsme ho uložili po dokon ení p íkladu 2.1.

Obr. 6.1- Sešit po dokon ení p íkladu 2.1.

Pokud bychom cht li stanovit hloubku h pro jinou hodnotu pr toku Q, museli bychom znovu z hlavního menu spustit nástroj “Hledání ešení”, nastavit p íslušné parametry a spustit hledání ešení. Tento postup je posloupnosti ur itých na sebe navazujících operací, které m žeme realizovat pomocí makra. Z hlavního menu zvolíme Nástroje | Makro | Záznam nového makra, ímž vyvoláme dialog zachycený na obrázku 6.2.

Obr. 6.2- Nastavení parametr nového makra.

Zde m žeme nastavit název makra, klávesovou zkratku pro rychlé spoušt ní a další parametry. Použijte nastavení dle obrázku 6.2. a potvr te OK.

- 23 (28) -


V tuto chvíli je zapnut režim, který zaznamenává veškeré akce provedené od této chvíle v programu EXCEL. Nyní budeme nalezneme ešení stejn jako v p íkladu 2.1. Z hlavního menu vybereme Nástroje | Hledání ešení, zadáme parametry ešení, spustíme hledání a potvrdíme OK. V tuto chvíli je zaznamenán celý postup a m žeme ukon it režim záznamu z hlavního menu vybereme Nástroje | Makro | Zastavit záznam. Je as ov it funk nost nového makra. Zm te hodnotu pr toku nap . na Q=4 m3/s a stiskn te kombinaci kláves CTRL + r, kterou jsme nastavili pro spušt ní makra. Bude nalezeno ešení h= 0,346 m. Krom klávesové zkratky je možné spustit makro i z hlavního menu Nástroje | Makro | Makra (nebo ALT + F8).

Obr. 6.3- Správa maker.

Dialogový panel (viz obrázek 6.3) slouží krom spoušt ní a správy maker i k jejich editace. Tu je již nutné provád t v jazyku VBA. Zaznamenané makro se totiž automaticky p epíše do jazyka VBA, o emž se m žeme p esv d it stiskem tla ítka Upravit (viz obrázek 6.4).

- 24 (28) -

Makra

Obr. 6.4- Editor jazyka VBA s kódem makra Hled_reseni.

Informace Podrobn jší informace o možnostech programování aplikací pro EXCEL ve VBA m žete naleznou nap . v literatu e [13].

- 25 (28) -

Záv r

7

Záv r

7.1

Shrnutí

V rámci tohoto modulu jste úsp šn zvládli ešení vybraných úloh z oboru vodního hospodá ství v programu EXCEL. Nyní jste schopni aproximovat koeny rovnic, dále ešit pomocí numerických metod (Eulerovy a Rungovy – Kutovy) oby ejné diferenciální rovnice, pop . jejich soustavy. Poznali jste nástroje programu EXCEL pro ešení úloh lineárního a nelineárního programování. V neposlední ad jste schopni pomocí jednoduchých maker automatizovat vybrané innosti. U ební text samoz ejm nem že svým rozsahem obsáhnout veškeré možnosti využití tohoto užite ného nástroje ve vodohospodá ské praxi. Jeho úkolem bylo, poskytnout vám nezbytný základ pro další samostatnou odbornou innost.

7.2

Studijní prameny

7.2.1

Seznam použité literatury

[1]

erná, J., Machalický, M., Vogel, J., Zlatník, . Základy numerické matematiky a programování. SNTL. Praha 1987.

[2]

Škrášek, J., Tichý, Z. Základy aplikované matematiky I. SNTL. Praha 1989.

[3]

Škrášek, J., Tichý, Z. Základy aplikované matematiky II. SNTL. Praha 1986.

[4]

Vitásek, E. Základy teorie numerických metod pro ešení diferenciálních rovnic. Academia. Praha 1994.

[5]

Kolá , V. a kol. Hydraulika. SNTL. Praha 1966.

[6]

Bém, J., Ji ínský, K. Hydraulika v p íkladech. VUT Praha 1975.

[7]

Jandora, J., Uhmannová, H. Základy hydrauliky a hydrologie. VUT Brno 1999.

[8]

Broža, V., Gabriel, P., 1990.

[9]

Stara, V., Veselý, J. Hydraulika – P íklady ke cvi ení. VUT. Brno 1988.

[10]

Pernica, M. a kol. Vodní dílo Slušovice. SZN. Praha 1981.

[11]

Škrášek, J., Tichý, Z. Základy aplikované matematiky III. SNTL. Praha 1990.

[12]

Kiely, G. Enviromental Engineering. McGraw-Hill International 1997.

ihák, F. Využití vodní energie.

- 27 (28) -

VUT. Praha


7.2.2

Seznam dopl kové studijní literatury

[13]

Walkenbach, J. Microsoft Excel 2000 a 2002 – Programování ve VBA. Computer Press. Praha 2001.

[14]

íha, J. a kol. Matematické modelování hydrodynamických a disperzních jev . VUT Brno 1997.

- 28 (28) -

VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ ALEŠ DRÁB HYDROINFORMATIKA I MODUL M02 EXCEL PRO VODOHOSPODÁE

Recommend Documents