Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií

Vysoké učení technické v Brně

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií

Kolejní 2906/4 612 00 Brno

http://www.utee.feec.vutbr.cz

ELEKTROTECHNIKA 1 (BEL1) Blok 6 Magnetické obvody doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D. UTEE FEKT VUT

Obsah • Elektromagnetické jevy – Maxwellovy rovnice – Ampérův zákon celkového proudu – Magnetické pole v látkách (diamagnetika, paramagnetika, feromagnetika)

• Výpočty magnetických obvodů – – – –

Základní veličiny a vztahy Formální analogie magnetických a elektrických obvodů Metody analýzy magnetických obvodů Přítažná síla elektromagnetu

• Magnetické obvody s permanentními magnety • Transformátory – Princip a konstrukce – Ztráty v transformátoru 3

Aplikace elektromagnetických jevů

4

Elektromagnetické jevy • 1. Maxwellova rovnice: pohyb elektrického náboje –> elektrický proud –> magnetické pole • 2. Maxwellova rovnice: změna magnetického pole –> indukce –> elektrické pole VYUŽITÍ: • elektrické stroje (generátory, motory, transformátory) • elektrické přístroje (jističe, stykače,...), • elektromechanické měřicí přístroje • elektroakustické měniče (reproduktory, sluchátka, mikrofony) • čidla, snímače (senzory, záznamové a čtecí hlavy, ...) • paměťová média (disky, pásky, …)

5

Aplikace magnetických obvodů Elektromagnetické zaostřování optiky CD/DVD mechaniky

6

Aplikace magnetických obvodů

7

Aplikace magnetických obvodů - HDD

Pevný disk – HDD • záznamová vrstva • motor • hlavy • vystavovací mechanismus 8

Magnetické pole • Zdrojem magnetického pole je elektrický proud (např. v cívce) nebo zmagnetovaná látka (permanentní magnet) • Magnetické pole je charakterizováno vektory H a B B=µH • Magnetické pole zobrazujeme pomocí indukčních čar • Indukční čáry jsou uzavřené křivky  mag. pole je nezřídlové H

proudovodič

permanentní magnet 9

Intenzita a indukce magnetického pole Tok vektoru B uzavřenou plochou je nulový S

J

S

div B = 0

J

Siločáry mag. pole nemají zřídla  jsou spojité

B

B S

Vlivem vnějšího pole s intenzitou H dochází k magnetizaci magnetického materiálu, vyjádřené vektorem magnetizace M. Výsledné pole je součtem magnetizace a vnějšího pole.

Vektor H (vnější pole) Vektor M (mag. orientace látky) Vektor B (součet)

B= µ0 ( H + M )= µ0 µr H

−7 µ= 4π ⋅ 10 ( H/m ) 0 B = µ H µ - permeabilita

10

Maxwellovy rovnice (diferenciální i integrální tvar) 1. M.r. – zobecněný Ampèrův zákon celkového proudu

∂D rot H= J + ∂t

J+

∂D ∂t

dΨ ∫ Hd= I + dt

H

Pohybující se náboj (elektrický proud) je zdrojem magnetického pole H Elektromagnety, motory, hlavy záznamových zařízení (zápis), antény (vysílání), ... ∂B ∂t

2. M.r. – Faradayův indukční zákon

∂B rot E = − ∂t

dΦ ∫ Ed = − dt

E

Časová změna magnetického pole indukuje elektrické pole E Cívky a transformátory, generátory, hlavy záznamových zařízení (čtení), antény (příjem), ... 11

Použití Ampèrova zákona celkového proudu

I

uzavřená křivka l

r

 = 2πr

H

∫ Hd = I 

H = I

PRAVIDLO VÝVRTKY

Orientace siločar magnetického pole vyvolaného elektrickým proudem

I H= 2πr

12

Magnetický indukční tok, indukčnost Magnetický indukční tok

= Φ

∫∫ B ⋅ dS (Wb) S

Indukčnost cívky

Φ L= I

(H)

Pro cívku s N závity platí vztah:

Ψ NΦ = L = I I Pokud je B konstantní po celé ploše S a je na ni kolmá, pak:

Φ= B ⋅ S

Φ Ψ N L

indukční tok (Wb) spřažený indukční tok (Wb) počet závitů cívky (-) indukčnost (H) 13

Magnetické pole v látkách Orbitální model atomu • Atomy mají vlastní magnetický moment, daný vektorovým orbitální dráha µl součtem orbitálních a spinových µn magnetických momentů µ jádra a elektronů. Vložením látky do vnějšího magnetického pole jádro dochází k interakci – magnetizaci látky.

elektron

µS

• Působením vnějšího pole s intenzitou H0 vzniká magnetizace M (χm je magnetická susceptibilita) M=χ H m

0

• Výsledné pole je vektorovým součtem vnějšího pole H a pole zmagnetované látky M

B = µ0 ( H 0 + M= 1 + χm ) H0 ) µ0 ( H 0 + χ m H 0=) µ0 (   µr

14

Magnetické vlastnosti látek Podle velikosti susceptibility χm jsou látky = B • diamagnetické χm<0 (voda, dusík, měď) • paramagnetické χm>0 (kyslík, hliník) přitom abs. velikost χm je velmi malá (10-8 až 10-3) a proto tyto látky magnetické pole příliš neovlivňují Pro dia- a paramagnetika platí: µ ≈ 1

µ0 (1 + χ m ) H 0    µr

r

V některých krystalických látkách dochází ke vzniku magnetických domén, které se snadno orientují ve směru vnějšího pole – feromagnetismus • feromagnetika mají velmi vysokou relativní permeabilitu • z čistých látek: železo, kobalt, nikl, (gadolinium) • jev zaniká při ohřevu látky nad Curieovu teplotu ϑC (Fe 768 °C, Ni 358 °C, Co 1115 °C, Gd 20 °C) • používají se i feromagnetické slitiny (dokonce i z látek, které samy jsou nemagnetické) • podobné jevy: - ferimagnetismus (u keramických magnetických látek – feritů) - antiferomagnetismus (např. u chrómu) 15

Feromagnetika • • •

Působením vnějšího mag. pole H vzniká silná magnetizace M feromagnetika Dalším zvyšováním vnějšího pole rychle dochází ke stavu nasycení µ = f (H ) Permeabilita není konstantní  nelineární BH charakteristika B

Fe

B= µ0 ( H 0 + M= ) f = µ0 µ r H 0

nasycený stav

B v = µ0 H 0

0

Rovnoběžky (směrnice je µ0) vzduch H

H0

μ rf

Permeabilita = podíl B/H

µ

µd 0

statická permeabilita

µ=

B H

dynamická permeabilita

µd =

dB dH

H 16

Feromagnetika •

• •

Hodnota indukce B závisí nejen na vnějším poli H, ale i na předchozím stavu Při střídavém přemagnetování tak dostáváme hysterezní smyčku Průsečíky s osami H a B jsou: – remanentní indukce – koercitivní intenzita

Princip odmagnetování zmenšujícím se proměnným polem

17

Materiály magneticky tvrdé a měkké • Pro změnu uspořádání magnetických domén je třeba dodat energii • Při působení střídavého pole na feromagnetika dochází ke ztrátám projevujícím se oteplením, jsou úměrné ploše BH křivky

WH = ∫ H dB

• materiály mag. tvrdé (velké WH - široká BH křivka) se nesnadno přemagnetují – používají se pro permanentní magnety • materiály mag. měkké (malé WH - úzká BH charakteristika) mají malé hysterezní ztráty a proto se používají pro magnetické obvody se střídavým napájením (transformátory, elektrické točivé stroje na střídavý proud) 18

Základní veličiny a vztahy magnetického pole •

Intenzita magnetického pole H (A/m) - zdrojem pole je proud

•

Magnetická indukce B (T) - ovlivnění pole prostředím

Um (A)

U m = ∫ Hd •

−7

Magnetický indukční tok Φ (Wb)

= Φ

Permeabilita (vlastnost prostředí)

= µ µ0 µr , µ= 4π ⋅10 0

Magnetické napětí



B = µH •

•

( H/m )

∫∫ B ⋅ dS S

•

Indukčnost cívky L (H) (N – počet závitů)

Ψ NΦ = L = I I

19

Příklad magnetického obvodu - relé • magnetické pole vzniká v cívce protékané proudem • magnetický tok se vede jádrem (pólovými nástavci) • magnetické pole se tak koncentruje ve vhodně tvarovaném pracovním prostoru (vzduchová mezera) • magnetický obvod nemusí mít vzduchovou mezeru, například u transfomátoru

20

Příklad magnetického obvodu – systém měřidla • magnetické pole je buzeno permanentím magnetem • magnetický tok se vede pólovými nástavci do pracovního prostoru • v pracovním prostoru se pohybuje otočná cívka spojená s ručičkou • na cívku působí dvě síly Lorentzova síla (vodič v mag. poli) a mechanická síla pružin • výchylka měřidla je přímo úměrná velikosti proudu

21

Magnetický obvod – formální analogie Elektrický obvod

Magnetický obvod

elektrický proud

I (A)

magnetický indukční tok

Φ (Wb)

elektrické napětí

U (V)

magnetické napětí

Um (A)

elektrický odpor

R (Ω)

magnetický odpor

Rm (1/H)

Elektrický obvod

I

1 R= γ S

1  Rm = µS

Magnetický obvod

Φ

U

Uz

I

R

Um

Umn N

Rm

Φ

U mn= N ⋅ I U= I ⋅ R

U m = Φ ⋅ Rm 22

Magnetický obvod – analogie s elektrickým obvodem: základní zákony Umf

Φ I

v

N

f S

Φ

Φ

U m= Φ ⋅ Rm Umv

Rmf

U mn= N ⋅ I

Φ1 + Φ2 − Φ = 0

Φ1 Φ2

Um

=0

m

1. Kirchoffův zákon:

U= U mf + U mv mn Φ2

2. Kirchoffův zákon:

∑U

Rmv

Větvený obvod

Φ1

Umn

Hopkinsonův zákon:

Umn

Φ

∑Φ = 0 Ampérův zákon:

U m=

∫ Hd=

H ⋅

Um

23

Magnetický obvod Při výpočtech uvažujeme následující zjednodušení: • Vektor B je všude kolmý k příčnému řezu S magnetického obvodu a je homogenní, potom lze psát Φ = B·S • Zanedbáme rozptylové toky Φr • Efektivní průřez vzduchové mezery je větší než průřez feromagnetické části obvodu, což však při výpočtu zanedbáme. • Neuvažujeme hysterezi • Uvažujeme jedinou dráhu – střední siločáru magnetický tok Φ

I S v > Sf

N

rozptylový magnetický tok Φr 24

Řešení magnetických obvodů Feromagnetické materiály

Nelineární obvody

… metody řešení nelineárních obvodů Analýza U zadaného obvodu hledáme velikosti: • magnetických toků Φ • magnetických napětí Um v jednotlivých částech (větvích), z toho pak určujeme: • magnetickou indukci B • indukčnost cívky L • přitažlivou sílu elektromagnetu F

Syntéza Navrhujeme magnetický obvod tak, abychom zabezpečili požadovanou: • magnetickou indukci B v mezeře • přítažnou sílu elektromagnetu F • indukčnost cívky L

25

Magnetický obvod – výpočty z odporů Magnetické napětí zdroje

U mn= N ⋅ I

je rovno součtu magnetických napětí v obvodu, většinou složeného z feromagnetika a vzduchové mezery

U= U mf + U mv mn Magnetické napětí určíme z Hopkinsonova zákona pomocí toku Φ a mag. odporu Rm

U mf = Φ f ⋅ Rmf Umf Umn

Rmf =

Φ

Rmf Rmv

Umv

f

µ0 µrf Sf

Φ f = Bf Sf

U mv = Φ v ⋅ Rmv Rmv

v = µ0 S v

Φ v = Bv S v

U nerozvětvených obvodů je tok v celém obvodu stejný, Φf = Φv = Φ

= Φ B= Bv S v f Sf

26

Magnetický obvod – výpočty z intenzit U mn= N ⋅ I

Magnetické napětí zdroje

je rovno součtu magnetických napětí v obvodu, většinou složeného z feromagnetika a vzduchové mezery

U= U mf + U mv mn Magnetické napětí určíme z intenzity pole pomocí Ampérova zákona

U mf = Hf ⋅ f Umf Umn

kde l je střední délka siločáry

Φ

Rmf Rmv

U mv = Hv ⋅ v

H f ( Bf ) z grafu Umv

Hv =

U nerozvětvených obvodů je tok v celém obvodu stejný, takže

Bv

µ0

= Φ B= Bv S v f Sf 27

Magnetické obvody – postup řešení Φ I

Z Ampérova zákona:

v

N

Um ∫ H ⋅ d =

Integrační dráha je totožná se střední siločárou



f

= U mf H= f f

S

Umf

Φ

Bf

µ0 µ r

f = U mv H= v v

Bv

µ0

v

1. alternativa

Umn

Rmf

Umv

Rmv

= NI U= U mf + U mv mn 2. alternativa

Z Hopkinsonova zákona:

Rmf =

f

µ0 µ r Sf

U mf = Φ ⋅ Rmf Φ= Bf ⋅ Sf

U mv = Φ ⋅ Rmv Rmv

v = µ0 S v

Φ= Bv ⋅ S v 28

Magnetický obvod – výpočty Vztah mezi B a H je u magnetik nelineární, takže je třeba určit pracovní bod magnetika z grafu.

Bf = f ( H f ) Příklad: ocelolitina pro vytvoření indukce B = 1 T je potřebná intenzita H = 370 A/m

29

Příklad 1

Jednoduchý magnetický obvod

d

Cívka, která je navinuta na toroidním jádře s ocelolitiny má N=200 závitů a protéká jí proud I = 1 A. Určete magnetický tok jádrem a indukčnost L cívky. Střední průměr jádra Ds = 120 mm, průřez S = 4 cm2.

I Ds

N

Φ

U mn = NI = 200 A

Cívka je zdrojem magnetického napětí:

které se rozloží podél siločáry v magnetickém obvodu. Délka siločáry: Protože je průřez obvodu konstantní po celé délce siločáry, je =  f π= DS 0,377 m intenzita: U mn 200

= Hf

= = 530 A/m 1,3 f 0,377

dynamový plech

Z magnetizační křivky materiálu určíme pro 1,1 Hf = 530 A/m hodnotu indukce: B = 1,12 T Magnetický tok obvodem je:

f

Φ= Bf ⋅ S= 1,12 ⋅ 4 ⋅10−4= 448 ⋅10−6 Wb Indukčnost této cívky je: −6

L

N Φ 200 ⋅ 448 ⋅10 = = 89, 6 mH 1 I

transformátorový plech (4%Si)

0,9 ocelolitina

B [T] 0,7 0,5

litina

0,3 0,1 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

H [A/m ]

30

Příklad 2

Analýza magnetického obvodu s mezerou Na jádře z trafoplechu je navinuta cívka se 450 závity. Určete budicí proud I potřebný k dosažení magnetické indukce ve vzduchové mezeře BV = 0,8 T a indukčnost cívky pro tento proud. Rozptylové toky zanedbejte.

h

t

t/2

t I

s

v a

N

Rozměry jádra v (mm): a = 300, b = 200, t = 20, h = 30, lv = 1, N = 450 záv.

 f = 2 ( a − 2t ) −  v + 2 ( b − 2t ) + 4 ⋅ = 2 ( a + b − 4t ) + π t −  v

2π r 4

=  f 2 ( 0,3 + 0, 2 − 4 ⋅ 0, 02 ) + 0, 02π − 0, 001 = = 0,902 m

b

Umf Umn

Φ

Rmf

Umv

Rmv

S =t ⋅ h =600 mm 2 31

Příklad 2

… dokončení Potřebný magnetický tok obvodem je

=194 A

Umf

6 Φ= BV ⋅ S= 0,8 ⋅ 600 ⋅10−= 480 ⋅10−6 Wb

Φ

Tok je konstantní, S také, proto

Z BH charakteristiky jádra zjistíme Hf:

Umv

Rmf

Umn

H= 0,8 = T ) 215 A/m f ( Bf

=637 A

Rmv

Hv určíme:

dynamový plech 1,1 transformátorový plech (4%Si)

0,9

= I

litina

0,3 0,1 200

300

µ0

0,8 = 636620 A/m 4π ⋅10−7

=193,9 + 636, 6 =830,5 A

ocelolitina

100

BV =

U mn = 215 ⋅ 0,902 + 636620 ⋅ 0, 001

B [T] 0,7

0

H= V

Magnetické napětí (2. K.z.) NI = U mn = U mf + U mv = H f  f + H v  v

1,3

0,5

= B B= Bf v

400

500

H [A/m ]

600

700

800

900

U mn 830,5 = = 1,846 A N 450

Ψ N Φ 450 ⋅ 480 ⋅10−6 = L = = =117 mH I I 1,846 32

Příklad 3

Analýza magnetického obvodu s mezerou Odvoďte výraz pro výpočet indukce Bv ve vzduchové mezeře toroidu. Rozptylové toky zanedbejte. Tok obvodem je konstantní

Φ I

v

N

Φ= B ⋅ S

Plocha S je konstantní po délce siločáry, proto i B je konstantní.

B B= B= = µ0 µrf H= µ0 H v f v f

 B  f  f +  v= = + v   µ0 µrf µ0 µ0  µrf  B

z toho:

B = µ0

B

NI f

µrf

+ v

S

Umf

Magnetické napětí zdroje je podle II. K.z.:

U mn =NI =U mf + U mv =H f  f + H v  v

f

Φ

Rmf

Umn

Umv

Rmv

Poznámka: při dostatečné vzduchové mezeře se obvod linearizuje:

f

µrf

<<  v

B = µ0

NI v 33

Indukčnost cívky s jádrem Φ L= I

Definice: Indukčnost cívky

(H)

Pro cívku s N závity platí vztah:

Konstanta indukčnosti AL (v nH/z2)

Ψ NΦ N Φ NBS N µ HS = L = = L = = I I I I I H  = NI Intenzita H je z A.z.:

Materiál – druh feritu

N µ NIS N 2 µ S N 2 = = = = AL N 2 L  I Rm Φ Ψ N L H Rm

indukční tok (Wb) spřažený indukční tok (Wb) počet závitů cívky (-) indukčnost (H) intenzita mag. pole (A/m) magnetický odpor (1/H)

Rm =

 µS 34

Příklad 1

Analýza magnetického obvodu Cívka se 100 závity je navinuta na toroidu z elektrotechnické oceli E11. Střední průměr toroidu je 80 mm, jeho průřez je 12 mm2. Určete indukčnost této cívky pro proudy I = 1 A a I = 2 A. Veličina

vztah

I=1A

I=2A

Magnetické napětí zdroje

U mn = NI

100 A

200 A

Intenzita mag. pole

Hf =

398 A/m

796 A/m

Indukce

Bf ( H f ) z grafu

1,2 T

1,38 T

Mag. indukční tok

Φ =Bf S

14,4 uWb

16,6 uWb

Indukčnost

L=

1,44 mH

0,828 mH

U mn f

NΦ I

I N

Ds

S= 12 ⋅10−6 m 2 =  f π= Ds 0, 2513 m

Φ Umn

Rmf

Indukčnost L je funkcí proudu  L s jádrem je nelineární prvek! 35

Příklad 1

Analýza magnetického obvodu Cívka se 100 závity je navinuta na toroidu z elektrotechnické oceli E11. Střední průměr toroidu je 80 mm, jeho průřez je 12 mm2. Určete indukčnost této cívky pro proudy I = 1 A a I = 2 A. Ocel E11 B(T) 1,5 Veličina vztah I=1A I=2A 1,4 1,38 T Magnetické 1,3 U mn = NI 100 A 200 A 1,2 T 1,2 napětí zdroje 1,1 U Intenzita 1 mag. H f = mn 398 A/m 796 A/m pole 0,9 f 0,8 Bf ( H f ) z grafu 1,2 T 0,7 Indukce 1,38 T 0,6 Mag.0,5 indukční 14,4 uWb 16,6 uWb Φ =Bf S tok 0,4 0,3 NΦ 0,2 L= Indukčnost 1,44 mH 0,828 mH 0,1 I 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Indukčnost L je funkcí proudu  L s jádrem je nelineární prvek! H (A/m)

I N

Ds

S= 12 ⋅10−6 m 2 =  f π= Ds 0, 2513 m

Φ Umn

Rmf

36

Analýza nelineárního magnetického obvodu různými metodami

Příklad 2 h

t

Na jádře z oceli E11 je navinuta cívka se 450 závity. Cívkou se 450 závity protéká proud 2 A. Určete indukci v mezeře, magnetický tok a magnetická napětí v mezeře a v jádře. Rozptylové toky zanedbejte.

t/2

t I

v

s

a

N

Rozměry jádra v (mm): a = 300, b = 200, t = 20, h = 30, lv = 1 U mn = NI = 450 ⋅ 2= 900 A

Ekvivalentní obvod:

Umf Umn

S =t ⋅ h =600 mm

Φ

Rmf Rmv

Umv

2

b

 f = 2 ( a − 2t ) −  v + 2 ( b − 2t ) + 4 ⋅ = 2 ( a + b − 4t ) + π t −  v

2π r 4

=  f 2 ( 0,3 + 0, 2 − 4 ⋅ 0, 02 ) + 0, 02π − 0, 001 = 0,902 m 37

Analýza nelineárního magnetického obvodu - linearizace B(T) 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Ocel E11

Příklad 2

Odhadneme pracovní oblast a linearizujeme:

B 1 = = 4, 2 ⋅10−3 H/m H 240

µf ≈ Umf Umn

Umf

Φ

Rmf

Umv Umn

Rmf

R = mf

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 H (A/m)

f 0,902 5 -1 3,58 10 H = = ⋅ µf Sf 4, 2 ⋅10−3 ⋅ 600 ⋅10−6

v 1 ⋅10−3 = Rmv = = 13, 26 ⋅105 H -1 −7 −6 µ0 S v 4π10 ⋅ 600 ⋅10 Φ =

U mn 900 = =  534 ⋅10−6 Wb 5 5 Rmv + Rmf 13, 26 ⋅10 + 3,58 ⋅10

Umv

Rmv

Rmv 0

Φ

U mf = Φ ⋅ Rmf = 192 A U mv = Φ ⋅ Rmv = 708 A B =

Φ =  0,89 T S

Pracovní bod leží v odhadnuté pracovní oblasti.

Chyba je způsobena přímkovou náhradou BH charakteristiky – hrubý odhad.

38

Analýza nelineárního magnetického obvodu - Φ/Um charakteristika

Příklad 2

Hf (A/m)

0

50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Bf (T)

0

0,15

0,53

0,9

1,1

1,2

1,265

1,32

1,35

1,38

1,4

1,42

U mf = H f = H f ⋅ 0,902 ( A ) f Umf (A)

0

45,1

90,2

Φf (µWb)

0

90

318

Φ f = Bf Sf = Bf ⋅ 600 ⋅10−6 ( Wb ) 180,4 270,6 360,8 540

660

720

451 759

541,2 631,4 721,6 792

810

828

811,8

902

840

852

Φ/Um = charakteristika nelineárního odporu konkrétního feromagnetického obvodu. Bf(T)

1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Φf (µWb)

B/H charakteristika

900 800 700

Φ/Um charakteristika

600 500

Φf

400

Umf

300 200

Rmf

100

0

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Hf (A/m)

0

0

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Umf (A)

39

Analýza nelineárního magnetického obvodu - postupné zjednodušování Φ (µWb)

Příklad 2 Umf

900

Φ

800 700

679 ⋅10

600

Umn

−6

Umv

Rmf Rmv

−6

540 ⋅10500 400

Součet Rmf + Rmv

300 200

Φ

100 0

900 0

100

200

300

400

500

600

180

700

800

720

900

Um (A)

1000

Umn

Rmf + Rmv

Vyneseme charakteristiku odporu Rmv: v 1 ⋅10−3 = Rmv = = 13, 26 ⋅105 H -1 −7 −6 µ0 S v 4π10 ⋅ 600 ⋅10 Z grafu zjistíme pro Umn tok Φ:

= Φ

U mn 900 679 ⋅10−6 Wb = = 5 Rmv 13, 26 ⋅10

Φ ≈ 540 ⋅10−6 Wb

Chyba je způsobena grafickou konstrukcí a odečítáním hodnot z grafu – hrubý odhad.

Φ 540 ⋅10−6 = = =  0,9 T B S 600 ⋅10−6 U mf ≈ 180 A

U mv ≈ 720 A 40

Analýza nelineárního magnetického obvodu – metoda zatěžovací přímky Umv Umn

Φ (µWb)

Φ

Příklad 2

900 800

Umf

Rmv

679 ⋅10 540 ⋅10

−6

−6

700 600 500 400

Rmf

300 200 100

Théveninův zdroj s napětím naprázdno Umn=900 A a tokem nakrátko U mn 900 −6 679 10 Wb Φ k= = = ⋅ 5 Rmv 13, 26 ⋅10 Chyba je opět způsobena nepřesností grafické metody.

0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

180

900 1000 900

Um (A)

Vyneseme zatěžovací přímku lineárního magnetického zdroje Průsečík určí pracovní bod Umf, Φ: U mf = 180 A

U mv = U mn − U mf = 900 − 180 = 720 A Φ 540 ⋅10−6 B = = =  0,9 T S 600 ⋅10−6 41

Analýza nelineárního magnetického obvodu – numerická metoda Předpokládáme konstantní tok Φz = Φv = Φ a při stejném průřezu Sz=Sv je Bv = Bf = B

U mn = U mv + U mf = H v  v + H f ( B )  f Hv =

B

B

µ0

µ0

Umv

Φ Umf

Rmv

Umn

 v + H f ( B )  f − U mn = 0

H f = f ( B ) - nelineární funkce. Interpolujeme např. polynomem 3. stupně: Vandermontova matice:

1 0,15 0,152  2 1 0,53 0,53  1 0,9 0,92 1 1,1 1,12 

Příklad 2

0,153   a0   50       0,533   a1   100  ⋅ = 3     200  a 0,9 2      1,13   a3   300 

Hf (A/m) Bf (T)

Rmf 50

100

200

300

0,15

0,53

0,9

1,1

H f ( B ) =a0 + a1 B + a2 B 2 + a3 B 3

50 = a0 + a1 0,15 + a2 0,152 + a3 0,153 100 = a0 + a1 0,53 + a2 0,532 + a3 0,533 200 =+ a0 a1 0,9 + a2 0,92 + a3 0,93 300 = a0 + a11,1 + a21,12 + a31,13 42

Analýza nelineárního magnetického obvodu – numerická metoda 1 0,15 0,152  2 1 0,53 0,53  1 0,9 0,92 2 1 1,1 1,1 

0,153   a0   50       0,533   a1   100  ⋅ = 3   a2   200  0,9     3   a 300 1,1   3   

Hledaný interpolační polynom: Dosazením do obvodové rovnice:

řešením

Příklad 2

 a0   28,54      a 164, 6 1  =   a2   −177,8      a 229, 6   3  

H f ( B ) =28,54 + 164, 6 B − 177,8 B 2 + 229, 6 B 3 v

µ0

B + H f ( B )  f − U mn = 0

1 ⋅10−3 2 3 + + − + ⋅ 0,902 − 900 = B 28,54 164, 6 B 177,8 B 229, 6 B ( ) −7 4π ⋅10 = 207,1B 3 − 160, 4 B 2 + 944,3B − 874, 26 = 0 Nelineární homogenní obvodová rovnice, kterou je třeba vyřešit:

f ( B ) = 207,1B 3 − 160, 4 B 2 + 944,3B − 874, 26 = 0 43

Analýza nelineárního magnetického obvodu – numerická metoda Řešíme např. Newtonovou metodou

f ( B ) = 207,1B 3 − 160, 4 B 2 + 944,3B − 874, 26 = 0

B( k= B( k ) + ε ( k ) +1)

ε (k )

Příklad 2

Umv

( ) ( )

f B( k ) 207,1B(3k ) − 160, 4 B(2k ) + 944,3B( k ) − 874, 26 = − = − 621,3B(2k ) − 320,8 B( k ) + 944,3 f ′ B( k )

Umn

Φ Umf

Rmv

Rmf

B = 0,9029 T

k

B(k)

ε(k)

0

1

-0,09378

Φ = B ⋅ S = 0,9029 ⋅ 600 ⋅10−6 = 541, 7 ⋅10−6 Wb

1

0,906218

-0,00334

Magnetická napětí:

2

0,902882

-0,0000039

3

0,902878

-5·10-12

Bv  v 0,9029 ⋅1 ⋅10−3 = = = 718,5 A U mv H= v v 4π ⋅10−7 µ0 U mf = U mn − U mv = 900 − 718,5 = 181,5 A

Chyba je způsobena především použitou aproximací BH charakteristiky. 44

Přítažná síla elektromagnetu Feromagnetické jádro

Energie magnetického pole (v Joulech) je I

S

l

V = S

F Pohyblivá kotva

W=

1 1 B B ⋅ H ⋅V = B ⋅ ⋅V 2 2 µ

Energie magnetického pole v objemu V ve vzduchu

1 B2 W0 = V 2 µ0

Energie magnetického pole v objemu V ve feromagnetiku

1 B2 Wf = V 2 µ0 ⋅ µrf

Energetický rozdíl odpovídá vykonané práci A:

1 B 2V W0 − Wf = A= ∆W = 2 µ0 1 B V 1 B S = = 2 µ0 2 µ0 2

2

 1 − 1   µrf

 =  A = F ⋅ ⇒

Síla působící na kotvu:

A F= 

1 B2S ⇒ F= 2 µ0 45

Závislost síly elektromagnetu na velikosti mezery l

F δ/2

S 2

L

N = Rmf + Rmv

N

δ + µ0 µ r S µ0 S f

1 2 1 Wm= LI (δ ) = 2 2

Síla působící na kotvu:

2

µ0 µr SN 2 I 2 N 2I 2 = f δ 2 (  f + µ rδ ) + µ0 µ r S µ0 S

−dWm F= dδ

d  µ0 µr SN 2 I 2  µ0 µr2 SN 2 I 2 F= −   = dδ  2 (  f + µrδ )  2 (  f + µrδ )2 46

Závislost síly elektromagnetu na velikosti mezery

Příklad 3

Síla, kterou je kotva přitahována závisí na vzduchové mezeře δ (pro zjednodušení uvažujeme konstantní I a konstantní µr)

l

F

1500

δ/2

µ0 µr2 SN 2 I 2 F= 2 2 (  f + µ rδ )

Příklad

S S= 50 × 50 mm 2

 f = 800 mm

F (N)

1000

500

N = 200 I = 2A

µr = 2000

0 0

1

2

δ (mm)

3

4

5 47

Příklad 4

Výpočet síly elektromagnetu F I N

Ds

S

Prstencové jádro cívky z elektrotechnické oceli E11 je složeno ze dvou částí. Jak velkou silou F jsou drženy obě části pohromadě, je-li průřez prstence S = 4 cm2, střední průměr Ds=0,177 m a protéká-li cívkou s N =210 závity proud I = 0,8 A?

Řešení :

NI f f = πDs = π ⋅ 0,177 =  0,565 m

U mn = NI = H f  f ⇒ H f =

= Hf

210 ⋅ 0,8 = 302 A/m 0,556

z grafu pro H f = 302 A/m odečteme Bf = 1,1 T B2S 1,12 ⋅ 4 ⋅10−4 = F 2= 2 =  385 N −7 2 µ0 2 ⋅ 4π ⋅10

B(T) 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Ocel E11

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900 1000 H (A/m)

48

Obvody s permanentním magnetem • magnetické pole je buzeno permanentním magnetem – není potřeba přivádět elektrický proud • zdrojem pole ovšem zůstává pohybující se náboj (pohyb elektronů a protonů v atomech) POUŽITÍ • upevňovací systémy • magnetické separátory • NMR • magnetická ložiska V magnetických obvodech: • reproduktorů a sluchátek • měřicí přístrojů • stejnosměrných, synchronních a krokových motorků • dynam • elektronek (magnetron) • … 49

Příklady aplikace magnetických obvodů s PM DC motorky pro různé aplikace

Reproduktory

Upínací břemenový magnet: - rozměry 30x19x20 cm - hmotnost 80 kg - zvedaná hmotnost až 2400 kg - magnetický obvod se „zapíná“ pákou 50

Příklady aplikace magnetických obvodů s PM Nukleární magnetická rezonance (NMR) - héliový supravodivý PM, B = 21,2 T Magnetron – generátor mikrovln 2,5 GHz, 1 kW (mikrovlnné trouby)

51

Permanentní magnety Materiály, výroba: • slitiny kovů (slévání, lisování) • feritové materiály (ferity) (oxidy kovů Fe, Mn, Zn, … - lisování, spékání keramiky) Hotový výrobek – magnet - se musí zmagnetovat • na konci výrobního procesu • během výroby (při slévání nebo mokrém lisování) PM využívají demagnetizační části BH charakteristiky PM ze slitiny kovů

PM feritový

52

Pracovní bod PM Pracovní bod permanentního magnetu (Bp, Hp) leží na demagnetizační části hysterezní smyčky. Pro obvody s PM se optimalizuje vzhledem k minimální spotřebě – minimálnímu objemu V magnetického materiálu.

B (T)

„Magnetický výkon“ Pm je v analogii k elektrickému P = U ·I

Pm = U m ⋅ Φ = − H p  p ⋅ Bp S p = − Bp H pVp

Bp opt. BHmax

Je zřejmé, že pro zvolený Pm bude nejmenší objem Vp pro maximální BH

H (A/m)

Bp

Hp

Hp opt.

0

Geometricky jde o nalezení největší plochy BHmax (tzv. energetický součin) a tím se určí optimální pracovní bod permanentního magnetu. 53

Materiály pro PM Materiál

Br (T)

Hc(kA/m)

BHmax (kJ/m3)

Poznámka

kobaltová ocel

0,95

18

4.5

slitina 1)

slitina AlNiCo

1,25

45

15

slitina 2)

slitina Nipermag

0,55

55

8

slitina 2)

izotropní ferity

0,23

130

20

keramika 3)

anizotropní ferity

0,35

240

25

keramika 4)

SmCo5

0,95

670

160 – 195

slitina 5)

Sm2Co17

1,1

725

190 – 240

slitina 6)

NdFeB

1,2

900

225 – 280

slitina 7)

Anizotropní ferit

Poznámky: 1) klasický materiál první třetiny 20. století 2) materiál používaný během 2. svět. války 3), 4) klasické ferity 5), 6), 7) moderní materiály z kovů vzácných zemin 5), 6) samarium + kobalt 7) neodym + železo + bór

54

Obvod s permanentním magnetem Umf

Umn

PM

Φ

Rmf

U m = Φ ⋅ Rm

Umv

Rmv

1  Rm = µS

Permanentní magnet jako zdroj Umn: Sp

lp

PM

U mn = − H p  p

Φ =Bp S p

Bp a Hp spolu souvisí – jde o nelineární zdroj!

Bp = f ( H p ) 55

Obvod s permanentním magnetem Úbytky magnetického napětí na pólových nástavcích lze často zanedbat, Rmf = 0

Φ

Umn PM

Umv Rmv

Φ= Bp ⋅ S p= Bv ⋅ S v U mn − U mv = 0 Zadány jsou: - rozměry mezery - Sv, lv - požadovaná hodnota Bv - pracovní bod PM (Bp, Hp) Máme určit: - rozměry PM - Sp, lp

− H p  p − H v v = 0 − H v  v − Bv  v = p = µ0 H p Hp

Bv S v Sp = Bp 56

Příklad 5

Obvod s permanentním magnetem Mezi pólovými nástavci je vzduchová mezera délky lv a s plochou Sv. Zdrojem pole je feritový permanentní magnet výšky lp a plochy Sp. Určete magnetickou indukci ve vzduchové mezeře při teplotě 20 °C. Magnetizační křivka použitého anizotropního feritu viz graf, magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. S v 3= cm 2 ,  v 0,5= cm, S p 8= cm 2 ,  p 3 cm mT Bp ⋅ BHSppp≅≅ 240 8 ⇒ B= =85 kA/m Bp v S 3 Bp = −2,8274 ⋅10-6 H p v Bv −µ H  = − H p  p == U mv  v ⇒ Bv =0 p p µ0 v

Sp

p

Anizotropní ferit Φp = Φ v =Bp ⋅ S p =B v ⋅ Sv U mn

B ⋅S −µ H  −µ  S Bv =p p = 0 p p ⇒ Bp = 0 p v H p = −2,8274 ⋅10-6 H p Sv v  v Sp

Sv PM

= Bv

v

8 = Bp 0, 64 T 3

Φ Umn

Umv Rmv

57

Příklad 6

Obvod s permanentním magnetem

Máme v mezeře 2×2 cm o délce 2,5 mm vytvořit pole s B = 0,4 T. Jaké jsou potřebné rozměry PM (Sp, lp) z feritu? Vliv feromagnetika a rozptylové toky zanedbáme. PM

Odhad optimálního pracovního bodu z Br a Hc: Anizotropní ferit Br

Φ

Bp

Umv Um

Rmv HC

Hp

Bv S v 0, 4 ⋅ 4 ⋅10−4 − Bv  v −0, 4 ⋅ 2,5 ⋅10−3 2 = Sp = =  7,8 cm = = p =  7, 6 mm −7 3 Bp 0, 205 µ0 H p 4π ⋅10 ⋅ -105 ⋅ 10 58

Transformátor I2

I1

U2

U1

I1 U1

• • • • •

I2 U2

Transformátor je netočivý elektrický stroj sestávající ze dvou (nebo i více) vinutí magneticky vázaných (tj. sdílejících magnetický tok) Vazba toku je zprostředkována magneticky vodivým jádrem Energie se mezi vinutími přenáší formou elektromagnetického pole Transformátory slouží nejčastěji ke změně úrovně U a I (transformaci) a také ke galvanickému oddělení obvodů Pracují na indukčním principu, proto transformují jen časově proměnné veličiny 59

Konstrukce běžného transformátoru Magnetický obvod (jádro z magneticky měkkého materiálu)

Φ

Vinutí (primární, sekundární) 60

Další konstrukce transformátorů Toroidní transformátor - nejlepší vlastnosti - složitá výroba

Transformátor s jádry C 61

Princip transformátoru Φ

Rm

U mn1 = N1i1 ( t ) U mn2 = N 2i2 ( t )

Umn1

Umn2

Stav naprázdno (I2=0)

Stav při zatížení (I2>0)

u1 ( t ) = U1m sin (ωt ) Primárem teče tzv. magnetovací proud i1M: 1 1 −U1m cos (ωt ) i1M ( t ) = u t d t ( ) 1 L1 ∫ L1 ω −U cos (ωt ) Ψ ( t ) = N1Φ ( t ) =L1i1M ( t ) = 1m

ω

Indukované napětí na sekundárním vinutí: dΦ ( t ) N 2 N2 u2 ( t ) N= U sin t u1 ( t ) = = ω ( ) 2 1m dt N1 N1

U mn1 − U mn2 = Φ ⋅ Rm = N1i1M ( t ) =konst. N1i1 ( t ) − N 2i2 ( t ) = N1i1M ( t ) Pro malý Rm je i magnetovací proud i1M zanedbatelný: u2 ( t ) =

N2 u1 ( t ) N1

i1 ( t ) =

N2 i2 ( t ) N1 62

Výpočet transformátoru Při harmonickém napájení jsou i magnetická indukce a tok harmonickou funkcí času: B ( t ) = Bm sin (ωt ) Φ ( t= ) B ( t ) ⋅ S= Bm sin (ωt ) ⋅ S Na vinutí (kterémkoliv) se indukuje napětí: dΦ ( t ) = N ⋅ Bm ⋅ ω ⋅ S ⋅ cos (ωt ) u (t ) = N  dt Um

Transformátorová rovnice Z této rovnice lze pro transformátor spočítat potřebný počet závitů vinutí:

U N= 4, 44 fBm S

( záv./V )

Platí jen pro harmonické průběhy!

Efektivní hodnota indukovaného napětí je: U= N U Bm f S

U m NBm 2πfS = =  4, 44 ⋅ f ⋅ N ⋅ Bm ⋅ S kv 2

(V)

počet závitů efektivní hodnota napětí maximální mag. indukce kmitočet průřez jádra (mag. obvodu) 63

Výkonové ztráty v transformátoru Magnetovací proud je fázově posunut o π/2 oproti napětí a nekoná práci. Ztráty v transformátoru vznikají jako: v 2 2 • ztráty ve vinutí (nejčastěji měděném) Pv = Pv R= I I v γ v Sv • ztráty v jádře – ztráty přemagnetováním (hysterezní) Ph – ztráty vířivými proudy Pf

(W)

Rostou s I2, lze zmenšit zvýšením S

= Ph fW = fV ∫ H dB hV

(W)

Rostou s f, klesají s plochou hyst. s.

Φ Φ Sf

1 = Pf R= I Rf 2 f f

If dΦ dB U S = = f f dt dt U f S f dB Wh = ∫ H dB (J/m3 ) = If = Rf Rf dt

 2πfBm Sf     M 

2

(W)

Rostou s f2, klesají s Rf

Ztráty vířivými proudy lze zmenšit: • skládáním jádra z M izolovaných plechů • zvětšením Rf materiálu (ocel + 4 % Si, ferity, prášková jádra) 64

Autotransformátor a regulační transformátor • Autotransformátor nemá vinutí galvanicky oddělena, ale zapojena sériově. Konstrukce vychází menší oproti transformátoru stejného výkonu

Autotransformátor I1 U1 I2

• Regulační transformátor je proveden nejčastěji jako autotransfomátor s jezdcem, kterým se mění výstupní napětí

U2

I1 U1 I2

Regulační autotransformátor

U2

65

Konec Kolejní 2906/4 612 00 Brno

Tel.: 541 149 521 Fax: 541 149 512 e-mail: [email protected]

66