Vypracoval: Miloslav Krajl Kvadraticky optim´aln´ı (LQ) regul´ator, algebraick´a Riccatiho rovnice a jej´ı ˇreˇsen´ı. Kvadraticky optim´aln´ı sledov´an´ı. Prediktivn´ı a zpˇetnovazebn´ı strategie ˇr´ızen´ı, prediktivn´ı regul´ator. Nestrukturovan´a neurˇcitost, anal´ yza robustn´ı stability, frekvenˇcn´ı vlastnosti LQ regul´ator˚ u (spojit´ y, diskr´etn´ı). Ot´azka pokr´ yv´a partie pˇredmˇetu X35MTR. Tato ot´azka je vypracov´ana dle [1], [2], [3] a z´apisek z pˇredn´aˇsek.
Obsah 1 Kvadraticky optim´ aln´ı (LQ) regul´ ator
1
2 Algebraick´ a Riccatiho rovnice a jej´ı ˇ reˇ sen´ı
4
3 Kvadraticky optim´ aln´ı sledov´ an´ı
5
4 Frekvenˇ cn´ı vlastnosti LQ regul´ ator˚ u (spojit´ y, diskr´ etn´ı)
5
5 Prediktivn´ı a zpˇ etnovazebn´ı strategie ˇ r´ızen´ı, prediktivn´ı regul´ ator
6
6 Nestrukturovan´ a neurˇ citost, anal´ yza robustn´ı stability
8
1
Kvadraticky optim´ aln´ı (LQ) regul´ ator
LQ regul´ator: • line´arn´ı syst´em x(t + 1) = Ax(x) + Bu(t) y(t) = Cx(x) + Du(t) • kvadratick´e krit´erium J = kx2 J = xT P x • princip otimality – at’ je syst´em v jak´emkoliv stavu x(k) do kter´eho se dostal p˚ usoben´ım u(0)..u(k − 1), pak mus´ı b´ yt zbyl´a posloupnost u(k)..u(N ) optim´aln´ı vych´azej´ıc´ı ze stavu x(k) • krit´erium opimality – hodnota ztr´atov´e funkce v poˇc´ateˇcn´ım ˇcase (k = 0) Hodnota kriteria:
−1 J = V x(0), uN ), 0 0
(1)
Pˇri optim´aln´ım ˇr´ızen´ı se snaˇz´ıme v kaˇzd´em kroku optimalizace vlivem aditivity minimalizovat krit´erium 1. Tento fakt ilustruje pˇredchoz´ı obr´azek 2, kdy s rostouc´ım ˇcasem kles´a hodnota ˇr´ızen´ı u∗ . 1
Obr´azek 1: Kvadratick´e krit´erium a) parabola b) kvadratick´a forma
Obr´azek 2: Princip LQ algoritmu Diskr´ etn´ı LQ regul´ ator: syst´em mus´ı b´ yt stabilizovateln´ y (vˇsechny nestabiln´ı m´ody dosaˇziteln´e, (test matice dosaˇzitelnosti)). Hodnota ztr´atov´e funkce lze zapsat jako:
V x(k0 ), uk0 , k0
−1 1 NX 1 [xT uT ] = xT Qx + 2 2 k0
Q S ST R
!"
x u
#
(2)
kde matice Q (pozitivnˇe semidefinitn´ı) v´aˇz´ı regulaˇcn´ı odchylku a R (pozitivnˇe definitn´ı) v´aˇz´ı ˇr´ızen´ı. V´aˇzen´ı lze ch´apat jako cenu (energii), urˇcuje zda-li upˇrednost’nujeme velk´e akˇcn´ı z´asahy za cenu velk´e energie ˇr´ızen´ı (napˇr. sp´alen´ı vˇetˇs´ıho mnoˇzstv´ı paliva), nebo “voln´ y” pr˚ ubˇeh regulace, kdy se syst´em bl´ıˇz´ı k ˇz´adan´e hodnotˇe s minimem akˇcn´ıch z´asah˚ u, doba regulaˇcn´ıho pochodu je pˇrirozenˇe delˇs´ı. Optim´ aln´ı ˇ r´ızen´ı: snaˇz´ıme se minimalizovat krit´erium v kaˇzd´em kroku, tuto skuteˇcnost lze zapsat dle principu dynamick´eho programov´an´ı:
−1 ), k V ∗ (x(k), k) = min V x(k), uN k u
2
(3)
v posledn´ım kroce K = N pˇredpokl´ad´ame hodnotu ztr´atov´e funkce 1 V x(k0 ), uk0 , k0 = xT Qx + 0 (4) 2 tud´ıˇz prvky v sumˇe “vymizely”. V ˇcase t = N se rovn´a P (N ) = Q(N ). M˚ uˇzeme tedy optim´aln´ı hodnotu ztr´atov´e funkce odhadnout ve tvaru kvadratick´e formy:
1 (5) V ∗ (x(t), t) = x(t)T P(t)x(t) 2 Abychom tuto hodnotu z´ıskali, tak j´ı napˇr´ıklad uprav´ıme na u ´pln´ y ˇctverec. Hodnotu z´ısk´ame z matice kvadratick´e formy P(t) tzv. j´adra (nulov´eho prostoru). Dalˇs´ı metodou je hled´an´ı v´azan´ ych extr´em˚ u tzv. Lagrageov´ ych multiplik´ator˚ u. Z´ısk´av´ame Ricattiho diferenˇcn´ı rovnici pro LQ regul´ator, jej´ıˇz ˇreˇsen´ı je pops´ano n n´asleduj´ıc´ım odstavci. Ricattiho diferenˇcn´ı rovnice: P(k) = Q(k) + MT P(k + 1)M − MT P(k + 1)NK(k)
(6)
Kalmanovo zes´ılen´ı: K(k) = (R(k) + NT P(k + 1)N)−1 NT P(k + 1)M(k)
(7)
s koncovou podm´ınkou: P(N ) = Q(N ) Optim´aln´ı hodnota: u∗ (k) = −K(k)x(k)
(8)
vˇsechny stabilizuj´ıc´ı regul´atory jsou parametrizov´any maticemi Q(k), R(k) Pokud promˇenn´e Kalmanovo zes´ılen´ı konverguje k jist´e hodnotˇe pot´e P (t) → P a K(t) → R(k) + NT PN)−1 NT PM T´ımto z´ısk´ av´ ame nemˇ enn´ y LQ regul´ ator, kter´ y je vlastnˇ e stavov´ a zpˇ etn´ a vazba
Obr´azek 3: LQ regul´ator
3
2
Algebraick´ a Riccatiho rovnice a jej´ı ˇ reˇ sen´ı
Pˇredpokl´ad´ame LTI syst´em s konstantn´ımi maticemi krit´eria, pr˚ ubˇeh ˇreˇsen´ı Ricattiho rovnice (iterujeme zpˇetnˇe v ˇcase). Pokud limitn´ı ˇreˇsen´ı diferenˇcn´ı Ricattiho rovnice existuje pak vyhovuje ˇreˇsen´ı algebraick´e Ricattiho rovnice. Algebraick´e ˇreˇsen´ı ovˇsem m˚ uˇze m´ıt v´ıce ˇreˇsen´ı, kter´e nejsou re´aln´a, symetrick´a, pozitivnˇe definitn´ı a ty nevyhovuj´ı! Podm´ınka: P ≥ 0, P (t) → P Tedy pokud posloupnost konverguje pak limitn´ı hodnota spˇ nuje podm´ınku. Zp˚ usoby ˇreˇsen´ı ARE: • Iteraˇcn´ı metoda, zpˇetnˇe v ˇcase • Kleiman˚ uv algoritmus • Algoritmus vyuˇz´ıvaj´ıc´ı Hamiltonovy matice
3
Kvadraticky optim´ aln´ı sledov´ an´ı
u ´loha LQ regulace - aby stav pˇreˇsel do nuly x(t) → 0 u ´loha LQ programov´e ˇr´ızen´ı - referenˇcn´ı trajektorie je d´ana jako funkce ˇcasu, je zn´ama pˇredem (d´avkov´e procesy v chemick´em pr˚ umyslu) x(k) xr (k)
u(k) = − (Kx Kr)
!
= −Kx0 (k)
(9)
Obr´azek 4: LQ regul´ator - sledov´an´ı reference
4
Frekvenˇ cn´ı vlastnosti LQ regul´ ator˚ u (spojit´ y, diskr´ etn´ı)
Diskr´ etn´ı LQ Amplitudov´a a f´azov´a bezpeˇcnost – SISO syst´em, frekvenˇcn´ı charakteristika se vyh´ yb´a kruˇznici S = −1, r = γ je tud´ıˇz velmi robustn´ı! Kruhov´e krit´erium: 4
• Amplitudov´a bezpeˇcnost –
D
1 , 1 1+γ 1−γ
E
• F´azov´a bezpeˇcnost – φ = 2arcsin γ2 Chang-Letovova vˇeta - podobnost s metodou GMK, vych´az´ı z rovnice pro zpˇetnou diferenci a m´a tvar ∆cl (z)∆cl (z −1 ), charakteristick´ y polynom ∆cl stabiln´ı (stabiln´ı p´oly) Spojit´ y LQ Amplitudov´a a f´azov´a bezpeˇcnost – SISO syst´em, frekvenˇcn´ı charakteristika se vyh´ yb´a kruˇznici S = −1, r = 1 je tud´ıˇz velmi robustn´ı! Kruhov´e (Nyquistovo) krit´erium: • Amplitudov´a bezpeˇcnost –
D
E
1 ,∞ 2
• F´azov´a bezpeˇcnost – φ = 60◦ Chang-Letovova vˇeta - podobnost s metodou GMK, vych´az´ı z rovnice pro zpˇetnou diferenci a m´a tvar ∆cl (−s)∆cl (s), charakteristick´ y polynom ∆cl stabiln´ı (stabiln´ı p´oly)
5
Prediktivn´ı a zpˇ etnovazebn´ı strategie ˇ r´ızen´ı, prediktivn´ı regul´ ator
Strategie kvadraticky optim´aln´ıho ˇr´ızen´ı jsou: • zpˇetnovazebn´ı strategie – n´avrh z´akona r´ızen´ı K(t), t = 0, ..., N − 1, bere v u ´vahu i budouc´ı dostupnou informaci u(t) = −K(t)x(t), ale nelze jednoduˇse zahrnout omezen´ı. • prediktivn´ı strategie – pˇr´ım´ y n´avrh ˇr´ıdic´ı posloupnosti u(t), t = 0, ..., N − 1, lze zahrnout omezen´ı, ale nebere v u ´vahu budouc´ı dostupnou informaci u(t) = ft (x(0)) Preditkivn´ı ˇ r´ızen´ı: Na z´ akladˇ e vnˇ ejˇ s´ıho popisu: Dynamick´ y syst´em pops´an: y(t) +
n X
ai y(t − i) =
i=1
n X
bi u(t − i) +
i=0
n X
di v(t − i)
(10)
i=0
v(t) – mˇeˇriteln´a porucha hled´ame ˇr´ıdic´ı posloupnost na horizontu predikce Tp , minimalizuj´ıc´ı krit´erium ve tvaru: J=
TX −1 n
q(t)[y(t) − yr (t)2 ] + r(t)y(t)2
o
(11)
t=0
alternativnˇe lze v´aˇzit pˇr´ır˚ ustek ˇr´ızen´ı ∆u(t) = u(t) − u(t − 1) – integraˇcn´ı charakter Krit´erium lze zapsat do maticov´e formy: J = (y − yr )Q(y − yr ) + uT Ru 5
(12)
Opˇet jako v pˇr´ıpadˇe LQ regul´atoru hodnota krit´eria vyj´adˇrena kvadratickou formou −1 T −1 −1 T J = (A−1 p Bp u + Ap s − yr ) Q(Ap Bp u + Ap s − yr ) + u Ru
(13)
a opˇet se pouˇz´ıv´a minimalizace doplnˇen´ım na u ´pln´ y ˇctverec vzhledem k ˇr´ızen´ı u Nab´ız´ı se dvˇ e varianty v´ ypoˇ ctu prediktivn´ıho regul´ atoru: • Analytick´e ˇreˇsen´ı (bez omezen´ı) – optim´aln´ı ˇr´ıdic´ı posloupnost se rozloˇz´ı po sloˇzk´aach a aplikuje se klouzav´ y horizont (pˇrepoˇcten´ı cel´eho horizontu, dosazen´ı prvn´ı hodnoty do z´akona ˇr´ızen´ı a znovou pˇrepoˇc´ıt´an´ı cel´eho horizontu, toto se cyklicky opakuje) • Numerick´e ˇreˇsen´ı (s omezen´ım) – u ´loha kvadratick´eho programov´an´ı, bere v u ´vahu omezen´ı. Pouˇz´ıv´a se funkce MATLABu, QuadProg, ˇreˇs´ıc´ı na z´akladˇe omezen´ı a vypoˇc´ıt´av´a j´adro kvadratick´e formy dle Hessovy matice. Stabilizace – dostateˇcnˇe dlouh´ y horizont predikce, omezen´ı na koncov´ y stav x(T ) = x(T − 1) v´aha na koncov´ y stav konverguje k nekoneˇcnu. Na z´ akladˇ e vnitˇ rn´ıho popisu: Vnˇejˇs´ı popis ve tvaru: x(t + 1) = Ax(x) + Bu(t) y(t) = Cx(x) + Du(t) hled´ame ˇr´ıdic´ı posloupnost na horizontu predikce Tp , minimalizuj´ıc´ı krit´erium ve tvaru: J=
TX −1 n
q(t)[y(t) − yr (t)2 ] + r(t)y(t)2
o
(14)
t=0
odezva syst´emu:
y(0) y(1) . . y(T − 1)
=
C CA . . (T −1) CA
+x0 +
D CB D . . (T −1) CA B
CB D
+
u(0) u(1) . . u(T − 1)
(15)
neboli y = y˜ + Su, kde hodnota krit´eria J = (˜ y + Su − yr )T Q(˜ y + Su − yr ) + uT Ru
(16)
Doplnˇen´ım na u ´pln´ y ˇctverec z´ısk´av´ame optim´aln´ı ˇr´ıdic´ı posloupnost: u = −(S T QS + R)−1 S T (˜ y − yr ) = −M x(0) + Nr yr
(17)
Robustifikace MPC - krit´erium typu nerovnosti ˇ ızen´ı na ”‘set point”’ • R´ ˇ ızen´ı na ”‘set range”’, krit´erium s omezen´ım yrLOW (t) ≤ z(t) ≤ yrHIGH (t) - u • R´ ´loha QP • Potlaˇcen´ı VF sloˇzky vstupu • tvarov´an´ı odezvy v ˇcasov´e oblasti (trycht´ yˇr) pro poˇzadovanou odezvu (napˇr. stabilizace tlaku), neinteraguje s lad´ıc´ımi parametry Q a R, stabiln´ı odezva pˇr´ı promˇenn´e dynamice i vah´ach 6
6
Nestrukturovan´ a neurˇ citost, anal´ yza robustn´ı stability
Nestruktourovan´a neurˇcitost je vlastnˇe zanedban´a resp. nepˇresnˇe zn´am´a dynamika na vysok´ ych frekvenc´ıch. Lze popsat multiplikativn´ım, aditivn´ım a zpˇetnovazebn´ım modelem. Multiplikativn´ı neurˇ citost: P =
P (jω) (1 + ∆W2 )P0 , , P0 (jω)
< |W2 (jω)| pro ∀ω
(18)
P0 . . . nomin´aln´ı model, P . . . skutenˇcn´ y (perturbovan´ y) model, W2 . . . v´ahov´a matice (profil maxim´aln´ı neurˇcitosti), ∆ . . . nezn´am´a hodnota o skuteˇcn´e hodnotˇe a f´azi perturbace Podm´ınky: k∆k∞ ≤ 1 tj. k∆(jω)k∞ ≤ 1 pro ∀ω
(19)
N´azorn´ y pˇr´ıklad: dopravn´ık s promˇenn´ ym dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım m´a d´an pˇrenos: 1 −Td s P (s) = s(1+sT ) exp , aproximace nomin´aln´ım modelem (zanedban´e dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı)
1 P0 (s) = s(1+sT pouˇzit´ım vztahu 18 dost´av´ame PP0(s) = exp−Td s −1 ≤ |W2 (s)| V´ ahovou ) (s) funkci W2 mus´ıme zvolit takovou abychom zhora omezili neurˇcitost.
Obr´azek 5: Pˇr´ıklad dopravn´ıku s promˇenn´ ym Td - multiplikativn´ı model D˚ uleˇzit´ ym faktem pˇri vyˇsetˇrov´an´ı neurˇcitosti je nutnost rozliˇsovat smˇer vstup/v´ ystup a to pro MIMO syst´emy (pro SISO nez´avis´ı na poˇrad´ı). P = (1+∆W2 )P0 vs. P = P0 (1+∆W2 ) .
Aditivn´ı neurˇ citost: P = P0 + ∆W2 , |P (jω) − P0 (jω)| < |W2 (jω| , kde k∆k∞ ≤ 1
(20)
Zpˇ etnovazebn´ı neurˇ citost: P =
P0 , kde k∆k∞ ≤ 1 1 + ∆W2 P0 7
(21)
Robustnost Popis neurˇcitosti definuje mnoˇzinu perturbovan´ ych soustav P jak pro aditivn´ı 20 tak pro multiplikativn´ı model 18. Zaj´ım´a n´as: • robustn´ı stabilita – regul´ator zajiˇst’uje vnitˇrn´ı stabilitu pro vˇsechny soustavy, kter´e jsou pops´any modelem neurˇcitosti P • robustn´ı kvalita regulace – regul´ator splˇ nuje poˇzadavky na kvlaitu regulace pro soustavy, kter´e jsou pops´any modelem neurˇcitosti P Pozn´amka: Zjednoduˇsen´y pohled na vˇec: Robustnost = neurˇcitost + citlivostn´ı funkce Z´ akladn´ı vˇ etou robustn´ı stability je Vˇ eta o mal´ em zes´ılen´ı: Necht’ ∆ a M jsou stabiln´ı pˇrenosy. Zpˇetnovazebn´ı syst´em s pˇrenosem k∆k∞ ≤ 1 je stabiln´ı tehdy a jen tehdy, kdyˇz kM k∞ < 1
Obr´azek 6: Ilustrace vˇety o mal´em zes´ılen´ı Vysvˇetlen´ı: (graficky) Nyqusitova kˇrivka neobkliˇcuje kritick´ y bod a t´ım p´adem je syst´em 1 yraz ve jmenovateli zlomku nikdy dle Nyquistova krit´eria stabiln´ı. (numericky) L = 1+L v´ nebude nulov´ y. Krit´ eria robustn´ı stability: • aditivn´ı model – kW2 CSk∞ < 1 • multiplikativn´ı model – kW2 T k∞ < 1 • zpˇetnovazebn´ı model – kW2 P0 Sk∞ < 1 D˚ ukaz : Dosazen´ı nomin´aln´ıch model˚ u do citlivostn´ı funkce. Robustn´ı kvalita ˇ r´ızen´ı: nomin´aln´ı kvalita ˇr´ızen´ı (citlivostn´ı funkce) + robustn´ı stabilita kW1 Sk∞ < 1 a souˇcasnˇe kW2 T k∞ < 1 Nutn´ a a postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınka robustn´ı kvalitiy ˇ r´ızen´ı: k|W1 S| + |W2 T |k∞ < 1 , mus´ıme si uvˇedomit ˇze S + T = 1 Vˇse podstatn´e ohlednˇe robustnosti vystihuje grafick´a interpretace: K obr´azku (a) L je komplexn´ı ˇc´ıslo a je zobrazeno v komplexn´ı rovinˇe (frekvenˇcn´ı charakteristice) W2 vymezuje okol´ı ve kter´em m˚ uˇze vlivem perutbac´ı L ”‘zmˇenit”’ polohu v t´eto charaktersitice. C´ılem je aby se s rostouc´ı frekvenc´ı nedostalo do krick´eho bodu 8
Obr´azek 7: Grafick´a interpretace (a) robustn´ı stabilita (b) robustn´ı kvalita ˇr´ızen´ı −1 + j0. K obr´azku (b) L je komplexn´ı ˇc´ıslo a je zobrazeno v komplexn´ı rovinˇe (frekvenˇcn´ı charakteristice) W2 vymezuje okol´ı ve kter´em m˚ uˇze vlivem perutbac´ı L ”‘zmˇenit”’ polohu v t´eto charaktersitice. C´ılem je aby se s rostouc´ı frekvenc´ı ”‘vz´ajemnˇe neprotly ”‘ tyto dvˇe kruˇznice. To by mˇelo za n´asledek singularitu v pˇrenosu uzavˇren´e smyˇcky.
Reference [1] Havlena, V. (1999). Modern´ı teorie ˇr´ızen´ı – Doplˇ nkov´e skriptum. Vydavatelstv´ı ˇ CVUT, Praha. ˇ [2] Havlena, V. (2007). Modern´ı teorie ˇr´ızen´ı – Slide. CVUT, Praha. ˇ, J. Modern´ı teorie ˇr´ızen´ı [online]. Posledn´ı revize 2003-07-01 [3] Roubal, J.; Pekar [cit. 2003-07-01], hhttp://dce.felk.cvut.cz/mtr/i.
9
