VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 8

UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY

VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 8 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce

Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 2013

Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/2.2.00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH

MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

2 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce

Obsah Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce.......................................................................... 3 Řešené příklady ...................................................................................................................... 3 Příklady k procvičení ............................................................................................................. 9 Použitá literatura .................................................................................................................. 13 Seznam symbolů .................................................................................................................. 13

MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,


Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce

STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Výpočet teplotních polí při nestacionárním vedení tepla v tělese tvaru válce.

MOTIVACE: Ohřev a chlazení je součástí mnoha technologických operací zpracování materiálů. Průběh těchto dějů významně ovlivňuje kvalitu výsledného produktu. Úkolem inženýra je umět navrhnout optimální postup těchto operací, což je v mnoha případech obtížné a proto je potřeba provést příslušné výpočty s využitím matematických modelů, popisujících daný děj. V tomto cvičení se zaměříme na popis nestacionárního vedení tepla v materiálech tvaru válce.

Cíl: Uplatnění teoretických poznatků při řešení vybraných úloh nestacionárního vedení tepla zaměřených na výpočet teplotních polí v tělese tvaru válce.

Řešené příklady Příklad 1 Polotovar z PVC tvaru válce o průměru 0,12 m, výšce 1,5 m o počáteční teplotě 15°C, které je vyhříván v ustalovací komoře suchým vzduchem o teplotě 65°C. Určete průběhy teplotních polí pro doby ohřevu 5 minut, 30 minut, 60 minut, 2 hodiny, 4 hodiny. Potřebné výpočty dokumentujte příslušnými tabulkami a grafy. Řešení: Výpočet teplotních polí provedeme na základě analytického řešení (1) modelu ohřevu (chlazení) tělesa tvaru válce:

t * ( X , FO ) 

t r ,   t o t p  to



 2

n 1

J

J 1 (q n ) 2 1



(q n )  J 0 (q n ) q n 2

J 0 ( X q n )e (  FO qn

2

)

(1)


4 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce kde symbol X představuje bezrozměrnou vzdálenost od osy symetrie, tj.

X 

r (2)

R Symbol Fo představuje Fourierovo číslo, které lze počítat podle vztahu (3) Fo 

a

(3)

R2

Kořeny qn se při výpočtu teplotního pole ve válcovém tělese určí z rovnice (4)

J0  q  q  J1  q  Bi

(4)

Ze zadání příkladu a z tabulek určíme potřebné vlastnosti PVC: součinitel tepelné vodivosti PVC = 0,155 W∙m-1∙K-1, hustota  PVC = 1465 kg∙m-3, měrná tepelná kapacita c p PVC = 1350 J∙kg-1∙K-1. Určíme potřebné vlastnosti okolního prostředí (vzduchu) při střední teplotě tstr  0,5 (t p  to )

(5)

tstr  0,5 (15  65)  40 C

(6)

Prandtlovo kritérium Pr  0,73 , součinitel tepelné vodivosti  prost  2,65 102 W.m-1.K-1 , kinematická viskozita  prost  1,76 105 m2 .s-1 .

Výpočet součinitele přestupu tepla provedeme pro případ volné konvekce: Charakteristický rozměr pro svislý válec bude jeho výška d  0 , 35 Teplotní objemová roztažnost: MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,

5 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce 

1 Tstr

(7)



1  0,003193358 K 1 313,15

(8)

Grashofovo kritérium: Gr 

g  d 3  (t p  to )  

2

(9)

prost

Gr 

9,80665  0,003193358 1,53   65  15  17060301633,553 0,00001762

(10)

Součin Grashofova a Prandtlova kritéria: Gr  Pr  17060301633,553  0,73  12496762364

(11)

Nusseltovo kritérium: Nu  C (Gr  Pr )n

(12)

Pro součin 2  10 7  Gr  Pr  1  1013 odečteme konstanty C a n Nusseltova kritéria: C  0,135 , n  1 / 3 Nu  0,135  (12496762364)1/ 3  313, 28

(13)

Součinitel přestupu tepla:    

Nu   prost

(14)

d 313,28  0,0265  5,5 W.m2 .K -1 0,35

(15)

Biotovo kritérium: Bi 

 R PVC

(16)


6 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce Bi 

5,5  0,06  2,143 0,155

(17)

Teplotní vodivosti PVC: aPVC 

PVC c p PVC   PVC

(18)

aPVC 

0,155  0,784 107 m2 .s-1 1465 1350

(19)

Určení kořenů q transcendentní rovnice (4) lze provést numericky pomocí vhodného matematického softwaru (Matlab, Maple, Mathematica, Microsoft Excel, apod.), případně lze kořeny určit méně přesnější grafickou metodu. Numericky nalezené kořeny:

Obr. 1 Numericky vypočítané kořeny transcendentní rovnice (4)

Výpočet průběhů teplotních polí: Pro výpočet teplotních polí využijeme matematický software (Matlab, Mathematica, Maple, Microsoft Excel, apod.). Pro vykreslení grafických závislostí naprogramuje rovnici Chyba! Nenalezen zdroj MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,

7 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce odkazů. s požadovanými parametry. Při provádění výpočtu v programu Microsoft Excel provedeme výpočet teploty ve zvolených vzdálenostech materiálu a poté sestrojíme závislost teploty na vzdálenosti v materiálu.

Obr. 2 Rozložení teploty ve válci při ohřívání po dobu 10 hodin

Obr. 3 Teplotní pole v čase 5 minut



Obr. 4 Teplotní pole v čase 30 minut

Obr. 5 Teplotní pole v čase 1 hodina

Obr. 6 Teplotní pole v čase 2 hodiny



Obr. 7 Teplotní pole v čase 4 hodiny

Příklady k procvičení Příklad 2 Polotovary z PVC tvaru válce o průměru 12 cm, výšce 1,5 m o počáteční teplotě 65°C jsou ochlazovány v ustalovací komoře suchým vzduchem o teplotě 15°C. Graficky znázorněte průběh teplotního pole pro stanovenou dobu ohřevu. a) Určete průběhy teplotních polí pro různé doby ohřevu (5 min, 30 min, 60 min, 2 hod., 4 hod.) b) Určete potřebnou dobu chlazení, jestliže má být 2 mm pod povrchem dosaženo teploty maximálně 40°C? c) Pro stanovenou dobu ohřevu vypočtěte teplotu uprostřed vzorku. Potřebné výpočty dokumentujte příslušnými tabulkami a grafy. Řešení úlohy je uvedeno v následujících obr.8 aţ obr.15.



Obr. 8 Výpočet součinitele přestupu tepla a Biotova kritéria

Obr. 9 Kořeny transcendentní rov



Obr. 10 Teplotní pole po 5 minutách chlazení

Obr. 11 Teplotní pole po 30 minutách chlazení

Obr. 12 Teplotní pole po 1 hodině chlazení



Obr. 13 Teplotní pole po 2 hodinách chlazení

Obr. 14 Teplotní pole po 4 hodinách chlazení

Obr. 15 Výpočet doby chlazení pro dosažení teploty 40 °C ve vzdálenosti 2 mm pod povrchem

Obr. 15 Výpočet teploty ve středu vzorku pro stanovenou dobu chlazení MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,

13 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce Úlohy se vztahují k této otázce: Způsoby řešení úloh nestacionárního sdílení tepla vedením v tuhých látkách.

Použitá literatura [1] [2] [3]

Kolomazník, K. Modelování zpracovatelských procesů, VUT Brno, FT Zlín, 1990 Kolomazník, K. Analýza dynamických systémů, VUT Brno, FT Zlín, 1988 Janáčová, D. a kol. Procesní inženýrství. Fyzikální, transportní a termodynamická data, UTB AC, Zlín, 2011, ISBN 978-80-7318-997-6

Seznam symbolů a R Bi C cp

d Fo g Gr J0 J1 n Nu Pr t t* to tp

tstr

r X      

- teplotní vodivost, - poloměr tělesa, - Biotovo kritérium - konstanta Nusseltova kritéria, - měrná tepelná kapacita, - charakteristický rozměr, - Fourierovo kritérium (bezrozměrný čas) - gravitační zrychlení, - Grashofovo kritérium, - Besselova funkce 1. druhu, 0. řádu, - Besselova funkce 1. druhu, 1. Řádu, - konstanta Nusseltova kritéria, - Nusseltovo kritérum, - Prandtlovo kritérium, - teplota, - bezrozměrná teplota, - teplota okolí, -počáteční teplota materiálu,

[m2.s-1]

- střední teplota, - směrová souřadnice, - bezrozměrná směrová souřadnice, - součinitel přestupu tepla, - dynamická viskozita, - součinitel tepelné vodivosti, - hustota, - kinematická viskozita, - čas,

[°C] [m] [1] [W.m-2.K-1] [Pa.s] [W.m-1.K-1] [kg.m-3] [m2.s-1] [s]

[m] [1] [1] [kJ.kg-1.K-1] [m] [1] [m.s-2]

[1] [1] [1] [1] [1] [1] [°C] [1] [°C] [°C]

Seznam indexů: - polyvinylchlorid, PVC prost. -okolní prostředí. MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,

VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 8

Recommend Documents