UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY
VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 8 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce
Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 2013
Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/2.2.00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH
MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
2 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce
Obsah Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce.......................................................................... 3 Řešené příklady ...................................................................................................................... 3 Příklady k procvičení ............................................................................................................. 9 Použitá literatura .................................................................................................................. 13 Seznam symbolů .................................................................................................................. 13
MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,
3 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce
Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce
STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Výpočet teplotních polí při nestacionárním vedení tepla v tělese tvaru válce.
MOTIVACE: Ohřev a chlazení je součástí mnoha technologických operací zpracování materiálů. Průběh těchto dějů významně ovlivňuje kvalitu výsledného produktu. Úkolem inženýra je umět navrhnout optimální postup těchto operací, což je v mnoha případech obtížné a proto je potřeba provést příslušné výpočty s využitím matematických modelů, popisujících daný děj. V tomto cvičení se zaměříme na popis nestacionárního vedení tepla v materiálech tvaru válce.
Cíl: Uplatnění teoretických poznatků při řešení vybraných úloh nestacionárního vedení tepla zaměřených na výpočet teplotních polí v tělese tvaru válce.
Řešené příklady Příklad 1 Polotovar z PVC tvaru válce o průměru 0,12 m, výšce 1,5 m o počáteční teplotě 15°C, které je vyhříván v ustalovací komoře suchým vzduchem o teplotě 65°C. Určete průběhy teplotních polí pro doby ohřevu 5 minut, 30 minut, 60 minut, 2 hodiny, 4 hodiny. Potřebné výpočty dokumentujte příslušnými tabulkami a grafy. Řešení: Výpočet teplotních polí provedeme na základě analytického řešení (1) modelu ohřevu (chlazení) tělesa tvaru válce:
t * ( X , FO )
t r , t o t p to
2
n 1
J
J 1 (q n ) 2 1
(q n ) J 0 (q n ) q n 2
J 0 ( X q n )e ( FO qn
2
)
(1)
MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,
4 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce kde symbol X představuje bezrozměrnou vzdálenost od osy symetrie, tj.
X
r (2)
R Symbol Fo představuje Fourierovo číslo, které lze počítat podle vztahu (3) Fo
a
(3)
R2
Kořeny qn se při výpočtu teplotního pole ve válcovém tělese určí z rovnice (4)
J0 q q J1 q Bi
(4)
Ze zadání příkladu a z tabulek určíme potřebné vlastnosti PVC: součinitel tepelné vodivosti PVC = 0,155 W∙m-1∙K-1, hustota PVC = 1465 kg∙m-3, měrná tepelná kapacita c p PVC = 1350 J∙kg-1∙K-1. Určíme potřebné vlastnosti okolního prostředí (vzduchu) při střední teplotě tstr 0,5 (t p to )
(5)
tstr 0,5 (15 65) 40 C
(6)
Prandtlovo kritérium Pr 0,73 , součinitel tepelné vodivosti prost 2,65 102 W.m-1.K-1 , kinematická viskozita prost 1,76 105 m2 .s-1 .
Výpočet součinitele přestupu tepla provedeme pro případ volné konvekce: Charakteristický rozměr pro svislý válec bude jeho výška d 0 , 35 Teplotní objemová roztažnost: MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,
5 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce
1 Tstr
(7)
1 0,003193358 K 1 313,15
(8)
Grashofovo kritérium: Gr
g d 3 (t p to )
2
(9)
prost
Gr
9,80665 0,003193358 1,53 65 15 17060301633,553 0,00001762
(10)
Součin Grashofova a Prandtlova kritéria: Gr Pr 17060301633,553 0,73 12496762364
(11)
Nusseltovo kritérium: Nu C (Gr Pr )n
(12)
Pro součin 2 10 7 Gr Pr 1 1013 odečteme konstanty C a n Nusseltova kritéria: C 0,135 , n 1 / 3 Nu 0,135 (12496762364)1/ 3 313, 28
(13)
Součinitel přestupu tepla:
Nu prost
(14)
d 313,28 0,0265 5,5 W.m2 .K -1 0,35
(15)
Biotovo kritérium: Bi
R PVC
(16)
MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,
6 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce Bi
5,5 0,06 2,143 0,155
(17)
Teplotní vodivosti PVC: aPVC
PVC c p PVC PVC
(18)
aPVC
0,155 0,784 107 m2 .s-1 1465 1350
(19)
Určení kořenů q transcendentní rovnice (4) lze provést numericky pomocí vhodného matematického softwaru (Matlab, Maple, Mathematica, Microsoft Excel, apod.), případně lze kořeny určit méně přesnější grafickou metodu. Numericky nalezené kořeny:
Obr. 1 Numericky vypočítané kořeny transcendentní rovnice (4)
Výpočet průběhů teplotních polí: Pro výpočet teplotních polí využijeme matematický software (Matlab, Mathematica, Maple, Microsoft Excel, apod.). Pro vykreslení grafických závislostí naprogramuje rovnici Chyba! Nenalezen zdroj MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,
7 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce odkazů. s požadovanými parametry. Při provádění výpočtu v programu Microsoft Excel provedeme výpočet teploty ve zvolených vzdálenostech materiálu a poté sestrojíme závislost teploty na vzdálenosti v materiálu.
Obr. 2 Rozložení teploty ve válci při ohřívání po dobu 10 hodin
Obr. 3 Teplotní pole v čase 5 minut
MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,
8 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce
Obr. 4 Teplotní pole v čase 30 minut
Obr. 5 Teplotní pole v čase 1 hodina
Obr. 6 Teplotní pole v čase 2 hodiny
MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,
9 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce
Obr. 7 Teplotní pole v čase 4 hodiny
Příklady k procvičení Příklad 2 Polotovary z PVC tvaru válce o průměru 12 cm, výšce 1,5 m o počáteční teplotě 65°C jsou ochlazovány v ustalovací komoře suchým vzduchem o teplotě 15°C. Graficky znázorněte průběh teplotního pole pro stanovenou dobu ohřevu. a) Určete průběhy teplotních polí pro různé doby ohřevu (5 min, 30 min, 60 min, 2 hod., 4 hod.) b) Určete potřebnou dobu chlazení, jestliže má být 2 mm pod povrchem dosaženo teploty maximálně 40°C? c) Pro stanovenou dobu ohřevu vypočtěte teplotu uprostřed vzorku. Potřebné výpočty dokumentujte příslušnými tabulkami a grafy. Řešení úlohy je uvedeno v následujících obr.8 aţ obr.15.
MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,
10 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce
Obr. 8 Výpočet součinitele přestupu tepla a Biotova kritéria
Obr. 9 Kořeny transcendentní rov
MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,
11 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce
Obr. 10 Teplotní pole po 5 minutách chlazení
Obr. 11 Teplotní pole po 30 minutách chlazení
Obr. 12 Teplotní pole po 1 hodině chlazení
MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,
12 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce
Obr. 13 Teplotní pole po 2 hodinách chlazení
Obr. 14 Teplotní pole po 4 hodinách chlazení
Obr. 15 Výpočet doby chlazení pro dosažení teploty 40 °C ve vzdálenosti 2 mm pod povrchem
Obr. 15 Výpočet teploty ve středu vzorku pro stanovenou dobu chlazení MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,
13 Nestacionární vedení tepla v tělese tvaru válce Úlohy se vztahují k této otázce: Způsoby řešení úloh nestacionárního sdílení tepla vedením v tuhých látkách.
Použitá literatura [1] [2] [3]
Kolomazník, K. Modelování zpracovatelských procesů, VUT Brno, FT Zlín, 1990 Kolomazník, K. Analýza dynamických systémů, VUT Brno, FT Zlín, 1988 Janáčová, D. a kol. Procesní inženýrství. Fyzikální, transportní a termodynamická data, UTB AC, Zlín, 2011, ISBN 978-80-7318-997-6
Seznam symbolů a R Bi C cp
d Fo g Gr J0 J1 n Nu Pr t t* to tp
tstr
r X
- teplotní vodivost, - poloměr tělesa, - Biotovo kritérium - konstanta Nusseltova kritéria, - měrná tepelná kapacita, - charakteristický rozměr, - Fourierovo kritérium (bezrozměrný čas) - gravitační zrychlení, - Grashofovo kritérium, - Besselova funkce 1. druhu, 0. řádu, - Besselova funkce 1. druhu, 1. Řádu, - konstanta Nusseltova kritéria, - Nusseltovo kritérum, - Prandtlovo kritérium, - teplota, - bezrozměrná teplota, - teplota okolí, -počáteční teplota materiálu,
[m2.s-1]
- střední teplota, - směrová souřadnice, - bezrozměrná směrová souřadnice, - součinitel přestupu tepla, - dynamická viskozita, - součinitel tepelné vodivosti, - hustota, - kinematická viskozita, - čas,
[°C] [m] [1] [W.m-2.K-1] [Pa.s] [W.m-1.K-1] [kg.m-3] [m2.s-1] [s]
[m] [1] [1] [kJ.kg-1.K-1] [m] [1] [m.s-2]
[1] [1] [1] [1] [1] [1] [°C] [1] [°C] [°C]
Seznam indexů: - polyvinylchlorid, PVC prost. -okolní prostředí. MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,