Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a)
( ( )( Stacionární body:
) )
𝑦 >
𝑦 <
-2
𝑦 <
0
𝑦 >
3
) ( ). Funkce je rostoucí v intervalech ( ) ( ) Funkce je klesající v intervalech ( V bodě je lokální minimum s hodnotou V bodě je lokální maximum s hodnotou V bodě je lokální minimum s hodnotou
b)
( ) ( )( ) Stacionární body:
𝑦 >
𝑦 <
1
-1
). Funkce je rostoucí v intervalu ( ) ( Funkce je klesající v intervalech ( V bodě je lokální minimum s hodnotou V bodě je lokální maximum s hodnotou
𝑦 <
)
c) (
) (
( )
( ) ( )( ) Stacionární body:
(
) )
𝑦 >
𝑦 <
1
-1
). Funkce je rostoucí v intervalu ( ) ( Funkce je klesající v intervalech ( V bodě je lokální minimum s hodnotou V bodě je lokální maximum s hodnotou
𝑦 <
)
Pracovní list byl vytvořen v rámci projektu "Nová cesta za poznáním", reg. č. CZ.1.07/1.5.00/34.0034, za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu ČR. Uvedená práce (dílo) podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora-Nevyužívejte dílo komerčně-Zachovejte licenci 3.0 Česko
Př.2. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) Nejprve upravíme funkci: [ (
(
)]
(
)(
(
)
)
(
)
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
-
𝜋
𝜋
𝜋
<
> 𝜋
𝜋
𝜋
Funkce je rostoucí v intervalu (
).
Funkce je klesající v intervalech ( V bodě
+
+ 𝜋
𝜋
𝜋
<
)
(
)
je lokální minimum s hodnotou
V bodě
b)
𝜋
-1
-1
Stacionární body: + + 𝜋
𝑥
1
1 𝜋
)
je lokální maximum s hodnotou
( )
Stacionární bod: 𝑥
1
𝑦 <
𝑦 >
𝑥
-1
0
1
). Funkce je rostoucí v intervalu ( ) Funkce je klesající v intervalu ( V bodě je lokální minimum s hodnotou
Pracovní list byl vytvořen v rámci projektu "Nová cesta za poznáním", reg. č. CZ.1.07/1.5.00/34.0034, za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu ČR. Uvedená práce (dílo) podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora-Nevyužívejte dílo komerčně-Zachovejte licenci 3.0 Česko
c) ( ( +
)
(
)
) (
)
(
)(
√
)
√
𝑦 <
Stacionární body:
√
𝑦 >
√
Funkce je rostoucí v intervalu (
√
V bodě
√
√
)
(
)
√
je lokální minimum s hodnotou
√
√
).
√
Funkce je klesající v intervalu ( V bodě
𝑦 <
√
je lokální maximum s hodnotou
√ √
d) (
)
1
1 𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
-1
-1
Stacionární bod:
𝜋
-
𝜋
𝜋
>
𝜋
<
Funkce je rostoucí v intervalu (
).
Funkce je klesající v intervalech (
)
V bodě
+
je lokální maximum s hodnotou Pracovní list byl vytvořen v rámci projektu "Nová cesta za poznáním", reg. č. CZ.1.07/1.5.00/34.0034, za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu ČR. Uvedená práce (dílo) podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora-Nevyužívejte dílo komerčně-Zachovejte licenci 3.0 Česko
Př.3. Najděte globální a lokální extrémy funkcí v daných intervalech 〈 〉 a) (
)
Stacionární bod: Lokální extrémy funkce: pro bod dostáváme
( )
… lokální minimum, s hodnotou
>
Hodnota v krajích bodech intervalu: pro bod dostáváme hodnotu pro bod dostáváme hodnotu Globální extrémy funkce: v bodě … globální maximum v bodě … globální minimum ⟨
b)
)
Stacionární bod:
Lokální extrémy funkce: pro bod dostáváme
( )
… lokální minimum, s hodnotou
>
Hodnota v krajích bodech intervalu: pro bod dostáváme hodnotu Globální extrémy funkce: v bodě … globální minimum v bodě … neexistuje globální maximum ( protože
c)
(
( ))
)
Stacionární bod: ( ) Lokální extrémy funkce: pro bod dostáváme
( )
Hodnota v krajích bodech intervalu: pro bod dostáváme hodnotu pro bod dostáváme hodnotu Globální extrémy funkce: v bodě … globální maximum neexistuje globální minimum ( protože:
<
… lokální maximum, s hodnotou ( ( )
)
( )
( ))
Pracovní list byl vytvořen v rámci projektu "Nová cesta za poznáním", reg. č. CZ.1.07/1.5.00/34.0034, za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu ČR. Uvedená práce (dílo) podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora-Nevyužívejte dílo komerčně-Zachovejte licenci 3.0 Česko
Př.4. Určete intervaly, ve kterých je daná funkce konvexní, konkávní, a určete inflexní body, pokud existují: a)
(
) ……inflexní bod
Funkce je konvexní v intervalu ( Funkce je konkávní v intervalu (
).
>
<
<
>
)
b) ( (
)
(
)
(
)
)
Neexistuje inflexní bod Funkce je konkávní v intervalu ( Funkce je konvexní v intervalu (
). )
c) ) ( )
)
( (
)
( (
(
(
( ( ) ( )
)
)
(
)
) (
)[
( (
) ( )
)
]
( (
) )
)
(
)
Protože ( (
) > ) √
, pak: √ ……inflexní body >
Funkce je konvexní v intervalech ( Funkce je konkávní v intervalu ( √
√
<
>
√
<
√ ) ( √ ). ) (√ )
Pracovní list byl vytvořen v rámci projektu "Nová cesta za poznáním", reg. č. CZ.1.07/1.5.00/34.0034, za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu ČR. Uvedená práce (dílo) podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora-Nevyužívejte dílo komerčně-Zachovejte licenci 3.0 Česko
Př.5. Vyšetřete průběh funkce : a) { } , není ani lichá ani sudá
1. ( ) ( )
2.
( )
, ,
3.Průsečíky s osou y : y = 0 Průsečíky s osou x : x = 0 4.
(
𝑓(𝑥) <
𝑓(𝑥) <
𝑓(𝑥) >
0
1
….stacionární body ?
)
5. Lokální extrémy, intervaly monotónnosti:
6.
(
( )<
( )>
V bodě x = 0 … lokální maximum y = 0 V bodě x = 2 … lokální minimum y = 4
( )<
1
0
( )>
2
….neexistuje inflexní bod
)
7. Intervaly konvexnosti, konkávnosti: ) … konkávní V intervalu ( ) … konvexní V intervalu (
𝑓 (𝑥) <
𝑓 (𝑥) >
1
8.Asymptoty: - se směrnicí… ( )
( )
nebo
[ ( )
]
[
]
Asymptota se směrnicí
nebo
.
- bez směrnice: protože
a
existuje asymptota bez směrnice 9.
( )
(
〉
〈
)
10. Graf: 4
0
1
2
Pracovní list byl vytvořen v rámci projektu "Nová cesta za poznáním", reg. č. CZ.1.07/1.5.00/34.0034, za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu ČR. Uvedená práce (dílo) podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora-Nevyužívejte dílo komerčně-Zachovejte licenci 3.0 Česko
b) , není ani lichá ani sudá
1. ( ) 2.
,
,
3.Průsečíky s osou y : neexistuje Průsečíky s osou x : x = 1
𝑓(𝑥) <
0
𝑓(𝑥) >
1
….stacionární bod ?
4. 5. Lokální extrémy, intervaly monotónnosti: V bodě
𝑓 (𝑥) <
𝑓 (𝑥) >
… lokální maximum
e
0
….inflexní bod ?
6. 7. Intervaly konvexnosti, konkávnosti: ( )<
) … konkávní
v(
( )>
0
) … konvexní
v(
….inflexní bod
Bod
8. Asymptoty: - se směrnicí… ( )
[ ( )
]
[
- bez směrnice: protože 9.
( )
(
… Asymptota se směrnicí
]
.
… existuje asymptota bez směrnice
〉
10. Graf:
0
1
e
Pracovní list byl vytvořen v rámci projektu "Nová cesta za poznáním", reg. č. CZ.1.07/1.5.00/34.0034, za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu ČR. Uvedená práce (dílo) podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora-Nevyužívejte dílo komerčně-Zachovejte licenci 3.0 Česko
c) , není ani lichá ani sudá
1. ( ) 2.
,
,
3.Průsečíky s osou y : y = 0 Průsečíky s osou x : x = 0
( )>
( )>
0
4. (
….stacionární body ?
)
5. Lokální extrémy, intervaly monotónnosti:
𝑓 (𝑥) <
V bodě x = 0 … lokální minimum V bodě x = 2 … lokální maximum
0 (
6. (
2
)
)
√ … …inflexní bod ?
√
7. Intervaly konvexnosti, konkávnosti:
𝑓 (𝑥) <
𝑓 (𝑥) >
( )>
( )<
( )>
√ ) … konvexní
v( v(
√
√ ) … konkávní
v(
√
) … konvexní √
Body
√
√
√ ….inflexní body
a
8. Asymptoty: - se směrnicí… ( )
[ ( ) - bez směrnice: 9.
… Asymptota se směrnicí
]
.
neexistuje asymptota bez směrnice
( )
10. Graf:
𝑒
0
√
2
√
Pracovní list byl vytvořen v rámci projektu "Nová cesta za poznáním", reg. č. CZ.1.07/1.5.00/34.0034, za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu ČR. Uvedená práce (dílo) podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora-Nevyužívejte dílo komerčně-Zachovejte licenci 3.0 Česko
