Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme verzameld door ir. W . Buijze en drs. R. Roest
2441
668 8 Bibliotheek TU Delft
1111111111111111111111111111111111
C
1003101&&5
DELFTSE UITGEVERS MAATSCHAPPIJ
2 CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag Buijze, w. ~raagstukken elektriciteit en magnestisme / verz. door W. Buijze: - Delft: Delftse U.M. Oorspr. titel: Vraagstukken elektriciteit. - Delft: Delftse U.M., 1989 ISBN 90-6562-124-5 Trefw.: elektriciteit / magnetisme.
©VSSD Eerste druk 1992 Tweede druk 1994 Delftse Uitgevers Maatschappij b.v. P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Telefoon/telefax 015-123725 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. All rights reserved. No part ofthis publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher.
ISBN 90 6562 124 5
3
Voorwoord De hier bijeen gebrachte vraagstukken werden - vaak al vele jaren - gebruikt bij de werkcolleges Elektriciteit voor de eerste twee studiejaren van diverse faculteiten van de TU-Delft. . Zij zijn in de loop der tijd bedacht en geformuleerd door velen; collega's en oud- ' collega's. Slechts enkele vraagstukken zijn van mijn hand. De vraagstukken zijn zodanig gegroepeerd, dat het gemakkelijk is daaruit die keuze te maken, die voor een bepaald college gewenst wordt. De indeling in hoofdstukken is dezelfde als die van het theórieboek "Inleiding Elektriciteit en Magnetisme" van mijn hand; een boek dat ook is uitgegeven onder auspiciën van de VSSD bij de Delftse Uitgeversmaatschappij. In deze druk zijn vraagstukken die betrekking hebben op paragrafen die in het theorieboek voorzien zijn van 0 respectievelijk _, op 'dezelfde wijze gemarkeerd. Achterin de bundel zijn de antwoorden op alle.vraagstukken opgenomen. Dat dit vraagstukkenboek gedrukt is op kringlooppapier was de uitdrukkelijke wens van de VSSD. Ik heb mij daarbij neergelegd. Den Haag, mei 1992
W. Buijze
Voorwoord bij de tweede druk Ten opzichte van devorige druk zijn de vráagstukken anders gerangschikt. Dit geldt in het bijzonder voor hoofdstuk 1. Ook zijn enkele vraagstukken vervangen, terwijl er ook vraagstukken zijn toegevoegd. Om de vorige druk te kunnen gebruiken naast de nieuwe, zijn na de nieuwe nummers - waar nodig - nog de oude nummers van de betrokken vraagstukken vermeld. De nauwe samenwerking, die ik steeds heb gehad met drs. R. Roest, wordt met deze druk geformaliseerd . . Den Haag, juli 1994
W. Buijze
4
op omslag: wrijvings elektriseennachine volgens Jesse Ramsden (1768)
5
Inhoud Algemene gegevens 1. Elektrostatische velden in vacuüm 2. Elektrostatische velden in diëlektrica 3. Elektrische stromen 4. Het magnetische veld van stationaire stromen 5. Stationaire magnetische velden in magnetiseerbare materie 6. Magnetische inductie 7. De vergelijkingen van Maxwell 8. Netwerken en wisselstromen Antwoorden
6 7 18 33 38 48 57 73
78 94
6
Algemene gegevens =
Eo 8,85.10-12 N:-IC 2m-2 1 . 9.109 Nm 2C-2
-41tEo =
Ilo = 41t·1O-7 NA-2 c = _1_
-V Eollo
=3.108 ms-I
7 "
Elektrostatische velden ' in vacuüm 1.1. Gegeven: a. a en b.
b.
a·b.
a::; (3,4,-5) en b = (-1,2,6). Bereken:
a
c. De hoek q> tussen en b. d. a+b. iJ. b.
a-
f. axb.
=
=
1.2. Gegeven: a+ b (11,-1,5) en a- b (-5,11,9). Bereken: a. a en b. b. De hoek q> tussen en + b.
a a
1.3. Gegeven: een scalaire grootheid V(x,y,z) =xy2 + yx 2 + 3z2 en
a. Bereken de gradiënt van V; grad(V) = VVo b. Bereken de divergentie van VV; div(VV) =V·(VV) =div grad(V). C.
Bereken de rotatie vari VV; rot(VV)
=V x (VV) =rotgrad(V).
1.4. Een waterstofatoom is opgebouwd uit een positi~f geladen kern (proton) en een elektron dat in een cirkelvormige baan om de kern beweegt. In de grondtoestand is de straal van de cirkelvormige baan a = 0,53 x 10-10 m. De ladingen van proton en elektron bedragen respectievelijk +e en -e; e 1,6x 10- 19 C. a. Bereken de kracht ten gevolge van de elektrostatische wisselwerking waarmee kern en elektron elkaar aantrekken. VergèIijk hiermee de kracht waarmee ze elkaar aantrekken ten gevolge van de gravitationele wisselwerking. De gravitatieconstante is 6,7 x 10-11 Nm21kg2; Ille =9,1 x 10-31 kg; mp 1836 Ille. b. Bereken de potentiële energie van het elektron in zijn baan. Stel hierbij de potentiële energie nul als het elektron zich op zeer grote afstand van het proton bevindt. C. Hoe groot is de totale energie van het elektron in zijn baan ten opzichte van de toestand waarbij het elektron zich in rust op zeer grote afstand van het proton bevindt? d. Hoe groot is de ionisatie-energie van een waterstöfatoom (uitgedrukt in J en in elektronvolt)?
=
=
8
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
1.5. (nieuw) Tussen twee concentrische metalen boloppervlakken A en B (stralen a en b) bevindt zich positieve ruimtelading waarvan de dichtheid P als volgt atbangt van de afstand r tot het middelpunt:
P = po(aJr)2/3. . a. Wat stelt Po voor? b. Bereken de totale ruimtelading tussen de boloppervlakken. 1.6. (nieuw) Een dunne cirkelvormige schijf (straal R) is aan één zijde bedekt met elektrische lading. De oppervlakteladingsdichtheid 0' hangt af van de afstand r tot het middelpunt: 0"
=O"o(r~),
r ~ R.
a. Wat stelt 0"0 voor? b. Bereken de totale lading van de schijf. c. Bereken de gemiddelde ladingsdichth~id (0') van de oppervlaktelading. 1.7. (nieuw) tussen twee zeer lange coaxiale metalen cilindermantels A en B (straal van de cirkelvormige doorsnede resp. a en b) bevindt zich ruimtelading; de ladings- . dichtheid p hangt als volgt samen met de afstand r tot de as:
P = po(aJr)2/3 a. Wat stelt Po voor? b. Bereken de ruimtelading per lengte I tussen de beide cilindermantels. 1.8. Een dunne staaf (lengte I) is unif.5!rm geladen. De ladingsdichtheid is À (> 0).
a. Bereken de elektrische veldsterkte E in een punt P dat in het verlengde van de staaf ligt op een afstand a van één van de uiteinden van de staaf. b. Bereken de potentiaal in P (stel de potentiaal in het oneindige nul).
1.9. Een rechte draad is overal even dicht met elektrische lading bedekt, waarvan de grootte per lengte-eenheid À is. De lengte van de draad is.e. a. Bereken de elektrische veldsterkte in een punt P in het middenloodvlak van de draad op de afstand a er vandaan. b. Vereenvoudig de verkregen uitkomst voor het geval dat.e » a is. c. Dezelfde vraag als bij b, maar nu voor het geval dat a » .e. 1.10. Een cirkelvormige schijf is overal even dicht met elektrische lading bedekt met de dichtheid 0". De straal van de schijf is R. a. Bereken met behulp van de wet van Coulomb de elektrische veldsterkte EI (x) in een punt op de as van de schijf, op de afstand x er vandaan. De schijf is opgesteld in vacuüm.
Elektrostatische velden in vacuüm
9
I
b. Als R » x, wat is dan de veldsterkte? c. Leid uit het resultaat van b af de grootte van de veldsterkte E binnen een vlakke
condensator (in vacuüm) waarvan de oppervlakte van de platen S is, terwijl de. afstand van de platen klein is ten opzichte van de afmetingen van de platen, als de ladingen van de plat~n +Q en -Q zijn. d. Leid ook uit het resultaat af dat de platen van een vlakke condensator elkaar in vacuüm aantrekken met de kracht = QE = EoSE2. e. Bereken de potentiële energie van de geladen condensator als functie van de onderlinge afstand x. Doe dit door de potentiële energie van de ene geladen plaat te beschouwen in het veld van de andere. Kies de potentiële energie nul in de toestand waarin de platen samenvallen.
î
î
1.11. (1.14) Zie figuur 1.1. Tussen de platen A en B bestaat een uniform veld en een potentiaalverschil V I (V A > V B). De afstand tussen de platen is a. Bij P komt een elektron binnen met snelheid Vo verkregen doordat het elektron met beginsnelheid nul een potentiaalverschil Vo heeft doorlopen. a. Toon aan dat als het elektron plaat B juist niet bereikt geldt: VIN0 =sin2(
B --------~-------------------------y
a
A __________________
~============~~x~
p Figuur 1.1. Figuur bij vraagstuk J.J 1.
1.12. (l.16) .Een bepaalde bol symmetrische ladingsverdeling leidt tot een (bolsymmetrisch) veld rondom een centrum 0, zodanig dat de veldsterkte in een puntP gegeven is door .... E
....
=-EO1 (ar3 - br) -rr
'
met a
= 1 Cm-5 en b = 1 Cm-3.
a. Bereken de potentiaal V(r) op een afsta!ld r van het centrum
°
als de potentiaal in
het centrum nul is.
b. Bereken de waarde re van r waarvoor Veen extreme waarde heeft. c. Beredeneer hoe groot de lading is die omvat wordt door een bol met straal re. d. Bereken de lading Q binnen een bol met een willekeurige straal r. e. Bereken de ruimteladingsdichtheid p als functie van r.
10
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
1.13. (1.24) Zie figuur 1.2. In en buiten de getekende (denkbeeldige) kubus hangt de elektrische potentiaal van de plaats af volgens V = Voe- x/a + by. De ribbe van de kubus is c. Hoekpunt 0 van de kubus valt samen met de oorsprong. Het grondvlak valt samen met het vlak z =O.
z
y
o
~--~~----~~-----
x
Figuur 1.2. Figuur bij vraagstuk 1.13.
.....
a. Bereken E. b. Bereken de door de kubus omvatte lading.
1.14. (1.25) Rondom een elektrisch geladen metalen bol (straal R), die zich in vacuüm bevindt, is ruimtelading aanwezig, die bolsymmetrisch is verdeeld ten opzichte van het middelpunt 0 van de bol. Voor de ruimteladingsdichtheid geldt: p =- r~ , waarin a en n positieve constanten zijn (n > 3); r is de afstand tot 0; r> R. . Voor de elektrische veldsterkte geldt: ..... a r E=-Eor3 r
voorr~R.
a. Bereken de totale lading omvat door een (denkbeeldige) bol met straal r> R.
b. Bereken de oppervlakteladingsdichtheid van de metalen bol. c. Bereken de ruimtelading binnen eén denkbeeld\ge bol met straal r > R met behulp van het antwoord op de vragen bij a en b. Bereken de ruimtelading ook met behulp p d't, en bepaal zo de waarde van n. van Q =
.rrft
d. Bereken de potentiaal van de metalen bol (stel V
=0 voor r -t 00). .
1.15. (1.26) Een bolvormige elektronenwolk met een straal R heeft het middelpunt M in de oorsprong. De ruimteladingsdichtheid -p is overal binnen de wolk even groot. Men schiet met een snelheid Vo van zeer grote afstand buiten de wolk, een elektron (lading ~, massa m) in de richting van M. De potentiaal in het oneindige stelt men nul. a. Bereken de potentiaal aan de rand van de elektronenwolk.
Elektrostatische velden in vacuüm
11
b. Bereken de elektrische veldsterkte voor 0 < r < R; r is de afstand tot M. Bereken vervolgens het potentiaalverschil tussen het middelpunt M en de rand van de
elektronen wolk. c. Hoe groot moet de snelheid Vo tenminste zijn, opdat het elektron door de wolk heen kan worden geschoten? 1.16. (1.27) Een bolvormig deel van de luchtledige ruimte is uniform gevuld met lading, met een dichtheid p. De straal van de bol is R. a. Bereken de veldsterkte E als functie van r (de afstand tot het middelpunt) in de het ,geval dat r < R en in het geval dat r ~ R. b. Bereken de potentiaal op het oppervlak van de bol. Stel V(00) = c. Beantwoord nogmaals de vraag bij b, maar nu voor het geval dat de lading binnen de bol niet meer uniform is verdeeld, maar gelijkmatig zou zijn uitgesmeerd over het oppervlak van de bol.
o.
1.17. (1.21) Tussen twee coaxiaal opgestelde cilinders bevindt zich ruimtelading. De buitenstraai van de dunne cilinder is R, de binnenstraai van de wijde cilinder is 2R. Hun lengten zijn I. met I. » R. Tussen de cilinders is-de veldsterkte overal even groot en radiaal naar buiten gericht. De grootte is Eo. De buitenste cilinder is geaard. a. Bereken de totale ruimtelading. b. Bereken grootte en teken van de totale lading op de buitenste cilinder. c. Bereken grootte en teken van de totale lading op de binnenste cilinder. 'd. Hoe groot is de potentiaal van de binnenste cilinder ten opzichte van de aarde? e. Bereken met behulp van de stelling van Gauss de -ruimteladingsdichtheid pais functie van de afstand r tot de as. 1.18. (1.12) In een beperkt deel van de ruimte rond de oorsprong is een elektrisch veld gegeven: Ë = (2ax,2ay,0). a. Toon aan dat dit veld een potentiaalveld is. b. Stel in het punt (0,0,0) de potentiaal nul. Bereken de potentiaal in een willekeurig punt (x,y,z). c. Bereken de ladingsdichtheid in een punt (x,y,z). d. Waarom wordt alleen in een beperkt deel van de ruimte het veld beschouwd?
1.19. (1.13) In een beperkt gebied is een elektrisch veld, waarvan de componenten ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel gegeven zijn door:
(a, b en c zijn positieve constanten). a. Is het veid in dat gebied een potentiaalveld? Verklaar uw antwoord! b. Bevindt zich in dat gebied lading? Verklaar uw antwoord!
12
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
1.20. (1.20) Tussen twee evenwijdige vlakke metalen platen A en B bevindt zich positieve ruimtelading. De dichtheid van deze lading op een afstand x van A is p cx2. De potentialen van A en B zijn beide Vo; de afstand van de platen is a. a. Bereken de potentiaal in de ruimte tus~en A en B als functie van x. b. Bereken de dichtheid van de oppervlakteladingen die zich aan de binnenkanten van de platen A en B bevinden.
=
1.21. (1.17) Twee even grote vlakke metalen platen A en B zijn op afstand van 6a tegenover elkaar gezet. Zij zijn verbonden met een spanningsbron met sterkte Uo. A heeft de hoge potentiaal. De oppervlakte van elk van de ~laten is S. Men verbreekt de verbindingen met de bron en schuift een ongeladen even grote vlakke metalen plaat C tussen A en B. De dikte van C is 2a; de plaat komt op een afstand a van B te staan. De platen hebben elkaar niet geraakt. a « {S. a. Bereken VA - Veen Ve- Vs. b. Bereken de arbeid die men op plaat C heeft verricht bij het naar binnen schuiven. Men gaat weer uit van de begintoestand, maar laat de verbindingen met de bron nu bestaan en schuift dan plaat C op dezelfde plaats tussen A en B.
c. Hoe groot is nu VA - Ve ? d. Bereken de verhouding van de ladingen vaD. plaat A vóór en ná het inschuiven van plaat C. e. Bereken de energie die de spanningsbron aan het stelsel platen heeft toegevoerd. f. Bereken de verandering van de veldenergie. g. Bereken de arbeid die men op plaat C heeft verricht bij het naar binnen schuiven. 1.22. (1.18) Zie figuur 1.3. Twee zeer lange, rechte en evenwijdige hoogspanningskabels hangen op een afstand a van elkaar. De straal van de ronde doorsnede van de koperen kabels is r; r «a. De kabels bevinden zich in lucht (vacuüm). Neem aan dat de ene kabel per meter lengte uniform bezet is met +À. en de andere met -À..' a. Bereken de elektrische veldsterkte Ë in het punt P gelegen tussen beide kabels. b. Bereken de capaciteit per meter lengte van het stelsel gevormd door beide kabels.
I~
+~
.1
a
4)' :~-------·-è~ I ,~
2r
..
I I I
,
Figuur 1.3. Figuur bij vraagstuk 1.22.
I I I
,~ 2r
.'
I I I
Elektrostatische velden in vacuüm
13
1.23. (1.20) Zie figuur 1.4. Een lange coaxiale kabel (lengte R) bestaat uit een koperen kern (straal a) omgeven door een koperen mantel (inwendige straal b). Tussen kern en mantel bevindt zich lucht die wij als vacuüm kunnen beschouwen voor wat betreft Er.
Figuur 1.4. Figuur bij vraagstuk 1.23.
a. Bereken de capaciteit per eenheid van lengte voor deze coaxiale kabel. Voorts wordt nu gegeven: de doorslagveldsterkte van lucht is 2,5 x 106 Vlm. Het potentiaalverschil tussen de kern en de mantel is 10 kV. Voor de afmetingen geldt: a =10-2 m en b =5 x 10-2 m. b. Bereken of er doorslag optreedt of niet.
. 1.24. (1.22) Zie figuur 1.5. Twee zeer grote vlakke evenwijdige metalen platen staan op afstand a van elkaar. Er bevindt zich ruimtelading tussen. Gegeven is dat de potentiaal op afstand x van de linkerplaat (0 ~ x ~ a) wordt gegeven door: U(x) = Uo (~f'3, met Uo > O. x A
..
a
Figuur 1.5. Figuur bij vraagstuk 1.24.
..
a
Figuur 1.6. Figuur bij vraagstuk 1.25.
14
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
a. Bereken de veldsterkte Ë ter plaatse x. b. Bereken de ruimteladingsdichtheid p(x).
c. Berekende oppervlakteladingsdichtheden op de linker- en rechterplaat (let op de tekens!).
1.25. (1.23) Zie figuur 1.6. Een vacuüm-diode heeft tussen de vlakke geaarde kathode K en de vlakke anode A een ruimtelading p(x) als. gevolg van de aariwezigheid van elektronen. De potentiaal in de ruimte tussen K en A voldoet op een bepaald tijdstip aan: V(x)
-a)x = Uo{3x 2a2 ,met Uo > O.
Uit de kathode komen enkele elektronen vrij met een beginsnelheid Vo in de x-richting. De massa van een elektron is m, de grootte van de lading is e. a. Schets het verloop van de potentiaal tussen de platen op dat tijdstip. b. Aan welke voorwaarde moetvo voldoen opdat de door K geëmitteerde elektronen de anode bereiken? c. De onder b bedoelde elektronen bereiken de anode A met een snelheid vA. Wat is de kleinst mogelijke waarde van VA? d. Bereken p(x).
1.26. (1.26) In een gebied om de oorsprong van een rechthoekig coördinatenstelsel is de potentiaal van een elektrisch veld gegeven door: V(x,y,z) = -
t ax2y2.
Hierin is a een positieve constante. De_ruimte is vacuüm. a.Bereken de elektrische veldsterkte E in dat gebied. b. Is dit Ë-veld conserverend? Licht uw antwoord toe. c. Bereken de ruimteladingsdichtheid p(x,y,z). d. Bereken de totale lading Q die zich bevindt binnen een cilinder, (waarvan de as samenvalt met de z-as) die een straal R heeft en een lengte l. e. Bepaal de vergelijking van de veldlijnen in het vlak z O.
=
o
1.27. (1.28) Zie figuur 1.7. In een punt A op afstand z van een zeer grote vlakke, geaarde metalen plaat bevindt zich een positieve puntlading Q. a. Hoe groot is de oppervlakteladingsdichtheid cr op een afstand x vanaf P? b. Bereken de totale oppervlaktelading binnen een straal x =a. c. Hoe groot is de totale lading op de plaat als deze plaat oneindig groot is?
o
1.28. (1.29) Op een afstand a van het middelpunt van een geaarde en geleidende bol (straal R) bevindt zich een puntlading Q (a> R).
Elektrostatische velden in vacuüm
A
z e--------------------
15
1 p
Figuur 1.7. Figuur bij vraagstuk 1.27.
a. Als de potentiaal V van de bol nul is (dat wil zeggen gelijk aan die in het oneindige) dan is het veld van de influentielading gelijk aan het veld van een puntlading Q'. Leidt af waar Q' zich bevindt en hoe groot deze is. b. Men verbreekt nu de verbinding met de aarde en brengt zoveel lading op de bol dat de bol ongeladen is. Bereken de potentiaal VI van de bol als in het oneindige V =0 gesteld wordt. D
1.29. (1.30) Een hoogspanningskabel met 1 cm diameter bevindt zich op een constante potentiaal van +50.000 V ten opzichte van de aarde en op een constante hoogte van 50 m boven de aarde. Beschouw de aarde als een oneindig goed geleidend plat vlak en veronderstel bij de berekeningen dat de lading de kabel uniform bezet. Bereken: a. De lading van de kabel per meter lengte. b. De veldsterkte op aarde recht onder de kabel. c. De kracht die op de kabel per meter lengte wordt uitgeoefend. 1.30. (1.31) Zie figuur 1.8. Twee puntladingen +Q en -Q zijn op afstand a van elkaar geplaatst. Beide ladingen bevinden zich op afstand ~ van een zeer grote geaarde vlakke plaat.
A
..
y
a
+Q
. b
x Figuur 1.8. Figuur bij vraagstuk 1.30.
..
~~.-------------------~~
B
-0
16
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
a. Bereken de x- en y-componenten van de kracht die de lading -Q ondervindt. b. Bereken de potentiële energie van de lading B. De potentiaal is in het oneindige gelijk aan nul.
o 1.31. (1.32) Zie figuur 1.9. Men heeft een geaarde, holle metalen bol met straal R en middelpunt M. Een lading q op afstand a van M gebracht ondervindt een aantrekkende kracht. a. Hoe groot is deze aantrekkende kracht? b. Hoe groot zou de kracht op q zijn, indien de lading binnen de bol op afstand b van M geplaatst was? Aanwijzing: Zoek de beeldlading q' van q buiten de bol die samen met de binnen de bol geplaatste lading q ter plaatse van de bol een equipotentiaalvlak geeft.
a .... --------q
(al
(bI
Figuur 1.9. Figuur bij vraagstuk 1.31.
o 1.32. (1.33) In de ruimte is een x-as gedefinieerd,
waarop zich twee puntladingen bevinden: +Q ter plaatse x -a en -2Q ter plaatse x +a. We stellen de potentiaal V 0 voor x ~ 00. a. Bepaal de oplossingsverzameling van de vergelijking V(x) = o. b. Bepaal de oplossingsverzameling van de vergelijking E(x) =O. c. Bereken welke arbeid men moet verrichten om een lading van -3Q te verplaatsen van x = +2a naar x ;:: -2a.
=
=
=
1.33. (1.34) Zie figuur 1.10. Vier puntladingen Q, -2Q, +3Q en -4Q bevinden zich aanvankelijk op zeer grote afstanden van elkaar. Men brengt deze puntladingen in de hoekpunten van een vierkant met zijden a. Bereken de arbeid die men daartoe moet verrichten. 1.34. (1.35) Als men aanneemt dat de totale lading Ze van de atoomkern uniform verdeeld is binnen een bol met straal a, bereken dan: a. De potentiaal op afstand ro ~ a van de kern. Stel V = 0 voor r ~ 00. b. De elektrostatische energie van zo'n kern.
Elektrostatische velden in vacuüm
17
-40 r - - - - - - - - , +30
-20
+0 Figuur 1.10. Figu,ur bij vraagstuk 1.33.
1.35. (nieuw) Zie figuur 1.11. Van twee identieke bolcondensatoren 1 en 2 is de straal van de binnenbol a en van de buitenbol b. Beide buitenbollen zijn geaard (V 0). De binnenbollen hebben elk een even grote lading Qo en potentiaal Voo De afstand tussen beide condensatoren is zeer groot in vergelijking tot hun afmetingen. In het oneindige is V = O.
=
Figuur 1.11. Figuur bij vraagstuk 1.35.
Men verbreekt nu de aardverbinding van condensator 2 en daarna vervbindt men de binnenbol van 1 met de buitenbol van 2 (zie figuur 1.12). Van Qo op de binnenbol van 1 vloeit daardoor een deel Q, naar de buitenbol van 2. De openingtjes in de buitenbollen zijn verwaarloosbaar klein. De nieuwe potentiaal van de binnenbol van 1 en van de buitenbol van 2 is V'. De capaciteit van de verbindingsdraad wordt verwaarloosd .. Q,
Figuur 1.12. Figuur bij vraagstuk 1.35.
a. Is het potentiaalverschil tussen de binnen- en buitenbol van 2 nog steeds Vo? Beredeneer uw antwoord! I b. Hoe is de lading op de buitenbol van 2 verdeeld? c. Bereken V' uitgedrukt in Vo. a en b!
18
2 Elektrostatische velden ' in diëlektrica 2.1. Zie figuur 2.1. Een polair molecuul met dipoolmoment P ter grootte van 4,8 x 10-30 coulombmeter bevindt zich op een afstand van 10-8 m van een positief geladen ion met lading +2e (e 1,6x 10-19 C). De plaatsvector r is van het molecuul naar het ion gericht. De h~k tussen Pen r is 90°.
=
Figuur 2.1. Figuur bij vraagstuk 2.1.
a. Bepaal de grootte en de richting van het moment van het koppel dat het molecuul in het veld van het ion ondervindt. b. Bereken de elektrostatische krachten (richting en grootte) die het molecuul en het ion op elkaar uitoefenen. c. Bereken de elektrOstatische potentiaal die de dipool ter plaatse van het positieve ion opwekt. d. Het polaire molecuul bestaat nader beschouwd uit twee ladingen -e en +e die zich op een afstand van 3 x 10- 11 m van elkaar bevinden. Tot op welke afstand van het midden van dit molecuul is op de verbindingslijn van -e naar +e van de dipool de potentiaal binnen 1% correct gegeven door de formule: V =- P4 2? 1tEor 2.2. In een punt bevindt zich een elektrische dipool waarvan het moment pis. a. Bewijs dat de potentiaal in een punt P op grote afstand r van de dipool gegeven wordt door V _ P cos(9) _ p.; p - .41tEor2 - 41tEor3 . b. Leid uit de formule van de potentiaal af de componenten Er en Be van Ê. c. Zie figuur 2.2. Men heeft nu twee dipolen I en 11, in één vlak op grote afstand van elkaar gelegen. Hierbij is r de verbindingslijn van de middens der dipolen. De dipoolmomenten zijn PI en P2. Dipool I maakt een hoek ~ met de verbindingslijn r, . dipool 11 maakt een hoek q> hiermee. Bereken de grootte en de richting van de veldsterkte die dipool I ter plaatse van dipool 11 opwekt.
Elektrostatische velden in diëlektrica
p, f+q,
P2
7
19
i +q2
----.r7---·
f---
e-q, I
e-q2 II
Figuur 2.2. Figuur bij vraagstuk 2.2.
d. Bereken de potentiële energie van dipool 11 in het veld van dipool I, als P2 onder een hoek cp staat met r.
2.3. In een begrensd gebied in de buurt van de oorsprong is een elektrisch veld in een cartesisch coördinatenstelsel gegeven door:
Ex =ax + by + c; Ey =bx - ay + c;
Ez =c;
a, b en c zijn positieve constanten. Is het veld een potentiaalveld? b. Bevindt zich in dit gebied lading? In de oorsprong brengt men een elektrische dipool p, gericht langs de positieve x-as. e. Bereken de componenten van de kracht op deze dipool. d. Bereken de componenten van het krachtmoment op deze dipool. e. Waarom is het beschouwde gebied begrensd? Q.
D
2.4. Zie figuur 2.3.
Q. Toon aan dat het middelloodvlak van een elektrische dipool een equipotentiaalvlakis. Daaniit vol~t dat de formule voor de potentiaal ten opzichte van het oneindige: V P cos(9 ,ook mag worden gebruikt met dit vlak 41tEor2 als nulniveau.
=
b. In een oorspronkelijk uniform elektrisch veld~ ~ordt een elektrische dipool p geplaatst waarvan de richting gelijk ~s aan die van Eo. Bewijs dat het resulterende veld een potentiaal heeft die op een bepaalde afstand Ra van de dipool constant is. Bereken de straal Ra van dit bolvormig equipotentiaaloppervlak.
Figuur 2.3. Figuur bij vraagstuk 2.4.
20
Vraagstukken Elektriciteit en Magntisme
c. Dezelfde dipoOl wordt nu geplaatst in h~t middelpunt van een bolvormige holte met straal R. De holte bevindt zich i.n een geleider. Bereken de ladingsdichtheid aan het geleideroppervlak in A en in B, uitgedrukt in p en R.
. (
o
2.5. Een elektrische quadrupooi wordt gevormd door een lading -2e in de oorsprong en de ladingen +e in de punten (±a,O,O). Toon aan dat de potentiaal op een afstand r (r » a) bij benadering is:
v =ea2(3 cos2ij -
1) ;
41tEof3 ij is de hoek tussen r en de verbindingslijn door de ladingen. Wij nemen daarbij aan: limV =0. r-+oo
2.6. Zie figuur 2.4. Twee evenwijdige koperen platen zijn in vacuüm geplaatst op een afstand 2a; zij zijn uniform bezet met lading met een oppervlakte-Iadingsdichtheid +<J op de bovenste plaat en -cr op de onderste plaat. In de x-richting zijn de platen vanaf CPa naar links oneindig lang. In de y-richting zijn de afmetingen van y ---t - 0 0 tot Y ---t +00. Een punt 0 bevindt zich in het vlak midden tussen de twee platen.
/ A - - _X_ -
--+--- /
2a r---r---l~
a
. i
Figuur 2.4. Figuur bij vraagstuk 2.6.
Het elektrische veld in 0 is:
Ê =- ..JL arctan (~ ) . 1tEo
x
k
a. Toon dit aan door in 0 het elektrische veld te bekijken van oneindig lange smalle . strookjes dx vàn beide platen en dit over alle strookjes te sommeren. Men plaatst nu in 0 een elektrische dipool 15 =p1. b. Bereken de kracht die in dit veld op die dipool wordt uitgoefend. Gegeven is dat: als cP
=arctan(y) dan is
dcp dy
1
=1 + y2
Elektrostatische velden in diëlektrica
21
2.7. Een dunne schijf van elektrisch isolerende stof is permanent elektrisch gepolariseerd (elektreet) in een richting loodrecht op de schijf. De polarisatie P is uniform en is gericht van zijvlak a naar zijvlak ~. De dikte van de plaat is a. De schijf heeft geen vrije oppervlaktelading en er zijn geen ladingen of elektrisch gepolariseerde lichamen in de omgeving. a. Bereken het potentiaalverschil VA - Vstussen twee punten A en B, gelegen in de zijvlakken a en 13, niet te dicht bij de randen. b. Hoe groot is de veldsterkte in een willekeurig punt buiten de schijf, relatief dicht bij . het midden van de schijf gelegen?
2.8. Een dunne, planparallelle schijf is loodrecht op de schijf gepolariseerd. De grootte van de polarisatie is Po en de richting is van zijvlak A naar zijvlak B. De schijf is ongeladen. Op de zijvlakken wordt een dunne laag van eenzelfde metaal aangebracht. De dikte van de schijf is a. a. Men brengt tussen de metalen lagen een geleidende verbinding aan. Hoe groot is dan de dichtheid van de oppervlaktelading aan de binnenzijde van de metalen laag op A, en welk teken heeft deze lading? Verondersteld wordt dat de polarisatie door het aanbrengen van de platen niet verandert. b. Men verbreekt de geleidende verbinding. Daarna neemt door een of andere oorzaak de polarisatie af tot Po (de richting blijft ongewijzigd). Hoe groot is nu het potentiaalverschil V A - V B?
î
2.9. Zie figuur 2.5. Een massieve cilinder van niet-geleidend materiaal is uniform
P
gepolariseerd. De polarisatie is gericht evenwijdig aan de cilinderas. De lengte van de cilinder is I, de diameter is 2R.
Figuur 2.5. Figuur bij vraagstuk 2.9.
a. Bereken Ê in een punt op de as van de cilinder, gelegen op grote afstand r van het midden van de cilinder (r » e). b. Bewijs dat in een punt A, gelegen in het materiaal, op de as van de cilinder zeer .dicht bij een eindvlak, geldt:
....
Bereken ook D in A.
22
Vraagstukken Elektriciteit en Magntisme
c. Bereken Ê in punt A', gelegen buiten het materiaal, op de as van de cilinder dicht bij een eindvlak. Voor dit vraagstuk is het nuttig te weten dat op afstand x van een gelijkmatig met elektrische lading bedekte, cirkelvormige (straal R), dunne schijf in vacuüm voor de veldsterkte Ê op de as van de schijf geldt: E=-.JL(I-
2Eo
x
)
YR2 + x 2 .
(Dit hoe~ u niet te bewijzen!) Zie vraagstuk 1.10.
2.10. Een cilindrisch lichaam C (lengte l
= 1,0 cm; doorsnede S =0,40 cm2) is
permanent gepolariseerd, evenwijdig aan zijn lengte-as. De grootte van de polarisatie P heeft overal in C de waarde 3,Ox 10-8 C/m 2• a. Bereken de waarde van de grootte van Ë en ï5 in een punt op het verlengde van de as, op L = 120 .cm van het midden van C. b. Bereken E en D in het midden van C. Zie opmerking bij vraagstuk 2.9.c.
2.11. Een dunne vierkante plaat van een diëlektrisch materiaal is · permanent
P
gepolariseerd. De polarisatievector is evenwijdig aan één van de lange zijden. De dikte b van de plaat is zeer veel kleiner dan de lengten a van de acht zijden. Bereken Ë en ï5 in het centrum van de plaat. Bjj de berekening mag gebruik gemaakt worden van het resultaat van vraagstuk 1.9a.
2.12. Zie figuur 2.6. Een massief stuk van een isolerende stof heeft de vorm van een langgerekte omwentelingsellipsoïde. De lengte van de lange as is l; de oppervlakte van - de cirkelvormige dwarse doorsnede door het midden isB. Het lichaam is geplaatst in een oorspronkelijk veldvrije, ledige ruimte. Het materiaal is uniform elektrisch gepolariseerd in de richting van de lange as. Het heeft geen vrije lading. De polarisatie is P. In de stof is de veldsterkte overal -D,1 P/eo. .
c
Figuur 2.6. Figuur bij vraagstuk 2.12.
A, B en C zijn op het oppervlak gelegen punten; A en B liggen op de as en C ligt in het middenvlak. a. Bereken VA - VB. b. Hoe groot is de veldsterkte buiten het lichaam in de onmiddellijke omgeving van C? c. Hoe groot is de veldsterkte buiten het lichaam in de onmiddellijke omgeving van A? r
Elektrostatische ·velden in diëlektrica
23
d. Bereken de grootte en het teken van de totale polarisatielading (poissonlading) op de rechterhelft van de ellipsoïde. '
2.13. Het gemeenschappelijke grensvlak van twee lineaire en isotrope media I en 11 is plat. Op het grensvlak bevindt zich overal even dichte oppervlaktelading. In het diëlektricum I is een uniform elektrisch vèld, waarvan de sterkte Ë1 is. De veldlijnen zijn naar het grensvlak gericht en maken een hoek van 30° met de normaal op dit vlak. In het diëlektricum 11 maken de veldlijnen een hoek van 60° met de normaal op het grensvlak. In I is Er =3; in 11 is Er = 12. a. Bereken de dichtheid van de vrije lading op het grensvlak van de media. b. Bereken de grootte en de richting van de polarisatie in elk van de media. c. Bereken de totale oppervlakteladingsdichtheid van de polarisatie)adingen in het grensvlak.
o
2.14. Wij onderzoeken het elektrische veld dat wo!:?t veroorzaakt door een permanent uniform gepolariseerde bol (straal R, polarisatie P). Deze bol is dus een elektreet. De oorsprong van het coördinatenste~el valt samen met het middelpunt van de bol; de z-as loopt in dezelfde richting als P . We gebruiken voor onze berekeningen het continuüm-model voor.de gepolariseerde materie. De ongepolariseerde bol wordt beschouwd als homogeen gevuld met een continu verdeelde positieve lading Q en een continu verdeelde negatieve lading -Q. De gepolariseerde toestand denkt men zich nu ontstaan door een zeer geringe verschuiving /1 f. van de centra S en T van de negatieve respectievelijk de · positieve ladingscentra ten opzichte van elkaar. Zie figuur 2.7 (waarin /1f. voor de duidelijkheid véél te groot getekend is!). Daardoor ontstaat aan de ene kant (links in figuur 2.7) een uiterst dunne laag "oppervlakte"-lading (negatief) en aan de andere kant een net zo dunne laag positieve lading. De dichtheid van die lading is op verschillende afstanden van de z-as uiteraard verschillend. On·s model moet aan de bol een even groot dipoolmomen~ toekennen als deze in werkelijkheid bezit. Daarom kiest men Q en /11 zodanig dat: Q./1:ë = P~1tR3 (= p).
x
z
y Figuur 2.7. Figuur bij v.raagstuk 2.14.
Figuur 2.8. Figuur bij vraagstuk 2.14.
· 24
Vraagstukken Elektriciteit en Magntisme
De veldst~rkte overal in de ruimte kan men nu op twee verschillende manieren berekenen: I. Door na te gaan welke veldsterkten door de beide oppervlakteladingen worden veroorzaakt. 2. Door uit te rekenen welke veldsterkten door de ladingscontinua, die in dit geval bolvormig zijn, worden veroorzaakt. Methode 1 is in dit vraagstuk alleen bruikbaar voor de berekening van de elektrische veldsterkte in de oorsprong. Methode 2 is in dit vraagstuk te gebruiken voor elk willekeurig punt. a. Ga na dat het veld buiten de bol kan worden beschreven als dat van een dipooltje met een dipoolmoment 15, dat zich bevindt in de oorsprong. b. Het veld in de bol is uniform. Om dit te bewijzen, berekenen we in een willekeurig punt A in de bol de veldsterkten Ë.- en veroorzaakt door de negatieve, respectievelijk de positieve ladingscontinua. Zie figuur 2.8. Bewijs dat:
IL.,
c. Ga na dat de totale veldsterkte in een willekeurig punt A binnen de bol is: E =-P/3E(j. d. Bereken de potentiaal als functie van de plaats (gebruik hiertoe de bolcoördinaten r en 9), zowel binnen als buiten de bol (stel V =0 in het x-y vlak). e. Ga na dat dit (met behulp van het continuüm-model gevonden) veld inderdaad voldoet aan de voorwaarde dat V continu is aan het grensvlak. f. Ga na dat dit veld ook voldoet aan de voorwaarde dat Dn continu is aan het grensvlak. g. Bereken de ladingsdichtheid crb van de oppervlaktelading als functie van 9. h. Bereken de totale positieve oppervlaktelading Q,. Er zijn twee methoden: 1. Integreren over het rechterdeel van het bol-oppervlak.
- -
2.1f. (-P).dS berekenen over een geschikt gekozen oppervlak.
s
l.
.
Ga na, welke relatie r =r(9) de veldlijnen buiten de bol beschijft.
o 2.15. Zie figuur
2.9. Een oneindig lange cilinder is uniform gepolaris~erd in een richting loodrecht op de cilinder-as. Bewijs, door ~t co~tinuüm-model van vraagstuk 2.14 te gebruiken, dat overal in de cilinder geldt: E =-P/2Eo.
Elektrostatische velden in diëlektrica
25
Figuur 2.9. Figuur bij vraagstuk 2.15.
2.16. (2.17) Zie figuur 2.10. a. Wat is het verband tussen de elektrische veldsterkten aan weerszijden van het grensvlak van een lineair isotroop diëlektrisch materiaal en vacuüm? Op het grensvlak is geen vrije.lading aanwezig. b. Op een afstand a van een puntlading +Q bevindt zich het platte oppervlak van een zeer groot stuk niet-geleidend materiaal (lineair en isotroop) waarvan de relatieve . permittiviteit Er is. Bereken de veldsterkte bij B (het voetpunt van de loodlijn uit Q . op het oppervlak) onmiddellijk buiten het materiaal.
a B ...---------------
+Q
Figuur 2.10. Figuur bij vraagstuk 2.16.
2.17. (2.18) Van twee concentrische metalen boloppervlakken A en B zijn de stralen respectievelijk 1 en 1,5 meter. De ruimte tussen de bollen denke men zich eerst opgevuld met een isotroop, lineair polariseerbaar medium waarvan de relatieve permittiviteit Er gelijk is aan 3. Men zet op deze condensator een spanning zodanig dàt VA - VB = 1000 volt. a. Bereken de lading van A. b. Bereken het elektrisch dipool moment per volumé-eenheid in een punt van het medium dat op een afstand r van het middelpunt ligt. c. Hoe groot is de dichtheid van de vrije lading op de binnenzijde van B, en welk teken heeft deze lading?
26
Vraagstukken Elektriciteit en Magntisme
De ruimte tussen de bollen denke men zich vervolgens geheel' opgevuld met een permanent gepolariseerd medium (elektreet). Men verbindt A en B geleidend. Van het medium is gegeven dat de polarisatie de richting heeft van 1, terwijl P aJr2 . d. Bereken de vrije lading aan de .binnenzijde van B, en geef ook het teken. (De functie P is hier,zodanig dat de "poissonladingen" alléén op het oppervlak van het medium optreden).
=
2.18. (2.19) Zie figuur 2.11. Een vlakke plaatcondensator bestaat uit twee vierkante platen met zijden a op onderlinge afstand b (b « a). De condensator is en blijft aangesloten op een spanningsbron met constante spanning Vo. Door een plaat met dikte b kan de ruimte tussen de platen geheel of gedeeltelijk worden opgevuld ·met een diëlektricum waarvan Er = 4. a + F
Uo
..
x
Figuur 2.11. Figuur bij vraagstuk 2.18,
a. Druk de waarde van de elektrische veldenergie Vel van de condensator uit in de . gegevens als het diëlektricum er voor een lengte x insteekt. Teken Vel(X)! 'b. Druk de lading Q op de geleidende platen van de condensator uit in de gegevens in de onder a beschreven situatie. c. Bereken de grootte van de kracht F waarmee het diëlektricum het veld wordt ingetrokken. 2.19. (2.20) Van twee concentrische dunne metalen boloppervlakken heeft het binnenste een straal Rl en het buitenste een straal R2. De buitenste bol is geaard (potentiaal nul); de binnenste heeft een lading Ql. In de ruimte tussen de bollen bevindt zich een ruimtelading met een overal even, grote dichtheid p. Men mag voor de tussenruimte Er = 1 stellen. a. Bereken de veldsterkte in de tussenruimte als functie van r. b. Bereken de lading Q2 van de buitenste bol. c. De in a berekende veldsterkte is te schrijven als: E=
~
+Br.
Elektrostatische velden in diëlektrica
27
Bereken de potentiaal van de binnenste bol, uitgedrukt in A, B, Rl en R2. d. Bereken de totale veldenergie (wederom uitgedrukt in A, B, Rl en R2). 2.20. (2.21) Zie figuur 2.12. Een metalen bol (straal R) is omgeven door een bolschil bestaande uit een homogeen, isotroop en lineair polariseerbaar diëlektricum met relatieve permittiviteit Er. Die bolschil heeft een buiten straal 2R. Op de metalen bol bevindt zich een vrije lading +Q.
Figuur 2.12. Figuur bij vraagstuk 2.20.
a.· Bereken de totale elektrische veldenergie in de gehele ruimte van 0 ~ r ~ 00.
b . Bereken de totale polarisatie-oppervlaktelading die zich bevindt aan de binnenzijde van de bolschil. c. Dezelfde vraag als bij b, maar nu voor de buitenzijde van de bolschil.
o 2.21. (2.22) Een diëlektricum is homogeen en isotroop, maar niet lineair. In het diëlektricum zijn Ê en î5 dus gelijk gericht. De relatie tussen hun grootten is: l-e-AE
D=eo(E + 1 +e-AE ' Eo). Hierin zijn A en Eo positieve constanten. a. Tot welke verzadigingswaarde nadert de elektrische polarisatie P als de veldsterkte in het medium sterk toeneemt?
B
Figuur 2.13. Figuur bij vraagstuk 2.21.
b. Zie figuur 2.13. Binnen het diëlektricum, nabij een punt B van het oppervlak is de grootte van de veldsterkte E = 1/A. De richting maakt met de naar binnen gerichte normaal in B een hoek ex, tan( ex) =~. Bereken de normale en tangentiële component van de veldsterkte buiten het diëlektricum in de onmiddellijke nabijheid van B.
28
•
Vraagstukken Elektriciteit en Magntisme
2.22. (2.23) Los het probleem van vraagstuk 2.14 nu op, door gebruik te maken van het gegeven dat vanwege de axiale symmetrie zowel buiten als binnen de bol (buiten echter met andere constanten dan binnen) geldt: V(r,S) = LAncnPn{ cos(S)} + LBnr
Pneu)
1 d 2 = -20 n.'dun (u _1)n, met u =cos(S), zodat:
Pol cos(S)}
•
1 2 =1, PI {cos(S)} =cos(S) en P2{ cos(S)}. =~3cos (S) -
1).
2.23. (2.24) Los het probleem van vraagstuk 2.15 nu op, door gebruik te maken van het gegeven dat vanwege de cilindersymmetrie zowel buiten als binnen de cilinder (buiten echter met andere constanten dan binnen) geldt: V(p,
+ L pO{ Ancos(n
+ ~>-n{ Cncos(n
•
2.24. (2.25) In een oneindig uitgebreid, oorspronkelijk unifomi, elektrisch veld (veldsterkt~~) in vacuüm plaatst men een ongeladen massieve rechte cirkelcilinder (lengte i, straal R « i) van lineair isotr~p homogeen diëlektrisch materiaal (relatieve permittiviteit Er), met de as loodrecht op Eo. Om het veld buiten de cilinder te kunnen beschrijven, maken we gebruik van cilindercoördinaten, waarbij de z-as samenvalt met de cilinderas. De oorsprong ligt in het midden van de cilinder. De x-as, loopt in de richting.van ~. Zie figuur 2.14.
Figuur 2.14. Figuur bij vraagstuk 2.24.
Elektrostatische velden in diëlektrica
29
Als men zich beperkt tot punten waarvoor p « l en Izl « l (zodat men de ffmdeffecten mag verwaarlozen) blijkt de potentiaal aldus van de plaats af te hangen:
v =Apcos(cp) voor p ~ R en
v =-Eopcos( cp) + ~ cos( cp) voor p ~ R. a. Bewijs dat deze potentiaal een oplossing is van de vergelijking van Laplace. b. Druk A en C uit in Eo ef\ R. c. Bereken de oppervlakteladingsdichtheid crb van de poissonlading op het cilinderoppervlak als functie van cp . .
N.B. In cilindercoördinaten is: 2
V f
ld
df
Id2f
=P dp (p dp ) + p2 dcp2
d2f + dz2 .
• .2.25. (2.26) Zie figuur 2.15. In een zeer groot stuk van een lineair isotroop homogeen diëlektricum heerst een, op het eerste gezicht uniform, elektrisch veld, waarvan de veldsterkte Êo is. De relatieve permittiviteit is Er. Bij nadere beschouwing blijkt dat zich ergens midden in het materiaal een kleine bolvormige holte bevindt met straal R en waarbinnen geldt: Er = 1.1n de buurt van deze holte is het veld anders dan op grote afstand waar de veldsterkte Eo is). Om het veld nabij en in de holte te beschrijven, maken we gebruik van de bolcoärdin aten ren (zie figuur 2.15). De z-as is zodanig gekozen dat yoor Êo kan worden geschreven: Êo =Eok. a. Aan welke voorwaarde voldoet het veld op het grensvlak holte-materie? b. Voor de potentiaal in de holte is de algemene oplossing (van de differentiaalvergelijking V2V =0):
e
--"z
Figuur 2.15. Figuur bij vraagstuk 2.25.
30
Vraagstukken Elektriciteit en Magntisme
• Vi=LCnr"Pn{cos9}.
o Voor de potentiaal Vu buiten de holte: Vu = -Eor cos 9 + LBnr
o De functies Pn(cos 9) 'zijn de polynomen van Legendre; zie hiervoor vraagstuk 2.22! In de hoop dat de oplossing niet zo gecompliceerd is als het lijkt, stellen we eerst de coëfficiënten Bn en C n alle nul voor n ~ 2. (Mocht de volgende beschouwing een oplossing geven die aan alle randvoorwaarden voldoet, dan stelt de eenduidigheidsstelling ons achteraf hierbij in het gelijk!). Voorts kiezen we.het vlak x = als nulvlak voor de potentiaal. Bereken nu (met behulp van de in vraag a genoemde voorwaarden) .de coëfficiënten Co, Ch Bo en BI' c. Druk de veldsterkte in de holte (Êï) uit in en Er. d. Schets het verloop van de Ê-lijnen in de omgeving van de holte en daarbinnen. e. Idem voor de D-lijnen. . /
°
Eo
•
2.26. (2.27) Zie figuur 2.16. Gegeven zijn de legendre-polynomen:
t
Po {cos(9)} = 1; PIt cos(8)} = cos(8); P2 {cos(9)} = (3cos 2(9) - 1).
y
Figuur 2.16. Figuur bij vraagstuk 2.26.
Als 9 = 0 is Pn{ cos(9)} = 1, vQOr alle n. In het xy-vlak van een cartesisch coördinatenste.lsel bevindt zich een dunne ring met een daarover uniform verdeelde lading Q. De straal van de ring is a. Het middelpunt valt samen met de oorsprong van het coördinatenstelsel. a. Bereken de potentiaal in een punt (O,O,z) op de z-as door uit te gaan van de uitdrukking voor de potentiaal van een puntlading.
Elektrostatische velden in diëlektrica
31
b. Geef drie termen van de reeksontwikkelingnaar (aJz)2 voor de onder a berekende potentiaal als z > a; dat wil zeggen als aJz zeer klein is.
c. Aan welke vergelijking moet de potentiaal in het gebied buiten de ring voldoen? d. Hoe gedraagt zich de potentiaalfunctie voor r ~ oo? Op grond vim axiale symmetrie van het probleem is de algemene oplossing van de onder c bedoelde vergelijking: V(r,a)= L(Anrn + Bnr-
e. Geef de oplossing V(r,a) die voor r ~ 00 het onder d bedoelde gedrag vertoont. Beperk u tot de eerste drie termen van die reeks.
•
2.27. (2.28) Een homogene bol van lineair en isotroop materiaal heeft een straal R. De relatieve permittiviteit is Er- Er is in het materiaal ook een vrije lading Qy, die zodanig over. het volume van de bol verdeeld is dat de polarisatie-vector gegeven wordt door:
Hierin is C een constante en r de plaatsvector vanuit het middelpunt van de bol getekend naar een willekeurig punt binnen die bol. a. Welke betrekking bestaat er tussen Ë en P? b. Bereken de dichtheid pvCr) van de vrije ruimtelading binnen de bol. c. Bereken de lading Qy. d. Bereken de polarisatie-(geboI)den)-ruimteladingsdichtheid Pp binnen de bol. e. Hoe groot is de polarisatie-oppervlakte ladingsdichtheid O'p op het oppervlak van de bOl? N.B. Bij de beantwoording van b en d mag u eventueel gebruik maken van: 1 d V·{f(r) L} =2" -d (r2 f(r»). r r r
2.28. (2.29) Zie figuur 2.17. Wij bekijken in vacuüm een holle rechte
cirkelcili~er
van diëlektrisch materiaal dat permanenent gepolariseerd is. De polarisatievector P is overal in het materiaal dezelfde; Pis evenwijdig aan de cilinderas naar rechts gericht. . De straal van de holte is R, de buitenstraai is 2R en de lengte is 6R.
Figuur 2.17. Figuur bij vraagstuk 2.28.
32
Vraagstukken Elektriciteit en Magntisme ~
a. Bereken de elektrische veldsterkte Eç in de holte op de as in het midden C van de holle cilinder. NeeII\ vervolgens aan dat deze veldsterkte Eç overal binnen in de holte bestaat. b. Bereken dan de totale elektrische veldenergie in de holte. c. Bereken binnen het materiaal. . d. Wat is het teken van de elektrische veldenergie in het diëlektricum? Antwoord toelichten!
D
2.29. Zie figuur 2.18. Een rechte cirke1cilinder (straal R en lengte eveneens R) is permanent gepolariseerd. De polarisatievector is: P(x) =Po - (xIR)Po; 0 < x < R. De vector P wijst in de richting van de positieve x-as en is alleen een functie van x.
_J: ..
R
..
Figuur 2.18. Figuur bij vraagstuk 2.29.
De coördinaat x wijst vanuit het midden 0 van het linker zijvlak in positieve richting naar rechts. a. Wat is de grootte en het teken van polarisatieladingsdichteden (poissonlading) op het linker, respectievelijk het rechter zijvlak? b. Hoe groot is de elektrische veldsterkte Ep in het materiaal op de as, in het punt 0'; als gevolg van de poissonlading als onder a berekend? HOe is deze Ep gericht? 0' ligt een fractie rechts van O. c. B6reken pp. Wat is het teken van pp? Wij onderzoeken nu de bijdrage Er die deze ruimtelading geeft tot het totale veld in het punt 0'. d. Hoe is Er in 0' gericht? e. Bereken de bijdrage dEr in 0' als gevolg van een cilindrisch plakje (straal R, dikte dx) met de ruimteladingsdichtheid Pp' Het plakje bevindt zich op x van O. f. Bereken de totale elektrische veldsterkte in 0'.
33
3 Elektrische stromen 3.1. Door een cilindrische draad met straal R gaat een stroom evenwijdig aan de as; de stroomdichtheid J is een functie van de afstand r tot de hartlijn van de draad: J = !i·r . waarbij r ~ R. Bereken de stroomsterkte I. 3.2. Uit een verwarmde metalen plaat A ontsnappen elektronen (beginsnelheid:::: 0) naar een recht tegenover A (op korte afstand l), evenwijdig aan A opgestelde metalen
v
plaat B. De snelheid van de elektronen blijkt als volgt af te hangen van hun afstand x . tot plaat A: ax213 waarin a een positieve constante is en x ~ l; wijst van A naar B. Per seconde en per m 2 ontsnappen n elektronen uit plaat A; de lading van een elektron is ~. De toestand is stationair. a. Bereken de stroomdichtheid. b. Bereken de ruimteladingsdichtheid P als functie van x.
v=
T,
T
3.3. Tussen twee concentrische metalen boÏlen A en B (RA < RB) vloeit een stationaire elektrische stroom. Bol A zendt namelijk N elektronen per tijdseenheid uit die radiaal van A naar B bewegen (de lading van een elektron is ~). a. Bereken de stroomsterkte. b. Bereken de stroomdichtheid als functie van de afstand r tot het middelpunt van de bollen.
3.4. Zie figuur 3.1. Een lange cilindrische metalen draad (straal RI) is omgeven door een (even lange) coaxiale metalen cilindermantel (inwendige straal R2); de ruimte tussen draad en cilindermantel is materievrij. Door verhitting van de draad komen er per tijdseenheid en per lengte-eenheid N elektronen (elk lading~) vrij, die zich langs de kortste weg naar de cilindermantel begeven. De toestand is stationair.
Figuur 3.1. Figuur bij vraagstuk 3.4.
a. Bereken de grootte van de stroomdichtheid in de onmiddellijke nabijheid van het oppervlak van de draad. b. De ruimteladingsdichtheid nabij de draad noemen we PI; de snelheid waarmee de elektronen uit de draad komen is VI; nabij de omhullende cilindermantel is de
34
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
ruimteladingsdichtheidp2 en de snelheid der elektronen V2. Welke relatie bestaat er tussen PI, P2, VJ, V2, RI en R2?
3.5. In vacuüm bevinden zich, gelijkmatig over de ruimte verdeeld, per volume-eenheid N elektronen (lading -e, gemiddelde snelheid (v I» en N protonen (lading +e, gemiddelde snelheid \v2». Bereken de stroomdichtheid voor het geval dat (VI) =-
3.7. a. Iemand beweert, voor de stroomdichtheid in eén deel van een geleidend medium, waarin een stationaire elektrische stroom loopt, ten opzichte van een cartesisch assenstelsel te hebben gevonden: j = (3x 2,-6xy,z2). Ga na, waarom dit niet juist kan zijn. b. Wel mogelijk is j (3x2,-6xy,O). Ga na aan welke vergelijking çle stroomlÎjnen in dit geval voldoen . .
=
3.8. Tussen twee vlakke, evenwijdige platen A en B wordt een stroom van elektronen onderhouden. Voor de snelheid van de elektronen geldt: = vi waarbij de x-as loodrecht op A en B staat; x =0 voor 'plaat A en x =d voor plaat B. Per tijd- en per oppervlakte-eenheid verlaten n elektronen plaat A; de lading van een elektron is -e. Stel dat op zeker tijdstip geldt: j -
v
=
3.9. Een gelijkmatig met elektrische lading bedekte, cirkelvormige platte schijf (opperv~akteladingsdichtheid
cr, straal van de schijfR) draait met hoeksnelheid 00 om een as door het middelpunt. De as staat loodrecht op de schijf. a. Hoe hangt de grootte van de oppervlaktestrooindichtheid Ä in een punt van de schijf af van de afstand r tot het middelpunt? [A] =[1][ l . b. Bereken de totale stroomsterkte door een niet meedraaiende straal.
.er
3.10. Zie figuur 3.2. Een platte ronde doos is van zeer dun metaal gemaakt.· De . straal van deksel en bodem is a, de hoogte van de doos is h, de dikte van het materiaal is d; d « a en d « h. De soortelijke weerstand is Tl. Twee rechte staven, waarvan de
Elektrische stromen
35
doorsneden cirkelvormig zijn met straal b, zijn coaxiaal met de doos op deksel en . bodem gelast. De doos is hol. A
B
a
Figuur 3.2. Figuur bij vraagstuk 3. JO.
Een elektrische stroom I gaat door de ene staaf naar de doos toe en door de andere ' staaf van de doos af, van A naar B. a. Bereken de gemiddelde stroomdichtheid in d: staven. . b. Bereken de grootte van de stroomdichtheid J in een punt van het deksel, dat een afstand r tot de as heeft. e. Bereken het potentiaalverschil VA - VB ..
3.11. a. Bereken de substitutiegeleiding in de gevallen van figuur 3.3a.
Figuur 3.3. a. Figuur bij vraagstuk 3.lla.
b. Bereken de substitutieweerstand in de gevallen van figuur 3.3b.
R3
Figuur 3.3. b. Figuur bij vraagstuk 3.11 b.
3.12. Zie figuur 3.4. Bereken de stroorIiverdeling en bereken de vervangingsweerstand van het netwerk gezien aan de klemmen a en b. 3.13. Zie figuur 3.5. Bereken de stroomverdeling.
3?
Vraagstukken Elektriciteit en Magnf/tisme
Hl
a + 99V b Figuur 3.4. Figuur bij vraagstuk 3.12.
1A
+
Hl
1V
Figuur 3.5. Figuur bij vraagstuk 3.13.
+ 1V
Figuur 3.6. Figuur bij vraagstuk 3.14.
3.14. Ziéfiguur 3.6. Bereken de spanning over en de stroom door elk element in de schakeling van figuur 3.6. Welk vermogen levert elk der respectieve bronnen?
3.15. Zie figuur 3.7. Bereken UI en U2. 1V +
u,
2V
Figuur 3.7. Figuur bij vraagstuk 3.15.
3.16. Zie figuur 3.8. Bereken 11 en
Figuur 3.8. Figuur bij vraagstuk 3.16.
h.
Elektrische stromen
3.17. Zie figuur 3.9. Bereken de stroomverdeling.
+
Figuur 3.9. Figuur bij vraagstuk 3.17.
37
38
4 Het magnetische veld van stationa i re stromen 4.1. Bereken met behulp van de wet van Biot en Savart, de magnetische tluxdichtheid B in een punt gelegen op een afstand R van een oneindig lange rechte en zeer dunne draad, waardoorheen een stroom I vloeit.
4.2. Zie figuur 4.1. Door een in de vorm van een cirkel met straal R gebogen metalen draad gaat een stroom I. Op een afstand z van het middelpunt van de cirkel ligt op de as een punt P. tan(ep) =Rlz.
.,
Figuur 4.1. Figuur bij vraagstuk 4.2.
Bewijs dat in P geldt: Ep
=Ilo 2k sin3(y) k.
o 4.3. Op grote afstand z op de as van de stroomkring van vraagstuk 4.2 kan men schrijven: Bp = Azm• Bereken A en m. Zie vraagstuk 4.23. o 4.4. Leid door het toepassen ~an de stelling:4f. E·dS = 0 af dat in het geval van de
s
situatie geschetst in vraagstuk 4.2 in het punt Q, op afstand p van de as (z z) de component Bp loodrecht op de as gegeven kan worden door:
»
R, p
«
3J.1oPIR2 Bp =
4z4
Zie ook vraagstuk 4.23.
4.5. Zie figuur 4.2. Door een spoel (lengte l, diameter 2R) die dicht bewikkeld is met n windingen gaat een stroom I. a. ' Bereken de. magnetische tluxdichtheid Bp in een punt P ergens op de as van de spoel gelegen. b. Doe hetzelfde als P in het midden van de as van de spoel is gelegen. e. Als we aannemen dat de spoel zeer lang en slank is, 'wat is dan Bp:
Het magnetische veld van stationaire stromen
39 '
1. in het inidden van de spoel; 2. bij één van de uiteinden?
Figuur 4.2. Figuur bij vraagstuk 4.5.
4.6. Door twee evenwijdige lange rechte metalen draden lopen tegengesteld gerichte elektrische stromen. De stroomsterkten zijn 11 en !z; de afstand tussen de draden is a. Bereken de kracht die de ene draad op een lengte f van de andere draad uitoefent. Hoe is deze kracht gericht.
4.7. Zie figuur 4.3. Twee zeer limge draden kruisen elkaar loodrecht op een afstand a. Door de ene draad gaat een stroom IJ, door de andere!z.
a
I, ®- - - - - - - - 0
2/
Figuur 4.3. Figuur bij vraagstuk 4.7.
Bereken de kracht en het krachtmoment dat de oneindig lange draad niet stroom 11 uitoefent op een stuk 2f van de andere draad met stroom 12. Het stuk 2f is zodanig gekozen dat de eerste draad in het middelloodvlak ligt.
....
4.8. In een uniform magnetisch veld met fluxdichtheid B bevindt zich een willekeurige vlakke gesloten kromme, bestaande uit een metalen draad, waarin een stroom 1 vloeit. B is evenwijdig met.het vlak van de kromme, die een oppervlakte S heeft. Welke kracht en welk krachtmoment wordt op de stroomkring uitgeoefend?
4.9. Zie figuur 4.4. Een rechte draad AB met lengte f en een zeer Iimge draad liggen in één vlak en staan loodrecht op elkaar. Het uiteinde A van AB bevindt zich op een afstand a van de lange draad. Door beide draden gaat een stroom I.
40
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
a I
A ~I-----.~----~ B
Figuur 4.4. Figuur bij vraagstuk 4.9.
a. Hoe groot is de resulterende kracht op AB? b. Hoe groot is het resulterende krachtmoment op AB ten opzichte van A? c. Waar grijpt die kracht aan? Neem a R..
=t
4.10. Zie figuur 4.5. Door een zeer lange, dunne horizontale metalen band (breedte b) loopt een elektrische stroom. De oppervlaktestroomdichtheid j s is overal in de band dezelfde ( j s is in de lengte van de band). Voor de stroomsterkte geldt dus I =Jb. •I P I I I
I~
I C I
I
i"
______ L _____ _ b Figuur 4.5. Figuur bij vraagstuk 4.10.
Bereken hoe groot de magnetische fluxdichtheid Bis in een punt P, dat zich op een afstand c recht boven het midden van de band bevindt. Geef ook een benaderde uitdrukking voor de gevallen c» b en c «b. 4.11. Men beschouwt een stationaire stroom van elektronen in vacuüm. Men denkt zich ergens in dat deel van de ruimte, waar deze stroom loopt, de oorsprong van een cartesisch coördinatenstelsel. Voor het door de elektronen stroom opgewekte magnetische veld blijkt - in een begrensd gebied rond de oorsprong dat geheel in de elektronenstroom ligt - te gel~en:
Het magnetische veld van stationaire stromen
41
Bx =-ay - by ...j x 2 + y2 ; By =+ax + bx ...j x2 + y2 ; Bz =0. Bereken de stroomdichtheid J
=J(x,y,z) in dat gebied.
4.12. In een luchtledige ruimte bewegen elektrische ladingen. De stromen zijn stationair zodat het magnetische veld geen functie is van de tijd. . Voor de magnetische tluxdichtheid geldt in een begrensd gebied rond de oorsprong:
B= ~({ a(x2 + y2) + bx} T+ (cxY)T + fzk); a, b, c en f zijn constanten. a. Druk c en f uit in a en b. b. Bereken de stroomdichtheid 1.
4.13. Wij beschouwen in een driedimensionale ruimte alleen dát deel waarvoor x > O. In dat deel van de ruimte geldt - voor niet ál te kleine r - dat de magnetische tluxdichtheid voldoet aan: -+
roT
B'Y' =~ \J) r2 r ' C > 0 en T is de plaatsvector vanuit de oorsprong. a. Wat is de dimensie van de constante C, uitgedrukt in de basisgrootheden massa (M), lengte (L), tijd (T) en stroomsterkte (I)?
v
Va x z Figuur 4.6. Figuur bij vraagstuk 4.13.
Zie figuur 4.6. Voorts wordt nu gegeven dat wij een punt P beschouwen met coördinaten (xo,Yo,O) met Yo > O. In het punt P bevindt zich op het tijdstip t =0 een elektron (massa m, lading --e). Het elektron heeft op da.t moment een snelheid = vok. Wij willen het elektron laten lopen in een cirkelvormige baan met straal Yo en met het
v
42
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
middelpunt op de x-as. Om het elektron in die baan te houden is naast het magnetische veld ook nog een uniform elektrisch veld ~ nodig. b. Bepaal de richting van het elektrische veld. c. Bereken de grootte van voo d. Maak een schets van de situatie, met enkele magnetische veldlijnen en geef globaal (zonder berekening) aan welke baan het elektron ongeveer zal doorlopen voor t > 0, als het elektrische veld niet aanwezig is. Beredeneer waarom u de baan zo schetst. Opmerking. In het magnetische veld van de aarde kunnen aldus geladen deeltjes, uitgestoten door de zon, bij de polen bewegen. Bij de evenaar kunnen zij ingevangen worden door het veld (van AIIengordels). Ook bij kernfusie gebruikt men magnetische velden om éen plasma op te sluiten.
4.14. Wat is de snelheid van een bundel elektronen als de gelijktijdige invloed van een elektrisch veld (E = 3,4x 105 Vlm) en een magnetisch veld (B = 2,Ox 10-2 T) (beide loodrecht op de bundel en op elkaar), geen afbuigingen van de elektronen veroorzaakt? 4.15. Zie figuur 4.7. Een geladen deeltje (massa m, lading q) passeert op t = 0 de oorsprong van een rechthoekig coördinatenstelsel met een snelheid =(t~ vO,O'l~ vo) . . Het deeltje beweegt in een uniform magnetisch veld met een fluxdichtheid B= (O,O,-Bo), Bo > O.
v
y
,/
,/ ,/
.x
z Figuur 4.7. Figuur bij vraagstuk 4.15.
a. Bereken de kracht Fdie het deeltje op t =0 ondervindt. b. De projectie van de baan van het deeltje op het x-y-vlak is een cirkel met straal R. Bereken R. c. Schets de baan van het deeltje voor t > O.
4.16. Een vlakke niet geleidende cirkelvormige schijf, die aan één zijde homogeen met lading bedekt is, wentelt eenparig om een as door het middelpunt en loodrecht op het vlak van de schijf. De oppervlakteladingsdichtheid is cr. De straal van de schijf is R. De hoeksnelheid is 0). a. Bereken de magnetische fluxdichtheid in een punt van de as op een afstand x van
Het magnetische veld van stationaire stromen
43
het middelpunt. b. Bereken de magnetische tluxdichtheid in het middelpunt van de schijf.
4.17. Een stroomdraad is opgerold tot een platte spiraal, zie figuur 4.8. Het aantal windingen (no) is zeer groot, zodat elke omloop kan worden benaderd door een cirkel.
· I
Figuur 4.8. Figuur bij vraagstuk 4.17.
De straal van de binnencirkel is a en van de buitencirkel b. Het middelpunt is C. Door de draad loopt een stroom I. Bereken de magnetische tluxdichtheid Be in C.
4.18. In een beperkt deel van een luchtledige ruimte heeft men een uniform elektrisch veld Ë en loodrecht daarop een uniform magnetisch veld B. B= (Bo,O,O) en Ë = (O,Eo,ü). a. Een deeltje met massa m en lading q > 0 passeert op t =0 de oorsprong met snelheid Vo =(vo,O,O). Laat zien, dat voor t > 0 geldt: Vx
=vo; ·
vy
O . (~ ) =~ B sm m t; Vz =~ B [ cos (qB l i l t) 0 0
- 1] . .
b. Een deeltje met massa m en lading q > 0 voert een eenparige rechtlijnige beweging . uit in dit elektromagnetische veld. Ga na, wat zijn snelheid v is. Ga na welke minimumwaarde de snelheid v dan moet hebben. 4.19. In een stationair uniform magnetisch veld B beweegt een geladen deeltje (lading q, massa m) waarvan de. snelheid als functie van de tijd ten opzichte van een cartesiSch coördinatensteisel is:
v= (vQCos( rot),-avosin(rot),bvosin(rot»; ro, a en b zijn constanten, ongelijk aan nul.
_
a. Bereken de componenten Bx, By en Bz van B. Aanwijzing: bedenk dat de drie vergelijkingen die u krijgt voor Bx, By en Bz en die . sin(rot) en cos(rot) bevatten, een identiteit zijn voor alle waarden van t.. b. Welke relatie bestaat er tussen a en b?
44
Vraagstukken Elekt(iciteit en Magnetisme
4.20. Zie figuur 4.9. In een lange rechte geleider met rechthoekige doorsnede vloeit een stroom I. De stroomdichtheid is overal dezelfde. In de geleider bevinden zich n geleidingselektronen per volume-eenheid. De lading van een elektron is -e; de driftsnelheid er van is v. Wij bekijken het hall-effect (gevonden door E.H. Hall in 1879). p
,/
--+
B
Q
Figuur 4.9. Figuur bij vraagstuk 4.20.
a. Bereken de snelheid v. Vervolgens brengt men loodrecht op de geleider een uniform magnetisch veld Baan; zie de figuur. Als gevolg van de kracht op de ladingsdragers ontstaat er in de stationaire situatie die zich nu instelt een spanning tussen de klemmen P en Q. Deze liggen recht tegenover elkaar. b. Bereken de grootte van die (hall-)spanning UH. c. Welke klem heeft de hoogste potentiaal? d. Hoe ZOu het antwoord op c zijn als de lading +e zou zijn? N.B. Hiermee kan men laten zien of elektronen dan wel "gaten" de meerderheidsladingsdragers zijn van de stroom I. 4.21. Teneinde de grootte van UH te bekijken kan men, uitgaande van de situatie van vraagstuk 4.20: a. een stroom van 5A laten gaan door een band met doorsnede 1 bij 10 mm; b. een stroom van 5A laten gaan door een band met doorsnede 0,5 bij 20 mmo In welk geval verkrijgt men de grootste UH?
4.22. Zie figuur 4.10. Evenwijdig aan elkaar liggen in één plat vlak een zeer lange rechte dunne draad D en een zeer lange platte koperen strip S. De dikte van de strip is h en de breedte is a; h « a. De afstand tussen D en S is a. Door de draad vloeit een stroom I. Door de strip vloeit een stroom i, waarbij de stroomdichtheid j in de strip overal gelijk is (i « I). In het koper van de strip nemen N vrije elektronen per m3 deel
Het magnetische veld van stationaire stromen
45
aan de geleiding. De lading van het elektron is -e; de driftsnelheid van de elektronen is
v. a. Bereken v als functie van j, N en e. b. Bereken de kracht, die een geleidingselektron in de strip ondervindt tengevolge vim het magnetische veld van de draad op de plaats met de coördinaat x; zie figuur 4.10.
p
D
a
1
I..
a
Figuur 4.10. Figuur bij vraagstuk 4.22.
c. Bereken het potentiaalverschil tussen de punten ~ en Q (de hall-spanning) in de gegeven situatie. d. Bereken de kracht, die S per lengte I in de gegeven situatie van de stroom inD ·ondervindt.
•
4.23. Zie figuur 4.11. Door een cirkelvormig (straal R) gebogen metalen draad vloeit een stroom I. Op grote afstand z vanaf het middelpunt 0 ligt op de as een punt P. Bp K
~L_~
Bz
p p
Figuur 4.11. Figuur bij vraagstuk 4.23.
-= -
Bereken met behulp van B rot(A) de componenten Bp en Bz van de magnetische fluxdichtheid in een punt K dat loodrecht boven P ligt (p « z en z » R). Druk Bp en Bz uit in Ilo, I, R, P en z. Bereken Bij).
46
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
U kunt gebruik maken van het gegeven dat voor de stroomkring (magnetische dipool) geldt, mits z » R:
.....
.... !lom x I . .
A
=
41tf3
PI
Pepl
ZI
.....1 . à =P àp
à àep
à àz
,terwIJl V x A
Ap pA, Hierin is
~
m=1tR2IZI' Zie ook vraagstuk 4.3 en 4.4.
•
4.24. In de situatie van vraagstuk 4.23 met de kringstroom I in 0 plaatst men coaxiaal op een afstand z een tweede cirkelvormige kring met straal R in P. Bereken de flux «I> die door de kring met straal R wordt omvat. Ook hier geldt R « z.
•
4.25. Zie figuur 4.12. Men heeft twee evenwijdige lange dunne draden, waardoor even grote stromen I vloeien. De stroom I 1 in de geleider GI loopt in de richting van de positieve z-as, de stroom 12 in de geleider G2 (afstand 00' = R) loopt in de richting van de negatieve z-as. a. Bereken Bx, By en Bz door gebruik te maken van de vectorpotentiaal in een punt P(x,y,O), buiten de draden gelegen. Van het punt P is gegeven, dat het ligt in het middelloodvlak van de draden en dat de afstand OP veèl kleiner is dan de lengte van de draden. Aanwijzing: 1. Bereken daartoe eerst de vectorpotentiaal in een punt P (zie figuur 4.12) van stroomdraad G I met lengte 2L. 2. Bereken dan de totale vectorpotentiaal van de twee stroomdraden elk met lengte 2L, rekening houdend met de richting van de stroom door elk der draden. Men kan nu aantonen dat voor (x2 + y2)fI}« 1 geldt: ~
Az
=~ ln(2 + (R 41t
y)2). x2 + y2
b. De gevraagde fluxdichtheid Bkunt u op eenvoudiger wijze vinden door toepassing van de circuitregel van Ampère. Ga dit na en controleer hiermee uw antwoord op vraag a: .
4.26. Door een lange cilindrische buis (binnenstraaI Rio buitenstraaI R2) van niet magnetiseerbaar materiaal gaat een stroom 1. De stroomdichtheid is overal evengroot. Bereken de magnetische fluxdichtheid in een punt dat op een afstand r van de as van · de buis verwijderd is. Onderzoek de gevallen r < Rio Rl < r < R2 en r > R2. Geef grafisch het verloqp van de fluxdichtheid als functie van r . .
Het magnetische veld van stationaire stromen
IGn I
[=[,
L
i
L
x dl
R (a)
z
t
[lr
x dl (b)
Figuur 4.12. Figuur bij vraagstuk 4.25.
47
48
5
.
Stationaire magnetische velden In magnetiseerbare ,materie 5.1. Zie figuur 5.1 en 5.2. In een punt A op afstand a van een zeer lange rechte stroomvoerende draad (stroomsterkte I) ligt een zeer kl~ine vlakke kringstroom, te beschouwen als een magnehsche dipool met dipoolmoment in de z-richting. Kringstroom en draad liggen in één vlak. De vector k wijst naar links. Voor de magnetische dipool geldt:
m
- = ISk mdef = IS
Verder geldt op voldoende grote afstand van m:
B = Ilo 2m cos(9) r
41t r 3
Ilo m '. (8) . B a=--sm 41t r 3 B
Figuur 5.1. Figuur bij vraagstuk 5.1 .
.. a. BeWIJS: Bp =-
Figuur 5.2: Figuur bij vraagstuk 5.1.
/lom2 3/2 . k.
2
41t(a + x )
b. Bereken de grootte van de kracht op de rechte stroomdraad. c. Beredeneer, welke richting de in b. bedoelde kracht heeft.
5.2. De as van de vlakke cirkelvormige kringstroom (stroomsterkte 11, straal a) valt samen met de as van een tweede cirkelvormige kringstroom (stroomsterkte h, straal b). De afstand tussen de middelpunten van beide kringstromen is x =c. Beide stromen lopen in dezelfde zin. ·Omdat b « a en b « c, mag de tweede kringstroom worden
Stationaire magnetische velden in magnetiseerbare materie
49
-
opgevat als een magnetische dipool. a. Bereken de grootte van de magnetische fluxdichtheid B in het middelpunt van de eerste kringstroom. b. Bewijs dat de grootte van de kracht, die de krings.tromen op elkaar uitoefenen is: 31tlloIlI2a2b2c 2(a2 + c2)512 . N.B. Voor gegevens omtrent het veld van een magnetisch dipool, zie vraagstuk 5.l.
5.3. Zie figuur 5.3. Een cilindervormige magneet is uniform gemagnetiseerd in een met de as evenwijdige richting. De magne!!satie is M. Leid af dat de magnetische veldsterkte Hp in een binnen de magneet en op de as cos (a) + cos(p) - I} M. gelegen punt P gelijk is aan
t
{t
..
f.
, \
,
\
"
I
, , '
/
- - -:- - - - - }!!'-'--.!- ~ : ---+M P I I I
Figuur 5.3. Figuur bij vraagstuk 5.3.
5.4. In een uniform in de richting van de as gemagnetiseerde massieve cilinder is de magnetisatie M 107/41t (Alm). De lengte van de magneet is 1= 10 cm; de oppervlakte van de dwarse doorsnede S 1 cm2. a. Bereken de magnetische veldsterkte H in Alm in een punt op het verlengde van de as van de cilinder, 1 meter afstand van het centrum. Ilo 41t ·· 10-7 (Hlm). b. Bereken de magnetische fluxdichtheid B llo(ÏÎ + hl) in het midden van deze permanente magneet. Merk daarbij op, dat in het midden van de magneet H verwaarloosbaar klein blijkt te zijn ten opzichte van M.
=
=
=
=
5.5. a. Bereken voor de magneet van vraagstuk 5.4 de magnetische fluxdichtheid Bin een punt vlak bij het midden van een uiteinde van de magneet. b. Bereken met behulp van dit resultaat, de kracht die nodig is om twee van deze magneten, die met tegengestelde polen op uiterst kleine afstand tegenover elkaar liggen, van elkaar weg te trekken. Aanwijzing: bereken e~rst de magnetische veldenergie in de ruimte tussen de twee magneten als deze een zeer smalle spleet is met breedte x «R (de straal van de dwarse doorsnede van de magneet).
50
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
5.6. Zie figuur 5.4. Binnen een uniform gemagnetiseerde bol met magnetisatie Mis overal de magnetische veldsterkte H =- M. De bol bevindt zich in vacuüm.
t
D I I I I
;' ;'
~~;'_\ ~-
A
~
M
Figuur 5.4. Figuur bij vraagstuk 5.6.
a. Geef de grootte en richting van
Hen Bin de punten A en D uitgedrukt in de
magnetisatie hl (A en D liggen direct buiten de bol). b. Doe hetzelfde voor een willekeurig punt P juist buiten de bol gelegen.
5.7. Zie figuur 5.5. Twee identieke schijven P en Q zijn uniform gemagnetiseerd. De straal van de schijven is R, de dikte is h, (h «R). De assen van P en Q vallen samen· en de afstand tussen de schijven is R. De magnetisatievector in P èn in Q is Men is in beide schijven gericht in de positieve x-richting. Een punt C van het deel van de as tussen P en Q ligt nog juist buiten de schijf Q. a. Bereken de magnetische tluxdichtheid B in het punt C. b. Welke richting heeft de magnetische veldsterkte H in een punt van de as juist binnen de schijf Q?
R
-. x
.,. Figuur 5.5. Figuur bij vraagstuk 5.7.
R
.
",WI""''''
Stationaire magnetische velden in magnetiseerbare materie
51
5.8. Zie figuur 5.6. a. Wanneer door een cirkelvormige kringstroom met straal R een stroom van de sterkte 1 gaat, wordt de grootte van de magnetische tluxdichtheid Bin een punt op de as op afstand z van het middelpunt van de kringstroom gegeven door:
- -
- liP__ ::-;::. p
Figuur 5.6. Figuur bij vraagstuk 5.8.
B
T d· , = 2(RJloIR2 2 + z2)3/2· oon lt aan.
b. Een uniform gemagnetiseerd stuk materiaal heeft de vorm van een afgeknotte kegel. De magnetisatie hl is evenwijdig aan de as. De stralen van grond- en bovenvlak zijn respectievelijk Rl en R2. De hoogte i~ h, en cp is de halve tophoek van de kegel. Bereken de magnetische tluxdichtheid B in de top van de kegel. c. Als Rl en R2 voorgeschreven waarden hebben, hoe groot moet dan h zijn om bij . gegeven magnetis'atie hl in de top P een zo groot mogelijke magnetische tluxdicht- . . heid Bte verkrijgen? 5.9. Zie figuur 5.7. Een stalen cilinder (lengte I; straal van de cirkelvormige doorsnede is R «l) is permanent gemagnetiseerd. De magnetisatie·hl is uniform en staat loodrecht op de cilinder-as ( in het figuur is hl horizont~l).De cilinder is in lucht geplaatst. Volgens het model van Ampère kunnen wij, om B te berekenen, de stalen cilinder vervangen denken door een lege huls waarlangs oppervlakte-stromen lopen. In de getekende situatie lopen die stromen ~an de bovenkant van de cilinder naar de lezer toe, en aan de onderkant van de lezer af.
Figuur 5.7. Figuur bij vraagstuk 5.9.
52
. Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
Voor een "plak" van de cilinder, met lengte l, breedte 2R sin(cp) en dikte dx geldt, dat deze (om Bte berekenen) kan worden vervangen door een lange rechte stroom dIm aan de bovenkant en een lange rechte stroom dIm aan de onderkant.
a. Voor deze stroom geldt: dIm =tM dx waarin f een constante is. Bereken f. b. Bereken, met behulp van dit model de, magnetische fluxdichtheid Bin het midden van de cilinder.
Figuur 5.8. Figuur bij vraagstuk 5.9.
c. Gegeven is nog, dat het magnetische veld in de cilinder (afgezien van de randeffecten aan de uiteinden) uniform is. Bereken de grootte van de veldsterkte Hp in het punt P, dat onmiddelijk buiten de cilinder ligt (zie figuur 5.8).
•
5.10. In een homogeen stuk paramagnetisch mate~aal (relatieve permeabiliteit Jlr) bestaat een uniform magnetisch veld met veldsterkte Ho. In het materiaal bevindt zich een kleine luchtbel met straal R. Beschouw lucht als een ver van de luchtbel. 3 vacuüm. is alleen a. Bewijs dat de veldsterkte in de bel gelijk is aan: 2 Jl~1 b.. Ber~ken de veldenergie in de bel. Jlr
H
•
Ho,
5.11. Zie figuur 5.9. In een uniform magnetisch veld (veldsterkte Ho) in de lucht (Jlr = 1) plaatst men een bol (straal R) die bestaat uit homogeen, isotroop, lineair magnetiseerbaar materiaal (relatieve penileabiliteit Jlr). De 001 wordt daardoor uniform gemagoetiseerd (magnetisatie M). Voor hl geldt: (Dit behoeft u niet te bewijzen). Voor de magnetische veldsterkte buiten de bol geldt:
C
Hr
=(Ho + r31 ) cos(9)
Ha
=(- Ho + ~;) sin(9).
en:
Stationaire magnetische velden in magnetiseerbare materie
53
x
z 1
/
1/ /
y
Figuur 5.9. Figuur bij vraagstuk 5.11.
Hierbij zijn bolcoördinaten gebruikt; 8 =0 geeft de richtin[ aan van Ho. a. Bereken Cl en C2. U mag aannemen dat in de bol het B-veld uniform is. b. Toon aan, dat het veld binnen de bol kan worden beschreven door de magnetische .... 1 .... vectorpotentiaal A =2" B x r.
•
5.12. Een b0"!y0rmige permanente magneet, straal b, is uniform gemagnetiseerd met magnetisatie M. a. Toon aan dat het veld buiten de bol hetzelfde is als dat van een dipool met . magnetisch moment m=r1tb3~i 2 3 b. Toon ook aan dat Hp2 = (3 cos (8) + 1) {Mb3/3r }2 voor een punt P buiten de bol. Daarbij is r gemeten vanuit het midden van de bol en is 9 de hoek die r maakt met de richting van de magnetisatie. c. Als a de hoek is, die een veldlijn in een punt aan het boloppervlak maakt met het raakvlak ter plaatse P op het boloppervlak laat dan zien dat tg(a) =2 cotg(9). d. Bereken de energie van het magnetische veld binnen de bol. e. Bereken de energie van het magnetische veld buiten de bol. f. Toon aan dat de totale veldenergie 0 is.
5.13. Een dunne toroïde met ijzerkern en met N windingen zonder weerstand wordt, in serie met een weerstand, aangesloten op een gelijkspanning.
a. Op een gegeven ogenblik is de stroomsterkte 1 geworden. De omvatte flux per winding is dan .<1>. Neem aan dat als functie van de tijd bekend is. Hoe groot is dan het vermogen dat de spoel op dit ogenblik opneemt? b. De fluxdichtheid in het ijzer is aanvankelijk nul, en volgt bij dit experiment dus de aanloopkromme (maagdelijke kromme). Neem aan dat deze kan worden beschreven door de vergelijking B =cH2. Bewijs dat de tot een bepaald ogenblik door de spoel opgenomen energie ~IN bedraagt, waarin I en de waarden van dé stroomsterkte resp. de flux per winding zijn op dat ogenblik.'
54
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
5.14. Zie figuur 5.10. Een lange spoel met straal R en lengte I. (» R) heeft per meter lengte n windingen. De stroom door de windingen is 10. x
n
~I
"'+O,.------+-----~~~---"T"'""--+
m
I I I I
- - - - -
R
----,-----P
_----- -
........."'-----------_..............
-
- - -
Figuur 5.10. Figuur bij vraagstuk 5.14.
De grootte van de magnetische tluxdichtheid Bin P, gelegen op de as van de spoel is:
B(x) =n)l2010 (1 +
x
Yx2 + R2
) , mits lxi « 1..
a. Toon dit aan. In het punt 0 in het eindvlak x 0 is een spoeltje geplaatst met N windingen waardoorheen een stroom Is vloeit. Het oppervlak van zo'n winding is S. De afmetingen van dat spoeltje zijn klein ten opzichte van R. b. Hoe groot is de kracht op het spoeltje als het dipoolmoment mdaarvan wijst in de. positieve richting van de as van de spoel? Hoe is die kracht gericht? c. Dezelfde vraag als bij b, maar nu als het dipoolmoment min de richting staat loodrecht op de as van de spoel. Ga daarbij na waarom oBx/oy = 0 op de as, Gebruik vervolgens V· B =0 en bedenk dat er cilindersymmetrie bestaat.
=
5.15. Zie figuur 5.11. Een bol een straal R bestaat uit uniform gemagnetiseerd
=
materiaal; de magnetisatie is hl M 1. De bol is geplaatst in vacuüm.
vÎ
Figuur 5.11. Figuur bij vraagsruk 5.15.
Stationaire magnetische velden in magnetiseerbare materie
55
t
a. Bewijs dat de magnetische fluxdichteid Be in het middelpunt C van de bol /loM is. b. Geef de grootte en de richting van d~ magnetische veldsterkte He in C. Het blijkt (dit behoeft u niet te bewijzen) dat de magnetische veldsterkte binnen de gehele bol gelijk is aan c. Bereken de grootte en de richting van Hp in het punt P juist buiten de bol gelegen; de hoek tussen de x-as en de lijn CP is ep =30°. d. Bereken de verticale component van Bp; dat is dus de component loodrecht op de x-as. Men plaatst de bol nu binnen een zeer lange dunne en dichtbewikkelde spoel (n . windingen per meter) waar doorheen een stroom I vloeit. De as van deze spoel is de yas. Als gevolg van het veld van de spoel blijkt de resulterende B in P gericht langs de positieve x-as. e. Druk l uit in M en n, opdat dit gebeurt. De magnetisatie in de bol wordt door het . veld van de spoel niet beïnvloed! f. Geef de grootte en de richting van de dan binnen de bol bestaande magnetische veldsterkte.
He.
•
5.16. (7.8) Door een lange rechte draad (cirkelvormige doorsnede; straal a) loopt een elektrische stroom, waarVan de dichtheid uniform is. De stroom vloeit evenwijdig aan de as van de draad, die wij als z-as kiezen. De stroomsterkte is I. Binnen de draad is de relatieve permeabiliteit III en er buiten is die 1l2. a. Schrijf de differentiaalvergelijking op, waaraan de vectorpotentiaal Ä voldoet. b. Ä kan in principe een plaats-onafhankelijk deel bevatten, d.W.z. dat Ax, Ay en Az op een constante na bepaald zijn. Deze constanten kiezen wij nul voor Ax en Ay. Wat kunt u nu zeggen over de richting van Ä? 2 2 . 'ti d .. d' . t72f 1 a (af) 1 a f a f c. In Cl n er-coor maten IS v = p ap Pap + p2 aep2 + az 2' Voor p
=a kiezen we Az =O.
Bereken nu Ä voor 0 ~ p ~ a.
d. In cilinder-coördinaten is: (aAz _ aAp) + .. (aAp _ a~) + .1 ~(l-
v x Ä =ë .
oz
oep
Bereken nu H voor 0 ~ p ~ a.
e. Ga na, welke relatie er bestaat tussen limBcp en limB cp -
f. Bereken nu A voor p > a.
pta
ph
56
•
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
5.17. (nieuw) Zie figuur 5.12. Een lange cirkelvormige staaf (straal R) is permanent gemagnetiseerd. De magnetisatievector is:
.y
Hierin is a een reële constante en r (= x 2 + y2) is de afstand tot de as van de cilinder; 0 < r ~ R. Er zijn geen vrije geleidingsstromen in de ruimte.
Figuur 5.12. Figuur bij vraagstuk 5.17.
a. Welke eenheid heeft de constante a in het SI-stelsel? b; Bereken de equivalente volume-magnetisatiestroomdichtheidsvector je. In welke eenheid wordt je uitgedrukt? ' C. 1. Bereken de equivalente magnetisatiestroom Ie omsloten door een cirkel met straal r in een vlak loodrecht op de as. 2. Bereken met de circuitregel de magnetische tluxdichtheid B(r) in de staaf. d. Bereken M =IIMII en geef aan hoe men het laatste antwoord onder c veel sneller en directer had kunnen vinden. Opmerking: Heel strikt genomen geldt de gegeven Mniet op de as (r =O)!
57
6 Magnetische inductie 6.1. Zie figuur 6.1. Een dunne staaf PQ met weerstand R en massa m kan zonder wrijving over twee lange evenwijdige geleidende draden glijden. De afstand van deze draden is l. Het geheel bevindt zich in een uniform magnetisch veld met magnetische fluxdichtheid B, dat loodrecht op de tekening staat. Op het tijdstip t = 0 worden de draden aangesloten op constante gelijkspanning Uo op de in de figuur aangeduide wijze. Alleen de staaf PQ heeft een weerstand R. De zelfinductie wordt verwa~loosd.
p
Q Figuur 6.1. Figuur bij vraagstuk 6.1.
a. Bereken de snelheid van PQ en de stroomsterkte daarin, beide als functie van de tijd. b. Hoe groot worden deze na lange tijd? 6.2. Zie figuur 6.2. Van een magnetisch veld hangt de fluxdichtheid B alleen af van de coördinaat x; dus B = B(x). De richting van B is loodrecht op het x-y-vlak in de negatieve z-richting. In het x-y-vlak beweegt een U-vormige geleider PSRQ met een constante snelheid v in de positieve x-richting. PS = QR = I en RS = QP = a. a. Geef een uitdrukking voor de spanning ups(x) als de geleider PS zich op een afstand x van de y-as bevindt. Geef vervolgens een uitdrukking voor de spanning uPQ(x). Let op de tekens! Voorts wordt nu gegeven: B(x) = Bosin(~), v =l00aen op t = 0 valt PS samen met de y-as. b. Bereken de spannig uPQ(t) en bereken de frequentie van die spanning. .
58
Vraagstukken Electriciteit en Magnetisme
P
Q
--~-l-v
U .
-
IR
IS
-
f.
- -
-
B
I I
a
x
Figuur 6.2. Figuur bij vraagstuk 6.2.
c. Geef één waarde voor de afstand a tussen de geleiders PS en QR zodanig, dat op elk tijdstip geldt UPQ = O. Licht uw antwoord toe!
6.3. Zie figuur 6.3. De fluxdichtheid van een stationair magnetisch veld is: 2xx )j. =Bo sin(L B(x)
L
---+ x
Figuur 6.3. Figuur bij vraagstuk 6.3.
Magnetische inductie
59
In het x-z-vlak beweegt een dunne rechte geleider (lengte l) eenparig in de richting van de positieve x-as. De geleider blijft daarbij evenwijdig aan de z-as. In -de tijdT legt de staaf de weg L af. Op t = 0 valt de geleider samen met de z-as. Door de geleider vloeit een wisselstroom i(t)
=-Iosine;t}
a. Hoe is op verschillende plaatsen van het interval 0 < x < L de kracht gericht, die de bewegende geleider in het veld ondervindt? Licht uw antwoord toe! b. Hoe groot is de arbeid die de veldkracht op het tr~ject 0 ~ x ~ L verrricht? Opmerking. Dit vraagstuk geeft het principe van een wisselstroommotor.
6.4. Zie figuur 6.4. In een vlak door een oneindige lange dunne rechte koperdraad C, waardoor een stroom 1 in de ,aangegeven richting loopt, bevindt zich een metalen staaf DE. DE .staat loodrecht op de stroomdraad en wordt met een constante snelheid voortbewogen. De snelheid is evenwijdig aan C en heeft dezelfde richting als de stroom. De lengte van DE is 0,9 l. De afstand van 0 tot de stroomdraad is 0,1 '(. Bereken het potentiaalverschil tussen de uiteinden van de staaf. Welk einde van de staaf wordt positief?
v
.
c ---------------_~
----- -
Figuur 6.4. Figuur bij vraagstuk 6.4.
6.5. Een cirkelvormige koperen schijf, waarvan het vlak loodrecht staat op de veldlijnen van een uniform magnetisch veld met tluxdichtheid B, wentelt om zijn as in een richting die "past" bij die van de veldlijnen. De hoeksnelheid van de schijf is 00; de straal is R. Hoe groot is het potentiaalverschil tussen de as en de rand van de schijf? Is de as positief of negatief?
6.6. Zie figuur 6.5. In een verticaal naar boven gericht uniform magnetisch veld B bevindt zich een draaibaar systeem, bestaande uit een 'metalen as en een aan de as bevestigde metalen brug. Deze brug rust op een vaste horizontale metalen ring met straal a. As en brug zijn weerstandloos. Een deel van de as vormt samen met de rail, de spanningsbron Uo en de weerstand R een circuit. Wanneer de as draait is er tussen de brug en de ring een wrijvingskracht W waarvan de grootte niet atbankelijk is van de hoeksnelheid 00.
60
Vraagstukken Electriciteit en Magnetisme
a. Voor welke waarde van de stroomsterkte wordt het moment van de wrijvingskracht W opgeheven door het elektromagnetische krachtmoment? b. Welke waarde vindt u voor de stroomsterkte bij een willekeurig aangenomen hoeksnelheid? c. Druk de hoeksnelheid voor de stationaire beweging uit in Uo, B, W, a en R. d. Hoe interpreteert u het feit dat de in c. bedoelde uitdrukking ook negatieve waarden . voor de hoeksnelheid geeft?
II Figuur 6.5. Figuur bij vraagstuk 6.6. I
6.7. Binnen een lange cilindrische spoel is een metalen ring zodanig opgesteld dat de . as samenvalt met de as van de spoel. De ring bestaat uit twee helften van verschillende materialen. De contactplaatsen van die helften zijn A en B. De weerstand van de ene helft is Rh die van de andere is R2. Door de spoel gaat een veranderende stroom zo, dat de uniforme magnetische veldsterkte binnen de spoel evenredig met de tijd toeneemt: Stel de door de ring omvatte flux (t) = at. De contact-potentiaalsprongen in A en B worden buiten beschouwing gelaten. a. Bereken de stroomsterkte in de ring.· b. Bereken het potentiaalverschil tussen A en B. c. Indien de helft met R2 een niet-geleider is, hoe groot is dan het potentiaalverschil tussen A en B? d. Hoe worden de antwoorden op de vragen a en b indien de helft met R2 supergeleidend is?
Magnetische inductie
61
6.8. Zie figuur 6.6. Wij bekijken een zeer lange en dunne cilindrische staaf van lineair magnetiseerbaar materiaal: relatieve permeabiliteit Ilr. De soortelijke geleiding van dat materiaal is y; y is zeer klein. De staaf is gelijkmatig en dicht bewikkeld met N windingen per lengteëenheid. De aldus gevormde spoel is aangesloten op een stroombron met een sterkte iet) Ct met C constant en> O. De stroom neemt dus lineair met de tijd toe. a. Bereken de magnetische tluxdichtheid B(t) in het materiaal. b. Bereken de elektrische veldsterkte E(r), - op een afstand r van de as van de staafdie bestaat als gevolgvan de elektromagnetische inductie. Daarbij is r S; ro. c. Bereken de stroomdichtheid J(r) van de in de cilinder geinduceerde stroom. Geef in een figuur duidelijk aan in welke richting J(r) vloeit. d. Bereken het vermogen da~ in l meter lengte van de staaf wordt gedissipeerd.
=
Fig\lur 6.6. Figuur bij vraagstuk 6.8.
6.9. Zie figuur- 6.7. Een torus met straal van de hartlijn R, is van binnen hol en die ruimte is luchtledig. Loodrecht op het vlak van de torus staat een niet-uniform cilindersymmetrisch magnetisch veld met een fluxdichtheid die afhangt van de tijd en van de afstand r tot het middelpunt C; dus B(t,r) .. Ter plaatse van de hartlijn beweegt een elektrisch geladen deeltje met lading q, massa m en snelheid v in een cirkel met straal R. De tluxdichtheid héeft daar de waarde Bo(t). a. Bereken v, uitgedrukt in q, R, men Bo(t). De gemiddelde tluxdichtheid binnen de cirkel met straal Ris: B(t) . . b. Bereken de door de cirkel met straal R omvatte magnetische flux en bereken de elektrische veldsterkte E die langs de omtrek van die cirkel bestaat doordat die flux een functie is van de tijd. Deze elektrische veldsterkte versnelt het geladen deeltje zodanig dat dit in de cirkelbaan met straal R bliift bewegen. Daartoe is een bepaalde verhouding vereist tussen B(t) en Bo(t).
62
Vraagstukken Electriciteit en Magnetisme B(t.r)
Figuur 6.7. Figuur bij vraagstuk 6.9.
c. Bereken die verhmiding 8(t) I Bo(t). Voorts wordt nu gegeven dat Bo(t) =Ct. De beginsnelheid van het deeltje is nul. C is constant en> O. d. Hoeveel omwentelingen maakt het deeltje in het interval 0:::; t:::; I? N.B. Het hier gegeven .principe om deeltjes te versnellen wordt geOruikt in een toestel dat "bètatron" genoemd wordt.
6.10. Een holle ijzeren torus is gelijkmatig omwonden met 1000 windingen. De straal van de hartlijn van deze toroïde is 0,5 m; de buitenstraai van een dwarse doorsnede is 10-2 m; de wanddikte is 10-3 m. Van het ijzer is Jlr 1000.
=
Bereken de zelfinductie van deze spoel.
= 2·10-4 m2 heeft een hartlijn met f. = 0,50 m. Om de torus zijn uniform verdeeld N =400 windingen aangebracht.
6.11. Een ijzeren torus met een doorsnede S
Bereken de zelfinduktie van de bewikkelde torus,
a. Als de torus geheel bestaat uit een ijzersoort met een relatieve permeabiliteit Jlr = 800. b. Als de torus bestaat uit twee aan elkaar gelaste ijzeren staven, ieder met een doorsnede van 2·10-4 m 2• De ene staaf heeft een lengte van 0,30 m en is gemaakt van een ijzersoort met een relatieve permeabiliteit Jlr = 600; de andere staaf (lengte 0,20 m) is gemaakt van een ijzersoort met een relatieve permeabiliteit Jlr 1000.
=
6.12. In een ijzeren ring waarvan de hartlijn f. =0,5 m lang is en de oppervlakte van de doorsnede S =2·1 0-4m2 is, bevindt zich eeQ luchtspleet van 10-3 m breedte. Om de ring zijn, gelijkmatig verdeeld, N =2000 windingen aangebracht waar een stroom 1 = 1 A door gaat. De relatieve perme~biliteit Jlr van het ijzer is 500. a. Bereken de magnetische veldsterkte in de luchtspleet. b. Indien in .::\t seconden de luchtspleet tot 3.10-3 m verwijd wordt, de inductiespanningsstoot die in de windingen opgewekt wordt? Een inductiespanningsstoot is gedefineerd als: ~I
f
1=0
Uind· dt
= -.::\spoel
hoe groot is dan
Magnetische inductie
63
6.13. Van een ijzeren torus is de lengte van de hartlijn I; de doorsnede is S en S« 1. 2 • Hij is gelijkmatig bewikkeld met N windingen. Voor het materiaal van de torus geldt:
=
=
B J..LH. Door de windingen vloeit een stroom 1 Ct (t ~ 0). a. Toon aan dat de arbeid die in een tijd t verricht is voor de opbouw van het 2
magnetische veld gelijk is aan J..LSC N2 t2. 21 b. Hoe groot is de zelfinduktieyan deze toroïde?
6.14. Zie figuur 6.8. Twee dunne evenwijdige, oneindige lange rechte geleiders met cirkelvormige doorsnede (straal r) liggen met hun hartlijn op een afstand a van elkaar. a »r. Een stroom 1 loopt als is aangegeven in figuur 6.8. Het systeem bevindt zich in vacuüm. ~ 2r
----.-------------
f
x
a I
I
~~------~----------~--~ -------~------------~
Figuur 6.8. Figuur bif vraagstuk 6.14.
a. Bereken B(x) op een afstand x (r:S; x :s; a - r) van de bovenste draad. b. Bereken per meter lengte van het systeem de totale flux <1>, in de ruimte tussen de draden; dus voor r < x < a - r. c. Bereken de zelfinductie van het stelsel per meter lengte.
6.15. Zie figuur 6.9. Een kabel bestaat uit twee platte, dunne banden (één voor de heengaande, één voor de teruggaande stroom I). De breedte is a en de onderlinge afstand is b, b« a. Tussen de banden is vacuüm. De oppervlakte stroomdichtheid is overal dezelfde. a. Omdat b« a mag men aannemen dat het magnetisch veld tussen de banden uniform is en daarbuiten nul. Bepaal op basis van deze veronderstelling met de circuitregel de veldsterkte. b. Bereken de kracht die elke band ondervindt per lengte. c. Bereken de zelfinduktie van de kabel perlengte. , d. Toets de veronderstelling t.a.v. de uniformiteit door nu exact het veld te bereken in de hartlijn van de kabel (M in de figuur 6.9).
64
Vraagstukken Electriciteit en Magnetisme
a
Figuur 6.9. Figuur bij vraagstuk 6.15.
6.16. Zie figuur 6.10. In een horizontaal vlak bevindt zich een rechthoekig draadraam met zijden a en b. De stroom in dat raam is I. Verticaal boven een der zijden met lengte b bevindt zich op een afstand a een zeer lange rechte draad waardoor eveneens een stroom I gaat. Het draadraam kan roteren om de vaste as PQ die door de. middens van de zijden a gaat. 1
l1li
I I I al I
Figuur 6.10. Figuur bij vraagstuk 6.16.
a. Bereken het krachtmoment (t.o.v. het midden van de as PQ), dat op het draadraam werkt.
b. Welke is de stabiele evenwichtstand van het draadraam? c. Bereken de wederzijdse inductie van de draad en raam in de getekende stand.
6.17. Zie figuur 6.11. Door een klein plat cilindrisch spoeltje S (4 windingen, straal 10- 2 m) vloeit een stroom van 2 A. Het middelpunt van een gesloten cirkelvormige draadring (straal 2 m) welke geen stroom voert en waarvan de as samenvalt met die van het spoeltje bevindt zich op 5 m afstand van het midden van het spoeltje.
Magnetische inductie
65
s
--(7--------~ 5m
Figuur 6.11. Figuur bij vraagstuk 6.17.
a. Bereken de grootte van de door de draadring omvatte magnetische flux:
b. Bereken de wederkerige inductie.
o
6.18. (nieuw) De koperen kern (Ilr = 1) ván een coaxiale kabel heeft een cirkelvormige doorsnede (straal a); de mantel heeft eveneens een cirkelvormige doorsnede (straal b). Door de kern loopt een stroom I; door de mantel loopt eveneens e~n stroom I, maar in tegengestelde richting. a. Bereken de grootte van de magnetische veldsterkte Hals functie van de afstand r tot deas(a
•
6.20. Zie figuur 6.12. Wij beschouwen een vlakke gesloten kring, die is opgebouwd uit twee halve cirkels (cirkel 1,2 met straal R en cirkel 4,3 met straal 2R) die verbonden zijn door rechte lijnstukken 4,1 en 2,3. De middelpunten van beide halve cirkels vallen samen in C. Zie hiervoor de gegevens van vraagstuk 4.23. . Op een afstand x van C, loodrecht op het vlak van de kring bevindt zich het midden van een magnetisch dipooltje met dipool moment dat gericht is naar C. Wij willen met behulp van de vectorpotentiaal de flux «1> uitrekenen die de kring omvat. a. Beredeneer welke delen van de kring 1,2,3,4 wèl, en welke géén bijdrage tot de flux leveren. b. Bereken de door de kring omvatte flux «1>, uitgedrukt in de gegevens.
m,
66
Vraagstukken Electriciteit en Magnetisme
Figuur 6.12. Figuur bij vraagstuk 6.20.
m
Vervolgens maakt men de afstand tussen en C groter, door de kring evenwijdig aan zichzelf met een eenparige snelheid naar rechts te laten bewegen. c. Bereken de grootte van de in de kring geïnduceerde spanning.
v
6.21. Van een ijzeren torus is de lengte I van de hartlijn 1 m en de doorsnede Sis 10 4 m 2 . Hij is gelijkmatig met N = 1000 windingen bewikkeld. Het homogene isotrope ijzer heeft een hystereselus die in de figuur 6.12 i~ weergegeven. a. Tengevolge van een verandering van de stroom door de windingen gaat het materiaal over van toestand A in toestand B. Bereken de daarbij behorende verandering van de stroomsterkte M. Gebruik de in de grafiek aangegeven numerieke waarden!
H (Alm) 30 ---+
Figuur 6.13. Figuur bij vraagstuk 6.21.
Uitgaande van de magnetische veldenergie per volume-eenheid Jïi.dB, kan men met behulp van de grafiek de onder a. bedoelde overgang van A naar B te leveren magnetiseringsarbeid berekenen.
Magnetische inductie
67
b. Geef in een figuur aan met welk oppervlak deze arbeid evenredig is. Bereken die arbeid. c. Toon aan dat als het materiaal één kringloop heeft volbracht de daarbij verrichte
arbeid evenredig is met de oppervlakte van de hystereselus.
d. In welke vonn vindt men deze arbeid terug? e. Als de overgang van A naar B in 1 s praats vindt en eenparig verloopt bereken dan de in de torus opgewekte inductiespanning.
6.22. Zie figuur 6.14. Van een ijzeren torus is de lengte van de hartlijn 0,40 m en de dwarsdoorsnede van het ijzer 5.10-4 m 2 ; ~ =41t·1O-7 Wm. De torus is gelijkmatig belegd met 1000 windingen waardoor een stroom van 0,20 A gaat. Voor het ijzer geldt het volgende niet-linerure verband tussen B en H (zie figuur 6.15).
_ Figuur\6.14. Figuur bij vraagstuk 6.22.
1,2 B Wb/m2)
,L
1,0
",-
I /
0,8
0,6
0,4
0,2
~
/
/
200 Figuur 6.15. Figuur bij vraagstuk 6.22.
/V
/
H(Nm)
400
600
800
1000
1200
68
Vraagstukken Electriciteit en Magnetisme
a. Bereken de waarde van de magnetische veldsterkte H in het ijzer. b. Hoe groot is de door één winding omvatte magnetischè flux? c. Bereken de zelfinductie L van de torus bij 1= 0,20 A. De stroomsterkte wordt vervolgens van 0,20 A op 0,24 A gebracht. d. Blijft hierbij de zelfinductie L constant? Licht dit toe! e. Is de formule voor de magnetiSChe veldenergie Urn L·I 2 geldig bij een L die van I atbangt? Zo ja, waarom? Zo nee, waarom niet? f. Bereken de arbeid die verricht moet worden om de stroomsterkte van 0,20 op 0,24 A te brengen.
=t
•
6.23. Zie figuur 6.16. Op de as van een rechte cirkelcilinder bevindt zich in 0 een magnetische dipool m, die langs de as van de çilinder is gericht. De cilinder is gemaakt uit een dunne koperen plaat; de straal is R en de lengte is f. De dikte van het koper is b (b « R). De soortelijke geleiding van koper is "(. De cilinder beweegt met een constante snelhheid Vo naar rechts. Op het tijdstip t = 0, is de afstand tussen 0 en het midden van M van de linkerzijde van de cilinder gelijk aan f. De tekening geeft de situatie op dat moment en alle vragen die volgen hebben betrekking op die situatie.
Ol
-1--;-----I I I
-+
m
x
Figuur 6. I 6. Figuur bij vraagstuk 6.23.
Zie voor de gegevens vraagstuk 4.23.
a. Bereken door gebruik te maken van de vectorpotentiaal voor de dipool, de totale magnetische flux cI>(x), die omvat wordt door een cirkel met straal R waarvan het middelpunt op de as ligt op een afstand x van O. Zie figuur 6.16. Bewijs dat deze cI>(x) voldoet aan:
waarin C een constante is; bepaal C. b. Als gevolg van de beweging wordt in de onder a bedoelde cirkel een inductiev~ld sterkte Eind opgewekt. Bereken deze Eind en geef ook de ter plekke x in de dunne cilinderwand daardoor bestaande stroomdichhtheid J. Hoe zijn Ê en j gericht? c. Bereken de grootte van de totale inductiestroom I, die in de cirkelcilinder vloeit op het beschouwde tijdstip (t =0).
,..MW' "WW"',,,,,," """lIJ' ,- ,."
UI ' "
Magnetische inductie
o
69
6.24. Bereken de wederzijdse inductie M tussen de beide spoelen van de in paragraaf 6.16 van het theorieboek "Inleiding Elektriciteit en Magnetisme" uitgewerkte voorbeeld. Denk aan het verschil tussen de flux <j) en gekoppelde flux \jI. Wat is het teken van M bij de gekozen positieve stroomrichtingen?
o
6.25. Zie figuur 6.17. Een magnetisch ç;ircuit is opgebouwd uit dunne staven van een materiaal met constante relatieve permeabiliteit !lp Zie voor de maten figuur 6.17.
2a Figuur 6.17. Figuur bij vraagstuk 6.25.
De doorsnede van de staven is S. Er is een luchtspleet met breedte d; d « a. Het circuit wordt bekrachtigd door een spoel met n windingen waardoorheen een stroom 1 vloeit. Bereken de flux <j) in het ijzer binnen de spoel. Hoe groot is de gekoppelde flux \jI die de spoel omvat?
o 6.26. Ziè figuur 6.18. In de figuur is A de weekijzeren kern van een vaste elektromagneet en B een weekijzeren sluitstuk. De om A gewikkelde spoel heeft n windingen en is aangesloten op een gelijkspanningsbron met spanning Uo; de totale weerstand in de stroomkring is R. R n
B
A Figuur 6.18. Figuur bij vraagstuk 6.26.
Onder invloed van de kracht F waarmee het sluitstuk wordt aangetrokken, beweegt dat naar A toe en tengevolge hiervan verandert de zelfinductie L. a. Laat zien dat tijdens de beweging van B geldt:
.
70
Vraagstukken Electriciteit en Magnetisme
.b. Gedurende de beweging van B wordt er in de kring warmte ontwikkeld en arbeid verricht voor het verplaatsen van dat sluitstuk, terwijl ook de energie van het magnetisch veld verandert. Leidt uit een energiebeschouwing af waar de uitdrukking
aan gelijk moet zijn (Urn is de totale magnetische veldenergie in het systeem). c. Leid uit a en b en Urn ~ LI2 af dat kracht F waarmee B wordt aangetrokken 12 (dUdx). gegeven wordt door: F =
=
-:2
D
6.27. Zie figuur 6.19. Een lineair magnetisch systeem heeft een totale lengte l + d + waarin de breedte van een luchtspleet is. Wij nemen aan dat de doorsnede S van het systeem overal dezelfde is. Het gebruikte materiaal is weekijzer. De relatieve permeabiliteit Ilr van het ijzer is zo groot, dat men mag aannemen dat er geen magnetische flux is behalve in het ijzer en in de luchtspleten.
2a,
a
Figuur 6.19. Figuur bij vraagstuk 6.27.
=f
a. Toom aan dat de magnetische energie Urn van het systeem voldoet aan: Urn ",i. Hierin is '" ~e gekoppelde flux die door de wikkeling met n windingen wordt omvat. Vervolgens wordt nu gegeven dat in de luchtspleet het blokje weekijzer draaibaar (om een as C loodrecht op het vlak van de tekening) is opgesteld. Op dat blokje werkt, als gevolg van het magnetische veld, een koppel T(9) waarvan de grootte afhankelijk is val) 9. Ook de zelfinductie L(9) van de spoel is een functie van de stand van het blokje. Er zijn verliezen. In hetgeen dat volgt denken wij ons de hoek 9 aan te groeien met d9. b. Toon via een vermogensbeschouwing aan dat geldt:
c. Als de stroom i constant is (dus i(t) =I) geldt:
Magnetische ,inductie
71
dL(e) T(e)=K-de .
Bepaal K.
o 6.28. Zie figuur 6.20. x
• Figuur 6.20. Figuur bij vraagstuk 6.28.
a. Bewijs dat voor de elektrische veldenergie van een condensator geldt: Ue
=t Cu2
b. In het systeem van figuur 6.20 is de ruimte tussen de platen vacuüm, terwijl de plaat links verplaatsbaar is: C =C(x). De aan het systeem gedurende dt toegevoerde
energie wordt gebruikt voor de toename van de elektrische veldenergie en het verrichten van mechanische arbeid F dx voor het verplaatsen van de linkerplaat. Leidt af dat:
F =l2 u2 dC(x) dx'
o 6.29. De figuur 6.21 geeft een cilindercondensator met lengte f. » r2.
Figuur 6.21. Figuur bij vraagstuk 6.29.
Een nauwkeurig tussen de cilinder passende buis van diëlektrisch materiaal is over een afstand x in de condensator geschoven.
72
Vraagstukkim Electriciteit en Magnetisme
De relatieve permittiviteit van het materiaal is Er; x» r2; f. - X » r2. Het uitstekende stuk van de buis is zeer lang vergeleken bij r2. De sterkte van de gelijkspanningsbron is Uo. a. Bereken de veldsterkte E in de tussenruimte op afstand van de hartlijn, zowel in het diëlektrische materiaal als daarbuiten. b. Hoe groot zijn de oppervlakteladingsdichtheden op de binnenste cilinder in A, respectievelijk B? Men schuift vervolgens het diëlektricum·over een kleine afstand L\x verder naar binnen (L\x > 0). c. Bereken de arbeid geleverd door de gelijkspanningsbron. d. Bereken de toename van de veldenergie. e. Bereken de kracht, door het veld op het diëlektricum uitgeoefend.
r
73
7 De vergelijkingen van Maxwell 7.1. Een rechte, dunne metalen draad is oneindig lang maar is over een lengte 21 onderbroken (tussen de punten A en B). Overal in de draad loopt gedurende zekere tijd een gelijkstroom I, zodat er opeenhoping van lading plaats vindt in de punten A en B. Gevraagd wordt de grootte van de magnetische fluxdichtheid B in een punt van het middenloodvlak van AB op afstand R van het midden. Voer de berekening uit volgens twee methoden: Q. Gebruik de formule van Biot en Savart. b. Gebruik de eerste wet van Maxwell. Beschouw_de zich aan de einden ophopende ladingen +Q en -Q als puntladingen en bereken D in het middenloodvlak.
7.2. Zie figuur 7.1. Twee platte weerstandsloze strippen zijn evenwijdig aan elkaar opgesteld (a « b « 1). De platen zijn aan één zijde aangesloten op een gelijkspanningsbron met sterkte Uo. Aan de andere zijde is een weerstand R geschakeld. Wij nemen aan dat de stroomdichtheid in de strippen overal dezelfde is.
R
Figuur 7.1. Figuur bij vraagstuk 7.2.
Wij doen alsof Ê en Htussen de platen uniform zijn. Q. Bereken Ê en tussen de strippen; bekijk daarbij vraagstuk 6.15. b. Bereken de grootte en bepaal de richting van de vector ven Poynting S. c. Bereken op twee manieren het getransporteerde vermogen.
H
7.3. Van een elektromagnetische golf in vacuüm heeft de elektrische veldvector de volgende gedaante: ·
Ê = (Eocos(kz - oot), Eosin(kz - oot), 0), waarin k =cg en c = .~ , Eollo
De bijbehorende magnetische fluxdichtheidsvector is:
B=(Bx(z,t), By(z,t), Bz(z,t»
74
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
a. Bereken Bx, By, Bz als functie van z en van t, als gegeven is dat alle integratieconstanten nul zijn. b. Bereken de bijpassende vector van Poynting S.
7.4. Door een cilindrische geleider met eindige weerstand vloeit een gelijkstroom I. de waarde van de vector van Poynting aan het oppervlak van de draad en laat zien dat de energie die per tijd de draad invloeit jui~t gelijk is aan het gedissipeerde vermogen aan het oppervlak.
Ber~ken
7.5. Zie figuur 7.2. Een bundel monochromatische straling (vlakke golf) in vacuüm wordt gekenmerkt door de volgende vectoren: .
.E(x,t) . . = Eo sin {roetX - - ) } .j. .
en
_H(x,t)
c
=Ho sin { roet - ~ )} k
met c
= ....; Eollo
y
z
x
Figuur 7.2. Figuur bij vraagstuk 7.5.
Er kan worden bewezen dat Ho = Eo ....; eo/ilO; zie §7.4.b van het theorieboek "Inleiding Elektriciteit en Magnetisme". a. In welke richting plant deze straling zich voort? b. Hoe groot is de tijdsgemiddelde van de elektrische veldenergiedichtheid (Uel) van deze straling in een bepaald punt van de bundel? Bedenk dat dat gemiddelde van het kwadraat van een sinus gelijk is c. Dezelfde vraag als b. maar voor (urnag). Laat zien dat de elektromagnetische stralingsenergie gelijkelijk verdeeld is over de elektrische, respectievelijk de magnetische component van de bundel. d. Hoe groot is de totale elektrische stralingsenergie die per seconde en per m2 een oppervlak loodrecht op de bundel treft? e. Bereken Eo en Bo voor het geval dat de totale stralingsintensiteit 10 10 W/m2 is. Opmerking: dergelijk hoge intensiteiten komen voor in laserbundels.
t.
.
De vergelijkingen van Maxwell
75
7.6. Zie figuur 7.3. Een zeer lange coaxiale kabel waarvan de cilindervormige geleiders een diameter hebben van respectievelijk 2a en 2b wordt gebruikt als verbinding tussen enerzijds een spanningsbron met constante bronspanning Uo en inwendige weerstand Ri en anderzijds een belastingsweerstand Ru. De kabel is weerstandsloos.
----j2b
1
-
-
- ,
-
- - - - - -1 i-! I \
-
1 \
, 1\
2a
- ---- - - -
I
- - - - - - -/-""-\---------,
- -
- - - -
I \
, I
_\ _\ I \
Figuur 7.3. Figuur bij vraagstuk 7.6.
a. Bereken de stroomsterkte uitgedrukt in Uo, Rj, en Ru. b. Bereken het potentiaalverschil tussen de cilinders. c. Voor de (radiaal gerichte) electrische veldsterkte tussen de cilinders als funktie van de afstand r tot de as van de cilinders (a ~ r ~ b) geldt: E = Clr, waarin C een constante is. Druk de constante C uit in: a, b, Uo, Ri en Ru. d. Bepaal de grootte en richting v~ ïi tussen de cilinders op ~stand r van de as. e. Bereken de grootte en richting van de vector van Poynting S tussen de cilinders op afstand r van de as. f. Wat is de fysische betekenis van sr g. Integreer S over het oppervlak van een dwarse doorsnede tussen de cilinders
ffs
7.7. Zie figuur 7.4. Een bol van isolerend materiaal heeft een straal a. Op de bol is een dunne geleidende laag met dikte b « a aangebracht; de conduktiviteit van de laag is cr. Met behulp . van twee zeer lange cilindrische draden met diameter 2b wordt de geleidende laag in diametraal tegenover elkaar gelegen punten A en B verbonden met een stroombron die een sterkte 1 heeft. We beschouwen op de buitenkant van de geleidende laag een punt P dat zo gelegen is, dat straal CP met de rechte AB een hoek 9 maakt. a. Bereken de stroomdichtheid j in de laag als functie van 9. b. Bereken de elektrische veldsterkte Ê in de laag als functie van 9. c. Bereken de magnetis~he fluxdichtheid Baan het buiten-oppervlak van de laag als functie van 9. Aanwijzing: Let bij de berekenin[ op de symmetrie van het probleem. d. Bereken.de vector van Poynting S als functie van 9. e. Bereken· het door de geleidende laag gedissipeerde vermogen als gegeven is dat:
76
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
z
y
Figuur 7.4. Figuur bij vraagstuk 7.7.
f f.
de sin(e) = In I tg(el2) I + c.
Bereken de weerstand R van de geleidende laag,
7.8. (nieuw) Wij beschouwen een elektromagnetisch veld in een medium met een permittiviteit E = EoEr en een permeabiliteit IloJlr- Voor de elektrische veldsterkte geldt (zoals bekend): Ë = -aÄ/iJt - VVo De Eerste Wet van Maxwell luidt: V x ïi t Iy + aD/at. Met B= V x Ä en de vectorrelatie V ~ (V x Ä) = V (V .Ä) - V 2 Ä ~unnen w! uit de genoemde formules een vergelijking opstellen waarin uitsluitend A, V en Jy voorkomen naast de tijd en de constanten E en Jl. Deze vergelijking geven we aan als (1). Met behulp van de!elatie V·D = py kunnen we een tweede vergelijking afleiden waarin uitsluitend A, V en py voorkomen naast de tijd en de constante E. Deze vergelijking geven we aan als (2). a. Leid zowel (1) als (2) af. b. Het is bekend dat in stationaire velden geldt: V2Ä=_~y
en
V2V = -py/E.
Laat men in (1) en (2) de tijd-afbankelijke termen weg, dan ontstaan deze beide. uitdrukkingen niet automatisch!
I
,
I .
I
"
,
"
De vergelijkingen van Maxwell
77
Dat is wel het geval, als men uitgaat van de relatie
..
av =o.
V.A+€~dt
(3)
Schrijf (1) en (2) nog eens op, voor het geval dat aan (3) voldaan is. merk op dat we hier twee ànathankelijke golfvergelijkingen hebben gekregen voor Ä en voor V. Opmerking: men noemt (3) de lorentzconditie: als voldaan is aan (3), dan zijn (1) en (2) in de laatst opgeschreven vorm juist.
78
8 Netwerken en wisselstromen N.~.
De schakelingen van vraagstuk 8.1. tot 8.14 bevatten slechts gelijkstroom- en gelijksspanningsbronnen!
8.1. Zie figuur 8.1. 2V
Figuur 8.1. Figuur bij vraagstuk 8.1.
a. Wat gebeurt er met I als de aansluiting van de stroombron wordt omgekeerd? b. Onder welke voorwaarde is I =O?
8.2. Zie figuur 8.2. Bereken de stroomverdeling. 40n
30n
+ 100V
20n
Figuur 8.2. Figuur bij vraagstuk 8.2.
Los dit vraagstuk op met het superpositiebeginsel.
50 3
n
. Netwerken en wisselstromen
79
8.3. Zie figuur 8.3. Bepaltl thévenin- en nortonequivalent van de volgende schakelingen.
20
10
40
4V
Ca)
(b)
3V
400
300
100 V
Cc)
Cd)
4V
Ce)
Figuur 8.3. Figuur bij vraagstuk 8.3.
8.4. Zie figuur 8.4. Bereken zonder gebruik te maken van het theorema van Thévenin: a. Het vermogen in de belastingsweerstand, Rbel = 8 n. b. Het vermogen van de spanningsbron. Bepaal vervolgens het thévenin~vervangingsschema van de schakeling links van de . klemmen a en b. c. Bereken opnieuw het vermogen in Rbel' d. Bereken het vermogen van de thévenin-spanningsbron. e. Verklaar de overeenkomst, resp. het verschil in uw antwoorden ..
80
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
b
b
Figuur 8.4. Figuur bij vraagstuk 8.4.
Figuur 8.5. Figuur bij vraagstuk 8.5.
8.5. Zie figuur 8.5. Bepaal het théveninequivalent links van de klemmen a en b. Bereken het vermogen PR(R) in de belastingsweerstand R voor de volgende gevallen: R '= 0,5 n R=1 n R=2n R=On R=oo Schets PR(R). Waar is dit vermogen zo groot mogelijk?
8.6. Zie figuur 8.6. Bereken de stroom 1 door gebruik te maken van de stelling van Thévenin.
3V
a
30
+ 90V
b
Figuur 8.6. Figuur bij vraagstuk 8.6.
Figuur 8.7. Figuur bij vraagstuk 8.7.
8.7. Zie figuur 8.7. Bereken door gebruik te maken van de stelling van Thévenin de stroom I iil de weerstand R voor het geval R =50 n. Welk vermogen wordt in R ~edissipeerd? Voor welke waarde van R is dat vermogen maximaal?
8.8. Zie figuur 8.8. a. Nadat S een oneindig lange tijd heeft gestaan in stand 1, zet men de schakelaar op t =0 om naar stand 2. Bereken iet) en uc(t) voor t > O. U is een gelijkspanning. b. Nadat de vrije trilling is weggedempt schakelt men terug naar stand 1. Bereken opnieuw i en Uc en schets deze.
Netwerken en wisselstromen
81
c. Beantwoord dezelfde vragen als hiervoor maar nu met een spoel L in plaats van een condensator. Nu dus voor i en ULo
S
R
2
E
u Figuur 8.8. Figuur bij vraagstuk 8.8.
8.9. Zie figuur 8.9. Op t =0 wordt de schakelaar gesloten. Bereken uc(t) voor t > O. ·S
2Q
10 V
Figuur 8.9. Figuur bij vraagstuk 8.9.
8.10. Zie figuur 8.10. Op t Bereken i(t) voor t > O.
= 0 wordt S gesloten. Cl
en C2 zijn dan ongeladen.
s
u 12 V
Figuur 8.10. Figuur bij vraagstuk 8.10.
Figuur 8.11. Figuur bij vraagstuk 8.11.
8.11. Zie figuur 8.11. S wordt op t = 0 gesloten. Bereken i(t) voor t > O. Schets deze stroom. 8.12. Zie figuur 8.12. S is steeds gesloten geweest en wordt op t = 0 geopend. Bereken Uab(t) over S voor t > O. Merk op dat Uab(O+) veel groter is dan de bronspanning.
82
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
6V
4H
Figuur 8.12. Figuur bij vraagstuk 8.12.
8.13. Zie figuur 8.13. Een RLC-serieschakeling kan door middel van een schakelaar worden aangesloten op een gelijkspanningsbron U. Voor t < 0 staat de schakelaar open en is de condensator ongeladen.
s
R
L
c
u
Figuur 8.13. Figuur bij vraagstuk 8.13.
U =6 V, R ~ 2 n, L = I Hen C = l~ F. Op het tijdstip t = 0 wordt de schakelaar gesloten. Bereken de stroom i(t) in de schakeling voor t·~ O. , 8.14. a. Bereken: (1 + 3j) (3 + j), (2 - 4j) + (2 + 4j), (4 + 3j) + (4 + 3j)*, (1 + 3j) (3 + j), (2 + 4j) (2 + 4j)*. b. Teken in het complexe vlak de volgende gètallen: (2 + j), j(2 + j), (2 + j) j
+
.8.15. a. Rationaliseer: 413j _1_ -1 +
r
Netwerken en wisselstromen
83
b. Schrijf de volgende complexe getallen aIs een e-macht: 4+3j -5 + 12j j _1_ 1+j (4 + 3j)* N.B. In alle volgende vraagstukken lopen slechts sinusvonnige wisselstromen!
8.16. Zie figuur 8.14. Bepaal de impedantie van de drie volgende tweeklemmennetwerken. L
c c (b)
(a)
c (c)
Figuur 8.14. Figuur bij vraagstuk 8.16.
8.17. Zie figuur 8.15. Onder welke voorwaarde is: IUcfl =IUcP
a R
L
c,
c
b Figuur 8.15. Figuur bij vraagstuk 8.17.
Figuur 8.16. Figuur bij vraagstuk 8.18.
8.18. Zie figuur 8.16. Onder welke voorwaarde is Zab reëel?
84
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
8.19. Zie figuur 8.17. Welke betrekkingen bestaan er tussen de elementwaarden als U2 =0 voor alle oo? Denk aan de brug van Wheatstone!
R3 C +
U2
U,
R,
R4
R2
L
.
Figuur 8.17. Figuur bij vraagstuk 8.19.
8.20. Zie figuur 8.18. Onder welke condities is de brug in evenwicht?
Figuur 8.18. Figuur bij vraagstuk 8.20.
8.21. Zie figuur 8.19. Voor welke waarde van R is de impedantie voor alle 00 reëel? I
8.22. ,Zie figuur 8.20. Bereken de overdrachtsfunctie H(oo) spannmgdeler. Voor welke waarde van 00 is H(oo) reëel?
=~2~:~ van de gegeven 1
Netwerken en wisselstromen
85
R
u, c c
L
Figuur 8.19. Figuur bij vraagstuk 8.21.
Figuur 8.20. Figuur bij v.raagstuk 8.22.
8.23. Zie figuur 8.21. Druk de complexe stroom IR uit in I,
<0, L, R en C. Waaraan moet de hoekfrequentie voldoen opdat UR onafhankelijk zij van de grootte van R? Hoe groot is dan UR?
8.24. Zie figuur 8.22. Bereken de faseverschuiving tussen 15 en I. Teken (op schaal) het wijzerdiagram van de spanning en van de stromen.
30
+
u
3
50
4j 0
2 Figuur 8.2l. Figuur bij vraagstuk 8.23.
Figuur 8.22. Figuur bij vraagstuk 8.24.
8.25. Zie figuur 8.23. Teken op schaal de wijzerdiagrammen van de spanningen en van de stromen voor de volgende vier schakelingen. 30
(a)
2
20
4j 0
(b)
2
2/jO
3
86
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme 10/j 0
30
50 2
3
4j 0
2 (d)
(c)
Figuur 8.23. Figuur bij vraagstuk 8.25.
8.26. Zie figuur 8.24. Teken de wijzerdiagramm,en van de stroom en de spanningen in de volgende gevallen: a. Ze =-j. b. Ze =-25j.
c. Ze =-13j. 13j 0
50
c
L
c
Figuur 8.25. Figuur bij vraagstuk 8.27.
Figuur 8.24. Figuur bij vraagstuk 8.26.
8.27. Zie figuur 8.25. Gegeven: en IU241 = 15 V.
R
(0
= 104 rad/s, R = 20 n, lUI = 25 V, IU 131 = 52 V
Bereken de waarden van L en C waarbij aan de gegevens is voldaan.
8.28. Zie figuur 8.26. Onder welke voorwaarde verschillen UT en U een hoek ~ in fase?
u L-~
__________________
Figuur 8.26. Figuur bij vraagstuk 8.28.
~
____
~
R
__
~
F'
Netwerken en wisselstromen
8.29. Zie figuur 8.27. L is variabel.
0>
87
is vast; o>::t; O.
a
R /
c
u L
b Figuur 8.27. Figuur bij vraagstuk 8.29.
a. Leid de voorwaarde af onder welke de kring gezien aan de klemmen a en b in faseresonantie is. b. Aan welke voorwaarde moet zijn voldaan opdat slechts voor reële waarden van L faseresonantie bestaat? Zijn de waarden voor L alle realiseerbaar? c. Onder welke conditie zal slechts voor één waarde van L faseresonantie optreden? Geef voor dit geval een uitdrukking voor L en geef ook een uitdrukking voor I.
8.30. Zie figuur 8.28. Gegeven: u(t) = 4cos(2t), V Bereken:
a. UL(t). b. Het gedissipeerde vermogen. +
u
Figuur 8.28. Figuur bij vraagstuk 8.30.
8.31. Zie figuur 8.29. De hoekfrequentie van de bronspanning is
Bereken onder welke voorwaarde U2(t) een hoek van!j in fase verschilt met Ul(t). Is U2(t) dan in fase voor of achter op Ul(t)? Bereken U2(t) als nu gegeven wordt: Ul(t) = {SS sih(1000t), V met R= 200 n, L = 0,1 HenC=1O-5 F. 0>.
88
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
+
c R
u,
Figuur 8.29. Figuur bij vraagstuk 8.31.
8.32. Zie figuur 8.30. U12(t) = sin(t). a. Bereken U34(t). b. Teken het wijzerdiagram van de spanningen. 3 R ·a
u(t)
--r--
~
4 Figuur 8.30. Figuur bij vraagstuk 8.32.
C
L
______~________~__~b
Figuur 8.31. Figuur bij vraagstuk 8.33.
=:= 1 H, R = 10 0, C = 5~ Fen u(t) =8cos(10t + ~), V. a. Bereken de spanning Uab(t). b. Hoe moeten op a en baangesloten belastings-impedantie worden gedimensioneerd opdat daarin een zo groot mogelijk vermogen wordt gedissipeerd?
8.33. Zie figuur 8.31. L
8.34. Zie figuur 8.32. Bereken IL, door gebruik te maken van de stelling van Thévenin. Bereken het in de schakeling gedissipeerde vermogen. Gegevens: U = 1 V, I = 1 + j, A en ro = 1 rad/s.
8.35. Zie figuur 8.33. L
=
= 1 mR, C = 1 mF, R = 1 0, UlO(t) = sin(1000t),
iet) cos(1000t), A. Bereken: a. U20(t). b. Het vermogen afgegeven door de spanningsbron. c. Het vermogen afgegeven door de stroombron. d. Het in de schakeling gedissipeerde vermogen.
V en
Netwerken en wisselstromen
89
o Figuur 8.32. Figuur bij vraagstuk 8.34.
Figuur 8.33. Figuur bij vraagstuk 8.35.
8.36. Zie figuur 8.34. a. Bepaal de complexe verhouding U2/UI.
=
=
=
Voorts wordt nu gegeven: R 500 n, C I JlF en ro 2000 rad/s. b. Voor welke waarden van L, verschillen UI en ';2, j in fase? c. Bepaal de spanning U2(t) voor het geval dat L H en UI(t) -(ITf sin(2000t) V is.
=k
=
R
C
+
R
4 L
R
U,
U2 C 2
Figuur 8.34. Figuur bij vraagstuk 8.36.
0-------'-----'
Figuur 8.35. Figuur bij vraagstuk 8.37.
8.37. Zie figuur 8.35. Het schema bevat twee gelijke weerstanden. Wij beschouwen de impedantie Z12, gezien aan de klemmen 1 en 2. a. Welke betrekking bestaat er tussen R, L en C als voor alle (0, de impedantie Z12 reëel is? Voorts wordt nu gegeven: R 1 n, L 1 H, C 1 F en ro 2 rad/s. b. Teken het wijzerdiagram van de spannigen. Doe dit op schaal!
=
=
=
=
8.38. Zie figuur 8.36. U12 =2 V, U34 =(-1 + j) V, ro = 1 rad/s. a. Bereken IR. b. Bereken het door beide bronnen aan het netwerk afgegeven gemiddelde vermogen
P. c. Als nu UI2(t)
=2sin(t), watis dan U34(t)?
90
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme I,
a
+o-----.---<>-----l~----l
1H
u
2
4jn
4 . Figuur 8.36. Figuur bij vraagstuk 8.38.
Figuur 8.37. Figuur bij vraagstuk 8.39.
8.39. In een fabriek-is een éénfase-wisselstroommotor in bedrijf. Voor het probleem dat wij onderzoeken mag de motor worden opgevat als een serieschakeling van een weerstand van 3 n en een spoel met impedantie van 4j n. Zie figuur 8.37 met weggenomen condensator. De netspanning U is 100 V; wij kiezen U reëel. a. Bereken de complexe stroom IM in de motor. Schets in één wijzerdiagram U en IM. Bereken de cosinus van het faseverschil
8.40. Zie figuur 8.38. Bereken Z12
•
• R
2<>---...J
Hl
20----'
Figuur 8.38. Figuur bij vraagstuk·8.40.
8.41. Zie figuur 8.39. Bereken Z12.
Figuur 8.39. Figuur bij vraagstuk 8.41.
Netwerken en wisselstromen
91
8.42. Zie figuur 8.40. Bereken Zl2.
Figuur 8.40. Figuur bij vraagstuk 8.42.
8.43. Zie figuur 8.41. R = 10 0, Ll 100 {2cos(t + ~), v.
= 10 H, L2 = 1,6 H, M = 2{2 H en u(t) = .
R
z
uIt)
b Figuur 8.41. Figuur bij vraagstuk 8.43.
Bepaal het thévenin-equivalent van de schakeling links van de klemmen a en b. b. Hoe moet Z worden gedimensioneerd opdat van vermogens aanpassing sprake is? Q• .
8.44. Zie figuur 8.42. R = 10 0, L = 10-2 Hen C = 1 Jl.F'.
c Figuur 8.42. Figuur bij vraagstuk 8.44.
Bij welke frequentie is de stroomsterkte maximaal? b. Bij welke frequentie is de stroomsterkte maal zo groot als IIImax? c. Hoe groot is de bandbreedte?
Q.
lf2
8.45. Zie figuur 8.43. Bij welke frequentie roo is I in fase met U? Bij welke waarde van R is dan IUcl = 100IUI?
u
Figuur 8.43. Figuur bij vraagstuk 8.45.
92
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
8.46. Een R-L-C-serieschakeling is aangesloten op een wisselspanningsbron met constante bronsterkte van 200 V en met een variabele frequentie. R 50 Q, L 1 Hen C ·10-4 F. De bron levert dan 200 watt. Welke zijn de beide mogelijke hoekfrequenties?
=
=1;
=
8.47. Op een R-L-C-serieschakeling staat een wisselspanning U. a. Bereken de spanning Uc over de condensator. b. Voor welke waarde van 00 is IUcl maximaal? Men spreekt dan van "amplituderesonantie" . c. Bewijs dat dan geldt: IUc Imax --
rr-
QolUI . Q 1-;:::==::;:=, waann 0 =R -" C .
"'/1
_1
"
405
d. Bewijs dat als U en I in fase zijn geldt IUcl =QolUI. e. Schets IUcl als functie van 00.
8.48. Een hefwerktuig dat met een elektromotor wordt aangedreven moet een last van 1500 kg in 10 s over een hoogte van 5 m heffen. De versnelling van de zwaartekracht g = 10 m1s2. a. Welk vermogen moet de motor minstens hebben? b. Als de motor wordt gevoed uit een net met 220 V (effectieve waarde) bij een cos(cp) = 0,9 terwijl het rendement van de installatie ~ is, wat is dan de stroomsterkte tijdens het heffen?
8.49. Men wil een gloeilamp van 40 W die geschikt is voor een spanning van 120 V effectieve waarde, laten branden op een net van 220 V effectieve waarde. De netfrequentie is 50 Hz. Dit kan men doen via een voorschakelweerstand van Ro. a. Hoe groot is Ra en wat is het vermogen dat het net levert? Men kan in plaats van de voorschakelweerstgand Ro een voorschakelcondensator C gebruiken. b. Teken een wijzerdiagram van de spanningen en laat de mogelijkheid daarvan ·zien. c. Bereken hoe groot men de condensatorwaarde moet kiezen. d. Welk vermogen levert het net in dit geval?
8.50. (nieuw) Zie figuur 8.44. N.B. De wisselstroomgrootheden in dit vraagstuk zijn in effectieve waarden uitgedrukt. Een gloeilamp met een vaste weerstand Ra is gemaakt om te branden op 200 V en zijn vermogen is dan 40 W. a. Bereken Ra en de stroom 10, die bij normaal gebruik in de lamp vloeit. Men beschikt nu slechts over een wisselspanningsbron van 100 V (50 ijz)en dankzij de schakeling met een spoel L en een condensator C blijkt:
Netwerken en wisselstromen
93
L
+
u
c
Figuur 8.44. Figuur bij vraagstuk 8.50.
1. de spanning op de lamp toch 200 V te bedragen, terwijl, 2. de spanning U en de stroom I in fase blijken te zijn. Ofwel de schakeling gedraagt zich - gezien vanuit de bron - resistief als een Ri. b. Bereken door een vermogensbeschouwing I en bereken dan Ri. c. Bereken tenslotte de bijbehorende waarde van L en van C.
9t!
Antwoorden 1. Elektrostatische velden in vacuüm 1.1. a. a = 7,I;b = 6,4; b. a·b = -25; c. cp = 123°; d. a+b=2i +6] +k; e. a-b=4i+2]-llk; f. axb=34i-13]+lOk. 1.2. a. a=3i +5] +7k; b=8i -6] -2k; b. cp = 55°. 1.3. a. (y2 + 2xy)i + (x 2 + 2xy)] + 6zk. b. 2x + 2y + 6. c. 0; geldt \;/ V! 1.4. a. 8,12xlO-8N; gravitatiekracht = 4x 10-47 N; b. -4,36xlO- 18 J; c. -2,18xl0- 18 J; d. +2,18xl0- 18 J= 13,6 eV. 1.5. a. Ruimteladingsdichtheid bij A; b. ~2 1tpoa2/3(b7/3 _ a7/3 ). 1.6. a. Oppervlakteladingsdichtheid aan rand; b. 1tO'oR 2; c. ~ 0'0. 1.7. a. Ruimteladingsdichtheid bij A; b. 1tpoa2/3f(b4/3- a4/3 ).
f
~. 1 . b ~.I (l..ti.) 1 . 8 . a. 41tEo . a(a + l)' . 41tEo n a '
1.9.
a:
')J
; b. 2:Eoa; c.
21t€oa V12 + 4a2
1.10. a. -.!L (1 2Eo
41t~a2
. x ); b. -.!L 2Ç'-'\J_ ; c. YR2+ x2
(Wet van Coulomb).
f: ; d.
crQx - ; e. 2eo
'-'\J
1.11. - . 1.12. a. Ver) =
r 2(2 - r2)
4Eo
.
...
...
; b. re = 1; c. als re = 1 ~ E = 0, met Gauss volgt
Qomsl = 0; d. Q = 41tr\r2 - 1); e. per) = 5r2 - 3. ... V. ......... E>.n,V"c 2 1.13. a. E = O e-x/a i - bj + Ok; b. ~ {e--{;/a - I}.
a
41ta b ' -a3 ; c.n = 4; d · a- • 1.14.a·r- ; R 2EoR 2 . R2p rp R2p reP 1.15.a.- 3Eo ; b . .- 3Eo en - 6eo; cvo=R'V ~. A
1.16. a.
;~
en
:~
; b.
~~
c. blijft gelijk.
EoEo . 1.17. a. 21teoRLEo; b. -41teoRLEo; c. +21teoRLEo; d. EoR; e. -r1.18. a. rot Ë = 0; b. -a(x 2 + y2); c. 4aeo; d~ onfysisch! Voor x en y ~ wordt Ë oneindig. 1.19. a. Ja; b. nul. e(a3 - x3) ea3 ea3 1 .20. a. 12 x + V0; b. -12' 4' . Eo
00
Antwoorden EOS
2
f. + 24a Uo ;
EOS
2
24a Uo .
g. -
1tEo 1.22. a. ~ {!+_I_}; b.::: In(a/r) . 21tEo x a - x 21tEo 1.23. a. ln(b/a) ; b. neen.
----±- '
1. 2 4. a. -3a4/3 Uo (x)
1/3 7.
1, b. -
1.25. a. V(t a) = 0; V(t a) = -
4EoU 0
~J
9
4EoU 0 a4'3' c.O en ~
X-713 •
is minimaal; b. vo >
~ ~~~ ;
I d . - 3EoUo . . c . . 5 vo mlmmaa; - -2-' overaI geI"k IJ . a 1.26. a. (axy2 ,ax 2y ,0); b. rot Ë =0; c. Eoa(x 2 + y2); d. 1tEoalR4; e. x 2 - y2 = con st.
î
Q
z
.
_57
{z
1.27.a.cr=--2 2 . 2'!J2; b.Q 1/ -I}; c.Q. 1t (z + X ) , z2 + a2 R R2 ' 1.28. a. Q' =- a Q op afstand x =a van middelpunt bol, aan de kant van Q; b. Q/41tEoa. _ 21tEQV _ -7. ~7 _ 7 . 1.29. a. À. -ln(2h1rl) - 2,81x 10 CIm, b. - 1tEoh J --202J NIC, 2
~7_
c. 4neo h J - -1,4x 10 1 .30. a.
J NIm.
Q2cos(a)
Q2.
41tEo(a2 + 4b 2)
met sin( a) = ya2
~
- --,
_Q? 41tEOb 2
+
Q2sin(a) 41tEQ(a2 + 4b 2)
--==--------'---'---
41tEoa2 Q2 Q2_~ 4b2 ; b. - 41tEoa + 41tEo ya2 + 4b 2 81tEob'
aq _ 2 I _ R I Raq2 . b I _ 2 2' . q - - R ' met a - RIbwordt q - - b q, 41tEo(a2 - R ) F= bRq 2 41tEo(R2 - b2? 1. 3 1. a.
1.32. a. V = 0 voor x _3Q2 c. AWiJ' .=-2--' 1tEoa
1.33. _ 6Q2 + 1tEoa 1
1.34. a. 2" {3 -
=- t
a en x
=-3a;
b. E = 0 voor x = -3a - 2a...J2 ;
lIQ2 4neoaY2
(r\2 'ft al } -41tEoa -
3(Ze)2 ; b . 2n-~ . V/l.C.oa
1.35. a'. Ja; b. binnen -Qo, buiten +QI; V'
= ~ Voo
95
96
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
2. Elektrostatische velden in diëlektrica 2.1. a. 1,38x10- 22 ; b. 1,38x10- 14 ;
V = 0; d.r > 1,5x10- lOm. . . . 2p cos(9) p sin(9) 2.2. a. ZIe de theone; b. Er = 4 3 ; Eo = 4 3; 7tEor 7tEor . c. Er is alleen Eo = 4 PI 3 ter plaatse van dipool IT, de richting valt samen met -PI; 7tEor C.
-PI PIP2· - dus E = 4~ ; d. 4~ sm(cp) = -P2· E . 7tEor 7t€or .
2.3. a. Ja; b. p = 0, overal; c. F = apT + bp] + Ok; d. oT -CP] + cpk; e. voor x ~ 00 zou E ~ 00 gaan. . . _ .3/ p . -3p 2.4. a. -, b. Ro - 'V 47tEoEo ; c. crB = 0; crA = 47tR~ . 2.5.-
-opa 1 2.6.a.-; b.F=-.( 2 2)k. 7tEo
x +a
Pa
2.7. a. VA - VB '=-"E; b. E = O. 2.8. a. crA = +Po; b. VA - VB = ,
0
,
~a 3p~
.
'-'tI
PR 21 PI 2.9. a. E = 2Eor3 ; b. D = 2VR2 + 12
;
P I c. 2Eo YR2 + 12
2.10.a.E = 1,25x 10-4N/C;D = 1,lx10- 15 C/m2; b.E = 6,3x1O-2 N/C; D = 2,44 x 10-8 C/m2 .
-
2.11 . .Ë= -Pb {2 ;D=P(1_lL{2). -
7tEoa
7ta
P - 9P 2.12. a. VA - VB = 1OEo ; b. Be = - 1OEo ; c. EA = 1OEo; d. Qp = P·S. lP
2.13. a. cr v = tEoEV; b. PI = 2EoEo; PIl =
li EoEoV, beide met dezelfde
richting als de veldsterkte; c. crp = - ~EoE..J3 . 2.14. a. Gauss => Voor de berekening van het veld buiten de bol mag de lading Q worden vervangen door een puntlading Q in punt T en de lading -Q door een punt-
~ V =. Prcos(9) ; c. - ; d . B'mnen: 3 ; EO . . _ PR3cos(9) . . . ' _ . _ 2. bUlten. V 3 2 ' e. - , f· - , g. crb - Pcos(9), h. Qb - 7tPR , €or . · -Q'm punt S ; b . Iad mg
i. Veldlijn:
t
=r:09 => r=Csin2(9) metCe IR+.
2.15. - ;
2.16. a. Elan, = Etann bij grensvlak en En, = ErEnn; b. E = - Q - ( 2Er 1) . 47tEoa2 Er +
2.17. a. QA = 367tEox 10 3; b. P = 2 . 18 . a. V el
600;> Eo ; c. crB = -4000 EO; d. QB = ·-47ta. r
2 b Q = Eoa(a2b+ 3x) V 0 ;'
_ Eoa(a + 3x) V . b 0, c. F
-
3Eoa 2 = Th Vo'
Antwoorden
2.19. a. E C.•
Ql -r1tR~p p 2 + -3 r; b. Q2 41tEOr Eo
=
A
A
Y 1 = Rl - R
d. 21tEO(A2(i
2
l
1
2
= -(Ql . + 11t(RJ 3
97
Ri)p);
2.
+ 2. B(R; - Rl)'
i
) 2
+ AB(~ - Ri) +
Q2
1.
2.20. a'1tI6EoR {I +Er}' b.
t B2(~ - Ri»)·
-(Er-I) . :+-(Er-l) Er Q, c. Er Q.
31 41 e- I 4 2.21. a. P = EoEo; b. Etl = Et2 =s A ;Enl =S A + e+ 1 sEo.
2.22. -
; 2.23. -
2.24. a. P
~ R:
V2y =
;
t
-t
A cos(q»
A cos(q» = 0;
P ~ R: V2Y = -~o cos(q» + ~o cos(q» + ~ cos(q» -
~ cos(q»
= 0;
b. Y continu voor p = R
Dn continu voor P = R =>
+ 2E (E + I)A=-2Eo => A= _ _o_. :r Er + 1 '
(1) => C = Er-I EoR2. Er + I '
c. ab = Pn = EQ(Er - l)Enintern = -EQ(Er - 1) Acos(q»
=
2EQ«Er-l)Eocos(q» Er + 1.
2.25. a. VCR) = continu, Dn(R) = continu, Et(R) = continu; b B l - Er R3E C - 3ErEO B C·· 1 . 1 = 1 +~Er 0; 1 = 1 + 2Er' 0 en 0 zIJn nu ; -+ 3erEo c. Eï 1 + 2Er ; d .. -; e. -.
=
2.26. a. V
=
yQ
41tEo a2 + z2
; b. V =4 Q
1tEo
(t - t a~ Z
+
~
a: ... ); Z
00
c. Laplace: V2V = 0; d. V ~ 0 voor r ~ 00; e. V(r,a) = LBnr-(n+l)Pn{cos(a)}; .
n=O
2 BO=4 Q ,BI =0,B 2 =_a Q ; y=4 Q (1+ta~_~a2co~2(a) + ... ). 2 41tEo 1tEo 1tEo r r r
P ; b . Pv = 5Cer ri ;. c. Qv = 41tCEr ·R5 EO(E r - 1) (Er - 1) (Er - 1) 2 d. Pp = -5Cr ; e. a p = CR3. 2.28. a. -0,12 P/Eo; b. +431t·1O- 3 p2R3/EO; c: +0,88P; d < O. 2.29. a. -Po en 0;' b. -PoI2Eo; c. +Po/R; d. Po> 0 ~ Er naar links; 2.27. a. Ë =
98
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
-
Po { e. - 2<,_D 1c.u-a-"
X. }
--.JR 2 +
dx;
f. -0,8 -Po/EO.
X2
3. Elektrische stromen 27ta 3 .3.1.I=TR .
3
-;" ne - 2/3 . 2.a. -nel; b.- aX
- -Ner3 3.3.a.1 = Ne; b·J=-4 7tr
.
voorRA~r~RB.
. Ne 3.4. a.J = 27tR ; b. Plv1R 1 = P2V2R2. 1
3.5. J=2Ne(v2)'
3.6. a. P = -Nle + N2q; b. (V) = {NI(VI)+N2(V2)} N 1 N ; c. neen. 1+ 2 3.7. V·j 7; 0, yx2 = constant. 3.8. a. n = bie; b. ad2~S; c. ap/at = 2ax. ·3.9. a. war; b. !waR2.
I (Alm); c. 7td 11'\ {2a h + LÜ)" n( a)} 3.10. a. 7tbI 2 ; b. J = 27trd .
3 11
G 3(G I + G 2) . b
G IG 2
. . a. G I +G2 ' G I +G2 +G3 ' 21 3.12. 31
13
8 10
RIR2 · R 3(R I + R 2) . Rl +R2 ' Rl +,R2+R3'
, R = ~i 0. 3.1 3. 1A,
18
.t A en î A.
3.14. IR =0, Pul=+1 W, Pur =-1 W, PI=O. 3.15. IV, 2V. 3.16. 2A, iA. 3.17. lu 1 = IU 2 = IA, IRl = 2A, IR4 = IA.
4.
H~t
magnetische veld van stationaire stromen
1loI
4.1. 2 . 7tr 4.2.-. 11 IR2 43 . . A -_rO_ 2 ' m--3 .
4.4. - . . Ilonl . Ilonl . llonl. Ilonl 4.5. a. 21 {COS(2) - COS(I)}, b. I cos(m), c. 1. 1 ' 2. 2/' llolll;1 . 4.6. -2--' afstotend. 7ta -+ lloll12 L 4.7. F = en m = 7t {l- a·arctan(a)}·
°
4.8.
F=0, M =BIS.
llol 2 a + 1 llol2 a+I . 4.9. a. -2-ln(-); b. - 2 {/- a ln(-)}; c. op 0,421 van A. 7t a 7t a ~ JL .!!:Q!. . ~_~ 4. 1 O. 7tb arctg(2c)' 27tc resp. 2b - 2 .
Antwoorden
1
~I
2
99
2-
4.11. Ilo {2a + 3b \' x + Y }k. 4.12. a . divB = 0 ~ f = -b en -1 -2 2 -=4.13. a. MI TL; b. EOI;
C
= - 2a ; b . -4ayk.
eCxoyo . 2 2 3/2 ; d. splfaal naar rechts met 1. steeds m(x o + yo) grotere straal en 2. steeds grotere spoed. 4.14.1,7.10 7 mis.
4.15. a.
12
-=-
13 qvoBoJ;
b.
C.
12 mvo
13 Boq'
llo<Jro R 2 + 2x2 1 · 4.16. a. -2-{ - 2x}, b. = zllo<JroR. {R2 + x2} 1/2 . llonol
b
4.17. 2(b _ a) In(a)' . maar v ~ Bo' Eo 4 . 1 8 . a. -,. b . -v -- Cl-=- - ~ Bo -k' met C WI'11ekeung
.4.19. B=(O)T +b~ror +~rok;b. a2 +b 2 = 1. .4.20. v = hbl . ; b. IB . -bI; c. VQ< Vp; d. VQ> Vp. ne ne 4.21. In geval b. ... lloevI . ~ '. ~ 4.22. a. - _J ; b. 2 ( ) , c. - 2 In(2), d. 2 In(2). Ne 1t a + x 1t 1ta
- -llolR2 p 4.23. A=ep 4r3
~
- -1 B= P
-PI
Pep
a ap
a aep
a az
0
pA
0
Z 1
1
; Bq! = 0;
1 a 3 IlolR2 pz -V 31lolR2 p • B = - - - (pA) = waarin r = p2 + z2 ~ B ::= P P az 4 r5 . P 4z4'
_ .l~ _llolR2 ----1, p2 _ /!o1R2 Bz - P ~ ':) (pA) - ~3 {I- 2 r2) ~ Bz - 2z3 . 2 -2 - - llo IR ·21tR 24.24. = A. dl = Aq! 21tR = 3 met r = " z + R2. ë 4r.
~
4.25. a. -; b. -.
4 26 O' 1!Q!. (r .
. , 21tr
2
(R~
Rf) . ./!Q!. - Rf) , 21tr
-
100
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
5. Stationaire magnetische velden' in magnetiseerbare materie :....~.
•
-->_
7
5.1. a. -, b. F - 2 2' c. F - FJ. , 1ta _1!Q!l. 12b2 . 5.2. a. B - 2 { + 3}, b. -. a c
5.3. -. 5.4. a. H = 1,27 Nm; b. B = 0,994::: 1,00 T. 5.5. a. B = 0,50 T; b. F = 40 N. -+
2
-+-->
2-+-+
1
-+
-->
1-+
5.6. a. BA = 31loM; HA = 3M; BD = -31loM en HD = - 3M;
b. Bn = tJloMcos(9); BI = t~sln(9); Bp = ..,j B n2 + BI 2 p Hp = B ; richting tan(q» = ttan(8).
!lo
5.7. a.
-+
Be = llo:M (k....f2 + t); b. in richting negatieve x-as.
5.8. a. -; b.
IloMcos( cp )sin2(cp) R i l 2 In(R ); c. h = ~R1 - R2){2. 2 -+
1
-+
1
..
Ha
5.9. a. f = 1; b. B = 2' !loM; c. H = 2' M met nchtmg tan(r) = H =tan(8) p
~
r = 8.
. 61lolÛR 3H51t 5.10. a. -, b. (21lr + 1)2 . 2(Jlr-l) 3 Jlr-l 3 5.11.a.Cl= 2+Jlr ·HoR ,C2=2+Jlr HoR. B 5.12. a. -; b. -; c. tan(a) = Ba. r
5.13. a. NI d$; b. -. dt llonNSIslo 7 5. 1 4. a.-; b . 2R I;
C.-
llo nNSI slo 7 4R J.
1--
5.15. a. - ; b. -3' M; c. 0,6IloM, onder 16° met normaal; d.0,43IloM e. I = 0,43M1n; f. 0,54M, arctan(1,3) met x-as. -+ I.... --+ 5.16. a. 1. V 2A = -1lo1l1 -2 k voor 0 ~ p ~ a, V 2A = 0 voor p > a; 2. div A = 0 1ta
(Lorentzconditie voor het geval ~ = 0 is zoals hier); b. richting als -+ c. A = 1l01l11p 21ta2 -es; e. I'Im B a = !!l ti m Ba; pÎa 112 ph
J. Ä = - ' g20g2 l(ln .e.)k voor a < p « 1t a 5.17. a. Am-I; b,
a-+
rk ;
lengte van de draad.
c. 1. 21tar; 2. Iloa; d. -.
k; ,
Antwoorden
101
6. Elektromagnetische inductie . U À!' U OÀ! B2i 2 U 6.1. a. v(t) = Bio(l - e ), l(t) = ~ met A. = - mR ; b. Bio en 0.
6.2. a. iv{B(x) - B(x - a)}; b. 2B oivsin«(l0Ü1tt), f =50 Hz; c. QP =ka met: k =-4, -2, 0, +2, +4, + .... --+ • 2 -;> LLloBo 6.3. a. F = LIoBosm (rot)l zodat F > 0, 'lit; b. 2 . Ilo/v
6.4. 21t In(lO) en VD > VE·
6.5. Vr - V as = ~ ·roBR2 I
b 6 .6 . a . 2W. Ba"
2·
U o - -Broa 2aBU - 4WR 2 .C 0 . d R ,. B2a3 ,. -. _ ~ (R2- R I).
a. 2
6.7. a. RI + R ' b. VA - VB- 2 (RI +R2) , c: 6.8. a. IlollrnCt ; b.
6.9. a. v(t) =
i. 1 · 2 a, d. - 2 a.
1l0llrnCr 1l0llrnC yr 1tri 2 4 2 ; c. 2 ; d. 8 (llollrnC) ro .
qRBo(t) . R dB(t) dv(t) qC m ; b. Ene = 2 ----cït; c. qEne = m Tt ~ B = 2Bo; d. n = 41tm'
6.10. 24mH. 6.11. a. 64 mH; b. 57,5 mH. 6.12. a. 106 Nm; b. 81t.1O-2 VS. Il N2S 6.13. a. - ; b. -1-' 1101 .L _1_. .&! a-r. ~ a 6.14. a. 21t (x + a-x)' b. 1t ln( r ), c. -1t ln(r)' l evenWIJ"di g aan a;. b 11012 ; c. L = ----a-; Ilo b d. H as = -21 arctan (a) 6 . 15 . H .= a -b . 1ta 2a . 3I2bllo . Ilob 6.16. a. 81t ; b. raam en draad In één vlak;c. M = 41t In(2). ·
6.17. a. =
-11. -11 161tllolO-4 29'V'L9 = 4,0·10 Wb, b. 2,0·10 H.
I Ir 11012 {I b} 6.18. a. 2m ; b. 21ta2 ; c. 41t 4+ ln a; d. LI
6.19.
=I!.Q 21t
1 b {4+ ln a}'
MI -T'
6.20. a. 1 ~ 4 en 3 ~ 2 niet; b. llomR {4(x 2 +1 R2)3/2 + (x 2 + 2
2
{I
I}
~R2)3/2
};
c. 31lon1R xv 4(x 2 + R2)5/2 + (x2 + 4R2)5/2 6.21. a. 15 mA; b. 6,75.10-5 J; C. -; d. warmte; e. 3 mV. 6.22. a. 500 Nm; b. 2,5·10-4 Wb; C. L 1,25 H; d. neen; e. neen;! 0,022 J.
=
102
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
623 C - llomR2 . b J - E _ y31lomRv o { x } · . a. 2 ' . - y 41t (x2+R2)512 ; c. 1=
{I
llomRvoyb 41t
I}
(t2+R2)312 (4t2+R2)312 . 624 nln2 R m3 · . + Rml Rm2 + Rm2Rm3 + Rm3Rmi . ,y,. 6 •25 • 'VI
-
-
.
llo/lrS (4a + /lrd)nl . - , y , . 15 a+llr 2 6 ad ' '" - n'Vl ·
6.26. a.-; b. - ; c. - . 6.27. a. -; b. -; c. K = ~12. 6.28. a. - ; b. - ; 6.29 .. a. UoIr In(r2/rl), zowel in vacuüm als in materie; b.
O"A
=EoErUoIrl In(r2/rl),
2moo(Er-l)Uo2Ax d 1tEO(Er-l)Uo2Ax O"B = 0" A Er; C. In(r2/r l) ;. In(r2/r ,) ; e. idem als d. maar z.onder Ax. /
7. De vergelijkingen van Maxwell llol [ 7.1.B=2 R{I}. 1t YR2 + [2 2 . Uo Uo U02 7.2. a. E = H = Rb ; b. Rab naar rechts; c. R·
vo
a'
7.3. a.
B=(-Eo-V Eollosin{ ro(-V Eollo z -
-+{!t0 -Eo. 2
. b. -+ .ç=k .
7.4.-.
Ilo 7.5. a. in x-richting; b. EoEo2 ; e. 2,74.10 6 Vlm en 91.10-4 T.
t
U5R~ +
t
~ IloHo2 = EoEo2; d. ~ EQEo2c W/m 2 ;
C.
U - UoRu . c - UoRu
7 6 a 1- U o . b · . . - Ri + Ru"
e. S = (R-
t)}, Eo-V EoJloC0s{ ro('\lEoIlO z - t)}, 0);
- Ri + Ru' . - Ri + Ru
1
)2 . b u In _
1
. ..
(luur!. d H _ U o _1_. a ' . - Ri + Ru' 21tr'
. ...
.
..
. - 22;j. nchtmg /I as en m rIchtmg stroom bmnencIlmder
1tr a (vermogen stroomdichtheid); g. u ; h. u . . (Ri + Ru)2 (Ri + Ry 1
77 a j · . .
I
- 21tab sin(8)
U5R
U5R
êe' b Ê ~ 1_ ,.
I
- 0" - 21t0" ab sin(8)
2
êe' c
,.
2
B_
-llol - 21ta sin(8)
2a . 2a =E x H =41t20"a2b1 sin2(8) -er,. e. -1t1b0" In(-b ),j. -Ib In(-b)· 1t 0" 2-+ a2Ä av 7.8. a. V A-Ell at =-Jlly + V(V'A+Elldf) (1) -+
d. 5
-
-
-+
2
2
_
Py
a
-+
. V V - - E - at (V·A)
(2)
ëq,'
,
. Antwoorden
b.
103
(1')
(2')
8. Netwerken en wisselstromen 8.1. a. Geen. Superpositie; b. RI~ =R2R4 (Wheatstone). 8.2.4/3 A; 7/3 A; 2 A; 1 A. 8.3. a. 12 V; 1,2 A; 10 n; b. 4/5 V; 12/11 A; 11/15 n; c. 6/5 V; 18/11 A;. 11/15 n; d. 60 V; 18/13 A; 130/3 n; e. 64/19 V; 32n A; 14/19 n. 8.4. a. 8 W; b. 20 W; c. 8 W; d. 80/9 W; e. geen equivalentie intern! 8.5. 8/9; 1; 8/8; 0; O. Als R RT 1 n. 8.6. A. 8.7. A; 50/9 W; R =40 n.
.
t
= =
t
U -tlRC, Uc ( t ) -- U e-tlRC., 8 •8 . q., 1'(t ) -- - ~
=lie-tlRC ;
b. u~(t)
=U{l -
c. 1. iet)
=lleRxp(-R.t), UL(t) =-Uexp(-R.t);
2. iet)
e-tlRc }, iet)
L
=UR {I -
L
exp(-R.t)}, UL(t)
L
=Uexp(-R·t). L
8.9. uc(t) = 5(1 - e-t ). C C '() U -tJRC C 2 8 • 10 • 1 t = ~R met = CIC ' . 1+
2
8.11. 12 - 8e-t/4. - 8.12.6+ 12e-t/2 ,18 V. ·8.13. iet) = 2e-t sin(3t). 8.14. a. 4 + 4j; 4; 8; IOj; 20; b. -. 8.15. a. {15 (4 - 3j); (1 + j); b. 5 exp(j
-J
=0, triviaal; 2. oo2LC = 1 _ R~C. 8.19. RIR4 = R2R3 èn L = R2R3C. 8.18. 1.
00
8.20. R =ooL èn 2R2 =RI. 8.21. L =R 2C, netwerk van Zobel.
.
104
Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme
8.22.
jroRC , Ol (1 - ro2R2C2) + 3jroRC
8.23.
I ; 00=_1_; UR =-jIVf. (1 - ro2LC) + jroRC -vrr
1 =RC'
1 . 8.~4. cp = +arctan(Z)'
8.25.-. 8.26. a. inductief; b. capacitief; c. resistief (resonantie). 8.27. L = 4,8 mH; Cl = 1/330 mF; C2 = 1/630 mF. 8.28. 002 =2/LC; R =0 v.n .. 8.29. a. L 2 - + L + R~ = 0; b. Cl) C Ol
Cl)
< 1/2Rc ~ beide L > 0 dus "ja";
c. L =2R2C, I = U/2R. 8.30. a. 2...[ïcos(2t +~) A; b. 1 W. 8.31. 2ro2LC = 1; in fase vóór U2(t) = 2..f2sin(1oot + cp) met tan(cp) = 5/2. 8.32. a. -cos(t) V; 1 W; b. -.
t
8.33. a. 4-v2cos(lOt); b. 5 Q en H in serie. 8.34. IL = ·1 A; P = 2 W. 1 1 8.35. a. cos(10oot); b. zW; c. zW; d. 1 W.
8.36. a.
R(1 - ro2LC) 1 1 -1";; . 1 ; b. 6" H en Z H; c. U2(t) = ,,2S1O {2000t - arctan(z) } . 2 2R(l - ro LC) + jooL
8.37. a. L
=R2C; b. -.
8.38. a. t<3 - lIj); b. 13/5 W; ..f2sin(t + ~1t) V. 8.39. a. 12 - 16j; b. 7j; c. :::: 223 !lF. ro2(M2 - LI~) + jroLIR 8 .40. R+jro~
8.41.
113
(l + 21j).
8.42. jro(LI + L2 + 2M). 8.43. a. UT(t) = -20{2sin(t), ZT = ~ + ~j;
b. ~ Q en tF in serie.
4
8.44. a. 10 rad/s; b. 10.500 en 9.500 rad/s; c. 1000 rad/s. 8.45. 000 = 104 rad/s; R = 1 O. 8.46. 25 en 75 rad/s. U ; b. 002 = 0002(1 - _1_), 000 = _1_; c. -; d. -; e. -. 1 - ro2LC + jroRC 205-vrr 8.48. a. ~ 7500 W; b. 57 A. 8.49. a. 300 0, 73,3 W; b. - .; c. 5,75 !lF; d. 40 W. 8.50. a. Ro = 1000 0, 10 = 0,2 A; b. I = 0,4 A, Ri = 250 0; c. L 1,4H, C 5,5 !lF.
8.47. a.
=
=