Vraagstukken bij de Colleges. Wiskunde I en 11

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Afdeling Algemene Wetenschappen

Onderafdeling der Wiskunde

Vraagstukken bij de Colleges

Wiskunde I en 11

September 1968

Onderafdeling der Wiskunde

Vraagstukken bij de colleges Wiskunde I en 11

SEPTEMBER 1968

DICT. NR. 203 PRIJS

.f 2,--

ENKELE NOTITIES bij Vraagstukken bij de colleges Wiskunde I en II Deze opgavenverzameling voor alle 1e jaarsstudenten is vanafhet ontstaan van de THE/TUE tot ca 1971 in gebruik geweest.Aanvankelijk als losse afleveringen. Later gebundeld. De toegevoegde antwoorden bij de vraagstukken dateren van September 1969.

JdG, 5 Mei 2005.

-----------------

Inhoudsbeschrijving Vraagstukken Wiskunde 1: nrl.l. Ongelijkheden. Elementaire Rekenvaardigheden. nr2.1. Polynomen en Elementaire Functies. nr3.1. Limieten. nr4.1. Afgeleiden. nr5.1. Tekenen van Grafieken. nr6.1. Eenvoudige Bepaalde en Onbepaalde Integralen. nr7.1. Volledige Inductie. Beschrijving van Krommen in het Platte Vlak. nr8.1. Partiële Afgeleiden. Raaklijnen en Raakvlakken. nr9.1. Kettingregel voor Partiële Afgeleiden. nrlO.l. Parametervoorstellingen van Rechten en Vlakken. (On)afhankelijke Stelsels. nrll.l. Oplossen Stelsels Lineaire Vergelijkingen. De Rang van Matrices. nrl2.1. Determinanten. nrl3.1. Complexe Getallen. Integralen met Complexe Integranden.

Inhoudsbeschrijving Vraagstukken Wiskunde 11: nrl4.1. 2e Orde Lineaire Differentiaalvergelijkingen met Constante Coëfficiënten. 2e Orde Lineaire Differentiaalvergelijkingen van Type Euler. nrl5.1. Convergentieonderzoek van Reeksen. nrl6.1. Bepaling Convergentiestraal van Machtreeksen. nrl7.1. Limietberekeningen en Numerieke Benaderingen via Standaardreeksen. nrl8.1. Afstanden tussen Rechten en Vlakken in IR3 . Projecties in IR 3 . nrl9.1. Onderzoek van Kwadratische Oppervlakken in !R3 • nr20.1. Matrices opgevat als Lineaire Afbeeldingen. nr21.1. Eigenwaarden en Eigenvectoren van 3 x 3-matrices. nr22.1. Integralen van Rationale Functies. Breuksplitsing. Goniometrische Integralen. nr23.1. Vervolg van nr22. Integralen van Wortelvormen. nr24.1. Dubbelintegralen. Verwisseling van Integratievolgorde. Berekening van Oppervlakten in IR2 . nr25.1. Drievoudige Integralen. Inhoudsberekeningen. nr26.1. Oppervlakteberekeningen van Oppervlakken in !R3 .

Antwoorden bij de Vraagstukken (Deze pagina dateert van 5 Mei 2005, JdG)

TECHNISCHE HOGE>CHOOL EJNDHOVEN

Onderafdeling der Wiskunde Oefeningen Semester I

Aangeraden oefenstof Wiskunde I Diktaat:

Examen en tentamenopgaven (met oplossingen) I Verkrijgbaar bij de pedel C.H.B.

Boekje

W.J.H. Salet. Vraagstukken over Analyse en Algebra I Verkrijgbaar bij de boekhandel.

Verdere oefenstof vindt U in de centrale bibliotheek bijv. Berman :

A oolleotion of problems on a ,,course of mathematical analysis.

Smirnov:

A course of higher mathematica Volume I Elementary Calculus.

Het griekse alfabet: I,.''

~

'

'

~·.

1\y,·'

,1'~, ,.,".,,

r,w ' v\~ i'·~

lf~· I

kl.letters

alpha

N

V

nu

bêta

8

~

ka i

I'

~ y

gamma

0

0

omikron

/:;

b

delta

n

1t

pi

E

&

epsilon

,p

p

rho

z

c

zêta

E

a

sigma

H

1J

êta

T

'r

tau

8

e

thêta

y

u

upsilon

i8ta

a>

'I'

ph i

kl.letters

naam

A

a

B

'

.~.,

t,

hoofdletters

hoofdletters

.

I

naam

K

K

kappa

x

x

chi

A

À

lambda

'!l

4>

psi

M

11

mu

0

w

omega

nr.1.1.

Los de volgende ongelijkheden op. 1 • (x- 2Hixl -1) > 0 x+3

2. \ ,1 - 4x\ "" x • x 3. \x- 3\ +2>2+5 • ;

':

4· \x+7\ < \ xj -

5 •

5. \-:X:2

+1\ ..; 2x + 2 •

7. x2

9\x\ -

+

10 < 0 •

.8. Op de getallenrechte liggen de pUnten A, B en C resp. op de afstanden 1, 2

en 6 rechts van de oorsprong. Voor welke punten P op de getallenrechte geldt: PA +PB..; PC ? Bepaal de afgeleiden van de volgende functies en breng deze zo mogelijk in een eenvoudige vorm.

9. a) f(x)

= (x+2)

3

-

2

6(x+2)

+ 12x +

24

b) f(x) = 2x-{;-

1

b) f(x) 11. Bepaal de scherpe hoek tussen de krommen y

5i

~]'

•

=Vx +fx

= ~(x>

0) en y

= x 3 in het van

de oorsprong verschillende snijpUnt. 12. Bepaal de scherpe hoek waaronder de grafieken van y

3 =\IX

en y = x 2 ellcaa;r

snijden in het van de oorsprong verschillende snijpunt. 13. Bepaal de scherpe hoek waaronder de krommen y = x en y = x2 - x+ 1 élkaar snijden. 14. Bewijs, dat de totale oppervlakte 0 van een cilindrische blikken bus (deksel +bodem + zijwand) bij gegeven inhoud I minimaal is, als de hoogte gelijk is aan de diameter. Druk in dat geval 0 in I uit.

'-----------------------------

nr.1.2.

15. In het platte vlak liggen twee punten Pen Q. aan dezelfde kant van de rechte

t. Een deeltje beweegt zich rechtlijnig en met constante snelheid v van P naar een punt R op t en vandaar op dezelfde wijze naar Q.. Bewijs, dat de tijd, die het deeltje nodig heeft om Q. te bereiken, minimaal is, als R zo op t ligt, dat de hoeken, die PR en RQ. met de loodlijn in R op t maken, gelijk zijn. (1e wet van Snellius.) 16. Uit een metalen plaatje van 16 bij 21 cm moet een bakje worden gemaakt op de volgende manier: Uit de 4 hoeken knipt men even grote vierkanten; de randen, die men zo overhoudt, zet men om; daarne·soldeert men de naden dicht. Druk de inhoud van het bakje uit in de hoogte x. Hoe hoog moet de rand worden genomen om een maximale inhoud te krijgen? 17. Welke functies worden voorgesteld door a) fsin

~

dx , b

i

c)

0 ;

Jsin(t~ x)dx cos x

18. Bereken de oppervlakte van het deel van het vlak, dat wordt begrensd door de krommen 2

y = (x-3) (x+1)

en y

=

x+1 •

.Analoge vxaags tukken Salet I, hoofdstuk I, § 4, nrs. 9, 10, 27, 28.

§ 6, nrs. 2, 3, 9, 10, 12, 14.

nr.2.1.

1, Bepaal a zo, dat x 3 - ax2 + x +

6 deelbaar is door x+ 1,

Ontbind daarna de vorm in factoren. 2,

Bepaal a zo, dat x+ 1 een factor is van x

3

3x

-

2

+ (a+ 1 )x - a + 1,

Ontbind daarna de veelterm in factoren.

3.

Los op:

4• Los op:

x3

-

6x2 + 11x - 6

= 0 ,

x 3 + 3x2 - 4x - 1 2 = 0 •

5. Bepaal de rest bij deling van x 4 - 5x

3

2

+ 10x

-

20x + 24 door x

6

2

+ 3x + 6 door

2

+ 5x + 6

zonder de deling uit te voeren.

6. Bepaal de rest bij deling van x 10

-

17x + 15x

zonder de deling uit te voeren,

7,

Teken de grafiek van f(x)

= x3

+ x 2 - 8x + 6 •

8, Teken de grafiek van

9, Teken de grafiek van

10, Teken in

~én.figuur

de grafieken van voor o.;;x.;;~.

11. Bepaal (in radialen) a) arcsin(-iÓ) ;

b) arctan(Ó) ,

12, Bepaal (in radialen) a) arccos(-iÓ) ; 13, Teken de grafiek van arctan( tan x) ,

-

1t

<x ..;

1t ,

x

.,l ± ~ .

x2

-

x - 2,

nr.2.2.

14, Teken de grafiek van arccos(cos x) ,

15. Bereken:

- 2n"" x"" 2n •

arcten 7 + arcsin 4/5 •

16. Is er een getal y te vinden, waarvoor geldt: arcsin! + arcsin ~ Zo ja, bepaal deze y. 17. Bewijs, dat voor -1 < y geldt: a.rctan y + a.rctan 1..:z = -ft 4 1 +y 18, Toon aan, dat

a.rctan x

= arcsin

x

-;::::=Ë::=

v1 +x!

voor alle x.

Analoge vraagstukken Salet I, hoofdstuk I,§ 7, nrs. 12.;;•, 14.6•, 15.3•.

= arcsin

y ?

r , ,n

1, Bewijs met de definitie van limiet, dat 1 im .I..::..!.L = 0 . n-co n +4 2

2. Bewijs met de definitie van limiet, dat lim n-oo Bepaal: 2 n +7 3. lim 3 n-co n 2 1268- 2n +n lim 4· n-co 1969- n + 2n2

5. lim sin n 2+ {-1 n-oo n +4

•

t

3 cos{n ) lim '6. n-oo fn+ 1

7· lim

cos

lim sin n-oo

1lll

n-co

1ll1

.

~n2 - 3n + 7)

8. lim ('/n2 + 2n +4 -

n-oo a _n±!. lim 9. n-co an

10,

waaxin a n

lim~

n-co

•

x4 + 2x2

11. lim x-o

r

12, lim x-o

x3 + !l:xx-1

13. lim x-1

x4 + 2x2 • 5 x +x 3 + 2x 2

+x3 + 2x:2

2

•

=

2n + 1

.

-n + 1 2n2'

= -t.

r',

x

14. lim x-1

17. lim x-oo

+!~:x-

~1

+x+ x2 - 1 x

Nx+4 - fx}fx ~i+ 1 x

di

18. liJn x- -co

'. I •.

t'

2

x-1

15. lim x-0 16. liJn x-oo

3

Vx2 + 1 x x--oo lim

J

+ 3x + 2 + x)

19. lim d~ + 3x + 2 + x) x- -co

20. liJn x-1

14=7i?+? x-1

21. Teken de grafiek van f(x) = lim n-oo 22. Teken de grafiek van "·

f(x) = liJn

Bepaal:

~

I.

23.

·.:·.·.·~

lim cos 3x- cos 5x x2 x-0

..

,.·.

\

'

24- lim

1 + tan x sin x - cos 2x

x-0

25.

lim

x--n

4

x

2

sin x - cos x x - .1!

4

•

n+1 x n

x +2

nr. 3. 3.

x _ 2L) 26 • l •'m (arccoe x 2x •

x-o

ta.n .!! x - oot .!! x 4 4 27. lim x-1 x - 1

28. lim

x-o

•

sin x + sin 2x + sin 3x + • • • + sin nx ta.n x

•

29. lim x(~ - arcta.n x) • x-oo

30. lim x-1

. 1lX 1 - 2 sm6 1 - x

Analoge vraagstukken Salet I, hoofdstuk III, § 2, nrs. 14, 15, 17, 18, 21, 22, 24• hoofdstuk IV, § 2, nrs. 1, 2, 4.1°, 7.1°, 8.1°, 9.1°, 10.2°, 11, 13, 14.

nr.4. 1.

Overzicht van differentiaalquotiënten xa

f(x) f' (x)

<XX

loglxl

gloglxl 1 x log g

1 x

<X-1

sin x

cos x

cos x

-sin x

tan x

cot x 1

1 2

• 2

Sl.n x

cos x

f(x)

ex

gx

arcsin x

f' (x)

ex

gxlog g

1 V1 - x2

.

arccos x

arctan x

1

-

11

arcoot x

-1 +x1

-i

1 1+x2

2

Bepaal de afgeleiden van de volgende functies en breng deze zo mogelijk in een eenvoudiee vorm. b) f(x) = bxva:i- b2 x2 + a 2 arcsin .!l. x a 2.

a) f(x)

x

=

Jil7

Vx;

b) f(x) = - •

ar

1 3. a) f(x) = (1+x) /x;

b) f(x)

5. a) f(x) ~ ~ arctan x +} arctan

x

1

6. a) f(x) = logl cos x -

~~;

1· a) f(x) = logltan 8. a) f(x) = c arccos

,(

.

9· a) f(x)

=

10~- 1

(a> o).

;

co~ x I ;

-i!

=

2x(log x)-1 •

;

b) f(x)

b) f(x) b) f(x) =log

1

= arccos

=

arcsinV1- Jt2

+

~

~V2cx-x2 (c"O); c b) f(x) = arctan(a.rcsin

v1 +x2

•

b) f(x)

fx) .

1

= xlog

x •

•

10. De functie f(x) is gedefinieerd door: sin x

voor

f(x) 3x - 5 1 f(x) f(x) ~ y} - 6x + 9

voor

f(x)

~

~

voor voor

- ~.:;; x.,.:; 0 Ü<x..;2 2<x"" 3 3<x.

Teken de grafiek van f(x). Voor welke waarde(n) van x is deze functie discontinu? 11. Teken de grafiek van de functie f(x), die als volgt is gedefinieerd: f(x)

2

voor

~x

f(x)

~

f(x)

~

nx

cos 2 3x- 2

voor

-2""x< 0 ' O<:;x<1 1 .:;; x< 2

voor

2"" x.

voor

2

f(x) = x

Voor welke waarde(n) van x is deze functie discontinu? :..•

:

1 ~:

2

f (x) = x + 2x- 3 voor x f 1 en x l - 2 • i +x- 2 Kan f(x) in x= 1 en/of x~- 2 continu worden voortgezet?

12. Gegeven:

'':......

:.

~~-~

i!i"

~·:

i:··

13. Voor x

f.

0 en x

i -2

is

f(x) =

1

1

+ ..,..2x-'-+4- •

2

x

+2x

Is het mogelijk f (x) in x ~ 0 en/of x = - 2 continu voort te zetten? Zo ja, ~oor toekenning van welke functiewaarde(n)? 14. Voor welke waarde(n) van a is:

continu voor alle x en voor welke vertoont de functie discontinuïteiten? Bepaal deze discontinuïteiten.

15. Op het interval -1 .;; x ..; 1 is f(x) =

1 __;~ 2 1 +x

Is f(x) continu?

Bestaat er een x, waarvoor f(x) maximaal is?

-. lim n-oo (1

1

+i t

•

16. Gegeven:

f(x) = x3 cos .l x f(o) = 0 •

voor x

I

0 •

Bewijs, dat f(x) differentieerbaar is in x= 0 en dat f 1 (x) continu is voor x =

o.

17. Gegeven: f(x) = (t~ x f(O)=O.

si~

x)

voor x

I

0 •

Bewijs, dat f (x) differentieerbaar is in x • 0 en dat f 1 (x) continu is voor x •

Analoge vraagstukken Salet I, hoofdstuk IV, § 3, nrs. 1, 2, 5, 9· hoofdstuk V, § 1.

.:-· .· 1 '

'

.•.

'·

,\

~'

verband met de wenselijkheid de techniek van het differentiëren volkomen te beheersen verdient het aanbeveling zeer veel differentiatievraagstukken te maken. In

Men vindt deze in grote getale in: Salet I, hoofdstuk V, § 1 •

o.

Bij het tekenen van een grafiek kan men aandacht schenken aan: 1) definitieverzameling van de functie, 2) nulpunten,

3) discontinuiteiten,in het bijzonder verticale asymptoten, 4) extrema,

5) gedrag voor grote x, in het bijzonder horizontale asymptoten, 6) gedrag in punten waarin f(x) niet differentieerbaar is.

Teken de grafiek van 1. f(x) =

~ , x~ 0 2

(bepaal ook de raaklijn in x

= 0).

x +1

2. f(x)

''

;,~.

'I '·',r

l '

'

e

x

=-x2 + 1

en

één figuur·.

g(x)

3. f(x) =x-~ x

x

4· f(x)

·'~~

= ~e-

en g( x)

1 +ex

= --'e"---:; 2 ( 1 +ex)

in ~~n figuur. Bewijs, dat g(x) even is.

'

~·'

6. f(x) = ~ -

Vx:0

7. f(x) = sin 2x + 3 sin ~ x 8. f(x) = cos x cos 2x op het interval 0 ~ x ~ 2n • '~'' {f

9. f(x)

1

1 = ---'--

cos x

1

+ cos x

!1!·'.' I

2

10, f(x) =x + 2 ex x-1

·,,;t ,!.

11. f(x) =-x log x,

x>

0 •

12. arcsin

2x 1 +x 2

13. arcces ~1- x 2

•

,

Jxj < 1 •

14. Bepaal de extrema van de functie f(x) gedefinieerd in opgave 4.10. 15. Bepaal de extrema van~ functie f(c) gedefinieerd in opgave 4,11.

',.· . 1 i

.

.

,•JI.

,.'

'

nr.6,1,

Overzicht van grondformules

n

I~

dx = log

Icos x dx

Ixl

+ C ;

~ sin x

- te.n x

"dx

r -1

sin x dx

~

- cos x + C ,

c;

J

cos 2 x -

I

.....:::"'-- = a.rcte.n x + C 1 +i

d)

I

+

I

+ C

r

dx

dx

J ~1-;

~

arcsin x + C •

j .

sin x dx

cos x

h)I

".; 1 h~"

2.

a)

xdx te.n(l)

e)

I -(a.-x-":;.::~=1-i.,-·

g)

I

dx

~a.2 _ x2 '

(a. > 0) ·,

;

nj2 esin t cos t cos 2tdt;

I

b)

0

I

1

arcsin xdx

0

~·· ,

3. a)

I 0

1

e

a.rctan x

1+i

n/2

dx

b)

I 0

x2 cos xdx •

nr. 6. 2.

{n

e

_I

4· a)

log xdx

b)

1

I

2 x cos (x )dx •

0 e

rr/2

5.

I

x sin xdx

b) 1; /

0

...

I

6. a)

x(lo~x + 1)

I( 00

e x-exdx

b)

0

1- - - 1 d) x x+1 x+a

I _..,

\" . t

n/2

.8.

I

a>O.

0 0

7. a)

•

exdx

b)

{

x-2 e

-i dx

0

(~-

1 . )dx • s1n x

(~-

oot x)dx ,

0

.

-

nj2

..

9·

I

0

,',·.

a3 x2 10. Schets de figuur ingesloten door de krolDillen y' = ___:::..__ en y = - en 2a x2 +a2 bereken de oppervlakte ervan (a> 0).

11. "..

.'

1 ~: ,_

,;·"'

'l'

.

Analoge vraagstukken Salet I, hoofdstuk VI, § 1, nrs. 5, 13, 18, 22, 28, 32, 49, 51, 66, 78. § 2, nrs. 12, 21.

§ 7. nrs. 25, 32, 41. § 8, nrs. 1, 3, 5·

1, Bewijs door volledige inductie, dat 1+2+,,, + n• en

n(n+1) 2 1

1 + 8 + 27 + • •• + n

(1 + 2 + 3 + ••• + n)

•

2

•

2. Bewijs door vOUedige inductie, dat 1,2 + 2,3 + 3.4 + ••• + n(n+1) • n(n+1)(n+2)/3 en

1,2,3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ••• + n(n+1)(n+2) • • n(n+1)(n+2)(n+3)/4o

,,

.\'i

3.

'·.1

Druk de tweede afgeleide va.n y •

3 sin

3 :x: - 4 sin :x: uit in sin :x:,

Toon aan, dat y( 4 ) • 81y,

4• Gegeven:

y • log (ae:x: + be-x), a en b constant •

.

,:t~

Bereken:

(y' /

+ y",

••

5o Bepaal de n-de afgeleide van y •

6. Bepaal de n-de afgeleide van y

a

4:x:

2

+ 2:x: + 1 •

2x + 1

6x2 +5x+1 x_2 3

•

1

is: 7. Toon aan, dat de n-de afgeleide van -----"'--2

1-x

I "·.·.!.

'

.'

I,

-'

Bo Gegeven is I y • log (x +

{J? + 1 ),

Iaid een reo=ente betrekking af tussen y

(n) , y (n-1) en y (n-2)

voorn> 2, 2

9. Gegeven y a arcta.n x. Toon aan ( 1 + x )y I - 1. Leid daaruit een rec=ente betrekking af voor y(n), y(n- 1 ), y(n- 2 )

(n > 2),

nr. 7.2.

2

2 10. Bepaal het buigpunt van y = arccos x en de buigpunten van y • e-x / •

11. Teken de grafiek van f(x)

= e-x

sin x in het interval 0 ~x~ n

en bepaal eventuele buigpunten. 12. Een cirkel met middelpunt M en straal 2 rolt over de x-as. a) Geef een parametervoorstelling van de kromme beschreven door het punt dat oorspronkelijk midden tussenMen 0 lag (dus in (0,1)).

\"

b) Bepaal van deze kromme de buigpunten. 13. Een kromme is in parametervoorstelling gegeven door x • a cos cp; y = b sin cp; a > b > 0. Gevraagd worden de punten waarvan de afstand tot 0 extreem is.

, :' 1 '

....-

14. Teken de kromme die in poolcoördinaten gegeven wordt door r

2

= 4'1'·

Bepaal het snijpunt met de eenheidecirkel en de scherpe hoek die cirkel en kromme in dat punt met elkaar maken.

'•

15. Bepaal de vergelijking in x, y-coördinaten van de kromme die in poolcoördinaten gegeven wordt door r • (1 - cos cpf Druk de

1

,

0 < cp < 2n.

hoek tussen voerstraal en raaklijn van deze kromme uit in 'I'•

Analoge vra.a,gs tukken Salet I, hoofdstuk I, § 1, nr.

§ 2, nr. hoofdstuk V, § 2, nrs.

1· 7. 3, 9, 14,

20.

nr.8.1.

1, Gegeven:

2x

_1

z = 1 + y , y r -1 •

a.) Bewijs dat lim z besta.a.t als y = px- 1, voor elke constante p x-o 2 b) Kaq z = 1 :y 3

2. f(x,y) ==x 2Y-XY 2 x +y

in (0,-1) continu voortgezet worden? 3

voor (x,y)

I

f(O,O) = o.

(o,o),

Bewijs dat f(x,y) continu is in (o,o).

3. Gegeven:

f(x,y)

f(x,O) f(O,y)

=0 ==

x

voor x .

s~n

1 -x

voor x

I I

0 en y

I

0;

0;

== y •

a.) Is f(x,y) continu in (o,o)?

b) Bestaan de partiële afgeleiden van f(x,y) in (0,0)?

4.

Bepaal de partiële afgeleiden van a) z

= a.rctan

~ y

b) z

,·

=

(x +y)x-2y •

5. Bepa.a.l de partiële afgeleiden van a.) z =

6. z

=

Y! ;

eY a.rcsin(x- y). Toon aan dat

7. Gegeven:

x!-

-1+l az az x ax + Y ay = - z •

Bewijs:

B. z =

z =--'x~-

a.rctan ~ -

9. Gegeven z

=

l

arctan ~ • Bewijs dat

f(~). Toon aan: x ~ + y ~

az az x - + y - = 2z. ax ay

= 0.

10. Bepaal de (totale) differentiaal van de functie f(x,y) = log tan ~

in het punt (~,

t).

I

0.

nr. 8. 2.

11, Bepaal de (totale) differentiaal van de functie f(x,y) het punt

1

1

(2•3).

= arctan 1x_+~

in .

12. Bepaal de vergelijking van het raakvlak in het punt (1,2,2) aan het oppervlak z

-~.

13. Bewijs dat het raakvlak in het punt (-2,1,-13) aan het oppervlak z

=

15x +

4l.;

+

3l

+ xy4 evenwijdig is aan de x-as.

14. Gegeven is z = sin x sin y voor 0.;; x< n; 0.;; y < n. a) Bepaal de vergelijking van het raakvlak in het punt (x0 ,y0 ,z0 ). b) Bepaal (x ,y ,z 0 ) zo dat het raakvlak evenwijdig is aan het xy-vlak. 0

0

2

2

15. Gegeven: z=x -6xy+5y +2x+2y. a) Bepaal de vergelijking van het raakvlak aan dit oppervlak in het punt (xo,yo,zo). b) Bepaal (x ,y ,z ) zo dat dit raakvlak evenwijdig is aan het xy-vlak. 0 0 0 16, Gegeven is: y 3 = 6x2 + 2, Hierdoor is y als functie van x vastgelegd, Bepaal van deze functie het extreem en de buigpunten; teken ook de grafiek. 3

2

17. Gegeven is: y + 3x - 6xy = o. Bepaal de punten op de kromme waar 1) de raaklijn evenwijdig is aan de x-as; 2) de raaklijn evenwijdig is aan de y-as, N.B. Het punt (o,o) wordt buiten beschouwing gelaten. 18. Gegeven is VX 2 - y 2 • arcsin ~ • Bereken ~ in de snijpunten van de krolilDie met de rechte y • ~x.

xy

t,

dz t. Bepaal dt •

1. Gegeven:

z

2, Gegeven:

z = x a.rcsin(x

3. Gegeven:

z = .;', x = r coe cp, y = r sin cp. Druk

~

x.e

, x = log

y = sin

+l ),

2

x = et, y = ta.n t. Bepaal

x ~ co~ rp

4. u is een functie van

~= en ~ uit in x en y;

y = si~ rp • Druk

en

~~ •

~: uit in x en y en

de partiële afgeleiden van u naar x en naar y.

5. x

~

cos u sin v

Beschouw z als functie van x en y en druk

y

~

sin u cos v

uit in u en v.

az ax

en

az ay

z=2u+3v

6. Gegeven:

log{ (x- a ) 2 + (y- b ) 2 }.

u~

2

7.

2

Toon aan dat

a u + a u = 0. a~ al

Gegeven:

{(x- a ) 2 + (y - b )

u~

2

ax x

3

+y

3

al

+ z

3

az

9. Gegeven: x +y + z

=

2

~2 +

]!. en P ax (-2, 1,-3).

Be aal

'

2

+

l

+ z 2 = 25. Beschouw x als onafhankelijk ·

6:.

.Q;r d dx , ~ , dx2

2

en

d z 2

voor (x,y,z)

= (4,-3,0),

dx

2

T + ~7

~

2

= 1, Beschouw z ale functie van x en y.

en daarna de vergelijking van het raakvlak in het punt

en - 2x + 2y + z + 2t = 3 zijn z en t gegeven als functies . ( x,y ) = ( 0,0 ) de waarde van äi az , az at en at van x en y, Bepaal m ay , äi ay •

11. Door 1'

en x + y + z = 1 z~Jn y en z als functies . t . dz . u~ ~n x en y, dx 1.n x en z.

1; x

veranderlijke en bereken

2

=0

- 3xyz

van x gegeven; druk .Q;r dx

10, Gegeven is

+ ( z- c /}-i .

2 2 2 au+au+u~ 0.

Toon aan dat

8, Door

2

zex • teY

12, Op het oppervlak x 3 - 2x2 y- 3z + 4Y

=0

ligt het punt (1,1,1),

Bepaal in dat punt 13, Gegeven:

x + y + z +u = 5; xyzu = 2.

a2 u

Beschouw x en y als onafhankelijk veranderlijken en bepaal

axay

in het

punt (1, 1, 1,2). exy - z2 - arctan xy = 0 •

14. Gegeven: Bepaal

a2 z

in het punt ( 0,0,-1 ) •

ay2 15, Gegeven:

xu + yz

= 2;

xz + yu

= 3. in het punt

Beschouw z en u als functies van x en y en bepaal

(o, 1,2,3). 16, Gegeven:

xy + zt = 3; x + y + z + t = 5.

a2 z

Beschouw x en y als onafhankelijk veranderlijken en bepaal punt (x,y,z,t) 17, Gegeven:

axay

= (1,1,2,1),

in het

xy + xz + xt + yz + yt + zt = 0; x + y 4 + z + t = 4 •

Beschouw x en y als onafhanelijk veranderlijken en druk

~!

uit in x, y, z

en t. 2

18, Gegeven: xy + y 2 • 2z + z , Beschouw x en y als de onafhankelijk verander..k en en druk az . x en y. 1 ~J öx • az öy u~·t m

x = uv, y=:l! V

= f(x,y), Verder zij

uit in z, u, v en de partiële afgeleiden van z naar u en v.

20, Gegeven:

z = f(u,v) en x= uv, y =u+

1 v,

Druk

y

2

partiële afgeleiden van z naar u en v. 21. Gegeven:

z = f(u,v); x= log

2

Druk

az

VU 2

+v2 ; y = arctan

a2 z ax2

uit in u, ven de

~.

·t in u, v en de partiële afgeleiden van 1e en 2e orde van z

axöy u~ naar u en v.

22, Gegeven:

UV+

1

x = a u +v , Y =

b

U- V

~ ,

UV-

1

.1

.1

z = c u +v , a r 0 en b r 0,

Door hieruit u en v geëlimineerd te denken, kan men z als functie van x en y beschouwen: z = f(x,y ), Druk de partiële afgaleiden van de 1e orde van z naar x en naar y uit in u en v (pas III. 17 G, toe ) en druk daarna in x, y en z,

~~ en ~ uit

23. Gegeven:

y is een functie van x. Men voert nieuwe veranderlijken z en t in

door de betrekkingen: x2 x +y

+l

Druk

1I. uit dx

in

+ z2 + t2 = 1 + z +t =0

dz x, y, z en t. dt '

dz (z- x) (t- x) + dt Antwoord: äl.= dx (y- t) + dz (y- z) dt

'

.

nr.10,1,

1, Op de zijde AB van /:, OAB ligt een punt P tussen A en B zo, dat AP : PB ; Druk de vector _QR met behulp van À en 11 uit in de vectoren OA en OB •

=

À

11•

2. Bij het paralle logram OABC (OB en AC diagonalen) wordt BC met zichzelf verlengd tot BD. Druk OD uit in OA en OB ,

-/2)

+ À(-fz,3)? Bepaal de coördinaten van de snijpunten van deze rechte met de assen.

3. Ligt het punt A(3,-2'/'2) op de rechte

;'f =

(1,

4· Bewijs dat het punt A(3,4) ligt op de rechte ;!= (1,5) + À(2,-1), In welke punten snijdt deze rechte de assen? 5. Bepaal het snijpunt van de rechten ;!= (2, 1) + 1..(1,3)

en :l!:_= (0,3) + 11(1, 1).

6. Bepaal het snijpunt van de rechten ;!= (9,0) + 1..(7,8)

en :l!:_= (o,s) + 11(8,9).

7. Geef een parametervoorstelling van de rechte, die de volgende vergelijking heeft: 4x + 3y- 2

= 0.

8, Geef een parametervoorstelling van de rechte, die de volgende vergelijking heeft: 3x + 4Y- 5 = 0. ''

9. Geef een parametervoorstelling van de rechte door A(-1,1 1 4) en B(1,2,3). Waar snijdt deze rechte het XY-vlak? 10. Geef een parametervoorstelling van de rechte door A(1,2,3) en B(2,4,3). Bepaal het snijpunt met het XZ-vlak. 11. Geef een parametervoorstelling van het vlak a, waarvan de vergelijking luidt: 2x + 3y + 4z

=

7.

12. Geef een parametervoorstelling van het vlak a, dat gaat door het punt A= (1,2, 1) en evenwijdig is aan de rechten :1!:.

= (5,1,3)

!.

=

(-6,2,0) + À(1, 1 1 1)

en

+ 11(6,2,1).

13, Bepaal een parametervoorstelling van het vlak door 0 en de rechte :1!:.

= (1,-1,0)

+ À(2,1,1).

14. Geef een parametervoorstelling van het vlak door A(0,1,1) en de rechte :1!:.

=

(1,2 1 1) + À(2,1,2), Bepaal ook de vergelijking van dit vlak.

15. Bepaal het snijpunt van de rechte 1, die door de punten A(1,2,3) en B(4,5,-3) gaat, met het vlak, dat wordt gegeven door d.e vergelijking 2x - y + 3z

=

4.

nr.10.2.

16. Bepaal het snijpunt van de lijn door A(1,0,-1) en B(2,3,4) met het vlak ~

e

(1,0,3) + À(1,4,5) + ~(1,3,3),

17. Gegeven het punt A(1,1,2) en de lijn m, voorgesteld door x= (o,o, 1) + À(1,o,o). Bepaal een parametervoorstelling van de lijn

J,

door

A, die m en de Y-as snijdt. 18. Toon aan dat elk der beide volgende drietalÛ~ punten op één rechte liggen:

a) b)

A(6,1,-3), B(0,-2,3) A(5,3 1 4)

1

B(8,5,2)

en en

C(10,3,-7); C(2,1,6).

, -A

19. Schrijf ~als lineaire combinatie van~. ~ en~· ~ = (6, 17, 16); ~ = (1,4,5); ~ = (2,5,4); ~ =>:(1,2,0). 20. Schrijf ~ = (-1 ,4,7) als lineaire combinatie van ~ = (3,-2,5). 2.1. Schrijf ~ = (5,-2,3) als lineaire combinatie van g_ = (1,0, 1).

~

= (1 '-2, 3)' .!l.= (4,-3, 1 ),

~

= (1,2,3), ~= (2,1,1),

22. Bewijs dat elk der volgende stelsels vectoren onafhankelijk is:

1) (1,3); (2,5). 2) (1,2,3); (1,1,4); (1,3,5). 3) (1,1,1,0); (1,2,1,2); (0,1,3,-1); (1,-1,2,1), 4) (1,2,3,1,2); (1,1,4,3,2); (1,3,5,1,3). 23, Bewijs dat elk der volgende stelsels vectoren.afhankelijk is:

= (3,2,1)

1) ~ = (2,1,5)

È.

2) ~ = (3,1,2,-1);

b. (2,-1,1,1)1

3) ~ = (1,1,1)

b = (1,2,4)

;

~= (1,0,9)

1

g_ = (5,514,-5); g_ = (1,3,7) •

i= i=

(1,2,17). (-2,-9,-3,9).

24. Onderzoek of de volgende stelsels vectoren afhankelijk of onafhankelijk zijn: 1) ~ = (1,2,3) 2) a= (1,-1,4 1 2);

È. = (3,2,1)

~=

È. = (2,0,2,1);

3) ~ = (4,5,2)

È. = (1,8,2)

g_= (7,-3, 16,8). g_= (14,4, 1)

(-3,2,7)

•

25. Onderzoek of de volgende stelsels vectoren afhankelijk of onafhankelijk zijn: 1) ~ = (2,3,4) 2) ~ = (4,-3,5) 3) ~ = (2,4,-1,-1);

~ = (5,2,1)

; ~ ~ = (2,-4,7) 1 ~ ~ = (1,5, 1,-2); ~

= (-4.5,10) = =

• (10,5,3) • (::.f;3,3,-2).

nr.10.3.

26. Onderzoek of de eindpunten van de volgende viertallen vectoren in één vlak liggen:

f

1) (3,2,18) , (1,-2,4), (5,0,2) , en (2,-3,-4). 2) (-4,-2,3), (1,3,-2), (0,3,-2), en (5,-2,0) • 27. Toon aan dat het vlak

~

= (-3,4,-1)

+ À(1,2,-1) + ~(3,1,-1) door 0 gaat.

28. Bewijs dat het vlak ~ = (0,2,5) + À(1,5,-2) + ~(1,7,3) door de oorsprong gaat, 29. Bewijs dat de rechte

~ = (0,7,6) + ;>..(-1,1,1) evenwijdig is aan het v],ak

~ = (6,1,2) + a(1,2,3) + p(5,1,3).

30. Bewijs dat de rechte

~

= (1,0,20) + ;>..(2,1,3) evenwijdig is aan het vlak

U:x+y-z=1, 31. Bewijs dat de vlakken ~

x= ;\(1,2,4) + ~(2, 1,3) en

= (1,1,0) + p(-1,1,1) +0(3,0,2) evenwijdig zijn.

32. Gegeven zijn de vectoren: ~ = (1,3,0,3); R = (2,-1,-2,1); ~ = (0,7,2,5); ~ = (5,1,-4,5). Onderzoek de afhankelijl,beid van de volgende stelsels vectoren: 1) ~. R• ~; 2) !!:.> R• .2,.; 3) !!:.> ~. ~. Bepaal verder een basis voor de deelruimte opt,'9Spannen door

:!<.,

~

~

en

~.

33. Gegeven zijn de vectoren: ~ = (1,2,3,-1);

R=

(2,3,4,0); ~ = (1,-1,2,1); ~ = (1,-4,1,3). Onderzoek de afhankelijkheid van de volgende stelsels vectoren: 1) ~ R• ~; 2) ~. !<.. ~; 3) !!:.• 2... .2,.. Bepaal verder een basis voor de deelruimte, opgespannen door

~.

b 2. en

~.

34. Gegeven zijn de vectoren: !!:. = (8,0,-9,8), R = (12,-10,6,6), ~ = (4,7,-6,-8), ~ = (8,-7,3,6)

en~= (0,-3,12,-10),

Bepaal de dimensie en een eenvoudige basis van opgespannen deelruimte. 35. De vectoren !!:. = (3,-2,3,1); R = (2,1,-2,-1); 2. vectorruimte U op. a) Bepaal de dimensie van U. b) Behoort .2,_ = ( 1,4, 3, 1) tot U? c) Behoort !l.. = ( -4, 2, 1, 3) tot U ?

de door

~

b

2_, .2,_

en !l..

= (1,1,2,3), spannen een

nr. 10.4.

36. De vectoren a = (1,2,3,4), E. = (2,-1,0,2)

en

~ = (4,-3,-1,-1) spannen een

veetorruimte U op. a) Bepaal de dimensie van U.

b) Behoort !!. = (-4,1,-2,10) tot U? c) Behoort

~

= (3,1,2,1) tot U?

37. Gegeven zijn de vectoren: !!_ = (5,3,2,-1)

en

a= (3,-1,4,7), b

=

(1,-3,2,5), !1.

=

(2,6, 1,-2),

~ = (0,4,-1,-4).

Bepaal van elk der volgende vectorruimten de
1) u1 opgespannen door b ~n ~· ~· 2) u opc:espannen door .ê:.· b en !!_. 2 u 3) 3 opgespannen door ~. 12_, ~ er..

§:.. •

Geef ook een voorbeel
~

':

'..\

~,;

'( I

"t•· ';;/:·.' ~-'·

'_,'_'

..

•,\'

~i?~_:-·.'

"' . t if ' '

'

r

.

nr.11.1.

Geef van elk der volgende stelsels homogene vergelijkingen de oplossing in vectorvoorstelling en controleer telkens de relatie: dim. oplossingsruimte + dim. ruimte der rijvectoren

1 • x + 2x + 3x - x4 1 2 3 2x + 3x - 2x + 3x 3 4 1 2 4x + 6x + x + 2x 2

1

2.

3.

3x 3 x, + 4x 2 x, + x 2 - x3 3x 1 + 6x 2 - 4x 3

x + x 1 2 x1 x2 x 3x 2 1 x + 3x 2 1

x 1 -2x 1 2x 1 -x 1

7·

x

+ 2x

2

- x3

= 0 = 0 = 0 •

+ x

- 2x3

4

4

= 0 = 0 = 0 = 0.

= 0

+ x

= 0.

0

+ 2x

3 x + x 2 3 2x + 5x x 1 2 3 1

= 0 •

= 0 •

+ 5x

= 0

2

= 0

= 0

4

+ x 2 + x 2

= 0

= 0

+ 2x

-

8.

o.

2x 2 3x 1 3x 3 + 3x 4 7x 1 - 5x 2 - 7x 3 + 7x 4 -5x 1 + 3x2 + 5x 3 - 5x4

3x2 + x3 -2x 1 + x 2 - 2x 3 2x + x2 + 5x 3 1

6.

= 0

4

3

4· 4x 1

s.

= 0

= 0 = 0 = 0.

5x + 4x2 - 2x 3 1 13x + 14x - 4X 3 1 2 -7x - 5x 2 + 3x 3 1 11x + 13x - 3x 3 1 2

= 0 = 0 = 0 = 0 •

= aantal

onbekenden.

nr.11.2.

9. 3x 1 + x2 + 2x x + 2 1 + 5x 5x 1 2 + 2x + 9x + 2

,

2x 3 x4 x 3 + x4 4x 3 - 5x4 3x 3 9x4

0 0 0 0•

= = = =

Los de volgende stelsels inhomogene vergelijkingen op.

10.

x, + x2 2x + x2 1 4x 1 2x2 6x x2 1 7x 1 3x2

-

11 •

-

2x 3

= =

-

3x 3 2x 3 5x 3 4x 3

0 0 0 0 1•

x, + 2x2 + 4x 3 + 7x4 -2x + 3x2 + 3x3 + 4x4 2x 1 + x4 x2

,

:Jr . ",.' '·

12.

13.

14.

x, 2x 1 x,

-

x2 + x3 + 2x4 3x2 + 4x 3 - x4 x3 + 7x4

x2 + 2x 3 x,. + 2x 2 + 3x 3 3x 1 + x2 + x3 + 2x , x2 +·X 3 2x , + 5x - x 2

x

3

3

15.

= =

0

=

-4 3. 2

=

3 3•

1 2 3•

=

1

=

-1 7•

=

x + x2 +2x 3 + 3x 4 - 2x5 1 2x + 4x 2 - 8x5 1 2x + 4x + 6x + 4x5 3 4 2

-

16,

=

x +2y x + 4Y 2x + + 3x -2x - 8y +

2z 4z 6z 4z

=

0

=

4

=

- 8

=

-12

=

- 8.

= 1 =

3

=

o.

nr.11.3 •

•

17.

x 2x

1

+ 2x

2

1 x

2

=

-1

- 4x3 =

2

- 2x

+ ax

3

=

3

-1 •

Voor welke waarde(n) van Bepaal deze oplossingen.

Voor welke waarde(n) van a heeft dit stelsel een of meer oplossingen? Bepaal deze oplossingen.

·.· 1 ;';

.

., '

19. 3x + 2:y + z = a+ 2 x - Y + az = (a+ 1 ) 2 ax+ y+ z~a+1 Voor welke waarde(n) van a heeft dit stelsel een of meer oplossingen? Bepaal deze oplossingen. 20. Schrijf een matrix op van 3 rijen en 4 kolommen, die

1) rang 0 heeft; 2) rang 1 heeft. 21. Bepaal de rang van de beide volgende matrices: 1

2

0

5

1

-1

0

1

-3

0

1

-2

3 -3

,2

3 -3

-5

1)

9

2)

1

2

0

3

1\

3

2

2

3

1

0

2

2

3

1

2

-1

2

-2

4

2

.{ 111 !:·

3 -2

5 -3

22. Bepaal de rang van de matrix

~·

i

.

2

.

~

(:

j..

'' )

~j

3

3 5

4

7

,i)

' ...

23. Bepaal de rang van de volgende matrices: ••

f

1)

1

2

0

-2

-2 -3

4 -1

1

0

0

1

7

1

-4

-2

-2

6

2

-4

2)

1

-1

0

3

2

1

0

1

2 -2

0

6

1

2

-1

-2

1

24. De rang van de volgende matrix is 2, bepaal a.

(-; 25.

2

a

a

2

1

-3

1

0

2

1

2

3

2

8

a

5

b

13

:J

Bepaal a en b zo, dat de rang van deze matrix 2 is. 26. Voor welke waaxde a heeft de volgende matrix de rang 2?

4

",' I

(!

2

27. Van een stelsel homogene vergelijkingen is de coëfficiëntenmatrix:

'. 4_

(

0~-­

i~:

:J

5

1

1

2a

1

3a-1

a

Voor welke a is de dimensie van de oplossingeruimte 0 resp. 1, 2, 2 28. Gegeven:

x. = ~

):;

j=1

2 yj =

aij yj

):;

k=1

~j~ , waarin

0

Bereken de matrix

lr·. '

~ ~,

r11 0 21

0

12) 22

uit de relatie

x.~ -

ç1 21 2 ):;

k=1

:12) 22

eik~

•

3?

~c

:) .

nr,12,1

g !t·

1. Bereken:

,~.~

"iû

R

r.: I tI>; ~\,'

a)

0

-718

+29

718

0

384

-29

-384

0

b)

c)

7 ~3 9 11

8

5

6

8

3

2

8

2. Bereken de volgende determinanten

a)

-4

1

0

1

-2

0

2

0

2

-7

b)

11

3

1

-13

-4

-3

0

18

2

0

2

8

1

3

-1

2

-1

1

0

-1

2

1

-2

3

4

1

-4

5

5 -6

5 -5

7

2

3

-2

3. Bereken: .'· -~

:-'', :- ..\

,•

,';:,

!~

a)

'

0

b)

4

6

2

5

6 5

9 8

3 6

7 2

7 10

8

3

Bepaal de inhoud van het viervlak OPQR. 8, Bepaal de inhoud van het tetraeder ABCD.

A(1,2,-1); B(-2,0,3); C(-3,4,-4); D(2, 1,0),

7

9 5 5

4 4 3

nr.12.2.

9. Bepaal de inhoud van het tetraeder ABCD. A(2,3,4); B(-2,4,8); 0(1,1,5); D(D,2,6). -

_.,

i

10. Bepaal de inhoud van het tetraeder ABCD. A(1,6,7); B(3,9,11); C(4,8,2); D(2,1,8).

·1. .

11. Los met behulp van de regel van Cramer y op uit: y + 3z

6

3x - 2y + 7z

= 14

x -

x + 3y

-4 •

3z

12. Los met behulp van de regel van Cramer x op uit 3x + 4Y + 2z = 6 4x + 6y + 3z = 6 2x+3y+

z=1 .•

13. Los met de regel van Cramer x3 op uit x1 + 3"2 + x3 = 5 2x - 3"2 + x3 = 0 1 5x1 + 3x3 = 8 •

f.

14. Onderzoek of de volgende vlakken door één punt gaan: . ~-

.·

2x + 3y + x-

z

-

y + 4z

7x + 5y - 3z

6 = 0 4 = 0 9 = 0

-x + 7Y - 9z + 4 = 0 •

15. Onderzoek of de volgende vlakken door één punt gaan: x -

y +

5x + 3y +

z z -

= 0 8

0

2x + 4Y - 3z + 10 = 0 6x + y + z + 5 = 0 • 16. Onderzoek of de volgende vlakken door één punt gaan:

. _.,

x + y +

z

1 = 0

2x + 3y + 4z -

1 = 0

4x + 2y + 3z +

6 = 0

3x + 4Y + 2z - 14 = 0.

nr.12.3.

17. Teken in het complexe vlek de beeldpunten van de getallen z

2

= 2i ;

z

3

= 1

+i ;

z4 ~ -~- i

en schrijf deze getallen in de vorm rei~ (- n ~ ~ < n, r > 18.

z

1

= -1- i TI,

z

2

= -2.

0).

Teken de getallen z 1 , z 2 en z 1 +z2 in het complexe

vlak. Schrijf elk van deze drie getallen in de vorm rei~ met - n < ~ ~ n, r > 0.

19. Teken de beeldpunten van de getallen -.lni

t {2e

4

en schrijf deze getallen in de vorm a+ bi (a en b reëel).

20. z

1

2 ~ni = - e4

3

z

2

=

2e

-ll ni 12

Te k en de ge t a 11en z , z , z- 1 z 2

1

1

2

· en -z -z -1 m 2

1

het complexe vlak. Schrijf de laatste twee getallen in de vorm a +bi. 21. Teken in het complexe vlak het beeldpunt van een getal z. Construeer dan de beeldpunten van de getallen z + 2, -2z, 1

z,

z- 2i, iz, z,

-iz. 22. Teken het beeldpunt van een complex getal z.

Construeer daarna de beeldpunten der getallen ze

'

-2 1tl..

2

,

ze

•

j"n~

nr.13.1.

1. Geef in het complexe vlak aan waar de punten z liggen die voldoen aan de bei de ongelijkheden en

"

'

2. Hetzelfde voor de punten z, die voldoen aan z +i 1t arg - - =z-1 2

3. Bepaal de meetkundige plaats van de beeldpunten der getallen z, die voldoen aan één der volgende voorwaarden:

a)

I z - 3i I =

b)

arg

c)

Im z + 2i -

z-

1

z-:t:1

14 + 2i -

=

zI

1t

2

~-0

"4· Waar liggen de punten z die voldoen aan

a)

b)

_ _,z,_,z._,... (1 - z)

2

= 1 ?

5. z doorloopt de eenheidecirkel in positieve zin, te beginnen bij z

-1 •

.!!.i

Welke baan beschrijft

w = 2 e4

(z-i+2)?

6. z is het complexe getal e i ex , ex reëel. ,,'

a) Toon aan, . dat

w =

z2

-

z + 1 reëel is. 2z

. '·

b) Beschrijf nauwkeurig de baan, die het beeldpunt van w doorloopt, als arg z toeneemt van 0 tot 2n. 7 " z doorloopt de eenheidscirkel. Welke baan beschriJ"ft Schrijf arg wen Iw I als functies van~= arg z

(-n

w = z-i ? z+1 . ~ ~ < n).

8. Stel a is een complex getal, ren p reëel, r positief. Laat zien dat de meetkundige plaats van de beeldpunten van de complexe getallen z die voldoen aan de vergelijking

een cirkel is. Leid de betrekking af waaraan p en a moeten voldoen opdat hetzelfde geldt voor de vergelijking zz + az + az + p ~ o.

9. Los op: (z- i) 4 = -1 en teken de beeldpunten van de wortels van deze vergelijking.

10. Dezelfde vragen voor de vergelijking

11. Los op: (z+2-i)

6

=i

en teken de beeldpunten van de wortels van deze ver-

gelijking. 12. Dezelfde vragen voor de vergelijking

p 13. Schrijf de som I: cos 2nup m=k duet.

met behulp van complexe getallen als een pro-

p 14. Schrijf de som I: sin 2mq> m=k duet.

met behulp van complexe getallen als een pro-

in ei

15. Bepaal

J

0

tan x

cos 2 x

dx •

co

16. Bereken

17. Bepaal

Joos 11x e 2

-11xf2

dx •

sin ax dx

(b > o) .

~: Analoge vraagstukken

. ,

3 nrs. 1' 2, 6, 7, a. § 4 nrs . 4. 6, 1· § 5 nrs. 4, 9. 11.

Salet I, Hoofdstuk II, §

1. Gegeven is de differentiaalvergelijking: ry'' -

(2x + 1 )yl

t

(:x + 1 )y - o.

a) Toon aan dat y • x 2 e:x voldoet. b) Zoek nog een oplossing. c) Schrijf nu de algemene oplossing op. 2. Gegeven is de differentiaalvergelijking: X

a) b) c) d)

2

y" • :J:Y I + y •

Toon aan dat y • x log x voldoet. Zoek nog een oplossing. Geef de algemene oplossing. Bepaal de oplossing waarvoor geldt en y I (1 ) = 2.

y( 1 ) • 1

3e

Ûo

f(x) voldoet aan de differentiaalvergelijking

y =

Y" + y = 2Y'•

Verder is gegeven: f(O) • 31 fi(O) • 1. Bepaal f (x).

4e

op:

los

y"' • 6y 11 + 11y 1

Bepaal alle

re~le

6. y( 4 ) - yl - o.

~ .,

1·

y 111

a. y 1

-

-

2y 1 +4y = o.

y- x -

1 =

o.

1:,

*' ~~

~'•'

~;

V "f,

6y • o.

oplossingen van

5• y( 4 ) + 2y" + y = 0.

,

•

9o Y" + 5Y' + 6y • ex.

I

nr. 14.2.

10. y 111

-

5Y' + 6y

2y"

= sin

x.

11, y" + m2 y = a cos mx + b sin mx, voor alle reële a, b en m. '

13. y" - 4Y' + 5Y =sin x. 14 • y 1

-

4Y

=

e

4X

+e

-4X

•

16. y" + y = x sin x.

17. a) In een bak van 601 met een oplossing van de concentratie x(t) voert men 1 L water per sec. toe en 1 L oplossing per sec. EU:. Laat x( 0) = c; bepaal x(t). b) De bak wo~t tevoren in twee delen van 30 L verdeeld door een schot met een opening (toevoer in het ene deel, afvoer uit het andere); de concentraties zijn er y(t) en z(t). Laat y(O) Analoge vraagstukken Salet I,

hoofdstuk IX, § 4, nrs. 1, 3-6.

§ 5, nrs. 1-16. Salet II, hoofdstuk XIII, § 1, nrs. 1-11 •

.

.

a

z(O)

= c;

bepaal y(t) en z(t).

Berijs met de definitie van convergentie van .een reeks dat de reeks waarvan de algemene term in de volgende opgaven gegeven wordt, convergent is en bepaal de som.

.1·• ~,'

n+1

';:,'

.

••

e-x eb:,

Jl

.

~''·

l''

I·

I ~- I

n+1

2.

n

h· 1.

~,

n > 1.

%

3o u • sin (1- _L_) cos (1 + _L_)

~·:,

n

n

~ t.~.,,.,

4• un =

5.

~

1

n

1

~

- ;.-

n +1

.

n

n +1 '

n >

·'

n+1 2n +1 • ( -1 ) n(n + 1 ) ,

n ;. 1.

1.

n > 1.

1

6 • ~ • n(n+3) '


''

.

1·

1

a.

a

0

a1; al a3 a4 + -10 + - a + - s + - 4 + • •• met a n geheel en 0 ..;;; a n ..;;; 9. 10 10 10

(Dit is een decimale breuk.)

9•

10 •

•.

1 + ..1 + 1+1 2 +'f ...

+

1

1 n+n

+

....

Onderzoek met de vergelijkingastelling of de volgende reeksen convergent of divergent zijn. 11. (1 +3) + (1 00

12.

!!

l:

n•2 V'n(n2 .1) 00

13.

+t)

l:

n•1

.!!..:..!. rl

2

3

+ (1 +t)

•

(voor elke p ).

00

14.

l:

n•1

~.i

00

f'·,,,

15.

r ~··

f

n

l:

1000

n•1

(2a-1 )

00

16.

-;. {2 + (-1 )n }.

l:

n•1

2

•

i!rt-iA • n

00

11·

l:

n•1

si!l

;fÎ •

GO

1 a.

1 1 -sin-. n n•1 n l:

00

19. l: (1 n•1

006

~).

00

20.

1 ll sin n•1000 n

ln.

• 00

21.

l:

n•1

1 • log.n 2

4

+ (1 +i)

+ ••••

..

n3 -100n2 +n 3 n 4 +n -sn2 +1

.. .. ..

•

n

28,

..

-log n

•

n a.rotan

.. ~ ..

1 ril{'; ,

a.rotan

,30.

" n I e-n • ~ n-1

31.

I: n-P cos n n=1

00

•

Vn•

.l

voor,alle reële waarden van p.

Onderzoek met Cauchy/d 1Alembert de convergentie van

32.

;~

voor de verschillende waarden van p > 0.

,,

Onderzoek met Cauchy/d 'Alembert de convergentie van 00

33. co

34· co

E n2 e too-n•

co

<.~1)

n(n-1)

•

co

37• E

n"1 (n2

) -n -2ne •

Onderzoek of de volgende reeksen convergent zijn en zo ja, of zij absoluut of relatief convergent zijn. 00

39.

E

n•1 00

40.

41.

E

cos nn • V2n+1 (-1 }n

n•1

:ll.+{ri

co

(-1 }~ log a •

E

n•2

... 42.

E

n•1

sin

•

nn 2.

(Vn-1-Vn+1).

00

43·

E

n•1

(-1)n

OOB

n

nn

•

1. Bepaal de convergentiestraal van de volgende machtreeksen 00

a)

00

nn

E n :x: •

b)

E

n=1

n•1

n211 n x n!

n(n+1)

00

•

o)

(-1 )n :x:

E

n•1

32Il2+2n

•

2. Bepaal de convergentiestraal van de volgende machtreeksen 00

a)

E

n

nl x •

00

b)

n•1

E n=1

n I :x::m ~~. n n

co

. n .n • c) E (- 1 )n+1 xn sJ.n 4 n•1

3. Bepaal van de volgende machtreeksen 1) de convergentiestraal; 2) het gedrag in de randpunten; 3) de som voor die waarden van x waarvoor de reeks convergeert. 00

a)

Z

(n+4)(n+3)xn.

n•o

i'

4• Bepaal van de volgende machtreeksen 1) de convergentiestraal; 2) het gedrag in de randpunten; 3) de som voor die waarden van x waarvoor de reeks convergeert (alleen in de gevallen b) en 00

a) E n•1

x

o)).

2n+1

(2n-1)(2n+1).

; xn+2 c) n• 1 nl(n +2) •

b) ;

(n +1 )xn n

•

nr.16,2.

5. Onderzoek de convergentie en bepaal de som van de reeks ';:' (sin x t cos x .. n • n=1

6. Onderzoek voor welke x de volgende reeksen convergeren 1 n

oo

(:x) •

b)

7. Onderzoek voor welke

x

I: n~1

n(x~1)

n-1

0)

•

I:

n•1

log(n + 1)

de volgende reeksen convergeren

co

a) I:

co

co

(-1 )n+\2 +x) 2n+'_

b)

n•1

I:

e

1 arctan iï •

-lll:

n=1

00

~.·

a.

Bepaal van de volgende reeksen 1) de convergentiestraal; 2) het gedrag in de randpunten. co

00

a)

I:

Cfl- en)xn

•

b) I:

9. Bepaal van de volgende reeksen 1) het convergentiegebied; 2) het gedrag in de randpunten.

a)

; f-1 n•1

n2

n

x •

b)

~n 2 +n + 1

1 -

n)xn

•

nr.16.~.

Analoge yra.agstukken. Salet I, Hoofdstuk VIII, § ~~ 1, 4(1•, 2° 1 5°),

5(1•, ~·. 6°), 6(1°, 3°),

7, 12. § 41 1(2°, 4°), 6,

l fi,.:

':

,;,.

1. Geef met behuJ.p van de standaardreeksen de reeksontwikkelingen tot aan de term met

r?

van de functies

,,.,,jÓ

I.

I.

a)

:'..~~

.

1: ~·

''·'• ~4:

2. Geef met behulp van de standaardreeksen de reeksontwikkelingen van de functies a) cos x 1 +:s?

'iI

b) log cos x.

sin x ; 2 x(1 +x )

tot aan de term met x7 •

b) log (x+

V1

2

+x ) tot

aan de term met x 5 •

'

'

'

·,f

' i

3. Bepaal eveneens met behulp van de standaardreeksen de Taylorreeks van

til;

de functies

~

Î

a) cos x rond x ~

_"

i!.)

f;

b)

;;:-'< ~~·

1

r;

rond x

a

2.

''

i

:-:.''

~ ~~f·

,,,·~· />

· 4• Bepaal eveneens met behulp van de standaardreeksen de Taylorreeks van de functies '·

.·,::.:

a)

5.

~

rond x

a

1

b) sin x rond x

a

~.

Bepaal met behulp van reeksontwikkelingen

a) 1 im

x e -1 ) b lim log(1-x) ; c) lim x-o x-o

sin x- x t an x- x I

6. Bepaal met behulp van reeksontwikkelingen

a) lim

x-o

c) lim

x-o

log(1 +x) - x ooex-1 I

log arctan x + 3 1 x x

4

2

(ex-1 )(2x -1 +cos 2x)

b) lim

x-o

"nh

X SJ.

6 sin x - 6x + x

X

•

3

•

nr .. 17.2.

7.

Onderzoek de volgende reeksen op convergentie 00

a)

1 l: (1 - cosh -); n n=1

8, Onderzoek de volgend.e reeksen op convnrgentie

00

00

a)

1 1 l: (arctan - - -); n n n=1

b)

l: n=1

a > 1,

9. Voor welke complexe waaxden van z ,.,onverge
; (z- 1)n 1 +i \J:

n=1

?

z

'' fr ' ~~·.

10, Voor welke complexe waarden van z convergeert de machtreeks

:~

',!~:

~·

00

'

,." -1 enz

n•1 n 2

~I'

2

?

~:·

de berekening van sinh 1 worden 3 termen van de reeksontwikkeling

11, Voor

gebruikt, Geef een schatting van de gemaakte fout volgens de methode r ,\

van de meetkundige reeks (zie collegesyllabus VII.24). 12, Hoeveel termen van de reeksontwikkeling van ex moet men minstens nemen om e

1 10 /

in 4 decimalen nauwkeurig te berekenen? Gebruik hiervoor

~~n

van de methoden die in de collegesyllabus op blz. VII.24 zijn aa.ngegeven, 13, Bereken cos ~ in 4 decimalen nauwkeurig en schat de fout met in 12 genoemde methoden •

1

•

é~n der

n:r.17 .3.

14. Bereken sinh

2~

in 6 decimalen nauwkeurig.

15. Bereken log~ met 'behulp

van de reeksontwikkeling voor log

1~~; breek

de reeksontwikkeling af na de 3e term en bepaal van log~ een zO groot mogelijk aantal decimalen. 2

16. Bereken

in 8 decimalen nauwkeurig door e-t

machtreeks te ontwikkelen.

Analoge vraagstukken Salet I, Hoofdstuk VIII, § 3: 8 1 9(1•, 2•, 4•); § 4: 7, 11, 29; § 5: 13.

;'i

"

in een

nr.18.1.

10 Bepaal de afstand van de punten (2 1 1 1 3) en (-1,2,4). ·~.'

2. Bepaal de afstand van de punten (-1,1,-3) en (-3,-2 1 3). 3o Bepaal de scherpe hoek, die de volgende rechten met elkaar maken: ~ • (7 1 1,-2) + À(2,-1 1 -3) en

~ • (0 1 4 1 5) + ~(1 1 3,2).

4. Bepaal de scherpe hoek, die de volgende rechten met elkaar maken: ~

= (2,-3,4)

+ À(1,2,3)

en ~

=

(5 1 11 -3) + ~(-2,3 1 1).

5. Bepaal de afstand van het punt (3,-1 1 5) tot de rechte ~

= (0,-1,2)

+ À(2,2,1).

6. De rechte t is gegeven door:~= (2,1,12) + À(2 1 -3 1 6). Bepaal de afstand van (2,1,12) tot het snijpunt van t met het xy-vlak.

I !

7. Gegeven is

<,. ..

~

m

x= (4 1 -3,-1) + ~(3,-4,1) •

+ À(0,2,-1)

Bepaal de afstand van t en m en een parametervoorstelling van de rechte n 1 die t en m loodrecht snijdt,

.

1

= (3,2,5)

t

·.

,,.:

s.

Gegeven is t

~= (-1,3,6)

+ À(6,1,-2) ;

m : ~ = (0,-4,-3) + ~(3,2,-2) • Bepaal de afstand van t en m en een parametervoorstelling van de rechte n, die t en m loodrecht snijdt. 9. Bepaal de scherpe hoek tussen a) de rechten 2x + 3y - 7 b) de vlakken 5x + 3y - 8z

m

=

0 13

en en

x - 5Y + 4 • 0 13x - 2Y - 11z = 5 •

nr. 16.2.

10. Bepaal de scherpe hoek tussen a) de rechten 3x - 4Y - 13 • 0 b) de vlakken 2x + 2y - z • 5

ltf

y'

~i·

.

~i.

I,~i,:.''··.

I

•:

en en

11. Bepaal de vergelijking van het vlak U door het punt P(2,3,4) en loodrecht op de rechte:

I .•,

'.'1',;'··· .'

.· J

'!'j• ~:

... •'

~ .

/·

~·· ji';

!0;'

\2x - 2y + z • 5 ; x - 2y - 2z • -1 •

L

12. Bepaal de vergelijking van het vlak U door het punt P • (1,2,-1) en loodrecht op de rechte t 1

'

·1' .' ~·

..

.

)2x - y + z • 1 ; L x- y + 2z • 2•

;--,-t:· ~;i

13. Bepaal de parametervoorstelling van de projectie van de rechte t 1 ;;_a (-3,7,-1) + )..(3,-3,1) op het vlak U lll9t vergelijking 3x - 2y + 2z • 9. 14. Gegeven het vlak V : x + 3y - 4z + 5 • 0 en de punten A(2,2,3) en B(4,2,1). Gevraagd de vergelijking van het vlak Wdoor AB en loodrecht op v. 15. Bepaal in R 5 de afstand ven het punt (2 1 1,-3,1,-2) tot het hypervlak waarvan de vergelijking is

16. Bepaal in R de afstand van het punt (1,2,3,-2,-1) tot het hypervlak 5 waarvan de vergelijking is:

•

2

2

2

Gegeven is de bol x + y + z - Bz + 7 • o. Gevraagd worden: a) het raakvlak in (2,-2,3); b) de raakvlakken evenwijdig aan het vlalc 4x - By + z • 31.

2

i' .• '<

.. ·;:

18. Bepaal de raakvlakken aan de bol x de rechte~ • (1,1,5) + À(-2,1,2) •

+y

2

2

+ z • 9, die gaan door

. -:i_

~

r~~

l

r-4·\ ·~.· .·

'

.•

I';_

···-;

.

~:

;flt

l I

.

2

2

2

+ z + 4x + 16y + Bz + 59 • 0 Wat is het poolvlak van P(-2, oo4)

19. Schrijf de vergelijking van de bol x + y

t•

in de vorm(~- !!:.o ~-!!:.) • r • t.o.v. deze bol? Bepaal de punten Q op de bol zodanig dat PQ raaklijn aan de bol is en loodrecht op de x-as staat • 2

'

200 Bepaal de bol die 0 tot middelpunt heeft en die zodanig is dat de punten A= (1,-2,3) en B = (-1,1,4) in elkaars poolvlak liggen.

f~'l

l~"lK

"Ï

·~~~

...

··-:'·

·21. Bewijs dat de vectoren a= (2,14,5) en~ • (-11,-2,10) gelijke lengte hebben en loodrecht op elkaar staan. Bereken een vector !!, met de eigenschappen

~·

"'

~··.' i·

!fi "'· /~\

!!,

i !!:. en

!!,

i ÈJ

lstl •

15.

22. Gegeven de punten A(2,14,5), B(-10,2,11), C(2,-1,2) en D(-14,7,-14). Bewijs dat ABCD een orthocentrisch viervlak is (een viervlak waarvan elk paar overstaande ribben loodrecht op elkaar staan).

!:.

1 ' ,.

23. Bereken de afstand tussen de lijnen

..

!

~ = (2,1,0)

.i

·, ·,

en

+ À(1,2,3) ;

~- (2,-4,-7) + ~(-2,1,1).

._.,i

!t'· •

r···

24o Idem

s

25. Bepaal de scherpe hoek tussen de vlakken

r " ~· "' 'J

voor~

• (-1,2,0) + À(1,-1,2) ; ~- (2,1,1) + ~(1,-1,2) 0

U

x+ y + 2z • 3

V

2x - y + z • 4 •

~ ~

26. Bepaal de vergelijking van het vlak V, dat gaat door de punten A(3,-6,3) en B(1,-6,o) en dat loodrecht staat op het vlak U : 2x -

3y + 6z + 7 • o.

27. Bepaal de parametervoorstelling van de projectie van de rechte ~ : ~ • (3,-10,6) + À(4,-9,7) op het vlak U :x- 5Y + 3z • 1.

28. Gegeven de punten A(2,1,o), B(2,3,6) en C(-2,3,6). Bepaal. de sinus van de hoek tussen oe en vlak OAB. 29. Gegeven zijn de punten o(o,o), A(3,4) en B(3,-6) in R2 • Bepaal. de vergelijking van 1) de cirkel door 0 met A als middelpunt; 2) de omgeschreven cirkel van 6 ABO; 3) de cirkel door B, die in 0 aan de X-as raakt. 2

30. Gegeven is de cirkel x + y Bepaal de vergelijking van 1) 2) 3) 4)

de de de de

2

• 25.

raaklijn in het punt (3,-4); raaklijnen evenwijdig aan de rechte 4x + 3Y • 0; poollijn van het punt (-5,15); raaklijnen uit het punt (-5,15).

Door de rechten x - 4Y • 12, x - y • 4, x + 4Y • 4 wordt in R2 een 6 ABC ingesloten. Bepaal de vergelijking van de cirkel waarvan 6 ABC pooldriehoek is; d.w.z. ieder hoekpunt van 6ABC heeft als poollijn t.o.v. de gevraagde cirkel de overstaande zijde uit 6 ABC. M is het middelpunt van deze cirkel. Bewijs MA 1. BC.

1. Bepaal de rechten die liggen op het oppervlak z • xy en evenwijdig '

.

zijn &&n het vlak 2x - 3y + z • 2

o.

2

- y worden gevra.a.gd: a) de beide stelsels rechten; b) de (twee) rechten evenwijdig met het vlak x +y+z•Oenhun snijpunt; o) welke rechten zijn evenwijdig met het vlak x + y • 0 ?

2. Op het oppervlak z • x

2

2

2

3. Gegeven is het oppervlak 1 x ·- y + z • 1. Gevraagd: a) de beide rechten op het oppervlak door (1,0,0); b) twee andere rechten, eveneens op het oppervlak en ev~nwijdig met deze twee rechten. 4. Bepaal de aard van het volgende oppervlak: ~

',, • :,•,:

il t

5o Onderzoek de aard van het oppervlak

voor alle reële waarden van a. 2

6. IB.a.t zien, d&t x - 4x - 4y boloïde voorstelt.

2

-

8y - z

2

•

8 een tweebladige hyper-

1. Bepaal de Vargelijking van de kegel met (1,0,0) als top en x • o~s cp

I

y •

BUl

z - t&n

als richtkromme.

cp

iep

a.

•

Een kegeloppervlak heeft O(O,o,o) tot top en tot richtkromme de doorsnijding van de bol x2 + y 2 + z2 • 4 met de hyperbolische cylinder zy • 1. Bepaal de vergelijking van het

9• a) Bepaal de vergelijking - y

2

z

opperv~.

van de kegel met top (0,0,2) en richtkromme

• 1

• 1.

b) Bepaal de orthogonale projectie op het XOY-vla.k van de doorsnede der kegel met het vlak z • x + ~. 10. Bepaal de vergelijking van de kegel met 0 als top en als richtkromme

l

2

x • t + 1 y • 2t

•

z- t

•

2

- 1•

11. Bepaal de vergelijking van de kegel met top (1,-1,0) en als richtkromme de snijkromme van de oppervlakken +2y+1•0; - ~

- 0 •

12. Bepaal de rechte cirkel-cylinder met als richtkromme de cirkel .2

2

2

x +y +z • 4 ; 1~.

2x + y - z • 1.

Van een cylinderoppervlak maakt de as gelijke hoeken met de positieve co!5rdinaatassen; de doorsnede met het XOY-vla.k is de hyperbool r:r • 1. Bep&al de vergelijking van het oppervlak.

14. Bepaal de vergelijking van de cylinder waarven de beschrijvenden loodrecht staan op vlak x + y + z • 0 en waarvan de richtkromme is \ x2 + Y2

1x -

y

+ z2 • 2 +

z • -0.

%

r 'I

~·

r

15.

~.

i~···

4.

f:

f;:, ~J

1}".\

~·

, I

De rechte J, : !. • (0,-3,0) + À(1,2,0) wordt gewenteld om rechte m 1 !. • 11( 1, 1, 1)• Bepaal de vergelijking van het omwentelingsoppervlak.

16. Bepaal de vergelijking van het omwentelingsoppervlak dat ontstaat als men de x-ae wentelt om de lijn y - 2x • z - 1 • 0. Bepaal de rechte lijnen door (1,0,0), die op het oppervlak liggen.

17.

~.

Q[)

jl-~

Men laat de lijn J, met parametervoorstelling!. • (1,0,0) + À(0,1,-1) wentelen om de lijn m met parametervoorst~lling!. • 11(o,o,1). a) Bepaal de vergelijking va.n het door .t beschreven oppervlak. b) Bepaal de standen van ;,, waarbij hij de rechte !. • ~.:

18.

+

v(1,1,o)

snijdt.

.t doorloopt juist ~~n stelsel rechten op het oppervlak.)

Bepaal de omhullingskagel van de bol x 2 +

19. Bewijs:

20.

(o,o,1)

y2

+ z2

= 1 met top (2,1,3).

a) rot grad ~ = Q b) div rot !!:. = 0,

Bewijs dat voor een vaste vector!!:. geldt: grad (!!:. , !,) = !!:. ;

div (!!:. x !,)

=

0

rot(!!:. x !,)

a

2!!:..

1. Elke vector in R wordt over een hoek -~gedraaid. Toon aan dat dit 2 een lineaire afbeelding is en bepaal de matrix van die afbeelding.

'

.

;n

2. Elke vector in R wordt over een hoek + gedraaid. Toon aan dat dit 2 een lineaire afbeelding is en bepaal de matrix van die afbeelding. 3. Elke vector in R wordt geprojecteerd op de rechte y • 3x. Bepaal van 2 deze lineaire afbeelding de rang, de matrix, de nulruimte en de beeldruimte.

4• Elke vector in R2 wordt geprojecteerd op de rechte

-2x. Bepaal van deze lineaire afbeelding de rang, de matrix, de nulruimte en de beeldy

m

ruimte.

5o Van de lineaire afbeelding A van R3 in R 3 is gegeven dat A(1,o,o)

=

(6,9,2); A(o,1,o)- (-7,6,-6); A(o,o,1) = (-6,2,9).

a) Bepaal de matrix. b) Druk de componenten van !.' • A!_ uit in die van !.• c) Bewijs dat !.' elf maal zo lang is als !.• ,, ',<','

6. Van de lineaire afbeelding A van R3 in R 3 is gegeven dat A(1,o,o)- (1,2,-2); A(o,1,o) = (2,1,2) 1 A(o,o,1) = (2,-2,-1). a) Bepaal de matrix. b) Druk de componenten van !.' • A!. uit in die van !.• c) Bewijs dat !.' drie maal zo lang is als !.• 2

'

7. Gegeven is de matrix A •

(

2 -~

2

•

-1

Bewijs dat de beeldvectoren yan de transformatie!. ~A!. drie maal zo lang zijn als de oorspronkelijke en dat de hoek tussen A!_ en A~ dezelfde is als die tussen !. en

~·

8o

De lineaire afbeelding

A

van

R

3

in

R3

is gegeven door

A(1,o,o)- (1,2,4); A(o,1,o)- (-1,3,-5); A(o,o,1)

(5,0,22),

=

Bepaal: a) de rang van deze afbeelding; b) de dimensie en een basis van de beeldruimte; c) de dimensie en een basis van de nulruimte; d) de betrekking tussen deze beide dimensies;

I

~.

e) de vector(en) waarvan

(3,-4,14)

het beeld is,

9, De lineaire afbeelding A van R in R 3 is gegeven door 3

A(1,o,o)- (5,2,-4); A(o,1,o)

=

(1,5,-3); A(o,o,1) =

(7,-11,1),

Bepaal: a) de rang van deze afbeelding; b) de dimensie en een basis van de beeldruimte; c) de dimensie en een basis van de nulruimte; d) de betrekking tussen deze beide dimensies;

'

e) de vector(en) waar-
10.

(13,-4,-6)

het beeld is.

Van de lineaire afbeelding A van R3 in R 3 is gegeven:

A(2,1,1) = (7,6,7); A(1,0,2)

=

(1,15,10); A(-1,2,2)

=

(-1,7,4).

Bepaal:

a) de matrix van A; b) de beeldruimte; c) de nulruimte; d) de veotor(en) waarvan het beeld

(4,5,13)

is.

11. Van de lineaire afbeelding A van R3 in R is gegeven: 3

A(1,2,3) • A(2,3,1)

=

A(2,1 1 3) = (6,-36,30),

Zelfde vragen als in 10, 12. A is een spiegeling in R t.o.v. het vlak 2x - y + 3z 3 Bepaal de matrix van A.

13,

=

0.

A is een draaiing in R om de as: p(1, 1, 1) en als draaiingahoek 3 Bepaal de matrix van A.

11

rad.

14. Bepaal de producten AB en BA van de matrices

..n n ·-D ~ 2

2

5

-2

=

1

-3

J

4

G

-2

'

•

15. Bepaal de producten AB en BA van de matrices

A-G

D

en B •

1

-~)

•

16. Bepaal de producten AB en BA van de matrices 0

2

•

17. Bepaal de 16e macht van de matrix

•

18. Bepaal de 12e macht van de matrix -,f

•

19. Bepaal van de volgende matrix de inverse op 2 manieren nl. met vegen en met Cramer.

'"

(•:

20. Bepaal van de volgende matrix de inverse op 2 manieren nl. met vegen en met Cra.mer.

(-: 1-:J .

nr.21.1(1

1. Bepaal van de onderstaande matrices de eigenwaarden en de bijbehorende eigenvectoren.

~ ~ ~\

a) (

-4

b)

-3)

-2

-2

(-:

2

•

-2

2o Bepaal van de matrix uit opgave 20r12. de eigenwaarden en de bijbeho-

rende eigenvectoren. Verklaar het antwoord meetkundig.

3. Bepaal van de matrix uit opgave 20-13. de eigenwaarden en de bijbehorende eigenvectoren. Verklaar het antwoord meetkundig. Ga na of de volgende matrices orthogonaal Zl_Jn, en zo ja, direct of gespiegeld, en bepaal tevens de reële eigenwaarde(n). 2

4o a)

2

3

t

2

I

b)

3 -1

0

8

1

Tf

-5f5

.!.(5

I

4.

3

3

9

12

-9

1

12

-12

-8

h:'

·~·

~--

"",.,;

c)

' 'J:

"?'.

,.

5. a)

(:

4 2

-4

1

1

{2

{2

-1

1

{2

{2

0

0

~) 0 0

1

b)

1

2

{14 {14 ..2.... 0 (1o 1

{35

..2.... {14 -1

(1o .:2 ..2.... {35 {3s

c)

1

{3

0

{3

-1

0

0

0

1

nr,21.2,

6. Bepaal

'l.· ,,

À,

u, v en w, zo dat de volgende matrix gespiegeld orthogonaal is1

4 -8

•

-1

'

"

l

7.

t.o.v. het vlak z • 0. Bepaal eigenvectoren en eigenwaarden van AB.

;!:·: ~~

i

:l!:} ' ~

Zij A een draaiing over n rad. om de lijn ~ ~ À(1,2,0); B een spiegeling

a.

ZijD een draaiing om de as À(1,1,1), waarvoor geldt:

D(1,o,o)

=

(o,o,y).

a) Bepaal y, b) Bepaal de matrix van D. c) Laat zien dat de matrix van D orthogonaal ia. d) Bepaal zonder berekening regle eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren. 3 e) Bepaal D •

9o Zij

~

een vaste vector in R3 en de afbeelding A gedefinieerd door A!_ • (x + y + z)~ ;

!. • (x,y,z).

Bewijs: a) A ie een lineaire afbeelding. b) Bepaal eigenvectoren en eigenwaarden. 1 c) Kunt U bij gegeven ~ A- bepalen? Motiveer Uw antwoord. 10. Ga na of de lineaire afbeelding met matrix

.·71(-32 -6

-3

-6

2

_:) -3

een draaiing ia. Zo ja, bepaal de as en de hoek van de draaiing, 11, Ga na of de lineaire afbeelding met matrix

een draaiing ia. Zo ja, bepaal de as en de hoek van de draaiing,

,:

~

,,~i

1. Bepaal:

!. '·

a)

"

J

3

b)

sin x dxJ

ip,

''

"·"·

Jea.x, 1 -x

J

o)

4 2xdx

(1 +x ) arctan x

~ tr

'

a)

J

2 tan x dxJ

b)

J

X

3

coe x dxJ

o)

1 JV1-x2 arccos x

ii

i;

). Bereken:

I

~; ~;· .

c)

a)

J""'Jarccoe x' dx. 1- x 2

~-.

~· ~

~·· \'<

•

2. Bereken:

}::·

D:

2

4• Bepaal:

.~.

' ~

JV

x-2 2

x -4

leid een betrekking af tueeen ~+1 ,n•l en Im,n •

6. leid een reductieformule af voor In •

J

xn sin x dx.

7• a) leid een reductieformule af voor de integraal In •

J

x(log x)n dx.

b) Bereken met behulp van die betrekking I • 3

s.

leid een reductieformule af voor

~

•J

xn cos x d:x.

dx.

dx.

Leid voor n •

~

2 een reductieformule af tussen In en I

fox e-x dx•

en bereken

2

9

hiermee

n-2

0 00

J (x2

1 0. Bereken

0

dx

+1 )5

Bepaal:

12.

14 •

•

x3

J

2

dx.

(x +1 )(x -4)

x-4- 6x2 - 2x +15

J

3

2

x +2x -sx-6

d.x.

met behulp van een reductieformule voor

J

, 1 7.

3

2

x +4x ~x +3 d:r:, 2 (x-2)(x +1)

16.

J '

x-;.2 4

-

3 d:r:.

x - 2x

•'

2

u.

J

x +9x+29 dx 2 • (x- 4)(x +2x + 3)

j9.

J

~ 2 (x +1)

1"

3dx

•

Analoge v=agetukk en •

Salet

r,

Hoofdstuk IV

§ 3: nrs. 1 t/m 22. § 6: nrs. 4, 17, 46 t/m 51.

nr.23.1.

1. Bepaalt

J

n/2

n/2

a.)

.-

8

ein x

4

OOB X

!

b)

dxo

7

Sin

6

X OOB X

dxo

2. Bepaal 1

I

a.)

, '

n/2

n/2 10

ein x dx.

I

b)

sin

X OOB X

dxo

0

0

3• Bepa.a.l: a.)

I

.b:4

• b)

I

.

I(

sin x

s:l.n x dx OOB

x(1 -

OOB

x)

0

o)

I _

sin x dx oos x(1 +sin x) •

4• Bepaalt a.)

5·

I

~

OOBX

b)

1 + tll.n

X

) 2

dxo

O

)

I

i tx 3 + sin 4 OOI!

Bepaalt a.)

dx

b)

I2 - sin x •

J

1 +:n x •

6. Bepa.a.l I a.)

I

2 +:a x •

b)

I

sin x oos x 2x- sin 2x dxo

OOB

Bereken de voleende onbepaalde en bepaalde integralen.

7•

I

dx

(x + 1 ) 1x1 + 3x + 2

1

wa.a:t':l.n x

< - 2.

~-

X ".....

9•

10.

•.

~·

11 •

l

J

8 in

x

1 - cos x dx 2 +cos x· •

dx 2 • (x + 3) ~ (x + 2x + 2)

I J

(x+1)dx x -x +1

V2

•

.

. •

12 •

f. ;;~

1

1):1

f ,, •J

13. _/ (x+7)

~·,.

t(\ I.

.

14•

J~XI

~-4X-x2 •

(x+3)dx +2x +2

•

15.

16.

Analoge vraagstukken Salet I, Hoofdstuk I'l,

§ 4: 1 t/m 181 §6r 5, 10, 11, 13, 16, 18, 20, 27 39, 42, 55 t/m 60, 69, 701 § 7: 55 t/m 56, 641

§ 8 I 30, 57' 59•

t;m

34, 38,

1. Bereken met een herhaalde integraal de inhoud van het afgeknotte prisma dat wordt ingesloten door de vlakken x=

o,

y=

o,

z = 0, x +y • 1 en

z • x+2y.

,.

2. Bereken de inhoud van het lichaam ingesloten door x=

o,

y = 2, z = o,

2

x•y, z=xy.

Ii c

f

3. Bereken de inhoud van het lichaam begrensd door y =x, y = 2x, y" 2, z" 0 en z= (y-x)(2x+y).

4• Bereken

.

~ f

JJ V:x?

2

+y dxdy, als G een cirkelsector voorstelt met middelpunt

G

(o,o)

i'

.I

en hoekpunten (1 1 2) en (2,1).

5• Bereken

JJ

G

..

2

dx~y

(x +y +1)

2

,

cirkelschijf met middelpunt

als

G

het halfvlak x ;;. 0 is, waaruit de

(!,o)

en straal

f

is verwijderd.

6. Bereken 1

7• Bereken·

1

J J dy

0 Bereken

J

dy

0

r

0 1

a.

yexy cos xy dx. 2

y

s~ x dx.

1

~1 - z, y= 0 om de z-as

9. L is het lichaam dat ontstaat door de kromme x=

f

te wentelen. C is de cylinder met x= o, y •

•

Bereken de delen van L binnen en bui ten 2

c, 2

als as en met straal

t.

boven het xy- vlak •

10. In het xy-vlak wordt de schijf (x +/) .;

xy,

x;;.

massl34 met dichtheid xy. Bereken de totale masaa.

o,

y;;. 0 belegd met

f

11. Bereken de inhoud van het lichaam bepaald door

'···.·.•.

".

x;;.

'·

o, y;;. o,

o,

z;;.

2

2

x +y .;; 1, x+y+z.;; ;.

12. Bereken de inhoud van het lichaam bepaald door

(x- 1 ) 2 + (y -1 ) 2 .;; 1, z ;;.

o,

xy ;;. "'•

13. Bepaal: 1

lxl

f

logydydx

y

+1

•

Schrijf in ieder der volgende opgaven 15 t/m 22 het volume als dubbelintegraal, druk de dubbelintegraal op 2 manieren uit in een herhaalde integraal en bereken een der twee integralen. 15. Het volume begrensd door de. vlakken z = 2y, z • 0 en de rechte cylinder waarvan het grondvlak is het in het 1e kwadrant van het XOY vlak gele2 2 gen gebied 9 ,.; x ,.; 36- Y • 16. Het volume in het 1 e octant begrensd door z = x +y en de rechte oylinder met richtkromme z •

o, 4:x: 2 + 9Y2 ~ 36.

17. Het volume begrensd door y

=z 2 ,

z = 0 en de rechte cylinder met als 2

grondvlak in het XOY vlak het door de krommen y• 0 en x +9y " 9 begrensde gebied. 18. Het volume waarvoor geldt x ;;. wordt door de cylinder x

2

s

o,

y ;;.

o,

z ;;.

o,

en dat voorts begrensd

4- z en het vlak 4:x: + 3y = 12.

19. Het volume waarvoor x > 2 x•3-y.

01 y

2

> 0 1 z > 0 en voorts begrensd door z • 9 -x ,

20. Het volume begrensd door x • 01 x • y .r.: y31 9 (x 2 + y 2) + 4z 2 • 36 en in het

·'

eerste ootant gelegen.

(x -a. )

21. Het volume da.t binnen de cylinder 2

%

+y

2

2

2.

~i

+

;r'- •

a.

2

èn binnen de bol

+ z - 4e. ligt.

22. Het volume binnen de cylinder x

z •

2

+l

2

2

+ Y' • 2e.y, het vlak z • 0 en de kegel

gelegen.

23. Bepaal de ma.sse. van een in het 1e kwadrant gelegen schijf, die wordt begrensd door de krommen r . e., r-e.( 1 -cos e.) de dichtheid is 1; b) de dichtheid is. sin e.

e) en e a

0 in de volgende gevallen:

· 24. Bepaal de oppervlakte van de doorsnede van de cirkelschijven, begrensd

e en

door r - e. sin

r = 2e. cos

e.

25. Bereken& co

J J

00

xy e- (x

dx

0

0

2

-1•:/ +2Jcy

cos ex) dy

f..

~·!

~;.

~·.

JIJ (x

1. Bepaal

'. ;

;l"

4

+ y

4

4

+ z )z dx dy dz waarin G gegeven wordt door

G

•,

x

2

+y

2

+z

2

Ei:1,

'./

·'

JJJ x y z dx dy dz 2 2 2

2. Bepaal

~.

waarin G gegeven wordt door

G

~\

-1 Ei: x< 1, -2 Ei:y <2, -3
3. Bepaal de massa van het viervlak begrensd door en x + y • 1, waarin de massadichtheid

4.

1

x+ y + 1

x .. O, z • 0, z - y • 0

is •

Bepaal de massa van de afgeknotte pyramide begrensd door de vlakken y

= 1,

y

= 2,

z

=·o,

1

x= y, z = x

waarin de dichtheid is

•

•.

·'ti·:'·

5, Bepaal

,!1: .. ,. !: / I

x2

liJG

dx dy dz + z2 +

(x2 +y2

waarin G gegeven wordt door

1/

+ y2 + z2 ..;; 1,

'

J" l·.rye-(x

2

I

6. Bepaal --;

2

+y +z

2 3/2 dx )

dy dz, waarin G het gehele eerste

G

il.

octant voorstelt,

~

7•

Bepaal

J[J (x2 +y2 + z)dx

octant is bepaald door z <

dy dz, waarin G het gedeelte van het eerste

l

en x 2 + y 2 ..;; 1,

8, Bepaal het zwaartepunt van een homogeen lichaam in het eerste octant begrensd door de oppervlakken x • o, y = o, ~ + y 2 + z2 • 1, x 2 + y 2 + k 2 z 2 • 1 met k > 1. Aanwij zing: gebruik cylinderco!5rdinaten.

9. Bepaal de oppervlakte van het gebied gelegen binnen de kromme

' 1-

2), x 4 +y4 =a 2( x 2 - y

10, Bepaal de lengte van de doorsnijdingakromme van de parabolische cylinder 2x - y 2 m 0 met het vlak x + z = 3 voor zover deze boven het xy-vlak ligt,

11. Bepaal de lengte van é~n winding van de schroeflijn die op de cy2 2 linder x 2 + y • r ligt en spoed 2n h heeft, 12, Bepaal de lengte van de kromme die in bolcoördinaten wordt gegeven e n door p a 1 , cp - log t&n 2 , 0 < e ... 2 •

13. Bepaal de lengte van de kromme y • cash x

(-1<x.;;1),

14, Bepaal de lengte van de boog van de kromme x = a(cos cp + cp sin cp) y = a(sin cp - cp cos cp)

1

bepaald door 0 < cp <~,

15, Bepaal de lengte van de kromme die wordt gegeven door de parametervoorstelling x•tant y • oot t z • { 2 log tsn t tussen de punten die respectievelijk oorresponderen met en

t

-lt

3 •

2 2 2 16, De stropho!de bepaald door de vergelijking x(x +y ) • a(y2 - x ) heeft x • a als asymptoot, Bepaal de oppervlakte ingesloten door kromme en asymptoot• voor zover gelegen in eerste en vierde kwadrant. 17. Binnen een bol met middelpunt aangebracht met dichtheid z.

(o,o,t),

straal

i

is een massaverdeling

Bereken: a) de totale massa; b) het zwaartepunt; c) het traagheidemoment t.o.v. de z-as.

''1;'

•'

',.

18, Bereken

~;

JIJ y 2z

dx dy dz

waarin G het in het eerste octant gelegen

G

,i',

t '

r,.,

gebied is binnen de bol x 2 + y 2 + z 2 x2 + Y2 - x

=

=1

en binnen de cylinder

o.

c 'I i

~;

~t:

+ y 2 + z 2)-2dx dy dz over het deel G van de

19. Bereken

' tJ}.·

h· r

.

ru~te,

,.ç,

~:

~1

waarvoor z ;;. 1,

',

'

f,:

'20. Bereken de massa van het deel van het eerste octant begrensd door de 2

~·

oppervlakken y • x , y = 1, z = xy en met massadichtheid xyz. •,

21. Bepaal de lengte van de kromme y • log cos x, gemeten tussen de punten (-

i , - log {2) en Cf , - log {2).

22. Door de vergelijkingen x

= t {5

is een ruimtekromme in parametervorm gegeven. '

"

Bereken de lengte van de kromme tuesen de punten t •

23. a) Bepaal

JJ

t.

dxd,y

G

•!

~ en t •

met G: de rechterlus van de kromme (~ + (lemniscaat).

r) 2-

x2 + y 2 = 0

b) Dezelfde integraal met G: het (oneindige) gebied rechts van de ,.

rechtertak der hyperbool~ - y 2 • 1,

nr.26.1.

= 2a,

1. Een kegel heeft de oorsprong als top en als richtlijn z (0

~ ~ ~

r •

a~

n/2). Bepaal de oppervlakte van de kegel tussen top en

richtlijn. j

••

2. Bepaal de oppervlakte van het deel van de hyperbolische paraboloïde xY = z dat binnen de cylinder x2 + y 2 m 1 ligt.

., 3. Bepaal de oppervlakte beschreven door PQ als P = (o,o'1) terwijl Q de kromme

z-o,

2y

a

x

(-1 ~x~ 1) doorloopt.

2

2

4. Bepaal de oppervlakte van dat deel van de paraboloïde 2az • x - y waarvan de projectie op het xy-vlak binnen de kromme r = a Vcos ~

2

valt. 5. Bepaal de oppervlakte van het oppervlak 3z cylinder '•

,, ,•

~

x2

+ y2

=

x 2 - y 2 , binnen de

4.

•

6. Bepaal de oppervlakte van het deel der cylinder y 2 + z 2 voor z ;;. 0 1 0 ~ y .;; 3- x en 0 ~ x .;; 3.

= 36,

7• Bepaal de oppervlakte van het gedeelte van de bol (!"!,)

= a , dat

waar-

2

wordt afgesneden door de cylinder x 2 + y 2 ~ ax.

i• .

8. Bepaal de oppervlakte van het gedeelte van de kegel z 2 binnen de cylinder x 2 + y 2 = 2~.

~..!~ j:

~ lj

=

x2 + y2

9. Bepaal de oppervlakte van de bol B binnen en buiten de kegel K.

'•

~; .~.'

B: x

'·

K: z

;:

•i

•.

2

2

+ y =

x

2

2

+ z

2

=1

+ (y-1)

2

•

10. Bepaal de oppervlakte van het deel van het boloppervlak x 2 2 2 2 2 afgesneden door de cylinder (x 2 + y ) • a (x - y ) •

2

+ y2 + z

2

•

a

2

,

11. Bereken de inhoud van het lichaam, dat begrensd wordt door het vlak z

a

0 en de oppervlakken: 3

4

4

az•x +y

12. Bepaal de oppervlakte van het deel van het kegelvlak 2xz - ~ • o, gelegen tussen de top en het vlak x + z • 1. Bepaal de oppervlakte (a> o, b > 0) van: 13. Het gedeelte van de cylinder z2 • 8x binnen het prismalchtige lichaam, 2 begrensd door y • o, x • 1 en de cylinder x • 4Y• 14. Het gedeelte van de cylinder ~ + z2 • a 2 binnen de cylinder x2 • a(y +a).

••

15. Het gedeelte van de cylinder y2 + z2 • a 2 waarvoor z ;;. 0 en 0 ~x.;; y
dat in het eerste octant en binnen de cylinder -

a2

2

+ L • 1 ligt. b2

2 17. Het gedeelte van de parabolo!de 4z • x 2 + y dat ligt binnen de cylinder waarven de• beschrijvenden evenwijdig aan de z-as zijn, en de richtkromme is r 2 • 4 cos 2q> in het XOY-vlak. 18. Het gedeelte ven de bol x 2 + y 2 + z 2 • a 2, dat binnen het prisma P ligtl P wordt begrensd door de vlakken y • o, x • y, x= a {2, z - -2a, z a 2a. 2 19. a) Bepaal de oppervlakte ven de hyperbolo!de x + y 2 - z 2 tussen z • 0 en z a 1.

,,

a

1,

b) Bepaal de ronde oppervlakte ven het lichaam dat onts,taat als het 2 deel van het x-y-vlak, ingesloten door y - 4Y + 4x a 0 en de y-as, om de y-as wentelt.

Serie 1 1•

x< -3; -1 <x< 1; x > 2.

2.

x

3.

x< 0; x > 12.

4·

x < -6.

5·

-1 .;; x .;; 3·

6.

x

1·

-1 <x< 1.

8.

De pnnten P met j POj .;; 3·

9.

a) 3x

10.

a) x

= 0;

3.;;x.;;5,

''('

b)

= 1.

2

2

•

~(4x-7 /3

b)

cos(x

3

1

V. ;/x 2x+ x

)

n/4·

12.

n/4.

13.

o.

14.

0

15.

3.

17.

x a) -b cos b +

=

3

3

18.

0

). 2

cos x sin x.

)

1 -r>· ~vx

3vr;:t c.

. ) 1( 5 b 5 x+ 1) +

c) -cos( tan x) + C. e)

2

cos x - sin(x

c1 +

11 •

+ x- 3 /

5

d) -sin x

~ tan(x3 ) + c.

-1 ,2

=

2.2 • 4 , 0

16

2 4

'

=-

3

c.

+

c.

2.

Serie 2 1•

a

= 4;

2.

t

(x+1)(x-2)(x-3). !

(x+\ )(x -1 )(x- 3).

3·

x= 1; x= 2; x= 3·

4·

x = 2; x = -2; x

5·

-230x- 300.

6.

2x+4.

1·

Nulpunten: -1

= -3·

-fl; 1; -1 +fl;

Maximum: f(-2) = 18; Minimum: f(4/3) 8.

9.

Nulpunt: x

=-

= -2;

Maximum:

r(o)

=

12;

Minimum:

f(~)

=

~~O •

Nulpunt: 1; Buigpunt: f(-1)

=

11.

a) - rr./3.

b) rr./3.

12.

a) 5rr./ 6.

b) rr./6 •

'

'i

15. .2!!. 4 .

16.

J·a,· y

Serie 3

3·

tf .

o.

= .22. 65

-8.

y

··t.".. '" '

<.;

•

i~,.

i

s.

o.

6.

o.

1·

bestaat niet; 0.

8.

22

1 o.

3·

11 •

.22

12.

5.

1 3.

1•

~::·. ' ,.,.,

.··

,,,. __

•

•

14. 7. 15.

t.

16.

2

17.

1 ; -1.

18.

t.

19.

-1·

20.

.1.. {3

21.

f(x)

= 0 als

lxl <1;

f(x) =x als lxl >1; f(1) = 1/3; f(-1) bestaat niet. 22.

f(x)

=

2

x ale lxl < 1;

. " 1 I xl > 1; f(x) =a1n-xae 2

f( 1)

= 1;

f( -1) =

o.

Serie 4 1•

2.

a

)'\[;i 1 -log x) x2 1

3·

·.· .: 1 :

',

(1 +x) i

a) xe

x

-

2

(log(1 +x)+ x~ ) • b) 2x(log x)_, • log 2 (log x)-2 (log x 1

sin x.

5·

a) 1 +x

6.

a)

7•

a)

1 +x

'

86 b) z.._ (87- x log 87). 87x

4

6

• b)

1

-!...-2

1 +x 2

1 + cos x

sin x cos x

si~

x

als x> 0;

b)

-1 1 +x

-1

~1-

x2

2

als x> O;

als x <

1

o.

als x <

o.

5·

.

8.

a) lcl-c+x ~ 2cx-x 2

9.

x -1 a) 10 2x log 10 • b)

10.

x = 0; x =

11.

x= 0; x= 1.

12.

continu voortzetbaar in x= 1; g( 1 ) = .4. •

13.

continu voortzetbaar in x =•2; g(-2)

14.

a= 2; vooraf 2 discontinu in 1 en -1.

15.

discontinu in x

b) x log x-1 2 1 og x .

2

1 . _j_ -L 2 (1 + arcsin {;;.) ~ 1-x 2Vx

3·

3

=

=

-t.

0; neen.

Serie 5 1•

nulpunt: 1; minimum: f(O) = 0;

maximum: f(JI) =

B

J.'4~3· 4fî.

verticale raaklijn in x j

'

2.

=

o.

geen nulpunten, geen snijpunten; buigpunt met hor. raaklijn: maximum: g(i) minimum:

3.

c

f( 1)

=

te ;

{;,;

g(~) • "5 e {;, •

nulpunten: 0; 2; maximum: f(O)

= 0;

minimum: f((i)s/3) vert.raaklijn in 0.

=

(-~)1/3 ((-~f/3_1);

6.

'

4·

geen nulpunten; geen snijpunten; maximum: g(O)

=

t ;

hor.asymptoten: f: y

=

1 en y

y

=

o.

g:

5-

= 0;

nulpunten: 0; maximum: minimum: f ( - {~:) =

3f3

= 0.

hor.asymptoot: y

6.

..=_g_

geen nulpunten; maximum: f(1) = 24 / 3 ; vert.raaklijn in -1 en 3, f(-1)

= 0.

hor.asymptoot: y 7-

8.

= f(3) = 41 / 3 ;

nulpunten: -~ n; 0; ~ n;

= O;

maxima:

f(-ln)

minima:

f(-~n) = f(-~n) = 2{2; f(~

2

nulpunten: .!!. • .!!. •

f(-ln)

= -2;

4

f(l n) 8

=

f(2. n) = 2{2; 8

n) = 2; f(1 n)

= 0.

.2!!. • .21!. • .2!!. • lE:. •

4'2'4'4'2'4'

maxima: f(O)

= 1;

minima: f(ex)

=

f(n- ex) =

-iW;

(Hierin is ex = arccos nulpunten: .± arccos maxima: f(2k!t)

81

= -3t;

f(n)

iff; = -1;

=iVf; f(2n) f(2rt- ex) -i'Ji • f(n +ex)

=

{i). + 2krt • f(.± arccos(-t) + 2krt)

minima: f(.± arccoe(t) + 2k!t) • -41

a

-16;

= 1;

7·

•

vert.asymptoten: x~ (k + !)n; x

= (2k

+ 1)n;

f periodiek. 1o.

geen nulpunten;

(.,.

2(21/3+12 22/3 minimum: f(22/3) = e ; 2/3 2 -1 vert.asymptoot: x = 1.

'

r:.

11 •

nulpunt: 1 ; maximum: f( 1/e) = 1 -

e

12.

nulpunt: 0;

= n/2;

maximum: f(1)

minimum: f( -1) = -n/2;

'

y

hor.asymptoot: 13.

=

o.

nulpunt: 0; maxima: f(1) = f(-1) = n/2;

r(o)

minimum:

= 0;

vert.raaklijnen in 1 en -1. 14.

maxima: f(O) = 0; f(x) minima:

r(";) =

-1; f(x)

= 4;

15. maxima: f(-2)

=1

f(O)

a

voor 2 ~x~ 3; 1 voor 2 <x< 3·

= 1.

Serie 6 1.

cx 2 a) e 2c +

c,

Cc

I o); ·h2 + c,

Cc=

o).

b)

~log lax+bl +C (a I 0); ~ + c (a= o).

c)

~eax+ c

(a

I

0); x+

c

(a-

o).

d)-loglcos xl +C.

8•

•

'

e)

-

1

1

- 2a

ax2

+1

+C(afo);tx 2 (a=O).

f) 1 arcta.n .!f + C (af 0); -1 + C (a= o). a

a

x

g) arcsin .!f + C. a

2.

a) 0.

h) t log !sin x

2

J

+ C.

i) log (ex + 1) + C.

b) n/2- 1.

a) en/4 -1:

b) n42 - 2.

4·

a) 1.

b) 0.

5·

a)

b) n/2.

6.

a) 1/e.

7.

a)1.

8.

log

9·

log n/2.

1o.

a 2( n;12 - 1)

11 •

144

1.

b) log a.

b)1.

n/4.

3.

.r;

+ 1

n

8 D

2

-

"'§

4

12.

17e + 3 8

Serie 7

3·

y'' = -27 sin x + 36 sin3 x.

4·

1.

5·

y' = 2-2 (2x + 1)-

2

;

y(n) = ( _2 )nn! (2x + 1 )-n-1 6•

Y'

=2

- 3. 7 ( 3x - 2) -

2

(n."2).

;

y(n) ~ (-3)nn! 7(3x- 2)-n- 1

(n ;;;. 2).

9·

8.

I

',

,

(n ;.. 2). 2

9.

(x

10.

(o,n/2); (1,e-!), (-1,e-!).

11.

nulpunten: 0; n;

+ 1)y(n) + 2x(n-1)y(n-l) + (n-1)(n-2)y(n- 2 ) ; 0

~

ma.:Ji:imum: f(*)

(n;.. 2).

11 4 / ;

!f2e"'

minima: f(O) ; f(n) ; 0;

") ; e -n/2 • buigpunt: f(2

12.

b) t ; .:!:; n/3 + 2kn; x =.:!:; (~n-

a) x ; 2t- sin t y ; 2 - cos t

13.

-!J{3)

+ 4kn

y ; 1!

maximaal in (a,o) en (-a,O); minimaal in (O,b) en (0,-b). (1,1/4); arctan 2.

15.

2

1

Y = 2x + 1; ll = z'P + kn.

Serie 8 1.

b) neen.

3·

a) ja;

4·

a)~~= az

ay 5·

a)

az

=

2

x +y

x

2

b)

+y

2

___y-1

ax = yxaz

,

2

-x

ay= x

10.

~!bestaat

b)

y

4dx - ndy.

'

log x

b)

niet;

~:

= 1 in (o,o).

~~

= (x+y)x- y (log (x+y) +

~;

,. (x+ y )x- y ( -2 log (x+ y) + : +~Y) •

2

2

~~ = y(x + 1 )ex+2 y ,

~; = x(2y + 1 )ex+2 y

•

::~)

,

•

1

11.

4/5 dx + 9/10dy.

1 2.

x + y + 3z

=

9.

,....

(•'

b)

(o,o,o)

(nj2,nj2,1).

en

b) (2,1 .3). 16.

minimum: f(O)

=~buigpunten

1 7.

1)

8) . (..2 9' ' 3

( 3' 3 ) .

2)

(-1,2) en (1,2).

Serie 9 tsin t-l ( 1 +sin t log t + t cos t log 2t).

1,

+ sin t). 3 cos t

2.

( 1 +log

xau - - yau -

oy

ax

.2z. _ 2A + 3B ox - B2 _A 2

oz

'

oy

2B + 3A. = B2 _A 2 '

met A = sin u sin v, B = cos u cos v .

8.

.9.!:: _

9·

.9,y:

= -2x-z + 1

-2x-y + 1 dz dx- x+2y-1 'dx

dx

x+2z-1 •

~ • -1 •

=A

3 ' dx

10 •

l• l ux

= -

11 •

-

az ax

= - - O• -

12.

-4/3.

.2

4

d2y

a

3 ' dx2

,! ,

z

layl

oz at ay - ' ax

dx

= -9:i.;

• 1

z

at ' -ay

d2z 2

a

]A

27

3x-6y+2z • -18.

• -1

·

x).

o.

11 •

1 ;.

-2.

14.

o.

15.

6.

16.

1.

x-z

z:t· 18.

"tz

2

1

uu

V V -z -z 4u u u2 vv u2 v 4 4

+-z

2z -14uu z - -23 zu + +z vv 2uv V V V

20.

uv z

UU

+ (v

2

2 - u )z

UV

(als z ( alsz

- uv z

VV

+ vz

.2! _ cfu-v~ • .2!

21.

' oy -

b uv-1

Serie 10 1•

--IL. Oà + -"()B À+j.lÀ+f.l-

2.

~- 20A.

3·

ja;

4·

(11,0); (o,51f).

5·

(4,7).

6.

( 1024, 1160).

1·

(t,o) + À(),-4).

8.

(o,~) + À(4,-;).

9·

(1,2,3) + À(2,1,-1);

10.

(1,2,:3) + t..(1,2,o); (o,o,:3).

(~, o); (o, ~{2).

(7,5,0).

'

ox

=

U

- uz 2

vu

).

V

(als z

UV

2

~ 2

~ z

=z vu ) .

uv

a z

uv

.2! _ s:L '

oy -

b2

z

•

= z

VU

),

12.

11.

(~,o,o) + À(-3,2,0) + ~J.(-2,0,1 ).

12.

(1,2,1) + o(1,1,1) + -r(6,2,1).

13.

o(1 ,-1 ,o) + -.(2,1 ,1 ).

14.

(0,1 ,1) + o(1 ,1 ,o) + -r(2,1 ,2); -2x +

15.

(2,3,1).

16.

(3,6,9).

17·

(1 ,1 ,2) + 1!(1 ,2,2).

19.

.±3~+,.!?_. 1

2y +

z

=

3·

\k

\

,. 1

20.

-2~-

21.

-~

24.

1) afhankelijk.

2) afhankelijk.

25.

1) afhankelijk.

2) onafhankelijk.

26.

1) ja.

32.

1) afhankelijk.

33·

1) onafhankelijk.

34.

3; {(o,o, 3, -4), (o, 1 ,o,-2), (2 ,o,o, -1)}.

35·

3; nee; ja.

36.

3; ja; nee.

37·

1) 2; ~ •.!?_}.

+

2.!?. + 3.Q. 6.Q•

3) afhankelijk:

2) nee. 2) afhankelijk.

3) afhankelijk; ~,.!?_}.

2) onafhankelijk.

2) 3; ~.J:?.,_gJ.

Serie 11

2.

3) onafhankelijk.

À(1,0,1,0) + 1!(1,0,0,-1).

3) afhankelijk; ~,J:?.,.Q}.

3) 2; ~,b}.

'

;'· . I .

'

ti;\ ,. ~i

..

1"' ......

'

·w;:,, .

., ·.~·.;:'

ij!, i

l

3·

(o,o,o).

4·

(o,o,o).

5·

À.(-3,1 ,0,2).

6.

(o,o).

7·

À.( -2,1 , 1 ) •

a.

À.(2,-1,3).

9·

À.(), 1 ,-5,0) + ~(0,1 ,0,1 ).

1o.

strijdig.

11 •

(2,1 ,-1 ,o) + À.(1 ,1 ,1 ,-1).

12.

(3,1 ,o,o) + "( 1 ,2, 1 ,o) + !'(7 ,5,0,-1 ).

13.

(1,-1,1).

14.

(1 ,1 ,o) + À.(-2,1 ,1 ).

15.

strijdig.

16.

(o,o,-2) + À.(-2,1 ,1 ).

17.

oplossingen voor alle a;

~; :·f··'

i")i •

'I)'

(1,-1,0) + À.(2,0,1); 0: (1,-1,0).

a= 0:

a 18.

I

oplossingen voor a = 3 en a = a=

3: (-1 ,9);

a=

i:

I

t;

(0,3) + À.(1,-1).

19.

2; a =-1: (0,1,-1) + À.(1,-4,5) a l-1, a 12: ~ (-1,1,a2 - 3). a-

21.

1) 3.

22.

2.

23.

1) 2.

oplossingen voor a

2) 4·

2) 3·

14.

24.

o.

25.

a=8;b=6.

26.

-1.

27. dim = 0 als a I 3 en a I dim = 1 als a = 3; dim = 2 als a = i;

i;

dim = 3 voor geen enkele a.

28.

(~ ~) .

Serie 12 :{

'

o. b) -216. c) -45 •

1.

a)

2.

a) 1• b)

3·

a) 73·

b) -8.

4·

a) 1.

b) 484.

5.

x = 0; x = 1.

6.

x

1·

a) •

8.

3/2.

9·

o.

1o.

23.

~I

11 • 2. 12.

6.

13.

1.

=

o.

-5; x = 2; x

3!·

b) 3·

=

3·

15.

' 14.

nee.

15.

ja.

16.

ja.

17·

z

-ni

3e

1

; z

2

=2eni/2;

z

=fi

3

e

2 ..

- 3"

Ttl

18.

z

19.

f3+i; 1 +i; -3+iD;

20.

.3.2 + .3.21) ,r-:;-3 i . .3. - .3. .,-:;3 i ' 2 2 p .

1

= 2e

z

1ti

2

= 2e

; z

1

+ z

2

-i- ·h .

Serie 13 .t'

6.

b) w

7·

arg w =

cos (arg z) -

=

.2!!. als 4

t.

li < cp < n

2

- ~ als -n < cp < n/2

8.

lal 2 ;;" P·

9· 1 o.

kni

e-6-

,

· z '

= 2e

4

-= 2'/3e 51ti

.,

'

-51li

ni/4

k = 1 ,2,3,4,5,7 ,8,9,10,11.

11 • 12.

kni e-r

13.

sin (p-k+1)p cos (p+k)p sin cp

k = 1,2, ... ,11.

sin (p- k + 1 )!p sin (p + k)p sin cp

6

6

16. \

'.i' .

• 16.

17.

:[g -21!{; 3n e

•

a

a 2 + b2

Serie 14 1•

A. b) e x • x

c) 2.

2 x

Àe+~xe.

B. b) x. c)

log x + IJ.X.

ÀX

d) x(log x+ 1). 3·

A. 3ex - 2xex •

4· B. 5.

ae

X

+ be

2X

+ oe

3X

B. a cos x + b sin x + ex cos x + dx sin x; a,b,c,d reëel.

~r: .k.x 6. A. a+ bex + ce-:2 x cos! xv3 +de 2 sin 1

-2X

X

X

~-..

1·

B. ae

[:

8.

x A.. - x - 2 + ae ; a reëel.

,~·:_.,.'·

+ be

cos x + ce

1.

2

,r:

xv3; a,b,c,d reëel.

sin x; a,b,c reëel.

1 x -2x -3x 9. A. 12 e + ae + be ; a,b reëeL

\

10. A. 1 ( 3 cos x + 4 sin x ) + aex + be -2x + ce3x 50

a,b,c reëeL

11,A.m=O: 21 ax2 + ex + d; c,d reëel.

m

f.

12. A, ex(x

Q:

3

(;>,. - :)cos mx + (IJ. + :;)sin mx; À,IJ. reëeL - 3x

1

13. B. 8 cos x+ 14. B. xe

4X

-

81

2

81 e

+ ax + b) + e-x(cx + d); a,b,c,d reëel. sin x+ ae

-4X

+ ae

4X

2x

cos x+ be

; a reëel.

2x

sin x; a,b reëeL

17. i.\ h \

t.

''

~: ' ~i'

'

15. B. ( 16. B. 17.

t

x2 -

l 3X + ae x + be 2x ; a, b reee .. l • 2 x + 4 )e

J.

.J..

2 x sin x - .J.. 4 x cos x + a cos x + b sin x; a,b reiel • - _,_ t _...Lt - -1-t 60 30 30 c 30 x(t) = ce y(t) = ce z ( t) = ce + 30 te 4

- _,_t

Serie 15 1 • A• .1 e 2

3·

*

.J.. sin 2

4·

*

2.

*

p..; 1 divergent.

17. A. divergent. 2.

5· A. 1 • 6.

31.

p > 1 convergent.

1

B.

2.

16. A. convergent.

11

B. 18

1· A. convergent.

18. B, convergent • 19. A. convergent. 20.

*

divergent.

21. A. divergent. 22. B. divergent.

8,

B. convergent.

23.

9.

*

24. A. divergent.

divergent.

*

divergent.

32.

*

O
33· A. divergent. 34· A. divergent. 35.

*

convergent.

36. A. convergent, 37. B. convergent. 38. B. convergent.

10. B. convergent.

25. B. convergent.

11. B. divergent.

26. B. divergent.

12. A. convergent.

27.

*

convergent.

41. A. relatief convergent.

13, B. p> 2 convergent.

28.

*

divergent.

42. A. relatief convergent.

29.

*

convergent.

p..; 2 divergent. 14. A. convergent.

30. B. divergent. 15.

*

convergent.

39. B. relatief convergent. 40.

43·

*

*

relatief convergent.

divergent.

44· B. relatief

convergen~.

18 •

•

Serie 16 1•

A. a)

o.

b)

e~.

c) 9.

2.

B. a)

o.

b)

e~.

c) 1.

3· B. a)

1) 1•

b)

2) x= 1, x= -1 divergent.

2) x= 1, x= -1 divergent.

2

3

4·

A. a)

) 2(3x - 8x + 6) (1 -x) 3

1 - + 1 log( 1 - x). 3) -1 --x x

1) 1.

b)

2) x= 1, x= -1 abs. conv.

(3)! (1 +x

c)

2

) •

1) 1.

1) 1. 2) x= 1, x= -1 divergent.

arctan x-~).

3) - x - log(1 -x). 1 -x

1) co 3) 1 -! x

2

+ (x- 1 )ex.

convergent voor alle x; S(x) = - cos x log( 1 -sin x); S(~) =

5·

*

6.

A.

7•

B. a) - 3 <x< -1.

a) JxJ

> 1.

b) x> b) x >

t.

c) x< 0

o.

of

x> 1.

c) x = -2 conv, ; x j.

x ;. 8.

B. a)

1)

1 3•

2) x

' 9·

A. a)

1)

b)

=~,x

= -

~ d~vergent,

~·

2) x =

= -

31 abe.

conv.

Serie 17

• a) 1 • .... b)

1-1x2 +Alx4 + 6 40 - ..5.rux6 5040 ... j,_2 14 1 6 -1rx -12x - - x + • • • • 45

-21 divergen1 0

1) 1.

2) x= 1; x= -1 divergent. b)

1 3; x

o.

1)1. e

2) x

= l; e

x

= - le

divergent.

19.

'

b) x 3·

B.

61 x3

..2_5

+ 40

a) i- - -id3Cx 1 . V2

x - ... .

~) - i\x - ~) 2 +! ~(x - ~) 3 + ... .2

1 (

1

1

(x- 2 ) 2'

b)-::::-2• .r:x-2)+!•2• 2.r:

b)

5· A. a) 6.

2V 2

tf2 {1

x +

2 V2

-4 1t

-

1!

1

(

x--1t )2 2!

i!:

b) -1.

"'2•

b) .4Q

B. a) 1 •

'

3 .

i. ' '

~.

1· B. a) convergent.

b) d.ivergent.

8.

A. a) convergent.

b) divergent.

9.

A.

(x 3!

c)

10. B.

- Re(z) < Im(z) < + Re(z).

11. B.

fout< _1, • 11. -- _1_ < 0,21.10 -3

12. A.

vier termen.

13. A.

0,9950.

14.

*

0,050021.

15.

*

-0,40546.

•·

'' ' "

16. B.

0,09966766.

71

4970

1!/ 4

c) 1.

Re(z) + Im(z) > 0.

7

+ ....

'

k

'"

2

~.

+

... } .

20.

Serie 18

l il\····\

1.

A.

{11.

2.

B.

7-

3·

B.

4·

A.

" 3" " 3"

5·

B.

3·

"*22.

6.

A.

14.

"*23.

o.

7-

A.

7; ( 3.4,4) + -r(2,3,6).

"*24.

{5.

8.

B.

11 ; (5,4,4) + -r(2,6,9).

"*25.

9.

B. a) .!!. b) ~4'

"*26.

3x - 2y - 2z

~-

"*27.

(1

12 - 49 •

\

:,.

,_.. ~~· .~·

ê

1,0. A. a) .!!. 4'

19. B.

= 0;

5

y +

( -2, -5, 0) en ( -2, -5 , -8). ·

20. B. "*21 •

b)

x

2

-c

+y

2

+ z

2

=

-

= + (10,-5,10).

,o,o)

=

6x + 5Y - 2z = 19.

"*28.

12. A.

x + 3y + z = 6.

"*29.

13. A.

(3,1 ,1) + À(0,1 ,1 ).

2) (2x-11)

14. B.

x+y+z=7·

3) 16x + (4y + 15)

15. B.

2.

16. A.

2.

+ (y- 4) 2

2

=

+ (2y+2) 2

'

2

25;

= 125;

= 225.

1) 3x-4y = 25; 2)4x+3y=z25;

b) 4x - By + z = 4 2x+2y+z=9; x - 2y + 2z

3/

2

17. A. a) 2x - 2y - z = 5.

18. A.

1) (x-

15.

+ À(2,1 ,1 ).

11. B.

*30.

9·

= 9.

3) x- 3Y

z 27.

=

-5;

4) x= -5 en 3y+4x = 25.

*31.

21 .

Serie 19

1 . A.

(0,-2,0) + /,(1 ,0,-2)

r

(3,0,0) + f.L(0,1 ,3).

"2.

a)

x-y

=

I

z

.

II

a(x+y)

=

r-.., z

=

f3Cx- y)

b) (-i,t,o) + À(1 ,1 ,-2) en f.L(1,-1,0);

s

Lt,o);

= (

c) stelsel II. ·.

'

3·

B.a)(1,o,o)+À(0,1,z1); b) ( -1 , 0, 0) + À( 0, 1 ,z 1 ) •

4·

B.

(x-3) 2

.

2

=

22

8(z+2) hyperbolische paraboloïde.

a < -1

eenbladige hyperboloïde;

a = -1

hyperbolische cylinder;

-1
tweebladige hyperboloïde;

a

6.

(y- 2 )

-

=0

geen oplossingen;

0
tweebladige hyperboloïde;

a = 1

kegel;

1< a

eenbladige hyperboloïde.

A. 2

2

= 2yz.

2

= 4xy.

7· A.

(x- 1)

a.

x +y + z

A.

*9.

2

2

a) x

2

2

2

- y

2

1o. B.

x

11 • B.

3(x- 1 /

- y

+y

= (z- 2)

2

- z

2

b)f

+ 2x + 1 z = o.

= o. 2

+ 4(y + 1) 2 - z = o.

= 0

22.

'•

:~~·'

2

2

'

12, B.

2x + 5y + 5z

13. A,

(x~z)(y~z) 2x

16. B.

2

~

'

2

~

~ 4:xy + 4xz + 2yz

= 23.

= 1.

6:xy + 6y

+ 3y

4:xy

2

z

2

2

~

6yz + 2xz + 2z

+ 2z

2

= 2.

=0

p.(1 ,o,o)

l(1,0,0) 17. A. a ) x

2

+y

2

+ ~(~1,~4,8). ~

z

2

=1

b) (0,1,0) + ~(1,0,1) (0,~1,0) + À(1,0,~1). "*18. A.

4(x~2)(y~1) + 12(x~2)(z~3) + 6(y~1)(z~3)

= 9(x~2)

!''

2

+ 12(y~1) 2 + 4(z~3) 2 •

19. A. 20. B.

Serie 20

'

.

1•

B.

(~; ~t{3)

2.

A.

(~ tf3

3·

A.

1 ; ( 0.1

o.;;

4·

B. 1 ; c·2 ~0.4

.

~{3) -t

.

o.;);

Y•

0.9

~0.4} 0.8

y

=

~

1

Y • ;x.

3x;

i"x;

y

=

~2x.

=

23.

5.

6.

E. a.)

6 -7 9 6 2 -6

A."\:

2

9

')

2

-2

1

-2

2

-1

•

*{. 8,

A. a) 2;

b) 2, Ae en Ae ; -1 -2

c) 1, i\( -3,2, 1);

e) ( 1 ,-2,0} +À( -3,2, 1 ).

*lo. 2

-1)

-3

7

4

-1

c) À(1,-2,-1); *11.

a)

d) geen origineel.

(1 1 1) -6 5

c) x

-6 5

-6 5

12. A,

1

3

(:'

*14.

6 3

-2

2

n

-1

2

10

All=

0

;o

10

15. A.

AJ3

a

d) geen origineel.

~)

2

13. E.

; b) !l( 1 ,-6,5);

z = 0;

+ y +

t (:-6

b) 2, !-1(7,6,7) + p(1,15,10);

;

(70 6

-5

13 2

") 30 10

~')

-7

I BA •

(~

15

BA.

a

15 0

,, )

15

25

(-4 4) 4 -1

0

•

24 •

•

:· 1 ~.· .·. '

~'

~:"

16. B.

L!·•

AB

l

--~;

=

G

A16

=I.

18.

A12

=I.

19. B.

BA •

16)

17. B, A.

7 (:

-2

2 8 6

;l 11

(~ ~) (79 * ~) -3

A -1

=

20. B. A -1

=

3 -1

3 5 -5 -7

~··

·,·

Serie 21 1.

A. a)

À=

-3 -

~c-2,-2.1)

= +9 = -6

B. b)

2.

A.

À=

-1

=

2

=

5

=

+1

À

À = -1

3.

B.

À

= +1

À "

•'

-

1

p(-1,2,2) .o(-2,1,-2)

-

p(1,2,2) ~(2,1 ,-2) o(2,-2,1). o(1 ,2,0) + ~(0,3,1) p(2,-1 ,3). p(1,1,1) ~(1 ,-1

,o)

+ a(0,1 ,-1).

4· B. a) gespiegeld orthogonaal; b) direct orthogonaal; c) niet orthogonaal.

*5.

a) direct orthogonaal; b) gespiegeld orthogonaal; c) niet orthogonaal.

-----------------

- -

6.

B.

of

;,,

7 • A.

~'·

À

À=+ À

8.

(4,1 ,a) (u,v,w) = (-4,-1 ,-a).

1/9 = + 1/9

(u,v,w)

À = -

z

ev.: ~(0,0,1)

1

ev.: o(2,-1

= - 1

+

T(1,2,0)

,o).

A. a) y = 1;

i~r.; ;~i·.·.'

11'··.·

1 '

"

I•

d)

.

t,:.

'~~/.. '·

À=

e) D3

1

ev.: ~(1,1,1);

= I.

''• ' 9.

A.

10. A.

Bij

À=

1- p(1,1,1)

q> =

11. B.

Bij

À=

1- p(1,1,1)

'I' = arcoss

arçcos

71 . 11a 3

.

Serie 22

1.

A. a ) - cos x +

31 cos3 x

c) log(arctan x

*2.

2

)

a) tan x -x + C;

+ C;

b) 3 arcsin x - Y1 - x

2

+ C,

I xl

< 1;

+ C. b) x sin x

+~cos

x

-~x

sin3 x +

~ co 8 3 ~

+ C;

c) - log(arccos x) + c •.

3· '

•'

a)

2 colx c)

4· B.

1

- 32 arccos 3/2 x

a) sin x o)

+ log I cos xl + C;

~

Yi - 4 -

b) (x

2

+ 2)sin h x-2x cosh x+ C;

+ C.

3

sin x + C; 2 loglx +

b) log Itanh ~~ + C;

Yi - 41

+ C.

26.

5·

B.

m+1 ( )n x1-x +-n-I =I m+ 1 m + 1 m+1 ,n-1 m,n

6.

B.

I

7. A.

I

A.

I

8.

n

.

n-2

= 21 x 2 logn x - -n I ; -1 x 2( 4 log3 x - 6 log2x + 6 log x - 3) + C. 2 n-1 8

n

1

n

= xn- (x sin x + n cos x) - n(n- 1 )I

1 n-1 -x I n = -::;x e

~.

1 sin x - n(n- 1 )I

= -xncos x + nxn-

2

+n- 1 I 2

. . n-2'

n-2

.

12.

lli1!.

*lo.

8!! 2

11 • A.

1 2 Y+

arctan( 2y + 1 ) +

1+(2y+1) 12. A.

x+{ log[x+1\

+~

13. B.

_1 12

+ ..2. 96

1

+1 (/+2y+3)

3

2

+

c.

log\x-2\- 2 log\x+2\ + C. +1 (/+2y+3l

+ .....2.. 1 28

1

2

14. B.

2x

15. B.

-t

16. B.

log\ x- 2[ - ! log(x + 1) - arctan x -

-2x-2log[x+1[ +5log[x-2[ + log\ x- 1\ +

i

y +1 2

y +2y+3 ~

5

...i_ J-: .Y..:!:.1 + 256 l 2 arctan .r:2 +

log\x+3\ +C.

1• log\ x+ 1[ - 2 (x _ 1 ) + C• 2

1 2

+ C.

2(x +1) 2

t

1 1 log\ x\ - - - - - + .1.5. log\x- 2\ + C. 2x 2x2 4 .

17. A.

!.x

18. A.

3 log[ x- 4\ - log(x + 2x + 3) -

19. A.

-à- log(x2 + 1) +

20. B.

t log\~:;1

+ 2x +

2

-

t

1

. + 2(x + 1)

c.

arctan x+

c.

2

Serie 22

...11!._

1'

A. a ) 2048

2.

B. a )

637t ; 512

16 b ) 3003 • b

) 6o' 1

•

.i_g 2

x+1 arcta.n {2- + C .

V~

'·

L

27.

;

'·· ~:'

'

~:'.

3.

I'.I

1 '

~\ ~·

~.

i

3

b) lo

B. a) - cot x - 3 cot x + C;

c)

•

..l.l 4

g

11 - cos x cos x

+ C;

1+sinx+ 1 +C og 1 - sin x 2( 1 +sin x) ·

'

-.~· ~·

4·

A. a )

2

51 tan5 x

3

+ 3 tan x + tan x + C;

b) tan x - 2 log[ cos x[ + C;

:;;· "'' ;;;

=

c) -

::1·.

i

log [ 3 + 4 cos

-lz x[ +

C.

~· ~

'

~·

i•~·

5.

~

it

6.

2 tan B. a) 3{3 arctan

{3

( ) b )1 2 x + .l.. + C. 4 log 1 + sin 2x

x

2

1

b) - 1 6 log(1- sin 4x) - ~ + C.

+ C;

•

•

i

+ C;

3

_-,'

·_;:"'\

A. a ) 32{ 3 arctan 2tanix-1 {

7.

B.

a.

B.

t

9.

A.

3 arctan

I

!

2vx+2 + x+1

"

~-·

i

log V + 2x + 2 - 1 + Vx2 +2x+2+1

' ( ·;

~'

c. c

+

~:cos x -V(2+cos x)(1-cos x)+ C. cos x


'•

2

''l

7,,

1 O. A.

l·

_1_ logH x + 2x + 2- x- 3- Ü

IV~+2x+2-x-3+V5

V5

~

~

11. B.

i'-P

if'·:

,,

12. B.

~.'·

'(!

), ~

; 'l,

'·

13. B.

,.

'

i

1!.

4

14. A. 15. A.

log 2.

16. A.

log

2'[ 3(2- {3).

+

c.

c.

---

..

28.

•,

[

..

-;

,. ~ ;,]I jl>~__i:

~-·--; -..t.:

;'·

!

•'

Serie 24

·:·',

1'1-

~~-. li:

1 • A.

~~

2.

A.

3.

B.

i~{'

4·

B.

...

5· 6.

a;.

14 • B.

-!(e

18 • 2

.12.

*16.

1o.

B.

~{ 2.

*17.

.32!

B.

1.

*18.

16.

-!(e sin 1 - 1).

*19.

~{3 35 . .4.1!. 3

~.I

3

4

4

,_t,l,',

-·''(-

IJ:-·

...

~· ~

' ,

;-!_

I

f

1· A.

3i

}

8.

A.

!(cos 1 - 1).

'*20.

9·

B.

..2. 1t

11 ' 32

'*21 .

1o. B.

.

'*22.

.32! - 2 4 3'

'*23.

i:

w

I J1·:

=.,f'

~'

11 • A.

ljjl. ~. .

12. A.

'iJ,

32 _1 48

•

3

1t.

16iaJ ( 3 1t- 4). 9 3 :22la 1 9 2 a) (1 - .!!)a ; b) 1 a 2 8 6 2

1t •

'

!

a (a 2 -1)+1).

.2 { 5 arctan J. .

§,~.:·.,

~

..2.

45·

·~

'""""·

. 3 1. 6

13. A.

*15.

Ij. . .

a-:;..

t.

'*24.

.ä.. (2tt 4

'*25.

sin ct

-

-

2

- 3 arctan 2).

cos

ct

.

ct

3

(ct ;.

o)

(ex =

o).

4 sin ex

.,,

_1 12

~-

.5!

t lr'.,."'

Serie 25

l

•

1t

1•

r

A.

o.

6. B.

2.

B.

64.

7·

B.

6' .11!!..

•'

3.

B.

t

log 2-t.

8.

A.

~( 1 '1 '

4·

A.

t

log 2.

9· B.

a2f 2 log(1 + { 2).

5· A.

1t

1 o.

{ 2('/ 12.13 + log({12 2

'i

f ~\

I' -·

f

(!!. 2

- 1) .

B.

192

. .k.±.l) k •

+'113).

/~-·

;i·.

*18.

11. B. 12. B.

~

13. A.

e -- •

e

*20.

48.

14. A.

n lal 8

*21.

2 log({2 + 1 ).

*22.

{ 6 + log({ 2 + { 3) •

{ 2.

n.

1

1

2

15. A. 2

b)(o,o,~);

11

a) 12 ;

*17.

a)

~ (4 + n).

16. A,

1 4n - 2;

) n

1 4 - 2'

b

c) 1 ~ 0 •

Serie 26 2

3

4

A.

a2(~4 +n).

11. B.

2.

B.

2n(z{ 2 - 1).

12. B.

3.

B,

16 •

4·

A.

;(20- 3n).

8a2{ 2.

5.

A.

.42. 9

a •

6.

B,

7.

B,

8.

A.

9·

A.

3

4

nlbl (a +b 2 8a

1.

)

1ff..g

2 •

2

1 O. A.

2

n.

!l.Ja4 + b4 + a2b2 •

*16.

4

~(20- 3n). !t~

*18. 2n +

4 buiten,

2n -

4 binnen.

2 ({ 2

- 1)•

t

a)

nf3

+

b)

nf2

+ 5 n log({2 + 1 ) •

{2 log({3 + {2)