MASTERCLASS NANOTECHNOLOGIE 1-3 FEBRUARI 2001
Leids Instituut voor Onderzoek in de Natuurkunde (LION)
Leids Instituut voor Onderzoek in de Natuurkunde (LION)
Voorwoord Stel je eens voor dat je in staat zou zijn om materie atoom voor atoom, of molecuul na molecuul, naar je hand te zetten. Dit is het ultieme toekomstvisioen van wetenschappers en technologen in een groot aantal vakgebieden. De materiaalfysici zouden zo bijvoorbeeld materialen kunnen maken met volstrekt nieuwe eigenschappen of combinaties van eigenschappen, precies aangepast aan de toepassing waarvoor het materiaal bedoeld is. Wat dacht je bijvoorbeeld van ‘slimme’ materialen, die zich kunnen aanpassen aan de omstandigheden, zoals slimme verf, die overdag wit is en ’s nachts zwart. De chemici zouden zo elk (stabiel) molecuul dat ze kunnen bedenken ook zomaar in elkaar kunnen zetten, zonder dat daar een kolf of reageerbuis aan te pas komt. Zij dromen al van chemische fabrieken zonder afval. De biologen zouden DNA en andere belangrijke bio-moleculen kunnen bouwen, met precies de gewenste eigenschappen. De medici zouden niet alleen nieuwe medicijnen kunnen bouwen, maar ook bijvoorbeeld kleine, half-intelligente anti-virus machientjes waarmee je gericht binnen het lichaam de strijd met een ziekte zou kunnen aanbinden. Als we de materie zo volledig beheersen dat we deze op de schaal van de atomen kunnen ontwerpen, dan zijn de mogelijkheden vrijwel niet te overzien. De mogelijkheid van atomaire controle lijkt misschien uitsluitend een toekomstdroom te zijn, en thuis te horen bij de fantasie van bijvoorbeeld Star Trek, maar de toekomst is hier dichterbij dan velen van ons nu nog denken. Het is met verfijnde technieken nu al mogelijk om eenvoudige structuren atoom voor atoom op te bouwen, en momenteel wordt in een groeiend aantal onderzoekslaboratoria de basis gelegd van een reservoir aan geheel nieuwe kennis op dit terrein. De verzamelnaam hiervan is Nanotechnologie. In deze masterclass Nanotechnologie zullen we een uitgebreide blik werpen in de fascinerende nanowereld van de materie op de schaal van enkele atomen of moleculen. We nemen een aantal van de basistechnieken onder de loep die bij de nanotechnologie een rol spelen. We zullen zien dat op de atomaire schaal de materie zich niet meer zo gedraagt als we in het dagelijks leven gewend zijn. Om het nieuwe gedrag te begrijpen, verdiepen we ons in de kwantummechanica. Tenslotte, zullen we ook zelf een stukje nanotechnologie in de praktijk brengen door proeven uit te voeren met moderne meetopstellingen en door zelf een voor de nanotechnologie belangrijk instrument te bouwen, namelijk een nanomotor. Met deze Masterclass introduceren we niet alleen het nieuwe terrein van de nanotechnologie, maar proberen we tevens om in drie dagen een min of meer representatieve indruk te geven van de studie natuurkunde aan de Universiteit Leiden. Prof.dr. J.M. van Ruitenbeek en Prof.dr. J.W.M. Frenken Kamerlingh Onnes Laboratorium Universiteit Leiden 1 februari 2001
1
2
1 Inleiding: nanotechnologie
There’s plenty of room at the bottom! Richard P. Feynman 1.1
Wat is nanotechnologie?
1.1.1 Nanotechnologie: Science Fiction Nanotechnologie bestaat niet! Precieser geformuleerd: nanotechnologie bestaat nog niet. Maar nanotechnologie wordt momenteel in diverse onderzoekslaboratoria voorbereid en wordt misschien wel dè technologie van de 21e eeuw. Deze masterclass gaat dus in zekere zin over ‘science fiction’. Momenteel beginnen de contouren zich af te tekenen van deze toekomstige technologie. De eraan ten grondslag liggende wetenschappelijke principes worden al druk verkend. We zullen in de masterclass kennismaken met dit uitermate dynamische onderzoeksterrein en ons een beeld vormen van de uitdagingen en mogelijkheden die hier liggen. 1.1.2 Wat is ‘nano’? Het voorvoegsel ‘nano’ in het woord nanotechnologie slaat op de piepkleine schaal waarop de nanotechnologie zich richt, namelijk de schaal van één tot enkele nanometers. Een nanometer = 1 nm = 10 −9 m . Om gevoel voor deze lengte te krijgen, kunnen we het beste de vergelijking maken met de typische afstanden tussen de atomen in vaste stoffen, zoals metalen en halfgeleiders. Vraag 1.1. Het metaal koper heeft een dichtheid van ongeveer 9 g/cm3. Schat de afstand tussen de koperatomen in het metaal (Tip: het getal van Avogadro bedraagt ongeveer 6×1023 en een koperatoom heeft een massa van ongeveer 64 atomaire massa-eenheden). Het resultaat dat we hier voor koper vinden, is ruim binnen een factor 2 hetzelfde voor de meeste andere materialen. We zien dus dat een nanometer een lengte is waarop nog maar enkele atomen passen. Nanotechnologie is dan ook de technologie op de schaal van enkele atomen. 1.1.3 Waar is nanotechnologie voor nodig? De nanotechnologie wordt door velen gezien als een natuurlijke consequentie van de voortschrijdende miniaturisering die met name in de moderne micro-elektronica plaatsvindt. De componenten van geïntegreerde schakelingen, bijvoorbeeld de afzonderlijke transistoren op een computerchip, worden gestaag kleiner. Het aantal transistoren en andere elementen die op een chip passen wordt daardoor
Figuur 1.1. De wet van Moore in de praktijk: de groei van het aantal transistoren in de PCprocessoren van Intel. (Bron: http://www.intel.com/intel/museum/25anniv/index.htm ) 3
steeds groter. Dat merk je bijvoorbeeld aan de toenemende rekenkracht van nieuwe generaties PC’s en aan de steeds groter wordende werkgeheugens van PC’s. Wonderlijk genoeg volgt die groei al sinds de jaren zestig van de vorige eeuw een heel eenvoudige ‘wet’, die al in 1965 werd opgesteld door de halfgeleiderfysicus Gordon Moore. De wet van Moore is geen echte natuurkundige wet, maar wordt door de elektronica-industrie gehanteerd als een soort ‘afspraak’, de zogenaamde International Technology Roadmap for Semiconductors: ruwweg elk jaar verdubbelt het aantal schakelingen per vierkante centimeter. De laatste tijd loopt de groei iets minder snel dan aanvankelijk, en duurt de verdubbeling gemiddeld circa anderhalf jaar. Om die groei mogelijk te maken, worden door een voortdurende verbetering van de productietechnieken de afmetingen van alle elektronische structuren elke drie jaar gehalveerd. De hier beschreven schaalverkleining is al meer dan 35 jaar aan de gang, sinds de begintijd van de chips. De afmetingen zijn dus sindsdien meer dan twaalf keer gehalveerd! Terwijl de componenten, bijvoorbeeld transistoren, in de nieuwste generaties elektronica in hun afmeting al op het niveau zijn aangekomen van 1 µm (1 micrometer = 10-6 m), zijn de afzonderlijke elementen waaruit die componenten zijn opgebouwd zelfs nog kleiner; verbindende metaalbaantjes zijn tegenwoordig soms al dunner dan 100 nm. Die onderdelen hebben dus een breedte waarop nog maar een paar honderd atomen passen! Het zal duidelijk zijn dat de miniaturisering niet onbeperkt door kan gaan. Volgens de wet van Moore zouden immers binnen enkele jaren de afmetingen van de elektronische componenten op een chip kleiner worden dan de afstand tussen twee atomen. Vraag 1.2. Als de wet van Moore ‘geldig’ blijft, hoeveel jaar duurt het dan nog tot de breedte van de metaalbaantjes op een computerchip gereduceerd is tot één atoom? Zoals we later zullen zien, zijn er ook diverse andere redenen waarom de huidige miniaturisering niet lang meer kan blijven doorgaan volgens het door Moore uitgestippelde, en totnogtoe door de industrie gevolgde pad. Als de afmetingen van de schakelingen heel klein worden, dan gedragen deze schakelingen zich namelijk niet meer op dezelfde manier als hun grotere uitvoering. Dat kan storend zijn voor hun werking, vooral als je domweg dezelfde schakeling op een kleiner oppervlak wilt kopiëren. Maar de veranderende werking levert ook nieuwe mogelijkheden op, vooral als je bereid bent de elektronica zo te ontwerpen dat je van die andere eigenschappen juist gebruik maakt. Een belangrijk voorbeeld van veranderend gedrag op de kleine schaal is de geleiding van elektrische stroom door een ultradunne metaaldraad. Het is tegenwoordig in het laboratorium mogelijk om de dunst denkbare draadjes te maken, namelijk draadjes met een dikte van slechts één atoom (zie 1.2.2). Op deze piepkleine schaal overheersen de wetten van de kwantummechanica en kunnen we met de wet van Ohm niet meer uit de voeten. We zullen ons in deze masterclass verdiepen in de spelregels van de kwantummechanica (Hoofdstuk 3), en aan de hand daarvan ontdekken hoe stroom door een dunne draad loopt en waarom dat anders gaat dan bij een dikke draad (Hoofdstuk 6). 1.1.4 Technologie met atomen en moleculen In de vorige paragraaf hebben we gezien dat de toekomstige elektronica niet meer micro-elektronica maar nano-elektronica zal zijn. De afmetingen van de werkzame componenten zullen hoogstens enkele tientallen atoomafstanden bedragen, en voor de werking van deze ‘nano-devices’ zal de kwantummechanica van wezenlijk belang zijn. De nieuwe technologie, met structuren die samengesteld zijn uit slechts een klein aantal atomaire of moleculaire bouwstenen blijft niet beperkt tot het gebied van de elektronica. Onze science fiction strekt zich ook uit tot de materiaalkunde, de chemie en de biologie. We zullen ons in deze masterclass niet met al deze toekomstdromen bezighouden, maar we zullen ons beperken tot voornamelijk de elektronische toepassingen. Om een globale indruk te krijgen van de reikwijdte van de nanotechnologie, laten we hier een aantal interessante voorbeelden de revue passeren.
4
1.2
Voorbeelden van nanotechnologie
1.2.1 Microscopen die atomen kunnen ‘zien’ In het begin van de jaren tachtig van de vorige eeuw kreeg de ontwikkeling van de nanotechnologie een enorme impuls door de uitvinding van de zogenaamde rastertunnel-microscoop. Dit instrument maakt het mogelijk om de buitenkant van materialen af te tasten met een zo grote gevoeligheid, dat de afzonderlijke atomen aan het materiaal-oppervlak daarbij zichtbaar worden (zie Figuur 1.2). De uitvinders, Gert Binnig en Heinrich Rohrer (IBM, Züricht), ontvingen voor deze doorbraak in 1986 de Nobelprijs voor de natuurkunde. We zullen in Hoofdstuk 3 uitgebreid verder kennismaken met deze bijzondere, nieuwe vorm van microscopie.
Figuur 1.2. Indium-atomen, als verontreiniging ‘verstopt’ in het oppervlak van een koper kristal, en afgebeeld met de rastertunnelmicroscoop (Hoofdstuk 3). Elk van de kleine rode bobbeltjes is één koperatoom. Elk van de gele uitsteeksels is één indiumatoom. http://www-lion.leidenuniv.nl/groups/ip 1.2.2 Dunne draden De dunste metaaldraad die ooit is gemaakt, heeft een dikte van slechts één atoom. In Figuur 1.3 is een afbeelding te zien van een computersimulatie van zo’n draadje van het materiaal goud. Tussen de twee goudelektroden is een brugje te zien van zes goudatomen, dat zich spontaan heeft gevormd. In Hoofdstuk 6 zullen we nader kennis maken met deze ultradunne draadjes, en zien we dat ze niet meer gehoorzamen aan de wet van Ohm.
Figuur 1.3. Metaaldraad met een dikte van één atoom. http://lion.leidenuniv.nl/wwwhome/ruitenbe/index.html 1.2.3 Bucky-ballen en nanobuizen Wereldwijd wordt in een groot aantal laboratoria gewerkt aan zogenaamde ‘bucky balls’. Dit zijn ronde, voetbalvormige structuren van koolstof. Elke bucky ball bestaat uit precies zestig koolstof atomen, elk op een van de hoekpunten van de bal. Samen vormen de atomen een regelmatig patroon van vijfhoeken en zeshoeken, net als bij een echte voetbal. De diameter van de balletjes bedraagt
5
slechts circa 1 nm. Voor de ontdekking van deze atomaire voetballen kregen Harry Kroto, Richard Smalley en Robert Curl in 1996 de Nobelprijs voor de scheikunde.
Figuur 1.4. Model van een bucky ball (C60), en van een stukje van een C60 kristal. http://tiger.chm.bris.ac.uk/cm1/AndrewJ/Welcome.htm#geometry De eigenschappen van deze nanoballetjes wijken vaak sterk af van die van de andere vormen van koostof, zoals grafiet en diamant. Daarmee zijn ze interessant voor een groot aantal mogelijke toepassingen. De balletjes zijn enorm sterk en ze vertonen relatief weinig neiging om chemische bindingen aan te gaan met andere stoffen. Daarom hopen biochemici bijvoorbeeld dat bepaalde medicijnen mooi in zo’n koolstof-‘kooitje’ getransporteerd zouden kunnen worden door je lichaam. Natuurkundigen hebben ontdekt dat je uit de balletjes prachtige kristallen kunt maken, die, als je bepaalde metaalatomen aan de koolstofballetjes bevestigt, bij lage temperatuur supergeleidend zijn. De perfect ronde vorm en de chemische ongevoeligheid maken de balletjes ook mogelijk geschikt als smeermiddel (‘nano-kogellager’).
Figuur 1.5. Microscoop-opname (zie Hoofdstuk 3) en model van een koolstof nanobuis. http://vortex.tn.tudelft.nl/~dekker/ Sterk verwant met de bucky balls zijn de koolstof nanobuizen. Een nanobuis is een ultradunne koker van koolstofatomen, die je je kunt voorstellen als een opgerold grafietlaagje. De diameter van zo’n buisje bedraag typisch 1 nm. Dit zijn de dunste vezels die momenteel gemaakt kunnen worden. Ze blijken enorm sterk te zijn en worden daarom in de toekomst mogelijk toegepast ter versteviging van materialen.
Figuur 1.6. Microscoop-opname (zie Hoofdstuk 3) van een koolstof nanobuis tussen twee elektroden op een siliciumchip. http://vortex.tn.tudelft.nl/~dekker/
6
In Figuur 1.6 Zien we hoe een nanobuis de elektroden verbindt op een chip, waarmee de geleiding gemeten kan worden. Afhankelijk van de manier van ‘oprollen’ van het grafietlaagje, werkt het buisje als een elektrisch geleidende draad of als een halfgeleider. 1.2.4 LEGO met atomen In Figuur 1.7 wordt de kleinste ‘reclame’ getoond die ooit is gemaakt. Het structuurtje bestaat uit een aantal xenon atomen die met een nauwkeurigheid van circa 0.1 nm zijn neergezet op het oppervlak van een nikkel-kristal. De totale lengte van het logo bedraagt nog geen 3 nm. Dit voorbeeld illustreert dat het mogelijk is om nanostructuren atoom voor atoom op te bouwen. We zullen in Hoofdstuk 5 serieuzere vormen tegenkomen van ‘LEGO’ met atomen.
Figuur 1.7. Onderzoekers in een van de laboratoria van IBM in de Verenigde Staten gebruikten een rastertunnlmicroscoop (zie Hoofdstuk 3) om de xenon atomen op dit nikkel oppervlak een voor een op hun plaats te zetten. Met diezelfde microscoop werd vervolgens het resultaat afgebeeld. http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html 1.2.5 Bionanotechnologie Het grote voorbeeld voor de nanotechnologie is de biologie. Levende cellen kan je beschouwen als gecompliceerde chemische micro-fabriekjes. Ze zitten vol met ‘machientjes’ met afmetingen van enkele nanometers. Het bekendste voorbeeld is het DNA. Een gestrekt DNA molecuul heeft een diameter van slechts 2.5 nm. Het fungeert als een belangrijk onderdeel in de aanmaak van alle biologische bouwstenen in de cel.
Figuur 1.8. Microscoop-opname (zie Hoofdstuk 3) van een individueel ‘human transcription factor 2: DNA’ complex. http://www.di.com/ Veel biologische processen maken gebruik van mechanische verplaatsingen, die veroorzaakt worden doordat een eiwitmolecuul, een zogenaamd motorproteïne, als het ware over een ander molecuul ‘heenkruipt’. Deze bewegingen spelen bijvoorbeeld een rol bij celdeling en bij de werking van spieren. In de wanden van cellen en mitochondria zitten grote aantallen speciale eiwitmoleculen die betrokken zijn bij de regulering van transport van atomen en moleculen van de ene kant naar de andere kant en bij de energiehuishouding van de cel. Van diverse van deze nano-wondertjes is de structuur in de laatste jaren opgehelderd met technieken zoals Röntgendiffractie en NMR (nuclear magnetic resonance
7
draaiende atpase.mov
Figuur 1.9. Schematische weergave van het membraan-eiwitcomplex F1-ATPase. Met behulp van de aan het eiwit bevestigde, sliertvormige actine-fiber, kan de spontane draaiing van het eiwit zichtbaar worden gemaakt (klik hiervoor op het ‘movie’-symbool). http://www.res.titech.ac.jp/seibutu/nature/f1rotate.html spectroscopy), en op basis van hun structuur probeert men ook hun werking te begrijpen. Figuur. 1.9 laat het schema zien van het eiwitcomplex met de naam F1-ATPase. Het speelt een belangrijke rol bij de synthese van ATP-moleculen, de brandstof voor de cel. Onderzoekers in de Engeland en de Verenigde Staten hebben ontdekt dat het middelste gedeelte van dit complex tijdens de ATP-productie om zijn as draait, als een soort Wankel-motor. Voor het ontrafelen van de structuur van deze complexe draaimotor ontvingen John Walker (Cambridge) en Paul Boyer (Los Angeles) in 1997 de Nobelprijs voor de scheikunde. In de tekening van Figuur 1.8 is aangegeven hoe de draaiing zichtbaar wordt gemaakt. Aan de centrale as is een dunne moleculaire ‘wimpel’ bevestigd, die door de draaiing mee wordt gesleurd. In het filmpje (klik met linkermuisknop) is een microscoop-opname van de waargenomen draaiing duidelijk te zien.
1.3 De droom van Feynman De eerste wetenschapper die serieus heeft nagedacht over de mogelijkheid van het beheersen van de materie op de schaal van atomen en moleculen was de Nobelprijs-winnaar Richard Feynman. In een legendarische lezing, getiteld “There’s plenty of room at the bottom”, bij een bijeenkomst van de American Physical Society in 1959, hield hij zijn collega’s voor dat de natuurkundige wetten het niet onmogelijk maken om atomen zichtbaar te maken met sterke microscopen en om materialen atoom voor atoom in elkaar te zetten. De toepassingen waarop de nanotechnologie zich momenteel richt, werden in de visionaire lezing van Feynman allemaal al voorzien. Hoe vooruitziend zijn blik was, wordt duidelijk als je je realiseert dat dit slechts enkele jaren na de uitvinding van de transistor was, en meerdere jaren vóór de ontwikkeling van de eerste elektronische chip. Feynman dacht ook na over de manier waarop de atomair precieze technieken zouden kunnen worden omgezet in massaproductie. Hij liet zich hierbij deels inspireren door de biologie. Dit belangrijke punt komt in onze masterclass aan de orde in Hoofdstukken 5 en 7. Feynmans droom is verder uitgewerkt door diverse op de toekomstige technologie gerichte organisaties. Een van de bekendste daarvan is het Foresight Institute. Op de website van deze organisatie word je op de hoogte gehouden van de laatste ontwikkelingen op het gebied van de nanotechnologie. Bovendien vind je hier ook links naar enkele goed leesbare, algemene (web)-boeken, waarin wordt uitgelegd hoe de huidige techniek stap voor stap kan worden verfijnd naar massaproductie met controle op de schaal van nanometers.
8
Figuur 1.10. Richard P. Feynman (1918 – 1988) wordt beschouwd als de grondlegger van de nanotechnologie. http://www.zyvex.com/nanotech/feynman.html
1.4 Verder in deze masterclass Veel van de verschijnselen die bij de nanotechnologie optreden zijn doorspekt met kwantummechanische effecten. Na deze inleiding zullen we ons daarom eerst, in Hoofdstuk 2, uitgebreid verdiepen in de kwantummechanica. Gewapend met deze nieuwe kennis kunnen we de werking begrijpen van de rastertunnelmicroscoop, die in deze masterclass een van de hoofdrolspelers is, en waarmee we in Hoofdstuk 3 nader kennis zullen maken. In Hoofdstuk 4 dalen we stapje voor stapje af in afmetingen naar het domein van de nanometer en proberen we ons een voorstelling te maken van de bizarre veranderingen in de fysische eigenschappen van materialen die tijdens die afdaling optreden. Misschien wel de belangrijkste verandering betreft de elektrische geleiding van materialen, die op nanometerschaal de wet van Ohm niet meer volgt. Dit belangrijke effect vormt het onderwerp van Hoofdstuk 6. Hoofdstuk 5 gunt ons een atomair gevoelige blik op de oppervlakken van diverse materialen. Hierbij zullen we zien dat materialen aan de buitenkant vaak onverwachte structuren vertonen, en dat op de oppervlakken veel spontane beweging van atomen optreedt. In Hoofdstuk 5 komen we ook al de eerste serieuze ‘vingeroefeningen’ tegen met het atoom voor atoom manipuleren van de materie. Tenslotte, werpen we in Hoofdstuk 7 een blik in de toekomst van de nanotechnologie. Op het gevaar af verzeild te raken in de ‘science fiction’ speculeren we over de stormachtige ontwikkelingen die we in de komende jaren mogen verwachten binnen de nanotechnologie.
9
10
2 Spoedcursus Kwantummechanica
Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it. Niels Bohr 2.1
Deel 1
2.1.1 Inleiding Aan het eind van de negentiende eeuw was de natuurkunde stevig gegrondvest op drie belangrijke pijlers, drie theoretische bouwwerken. Met deze theorieën was men zeer succesvol in de beschrijving van vrijwel alle tot dan toe waargenomen natuurverschijnselen. De eerste pijler was gelegd door Newton, en later werd zijn theorie uitgebreid door vele grote namen, waaronder Hamilton en Lagrange. Dit bouwwerk wordt gevormd door wat wij nu de klassieke mechanica noemen. De klassieke mechanica beschrijft de beweging van voorwerpen onder invloed van krachten, en of dit nu koffiekopjes of planeten zijn maakt niet uit. De gevonden wetmatigheden bleken allemaal fantastisch te kloppen, bijvoorbeeld in de voorspelling van de details van de beweging van de planeten in ons zonnestelsel. De tweede pijler betreft de wetten die elektromagnetische verschijnselen beschrijven, en deze wetten hebben de meest algemene en compacte vorm gekregen door het werk van Maxwell. Maar er zijn veel wetenschappers die belangrijke bijdragen hebben geleverd aan deze theorie, waaronder Coulomb, Faraday, Ampère, en nog vele andere. De wetten zoals Maxwell deze formuleerde, beschrijven de statische elektrische en magnetische verschijnselen zoals de elektrische velden ten gevolge van een bepaalde verdeling van geladen deeltjes, of het magnetisch veld ten gevolge van een elektrische stroom. Daarbovenop beschrijven ze de wisselende velden van radiogolven en zelfs van het zichtbare licht. De derde pijler, tenslotte, werd gevormd door de warmteleer, of thermodynamica, die oorspronkelijk ontwikkeld was door Carnot om een beschrijving te kunnen geven voor een optimaal efficiënte stoommachine. De theorie bleek zeer breed toepasbaar voor alle verschijnselen waar warmte een rol speelt. Bovendien was men in staat, voornamelijk dankzij Boltzmann, om een microscopische verklaring van de thermodynamica te geven in termen van de statistische beweging van atomen, en die beweging gebeurt dan onder invloed van de mechanische wetten à-la-Newton. Dit resultaat was een triomf van de wetenschap, en versterkte het vertrouwen dat men aan het eind van de negentiende eeuw had dat alle natuurverschijnselen uiteindelijk terug te voeren zouden zijn op de wetten van Newton en Maxwell. Zo stonden de natuurkundigen aan het begin van de twintigste eeuw vol zelfvertrouwen, in de overtuiging dat het niet lang zou duren voordat men alle fundamentele problemen in de natuurkunde had begrepen. Deze zelfvoldaanheid werd in zeer korte tijd tenietgedaan door een aantal waarnemingen die met geen mogelijkheid in termen van de oude theorieën waren te beschrijven. We willen niet te lang stil staan bij deze waarnemingen omdat ons dat te ver van ons pad af zou leiden, maar voor de geïnteresseerde lezer geeft Appendix A1 hiervan een korte beschrijving. Zorgvuldig analyseren van deze waarnemingen leidde in de eerste drie decennia van de twintigste eeuw tot twee enorm belangrijke doorbraken. De ene is voor het grootste deel toe te schrijven aan Albert Einstein, en staat bekend als de Relativiteitstheorie. Een prachtige theorie met zeer verstrekkende consequenties, maar daar willen we het hier niet over hebben. De tweede theorie is de Kwantummechanica, en deze is voor onze cursus van groot belang. Met deze theorie willen we daarom wat nader kennis maken.
11
2.1.2 De golf-deeltje paradox De grootste namen uit de natuurkunde van het begin van de twintigste eeuw probeerden uit alle macht de verschijnselen te verklaren in termen van de toen bekende en geaccepteerde wetten. De wetten van Newton en Maxwell werkten zo goed dat men niet graag bereid was toe te geven dat er iets mis mee was. Grote natuurkundigen, waaronder Niels Bohr, Albert Einstein, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger en vele anderen, hebben daar jarenlang mee geworsteld. De problemen die de experimenten beschreven in de Appendix A1 opwierpen werden nog versterkt door nieuwe experimenten, waaronder de verstrooiïng van elektronen door licht, uitgevoerd door Compton, en de experimenten van Franck en Hertz. De resultaten van deze experimenten dwongen deze grote mannen uiteindelijk tot capitulatie: de oude theorieën moesten op de helling. De beschrijvingen voorgesteld door Planck voor de straling van een zwart lichaam, door Einstein voor het foto-elektrisch effect en door Bohr voor de spectraallijnen, waren onacceptabel binnen de oude theorieën omdat er zeer vreemde aannames gemaakt moesten worden. Maar ze wezen allemaal in de richting van een zelfde soort nieuwe theorie. Het heeft echter tot 1927 geduurd voordat die er was. In dat jaar kwamen de belangrijkste onderzoekers op dit gebied bijeen op een historische conferentie, de Solvay conferentie gehouden in België. Daar werd uiteindelijk besloten dat het niet anders kon dan dat men de nieuwe theorie moest aanvaarden, en men beschreef hoe deze er in grote lijnen uit moest zien. Om de botsing van een elektron met een lichtdeeltje (foton) te beschrijven had Einstein voorgesteld om aan een foton een impuls p = hν / c = h / λ toe te kennen. Hierbij gebruikte hij de natuurcontante h die al door Planck was ingevoerd voor de verklaring van de straling van een zwart lichaam.i Het verschil tussen golven en deeltjes leek daarmee te vervagen, en in vervolg op deze lijn van redeneren stelde Louis De Broglie voor om ook aan deeltjes een golflengte toe te kennen via dezelfde relatie, p = h / λ . De golflengte wordt dus langer naarmate het deeltje langzamer beweegt. Daarnaast wordt de golflengte langer naarmate het deeltje lichter wordt. Vraag 2.1. Bereken de golflengte van een elektron dat beweegt met een kinetische energie gelijk aan de thermische energieii kBT bij kamertemperatuur. Bereken ook de golflengte van een waterstofatoom met een kinetische energie behorend bij een temperatuur van 1 Kelvin. Tot slot, bereken de golflengte van een middenklasse auto met een snelheid van 120 km/h. Beredeneer in welke gevallen de golflengte een waarneembare consequentie zal hebben. Alle, naar klassieke begrippen, ‘uitheemse’ ingrediënten werden tot een geheel gesmeed en dit werd de kwantummechanica, die een theoretische beschrijving geeft van het gedrag van elementaire deeltjes, waaronder de elektronen. De theorie breekt met het traditionele onderscheid tussen golven en deeltjes. Deze theorie is vaak strijdig met onze intuïtie, een intuïtie die gevormd is door onze ervaringen uit het dagelijks leven, waarin we niet geconfronteerd worden met microscopische verschijnselen. We mogen ons er dus eigenlijk niet al te zeer over verbazen dat de microscopische wereld beheerst wordt door wetmatigheden die ons bijzonder vreemd voorkomen. In die microscopische wereld kan men een elektron opvatten als een deeltje, dat we op een bepaald moment op een bepaalde plaats kunnen aantreffen, maar eveneens kunnen we het beschrijven als een golf die zich uitstrekt over bijvoorbeeld het gehele stuk metaal waarin het zich bevind, en waarvan de plaats dus onbepaald is. Welk van deze beide gezichtspunten van toepassing is hangt af van de vraag die we stellen, ofwel hangt af van welke eigenschap van het elektron gemeten wordt.
De waarde van de constante van Planck is h = 6,626076 ⋅ 10 −34 Js. Atomen bewegen harder naarmate de absolute temperatuur T groter is. Omdat atomen een bepaalde snelheid hebben, hebben ze ook een kinetische energie. Deze energie wordt verhoogd en verlaagd door de temperatuur te variëren. Deze kinetische energie van de atomen heet thermische energie.
i
ii
12
Het idee dat een elektron zowel als golf alsook als deeltje beschreven kan worden komt ons zeer vreemd voor. Van een biljartbal kunnen we zeggen dat deze een duidelijk bepaalde plaats heeft op elk moment in de tijd. Daarnaast kennen we het verschijnsel van een druppel die in een vijver valt en die een golfpatroon veroorzaakt dat zich over de gehele vijver uitstrekt. Maar we kunnen ons geen voorstelling vormen van een object dat die twee eigenschappen in zich verenigt. Niettemin is de kwantummechanica in staat, in elk geval in mathematische vorm, een synthese van deze eigenschappen te vormen die niet alleen de juiste voorspellingen geeft voor onze experimentele waarnemingen, maar ook de grenzen aangeeft van wat we met onze waarnemingen kunnen bepalen. Het gedrag van een elektron wordt binnen deze theorie beschreven door de wiskundige vergelijking, die naar de Oostenrijkse natuurkundige Schrödinger is vernoemd, en die in principe alles beschrijft wat we over het elektron kunnen zeggen. De Schrödingervergelijking zal hieronder gegeven worden, en we zullen enkele voorbeelden behandelen waarop deze van toepassing is. Maar voordat we hieraan beginnen, willen we eerst het tegen-intuïtieve aspect van de theorie wat nader bekijken. 2.1.3 Het twee-spleten experiment van Young: fotonen Een van de zeer beroemde experimenten in de golfoptica is het experiment van Young (zie Figuur 2.1). Bij dit experiment wordt licht, met een golflengte λ , afkomstig van een puntbron door twee spleten gestuurd. Het licht valt daarna op een scherm. Nu meten we de intensiteit van het licht langs de xrichting. De lichtintensiteit is een maat voor de hoeveelheid licht die, per seconde op een bepaalde plaats op het scherm valt. Als λ << d << L wordt een interferentiepatroon op het scherm zichtbaar. De functie die deze intensiteitverdeling beschrijft is,
æ xd ö ÷÷ I = 4 I 0 cos 2 çç π è λ Lø
(2.1)
Figuur 2.1. Het twee-spletenexperiment van Young. Het licht van een puntbron valt van grote afstand opeen scherm met twee spleten D en E die op een korte afstand d van elkaar liggen. Het licht dat door de spleten komt valt op een tweede scherm dat op afstand L van het eerste scherm staat. De intensiteit van het licht dat wordt waargenomen als functie van de plaats x op het scherm vertoont een patroon van maxima en minima als gevolg van de interferentie van het licht dat door elk van de twee spelen is gevallen.
13
met I 0 de intensiteit op het scherm als één spleet gesloten is. Op het scherm bestaat dus een patroon van lichte en donkere strepen. We verklaren dit als een gevolg van constructieve en destructieve interferentie. De intensiteit van het licht is een afgeleide grootheid; we moeten rekenen met de veldsterkten van het elektromagnetische veld (de intensiteit is evenredig met het kwadraat van de elektrische veldsterkte). In het punt P ( x = 0 , symmetrisch t.o.v. de spleten) interfereren de golven constructief want de weglengte tussen de bovenspleet en P is gelijk aan die tussen de onderspleet en P. De veldsterkte in P is dus tweemaal zo groot als dat hij zou zijn als maar één spleet openstond. Om de veldsterkte in het punt Q (coördinaat x ) te berekenen moeten we kijken naar het weglengteverschil ∆ = DQ − EQ (zie Figuur 2.1). Als ∆ = λ / 2 is er destructieve interferentie in Q en dus is daar de veldsterkte gelijk aan nul; als ∆ = λ is er constructieve interferentie in Q. We zien dus dat we steeds het veld uitrekenen als som van twee velden (afkomstig van de twee bronnen) die onderling een plaatsafhankelijk faseverschil hebben. Door dit faseverschil is er variatie in de sterkte van het totale veld en dus van de totale intensiteit. Deze variatie is afgebeeld in Figuur 2.2.
Figuur 2.2. Het interferentiepatroon als functie van de plaats x langs het scherm.
I/I0
xd/ λ L Tot zover is de beschrijving van de waarneming helemaal gegeven in termen van golven. Maar de kwantummechanica zegt ons dat licht bestaat uit deeltjes, de fotonen. Als je aan fotonen denkt, denk je aan energiepakketjes en niet aan velden. Om het twee-spleten experiment netjes uit te voeren in de context van fotonen wil je eigenlijk met maar één foton tegelijk werken. Je moet dan de lichtintensiteit heel sterk verminderen naar een extreem lage waarde. Het lijkt dan logisch te zeggen dat het foton maar door één spleet gaat, òf door de bovenste òf door de onderste. Einstein vond dit vanzelfsprekend en argumenteerde als volgt: "Stel het foton gaat door de bovenste spleet. Dan maakt het niet uit of ik de onderste spleet bedek of niet''. De lichtverdeling achter één spleet ziet er echter heel anders uit dan die voor twee spleten. Als je met de redenering van Einstein meedenkt, zou je moeten concluderen dat er bij zeer lage lichtintensiteit geen interferentiepatroon overblijft. Je kunt het twee-spletenexperiment voor zeer lage intensiteit in de praktijk uitvoeren. Wat je dan ziet, is dat één foton inderdaad geen interferentiepatroon oplevert maar om een triviale reden. Eén foton kan maar één korrel op een film zwarten. Máár, wanneer je dit experiment gedurende lange tijd voortzet met steeds maar één foton tussen bron en scherm dan verschijnt op den duur het interferentiepatroon van Young. Einsteins redenering gaat dus niet op, en zelfs een enkel foton heeft dus nog golfeigenschappen. Kun je dan nog wel zeggen dat het foton door de ene of de andere spleet gaat? Het antwoord is nee! Je moet concluderen dat het foton altijd door beide spleten gaat! Wat kun je dan nog wel zeggen in termen van fotonen? Hierna zullen we laten zien dat het optische interferentiepatroon van lichtgolven mag worden beschouwd als een waarschijnlijkheidsverdeling voor de positie van de fotonen op het scherm. Daar waar de golfoptica destructieve interferentie voorspelt komen ook werkelijk geen of heel weinig fotonen terecht. 14
2.1.4 Het twee-spleten experiment van Young: elektronen Als we het postulaat van De Broglie uit §2.1.2 serieus nemen, moet het ook mogelijk zijn een tweespleten experiment met elektronen uit te voeren. Zulke experimenten zijn ook gedaan (zie Figuur 2.3). Het resultaat komt volledig overeen met de optische variant. Ook hier kunnen we de elektronenstroom verminderen totdat er maar één elektron aanwezig is. Ook hier lijkt de positie waar elk individueel elektron terechtkomt zuiver door toeval bepaald. Als we echter naar het resultaat van een groot aantal elektronen kijken dan krijgen we het interferentiepatroon terug. Het golfkarakter is dus iets wat aan elk individueel elektron kleeft.
Figuur 2.3. Resultaten van een twee-spetenexperiment met elektronen bij toenemend aantal elektronen. Als weinig elektronen het apparaat hebben doorlopen, herken je geen patroon. Hun ruimtelijke verdeling lijkt willekeurig. Het interferentiepatroon wordt pas duidelijk als voldoende elektronen hebben meegedaan.
15
2.2
Deel 2
2.2.1 De Schrödingervergelijking Voor de merkwaardige experimentele resultaten die aanleiding gaven tot het zoeken naar een nieuwe theorie is dus een prachtige beschrijving gevonden die bekend staat als de kwantummechanica. Het gedrag van een deeltje wordt beschreven door een zogenaamde golffunctie, die niet beschrijft waar het deeltje zich werkelijk bevindt op elk gegeven tijdstip, maar die de waarschijnlijkheid beschrijft om het deeltje op een bepaald punt aan te treffen wanneer we daar gaan kijken. De wetenschappers die deze theorie hebben geconstrueerd hebben dus een zeer belangrijke concessie moeten doen om een sluitende theorie te krijgen: de theorie is namelijk niet deterministisch. Dat wil zeggen dat uit een meting van de positie en snelheid van een deeltje op een bepaalde tijd, geen absolute voorspellingen gedaan kunnen worden over waar we het deeltje in de toekomst zullen aantreffen. We kunnen alleen de waarschijnlijkheid voorspellen, en deze wordt beschreven door de golffunctie. De golffunctie, die we zullen aanduiden met de griekse letter ψ , kan worden gevonden als oplossing van de Schrödingervergelijking. Hoe is Erwin Schrödinger aan zijn formule gekomen? Een groot deel is raden geweest. Maar niet zomaar raden, want de theorie moest aan strikte voorwaarden voldoen. Onder andere besloot Schrödinger op grond van de resultaten van De Broglie dat hij moest uit gaan van een beschrijving van deeltjes als golven. Verder moest hij eisen dat, voor systemen die groot genoeg zijn, kwantumeffecten geen rol kunnen spelen. Immers, uit onze ervaring uit het dagelijks leven weten we dat kwantummechanica geen rol speelt op de schaal waarop wij leven. We moeten dus eisen dat we de bekende resultaten van de wetten van Newton terugvinden wanneer de afmetingen groot worden. Bohr heeft deze belangrijke eis aan de theorie heel duidelijk geformuleerd en dit staat bekend als het Correspondentieprincipe van Bohr. De theorie moet dus een uitbreiding zijn van de bekende wetten, en ze niet volledig vervangen. Laten we eerst het resultaat van het werk van Schrödinger bekijken, en dan gaan we ermee aan de slag. Het grootste probleem dat we moeten overwinnen is te leren begrijpen wat de formules betekenen. Om de discussie niet nodeloos ingewikkeld te maken beschrijven we het gedrag van een deeltje met massa m dat slechts in één dimensie (de x-richting) kan bewegen. Voor zo'n deeltje ziet de Schrödingervergelijking er als volgt uit: d 2ψ ( x) = −C ψ ( x ) dx 2
(2.2)
Dit is een differentiaalvergelijking, en dat mag je ook verwachten want golven zijn over het algemeen oplossingen van differentiaalvergelijkingen. De golffunctie ψ (x ) is de oplossing van de vergelijking, die we zoeken. Het linker lid van de vergelijking zegt dat we deze golffunctie twee maal naar de plaatscoördinaat x moeten differentiëren, en het resultaat daarvan moet dan weer diezelfde golffunctie opleveren, maar dan vermenigvuldigd met een factor C. Om de Schrödingervergelijking compleet te maken moeten we nog zeggen wat die factor C is, en voor de gevallen die we hier zullen bespreken is dit een constante met een waarde C=
2m (E −V ) D2
(2.3)
In deze vergelijking komen een aantal natuurconstanten voor: de massa van het deeltje, m, en de constante van Planck die in dit geval geschreven wordt als D = h / 2π . Verder is V potentiële energie van het deeltje en E de totale energie. De factor C is dus evenredig met het verschil tussen de totale
16
energie en de potentiële energie, en dat verschil is de kinetische energie. De factor C is dus evenredig met de kinetische energie. De vergelijking beschrijft alle situaties voor een deeltje dat in één richting kan bewegen. De informatie over het specifieke probleem dat we willen beschrijven komt op twee plaatsen de vergelijking binnen. Op de eerste plaats gebeurt dat via de massa m van het deeltje, dat bijvoorbeeld een elektron zou kunnen zijn met massa me= 9,1·10-31 kg. Op de tweede plaats komt deze informatie de vergelijking binnen via de potentiële energie V (x ) , die bijvoorbeeld zou kunnen worden beschreven door de elektrische potentiële energie van een elektron dat wordt aangetrokken door een proton zoals het geval is in een atoom, zodat V ( x) = −(1 / 4πε 0 )(e 2 / x) . We zullen ons hier echter beperken tot problemen waarbij de potentiële energie constant is. 2.2.2 Een vrij deeltje: potentiële energie nul. Om een beter beeld te krijgen van de betekenis van de vergelijking bekijken we enkele bijzondere situaties. Om te beginnen nemen we een geval waarbij de potentiële energie overal nul is, V ( x) = 0 . We beginnen met een oplossing te zoeken voor de differentiaalvergelijking (2.2). Wanneer C constant is de oplossing vrij eenvoudig, een mogelijke oplossing is namelijk
ψ ( x) = sin( kx) .
(2.4)
Laten we dat eens controleren. De eerste keer differentiëren van ψ (x) geeft dan d ψ ( x) d = sin( kx) = k cos( kx) . dx dx
(2.5)
We hebben hierbij gebruik gemaakt van de kettingregel, waarbij we eerst sin( y ) naar y differentiëren, en dit vervolgens vermenigvuldigen met de afgeleide van y = kx naar x. Bij de tweede keer differentiëren gebruiken we dat − sin( y ) de afgeleide van cos( y ) is, zodat d 2ψ ( x ) = − k 2ψ ( x ) . 2 dx
(2.6)
De golffunctie ψ ( x) = sin( kx) is dus inderdaad een oplossing die aan de Schrödingervergelijking (2.2) voldoet, wanneer k 2 gelijk is aan C. Wanneer we dan bedanken dat C gegeven wordt door (2.3), met V ( x ) = 0 dan vinden we een relatie tussen deze parameter k en de energie E, D2k 2 =E 2m
(2.7)
We zien dus dat de oplossing van de Schrödingervergelijking inderdaad een golf is, in dit geval een eenvoudige sinusgolf. De golflengte λ van de golf wordt bepaald door de afstand tussen twee maxima van de golf, waarvoor dus geldt dat kλ = 2π .
Vraag 2.2. (1) Voldoet ψ ( x) = A sin( kx) ook aan de Schrödingervergelijking met V ( x) = 0 ? (2) Voldoet ψ ( x) = sin( kx + ϕ ) , met ϕ een constante fase, ook aan de Schrödingervergelijking met V ( x) = 0 ? (3) Voldoet ψ ( x) = cos(kx) ook aan de Schrödingervergelijking met V ( x) = 0 ? 17
2.2.3 Impuls, snelheid en golflengte van het deeltje Om nu een natuurkundige betekenis aan deze wiskundige relaties te kunnen toekennen moeten we aannemen dat de golflengte λ de De Broglie golflengte voorstelt, waarvoor geldt dat λ = h / p . Met kλ = 2π volgt dan dat p = h / λ = hk / 2π = Dk . Dit suggereert dus dat we Dk moeten opvatten als de impuls p van het deeltje. Dat klopt dan ook mooi met vergelijking (2.7) waaruit dan volgt dat E = p 2 / 2m = 12 mv 2 , de klassieke kinetische energie (immers, in dit geval hebben we V ( x) = 0 gekozen, zodat de totale energie gelijk is aan de kinetische energie). We zien dus dat een lage kinetische energie overeenkomt met een lange golflengte, een hoge energie met een korte golflengte. 2.2.4 Deeltje met kinetische energie nul We hebben nu het geval bekeken waarbij de potentiële energie nul is. Omgekeerd kunnen we een geval bekijken waarvoor de kinetische energie nul is. De totale energie is dan gelijk aan de potentiële energie, en dus moet C in (2.3) gelijk aan nul zijn. Aangezien we hebben gevonden dat k 2 gelijk is aan C vinden we dan dat het deeltje een impuls p = Dk gelijk aan nul heeft, en dus een oneindig lange golflengte. Inderdaad, voor een kinetische energie gelijk aan nul is ook de impuls, en dus de snelheid, gelijk aan nul. 2.2.5 Interpretatie van de golffunctie Het onwennige aspect de Schrödingervergelijking is de bijzondere vorm van de kinetische energie en het feit dat we het deeltje beschrijven met een golffunctie. Hoe moeten we die golffunctie nu interpreteren? We gebruiken hier de analogie met de intensiteit van de lichtgolven in het interferentieexperiment van Young: de waarschijnlijkheid W om het deeltje aan te treffen op een plaats x wordt gegeven door het kwadraat van de golffunctie Ψ ( x) op die plaats, W ( x) = (Ψ ( x ) ) . 2
(2.8)
Voor een algemene oplossing ψ ( x) = A sin( kx + ϕ ) ligt daarmee dan gelijk de amplitude A vast, want de totale waarschijnlijkheid om het deeltje waar dan ook aan te treffen moet natuurlijk gelijk aan 1 zijn. Wanneer L de totale lengte is van de ruimte waarin het deeltje zich beweegt dan vinden we A = 2 / L . Dit wordt geïllustreerd in Figuur 2.4.
2
A 2
(Ψ(x))
0
0
x
L
Figuur 2.4. Omdat de totale waarschijnlijkheid om het deeltje ergens te vinden 1 moet zijn, en omdat 2 we deze waarschijnlijkheid gelijk willen stellen aan (Ψ ( x) ) , moeten we het oppervlak onder de grafiek bepalen en dit gelijk stellen aan 1. Aan de grafiek kun je zien dat dit oppervlak ongeveer de helft is van de breedte van de grafiek, L, maal de hoogte, A2. Door de integraal uit te rekenen kun je laten zien dat dit de exacte oplossing is. 18
2.2.6 Doordringen in het verboden gebied Uit de klassieke natuurkunde, waarmee de natuurkunde van vóór de kwantummechanica wordt bedoeld, is het volgende gedrag van voorwerpen bekend: Een voorwerp dat een kinetische energie Ekin heeft wordt afgeremd wanneer het aanloopt tegen een stijgende potentiële energie en het voorwerp komt tot stilstand zodra de kinetische energie volledig is omgezet in potentiële energie. Wanneer we wrijving verwaarlozen, dan kunnen we een kogel vertikaal omhoog schieten en deze bereikt een hoogte H die gegeven wordt door de kinetische energie bij aanvang, mgH=Ekin (hierin is m de massa van het voorwerp en g de valversnelling). Hoger kan het voorwerp bij gegeven kinetische energie nooit komen. In de kwantummechanica is dit niet meer waar, en dit volgt direct uit de Schrödingervergelijking (2) zoals we nu zullen laten zien.
Vraag 2.3. Maak een grafiek van de potentiële energie als functie van de hoogte H, voor een kogel die vertikaal wordt afgeschoten met een snelheid van 100 m/s. Teken in dezelfde grafiek de totale energie van de kogel als functie van de hoogte. Geef in de grafiek aan wat het hoogste punt is dat de kogel zal bereiken. Zoals gebruikelijk mag wrijving worden verwaarloosd. Stel we hebben een elektron met energie E dat zich vrij kan bewegen in een ruimte met potentiële energie V = 0, zoals links van het punt x = 0 in de schematische voorstelling van Figuur 2.4. Wat gebeurt er rechts, waar V = V0 > E ? In dat gebied kunnen we de Schrödingervergelijking schrijven als d 2 Ψ ( x) 2m = − 2 ( E − V0 )Ψ ( x) 2 dx D
(2.9)
De vergelijking lijkt op het probleem van §2.2.2 van een deeltje in een ruimte met potentiële energie nul, maar nu met een effectieve negatieve energie E − V0 . Het feit dat de energie negatief is, betekent dat de sinusfunctie geen oplossing meer vormt voor deze differentiaalvergelijking.
E V=0
V = V0 x=0
Figuur 2.4. Een schematische voorstelling van potentiële energie nul, links van x=0, naar een hoge potentiële energie, rechts van x=0. Vraag 2.4. Bekijk de Schrödingervergelijking (2.9) voor een potentiële energie V0, die constant is voor alle waarden van de plaats x. Waarom is een sinusfunctie geen goede oplossing meer wanneer de energie E kleiner is dan V0? Dat de sinusfunctie geen oplossing meer is, is misschien niet zo verrassend, want we zouden verwachten dat het deeltje helemaal niet kan doordringen in het gebied rechts van x = 0 in Figuur 2.4, aangezien zijn energie niet toereikend is. Het verrassende is dat er wel degelijk andere oplossingen van de vergelijking (2.9) bestaan in dat gebied, namelijk
19
Ψ ( x) = B exp(κ x) , òf Ψ ( x) = B exp( −κ x) .
(2.10)
De vorm van deze functies staan weergegeven in Figuur 2.5. Dit zijn natuurlijk niet echt golven, maar het zijn functies die snel groeien of uitdempen voor toenemende x. Door invullen van (2.10) in (2.9) vinden we voor κ
κ = 2m(V0 − E ) / D
(2.11)
functiewaarde
4.0 3.5
e
3.0
x
2.5 2.0 1.5 1.0
e
0.5
-x
0.0 0
1
2
3
4
positie x
Figuur 2.5. De oplossingen van de Schrödingervergelijking in een gebied waar de potentiële energie groter is dan de energie van het deeltje wordt gegeven door e-machten met een positieve of een negatieve exponent. De eerste van de twee oplossingen in (2.10) kunnen we buiten beschouwing laten, want die zou erop duiden dat het steeds waarschijnlijker wordt om het deeltje aan te treffen naarmate we verder naar rechts gaan. (Deze oplossing is van belang voor andere situaties, bijvoorbeeld wanneer zich ergens verder naar rechts een gebied bevindt waar V = 0, en waar de deeltjes dan vandaan komen.). We hebben dus een oplossing gevonden van de Schrödingervergelijking in een gebied waar ze niet zouden mogen komen volgens de klassieke natuurkunde. We moeten de oplossing van de golffunctie rechts en links van x = 0 nog netjes aan elkaar plakken. De wiskunde staat voor de geïnteresseerden uitgewerkt in Appendix A2, en het resultaat van deze berekening voor de golffunctie staat weergegeven in Figuur 2.6. 2.2.7 Tunnelen De theorie voorspelt dus het volgende: een deeltje dat vrij kan bewegen, maar in contact komt met een potentiële energieberg die hoger is dan zijn beschikbare kinetische energie, kan toch in die berg doordringen, maar de waarschijnlijkheid om het deeltje op een afstand x aan treffen neemt exponentieel af met de afstand. We spreken hier van tunnelen: het deeltje graaft zich als het ware een tunnel door de barrière, maar komt niet ver wanneer de barrière maar hoog genoeg is. Tot zover was dit puur theorie, afgeleid van de eigenschappen van de Schrödingervergelijking. Het verassende is dat dit effect ook in werkelijkheid optreedt. Met name de STM, die uitgebreid in het volgende hoofdstuk ter sprake komt, is gebaseerd op dit verschijnsel, en het zal daar uitgebreider worden besproken.
20
Figuur 2.6. De oplossingen van de Schrödingervergelijking rond het punt waar de potentiële energie over gaat van nul (links van x = 0) naar een waarden die groter is dan de energie van het deeltje zelf (rechts van x = 0). Het onderste deel van de figuur toont de energie en potentiële energie als functie van de positie. Het bovenste deel toont de golffunctie, als oplossing van de Schrödingervergelijking. De sinusgolf links sluit glad verlopend aan op de exponentieel afnemende oplossing rechts.
21
2.3
Deel 3: Kwantummechanisch model voor metalen
2.3.1 Deeltje in een put Om wat meer inzicht te verwerven in de kwantummechanica zullen we de theorie uit de vorige paragrafen toepassen op een betrekkelijk eenvoudig probleem: een deeltje met massa m in een ééndimensionale put. Dit probleem zal ook dienen als basis voor een eenvoudige beschrijving van de eigenschappen van elektronen in metalen. Verder zal het van pas komen bij de bespreking van enkele verschijnselen uit de nanofysica. We beginnen met een potentiaalput met oneindig hoge wanden. We schrijven de Schrödingervergelijking weer in de vorm: 2m d 2 Ψ ( x) = −CΨ ( x), met C = 2 ( E − V ) . 2 dx D
(2.12)
De put wordt dan beschreven door de vorm van de potentiële energie (zie ook Figuur 2.7), V ( x) = 0, voor 0 ≤ x ≤ a;
(2.13)
V ( x) = ∞, elders.
E ne rgie
0
a
x
Figuur 2.7. Vorm van de potentiële energieput waarin de elektronen worden opgesloten. In de gearceerde links van x=0 en rechts van x=a is de potentiële energie oneindig hoog. 2.3.2 Buiten de put Voor x > a of x < 0 (de gearceerde gebieden in de figuur) is de potentiële energie oneindig hoog, en daar is dus ook C oneindig groot. We hebben gezien dat de golffunctie van een deeltje exponentieel afvalt in een gebied waar de potentiële energie hoger is dan de beschikbare kinetische energie van het deeltje. De golffunctie valt sneller af naarmate het verschil tussen kinetische en potentiële energie groter is. Het deeltje heeft natuurlijk geen oneindig grote energie en dus zal de golffunctie oneindig snel afvallen in het gebied buiten de put. Met andere woorden: Voor x > a of x < 0 moet gelden dat Ψ ( x) = 0 . Dat klinkt inderdaad redelijk: de waarschijnlijkheid om het deeltje links van 0 of rechts van
22
2
a aan te treffen is Ψ ( x ) = 0 , zoals we mogen verwachten wanneer het deeltje daar een oneindig hoge barrière tegenkomt. 2.3.3 Binnen de put In de put geldt V ( x) = 0 zodat we daar de eenvoudige vergelijking krijgen, d 2 Ψ ( x) 2m = −CΨ ( x ), met C = 2 E . 2 dx D
(2.14)
De oplossing van deze vergelijking is al eerder ter sprake gekomen. De oplossing is: Ψ ( x ) = A sin( kx + ϕ ) ,
(2.15)
met k = 2mE / D . 2.3.4 Aan de rand van de put: randvoorwaarden De variabelen A en ϕ liggen nog niet vast. Dat gebeurt pas wanneer we de zogenaamde ‘randvoorwaarden’ in rekening brengen, en wanneer we bovendien de voorwaarde meenemen dat de totale waarschijnlijkheid om het deeltje waar dan ook te vinden gelijk aan 1 moet zijn. Met de randvoorwaarden zorgen we ervoor dat de golffunctie aan de rand van de put netjes aansluit op de golffunctie erbuiten. Welnu, buiten de put hebben we Ψ ( x) = 0 , dus krijgen we als randvoorwaarden: Ψ (0) = A sin(ϕ ) = 0 en Ψ (a ) = A sin( ka + ϕ ) = 0 .
(2.16) (2.17) 2
De eerste vergelijking heeft als mogelijke oplossing A = 0 , maar dan is ook overal Ψ ( x ) = 0 en dan is er dus helemaal geen deeltje. Laten we die mogelijkheid buiten beschouwing dan zijn de oplossingen.
ϕ = nπ , n = 0, ± 1, ± 2,K
(2.18)
Al deze mogelijkheden komen in feite op hetzelfde neer omdat sin( ka + 2π ) = sin( ka) en sin( ka + π ) = − sin( ka) . In het laatste geval is de oplossing dus gelijk aan die voor ϕ = 0 wanneer we A
vervangen door − A . Beide oplossingen geven dezelfde waarschijnlijkheidsverdeling W ( x) = (Ψ ( x) ) . Hieruit concluderen we, dat de keuze van ϕ geen invloed heeft op de waarschijnlijkheidsverdeling. We kunnen dan ook stellen dat 2
ϕ =0
(2.19)
Uit vergelijking (2.17) volgt nu dat het product ka een geheel veelvoud van π moeten zijn.Verder volgt uit de eis dat de totale waarschijnlijkheid gelijk aan 1 moet zijn dat A = 2 / a , zoals we hebben besproken in §2.2.5.
23
We hebben nu netjes de waarde van de willekeurige variabelen A en ϕ bepaald. We kunnen de oplossingen van de Schrödingervergelijking dus schrijven als Ψ ( x) = 2 / a sin( nπ x / a) . 2.3.5 Kwantisatie Er is nu iets bijzonders gebeurd. Niet alleen hebben we de variabelen A en ϕ bepaald, maar uit vergelijking (2.17) hebben we ook een voorwaarde gevonden waaraan het getal k moet voldoen, namelijk k = nπ / a, n = 1,2,3,K .
(2.20)
De voorwaarde voor k betekent dat ook de energie geen willekeurige waarde meer mag hebben, maar moet voldoen aan (zie vergelijking (2.7)),
En =
h 2 k n2 h 2π 2 = n2 , n = 1, 2, 3,K . 2m 2ma 2
(2.21)
Hier zien we het eerste voorbeeld van energiekwantisatie: de energie kan niet zomaar willekeurige waarden aannemen, maar slechts zeer bepaalde discrete waarden, bepaald door een geheel getal n. Dit is de oorsprong van de naam kwantummechanica. Deze kwantisatie is puur het gevolg van het golfkarakter van de deeltjes. De golf reflecteert aan de wand en door de aanwezigheid van twee wanden zijn er dan slechts een eindig aantal vaste golfpatronen mogelijk (zie Figuur 2.8). Deze golfpatronen worden volledig gekarakteriseerd door een enkel geheel getal, n, het kwantumgetal. Deze kwantisatie vormt ook de verklaring voor de spectraallijnen uitgezonden door de atomen van een gas, zoals wordt bestproken in Appendices A1 en A3. Vraag 2.5. Waarom laten we in (2.20) en 2.21) de mogelijkheid n = 0 buiten beschouwing? Waarom laten we negatieve getallen ( n = −1,−2,K ) buiten beschouwing?
24
Figuur 2.8. Illustratie van de golffunctie en de waarschijnlijkheidsverdeling voor een deeltje in de put. De put is links weergegeven. De gearceerde gebieden geven aan waar de potentiële energie oneindig hoog is. Dat zijn dus voor het deeltje de verboden gebieden. Langs de verticale as in de put is de energie van het deeltje weergegeven voor n = 1, 2, 3 en 4 (de energie is hier gedeeld door D 2π 2 / 2ma 2 ). Voor de eerste drie energieniveaus is rechts de golffunctie Ψ ( x) en de
waarschijnlijkheidsverdeling Ψ (x)
2
weergegeven (de functies zijn voor het gemak gedeeld door
2 / a , respectievelijk 2 / a , zodat de maximale amplitude steeds 1 bedraagt). 2.3.6 Model voor een metaal Het voorbeeld dat we hier besproken hebben, van een deeltje dat zit opgesloten in een put met oneindig hoge wanden, is een redelijk goed model voor de beschrijving van elektronen in een metaal. Voor veel metalen kunnen we de geleidingselektronen in goede benadering beschrijven als deeltjes die vrij door het metaal kunnen bewegen, alsof ze in een vlak landschap van constante potentiële energie leven. Aan de rand, dat wil zeggen aan het oppervlak van het metaal, worden ze natuurlijk tegengehouden door de energie waarmee de elektronen in het metaal gebonden zijn. Dit kennen we als de uittree-energie (in het engels de workfunction) van het metaal. Dit is het verschil in (kinetische plus potentiële) energie voor het elektron wanneer het zich in het metaal bevindt, ten opzicht van de situatie wanneer het er buiten zit. De potentiële energieberg is in werkelijkheid dus niet oneindig hoog. Dat heeft tot gevolg dat tunnelen van het ene metaal naar het andere metaal mogelijk is, en daar komen we uitgebreid op terug in hoofdstuk 3. Verder zal de golffunctie niet exact nul hoeven te zijn op de wand, zoals we hier hebben
25
gebruikt, maar de randvoorwaarde voor een meer correcte eindige waarde van de potentiële energie aan de wand geeft oplossingen van de Schrödingervergelijking die er vrijwel hetzelfde uit zien binnen de put. Verder moeten we voor een correcte beschrijving natuurlijk een put in drie dimensies nemen, en niet een ééndimensionale put zoals hier besproken. Echter, de uitbreiding naar drie dimensies voegt niets echt nieuws toe, behalve dat de wiskunde iets lastiger wordt. Een uitgebreidere bespreking hiervan is te vinden in Appendix A5. 2.3.7 Nanofysica Een belangrijk resultaat van de kwantummechanica is het feit dat de elektronen slechts discrete energiewaarden kunnen aannemen, gegeven door vergelijking (2.21). Wat heeft dit voor gevolg voor de eigenschappen van metalen? Het antwoord is, dat voor een gewoon stuk metaal uit het dagelijks leven hier niets van te merken is. De afstand tussen de energieniveaus neemt namelijk heel snel af wanneer de afmeting a van het metaal groter wordt (zie vergelijking (2.21)). Voor een macroscopische afmeting a = 1cm hebben we D 2π 2 ≅ 6 ⋅10 −34 J 2ma 2
Dit is bijzonder klein (onmeetbaar klein). We kunnen uit bovenstaande discussie een belangrijke conclusie trekken, namelijk wanneer we het stuk metaal dat we bestuderen kleiner maken dan zal de afstand tussen de energieniveaus groter worden, en dan verwachten we dat de effecten van de kwantummechanica belangrijker worden. Deze effecten worden pas echt belangrijk voor metalen van de afmeting van enkele nanometers. Dit valt dus op het terrein van de nanofysica, en we zullen deze effecten in volgende hoofdstukken uitgebreider bespreken. Voordat we daaraan beginnen is het verstandig de geleerde stof uit dit hoofdstuk te oefenen aan de hand van enkele opgaven.
26
2.4
Opdrachten
1. Bekijk het kwantummechanisch model voor een elektron in een put met oneindig hoge wanden. De breedte van de put is 10 nm. Wat is de laagst mogelijke waarde van de energie van dit elektron? Berken de waarde in eenheden Joule. 2. Hoe vergelijkt deze waarde met de thermische energie bij kamertemperatuur? 3. Hoe ziet de golffunctie van dit elektron eruit? Geef een korte beschrijving. 4. Hoe ziet de waarschijnlijkheidsverdeling eruit om dit elektron op een bepaalde plaats binnen de put aan te treffen? 5. We duwen nu de wanden van de put dichter naar elkaar toe. Wordt de golflengte van het elektron nu groter of kleiner? 6. Wat gebeurt er met de energie van het elektron, wordt deze groter of kleiner? 7. Wanneer de afstand tussen de wanden twee keer zo klein wordt, hoe groot is dan de energie van het elektron? 8. Hoe ziet de golffunctie van een elektron met de op één na laagste energie eruit? Geef een korte beschrijving, waarbij je de nadruk legt op het verschil met de laagste energietoestand. 9. Hoe groot is de waarschijnlijkheid om het elektron met de op één na laagste energie precies in het midden van de put te vinden? 10. Laat door wiskundige berekening zien dat je de golffunctie uit de vorige opgave kunt schrijven als de som van twee andere golffuncties, namelijk A sin( kx + vt ) en A sin( kx − vt ) . 11. Geef de waarde van k uit de vorige opgave, zowel in formule als de waarde voor de put van 10 nm. 12. In dit hoofdstuk hebben we de tijdafhankelijkheid van de Schrödingervergelijking buiten beschouwing gelaten, maar de golffuncties veranderen natuurlijk met de tijd. Wanneer we nu stellen dat een tijdafhankelijke golffunctie bijvoorbeeld geschreven kan worden als A sin( kx + vt ) , loopt deze golf dan naar links of naar rechts? 13. Beredeneer dat de tijdonafhankelijke golffuncties die we besproken hebben beschouwd kunnen worden als het resultaat van interferentie tussen twee golven: een linksom en een rechtsom lopende golf. 14. Voor de tijdonafhankelijke golffunctie met de op één na laagste energie hebben we gezien dat de kans om het elektron precies in het midden van de put aan te treffen nul is. Kun je hiervoor een verklaring bedenken? 15. Stel dat het elektron vanuit de op één na laagste energietoestand terugvalt naar de laagste energietoestand. De energie die hierbij vrij komt wordt uitgezonden als een foton. Wat is de energie van dit foton, wanneer de put weer 10 nm breed is? 16. Wat is de golflengte van dit foton?
27
28
3 De Rastertunnelmicroscoop 3.1 Inleiding Met moderne microscopen, zoals de rastertunnelmicroscoop (Engels: Scanning Tunneling Microscope, ofwel STM) kan tegenwoordig de buitenkant van materialen worden afgebeeld met een zeer sterke vergroting. Deze vergroting is zo sterk, dat de afzonderlijke atomen zichtbaar worden. Het zal je niet verbazen dat dit wonderlijke instrument met zijn ultieme resolutie aan de basis staat van een enorme ontwikkeling binnen de natuurkunde. Maar ook in de scheikunde en zelfs binnen de biologie hebben de STM en de andere hiervan afgeleide microscopen in korte tijd een belangrijke positie veroverd. Met een STM kunnen eigenlijk alleen oppervlakken bekeken worden van materialen die stroom geleiden. Het principe van de scanning tunneling microscopie is echter zo breed toepasbaar dat je, door de technologie iets te veranderen, ook niet-geleidende oppervlakken kunt bekijken. Op deze manier kunnen ook oxides en zelfs biologische materialen, zoals DNA bekeken worden. De STM werd in 1981 uitgevonden door G. Binnig en H. Rohrer, van het IBM onderzoekslaboratorium in Zwitserland. Al in 1986 werden zij beloond met de Nobelprijs voor de natuurkunde. De STM heeft in zijn korte bestaan de ontwikkeling van de nanotechnologie enorm versneld. Met de STM werpen we een directe blik op de dynamische nanowereld van de buitenste atoomlagen van metalen en andere materialen. 3.2 Principe van de Scanning Tunneling Microscoop Het principe van de STM is verbluffend eenvoudig. Het valt het best te vergelijken met dat van een ouderwetse platenspeler (zie Figuur 3.1). We gebruiken een vlijmscherpe metalen naald waarmee we het oppervlak van het preparaat aftasten. Het grote verschil met de platenspeler is dat onze naald het preparaat nèt niet raakt. We maken hierbij gebruik van het kwantummechanische tunneleffect, waardoor elektronen kunnen ‘overspringen’ van de naald naar het oppervlak of andersom. We leggen een elektrische spanning aan tussen de naald en het preparaat. Hierdoor gaat er een minuscule stroom lopen: de tunnelstroom. Deze stroom hangt extreem sterk af van de precieze afstand tussen naald en oppervlak, en wordt pas goed meetbaar als het laatste atoom van de naald zich binnen een nanometer, ofwel enkele atoomafstanden bevindt van het dichtstbijzijnde atoom van het preparaat. De microscoop meet de stroom en stelt voortdurend de hoogte van de naald zodanig bij, dat de tunnelstroom op een constante waarde wordt gehouden. Op deze manier blijft de naald op een constante afstand van het oppervlak. Als nu de naald parallel aan het oppervlak verschoven wordt, terwijl de stroom constant wordt gehouden, volgt de naald een hobbelpad – iets hoger pal boven een atoom, en iets lager tussen de atomen in – dat eruit ziet als de atomaire structuur van het oppervlak onder de naald. De bewegingen van de naald worden door een computer geregistreerd en op een beeldscherm zichtbaar gemaakt. De beelden die we zullen zien zijn allemaal op deze manier tot stand gekomen. In Figuur 3.2 zien we twee afbeeldingen. De linkerafbeelding is een afbeelding van een klein stukje van 2.5 nm × 2.5 nm van een grafietoppervlak. De STM heeft het oppervlak lijn voor lijn afgetast. Het resultaat is in het linker plaatje weergegeven als een verzameling afzonderlijke hoogtelijnen, die hier perspectivisch zijn getekend. Elk koolstofatoom in het grafietoppervlak is zichtbaar als een bescheiden bobbeltje. Let op: in vrijwel elk STM plaatje word je op de een of andere manier “voor de gek” gehouden; hier is bijvoorbeeld de schaal in de verticale richting overdreven met een ongeveer een factor tien ten opzichte van de schaal langs de twee horizontale richtingen. Dat is nodig omdat anders de atomen zo “plat” zouden worden weergegeven, dat ze in het plaatje moeilijk te onderscheiden zouden zijn!
29
gevolgde weg
A V
piëzo element
naald
preparaat
naald
preparaat Figuur 3.1. Werkingsprincipe van de STM. Met behulp van een speciaal piëzo-element (zie ook 3.3) wordt de hoogte van de scherpe naald voortdurend bijgeregeld, zodanig dat de tunnelstroom, en daarmee afstand tussen de naald en het oppervlak constant blijft. Als ondertussen de naald zijdelings wordt verschoven, volgt zij de contour van het oppervlak, atoom voor atoom. Het rechter plaatje van Figuur 3.2 toont een andere STM afbeelding van hetzelfde oppervlak als dat van het linker plaatje. In dit plaatje is het oppervlak op een andere manier weergegeven. Met behulp van de computer zijn alle tussengebiedjes tussen de hoogtelijnen ingekleurd, met lichte tinten voor de heuvels en donkere kleuren voor de dalen. Vaak zie je dat er bovendien in dit soort verfraaide plaatjes met een kunstmatige verlichting een soort van schaduwwerking is aangebracht. Realiseer je dat, ondanks de veel aantrekkelijkere aanblik van het rechterplaatje, beide plaatjes in Figuur 3.2 precies dezelfde informatie weergeven!
Figuur 3.2. Links een plaatje van een grafietoppervlak opgebouwd uit afzonderlijke hoogtelijnen. De hoogtelijnen zijn hier perspectivisch getekend. Rechts een plaatje van een grafietoppervlak waar aan elke hoogte een kleur is toegekend.
30
3.3 Kleine verplaatsingen in de STM De eerste STM’s waren afschuwelijk gecompliceerde apparaten die enorm gevoelig waren voor vloertrillingen, geluid en andere vormen van storing. Zinvolle afbeeldingen werden alleen in het holst van de nacht verkregen, als de experimentatoren stil zaten en hun mond dicht hielden, en als al hun collega’s naar huis waren en er weinig verkeer op de weg was. Tegenwoordig bestaan er commerciële tunnelmicroscopen in zakformaat, die gewoon op tafel kunnen staan. De elektronica is relatief eenvoudig en past in een kastje ter grootte van een eenvoudige audioversterker. De besturing gebeurt vanaf een gewone PC. De praktische uitvoerbaarheid van het STM-principe berust op de mogelijkheid om met hoge nauwkeurigheid superkleine verplaatsingen van de naald ten opzichte van het preparaat in te stellen. Alhoewel atomen in de meeste stoffen typisch zo’n 0.25 nm uit elkaar zitten, is het door de STM waargenomen hoogtereliëf van de atomen aan de oppervlakken van materialen vaak niet groter dan 0.025 nm. De nauwkeurigheid van de STM moet dus nog beter zijn dan 10% van een atoomafstand! Op het eerste gezicht lijkt dit misschien een vrijwel onmogelijke opgave, maar in de praktijk is er een tamelijk eenvoudige manier om dit mogelijk te maken. We maken hierbij gebruik van zogenaamde piëzo-elektrische materialen. Dit zijn materialen die de wonderlijke eigenschap vertonen dat ze onder invloed van een elektrische spanning een klein beetje van lengte en dikte veranderen. Deze materialen worden in allerlei huis-tuin-en-keuken toepassingen gebruikt, zoals bijvoorbeeld sigarettenaanstekers, piepers en gasaanstekers. Bij de laatste gebruik je de eigenschap van deze materialen in de omgekeerde richting: Je creëert een hoge spanning, waardoor een vonk kan worden opgewekt, door een stuk piëzoelektrisch materiaal met kracht samen te drukken. Sommige materialen vertonen van nature dit piëzoelektrische gedrag. Een bekend voorbeeld is kwarts. Voor de STM worden echter meestal speciale keramische materialen gebruikt, zoals lood-zirconaat-titanaat (bekend onder de afkorting PZT). Dit soort materialen laat een zeer sterk piëzogedrag zien. Toch gaat het bij de lengteverandering die deze materialen ondergaan ècht maar om een héél klein beetje. Een typisch piëzo-element, gemaakt van een staafje PZT van een centimeter lengte, wordt bijvoorbeeld slechts 3 nm langer of korter als je er een elektrische spanning over aanbrengt van ±1 V.
Figuur 3.3. Piëzo-elementen. Het linkerplaatje laat het principe zien. Door het aangelegde elektrische veld vervormt het piëzo-elektrische balkje, en wordt de lengte een stukje ∆L groter. In het middelste plaatje zijn drie balkjes met elkaar gecombineerd, één voor de x-, één voor de y- en één voor de zrichting. Meestal wordt de buisgeometrie toegepast. Als de buis rondom evenveel vervormt beweegt de naald uitsluitend in de lengterichting van de buis (z-richting). Als de ene kant langer wordt gemaakt en de andere kant tegelijkertijd korter, dan trekt het buisje een beetje scheef. Voor kleine vervormingen is het resultaat een zijdelingse verplaatsing van de naald (x- of y-richting). 3.4 Elektronica De elektronica van een STM wordt in het schema van Figuur 3.4 beschreven. De tunnelstroom It, die typisch 1 nA bedraagt, wordt in de zogenaamde voorversterker omgezet in een gewone spanning Vt. Vaak is de omzetting zodanig dat er bij een stroom van 1 nA een spanning van 1 V uit de voorversterker komt.
31
Daarna wordt deze spanning eerst logaritmisch versterkt. De logaritmische versterker neemt de logaritme van de spanning Vt. Omdat de tunnelstroom (en dus ook de spanning Vt) een exponentiele functie is van de afstand d tussen de naald en het oppervlak (zie 0), is de logaritme van de spanning Vt een maat voor de afstand tussen de naald en het oppervlak. Het resultaat van deze omzetting noemen we de spanning Vlog. De relatie tussen Vlog en de afstand d is dan de volgende: Vlog = a + b ⋅ d ,
(3.1)
waarbij a en b constanten zijn. Van de logaritmisch versterkte spanning Vlog wordt een vaste waarde afgetrokken, het zogenaamde referentiesignaal Vref. Deze referentiewaarde kan worden ingesteld, en vormt een maat voor de gewenste afstand tussen naald en oppervlak. Als de verschilspanning tussen Vlog en Vref nul is, dan is de afstand precies goed. Is de verschilspanning positief, dan is de afstand te klein; bij een negatieve waarde is de afstand juist te groot. De verschilspanning wordt door de eindversterker enorm zwaar versterkt en vervolgens doorgegeven aan het piëzo-element dat verantwoordelijk is voor de hoogte-instelling van de naald. Daarmee is het terugkoppelcircuit rond. referentie voorversterker
eindversterker log
I t = constante ⋅ e − ( constante Vt = constante ⋅ I t Vlog = constante ⋅ log(Vt )
⋅ d)
Veind = G ⋅ (Vlog − Vref )
z-
naald preparaat
Figuur 3.4. Elektronica van de STM. De verplaatsing in de hoogte (de z-richting) wordt geregeld met een elektronisch terugkoppelsysteem. De werking van het complete systeem is nu als volgt. Zolang de naald ver weg zit van het oppervlak loopt er nog nauwelijks stroom. De verschilspanning (het verschil tussen Vlog en Vref) is daarom negatief. Het z-piëzo-element, dat de hoogte van de tip boven het oppervlak bestuurt, is zodanig op de versterker aangesloten, dat het bij een negatieve spanning uitrekt. Als de naald in de buurt van het oppervlak komt, gaat er een tunnelstroom lopen. De verschilspanning wordt daardoor minder negatief, zodat het z-piëzo-element minder neiging vertoont om nog verder uit te rekken. Als eenmaal precies de juiste afstand wordt bereikt, dan wordt de verschilspanning nul en stopt het z-piëzo-element met uitrekken. Wanneer de tip te dicht bij het oppervlak komt, wordt de stroom te hoog. Nu wordt de verschilspanning juist positief en trekt het systeem de naald vanzelf terug. Dit zogenaamde terugkoppelsysteem (“feedback”) werkt volledig automatisch en reageert binnen bijvoorbeeld 1 milliseconde op fouten in de afstand tussen naald en oppervlak. Als de x- en y-piëzo-elementen worden gebruikt om de naald in de twee loodrechte richtingen parallel aan het oppervlak een rustige lijn-voor-lijn beweging te laten uitvoeren, dan kan het terugkoppelsysteem onderweg de naaldhoogte voortdurend bijregelen, om zo de afstand tussen naald en oppervlak constant te houden. De hoogtekaart, het STM-plaatje dus, verkrijg je door bij elke (x, y)-combinatie de z-spanning te registreren: een positieve z-spanning komt overeen met een teruggetrokken naald, dus een verhoging in 32
het oppervlak. Op dezelfde manier komt een negatieve z-spanning overeen met een verlaging in het oppervlak. 3.5 Hoe vindt de naald het oppervlak? Het antwoord op de laatste vraag geeft een groot probleem aan van de STM. Het instrument werkt pas als de naald zich al héél dicht in de buurt van het oppervlak bevindt, meestal ruim binnen 1 µm. Pas dan zit de naald binnen het regelgebied van de elektronica en het piëzo-element. Als het naaldje te ver weg zit, dan rekt het z-piëzo-element maximaal uit, maar bereikt het daarmee nog lang niet het oppervlak. Het naaldje moet eerst op een andere manier dichtbij worden gebracht. Hiervoor is een ‘grove’ instelling noodzakelijk, waarmee de naald in kleine stapjes steeds dichterbij komt. De meeste STM’s gebruiken voor dit doel een zogenaamde nanomotor, waarmee afstanden van enkele millimeters kunnen worden overbrugd in kleine stapjes van meestal 10 tot 100 nm. Vaak berust het werkingsprincipe van een dergelijke motor opnieuw op de lengteveranderingen die teweeg worden gebracht in piëzo-elementen. De procedure is als volgt: het z-piëzo-element (dat is dus het piëzo-element waarmee de STM het hoogteprofiel aftast) wordt eerst volledig teruggetrokken. Dan voert de nanomotor een klein stapje uit in de richting van het oppervlak. Vervolgens wordt de z-piëzo langzaam uitgerekt, ‘op zoek’ naar het oppervlak. Als er geen stroom wordt gevonden, bevindt het oppervlak zich nog niet binnen het regelbereik van de STM. Het z-piëzo-element wordt opnieuw volledig teruggetrokken en de nanomotor voert de volgende stap uit. Deze procedure wordt net zolang herhaald tot het oppervlak wordt bereikt. Het elegante van deze methode is dat de naald op geen enkel moment het risico loopt om in hard contact te komen met het oppervlak. Elke stap van de nanomotor is namelijk kleiner dan de afstand waarover het z-piëzo-element telkens wordt uitgerekt. Een scherpe naald kan zo nooit worden beschadigd. Tijdens het practicum van de masterclass zal je de gelegenheid krijgen om zelf een eenvoudige nanomoter te bouwen. (zie hoofdstuk 8). Evac
Φ
E EF
preparaat of naald
vacuüm
Figuur 3.5. De energetische situatie van elektronen in het preparaat en in de naald. Verticaal staat de energie van de elektronen uitgezet, verticaal de plaats. EF is de hoogste waarde van de energie die de elektronen in het metaal hebben, terwijl Evac de laagste energie is waarmee ze buiten het materiaal, in het vacuüm, kunnen voorkomen. 3.6 Tunnelen In §2.2.7 hebben we al kennisgemaakt met het begrip tunnelen; de elektronen kunnen als het ware door een potentiaalbarrière tussen het preparaat en de naaldpunt heen duiken, hetgeen volgens de klassieke mechanica ‘verboden’ is. De resulterende tunnelstroom is echter heel klein, omdat de
33
waarschijnlijkheid voor een elektron om te tunnelen erg laag is. In deze paragraaf beschouwen we de tunnelstroom tussen de naald en het preparaat in wat meer detail. Figuur 3.5 geeft de energetische situatie van elektronen in een materiaal schematisch weer. Dat materiaal kan zowel de naald als het preparaat zijn. Voor ons doel is het voldoende om beide materialen te beschouwen als een eenvoudig voorraadvat van elektronen. Langs de verticale as staat de energie uit van de elektronen. Elektronen met een lage energie (gunstige situatie) zitten ‘onderaan’ in het voorraadvat. Het vat is gevuld tot aan het niveau waarbij het aantal elektronen precies groot genoeg is om de positieve lading van de atoomkernen van het materiaal te compenseren (evenveel negatief geladen elektronen als positieve kernladingen). In het energieschema zien we dat op deze manier ons voorraadvat totaan één bepaalde energie gevuld is met elektronen. Dit niveau noemen we het Fermi-niveau EF. Deze naam verwijst naar de natuurkundige Enrico Fermi, die belangrijke bijdragen heeft geleverd aan de kwantumtheorie. De elektronen zitten onder normale omstandigheden opgesloten binnen het materiaal. In ons energiediagram ziet dat er als volgt uit. De grens tussen het materiaal en de buitenwereld, bijvoorbeeld de lucht, of een vacuüm, ziet er voor de elektronen uit als een enorm hoge opstap in de energie. Om het materiaal te kunnen verlaten moet een elektron een grote hoeveelheid energie extra hebben, boven op de energie EF die een elektron gewoonlijk maximaal heeft binnen het materiaal. Buiten het materiaal moet het elektron minimaal de zogenaamde vacuümenergie Evac hebben. Dus moeten we minstens een energie Φ=Evac-EF toevoegen om dit mogelijk te maken. d Evac E
E
Φ
Evac
Φ
EF + eV
EF
preparaat
naald
vacuüm
EF
preparaat
naald
vacuüm
Figuur 3.6 De energetische situatie van elektronen wanneer de naald en het preparaat heel dicht bij elkaar staan. In het linker plaatje staat er geen elektrische spanning tussen preparaat en naald. In het rechter plaatje is op het preparaat een (negatieve) spanning gezet van –V. Hierdoor hebben de (negatieve) elektronen aan de kant van het preparaat allemaal een energie die eV hoger ligt dan aan de kant van de naald. In het linker plaatje van Figuur 3.6 is de situatie geschetst waarin de naald en het preparaat op een kleine afstand van elkaar zijn gebracht. Tussen de twee bevindt zich nog een smalle reep vacuüm. In het rechter plaatje van Figuur 3.6 hebben we een spanning -V aangelegd tussen het preparaat en de naald. Zo ontstaat er een energieverschil van +eV tussen de Fermi-energieniveaus EF van het preparaat en de naald. De met de horizontale pijlen aangegeven elektronen in het preparaat zouden het liefst oversteken naar de naald. Volgens de klassieke natuurkunde is dat echter onmogelijk voor een elektron, tenzij het een extra energie krijgt van tenminste Φ. Maar we hebben juist in Hoofdstuk 2 gezien dat elektronen een stukje kunnen doordringen buiten een materiaal. De golffunctie van de elektronengolven van het preparaat neemt buiten het preparaat af als een exponentiële functie van de afstand tot het preparaatoppervlak. Dat betekent dan ook dat er een zekere kans is om de elektronen van het preparaat ter plekke van de naald aan te treffen. Deze waarschijnlijkheid is weliswaar klein, maar niet nul. Het 34
gevolg is dat er een kleine stroom gaat lopen tussen het preparaat en de naald, de tunnelstroom. De grootte van deze stroom hangt direct af van de mate waarin de golffunctie van de elektronen van het preparaat doordringt tot in de naald. Voor deze stroom geldt dan ook: I t = const. × exp(−2 A Φ d ) , met A = 2m / D .
(3.2)
Vergelijk deze uitdrukking voor de tunnelstroom met de vergelijkingen (2.10) en (2.11). De rol van het energieverschil V0 − E wordt hier gespeeld door de uittree-energie Φ . Het enige verschil met de vergelijkingen voor de uittredende golffunctie in Hoofdstuk 2 is de extra factor 2 die in vergelijking (3.2) in de exponent is verschenen. Deze geeft aan dat we via de stroom de tunnelwaarschijnlijkheid (kwadraat van de golffunctie) meten, in plaats van de golffunctie zelf. Bepalend voor de grootte van de tunnelstroom zijn dus de uittree-energie Φ en de afstand tussen de naald en het preparaat d . Voor een typische waarde van Φ van 4 eV, vinden we zo dat de tunnelstroom telkens ongeveer een factor 10 lager wordt als we de afstand vergroten met 0.1 nm. Per atoomafstand (0.2-0.3 nm) wordt de tunnelstroom dus een factor 100-1000 lager! Dit verklaart de fenomenale gevoeligheid van de STM, die het mogelijk maakt om de atomaire structuur te zien. De sterke afhankelijkheid van de tunnelstroom van de afstand zorgt er namelijk vanzelf voor dat het allerlaatste atoom van de naald en het dichtstbijzijnde atoom van het preparaat het grootste deel van de tunnelstroom dragen. Evac preparaat naald
EF
Figuur 3.7. Aansluiting van de golffunctie van elektronen in het preparaat met die in de naald, via het tussenliggende stukje vacuüm. Binnen beide materialen worden de elektronen beschreven door een sinusvormige golffunctie. In het stukje niemandsland tussen preparaat en naald vertoont de golffunctie een exponentiële afname. Voor typische condities van 1 V spanning en 1 nA tunnelstroom bedraagt de typische afstand tussen naald en oppervlak 0.7 nm. Figuur 3.7 rondt onze beschouwing van het verschijnsel tunnelen af. In Figuur 2.6 zagen we hoe de golffunctie er uitziet voor elektronen in de buurt van de rand van een materiaal, bijvoorbeeld het preparaat. Binnen het materiaal wordt de golffunctie beschreven door een sinusfunctie; daarbuiten zakt de golffunctie exponentieel in. Binnen het andere materiaal, de naald, moeten de elektronen zich uiteraard opnieuw gedragen als een sinusfunctie. De gecombineerde golffunctie voor het gehele systeem, van preparaat, naald en tussenruimte, verkrijgt daardoor de in Figuur 3.7 geschetste vorm
35
3.7 Geleidende en isolerende materialen Voor de goede werking van de STM moet er een (zwakke) stroom kunnen lopen tussen de naald en het preparaat. Dat betekent dus dat je met een STM niet kunt ‘kijken’ naar de oppervlakken van isolatoren. Alleen geleiders (metalen), zoals bijvoorbeeld goud, ijzer en nikkel, en halfgeleiders, zoals bijvoorbeeld silicium, germanium en galliumarsenide zijn voor deze microscoop geschikt. Toch is het mogelijk om met een iets aangepaste methode ook de oppervlakken van isolatoren te verkennen met atomaire precisie. De techniek die hierbij wordt gebruikt, heet atomaire krachtmicroscopie, ofwel AFM (‘atomic force microscopy’). De AFM lijkt sterk op de STM. Het grote verschil is dat bij de AFM het naaldpuntje nog dichter bij het oppervlak wordt gebracht; zo dicht, dat er een meetbare kracht ontstaat. Om deze kracht te kunnen waarnemen, wordt de naald bevestigd aan een piepklein, flinterdun bladveertje, dat onder invloed van de kleine krachtjes een beetje vervormt. Uit de verbuiging kan de kracht worden afgeleid. Bij de STM past de elektronica voortdurend de hoogte van de naald aan, om ervoor te zorgen dat de tunnelstroom constant blijft. Op dezelfde manier zorgt de elektronica van de AFM ervoor dat de hoogte van de naald (plus bladveer) steeds wordt bijgestuurd om zo het kleine krachtje tussen naald en preparaat constant te houden. Op deze manier volgt de AFM niet contouren van constante tunnelstroom, maar contouren van constante druk- of trekkracht. De krachten die hierbij worden gebruikt zijn meestel zeer klein, bijvoorbeeld 1 nN. Toch kunnen dergelijke krachtjes al voldoende groot zijn om de atomen van het preparaat èn die van de naald merkbaar van hun plaats te duwen of trekken. 3.8 Andere vormen van scanning probe microscopie Sinds de uitvinding van de STM en de zojuist besproken AFM is er een enorme familie ontstaan van verwante vormen van microscopie, die samen bekend staan onder de overkoepelende naam ‘scanning probe microscopie’. In elk van deze vormen van microscopie wordt een scherp voorwerp, bijvoorbeeld de STM-naald, in een rasterbeweging over een oppervlak gevoerd, om zo een eigenschap van dat oppervlak in kaart te brengen. De meting van die eigenschap, bijvoorbeeld tunnelstroom (STM) of kracht (AFM), wordt vaak gecombineerd met een terugkoppelsysteem dat de hoogte van naald regelt. Enkele voorbeelden: magnetische krachtmicroscopie, wrijvingskrachtmicroscopie, fotontunnelingmicroscopie. Niet met al deze technieken kun je structuren waarnemen op de schaal van de individuele atomen. Maar het oplossend vermogen van de meeste vormen van scanning probe microscopie zit ruim onder 1 µm.
36
4 Klein, kleiner, kleinst. 4.1 Inleiding In dit hoofdstuk willen we geleidelijk afdalen van de macroscopische schaal van de wereld waarin wij leven, naar de microscopische schaal van de atomen. Deze onderneming zou niet de moeite waard zijn wanneer we onderweg niets bijzonders zouden tegenkomen, en een goudatoom niets meer is dan de kleinste afmeting van het metaal goud dat alle eigenschappen van het metaal in zich draagt, maar zelf ondeelbaar is. De natuur is in werkelijkheid veel rijker, en wanneer we op de schaal van nanometers belanden zullen we zien dat de wondere wereld van de kwantummechanica zich dominant begint te manifesteren. Gebruikmakend van een combinatie van technieken die we hieronder kort zullen vermelden is het mogelijk het volgende gedachte-experiment vrijwel letterlijk uit te voeren. We gaan de materie opdelen in steeds kleinere partjes, en afdalen naar het laatste ondeelbare partje: het atoom. Laten we dan als voorbeeld een blokje goud nemen, zeg een kubusje met een ribbe van één centimeter, en dit in tweeën delen, vervolgens één van de resulterende helften op zijn beurt halveren, en zo verder.
Vraag 4.1 (a) Hoe vaak moeten we delen om op het niveau van een enkel atoom te belanden? (b) Wanneer we na het delen van een blokje van elk van de twee helften niet slechts één, maar beide delen halveren, en elk van de vier resulterende kwarten op hun beurt delen, en zo verder hoe vaak moeten we dan snijden om de totale kubus te reduceren tot allemaal losse atomen? (c) Waarom is het verschil tussen de antwoorden van (a) en (b) zo groot?
Figuur 4.1. Voorbeeld van traditionele lithografie, of steendrukkunst. Voor een beschrijving van deze techniek, zie http://www.lib.udel.edu/ud/spec/exhibits/color/lithogr.htm.
37
In de afgelopen decennia zijn diverse fysische technieken ontwikkeld om op gecontroleerde wijze structuren te bouwen van zeer kleine afmetingen. Prominent onder deze technieken is de fotolithografie. Zoals het woord al uitdrukt ligt deze techniek in het verlengde van de steendrukkunst. In de klassieke lithografie (Figuur 4.1) worden de schetsen door de kunstenaar aangebracht in een dunne waslaag op een vlakke steen. Vervolgens wordt de steen met een zuur geëtst, waarbij dát deel van het oppervlak dat met een waslaagje bedekt is niet wordt aangetast, en zo wordt de schets vertaald tot een subtiel reliëf in de steen.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Figuur 4.2. De fabricage van een chip in de microëlektronica begint met een zeer vlak gepolijst plaatje silicium, de wafer (1), waarop een dunne fotogevoelige laag (hier rood gekleurd) wordt aangebracht (2). In een zogenaamde waferstepper wordt een deel van het ontwerp van het electronisch circuit op de chip overgebracht door de fotogevoelige laag te belichten met een bundel die door een masker valt waarop het ontwerppatroon is aangebracht. Met behulp van lenzen kan dit patroon vele malen verkleind worden afgebeeld. Vervolgens wordt de fotogevoelige laag ontwikkeld (4), waarbij de delen die niet belicht zijn oplossen in de ontwikkelaar. Dat deel van de wafer dat nu blootgelegd is kan worden bedekt met een metaallaagje, of de geleidingseigenschappen op de blootgestelde plaatsen kunnen worden beïnvloed met diverse chemicaliën. Stappen (2-4) worden herhaald om de volgende onderdelen van het circuit aan te brengen (5). Na in totaal 20 tot 30 van deze processtappen zijn de chips dan klaar om ingebouwd te worden (6) De schaal van de schematische blokjes in (2), (4) en (5) is typisch een vierkante micrometer, terwijl de afmeting van de complete chips (6) ongeveer een vierkante centimeter is. (Bron: http://www.asml.com/ ) 38
Bij de fabricage van de elektronische componenten van een geïntegreerd circuit, zoals die welke het hart vormen van de hedendaagse computers, wordt een vergelijkbaar procédé toegepast, met dit verschil dat de waslaag wordt vervangen door een lichtgevoelig materiaal, zodanig dat het ontwerp met fotografische technieken op de laag kan worden afgebeeld (zie Figuur 4.2). De lichtgevoelige laag wordt dan ontwikkeld zoals gebruikelijk is in de fotografie, waarna de vrij komende delen van het onderliggende materiaal kan worden geëtst, of op andere wijze met chemicalieën van de juiste eigenschappen kan worden voorzien. Deze methode is in de afgelopen jaren dermate verfijnd, dat het hiermee mogelijk is op industriële schaal componenten te bouwen met een kleinste afmeting van slechts een tienduiduizendste van een millimeter, ofwel 100 nm (zie Figuur 4.3). In het laboratorium kan men zelfs structuren fabriceren van slechts 10 nm. Dit wordt dan gedaan door niet met licht en een masker het patroon op de chip af te beelden, maar door met een zeer fijne bundel van elektronen het patroon te schrijven op de chip. Het patroon wordt dan eerst met een computerprogramma ontworpen en de computer stuurt dan de elektronenbundel tijdens het schrijfproces. We praten dan over afmetingen die overeenkomen met nog slechts enkele tientallen atoomafstanden. Deze ontwikkeling is van groot commercieel belang omdat de elektronica (met name computers) krachtiger en sneller gemaakt kunnen worden naarmate er meer onderdelen op een enkele chip gefabriceerd kunnen worden. Het aantal stappen in het fabricageproces hoeft hiervoor nauwelijks groter te worden, en dus kunnen steeds krachtiger computers gebouwd worden tegen een vrijwel constante prijs.
Figuur 4.3. Detailopname gemaakt met een hoge-resolutie elektronenmicroscoop van een geavanceerde computerchip van IBM. De dunste lijntjes in dit plaatje zijn slechts 180 nm breed. (Bron: http://www.research.ibm.com/topics/serious/chip/ ) Zoals al in de inleiding tot deze cursus ter sprake is gekomen, hebben zich paralel hieraan belangrijke ontwikkelingen voorgedaan in de chemie en de biologie. Het is eigen aan de scheikunde, dat men bouwt aan structuren op de schaal van atomen. Het onderscheid met de natuurkunde is hierin gelegen, dat fysische methodes in het algemeen gericht zijn op het definiëren van een enkele individuele structuur door het manipuleren van elk van de componenten, terwijl de scheikunde gebruik maakt van 39
de natuurwetten om de atomen zich automatisch te laten rangschikken. Tijdens een chemische reactie worden grote aantallen identieke systemen gevormd, en de chemicus stuurt deze door een weloverwogen keuze van de samenstelling van de ingrediënten en van de omstandigheden waaronder deze met elkaar in reactie worden gebracht. De afmetingen van de moleculen die via chemische weg kunnen worden gefabriceerd nemen gestaag toe. Het is mogelijk moleculen te vormen met een kern van honderden of zelfs enkele duizenden metaalatomen. Deze metaalklusterverbindingen overbruggen de kloof tussen de structuren die met fysische technieken gevormd kunnen worden en de schaal van het individuele atoom. Recent wordt ook de biologie bij deze onwikkelingen betrokken. Immers, biologische systemen zijn bij uitstek in staat grote moleculaire complexen te bouwen, zoals eiwitten, van reproduceerbare structuur en eigenschappen. De structuren en functies van biomoleculen worden in hoog tempo ontrafeld en technieken zijn beschikbaar om deze moleculen in zuivere vorm te isoleren, en zelfs te modificeren.
4.2 Een ontdekkingsreis naar kleine afmetingen. We gaan nu op weg om de kubus van goud op te delen en alsmaar kleinere stukjes goud te bestuderen, waarbij we niet lui willen zijn en steeds beide helften doormidden zullen snijden (Figuur 4.4). De eerste duizend maal delen van de oorspronkelijke kubus van een kubieke centimeter brengt ons dan op het niveau van een kubieke millimeter. Op dit niveau nemen we in géén van de ons bekende eigenschappen van goud enige verandering waar. De blokjes zijn inderdaad nog macroscopisch, en maken deel uit van de vertrouwde dagelijkse wereld. Of een stuk metaal een afmeting heeft van kilometers of millimeters maakt voor de materiaaleigenschappen niets uit.
1.
2.
3.
4.
Figuur 4.4 Beginnend met een kubus (1) van ons metaal delen we deze in tweeën (2). Nog twee keer snijden levert vier balkjes op (3). We moeten tenslotte vier keer snijden om op acht gelijke kleinere kubusjes uit te komen (4). Na nog eens een miljard maal delen van elk van deze blokjes belanden we op het niveau van een kubieke micrometer. Onder een zeer goede microscoop zijn de deeltjes nog net zichtbaar als een stipje. De vorm kunnen we echter niet meer zien, omdat de golflengte van het licht ongeveer even groot is als de afmeting van het gouddeeltje. Dat is klein, maar het is nog altijd vele miljarden malen groter dan een atoom. Nu beginnen we de eerste aanwijzingen te zien dat de eigenschappen gaan veranderen. Wanneer we zeer nauwkeurig de elektrische weerstand meten van elk van de miljarden goudblokjes die we inmiddels hebben, door minutieus de elektrische bedrading telkens op exact dezelfde wijze aan te brengen, dan zullen we zien dat de waarde die we meten een klein beetje verschilt van blokje tot blokje. Dit verschijnsel wordt overigens pas meetbaar wanneer we het experiment uitvoeren bij een zeer lage
40
temperatuur van enkele graden boven het absolute nulpunt.iii De grootte van de afwijkingen van de geleiding (dat is 1 gedeeld door de weerstand) ten opzichte van de gemiddelde waarde wordt gegeven door de universele grootheid e 2 / h , dat wil zeggen de lading van het elektron in het kwadraat, gedeeld door de constante van Planck. Dit verschijnsel staat bekend onder de naam universele geleidingsfluctuaties. Het wordt universeel genoemd omdat de variatie in de waarde van de geleiding gegeven wordt door de universele grootheid e 2 / h . Het maakt dus niet uit of we meten aan goud of aan lood, de geleiding vertoont dezelfde variaties. De universele geleidingsfluctuaties vormen een eerste aanwijzing dat we het domein van de kwantummechanica betreden. De elektrische geleiding van een metaal is het resultaat van de vrije beweeglijkheid van de elektronen door het metaal. Het genoemde effect van geleidingsfluctuaties wordt veroorzaakt door de golfeigenschappen van deze elektronen. De elektronen lopen als golf van het ene naar het andere contactpunt door de goudblokjes. Onderweg kunnen deze golven weerkaatst worden door onzuiverheden in het metaal. Het gevolg is dat de golven die bij het contactpunt bij elkaar komen een willekeurig interferentiepatroon vormen, waardoor de stroom door constructieve of destructieve interferentie een klein beetje kan variëren. Het effect is nog subtiel, maar naarmate we verder afdalen tot kleinere afmetingen van de metalen, dringen we verder door in dit domein van de kwantummechanica en worden de effecten dramatischer. We waren inmiddels gebleven op het niveau van goudkubusjes van een micrometer. Wanneer we elk van deze kubusjes verder delen in duizend gelijke delen belanden we op het niveau van honderd nanometer. Dat is ongeveer de afmeting van de kleinste onderdelen op een snelle computerchip die men tegenwoordig op industriële schaal weet te fabriceren. De kwantummechanische verschijnselen worden hier al belangrijker. Ze spelen echter nog vrijwel geen rol voor de werking van een microprocessor of computergeheugen, omdat de temperatuur waarbij ze zich manifesteren nog steeds veel lager is dan de gewone omgevingstemperatuur. We naderen echter wel de afmeting waarbij de lading van een individueel elektron zichtbaar wordt. 4.3 Kwantisatie van elektrische lading Wanneer we de goudblokjes geïsoleerd houden en ze dan willen opladen met elektronen, dan kunnen we elk van de kubusjus opvatten als minuscule vertegenwoordigers van de fameuze Leidse Fles. In 1746 ontdekten de Leidse wetenschappers Cuneus en Musschenbroek dat het mogelijk is elektriciteit te bewaren in een fles die aan binnen- en buitenzijde is bedekt met een metaallaagje. Later is natuurlijk gebleken dat de vorm, een fles, niet relevant is. Elektrische lading kan van elk willekeurig stuk metaal naar elk ander stuk metaal worden overgebracht door een spanningsverschil aan te leggen. De hoeveelheid lading die op een dergelijk stuk metaal wordt opgeslagen is evenredig met de grootte van het aangelegde spanningsverschil, en evenredig met een grootheid die we de elektrische capaciteit noemen. De capaciteit wordt bepaald door de vorm en afmetingen van het metalen voorwerp. Een groot metalen voorwerp heeft een grote capaciteit, eenvoudig omdat de elektronen die het metaal binnenstromen tijdens het opladen voldoende ruimte hebben om ver van elkaar vandaan een plaats te vinden. Wanneer we een klein metalen voorwerp willen opladen, dan is de capaciteit kleiner, omdat de elektronen gedwongen worden dicht op elkaar te zitten en bij het opladen hebben we daarom veel energie nodig om de onderlinge afstoting tussen de elektronen te overwinnen.
Voor de goudblokjes van honderd nanometer die we zojuist gemaakt hebben is de energie die nodig is om één enkel elektron aan het blokje toe te voegen groter dan de thermische energie bij iii
De methode is praktisch niet erg uitvoerbaar, maar er is een eenvoudiger methode om hetzelfde effect waar te nemen. Daartoe meten we de weerstand van slechts één enkel blokje terwijl we een zwak magneetveld aanleggen dat we geleidelijk in sterkte veranderen. We zien dan dat de weerstand van dit ene blokje als functie van het magneetveld grillige variaties
41
kamertemperatuur.iv Wanneer we dan een spanningsverschil aanleggen en dit geleidelijk opvoeren, neemt de lading niet evenredig met de spanning toe, zoals we gewend zijn van de Leidse Fles, maar stapsgewijze, elektron na elektron. Dit fenomeen staat bekend onder de naam Coulombblokkade, en biedt perspectieven voor diverse toepassingen. Een toepassing op bescheiden schaal, die al bijna gerealiseerd is, gebruikt de mogelijkheid van dit effect om elektronen vrijwel letterlijk te tellen om een zeer nauwkeurige stroomstandaard te bouwen. 4.4 Kleur Afdalend van honderd nanometer naar tien nanometer veranderen diverse eigenschappen van het materiaal van karakter. De meest opvallende van deze is wel de kleur. Hoewel de blokjes inmiddels veel te klein zijn om gezien te kunnen worden, absorbeert onze grote verzameling fijne goudblokjes gezamenlijk wél een deel van het licht, en bij kleiner wordende afmeting verandert de kleur van de karakteristieke goudkleurige reflectie tot een diep robijnrood voor het doorvallende licht. Deze rode kleur kun je bewonderen in sommige antieke gebrandschilderde ramen en kunstvoorwerpen (Figuur 4.5). Voor het verkrijgen van het zogenaamde robijnglas mengde men kleine hoeveelheden goudpoeder bij de glassmelt, en onder de juiste condities vormen zich daarbij minuscule goudbolletjes. Hoewel dit recept al vele eeuwen oud is, is de verklaring voor de kleurverandering pas aan het begin van de twintigste eeuw gevonden.
Figuur 4.5. De Lycurgus Beker is gemaakt in de Romeinse tijd. Het glas ziet er groen uit in gereflecteerd daglicht (rechts) maar is robijnrood wanneer het licht van achter het glas doorvalt (links). De kleur wordt veroorzaakt door zeer fijne gouddeeltjes die door het glas gemengd zitten. (Bron: Brittisch Museum)
iv
Zie ook Vraag 0.1.
42
4.5 De laatste etappe Onze blokjes bestaan nu nog slechts uit vijftienduizend atomen. Op de laatste etappe van onze ontdekkingsreis naar het atoom blijft er vrijwel niets meer over van de bekende eigenschappen van goud. Elektrische en magnetische eigenschappen veranderen fundamenteel van karakter en worden nu volledig gedomineerd door de kwantummechanica. Ook de mechanische eigenschappen zoals de elasticiteit en zelfs het smeltpunt worden erdoor bepaald. We dalen hiermee definitief af in Schrödinger’s wereld, en in de volgende hoofdstukken zullen we deze effecten in meer detail bespreken.
43
44
5 Waarnemen en manipuleren van atomen. 5.1 Inleiding In dit hoofdstuk bekijken we verschillende toepassingen van de STM. Allereerst gebruiken we de STM om er materiaaloppervlakken mee te verkennen op de nanometer schaal. Vaak wijken de eigenschappen van het oppervlak sterk af van de vertrouwde eigenschappen van de rest van het materiaal. Zo verschilt de structuur aan de buitenkant meestal van die in het inwendige van de vaste stof, hetgeen vaak duidelijk te herkennen is in de STM plaatjes. De grote verrassing van de afgelopen jaren is dat de meeste materialen al bij kamertemperatuur een enorme beweeglijkheid vertonen. De bewegingen kunnen worden gevolgd door de STM niet als ‘fotocamera’ in te zetten, maar als ‘videocamera’. Met deze kennis over de structuur en de beweeglijkheid kunnen we complexe verschijnselen begrijpen waarbij materiaal-oppervlakken een belangrijke rol spelen, zoals chemische reacties, het groeien van kristallen en wrijving. We eindigen dit hoofdstuk met enkele hoogstandjes van moderne nanotechnologie. Op laboratoriumschaal is de droom van Feynman inmiddels al uitgekomen. De STM kan namelijk niet alleen de atomen aan een oppervlak ‘zien’, maar ook verplaatsen. Op deze manier kunnen nu al kunstmatige nano-structuren atoom voor atoom worden gebouwd. De weg ligt open voor de ultieme creativiteit!
5.2
De buitenkant der dingen
5.2.1 Structuur Dat de structuur aan de buitenkant niet identiek is aan de structuur dieper in het materiaal, is nauwelijks verbazend. Immers, de buitenste atomen bevinden zich in een tamelijk asymmetrische situatie. Ze voelen de ‘gebruikelijke’ omgeving van omringende atomen aan de ene kant (binnenkant), zoals ze die ook in het inwendige van het materiaal zouden aantreffen, maar tegelijkertijd zitten ze helemaal zonder ‘buren’ aan de andere kant (buitenkant). Dit leidt bijna altijd tot een asymmetrisch krachtenspel tussen de atomen in de buitenste atoomlagen van het materiaal. Het gevolg is dat de buitenste atomen op andere posities terechtkomen dan je zou verwachten op basis van de structuur in de rest van de vaste stof (zie Figuur 5.1).
Figuur 5.1. De structuur aan de buitenkant van een materiaal (het oppervlak) verschilt meestal van de structuur van het inwendige van de stof. Deze dwarsdoorsneden laten zien dat de atomen in de buitenste atoomlaag vaak dichter bij hun buren in de tweede atoomlaag zitten (linkerplaatje). De atomen in de buitenste laag kunnen ook dichter bij hun buren in dezelfde laag gaan zitten (rechterplaatje). 45
Eigenlijk zou je je het oppervlak van een materiaal kunnen voorstellen als een enorme huidwond. De verbroken bindingen doen als het ware ‘pijn’. De oppervlakte atomen hebben de vrijheid om andere plaatsen in te nemen om de ‘schade’ te beperken, alsof ze een ‘korstje’ op de wond vormen. Een fraai voorbeeld van zo’n alternatieve oppervlaktestructuur wordt in Figuur 5.2 getoond. Het betreft hier een van de oppervlakken van het materiaal silicium. Vanwege de belangrijke rol die silicium speelt in de halfgeleiderindustrie (computerchips), is aan het oppervlak van dit materiaal enorm veel onderzoek verricht. In Figuur 5.2 zien we een prachtig regelmatig patroon van silicium atomen. De afstand waarover het patroon zich herhaalt is véél groter dan de afstand waarover de gewone structuur van silicium zich in de diepere atoomlagen herhaalt. Elk van de zijden van het regelmatige ruitpatroon is precies 7 maal zo lang als de lengte die we verwacht zouden hebben. Per ruit ‘ziet’ de STM twaalf atomen. Dat zijn de siliciumatomen die helemaal bovenop zitten. Met andere meetmethodes is men erin geslaagd ook de posities van de andere siliciumatomen, onder de bovenste twaalf, nauwkeurig te bepalen. Op dit prachtige oppervlak blijkt geen enkel siliciumatoom meer op de plaats te zitten die je had verkregen als je het silicium kristalrooster domweg tussen twee atoomlagen had doorgesneden. Om het aantal doorgesneden Si-Si bindingen zo laag mogelijk te houden, kiest het oppervlak voor een zeer ingewikkeld alternatief, waarbij er in de buitenste twee atoomlagen een geheel nieuw ‘breiwerk’ van bindingen ontstaat. Zelfs in atoomlagen daaronder, worden hierdoor de atomen nog merkbaar uit hun normale posities getrokken. Deze herstructurering vindt helemaal spontaan plaats. De atomen vinden zelf hun weg!
Figuur 5.2. STM afbeelding van de structuur van het oppervlak van een siliciumkristal. De atomen vormen een regelmatig, ruitvormig patroon, dat zich over het gehele oppervlak herhaalt. De zijden van de ruit zijn circa 1.5 nm lang. Dat is 7 maal zo groot als je zou verwachten op basis van de structuur van het onderliggende siliciumkristal. http://www.lassp.cornell.edu/lassp_data/whoarsmisdc.html 5.2.2 Facetten en stappen Om zo’n mooi regelmatig patroon te krijgen als dat van Figuur 5.2, moet het siliciumkristal wel in een speciale richting worden doorgesneden, precies evenwijdig met de in het kristal voorkomende atoomvlakken (zie ook Figuur 5.1). De natuurlijke, vlakke stukken oppervlak die zo ontstaan aan de buitenkant van een kristal worden facetten genoemd. Er bestaan meerdere richtingen waarin de atomen in een kristal natuurlijke vlakken vormen, en we gebruiken een simpele richtingen-code om aan te geven met welk facet we te maken hebben. Het facet van Figuur 5.2 staat bekend als Si(111). De mooie structuur op dit facet noemen we de 7×7 structuur, omdat het zich langs beide richtingen van de ruit herhaalt over een afstand die 7 maal de natuurlijke afstand is. In de praktijk is het natuurlijk nooit mogelijk op een kristal precies parallel aan de atoomvlakken door te snijden (of splijten, of zagen, of polijsten, ...). Als het oppervlak een beetje scheef staat ten opzichte
46
van de natuurlijk facet-richting, dan resulteert dat automatisch in het optreden van verspringingen in de hoogte. Dergelijke verspringingen noemen we stappen.
kinken stappen
Figuur 5.3. Stappen en kinken op een kristaloppervlak ontstaan als het oppervlak niet precies parallel loopt aan de natuurlijke richtingen van het facet. De stappen en kinken spelen een hoofdrol in veel processen die zich afspelen aan kristaloppervlakken. Als we bijvoorbeeld een kristal laten ‘groeien’, door atomen van hetzelfde materiaal op het oppervlak neer te slaan, dan hechten die zich vaak aan de kinken en de stappen. De kinken zijn de plekken waar het het makkelijkst is om een atoom los te trekken van het oppervlak, omdat het kink-atoom nòg minder buren heeft dan een normaal oppervlakte-atoom. Ook als we vreemde atomen of moleculen neerslaan op het oppervlak, dan vertonen die vaak de neiging om de stappen en de kinken op te zoekenv.
Figuur 5.4. STM opname van stappen en kinken op het Si(100) oppervlak. Op dit silicium oppervlak vormen de atomen rijtjes. Telkens wanneer je opstapt naar een hogere atoomlaag of juist afdaalt naar een lager niveau, draait de natuurlijke richting van de atoomrijen 90º. http://www.sandia.gov/surface_science/stm/ 5.2.3 Atomen aan de wandel Uit de STM-plaatjes in dit hoofdstuk en in de voorgaande hoofdstukken zou je misschien de indruk kunnen krijgen dat de oppervlakken van vaste stoffen maar een ‘saaie’ boel vormen, een nanouitvoering van een statisch polderlandschap (als het oppervlak mooi vlak is) of een statisch v
Van de stappen en kinken wordt indirect gebruik gemaakt in de chemie. Veel chemische reacties worden ‘versneld’ door het gebruik van een katalysator; denk maar aan de autokatalysator, die onder meer zorgt voor de verbranding van het schadelijke CO naar CO2. Meestal is het actieve bestanddeel van zo’n katalysator een grote verzameling piepkleine metaaldeeltjes, met afmetingen van enkele nm. Het oppervlak van deze kleine deeltjes zit vol met stappen en kinken, waar de reactanten vaak tijdelijk blijven plakken voordat ze met elkaar reageren.
47
maanlandschap (als het wat ruwer is). Niets is echter minder waar. Aan het oppervlak vindt juist enorm veel ‘actie’ plaats, in tegenstelling tot het inwendige van het materiaal. De atomen binnen in de vaste stof kunnen geen kant op. Ze worden aan alle kanten stevig ingeklemd door hun buren en moeten elkaar flink uit de weg duwen om van de ene plaats naar de andere te komen. De situatie voor een atoom op het oppervlak is veel vrijer. Zo’n atoom wordt helemaal niet ingeklemd en kan met weinig moeite over de andere atomen van het kristal heen springen.
Figuur 5.5. Atomen zijn aan het oppervlak zeer beweeglijk. Ze kunnen over elkaar heen springen en hoeven elkaar daarbij niet uit de weg te duwen. Opnieuw is een speciale rol weggelegd voor de stappen en kinken. Daar vindt vaak de meeste beweging plaats. Een voorbeeld van ‘huppelende’ siliciumatomenvi is te zien in het filmpje van Figuur 5.6.
Dimers1.mov
Figuur 5.6. Beweging van siliciumatomenii op het Si(100) oppervlak bij een temperatuur van 65ºC. Om het filmpje te starten: klik met de linker muisknop op het ‘movie’-symbool. http://www.sandia.gov/surface_science/stm/ad_diff/AD_DIFF.HTM In Figuur 5.7 zien we de beweging van indium atomen in een koperoppervlak. Het bijzondere aan deze beweging is dat de indium atomen zich niet op maar juist in het koperoppervlak bevinden. Elk indium atoom neemt de plaats in van één koperatoom. Omdat indium een beetje groter is dan koper, steken de indium atomen iets boven het ‘maaiveld’ uit, en kunnen ze met de STM makkelijk worden herkend. Eigenlijk hebben de indiumatomen in de buitenste koperlaag hetzelfde probleem als atomen in het inwendige van de vaste stof. Ze zitten aan alle kanten (behalve de bovenkant) omringd door andere atomen. Ze kunnen daarom eigenlijk geen kant op. Toch zien we in het filmpje duidelijk dat de atomen in beweging zijn. Hoe dat mogelijk is wordt in het schematische plaatje van Figuur 5.7 geïllustreerd. Af en toe ontbreekt er spontaan een koper atoom in het koperoppervlak. Naar schatting komt dat voor bij een op de tien miljard atoomposities in het oppervlak. Telkens kan een van de vier atomen die aan weerszijden van zo’n lege plek zitten een sprongetje maken naar de lege plek. De lege plek verschuift daarmee over een atoomafstand. Dat proces gaat razendsnel, naar schatting meer dan honderd miljoen maal per seconde. Op deze manier flitsen er voortdurend lege plekken door het oppervlak, telkens een spoor achterlatend van verplaatste koperatomen. De STM kan dat allemaal niet bijhouden, en achteraf vi
Strikt genomen gaat het hier niet om individuele siliciumatomen, maar om atoomparen. Merk op dat de atoomparen vrijwel uitsluitend langs de richting bewegen van de atoomrijen waar ze op liggen.
48
ziet het oppervlak er weer hetzelfde uit. Maar omdat de indium atomen voor de STM herkenbaar zijn, vallen de verplaatsingen daardoor toch op. Deze bijzondere vorm van oppervlaktebeweging heeft de bijnaam “atomaire schuifpuzzel” gekregen, vanwege de sterke analogie van dit proces met de schuifpuzzel: een vierkant, gevuld met kleine tegeltjes waarvan er één ontbreekt. Door telkens een van de naburige tegeltjes naar de lege plaats te schuiven, beweegt de lege plek door de puzzel en kunnen uiteindelijk alle tegeltjes op de juiste plaats worden gebracht.
Figuur 5.7. De ‘atomaire schuifpuzzel’: Beweging van indium atomen, ingebed in het Cu(100) oppervlak bij kamertemperatuur. De fijne, rode bobbelstructuur is het regelmatige atoomrooster van het koperoppervlak. De vier gele uitsteeksels zijn individuele indium atomen, die elk de plaats innemen van een koper atoom. Om het filmpje te starten: klik met de linker muisknop op het linker plaatje. In de twee plaatjes rechts is schematisch aangegeven hoe een ‘door het beeld’ bewegende, lege plek zowel de koper atomen als het indium atoom verplaatst. Met de STM kan achteraf alleen de verplaatsing van het indium worden herkend. http://www-lion.leidenuniv.nl/sections/cm/groups/interface/projects/Dynamics/copper
5.3 De rol van temperatuur De bewegingen van de silicium en indium atomen in de filmpjes van Figuren 5.6 en 5.7 voltrekken zich helemaal spontaan. Hoe sterk of snel zo’n spontane beweging plaats vindt, hangt af van de temperatuur. Een eenvoudige voorstelling die je je hierbij kunt maken is die waarin de atomen op het oppervlak bewegen als knikkers in een eierkarton. Bij het absolute nulpunt in de temperatuur, T = 0 K, liggen alle knikkers helemaal stil op de bodem van de kuiltjesvii, de natuurlijke voorkeursplaatsen op het oppervlak van het kristalrooster. Als de temperatuur hoger wordt, komen de atomen op het oppervlak een beetje in beweging; ze ‘rammelen’ wat heen en weer, elk in zijn eigen kuiltje. Pas als de temperatuur nog wat hoger wordt gemaakt, lukt het de atomen af en toe om uit hun kuiltje te schudden en in een van de naburige kuiltjes terecht te komen. Hoe hoger de temperatuur, des te vaker dit lukt. Voor veel oppervlakken is kamertemperatuur, T = 293 K, in dit opzicht eigenlijk al een zeer hoge temperatuur. Atomen die op het oppervlak liggen, springen dan al zo vaak van kuiltje naar kuiltje, dat we hun ‘dronkemanswandeling’ over het oppervlak met de STM niet meer kunnen bijhouden. Om de beweging in ‘slow motion’ te zien, moeten we het preparaat dan afkoelen naar een lagere temperatuur. Om de atomen juist helemaal stil te zetten, worden STM’s soms in hun geheel afgekoeld naar de temperatuur van vloeibaar helium, 4.2 K. In de volgende paragraaf zullen we zien dat die omstandigheden ideaal zijn voor het verwezenlijken van een van de toekomstvisioenen van Richard Feynman (Hoofdstuk 1), namelijk het atoom voor atoom vormgeven van materialen. vii
Eigenlijk klopt dit niet helemaal. Zelfs bij het absolute nulpunt blijven de atomen nog een beetje beweging. Deze zogenaamde ‘nulpuntsbeweging’ is een zuiver kwantummechanisch effect.
49
5.4
De ultieme creativiteit
5.4.1 Duw- en trekwerk op de atomaire schaal We hebben de STM totnogtoe beschouwd als een microscoop waarmee we de atomen kunnen ‘zien’ zonder ze ‘aan te raken’. Maar wat bedoelen we hier eigenlijk met het begrip aanraken? Als we de naald zo dicht bij het oppervlak van het preparaat brengen dat de elektronen kunnen overstappen (tunnelen), dan brengen we daarmee automatisch een beetje contact tot stand tussen de naald en de oppervlakte atomen. Dat gaat altijd gepaard met een kracht! Immers, de elektronen zijn niet alleen verantwoordelijk voor de stroom die we meten, maar ook voor de chemische wisselwerking tussen de atomen. Meestal is die kracht zo klein, dat zowel de atomen van het oppervlak als die van de naald allemaal keurig op hun plaats blijven zitten. Maar als we de naald nog wat dichterbij brengen, neemt niet alleen de tunnelstroom heel sterk toe, maar ook de kracht... 5.4.2 De ene kracht is de andere niet Wat voor krachten spelen er eigenlijk? Op grote afstand, zelfs ruim voordat er een meetbare tunnelstroom loopt, trekken de naald en het preparaat elkaar al een beetje aan. Deze aantrekkende kracht is werkzaam tussen vrijwel alle atomen en moleculen en staat bekend als de Van der Waals kracht, genoemd naar de Nederlandse chemicus, en Nobelprijs-winnaar Johannes van der Waals (1837 – 1923). Vaak spelen er tussen de naald en de op het oppervlak liggende atomen ook elektrostatische krachten, bijvoorbeeld omdat de atomen enigszins geladen zijn, of omdat ze zich laten polariseren door het elektrische veld van de naald. Brengen we de naald dichterbij, dan kan er tussen het laatste atoom van de naald en het dichtstbijzijnde atoom van het preparaatoppervlak een nieuwe, chemische binding ontstaan. De krachten die hierbij optreden, kunnen zo sterk worden, dat bij het weer uit elkaar trekken van de naald en het oppervlak een oppervlakte atoom kan worden losgescheurd, of juist een atoom van de naald op het oppervlak kan achterblijven. Pas als we de naald nog verder naar het oppervlak bewegen, beginnen de naald en het preparaat elkaar af te stoten. We proberen dan dat laatste atoom van de naald en het dichtstbijzijnde atoom zo dicht bij elkaar te brengen, dat niet alleen de bindingselektronen van die twee atomen met elkaar in contact komen, maar ook de andere, dichter bij de kern gelegen elektronen van de atomen in elkaars ‘vaarwater’ verzeild raken. Dat leidt tot een zeer sterke afstoting. 5.4.3 Handleiding voor de ‘atomaire ingenieur’ In Figuur 5.8 is geschetst hoe je met de STM de structuur van het oppervlak atoom voor atoom naar je hand kunt zetten. In de beginsituatie van Figuur 5.8 ligt het oppervlak bezaaid met vreemde atomen. Dit kan je bewerkstelligen door bijvoorbeeld een kleine hoeveelheid van de vreemde atomen in een schoon reservoirtje te verwarmen en het schone preparaatoppervlak bloot te stellen aan de damp die daarbij ontstaat. Alhoewel bij dit proces de hoeveelheid van de op het oppervlak landende vreemde atomen nauwkeurig kan worden gecontroleerd, landen de atomen natuurlijk allemaal op volstrekt willekeurige plaatsen. In het eerste stadium van ons creatieve proces beginnen we met het maken van een ‘conventionele’ STM-afbeelding van het resultaat, waarmee we de vreemde atomen in kaart kunnen brengen. In dit stadium houden we de tunnelstroom nog laag, zodat de naald zich op de gebruikelijke afstand van circa 0.7 nm van het oppervlak bevindt en de krachten tussen naald en oppervlak nog klein zijn. Hierna gaan we de vreemde atomen een voor een met de naald verplaatsen naar nieuwe, door ons uitgekozen posities, om zo stap voor stap de nanostructuur op te bouwen.
50
I
II
III
IV
Figuur 5.8. Het principe van atomaire manipulatie. Om een op het oppervlak liggend atoom te verplaatsen, ga je als volgt te werk. Eerst breng je de naald naar een positie recht boven het atoom (stadium I). Dan laat je de naald voorzichtig zakken (stadium II). De tunnelstroom wordt nu veel groter en ook de krachten tussen de naald en het vreemde atoom nemen sterk toe. Vervolgens beweeg je de naald evenwijdig aan het oppervlak. Als de krachten tussen de naald en het vreemde atoom voldoende sterk zijn, wordt het atoom door de naald zijdelings meegesleurd (stadium III). Het atoom blijft hierbij de hele tijd in contact met het oppervlak. Is de naald met het vreemde atoom eenmaal op de gewenste plaats aangekomen, dan trek je de naald weer terug (stadium IV). Het atoom blijft aan het oppervlak vastzitten, op de plaats waar het door de naald heen is gedirigeerd. Tijdens het terugtrekken van de naald neemt de kracht tussen naald en atoom uiteraard weer af. Als de naald weer op haar oorspronkelijke afstand van bijvoorbeeld 0.7 nm is aangekomen, dan kan het oppervlak opnieuw worden afgebeeld, zonder dat daarbij de atomen worden verplaatst. De naald is nu beschikbaar voor het verplaatsen van het volgende atoom. Het moge duidelijk zijn dat de atomen niet uit zichzelf mogen weghuppelen als we ze eenmaal hebben afgebeeld of verplaatst. Daarom moeten we bij dit type experimenten de temperatuur zo laag kiezen dat de atomen geheel stil liggen op vaste posities. Meestal wordt ervoor gekozen om de volledige STM te koelen tot 4.2 K. 5.4.4 De kwantum-kraal We hadden in Hoofdstuk 1 al een voorbeeld gezien van deze methode (zie Figuur 1.7). Don Eigler en medewerkers, van het IBM-laboratorium in San José (California), gebruikten aan het begin van de jaren negentig als eersten de STM om het logo van hun werkgever met enkele xenon atomen te schrijven op een stukje nikkeloppervlak met een lengte van minder dan 3 nm. In Figuur 5.9 zien we vier, door dezelfde onderzoeksgroep gemaakte STM opnamen van enkele stadia in de vorming van een atomaire cirkel op een koperoppervlak, Cu(111). De cirkel bestaat uit 48 ijzeratomenviii. Zoals hierboven beschreven, werd eerst een kleine hoeveelheid ijzer op het oppervlak gedeponeerd. De ijzeratomen werden vervolgens met de STM naald een voor een over het oppervlak naar de gewenste cirkelposities geschoven. Het laatste plaatje van Figuur 5.9, waarin de cirkel is voltooid, confronteert ons met een verrassing. Behalve de cirkel van ijzeratomen, beeldt de STM nog diverse andere ringen af. Bovendien komt er in viii
De ijzeratomen liggen niet precies op een cirkel. Elk ijzeratoom bevindt zich namelijk in een van de natuurlijke kuiltjes op het koperoppervlak. Het oppervlak bevat een zeshoekig rooster van dergelijke kuiltjes. In een dergelijk kuiltje steunt het ijzeratoom op drie koperatomen. In plaats van de perfecte cirkelpositie kiest elk ijzeratoom de dichtstbijzijnde positie op het zeshoekige koperrooster. De afwijkingen zijn te klein om in Figuur 5.9 op te vallen.
51
het STM plaatje een duidelijk maximum voor in het midden van de cirkel, terwijl daar geen ijzeratoom is neergelegd. De cirkelvormige structuren die binnen de atoomring te zien zijn, treden spontaan op. Het zijn staande golven van binnen de ring ‘gevangen’ oppervlakte-elektronen, als de rimpels in een ronde vijver. De naam oppervlakte-elektronen slaat op de speciale klasse van elektronen-golffuncties die zich aan oppervlakken van materialen of grensvlakken tussen materialen concentreren. In het inwendige van het materiaal zijn deze golffuncties verwaarloosbaar klein. Vanaf het oppervlak (of grensvlak) valt de golffunctie, en daarmee de waarschijnlijkheid om een dergelijk elektron aan te treffen, exponentieel af met de afstand. Deze elektronen kunnen zich dus niet voortbewegen in de richting loodrecht op het oppervlak. Ze bewegen zich echter gewoonlijk als volledig ongehinderde, lopende golven in alle richtingen evenwijdig aan het oppervlak. Deze oppervlaktegolven weerkaatsen aan elke onregelmatigheid op het koperoppervlak, zoals bijvoorbeeld een ijzeratoom. Voor de elektronengolven vormen de 48 ijzeratomen een cirkelvormige spiegel. De teruggekaatste golven interfereren met de heenlopende golven, hetgeen aanleiding geeft tot constructieve en destructieve interferentie op karakteristieke afstanden tot de ring. De tweedimensionale situatie van binnen de ring opgesloten elektronen is volstrekt analoog aan die voor een deeltje in een eendimensionale put, waarvoor we in Hoofdstuk 2 de golffunctie hebben bestudeerd (zie bijvoorbeeld Figuur 2.8). Het feit dat we met de STM niet alleen de atomaire structuur van het oppervlak zichtbaar maken, maar ook de maxima en de minima in de waarschijnlijkheidsverdeling van de elektronen aan het oppervlak kunnen zien, illustreert dat de STM eigenlijk uitsluitend een afbeelding maakt van de verdeling van de elektronen aan het oppervlak. In de meeste gevallen zit de meerderheid van de elektronen geconcentreerd rond de posities van de atoomkernen. Maar de door de ijzeren ring veroorzaakte staande elektronengolven zijn voldoende sterk om het beeld in Figuur 5.9 volledig te overheersen. Eigler en zijn medewerkers hebben de cirkelstructuur de naam “kwantumkraal” (“quantum corral”) gegeven. Het woord “kraal” staat hier in de betekenis van de omheining waarbinnen gewoonlijk paarden worden opgesloten. Het ijzer vormt hier de kwantum-omheining, en de elektronen figureren als de binnen deze omheining opgesloten paarden.
Figuur 5.9. STM afbeeldingen van vier stadia van de bouw van een atomaire ring van ijzeratomen op een koperoppervlak, Cu(111). De ijzeratomen zijn een voor een op hun plaats gebracht met behulp van de methode van Figuur 5.8. Binnen deze zogenaamde kwantum-kraal vormen zich spontaan staande elektronengolven die door de STM worden afgebeeld als cirkelvormige maxima en minima in de hoogte. http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html
52
5.4.5 De ultieme chemie De laatste illustratie die we hier geven van nanotechnologie met de STM richt zich op de scheikunde. De droom die door velen in dit vakgebied wordt gekoesterd, is dat het mogelijk wordt om met de STM niet alleen atomen naar de juiste plaats op een metaaloppervlak te dirigeren, maar ook moleculen gericht te splitsen en nieuwe chemische bindingen tot stand te brengen. Met dergelijke mogelijkheden zouden nieuwe moleculen stap voor stap kunnen worden gevormd, met volledige, atomaire controle over het proces. Ook hier lijkt de toekomst minder ver weg dan je misschien zou verwachten. Figuur 5.10 laat twee STM afbeeldingen zien van
Figuur 5.10. STM afbeeldingen van het splitsen van een zuurstofmolecuul op een platina oppervlak, Pt(111). In het linker plaatje bevinden zich twee intacte O2 moleculen op het oppervlak. Door het toedienen van een korte spanningspuls wordt het onderste van de twee moleculen gesplitst in afzonderlijke zuurstof atomen, zoals te zien is in het rechter plaatje. http://www.lassp.cornell.edu/lassp_data/whoarsmisdc.html Het meest spectaculaire voorbeeld dat we momenteel kunnen geven van nano-assemblage is ‘heet van de naald’. Onderzoekers in Berlijn slaagden er onlangs voor het eerst in om met de STM een volledige chemische reactie uit te voeren. Het experiment bestond was erop gericht om het molecuul biphenyl (C12H10) te vormen. Dit is een molecuul dat opgebouwd is uit twee aan elkaar gekoppelde benzeenringen. De ingrediënten bij de chemische reactie waren twee jodobenzeen (C6H5I) moleculen. De reactievergelijking zag er als volgt uit:
Het koper dat in deze vergelijking staat, speelt de rol van katalysator. Het wordt bij de reactie niet verbruikt. De gang van zaken is schematisch aangegeven in het linker paneel van Figuur 5.11. Eerst werden twee C6H5I moleculen opgezocht die zich aan een stap van een koperoppervlak genesteld hadden. Vervolgens werd met behulp van spanningspulsen van de STM van beide moleculen het jodium atoom afgesplitst. De methode van Figuur 5.8 werd vervolgens toegepast om het jodium uit de weg te schuiven. Vervolgens werden de twee C6H5 fragmenten langs de stap naar elkaar toegeschoven, om daarna met een spanningspuls van de STM aan elkaar te worden ‘gelast’. De STM afbeeldingen van de verschillende stadia in dit proces staan in de rechtse twee panelen van Figuur 5.11. Het resultaat was het gewenste biphenyl molecuul.
53
Figuur 5.11. STM afbeeldingen van de synthese van een biphenyl molecuul uit twee jodobenzeen moleculen op een koper oppervlak, Cu(111). Links staat de gevolgde procedure schematisch aangegeven. De naald wordt afwisselend gebruikt om moleculen de verplaatsen en om er chemische bindingen mee te breken of juist tot stand te brengen. http://www.physik.fu-berlin.de/~hlas/research-manu.htm Het belang van dit experiment ligt niet zozeer in het feit dat de STM één exemplaar van het specifieke molecuul biphenyl kan maken, maar vooral in het feit dat het laat zien dat het inderdaad mogelijk is om alle stappen te beheersen die nodig zijn om bestaande moleculen uit elkaar te halen, en volledig nieuwe moleculen te synthetiseren. Met dit toonaangevende demonstratie-experiment, is er weer een beetje meer uitgekomen van de droom van Richard Feynman.
54
6 Metaaldraden met een dikte van slechts één atoom. 6.1 Contact maken Zoals besproken in hoofdstuk 2 worden de eigenschappen van metallische geleiders op atomaire schaal volledig gedomineerd door de kwantummechanica. Ze gedragen zich totaal anders dan we gewend zijn van metalen uit onze gewone belevingswereld. Er zijn vele voorbeelden van recent onderzoek in universitaire en industriële laboratoria waar dit sterk uit naar voren komt. In hoofdstuk 5 zijn al enkele voorbeelden ter sprake gekomen waar de kwantummechanica de eigenschappen van metalen op atomaire schaal duidelijk beïnvloedt. In dit hoofdstuk zullen we enkele experimenten bespreken, die in ons laboratorium in Leiden zijn uitgevoerd. We zullen bespreken hoe we draden kunnen maken die slechts één atoom dik zijn, en wat de hoogst uitzonderlijke eigenschappen van deze draden zijn. Het fabriceren van de draden is verassend eenvoudig, omdat de natuur ons hierbij een handje helpt. We beginnen met een schoon metaaloppervlak en gebruiken een STM met een schone tip van hetzelfde metaal als dat van het oppervlak.ix De experimenten worden veelal uitgevoerd bij een temperatuur van enkele graden boven het absolute nulpunt om geen last te hebben van de wanordelijke beweging van de atomen. Vervolgens doen we iets wat we in eerdere toepassing van de STM zorgvuldig probeerden te vermijden: we duwen de tip van de STM in het metaaloppervlak. We hebben dan een elektrisch contact gemaakt en de weerstand van dit contact wordt kleiner naarmate we de tip dieper in het oppervlak duwen. We meten nu de elektrische weerstand van dit contact terwijl we het contact langzaam en geleidelijk verbreken door de draaduiteinden uiteen te trekken. Niet alleen de elektrische, maar ook de mechanische eigenschappen van metalen verschillen op zeer kleine schaal sterk van de gebruikelijke. Tijdens het verbreken van het contact wordt het metaal op microscopische schaal opgerekt tot een dunne draad. De manier waarop het contact tussen het metaaloppervlak en de tip wordt opgerekt vertoont enige gelijkenis met draden die men trekt uit gesmolten kaas. Tijdens dit oprekken wordt het verbindingsdraadje snel dunner, en dit zien we terug in ons experiment aan de elektrische weerstand, die daardoor toeneemt. In de laatste fase van dit proces zien we de weerstand niet geleidelijk, maar stapsgewijze toenemen. De weerstand blijft tenslotte even hangen op ongeveer 13 kΩ voordat het contact geheel verbroken wordt. In Figuur 6.1 worden enkele voorbeelden van dergelijke metingen gegeven. In de figuur wordt niet de weerstand, R, maar het omgekeerde daarvan, de geleiding G = 1 / R weergegeven. De geleiding kunnen we dus ook schrijven als de stroom door het contact gedeeld door de spanning die we hebben aangelegd over het contact, G = I / V . Langs de horizontale as staat de spanning op het piëzoëlement, die evenredig is met de verplaatsing van de tip ten opzichte van het oppervlak. Naarmate de piëzospanning toeneemt wordt de tip verder uit het oppervlak teruggetrokken. We zien dan dat de geleiding afneemt, en dat de weerstand dus toeneemt, wanneer de tip uit het oppervlak wordt teruggetrokken, precies zoals je zou verwachten. Uit deze eenvoudige experimenten kunnen we twee belangrijke fundamentele waarnemingen noteren. 6.2 Atomaire structuur Ten eerste zien we een stapsgewijze afname van de geleiding, die een direct gevolg is van de atomaire opbouw van het contact. In de laatste fase van het oprekken van de dunne verbindingsdraad verloopt het proces van de vervorming van de verbindingsdraad in discrete stappen, waarbij de atomen waaruit de verbinding is opgebouwd, onder invloed van de mechanische trekspanning gedwongen worden zich ix
Voor dit soort onderzoek wordt ook veel gebruik gemaakt van een techniek in Leiden is ontwikkeld, en die de Mechanisch Controleerbare Breek-Junctie (MCBJ) techniek genoemd wordt. Deze techniek is in feite eenvoudiger dan de STM, maar voor het doel van ons verhaal volstaat het om ons te beperken tot de STM.
55
telkens in nieuwe configuraties te rangschikken. Een nieuwe configuratie houdt een kort moment stand omdat de verdere oprekking kan worden opgevangen door elastische oprekking van de binding tussen de atomen, in analogie met het oprekken van een veer, totdat de totale elastische energie te groot wordt. Op dat moment springen de atomen naar een volgende configuratie die ervoor zorgt de krachten in de metaalverbinding worden gereduceerd. Dat betekent dat het verbindingsdraadje langer moet worden, en bij gelijkblijvend aantal atomen moet dan ook de doorsnede van de draad dunner worden. De elektrische weerstand van de draad wordt voornamelijk bepaald door de diameter van de verbinding, en zo kunnen we de atomaire structuur herkennen in onze meting van de weerstand. Telkens wanneer we dit experiment herhalen ziet de grafiek er een beetje anders uit omdat we geen invloed hebben op de manier waarop de atomen zich tijdens dit proces herschikken. 8
2
Geleiding (2e /h)
7
Goud T = 4,2 K
6 5 4 3 2 1 0 0
50
100
150
200
250
300
Piezospanning (Volt)
Figuur 6.1. Drie voorbeelden van de manier waarop de elektrische geleiding afneemt van een contact tussen een STM tip en een metaaloppervlak, wanneer de tip geleidelijk uit dit oppervlak wordt teruggetrokken. Zowel de tip als het oppervlak in deze voorbeelden zijn van goud, en de experimenten zijn uitgevoerd bij een temperatuur van 4,2 K. Telkens wanneer het contact is verbroken (wanneer de geleiding nul wordt), dan wordt de tip weer in het oppervlak geduwd (dit is niet in de figuur weergegeven) en wordt een nieuwe grafiek opgemeten. (Bron: JMvR, Universiteit Leiden) 6.3 Het kwantum van geleiding Een tweede fundamentele waarneming is de waarde van de geleiding op het moment van het verbreken van het contact. De waarde van de geleiding komt overeen met de fundamentele grootheid 2e 2 / h , de kwantumeenheid van geleiding, een eenheid die ik al even genoemd heb in verband met de universele geleidingsfluctuaties in §4.2. Deze kwantumeenheid kan ook worden uitgedrukt als een weerstand van ongeveer 13 kΩ ( R = h / 2e 2 ≈ 12,9 kΩ ). Het feit dat het laatste niveau van de weerstand vóórdat het contact uiteindelijk breekt goed reproduceerbaar een zelfde waarde oplevert, suggereert dat we hier te maken hebben met de weerstand van een contact dat nog slechts uit een enkel atoom bestaat. De overeenkomst van de weerstand met deze fundamentele constante suggereert onmiddellijk dat de kwantummechanica nodig is om deze waarde te verklaren. Het is duidelijk dat het nodig is om meer geavanceerde en gevarieerde experimenten uit te voeren om te bewijzen dat het contact inderdaad uit slecht één atoom bestaat bij een weerstand van 13 kΩ . Er zijn intussen vele van dergelijke experimenten uitgevoerd, waarbij gebruik wordt gemaakt van supergeleiding of van de informatie die verborgen zit in de ruis van de stroom door het contact. We zullen deze experimenten hier niet verder
56
bespreken, maar volstaan met de opmerking dat het daarmee mogelijk is om aan te tonen dat het laatste plateau in de grafieken van Figuur 6.1, met een geleiding die vrijwel gelijk is aan 2e 2 / h , inderdaad overeenkomt met een contact van slechts een enkel atoom. 6.4 Een keten van atomen Wanneer we nog eens nauwkeurig kijken naar dat laatste plateau in de grafieken van Figuur 6.1 dan valt op dat er een hele lange bij is. Hoe lang kan een dergelijk plateau zijn? Wanneer we inderdaad aannemen dat het contact op dat moment uit slechts één atoom bestaat dan zouden we de binding van dit atoom met de rest van het contact misschien kunnen oprekken over een afstand gelijk aan de straal van het atoom, maar zeker niet veel meer. Om hier iets meer over te kunnen zeggen moeten we de piëzospanning dus omrekenen in een afstandschaal, en dat is gedaan in Figuur 6.2. De figuur toont een andere meting waarbij het laatste plateau zelfs nog een beetje langer is. De straal van een atoom is ongeveer 0,1 à 0,2 nm, dus de lengte van het plateau is minstens tien keer langer dan we zouden verwachten.
2
Geleiding (2e /h )
8 Goud T = 4,2 K
6 4 2 0
0
1
2
3
Tip verplaatsing (nm)
Figuur 6.2. Een voorbeeld van een meting waarbij een zeer lang laatste geleidingsplateau wordt waargenomen. De horizontale as is nu weergegeven in een nanometers, en we zien dus dat het laatste plateau ongeveer 2 nm lang is. (Bron: JMvR, Universiteit Leiden) De verklaring voor deze waarneming is de vorming van een keten van individuele goudatomen. Met diverse experimenten, die we hier niet kunnen bespreken is dat aangetoond, en verder zijn er computerberekeningen gedaan die dit effect kunnen reproduceren. Het resultaat van zo'n computerberekening is weergegeven in Figuur 6.3. De draad kan op deze manier een lengte van ongeveer acht atomen bereiken. We hebben hier te maken met de dunst mogelijke draad, en we zullen enkele bijzondere eigenschappen van deze draden bespreken. Ten eerste blijkt dat slechts enkele metalen de eigenschap hebben dat ze op deze manier spontaan een draad van atomen vormen. Tot nu toe hebben we deze eigenschap alleen kunnen vinden bij goud en platina. Het is aardig op te merken dat dit toevallig ook metalen zijn waarvan de duurste sieraden worden gemaakt, dus we hebben hier de kleinst mogelijke halsketting gemaakt. Het is nog niet duidelijk waarom deze twee metalen het doen en andere niet. Dat wordt op dit moment nog onderzocht, als ook de vraag of het mogelijk is veel langere ketens te maken. 6.5 Het einde van de wet van Ohm Misschien heb je al opgemerkt dat er iets merkwaardigs aan de hand is met onze verklaring van de lange plateaus in de geleiding. De verklaring luidt dat we een steeds langere ketting van individuele
57
atomen maken, maar je zou verwachten dat een draad die langer wordt ook een groter weerstand krijgt, en dus een lagere geleiding.
Figuur 6.3. Computersimulatie van de atomaire structuur van een contact tussen twee gouddraden dat wordt opgerekt en spontaan een keten van individuele atomen vormt. Klik met de linker muisknop op de figuur om de video te starten (Bron: S. Bahn en K.W. Jakobsen, Technical University of Denmark ) De reden om dit te verwachten is gebaseerd op onze kennis van de wet van Ohm. Deze zegt onder andere dat de weerstand van een draad R evenredig is met de lengte draad L, omgekeerd evenredig met zijn doorsnede A, en evenredig met de soortelijke weerstand ρ van het metaal waarvan de draad is gemaakt R=
ρL . A
(6.1)
Deze wet is echter niet meer geldig op de schaal van atomen. De weerstand in de wet van Ohm is het resultaat van de botsing van elektronen met onzuiverheden in het metaal. De elektronen worden door het spanningsverschil dat we aanleggen versneld, maar telkens wanneer ze tegen een obstakel in het metaal botsen verliezen ze hun snelheid weer, waarna ze opnieuw moeten worden versneld. Op deze manier wordt de stroom dus meer gehinderd naarmate er meer onzuiverheden in het metaal zitten (dan is ρ groot) en naarmate ze een langere weg moeten afleggen (dus voor een grote lengte L). In ons geval van een draad van individuele atomen verandert dit beeld compleet. Er zijn geen obstakels meer en, wat nog belangrijker is, de afmetingen zijn zo klein dat het kwantummechanische golfkarakter van de elektronen dominant wordt. Om de elektrische stroom te beschrijven moeten we de kwantummechanica toepassen. 58
6.6 Kwantum beschrijving van de stroom In Figuur 6.4 is een vereenvoudigd model voor het contact weergegeven. Het gebied binnen het metaal waar de elektronen zich bewegen is wit, en het gebied erbuiten (vacuüm) is gearceerd weergegeven, en daar kunnen de elektronen slechts een klein beetje in doordringen door te tunnelen. De stroom loopt van het bovenste stuk metaal (de tip) naar het onderste (het oppervlak) door smalle passage. Zoals besproken in hoofdstuk 2 moet de golffunctie van de elektronen nul zijn op de wanden. Enkele mogelijkheden voor dergelijke golven staan in de figuur getekend. Deze golven kunnen zich verplaatsen door het contact (van boven naar beneden) en zo ontstaat een stroom van elektronen. Door te tellen hoeveel elektronen er mee kunnen doen bij een bepaalde waarde van de aangelegde spanning kun je dan uitrekenen dat de geleiding G gegeven wordt door
G=
I 2e 2 = N. V h
(6.2)
Hier is N het aantal mogelijke golven dat we binnen de draad kunnen vormen. Hoe dit tellen precies in zijn werk gaat kunnen we binnen deze beperkte cursus niet in detail uitleggen, maar het is geen moeilijk probleem. We weten uit hoofdstuk 2 dat de energie van een golffunctie toeneemt als de golflengte afneemt. Van de drie golffuncties die in Figuur 6.4 zijn weergegeven heeft de bovenste dus de laagste energie. Wanneer je je verder voorstelt dat we de wanden van de draad in Figuur 6.4 naar elkaar toe bewegen, zodat we een steeds dunnere draad krijgen, dan krijgen de elektronen behorende bij de getekende golffuncties dus een steeds grotere energie. Voor een zeer dunne draad hebbende elektronen dus steeds meer energie nodig om over te kunnen steken van boven naar beneden in de figuur. De elektronen hebben maar een beperkte hoeveelheid kinetische energie ter beschikking, en wanneer de draad dunner wordt kunnen er steeds minder golffuncties mee doen in de geleiding door de draad. Voor de dunste draden kunnen slechts dié elektronen oversteken die een golffunctie hebben met de langst mogelijke golflengte, die dan dus overeenkomt met de bovenste golf in de figuur.
Figuur 6.4. Vereenvoudigd model van een dunne metaaldraad die de tip met het oppervlak verbindt. Binnen de draad vloeit de elektrische stroom via de golffuncties die de elektronen daar kunnen vormen. Enkele voorbeelden van die golffuncties zijn in de figuur weergegeven. 59
Op deze wijze kan men laten zien dat voor de dunst mogelijke gouddraad die in het experiment werd gemaakt, een draad van één atoom dikte, er nog slechte één golffunctie mee doet. Dan is N in vergelijking (6.2) gelijk aan 1, en dus is de geleiding gelijk aan 2e 2 / h . 6.7 Super stromen Je zou verwachten dat de atomaire draden die we maken in onze experimenten zeer kwetsbaar zijn, en het is daarom des te opmerkelijker dat het mogelijk is enorm grote stromen door een atomaire keten te sturen. Een keten van individuele goudatomen blijkt een stroom tot 100 µ A te overleven. Ter vergelijking: in een gloeilamp van 100 Watt zit een wolfram draadje van ongeveer een tiende millimeter diameter, en de stroom van ongeveer een halve ampère warmt het draadje op tot het letterlijk witheet wordt. Zouden we de stroom met een factor twee vergroten dan smelt het draadje. Om een goede vergelijking te kunnen maken moeten we het verschil in doorsnede van de draden in rekening brengen. De draad van één atoom heeft een diameter van ongeveer d = 0,3 nm, dus de doorsnede heeft een oppervlakte van Aatoom = π d 2 / 4 ≈ 7,1 ⋅ 10 −20 m2. Het wolfram draadje in de lamp
heeft een diameter van ongeveer d = 0,1 mm, en een doorsnede van Alamp ≈ 7,9 ⋅10 −9 m2. Wanneer hetzelfde mechanisme van geleiding van toepassing zou zijn voor de wolfram draad in de lamp als voor de atomaire draad, dan zou het mogelijk moeten zijn om een stroom door de wolfram draad te sturen van I lamp =
Alamp Aatoom
I atoom
7,9 ⋅ 10 −9 −4 10 ≈ 1,1 ⋅ 10 7 A ≈ − 20 7,1 ⋅ 10
(6.3)
Met andere woorden, de lamp zou dan een stroom van 11 miljoen Ampère moeten verdragen. Ook hierin uit zich weer het bijzondere karakter van materialen in Schrödinger’s wereld. De verklaring voor het verschil is weer dat de elektronen in de gouddraad van een enkel atoom dik helemaal geen botsingen maken, maar er als een golf doorheen bewegen. 6.8 Conclusie We hebben in dit hoofstuk een voorbeeld besproken van een experiment waarin de bijzondere eigenschappen van materialen op de schaal van nanometers duidelijk naar voren komen. Met de beperkte inleiding in de kwantummechanica uit deze cursus is het nog niet mogelijk alle aspecten van deze experimenten te begrijpen, maar het is al wel duidelijk geworden hoe het golfkarakter van de elektronen een grote invloed kan hebben op de elektrische geleidingseigenschappen van een metaal. Deze eigenschappen zullen van belang worden wanneer de onderdelen die men op een chip fabriceert nog verder worden verkleind. De gebruikelijke wetten die men hanteert bij het ontwerpen van een chip, waaronder bijvoorbeeld de wet van Ohm, zullen op een gegeven moment niet meer geldig zijn. Aan de andere kant wordt er al over nagedacht of men de nieuwe verschijnselen misschien kan gebruiken voor totaal nieuwe toepassingen. Dat is nog toekomstmuziek, maar in het volgende hoofdstuk willen we alvast een beetje in die toekomst kijken.
60
7 Toekomstperspectief 7.1 Bouwen met atomen en moleculen In de voorgaande hoofdstukken hebben we een beeld geven van enkele technieken die het mogelijk maken om structuren te bouwen met individuele atomen en moleculen. We hebben gezien hoe de eigenschappen van de materie op deze zeer kleine schaal verschilt van die waarmee we in het dagelijks leven vertrouwd zijn. Het beeld dat we hebben geschetst is verre van compleet. We hebben ons voornamelijk beperkt tot een aantal recente ontwikkelingen binnen de natuurkunde. Echter, voor de nanotechnologie van de toekomst zijn ontwikkelingen in de chemie en de moleculaire biologie van minstens even grote betekenis. Om het beeld een klein beetje te corrigeren zullen we in dit hoofdstuk enkele van die ontwikkelingen kort noemen. Verder zullen we enkele voorbeelden bespreken van de mogelijkheden die de nanotechnologie biedt, en de problemen die daarvoor nog moeten worden opgelost met verder wetenschappelijk onderzoek 7.2 Toepassingen Met name vanuit de Verenigde Staten is er een enorm enthousiasme ontstaan over de mogelijkheden die nanotechnologie biedt voor de toekomst. Een grote voortrekkersrol wordt hier gepeeld door Dr. Eric Drexler, die veel publiceert over de zegeningen die hij van deze ontwikkelingen verwacht. Er is ook een speciaal instituut opgericht in de Verenigde Staten, het Forsight Institute, dat zich bezig houdt met toekomstverkenningen rond nanotechnologie, en de research op dit gebied probeert te stimuleren en te coördineren. De Amerikaanse regering heeft zich hier bij aangesloten en heeft in 2000 een budget van ongeveer 500 miljoen dollar vrijgemaakt voor onderzoek op het gebied van nanotechnologie. Ook diverse universiteiten, onderzoeksinstituten en ministeries in Europa en Japan hebben grote budgetten vrijgemaakt voor deze ontwikkelingen. Waar komt dit optimisme vandaan? Een belangrijke stimulans voor deze ontwikkelingen is het besef dat we sinds kort in staat zijn om de materie werkelijk op atomaire en moleculaire schaal te manipuleren. Dit biedt perspectief op volledig ongekende nieuwe ontwikkelingen. Hoewel veel van de toepassingen waar men nu aan denkt nog heel veel onderzoek zullen vragen en nog lang niet gerealiseerd kunnen worden, is het ook geen volledig ondenkbare Science Fiction meer. De toepassingen waar men aan denkt kunnen ruwweg worden ingedeeld in drie categorieën: elektronische, mechanische en chemische. 7.2.1 Computers en geheugens In eerdere hoofdstukken is uitgebreid besproken hoe de huidige ontwikkelingen in de elektronische industrie leiden naar voortdurend kleinere componenten op een computerchip. We hebben ook getracht duidelijk te maken dat hieraan als gevolg van kwantummechanische effecten een eind zal komen lang vóórdat die componenten de afmetingen van individuele atomen bereiken. Het slechte nieuws, dat er dus een einde aan deze ontwikkelingen inzicht komt, wordt echter ruimschoots goedgemaakt door het goede nieuws. Dit betreft met name de mogelijkheid tot het bouwen van een kwantumcomputer. Hoewel nog niemand ooit een kwantumcomputer heeft gebouwd, is de theorie hiervoor al wel grotendeels gereed. In principe zouden we in staat moeten zijn om gebruik te maken van de kwantummechanica om te komen tot een geheel nieuw soort computer. Deze computer zou zijn taken anders uitvoeren dan een gewone computer. Bepaalde taken, waarvoor de krachtigste hedendaagse computers nog te klein zijn, zou een bescheiden kwantumcomputer zeer snel kunnen oplossen. In het beperkte bestek van deze cursus kunnen we helaas niet al te diep op de principes hiervan ingaan. Globaal gesproken komt het erop neer dat de computer alle mogelijke variaties op een probleem gelijktijdig oplost omdat het probleem wordt ‘gecodeerd’ in de vorm van een kwantummechanische golffunctie, en deze golffunctie laat men dan vervolgens interfereren met golffuncties die de vraagstelling coderen.
61
Het is nog een enorme technische en wetenschappelijke uitdaging om een dergelijke computer werkelijk te realiseren. Toch zijn er al belangrijke eerste stappen gezet. Het principe is al gedemonstreerd in laboratoria met systemen bestaande uit enkele bits.x Hierbij wordt soms een enkel atoom als bit gebruikt, of er wordt gebruik gemaakt van minuscule supergeleidende ringetjes om de bits te realiseren. Het is nog niet duidelijk welk van de vele benaderingen die op dit moment worden onderzocht werkelijk zullen leiden tot een bruikbare kwantumcomputer. Wat wel duidelijk is dat er nog een lange weg te gaan is. Het feit dat we al kunnen rekenen met enkele bits betekent absoluut niet dat de kwantumcomputer er ook zal komen. Wat een kwantumcomputer met 1 of zelfs 10 bits kan stelt niets voor. Het wordt pas nuttig wanneer je er een kunt bouwen met 1000 bits. Er is nog niemand die een realistisch idee heeft hoe je zoiets zou moeten bouwen. Naast rekenen op nanoschaal, is er ook belangstelling voor het opslaan van gegevens. Het is duidelijk dat naarmate je minder ruimte per geheugenplaats (bit) nodig hebt, je meer gegevens op hetzelfde oppervlak kwijt kunt. In hoofdstuk 5 is al even ter sprake gekomen wat de praktische problemen zijn van gegevensopslag met individuele atomen. Toch komen hier de eerste toepassingen al in zicht. Door diverse onderzoeksgroepen wordt hard gewerkt aan een geheugentoepassing die onder andere IBM al binnen 1 à 2 jaar op de markt wil brengen. Het principe ervan is gebaseerd op de AFM en wordt geïllustreerd in Figuur 7.1. Met behulp van microfabricagetechnieken vergelijkbaar met die welke gebruikt worden voor het fabriceren van computerchips wordt een grote verzameling bladveertjes met AFM-tips in een regelmatig patroon op een plak silicium gefabriceerd. Over elk bladveertje lopen twee draadjes en wanneer daar een stroom doorheen gestuurd wordt dan wordt het bladveertje en de daaraan verbonden tip warm. Elke tip kan zo afzonderlijk worden verwarmd, en het opwarmen en weer afkoelen gaat razend snel omdat de dingen zo klein zijn.
Figuur 7.1. Schematische opbouw van het duizendpootgeheugen. http://www.almaden.ibm.com/sst/html/newmech/afm.htm
x
Een bit is een geheugen-elementje dat in een klassieke computer 1 of 0 kan zijn. In een kwantumcomputer kan een bit alle mogelijke waarden tussen 1 en 0 aanemen, en zelfs complexe getallen.
62
Het geheugen werkt nu als volgt. De tips worden allemaal tegelijk in contact gebracht met een metaalplaatje (blauw in Figuur 7.1), dat bedekt is met een dunne laag van een organisch materiaal (bijvoorbeeld een soort plastic, geel in de figuur). Wanneer een tip nu warm gemaakt wordt dan smelt de dunne laag onder de betreffend tip. De tip zakt dan in de laag totdat de tip het metaal op het metaal stoot en zo wordt er een putje gemaakt in de laag ter grootte van de tip. Het huidige systeem bevat 1024 tips, en zo kunnen er 1024 bits tegelijk worden geschreven. Dan kan de hele plaat met de dunne film erop onder de tips door een klein beetje opgeschoven worden om de volgende bits te schrijven. Het verplaatsen van de plaat gebeurt met behulp van piëzomotoren. Vervolgens moet deze informatie natuurlijk ook weer gelezen kunnen worden, en daar zit hem de bijzonder slimme vondst van het systeem. De tips worden nu allemaal opgewarmd met een elektrische stroom, maar slechts een beetje, niet genoeg om de organische laag te doen smelten. De elektrische weerstand van de draad waarmee de tips worden opgewarmd neemt toe door de warmte, en die weerstand wordt gemeten. Wanneer een tip nu in een putje in de film zakt komt de tip in contact met de metaalplaat, en koelt daardoor af. Dit wordt dan gemeten als een afname in de elektrische weerstand van de draden die langs die tip lopen, en zo kunnen de putjes in het oppervlak worden afgetast. Het uitwissen van de informatie kan alleen voor het hele geheugen tegelijk door de hele metaalplaat met organische laag op te warmen zodat alle putjes weer dichtvloeien. In Figuur 7.2 wordt een opname met een elektronenmicroscoop van een echt geheugensysteem weergegeven. Om duidelijke reden wordt dit instrument aangeduid als het duizendpootgeheugen (Engels: millipede). Het maximum aan informatie dat met gewone geheugens, zoals de harde schijf van een PC, kan worden gerealiseerd is op dit moment ongeveer 1 gigabit per vierkante centimeterxi, en dit getal verdubbelt ongeveer elke anderhalf jaar. Op dit moment kan men met het duizendpootgeheugen al tien keer zoveel informatie opslaan, en het valt te verwachten dat dit snel meer zal worden naarmate men de techniek verder verfijnt. De afmetingen van het instrument zullen klein genoeg zijn om het te kunnen inbouwen in een horloge, en ook het energiegebruik zal laag zijn. Men zou op die manier een volledig telefoonboek in het geheugen van een horloge kunnen opslaan. 7.2.2 Moleculaire robotjes Naast elektronische toepassingen wordt gedacht aan het ontwikkelen van systemen op de schaal van nanometers die zelfstandig kunnen bewegen en zich verplaatsen. Ze zouden daarbij bepaalde taken kunnen uitvoeren als een soort moleculaire robotjes. Deze robotjes zouden taken kunnen uitvoeren die nu onmogelijk zijn. Er wordt daarbij onder andere gedacht aan toepassingen in de medische wetenschap. Robotjes van kleine afmeting zouden in de bloedbaan kunnen worden ingespoten, op zoek gaan naar afwijkende cellen in het lichaam. Zo zouden ze medicijnen kunnen afleveren precies daar waar ze nodig zijn, zodat bijwerkingen in de gezonde delen van het lichaam kunnen worden vermeden. Men zou nanorobotjes kunnen ontwerpen die reparaties uitvoeren aan cellen met afwijkende eigenschappen. Met name waar het gaat om erfelijke afwijkingen aan het DNA zou dit een geweldige doorbraak kunnen zijn. Voorlopig is dit nog slechts een globaal plan omdat we nog niet weten hoe we die robotjes in elkaar moeten zetten.
xi
Dit wordt gebruikelijk aangeduid als 6 Gbit/in2; stand van zaken anno 2000.
63
Figuur 7.2. Boven: opname gemaakt met een elektronenmicroscoop van het gehele rooster van 1024 tips van het duizendpootgeheugen met de elektrische bedrading. Midden: Uitvergroting van een enkel bladveertje. De elektrische stroom kan door de ene poot, langs de tip, naar de andere poot vloeien. Onder: Verdere uitvergroting van een enkele tip aan het uiteinde van de bladveertjes. http://www.almaden.ibm.com/sst/html/newmech/afm.htm 64
De meeste onderzoeksprojecten op dit gebied zijn nog erg theoretisch. Zo is worden er met geavanceerde computerprogramma's modelberekeningen uitgevoerd aan onderdelen van moleculaire motorsystemen. Een voorbeeld van recent werk op dit gebied is de simulatie van tandwielen gebaseerd op koolstof nanobuizen, die al even ter sprake zijn gekomen in hoofdstuk 0. Het is aardig om te zien hoe bepaalde tandwielen keurig zouden moeten functioneren (zie Figuur 7.3), terwijl bij bepaalde andere verhoudingen van de afmetingen problemen zullen optreden (Figuur 7.4). Men kan zich voorstellen dat dergelijke moleculen op afzienbare termijn gefabriceerd kunnen worden, maar het is nog onduidelijk hoe dit raderwerk vervolgens in elkaar gezet moet worden. We komen hieronder nog terug op dit probleem.
Figuur 7.3. Computersimulatie van een tandheugel en tandwiel combinatie gebaseerd op koolstof nanobuisjes. De diameter van de nanobuisjes is ongeveer 1 nm. Door klikken met de linker muisknop op de figuur wordt de video gestart. http://www.ipt.arc.nasa.gov/gallery.html
Figuur 7.4. Computersimulatie van twee tandwielen gebaseerd op koolstof nanobuisjes, waarbij een duidelijk ontwerpprobleem optreedt. Door klikken met de linker muisknop op de figuur wordt de video gestart. http://www.ipt.arc.nasa.gov/gallery.html 65
7.2.3 Chemische nanofabriekjes Een van de meest spectaculaire resultaten zouden kunnen worden bereikt wanneer we erin slagen om instrumenten te vervaardigen die chemie kunnen bedrijven met individuele moleculen en atomen. Dat het in principe mogelijk is, is al aangetoond met behulp van STM experimenten, waarbij men een enkel atoom met behulp van de STM tip naar een atoom van een andere soort toe duwt en ze zo dwingt om een reactie aan te gaan. Voor een praktische toepassing zou die reactie echter volledig automatisch moeten verlopen. Men zou met dergelijke instrumenten extreem gevoelige sensoren kunnen bouwen, waarmee bijvoorbeeld geuranalyse mogelijk is. Het werk van speurhonden zou dan veel gevoeliger kunnen gebeuren, waarbij de instrumenten niet het nadeel hebben van honden dat ze niet kunnen vertellen wat ze ruiken.
Figuur 7.5. Nanosensor voor het detecteren vanverschillen in DNA moleculen. Het hart van het instrument bestaat uit een rijtje silicium bladveertjes, elk 500 µ m lang, 100 µ m breed en minder dan 1 µ m dik. http://www.zurich.ibm.com/news/00/nanosci/nano_e.html Een eerste stap in die richting is al genomen. In een samenwerkingsproject tussen de universiteit van Basel en het IBM onderzoekslaboratorium in Zürich is een instrument gebouwd dat bestaat uit een rijtje bladveertjes in de vorm van minuscule ‘duikplankjes’, zie Figuur 7.5. De bladveertjes zijn weer gefabriceerd op een plakje silicium met dezelfde techniek als gebruikt voor het duizendpootgeheugen. Elk bladveertje is aan één kant bedekt met een enkele laag van een bepaald soort biomoleculen. Wanneer het instrument in contact wordt gebracht met een gas of vloeistof waarin moleculen voorkomen die specifiek reageren met de moleculen op het oppervlak dan nemen de moleculen meer plaats in op het oppervlak. Hierdoor onstaat een mechanische spanning op het oppervlak waardoor de 66
bladveertjes een klein beetje doorbuigen. De doorbuiging is slechts 10 à 20 nm, maar dat kan heel goed worden gemeten door middel van de afbuiging die dit veroorzaakt op een laserstraal die op de bladveertjes reflecteert. Door elk bladveertje met een ander molecuul te bedekken kunnen in principe een grote verzameling verschillende moleculen worden onderscheiden. Het principe is uitgetest met verschillende stukken DNA moleculen en het bleek mogelijk te zijn om stukken DNA bestaande uit 12 base-eenheden te onderscheiden, wanneer ze slechts in een enkele base-eenheid verschillen. Dit zijn natuurlijk al prachtige en veelbelovende ontwikkelingen, maar we zouden veel verder willen gaan. De instrumenten die we graag zouden ontwikkelen moeten zelf van de afmetingen van nanometers zijn. Met dergelijke nano-instrimenten zouden we twee enorme milieuproblemen in één klap kunnen oplossen: het afvalprobleem en het tekort aan grondstoffen. Afval is immers niets anders dan een grote mengelmoes van stoffen, die zodanig vermengd zitten dat we er niets meer mee kunnen doen. Als we ze molecuul-bij-molecuul en atoom-bij-atoom zouden kunnen sorteren, dan kan het afval weer dienen als grondstof. Bijvoorbeeld, batterijen moeten worden ingezameld omdat de zware metalen zoals nikkel en kobalt een ernstige vervuiling van de bodem veroorzaken. Aan de andere kant zijn nikkel en kobalt dure en relatief zeldzame grondstoffen. Wanneer we alle elementen apart zouden kunnen terugwinnen uit het afval zijn beide problemen voorbij. Het is duidelijk dat dit doel nog ver weg is, maar ook dat het de moeite loont om eraan te werken. Gedeeltelijk wordt er al met succes in die richting gewerkt door gebruik te maken van natuurlijke nanomachientjes, namelijk bacteriën. Sommige bacteriën zijn geschikt om bepaalde soorten afval om te zetten in minder schadelijke stoffen. Dat is al een stap in de goede richting, en misschien ligt de toekomst wel in een combinatie van nanotechnologie en biotechnologie. 7.3 Leren van de natuur De boven genoemde voorbeelden zouden aanleiding kunnen geven tot enige scepsis. Immers, veel ervan is slechts een vaag plan, en het is nog lang niet zeker of we het ooit zullen kunnen realiseren. Die scepsis is gezond, want er wordt veel onzin beweerd. Toch willen we voorzichtig optimistisch zijn, en wel om de volgende reden: we zien aan de natuur dat het in principe mogelijk is. Biologische organismen zijn in feite niets anders dan systemen gebouwd met moleculaire motortjes en detectoren. Zo leren we van de natuur dat het mogelijk is machines te bouwen op de schaal van atomen en moleculen. We kijken daarbij in detail naar alle processen die zich in een cel afspelen. Dat wil echter niet zeggen dat we die processen letterlijk moeten gaan kopiëren. Het is de vraag of we ooit op het idee waren gekomen om een vliegtuig te bouwen wanneer er geen vogels waren geweest. De vogels met hun fraaie glijvluchten hebben ons op zijn minst doen dromen van vliegen. Later hebben we de technologie ontwikkeld waarmee nu ook de mens kan vliegen, maar we hebben onze eigen oplossing bedacht. We hebben de natuur niet klakkeloos gekopieerd. Immers, een vliegtuig klapt niet met zijn vleugels. We weten nu dat het in principe mogelijk is om met moleculen motortjes en logische schakelingen te bouwen, we moeten nu bedenken hoe we dit kunnen inzetten voor nieuwe toepassingen. We zullen hier principes uit de natuurkunde, de scheikunde en de biologie moeten combineren. Van de biologie leren we een hoop, en omgekeerd kunnen we biologen helpen, zoals al blijkt uit het voorbeeld van Figuur 7.3. Er zijn echter nog belangrijke hobbels te nemen. Twee problemen willen we hier nog kort ter sprake brengen. Het eerste betreft de stabiliteit, en wordt besproken in de volgende paragraaf. Zoals besproken in hoofdstuk 5 zijn atomen bij kamertemperatuur zeer bewegelijk, en is het lastig om een structuur van atomen te bouwen die ook bij kamertemperatuur een lang leven beschoren is. Een tweede probleem is het feit dat een enkel nanomachientje, hoe geavanceerd ook, geen zoden aan de dijk zet. Het zal slechts een nano-effect hebben. Om werkelijk iets te bereiken moeten we streven naar een megaproductie van nanomachientjes. Dit probleem zal in §7.5 worden besproken.
67
7.4 Buckyballen en koolstof nanobuizen Het zal vrijwel zeker onmogelijk blijken de technieken die in hoofdstuken 5 en 6 zijn beschreven direct te gebruiken voor practische toepassingen. Bij kamertemperatuur bewegen de atomen immers te veel en zal de structuur die je geduldig atoom-voor-atoom gebouwd hebt al snel spontaan verdwijnen. Ook duurt het veel te lang om dergelijke structuren te bouwen, en aan een enkele structuur heb je niet veel. Het onderzoek is dan ook voornamelijk gericht op het begrijpen van de fenomenen die plaats vinden op die kleine schaal. Metalen zijn dan juist zeer geschikt. Om systemen te bouwen die wel van die kleine afmeting zijn, maar die een veel langere levensduur zullen hebben, zal men waarschijnlijk gebruik maken van bepaalde moleculen. Een voorbeeld van dergelijke moleculen zijn de buckyballen en koolstof nanobuizen, die al in §1.2.3 en in §7.2.2 ter sprake zijn gekomen. Zoals boven besproken zouden de moleculen zich, met enige aanpassingen, kunnen lenen voor mechanische toepassingen. Maar ook elektrische toepassingen zijn mogelijk, en men is er al in geslaagd om een transistor te maken van een enkele koolstof nanobuis.xii Er worden in hoog tempo meer van dergelijke moleculen gevonden, of materialen die onder bepaalde condities spontaan zeer fijne draden vormen. Een voorbeeld hiervan is weergegeven in Figuur 7.6, waar twee nanodraden van de halfgeleider indiumfofsfide (InP) met contacten zijn verbonden, terwijl de nanodraden elkaar in het centrum van de figuur kruisen. De draden zijn slechts 30 - 40 nm dik, maar ze gedragen zich als een gewone halfgeleider. Zo kan men met halfgeleiders licht uitzenden en dit wordt toegepast in LED-displays.xiii Wanneer men nu stroom stuurt van de ene nanodraad via het kruispunt naar de ander nanodraad van InP dan gedraagt het kruispunt zich als een nanoLED, zoals te zien is in het rechter deel van Figuur 7.6.
Figuur 7.6 Indiumfosfide (InP) nanodraden. Links: De vlakken aangeduid met A, B, C, en D zijn metaalcontacten. De dikke witte maatstreep is 2 micrometer lang. Rechts: licht uitgezonden op het kruispunt van de draden. De maatstreep is 5 micrometer lang. (Bron: X. Duan en anderen, Nature nr. 409 (2001) pag. 66) 7.5 Moleculaire assemblers Een van de grootste uitdagingen voor de nanotechnologie vormt het probleem van de fabricage, oftewel de assemblage van vele identieke nanosystemen. Ook hier zullen we van de natuur willen leren. Ideaal gesproken zou je willen dat de nanomachientjes zichzelf in elkaar zetten. Dit zal heel veel inventiviteit vragen. De eerste voorbeelden van ontwikkelingen in die richting zijn er echter al. Zo hebben Lipson en Pollack recent met computersimulaties laten zien dat wanneer je een verzameling van geschikt gekozen elementaire nanobouwstenen bijeenbrengt onder de juiste condities, dat daaruit dan spontaan bewegende moleculaire ‘robotjes’ ontstaanxiv. Het proces dat ze daarbij gebruiken is vergelijkbaar met xii
S. Tans en C. Dekker, Nature nr. 404 (2000) pag. 834-835. LED staat voor Light Emitting Diode. xiv H. Lipson en J.B. Pollack, Automatic design and manifacture of robotic lifeforms, Nature nr. 406 (2000) pag. 974-978 xiii
68
het natuurlijke evolutieproces van survival of the fittest. Het zou te ver voeren om bij dit werk lang stil te blijven staan, maar de boodschap ervan willen we graag overbrengen. Deze luidt dat er nog heel veel onderzoek nodig is om werkelijk te komen tot nanosystemen die zichzelf in elkaar zetten, maar er zijn wel degelijk methodes denkbaar waarmee dat zou kunnen. 7.6
Conclusie
Aan het eind van de negentiende eeuw waren velen, inclusief de meeste wetenschappers, ervan overtuigd dat de natuurkunde bijna af was, dat er weinig nieuws meer te ondekken viel. Dit afgezet tegen de revolutionaire ontwikkelingen van de twintigste eeuw had ons een lesje moeten leren. In de natuurkunde zelf werd alles binnen enkele jaren op zijn kop gezet door de ondekking van de kwantummechanica en de relativiteitstheorie. De toepassingen ervan hebben onze maatschappij ingrijpend veranderd, met name de transistor. Toch hoor je nu aan het begin van de eenentwintigste eeuw dezelfde soort geluiden. Aan het eind gekomen van deze cursus nanotechnologie zal één boodschap duidelijk blijven hangen: de wetenschap is nog lang niet af, en we mogen er op rekenen dat de komende eeuw minstens zo revolutionair zal zijn als de vorige. Er liggen enorm veel uitdagingen voor creatieve jonge mensen, en het is een fantastisch avontuur om aan deze ontwikkelingen mee te werken.
69
70
8 De Piëzo-motor Onder redactie van: Bert Crama en Koen Schoots
8.1 Inleiding De piëzomotor heeft veel bijgedragen aan de ontwikkeling van nanotechnologie. De eigenschap van deze motoren waarvan men gebruik gemaakt, is dat piëzomotoren in staat zijn een voorwerp in hele kleine stapjes over een grote afstand te verplaatsen. Dit maakt deze motoren uitermate geschikt voor het uitvoeren van naderingen. Men kan bijvoorbeeld een metaal waarvan men het oppervlak wilt onderzoeken bevestigen aan een piëzomotor. Dit oppervlak kan men dan laten naderen aan de naald van een STM, zonder deze naald te raken. In dit hoofdstuk gaan we een piëzomotor bouwen. Voordat we echter met het bouwen van de motor beginnen gaan we eerst kijken hoe een piëzomotor werkt. 8.2 Het slip-stick principe Een piëzo-motor is in feite een toepassing van de eerste wet van Newton. Elk voorwerp bezit traagheid en verzet zich tegen een snelheidsverandering. Stel we hebben een piëzo-motor en we laten deze piëzomotor een voorwerp voortbewegen. Dit voorwerp is redelijk zwaar, dus zal het, als het een bepaalde snelheid heeft, deze snelheid niet snel kwijtraken.
In de piëzo-motor zit een piëzo-element verwerkt. Dit element vervormt als je het onder een elektrische spanning zet. Op dit piëzo-element zit een rail gemonteerd, waar het voorwerp op ligt. Nu vervormen we het piëzo-element zodanig, dat de rail in zijn geheel een stukje opzij beweegt in de lengterichting van de rail. Het voorwerp beweegt met de rail mee, omdat het een wrijvingskracht ondervindt, die groter is dan de traagheid die het voorwerp heeft door de snelheidsverandering. Het voorwerp is nu dus een klein stukje opzij gegaan. Nu laten we het piëzo-element heel snel weer terugspringen naar haar oude positie. Het voorwerp heeft zoveel traagheid dat het de beweging van het piëzo-element niet kan bijhouden. De rail wordt dus onder het voorwerp door getrokken. Vergeleken met de situatie voor dat het piëzo-element met haar bewegingen begon, is het voorwerp op de rails nu iets verschoven. Laten we het piëzo-element een zelfde beweging nogmaals uitvoeren, dan verschuift het voorwerp nog iets. Op deze manier kun je dus een voorwerp in hele kleine stapjes over een grote afstand bewegen. Dit is daarom een ideale motor om een oppervlak tot heel dicht bij een naald (van bijvoorbeeld een STM) te laten naderen, zonder dat het oppervlak de naald raakt. Als je wilt weten of dit echt werkt, dan moet je maar eens proberen een tafelkleed onder een gedekte tafel vandaan te trekken. Als je niet hard genoeg aan het kleed trekt komt het complete servies mee. Dit is vergelijkbaar met de eerste langzame beweging van het piëzo-element. Dit heet ook wel de stickbeweging, omdat het voorwerp dat je voort wilt bewegen blijft plakken aan de ondergrond waar het op ligt. Als je hard genoeg trekt, dan blijven alle delen van het servies keurig op hun plaats op de tafel staan. Dit is vergelijkbaar met de snelle beweging van het piëzo-element. Deze beweging wordt ook wel de slip-beweging genoemd omdat de ondergrond waarop het voorwerp ligt zo snel beweegt dat het voorwerp slipt en dus niet mee terug beweegt. Samen vormen deze twee bewegingen het principe waarmee een piëzo-motor werkt. Deze beweging wordt ook wel de slip-stick beweging genoemd. Door deze beweging steeds te herhalen, kan een voorwerp in kleine stapjes over een grote afstand bewogen worden. De piëzo-motor die je gaat bouwen werkt ook met dit principe. De elektronica van deze piëzomotor maakt voor de langzame beweging van het piëzo-element een spanning die lineair toeneemt in de tijd. Na een bepaalde hoeveelheid tijd wordt de opgebouwde spanning plotseling weggehaald en springt het piëzo-element heel snel in haar oude positie terug. Dit spanningsverloop wordt ook wel een zaagtandspanning genoemd. In figuur 8.1 staat het verloop van deze zaagtandspanning als functie van de tijd uitgezet. 71
Figuur 8.1. Een zaagtandspanning. Als de spanning lineair toeneemt in de tijd (de schuine flanken), dan maakt het piëzo-element steeds een langzame beweging in dezelfde richting. Als daarna de spanning plotseling afneemt, dan springt het piëzo-element weer terug in haar oude positie. Van deze beweging van het piëzo-element, maak je gebruik in een piëzomotor. 8.3 De opbouw van de piëzo-motor Om een piëzomotor goed te laten werken, moet er een schakeling gebouwd worden die een zaagtandspanning aanlegt op het piëzo-element. Daarnaast vervormt het piëzo-element niet genoeg als je er een batterijspanning op zet. Het is dus noodzakelijk een hogere spanning op te bouwen. De spanning die we hier op het piëzo-element zetten is ongeveer 31 volt. De elektronica van de piëzomotor is opgebouwd uit 6 basiselementen die zorgen dat het piëzo-element de juiste bewegingen maakt om een voorwerp te laten bewegen. De plaats van deze basiselementen staan in figuur 8.2. In dit hoofdstuk zullen we de werking van de piëzo-motor laten zien.
Figuur 8.2. De schematische weergave van de piëzo-motor Als voeding gebruiken we een gewone 9 volt batterij die je overal kunt kopen. Dat geldt trouwens voor alle onderdelen die gebruikt worden in de motor die je gaat bouwen. De onderdelen zijn allemaal te koop bij elektronicawinkels. Na de voeding is er een zogenaamde DC/DC-converter geschakeld. Dit element wordt toegepast omdat de 9 volt die de batterij als uitgangsspanning afgeeft niet voldoende is, om de beweging van het piëzoelement groot genoeg te maken. Als deze bewegingen niet groot genoeg zijn, werkt de motor niet. De DC/DC-converter zorgt ervoor dat de 9 volt die de batterij als spanning afgeeft, wordt omgezet naar 32 volt. Dit is voldoende om het piëzo-element te laten reageren. Een eigenschap van het piëzo-element dat we nog niet besproken hebben, is dat een piëzo-element een capaciteit heeft. Dit betekent dat je het piëzo-element kunt opladen. Omdat je op deze manier een spanning op het piëzo-element zet, gaat het ook vervormen. 72
De stroombron achter de DC/DC-converter, zorgt ervoor dat het piëzo-element met een constante stroom wordt opgeladen. Het piëzo-element maakt dan een lineaire beweging (dat wil zeggen de snelheid van de beweging van het piëzo-element is constant). Omdat het piëzo-element ook weer terug moet bewegen, is er een detector ingebouwd. Als het piëzo-element tot een bepaalde spanning is opgeladen (ongeveer de 32 volt die uit de DC/DC-converter komt), dan zorgt deze detector dat de schakelaar wordt gesloten. Het piëzo-element wordt dan heel snel ontladen en beweegt daardoor heel snel weer terug in haar oude positie. Als je wilt weten hoe de afzonderlijke basiselementen van de piëzo-motor werken, dan vind je hier meer informatie over in Appendix A6. Hier gaan we nu verder met de handleiding voor het bouwen van de piëzo-motor. 8.4
Het bouwen van de piëzo-motor
Voordat we beginnen met het bouwen van de motor, eerst nog even wat tips over hoe je op een goede manier aan printplaten kunt solderen. Dit voorkomt later een hoop zoekwerk naar slechte elektrische verbindingen. • • • •
Neem een eind soldeertin in één hand en de soldeerbout in de andere hand. Het printje ligt ondersteboven voor je op de tafel. Plaats het uiteinde van het soldeertin op de plek waar gesoldeerd moet worden. Deze plaats is een rondje met een gaatje waar doorheen een draadje of pennetje steekt. Smelt met de punt van de soldeerbout het soldeertin ter plekke en houdt de punt van de bout gedurende 2 seconden op de te solderen plaats. Het soldeertin moet nu over het hele rondje vloeien en draadje of pennetje tot één geheel met het rondje maken. Voeg zonodig nog wat tin toe. Gun het soldeertin de tijd om te smelten en te vloeien over de gehele soldeerplaats!
Nu gaan we de piëzomotor bouwen. De meeste onderdelen die we gebruiken staan beschreven in paragraaf 8.5. Mocht je niet weten hoe je een bepaalde waarde van een condensator of een weerstand moet aflezen, of als je niet weet wat een bepaald onderdeel is, dan kun je het in paragraaf 8.5 opzoeken. • Buig eerst de draadjes van de weerstanden R1, R2 en R4 t/m R10 en steek deze weerstanden op hun plaats. De weerstanden hebben verschillende waarden. Zorg dat de weerstanden op de goede plaats terechtkomen. Buig de draadjes zo, dat ze stroef door de gaatjes gaan. Ze kunnen er dan niet meer uitvallen als je de printplaat omdraait om te solderen. Plaats de weerstanden zo, dat goud- of zilverkleurige foutband aan de rechterkant of aan de bovenkant zit. • Soldeer alle weerstanden vast en knip de draadjes net boven de soldering af. • Plaats en soldeer de ic-voet U1. Let op de plaats van de uitsparing! Pennetjes niet afknippen! • Plaats en soldeer de dioden D1 t/m D7. Buig de draadjes op de zelfde wijze als bij de weerstanden maar let op de richting van de diodes. Zorg dat de zwarte rand aan de goede kant zit. Dit is de kant waar een streep in het symbool van de diode staat. Knip de draadjes weer net boven de soldering af. • Plaats de condensatoren C1 t/m C3, C5 en C6 en buig de draadjes onderaan de printplaat scherp onder een hoek van ongeveer 45°. Ze kunnen er dan niet meer uitvallen bij het solderen. Soldeer ze vervolgens vast en knip de draadjes af. • Plaats condensator C4 maar let op de plaats van de =kant van de condensator. De ribbel (ook wel ril genoemd) moet aan die kant zitten waar een streep in het symbool staat. Buig de draadjes zo, 73
•
•
• • • • •
dat de waarde van de condensator (10µ) aan de bovenkant leesbaar blijft. Soldeer de condensator vast en knip de draadjes af. Plaats transistor Q1 van het type BC557C door de draadjes van deze transistor wat verder uit buigen en de transistor in de printplaat te steken. Buig aan de soldeerkant van de printplaat het draadje van de transistor, dat naast de grote ronde aansluiting op de print zit, naar deze ronde aansluiting toe. Later zal de instelpotmeter R3 op deze draad worden aangesloten. Plaats nu de transistoren Q2 t/m Q5 door de draadjes van de transistoren wat verder uit te buigen. Let op we gebruiken twee verschillende soorten transistoren: BC550C en BC557C! Zorg dat de transistoren op de juiste plek komen te staan. Plaats ze in de 3 gaatjes maar let op de plaats van de platte kant in de behuizing. Druk ze vervolgens zo ver naar beneden dat de afstand tot de print 3 á 4mm bedraagt. Soldeer van elke transistor eerst één ‘pootje’ vast. Richt de transistoren opnieuw uit (het gezicht wil ook wat!) en soldeer daarna de andere ‘pootjes’. Knip de draadjes weer af. Plaats nu de instelpotmeter R3 en de schakelaar SW1. Soldeer ze vast maar knip de pennetjes niet af! Plaats de rode insteekas in R3. Plaats de batterijhouder en maak deze met 2 schroefjes (met verzonken kop) en 2 moertjes vast. Soldeer de pennen van de batterijhouder vast. Plak op de 4 hoekpunten aan de onderzijde van de printplaat de zwarte voetjes. Plaats het ic (HEF40106B). De pennetjes staan meestal te wijd uit en moeten daarom eerst worden uitgericht. Pak de body van het ic tussen beide duim en wijsvingers en duw op het tafelblad de pennetjes rij voor rij tegelijk iets naar elkaar toe. Let op dat de uitsparing in het ic overeenkomt met die in de ic-voet.
Na deze soldeerervaring komt het moeilijkste soldeerklusje: Lees eerst het stuk hieronder door voordat je aan de slag gaat. •
• • •
Neem de piëzo en leg deze met de membraanzijde naar boven op het tafelblad. Het soldeerpennetje zit aan de onderzijde. Vervolgens voorzie je de rand van de bovenzijde van twee dotjes soldeer op een afstand gelijk aan de breedte van de paperclip. Plaats soldeertin op de juiste plek en smelt zo snel mogelijk het tin ter plekke. Dit heet: “vertinnen”. Doe dit vertinnen ook met de paperclip. In het midden van elke zijde aan één kant! Doe het snel zodat het tin niet verder door kan vloeien. Plaats ter controle de paperclip loodrecht op het membraan. Het soldeer zit nu tegenover elkaar. Met de paperclip ondersteboven op het tafelblad en het membraan hier loodrecht op vasthoudend met één hand, kan met de soldeerbout in de andere hand één van de twee soldeerplaatsen worden samengesmolten. Doe dit zo snel mogelijk! Piëzo’s en handen kunnen niet tegen hoge temperaturen! Richt nu het membraan en de paperclip opnieuw uit door het voorzichtig in de goede richting te buigen. Smelt nu op dezelfde manier snel de andere soldeerplaats samen maar pas op dat de eerste niet opnieuw smelt. Voeg zonodig wat tin toe maar doe de soldeerplaatsen één voor één zodat de andere niet ‘los laat’! Plaats de constructie op de plaats van TP2. Richt uit en soldeer snel vast. Bij langdurig solderen laat het soldeerlipje van het membraan los! Plaats een soldeerlipje op de plaats van TP1. Soldeer het vast. Soldeer aan de bovenzijde het rode draadje van de piëzo aan TP1 vast. Plaats de batterij in de houder maar let op de juiste plaats van de +pool en de –pool van de batterij.
De “Piëzo-motor” is nu klaar voor gebruik. 74
Door de batterij vervolgens weer uit de houder te halen en deze met de batterijklemmen aan de verkeerde zijde weer in de houder terug te plaatsen, is de “Piëzo-motor” geheel uitgeschakeld. Er kan zo geen stroom meer uit de batterij lopen. Veel succes met het bouwen, Bert Crama Koen Schoots
8.5
De onderdelen gebruikt in de piëzo-motor
8.5.1 De condensator Een condensator is in principe opgebouwd uit twee metalen platen met daartussen een isolator. Door een spanningsverschil over de condensator aan te leggen, kun je in een condensator een hoeveelheid elektrische lading opslaan. Als je een condensator aansluit op een spanningsbron (wat je in feite altijd doet), dan stromen er elektronen van de positieve plaat door de spanningsbron naar de negatieve plaat. Er ontstaat dus een ladingsverschil tussen de platen. Omdat de ladingen elkaar aantrekken, blijft het ladingsverschil behouden. Er kan immers geen stroom door de isolator tussen de twee platen lopen. De hoeveelheid lading die een condensator kan bevatten wordt bepaald door de spanning die je over de condensator aanlegt en de eigenschappen van de condensator zelf. De lading op de platen van de condensator is evenredig met het spanningsverschil. De constante, die je kunt berekenen door de lading op de platen te delen door het spanningsverschil, heet de capaciteit van de condensator. Er zijn twee manieren waarop de capaciteit aangegeven wordt op de condensator. De eerste manier is dat er de waarde wordt aangegeven in eenheden picofarad (1 pF = 10 −12 F ), nanofarad ( 1nF = 10 −9 F ) of microfarad ( 1µF = 10 −6 F ). De F van farad wordt bij de notatie niet aangegeven Een condensator van 10 microfarad wordt dan aangegeven door 10 µ . Tiende delen van de eenheid worden aangegeven door het tiende deel achter het symbool voor de ordegrootte te zetten. 1,5 microfarad wordt dus1µ 5 . De tweede manier is dat de waarde in eenheden picofarad worden uitgedrukt. De notatie ziet er dan zo uit: 104. Dit moet je als volgt lezen: één 10 met daarachter 4 nullen maal één pF. 104 is dus 100000 ⋅ 10 −12 F = 100nF . 8.5.2 De diode Een diode is een element in een elektrische schakeling die de stroom in slechts één richting doorlaat. De richting van de pijl in het symbool van de diode is geeft de doorlaatrichting van de stroom aan. 8.5.3 Het ic De ic is een soort zwarte rups die bepaalde elektrische schakelingen bevat. De ic die wij gebruiken (de HEF40106B) bevat 8 invertors. 8.5.4 De ic-voet Dit is een blokje waarop je een ic (zoals de HEF40106B) kunt plaatsen. Als je een ic-voet gebruikt, dan hoef je niet steeds alle pinnetjes van het ic te desolderen als je het wilt vernieuwen. Je steekt dan eenvoudig een nieuw ic in de ic-voet.
75
8.5.5 De transistor
Een transistor heeft drie contacten: de collector, de basis en de emitter. Een transistor kan zich in twee toestanden bevinden: - de transistor geleidt. Dan loopt er een stroom van de collector naar de emitter - de transistor geleidt niet. Dan loopt er geen stroom van de collector naar de emitter. In welke van de twee toestanden de transistor zich bevindt, is afhankelijk van het spanningsverschil tussen de basis en de emitter. Een transistor is dus een soort schakelaar. Net als een diode kan een transistor de stroom maar in één richting doorlaten. De pijl die in het symbool van de transistor gebruikt wordt, geeft de richting aan waarin de stroom wordt doorgelaten. 8.5.6 De weerstand Weerstanden bestaan uit een dun laagje metaal of koolstof rond een isolerende kern. Aan de buitenkant staat informatie over de weerstand zoals de grootte van de weerstand en de afwijking van de aangegeven grootte van de weerstand. Deze informatie wordt meestal in kleurcodes weergegeven. De grootte van de weerstand wordt aangegeven door drie kleurbanden. Daarnaast is er nog een vierde band die informatie geeft over hoeveel de werkelijke waarde van de weerstand afwijkt van de aangegeven waarde. De positie van de eerste vier kleurbanden is te zien in figuur 8.3.
Figuur 8.3. De positie van de vier kleurbanden op een weerstand. De banden 1 en 2 stellen de cijfers voor van een getal tussen 00 en 99. Band 3 stelt de factor voor waarmee je het getal verkregen uit band 1 en 2 mee moet vermenigvuldigen. Tenslotte geeft band 4 (de foutband) aan hoeveel de werkelijke waarde van de weerstand afwijkt van de aangegeven waarde. De betekenis van de kleuren staat in tabel 8.1.
76
Tabel 8.1. De betekenis van de kleuren van de banden op een weerstand.
8.5.6.1.1.1 Band 1 en 2 8.5.6.1.1.2 Band 3 Kleur 8.6 Zwart Bruin Rood Oranje Geel Groen Blauw Violet Grijs Wit
Waarde 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Kleur Zwart
Waarde 1
Bruin Rood Oranje Geel Groen Blauw Goud Zilver
10 100 1000 10000 100000 1000000 0,1 0,01
8.5.6.1.1.3 Band 4 Kleur Goud
Waarde ± 5%
Zilver Geen kleur
± 10% ± 20%
Het aflezen van de informatie op de weerstand gaat als volgt: 1. Zoek de goud- of zilverkleurige foutband op. 2. Draai de weerstand zo, dat deze foutband aan de rechter kant zit. Als er geen foutband is, zorg dan dat het stuk van de weerstand waar geen kleurbanden zitten, aan de rechter kant zit. 3. Zoek de waarde van de kleur van band 1 (de meest linkse) op in tabel 8.1. Deze waarde staat in het linker deel van de tabel. Vermenigvuldig dit getal met tien. Dit getal noemen we A. 4. Zoek de waarde van band 2 (naast band 1) op in tabel 8.1. Dit getal noemen we B. 5. Zoek de waarde van band 3 (rechts naast band 2) op in tabel 8.1. Deze waarde staat in het middelste gedeelte van de tabel. Noem dit getal C. 6. Tel nu A op bij B en vermenigvuldig deze som met C. Dit is de grootte van de weerstand. 7. Het percentage dat de weerstand van de aangegeven waarde kan afwijken, wordt gegeven door de kleur van de vierde band.
77
8.6.1 Het piëzo-element
Figuur 8.4. Piëzo-element in de vorm van een membraan. Het piëzo-element bestaat uit een dun ijzeren plaatje (het membraan) waar een dun laagje piëzomateriaal is aangebracht. Het metalen plaatje is aan een kant vastgezet aan de printplaat. Aan de andere kant zit de paperclip. De aansluitingen die zorgen dat er een spanningsverschil U over het piëzomateriaal kan worden aangelegd, zitten aan de ene kant aan het ijzeren plaatje en aan de andere kant aan het piëzo-materiaal (zie de figuur). Leggen we nu een spanning aan over het piëzo-materiaal, dan krimpt het of zet het uit in de richting van het spanningsverschil. Daarnaast vervormt het tegengesteld in de andere twee richtingen. De diameter van het schijfje piëzo-materiaal op het membraan verandert dus ook. Als de diameter van het schijfje piëzo-materiaal verandert, dan trekt het piëzo-materiaal het membraan krom. Op deze manier maakt het membraan samen met de paperclip een heen en weer gaande beweging, als er een zaagtandspanning wordt aangelegd tussen de twee aansluitingen.
78
9 Appendices Hieronder volgen een aantal appendices behorende bij de voorgaande hoofdstukken. We willen hiermee de geïnteresseerde lezer die meer wil weten dan we in de beperkte omvang van deze cursus kunnen bieden de gelegenheid geven zijn/haar nieuwsgierigheid te bevredigen.
A1. Experimenten die aanleiding hebben gegeven tot de kwantummechanica Een van de meest in het oog springende fenomenen die niet begrepen konden worden in termen van de oude natuurkunde waren de spectraallijnen die gezien werden in lampen van, bijvoorbeeld kwikdamp. We zien dit verschijnsel in het dagelijks leven vooral in de karakteristieke oranje-gele kleur van natriumlampen in straatverlichting. Met name de spectraallijnen van waterstof vertonen een dermate duidelijk mathematisch patroon dat dit geen twijfel laat bestaan: er moet wel een fundamentele wetmatigheid aan ten grondslag liggen. Maar met de oude theoretische concepten is het niet mogelijk die wetmatigheid te verklaren. Uiteindelijk heeft Niels Bohr een verklaring voorgesteld gebaseerd op grond van een model van elektronen die rond de kern cirkelen, met de ad-hoc aanname dat slechts bepaalde banen stabiel kunnen zijn. Het bleef lang onduidelijk waarom alleen die banen zijn toegestaan en de verklaring werd uiteindelijk gegeven met behulp van de kwantummechanica.
Figuur A2.1. De spectraallijnen van de elementen waterstof, helium en natrium. Het bovenste spectrum is het continue spectrum. Horizontaal is de golflengte uitgezet in nanometer. Er is een duidelijk patroon zichtbaar in de golflengtes van de spectraallijnen van waterstof. Dit patroon kon door de “klassieke” theorieën (de theorieën ontwikkeld vóór de kwantummechanica) niet verklaard worden. Vraag A2.1. In 1885 ontdekte de Zwitser J.J. Balmer dat de spectraallijnen van waterstof beschreven worden door een eenvoudige wiskundige uitdrukking. De golflengte λ kan geschreven worden als λ = p ⋅ n 2 /(n 2 − 4) , waar p een constante is met de waarde p = 364,56 nanometer. De variabele n in deze uitdrukking is gewoon een geheel getal. Bereken de spectraallijnen voor waterstof en controleer dat de waargenomen lijnen in Figuur A2.1 overeenkomen met gehele getallen n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Een tweede belangrijk verschijnsel is de straling die wordt uitgezonden door een zwart lichaam. Het was al enige tijd bekend dat elk voorwerp (dat zwart is zodat er geen licht wordt gereflecteerd) zelf straling uitzendt. Naarmate de temperatuur hoger wordt, neemt de intensiteit van deze straling toe en verschuift de kleur hiervan naar een kortere golflengte.
79
We kennen dit verschijnsel van een smid die zijn ijzer in het vuur legt: het ijzer wordt eerst roodgloeiend en daarna witheet. Het was echter lange tijd onmogelijk om een verklaring te vinden voor de vorm van de grafiek die de hoeveelheid uitgezonden straling weergeeft als functie van de golflengte (zie figuur A2.2). Uiteindelijk na heel veel verwoede pogingen kwam Max Planck met een formule op de proppen die een goede beschrijving gaf. Het probleem was echter dat hij deze formule alleen kon afleiden wanneer hij aannam dat het licht niet een continu golfverschijnsel is, zoals wordt beschreven door de wetten van Maxwell, maar hij moest aannemen dat het alleen in “pakketjes” ter grootte van een constante, h, maal de frequentie ν wordt uitgezonden. Hoewel er dus eindelijk een formule was die klopte, noemde Planck zelf zijn stap een “wanhoopsdaad”, omdat er in zijn ogen geen enkele goede reden kon bestaan om dergelijke pakketjes te veronderstellen. Zijn formule vormde een van de aanknopingspunten voor de uiteindelijke formulering van de kwantummechanica. Figuur A2.2. Meetresultatenxv van de straling van een zwart lichaam bij infrarode golflengten voor verschillende temperaturen. De grafieken beschrijven hoeveel licht er van een bepaalde golflengte wordt uitgezonden als de zwarte straler een bepaalde temperatuur heeft. De berekende waarden zijn het resultaat van een eerdere theorie die al een goede benadering geeft, maar nog niet helemaal klopt.
Een derde belangrijke experimentele waarneming die heeft bijgedragen aan de doorbraak van de kwantummechanica, was het foto-elektrisch effect (zie Figuur A2.3). Men had gezien dat er elektronen vrij komen wanneer een schoon metaaloppervlak wordt blootgesteld aan licht. Nu had men verwacht op grond van het veronderstelde continue golfkarakter van licht dat de hoeveelheid van deze elektronen, en hun kinetische energie geleidelijk zouden toenemen met toenemende intensiteit van het licht. Volledig tegen de verwachting in bleek dat er voor licht beneden een bepaalde frequentiewaarde ν (en dus boven een bepaalde golflengte λ = c / ν ) helemaal niets gebeurde, ongeacht de intensiteit. Bovendien zag men dat de elektronen die vrij kwamen bij lichtfrequenties boven deze drempelwaarde dezelfde gemiddelde kinetische energie hadden, wederom ongeacht de intensiteit. Het was uiteindelijk
xv
Bron: O. Lummer en E. Pringersheim, Verhandlung der deutschen Physikalischen Gesellschaft, deel 1, pag. 215 (1899).
80
Albert Einstein die als verklaring hiervoor voorstelde te accepteren dat licht in pakketjes ter grootte hν wordt afgeleverd, zoals ook Planck had aangenomen ter verklaring van de stralingswetten.
Figuur A2.3. De schematische tekening van een opstelling om het foto-elektrisch effect te meten. Licht valt door het raam naar binnen. Het passeert de metalen plaat B door een gat en valt daarna op de metalen plaat A. Tussen A en B is een spanningsverschil aangelegd. Door dit spanningsverschil is A negatief geladen ten opzichte van B. Als licht met een voldoende hoge frequentie (en dus met een voldoende hoge energie) op A valt, dan komen er elektronen vrij. Door het spanningsverschil worden deze elektronen door B aangetrokken. De elektronen die op B vallen worden via de stroommeter G en de variabele weerstand weer naar A geleid. Er loopt dan een stroom die wordt veroorzaakt door het foto-elektrisch effect. Als de frequentie van het licht te laag is om bij A elektronen vrij te maken, dan loopt deze stroom niet. Aan de grootte van de stroom kun je dus zien dat het foto-elektrisch effect optreedt.
81
A2. Plakken van de golffuncties We willen dus proberen om de oplossingen van de links en rechts van x = 0 netjes aan elkaar te plakken. Dit kunnen we bereiken met A sin(ϕ ) = B , (A2.1) kA cos(ϕ ) = −κ B . Door deze vergelijkingen wordt de fase ϕ , die eerst nog onbepaald was, nu ook vastgelegd. Als oplossing van de vergelijkingen (A2.1) vinden we
ϕ = − arctan
E . V0 − E
(A2.2)
Vraag A2.1. Waarom is de fase ϕ onbepaald voor een golf die beweegt in een oneindig uitgestrekte ruimte met overal een potentiële energie V = 0? Waarom vinden we wel een bepaalde waarde voor ϕ voor het probleem van Figuur 2.4? Gebruikmakend van sin(ϕ ) = (1 + 1 / tan 2 (ϕ )) −1/ 2 en de eerste vergelijking in (A2.1), vinden we voor de amplitude B=A
82
E V0
(A2.3)
A3. Spectraallijnen. De energiekwantisatie die we hier gevonden hebben is het principe dat ten grondslag ligt aan de spectraallijnen van de elementen (Figuur 2.1). Natuurlijk ziet de potentiële energie voor een elektron in een atoom er heel anders uit dan de oneindig diepe put die we hier bekeken hebben, en het zou te ver voeren om de exacte behandeling van de golffuncties voor atomen hier weer te geven. Het principe is echter hetzelfde als de behandeling van het deeltje in de put. We moeten de vergelijkingen natuurlijk uitbreiden voor drie dimensies. Verder moet de potentiële energie vervangen worden door de elektrische Coulomb potentiaal van de positief geladen kern, die het elektron gevangen houdt. De formule voor de elektrische Coulomb potentiaal is −1 e2 . V (r ) = 4πε 0 r
(A3.1)
In deze formule is e de lading van het elektron, is ε 0 = 8.854 ⋅10 −12 F/m de permeabiliteit van vacuum, en is r = x 2 + y 2 + z 2 de afstand tussen het elektron en de kern. Het resultaat voor de energie van een elektron in een waterstof atoom (dat we hier echter niet zullen afleiden) is het eenvoudigst, omdat dat atoom maar één elektron heeft. Het ziet er uit als En = −
me 4 1 , n = 1, 2, 3,K . 8ε 02 h 2 n 2
(A3.2)
In deze vergelijking is m de massa van het elektron en h de constante van Planck (nu niet gedeeld door 2π ). De kleuren van het licht dat een atoom uitzendt komen nu overeen met sprongen van het elektron tussen deze energieniveaus: bij een sprong van een hoger gelegen energieniveau naar een lager niveau (kleinere n) verliest het elektron energie, die dan wordt uitgezonden in de vorm van een foton met energie hc / λ , waarbij λ de golflengte van het uitgezonden foton is. Vraag A3.1 De uitdrukking in vergelijking (A3.2) bevat uitsluitend bekende algemene natuurconstanten. Controleer dat de spectraallijnen uit Figuur A2.1 inderdaad prachtig kunnen worden verklaard met de energieniveau’s van vergelijking (A3.2). Laat de verschillende stappen in je berekening zien. Vraag A3.2 Veronderstel dat we een elektron in een oneindig hoge put, zoals we die boven hebben beschreven, in werkelijkheid kunnen bestuderen. Wanneer we de put zouden verwarmen dan wordt het elektron door de thermische bewegingen telkens naar een hoger energieniveau geschopt, en wanneer het daaruit terugvalt naar een lager energieniveau dan zal het daarbij een foton uitzenden. Bij welke golflengten zouden de spectraallijnen van een dergelijk ‘atoom’ liggen? Neem voor de breedte van de put a = 1 nm. Laat de verschillende stappen in je berekening zien.
83
A4. Interferentie in de put. We keren terug naar de bespreking van het deeltje in de put. De waarschijnlijkheid om het deeltje op een plaats x in de put aan te treffen wordt gegeven door W ( x) = a2 sin 2 (nπ ax ) = a2 [1 − cos(2nπ ax )] . Deze waarschijnlijkheid is een oscillerende functie van de positie. Voor n = 1 , de waarde van het kwantumgetal dat correspondeert met de laagst mogelijke waarde van de kinetische energie, hebben we een golf die nul is op beide wanden en die een enkel maximum (een ‘buik’) heeft in het midden (zie Figuur 2.10). Voor n = 2 hebben we naast de nulpunten aan de wand ook nog een nulpunt (een ‘knoop’) in het midden van de put, en er zijn twee buiken. Voor n = 3 hebben we drie buiken gescheiden door twee knopen, en zo verder. We zien dus dat de waarschijnlijkheid om het deeltje aan te treffen op bepaalde plaatsen binnen de put (op de knopen) nul wordt, terwijl elders (op de buiken) de waarschijnlijkheid maximaal is. Dit doet denken aan de verschijnselen van interferentie van licht, of van golven meer in het algemeen. Inderdaad kunnen we de golffunctie Ψ ( x) = 2 / a sin( nπ x / a) opvatten als de som van twee golven, namelijk een golf die naar links loopt, plus een golf die naar rechts loopt. Wiskundig kan dit geschreven worden als, Ψ ( x) = A sin( k x) =
A æ ikx − ikx ö . çe + e ÷ ø 2i è
(A4.1)
Hierin is i = − 1 en de golffunctie wordt dus uitgedrukt in complexe getallen. Omdat complexe getallen niet overal op het VWO worden behandeld, zullen we hier verder geen gebruik van maken, maar volstaan met de opmerking dat de uitdrukking (31) een exacte identiteit is. Dit betekent dat een sinusfunctie wiskundig kan worden geschreven als een som van twee complexe e-machten. Die complexe e-machten zijn in ons geval naar links ( − k ) en naar rechts ( + k ) lopende golven, die opgeteld als resultaat het interferentiepatroon met buiken en knopen in de waarschijnlijkheidsverdeling hebben. Het is geen probleem wanneer een golffunctie een complexe functie is, omdat het enige dat 2
experimenteel waarneembaar is de waarschijnlijkheidsverdeling W ( x) = Ψ ( x) is, en die is altijd reëel (dat wil zeggen dat deze waarschijnlijkheidsverdeling geen complexe getallen bevat).
84
A5. Model voor elektronen in een metaal. We kunnen het model van een deeltje in een put gebruiken als een vereenvoudigd model voor het gedrag van elektronen in een metaal. De put heeft dan de afmeting van het hele stuk metaal. De potentiaalbarrière voor de elektronen is dan natuurlijk niet oneindig hoog, maar wanneer de barrière maar hoog genoeg is maakt dat weinig verschil: De elektronen zullen volledig reflecteren aan de wand en ze zijn opgesloten in het metaal door de energiebarrière (mits we er natuurlijk voor zorgen dat tunnelen niet mogelijk is, dat wil zeggen dat we ervoor moeten zorgen dat er geen ander metaal dicht in de buurt is). Bekende metalen zoals koper of goud hebben precies één valentie-elektron per atoom. De valentieelektronen zijn volledig vrij om door het hele metaal heen te bewegen. Het zijn deze elektronen die we nu willen beschrijven als de deeltjes in de put. We moeten de elektronen nu natuurlijk in drie dimensies beschrijven, en niet in slechts één zoals we boven gedaan hebben. Maar dit is eenvoudig wanneer we het metaal voor het gemak als een kubus beschouwenxvi, met afmetingen L × L × L . Voor drie dimensies wordt de Schrödingervergelijking D 2 æ d 2ψ ( x, y, z ) d 2ψ ( x, y, z ) d 2ψ ( x, y, z ) ö ÷÷ + V ( x, y, z )ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z ) . ç − + + 2m çè dx 2 dy 2 dz 2 ø
(A5.1)
We kunnen deze vergelijking voor iedere richting x, y en z apart oplossen. Binnen de put nemen we weer de potentiële energie gelijk aan nul, V ( x, y, z ) = 0. De oplossing van de vergelijking is nu het product van sinusfuncties voor de drie loodrechte richtingen x, y, en z, Ψ ( x, y, z ) = A sin( k x x + ϕ x ) sin( k y y + ϕ y ) sin( k z z + ϕ z ) .
(A5.2)
De randvoorwaarden waaraan de golffunctie moet voldoen is nu Ψ ( x, y, z ) = 0 voor x = 0, voor y = 0, en voor z = 0, waaruit volgt dat ϕ x = 0, ϕ y = 0 en ϕ z = 0 . Verder gelden de randvoorwaarden Ψ ( x, y, z ) = 0 voor x = L, voor y = L, en voor z = L, waaruit we afleiden dat
kx =
n yπ n xπ nπ , ky = , kz = z . L L L
(A5.3)
We vinden nu dus drie kwantumgetallen nx , n y en n z , en dit zijn weer positieve gehele getallen. De energie van een elektron in de put wordt dan gegeven door de som van de kinetische energieën voor de beweging in de drie loodrechte richtingen, En =
(
)
D 2π 2 2 n x + n 2y + n z2 . 2 2mL
(A5.4)
De combinatie van de drie kwantumgetallen wordt ook wel een kwantumtoestand genoemd. Voor de volledigheid vermelden we hier dat de elektronen ook nog een spin hebben, dat wil zeggen dat ze zich gedragen als kleine magneetjes. Ze kunnen volgens de kwantummechanica (maar dat zullen we hier verder niet bespreken) hun noord-pool slechts in twee richtingen laten wijzen: ofwel omhoog, ofwel 1
Natuurlijk is het uiteindelijke resultaat niet afhankelijk van de vorm van het metaal, maar de wiskunde is veel eenvoudiger wanneer we een kubus nemen.
85
omlaag. Een kwantumtoestand wordt dus beschreven door in totaal vier kwantumgetallen, nx , n y , n z , en σ , waarbij σ de spintoestand beschrijft en deze kan twee waarden aannemen, σ = +1 of σ = −1 . Wanneer er geen magneetveld wordt aangelegd geeft de spin van het elektron geen bijdrage tot de energie. Het Pauliverbod In een metaal bevinden zich evenveel vrij bewegende elektronen als er atomen zijn. Stel je voor dat we deze elektronen één voor één in de put stoppen. We moeten er dan rekening mee houden dat de elektronen elkaar beïnvloeden. Een eerste soort van invloed waar je aan kunt denken is natuurlijk de elektrische afstoting tussen twee elektronen, die beide negatief geladen zijn. Dit is een lastig probleem om exact op te lossen, maar in de praktijk blijkt het mee te vallen omdat de elektronen veel ruimte hebben om ver bij elkaar uit de buurt te blijven zodat deze Coulombkracht vrij zwak is. Bovendien is er een veel belangrijker effect dat we eerst moeten bekijken. Dit betreft het Pauliverbod. Het Pauliverbod is een wetmatigheid die ontdekt is door Wolfgang Pauli, en naar hem vernoemd is. Het ‘verbod’ houdt in dat het niet is toegestaan voor twee elektronen om zich in dezelfde kwantumtoestand te bevinden. Het is een wet die niet uit de bovenstaande theorie valt af te leiden, maar die we moeten invoeren om de waargenomen eigenschappen van elementaire deeltjes correct te beschrijven.xvii Welnu, in een metaal bevinden zich een zeer groot aantal geleidingselektronen. In een kubus (van bijvoorbeeld het metaal goud) van 1 cm3 bevinden zich 5,92 ⋅ 10 22 elektronen. Al deze elektronen moeten nu in een andere kwantumtoestand gestopt worden, dat wil zeggen dat de golffunctie voor elk elektron door een unieke combinatie van kwantumgetallen nx , n y , n z en σ gekarakteriseerd dient te zijn. Dit heeft als gevolg dat een groot deel van de elektronen een zeer grote kinetische energie moeten hebben, zoals we hieronder willen laten zien.
Vraag A5.1. Om de beschikbare kwantumtoestanden te bezetten met elektronen zullen we beginnen vanaf de laagste energiewaarde. (a) Wat zijn de kwantumgetallen behorend bij de laagste energiewaarde? (b) Teken een assenstelsel in drie dimensies en zet het kwantumgetal nx uit langs de x-as, n y langs de y-as en n z langs de z-as. Bekijk alleen positieve getallen. We gaan nu verder alle toestanden met elektronen bezetten, beginnend vanaf de laagste energiewaarde tot aan een maximale energie, EF . Beredeneer dan dat je in de grafiek een bol kunt tekenen met zijn middelpunt in de oorsprong en met een straal R, die zó gekozen is dat alle kwantumgetallen die zich binnen de bol bevinden bezet zijn, en alle toestanden erbuiten onbezet. De Fermi-energie Hoeveel elektronen kunnen we nu kwijt in de kwantumtoestanden binnen de bol met straal R? Wanneer je rondom elk punt in de ruimte, dat beschreven wordt door de coördinaten (n x , n y , n z ) , een kubusje tekent met ribbe van lengte 1, dan vullen deze kubusjes precies de hele ruimte op. Bij elk punt in de ruimte hoort dus een volume 1. Dan kunnen we het aantal punten dat zich binnen R bevindt dus vinden door het volume van de bol te delen door het volume per punt. Het volume van een bol is 43 π R 3 , maar
hiervan moeten we het 1/8e deel nemen omdat we alleen positieve getallen (n x , n y , n z ) meenemen. Het volume per punt is 1 en op elk punt kunnen we twee elektronen kwijt vanwege de twee mogelijke spintoestanden, dus het aantal door elektronen bezette toestanden binnen de bol is xvii
Het Pauliverbod kan wel worden afgeleid uit een meer geavanceerde moderne theorie van elementaire deeltjes, maar het zou te ver voeren om dit hier te behandelen. Onze bespreking van het Pauliverbod is ook beter in overeenstemming met de historische ontwikkelingen, aangezien het voor Pauli ook niet duidelijk was waarom dit verbod zou moeten gelden. Hij concludeerde zuiver op grond van experimentele gegevens dat dit blijkbaar het geval is.
86
N = 2 18 43 π R 3 / 1 = 13 π R 3 .
(A5.5)
We maken hierbij natuurlijk een fout omdat je met kubusjes nooit precies een bol kunt vullen, maar omdat het aantal elektronen enorm groot is, en R dus erg groot zal zijn, is de fout die we maken verwaarloosbaar. Met behulp van vergelijking (A5.4) kunnen we voor de maximale energie EF als functie van de straal R schrijven, EF =
D 2π 2 2 R . 2mL2
(A5.6)
Deze maximale energie wordt de Fermi-energie genoemd, naar de italiaanse natuurkundige Enrico Fermi. Wanneer we tenslotte (A5.5) en (A5.6) combineren dan vinden we voor de Fermi-energie als functie van het aantal elektronen, D 2π 2 æ 3 N ö EF = ç ÷ 2mL2 è π ø
2/3
D 2π 2 æ 3 ö = ç ÷ 2m è π ø
2/3
æNö ç 3÷ èL ø
2/3
.
(A5.7)
In het meest rechtse stuk van deze vergelijking hebben we de termen zodanig gerangschikt dat er slechts bekende natuurcontantes vooraan staan, en alleen de laatste factor hangt nog af van het soort metaal waar we naar kijken. De verhouding N / L3 geeft het aantal elektronen gedeeld door het volume ofwel de dichtheid van elektronen ρ = N / V . We kunnen dus schrijven EF = C ⋅ ρ , waarbij C een constante is. Hoewel we in de afleiding aangenomen hebben dat het metaal een kubus is, blijkt dit niet essentieel te zijn en de uitdrukking voor de Fermi-energie is algemeen geldig. De dichtheid is een eigenschap van een soort metaal, niet van de specifieke vorm van het stuk waar we naar kijken, en hetzelfde geldt voor de Fermi-energie. Vraag A5.2. (a) Bereken de waarde van de constante C. (b) Bereken voor goud de waarde van de Fermi-energie. (c) Omdat we de potentiële energie binnen het metaal (in de put) gelijk aan nul genomen hebben, is de Fermi-energie gelijk aan de kinetische energie van de snelst bewegende elektronen. Bereken de snelheid (in km/uur) van deze snelle elektronen met behulp van E = 12 mv 2 .
87
A6. De basiselementen van de piezo-motor
A4.1. Inleiding In hoofdstuk 8 hebben we de elektronica van de piëzo-motor verdeeld in een aantal basiselementen. De schematische weergave van de piëzo-motor staat in de bovenstaande figuur nogmaals weergegeven. We gaan de elektronica van alle basiselementen nader bekijken. A4.2. De DC/DC-converter
De DC/DC-converter zet de spanning van de batterij (9 volt) om naar een spanningsverschil van 32 volt. Dit grotere spanningsverschil is nodig om de beweging van het piëzo-element groot genoeg te maken. In figuur A4.1a staat een schematische tekening van een DC/DCconverter. De DC/DC-converter maakt gebruik van een inverter. Deze inverter werkt als volgt. Als je een spanning gelijk aan de batterijspanning op de ingang zet, dan geeft de uitgang geen spanning (0 volt). Zet je een lage spanning op de ingang, dan geeft de uitgang een spanning gelijk aan de batterijspanning van 9 volt. Ook gebruiken we diodes die de stroom maar in een richting doorlaten. Daarnaast worden er ook condensatoren toegepast die opgeladen kunnen worden. Tenslotte hebben we natuurlijk ook een voedingsspanning nodig die zorgt voor het spanningsverschil dat we gaan vergroten en de inverters voedt. Deze voedingsspanning is de 9 volt die we uit de batterij halen.
88
Figuur A4.1. De schematische weegave van een DC/DC-converter Nu bespreken we de werking van deze schakeling. De beginsituatie is te zien in figuur A4.1a. Op de ingang van de inverter inv1a staat geen spanning. Dat betekent dat er op de uitgangen van deze inverter een spanning van 9 volt staat. Omdat er een stroom kan lopen door de weerstand R1 wordt condensator C5 opgeladen tot 9 volt.
Figuur A4.1a. De ingang van de inverter wordt dan hoogxviii en de uitgang van de inverter laag. De situatie die nu ontstaan is, vind je in figuur A4.1b. Omdat de uitgangsspanning van de inverter nu weer 0 volt is, zal de condensator C5 zich weer ontladen via de weerstand R1, waardoor de ingangsspanning van de inverter weer daalt. Deze situatie zullen we later weer bespreken. Het belangrijke punt is dat de uitgang van inverter inv1a voortdurend heen en weer schakelt tussen 0 volt en 9 volt. De grootte van de weerstand R1 en de grootte van de capaciteit van de condensator C5 bepalen de hoeveelheid tijd waarin de uitgang van de inverter in dezelfde stand blijft staan. De tijdsduur die de inverter in dit geval in dezelfde stand blijft staan is ongeveer 3,5×10-5 s. Op deze manier verandert de spanning aan de uitgangen van de inverters inv1a om de 3,5×10-5 s van 9 volt naar 0 volt en omgekeerd. xviii
De ingang wordt hoog betekent dat er spanning op de ingang van de inverter komt te staan.
89
Figuur A4.1b Als de uitgang van de inverter inv1a 0 volt is, dan kan de condensator C1 zich opladen naar een spanning van 9 volt. Je kunt dit zien in figuur A4.1b. De stroom die door het opladen van de condensator C1 gaat lopen, loopt via de diode D1. Dit kan ook, omdat de stroom in de doorlaatrichting van deze diode loopt. Deze condensator kan zich echter niet meer via dezelfde weg ontladen. Bij het ontladen moet de stroom namelijk de andere kant op lopen. De richting van deze stroom is dus niet in de doorlaatrichting van de diode D1. Deze diode voorkomt daarmee dat de condensator C1 zich ontlaadt. Aan de andere kant kan de condensator C1 zich ook niet ontladen via diode D2. Daar staat, doordat de uitgang van inverter inv2a op 9 volt staat, ook 9 volt. Omdat er dus geen spanningsverschil is tussen het gebied tussen diode D1 en diode D2 en het gebied tussen diode D2 en diode D3, kan de condensator C1 zich ook niet via diode D2 ontladen.
Figuur A4.1c. Als de condensator C5 weer ontladen is – er staat dan geen spanning op de ingang van inverter inv1a – dan staat op de uitgang van inverter inv1a een spanning van 9 volt. De situatie die nu ontstaat, zie je in figuur A4.1c. Er komt dan een spanning van 9 volt op de negatieve kant van de condensator C1 te staan. Omdat de condensator C1 niet ontladen is, staat er een spanningsverschil van 9 volt tussen de positieve en de negatieve kant van de condensator. Hierdoor is het spanningsverschil tussen de positieve kant van de condensator C1 en de negatieve kant van de batterij 18 volt. Omdat er een stroom
90
kan lopen van de positieve kant van de condensator C1 en de positieve kant van de condensator C2, staat de positieve kant van de condensator C2 ook op 18 volt. De inverter inv2a heeft nu 9 volt op de ingang staan. De uitgangsspanning van deze inverter is dus 0 volt. Als de uitgangsspanning van de inverter inv1a weer laag wordt doordat de condensator C5 is opgeladen, dan wordt de negatieve kant van de condensator C2 op 9 volt gezet. De situatie die nu ontstaan is, staat in figuur A4.1d.
Figuur A4.1d. Het spanningsverschil tussen de positieve en de negatieve kant van de condensator C2 is 18 volt. Als de uitgang van de inverter inv2a weer naar 9 volt schakelt, dan komt de positieve kant van de condensator C2 op een spanning van 18 volt + 9 volt = 27 volt te staan. Deze schakeling bestaat dus uit drie trappen die steeds de spanning met 9 volt ophogen. De derde trap, bestaande uit inverter inv3a en condensator C3 verhogen de spanning naar 27 volt + 9 volt =36 volt. Dit kan je zien in figuur A4.1e.
Figuur A4.1e De diodes hebben als bijwerking dat de uitgangsspanning ongeveer 0,6 volt lager ligt dan de ingangsspanning. Dit soort verliezen hebben we nog niet meegerekend. Als we deze verliezen wel meerekenen, dan komen we uiteindelijk uit op een totaal spanningsverschil van 32 volt. Met dit spanningsverschil wordt de elektrolytische condensator C4 opgeladen tot 32 volt. Dit spanningsverschil is voldoende groot om het piëzo-element genoeg te laten bewegen. Er is echter nog een probleem dat opgelost moet worden. De stroombron van het piëzo-element en het piëzo-element zelf gebruiken een bepaalde hoeveelheid stroom. Als de DC/DC-converter deze stroom niet kan leveren werkt de schakeling niet. Om dit te voorkomen gebruiken we in plaats van één inverter 91
per trap, twee inverters per trap. Deze inverters worden parallel geschakeld, zodat we de stroom die ze elk leveren op kunnen tellen. Nu levert de DC/DC-converter voldoende stroom om de rest van de schakeling van voldoende stroom te kunnen voorzien. In figuur A4.1f staat de DC/DC-converter die wij in deze piëzo-motor gebruiken.
Figuur A4.1f. De schematische weegave van de DC/DC-converter die in de piëzomotor gebruikt wordt. A4.3. De stroombron Voordat we de werking van de stroombron bespreken, bekijken we eerst even het belangrijkste element dat we gebruiken, de transistor. De transistor staat afgebeeld in figuur A4.2. De transistor heeft twee ingangen en een uitgang. De ingangen worden basis en collector genoemd, de uitgang heet emitter. De emitter sluit je aan op een stroombron. Door een spanningsverschil tussen de basis en de emitter aan te leggen, kun je de hoeveelheid stroom regelen die uit de collector komt.
Figuur A4.2. Schema van een transistor.
92
Eerder is al ter sprake gekomen dat een piëzo-element niet alleen een stuk materiaal is dat vervormt als je er een spanning op zet, maar dat het ook een soort condensator is. Je kunt een piëzo-element als een condensator opladen. De capaciteit C van het piëzo-element dat hier gebruikt wordt is 18 nF. In figuur A4.3 staat de stroombron getekend. In deze figuur is de stroombron aangesloten op het piëzoelement. Het spanningsverschil waarmee gewerkt wordt is 32 volt. Deze spanning wordt opgewekt door de DC/DC-converter die we paragraaf A4.2 besproken hebben.
Figuur A4.3. De schematische opbouw van de stroombron. Eerder hebben we al gezien dat de uitgangsspanning van een diode ongeveer 0,6 volt lager ligt dan de ingangsspanning van een diode. Dit heet de spanningsval die veroorzaakt wordt door de diode. De wet van Ohm verteld ons dat we een bepaalde spanning over een weerstand kunnen zetten. Als we deze weerstand in serie schakelen met een andere schakeling, dan creëert deze weerstand ook een soort spanningsval voor deze schakeling. Het verschil is alleen dat we deze spanningsval kunnen regelen door de weerstand te variëren. Als we nu twee diodes in serie schakelen, dan veroorzaken deze een spanningsval van ongeveer 1,2 volt. De diodes D1 en D2 uit figuur A4.3 veroorzaken dus een spanningsval van ongeveer 1,2 volt. De overgang van de basis naar de emitter van een transistor is ook een diode. Hierdoor veroorzaakt de transistor tussen de basis en de emitter een spanningsval van 0,6 volt. Voor weerstand R1 blijft een spanningsverschil van 0,6 volt over. Door dit laatste spanningsverschil loopt er een kleine stroom I door de weerstand R1 via de emitter naar de collector van de transistor T1. De stroomsterkte van deze stroom I kun je berekenen met de wet van Ohm. De spanning over de weerstand R1 is het spanningsverschil tussen de spanningsval van de twee diodes en de spanningsval van de transistor. De grootte van deze stroom bepaalt hoe snel je het piëzo-element oplaad. Deze stroom kun je instellen door de weerstand R1 te variëren. Omdat de stroom constant is laadt het piëzo-element ook constant op. Het verloop van de spanning op het piëzo-element als functie van de tijd staat in figuur A4.4. Het piëzo-element wordt - in principe - opgeladen tot 32 volt.
93
Figuur A4.4. Het verloop van de spanning op het piëzo-element als functie van de tijd. Je kunt de tijd t die het piëzo-element nodig heeft om op te laden uitrekenen. De lading Q die nodig is om het piëzo-element op te laden wordt gegeven door de volgende formule: Q = C ⋅U
Maar ook door Q = I ⋅t
In deze formules is U de maximale spanning die op het piëzo-element komt te staan. I is de stroom waarmee je het piëzo-element oplaadt. Om het piëzo-element nu snel terug te laten bewegen, moet deze heel snel ontladen worden. Hoe we dit doen staat in paragraaf A4.4. A4.4. De detector (met de schakelaar) De detector is opgebouwd uit twee elementen namelijk een emitter-volger en een zogenaamde Schmidt-trigger. De emitter-volger geeft de spanning die op het piëzo-element staat door aan de Schmidt-trigger. De emitter-volger zorgt ervoor dat de spanning op het piëzo-element niet kan worden beïnvloed door de detector. De Schmidt-trigger reageert op het moment dat het spanningsverschil op een bepaalde hoogte komt. In dit geval is de hoogte van spanning waarop de Schmidt-trigger gaat reageren ongeveer 31 volt. Als de Schmidt-trigger reageert, dan sluit deze een schakelaar. De schakelaar die gebruikt wordt is een transistor die we wel of niet laten geleiden. Figuur A4.5 is een afbeelding van de detector met de schakelaar die zorgt dat het piëzo-element zich ontlaadt. De transistor die als schakelaar fungeert is de transistor T4.
94
Figuur A4.5. De detector. De spanning die uit de emitter-volger komt wordt aangeboden aan de basis van transistor T2. Als deze lager is dan 31 volt, dan loopt er een stroom door weerstand R3 via de transistor T2 en door weerstand R4. Deze situatie is getekend in figuur A4.6a. De rode lijn geeft aan waar de stroom loopt. De weerstand R3 is veel kleiner dan de weerstand R4. Hierdoor staat bijna de hele voedingsspanning (32 volt) op de basis van de transistor T3. Dit betekent dat deze geen stroom doorlaat. Als de spanning op de basis van transistor T2 nu 31 volt wordt, dan gaat deze transistor minder goed geleiden. Hierdoor staat er een lagere spanning op de basis van de transistor T3. Deze transistor gaat daardoor meer geleiden. Er loopt daardoor minder stroom door de transistor T2. Hierdoor wordt de spanning over weerstand R4 nog lager. De spanning op de basis van T3 wordt dus ook lager. Hierdoor gaat er steeds meer stroom door deze transistor lopen. Zodra de transistor T3 dus maar een beetje gaat geleiden, dan verbetert deze transistor dus zijn eigen geleiding. Dit lawine-effect zorgt dat het openen van T3 razendsnel verloopt. Er gaat nu een stroom lopen door de weerstand R3 via de transistor T3 en de weerstand R5 en R6. Deze situatie staat getekend in figuur A4.6b.
95
Figuur A4.6a. Als het spanningsverschil tussen de basis en de collector van de transistor T2 kleiner is dan 31 volt, dan loopt er stroom door de transistor T2. De rode lijnen geven aan waar de stroom loopt. De spanning over de weerstand R4 zorgt ervoor dat de transistor T3 niet geleidt. Ook geven deze lijnen aan in welke richting de stroom loopt.
Figuur A4.6b Als het spanningsverschil tussen de basis en de collector van de transistor T2 31 volt is dan gaat de transistor T3 geleiden. Naarmate de transistor T3 meer gaat geleiden, gaat er steeds minder stroom door T2 lopen. Als T3 volledig geleidt, loopt er geen stroom meer door de transistor T2. De rode lijnen geven aan waar de stroom loopt die zorgt dat het piëzo-element ontladen wordt. Ook geven deze lijnen aan in welke richting deze stroom loopt.
96
De schakelaar die zorgt dat het piëzo-element ontladen wordt, is de transistor T4. Deze transistor laat geen stroom van de collector naar de emitter lopen als er geen spanning op de basis staat. Nu komt er, omdat de transistor T3 gaat geleiden, een spanning op de basis van de transistor T4 te staan. Deze gaat ook heel snel in de geleiding over en zo kan het piëzo-element zich ontladen. De condensator C1 zorgt ervoor dat de Schmidt-trigger de schakelaar (transistor T4) niet meteen weer sluit, maar dat het piëzoelement de tijd krijgt op zich helemaal te ontladen. Het piëzo-element beweegt nu weer heel snel terug naar haar oude positie. De stroombron zal nu het piëzo-element weer opladen, waardoor deze weer een langzame beweging maakt. Als de spanning over het piëzo-element dan weer 31 volt is, springt deze weer terug naar de oude positie. Het voorwerp dat op het piëzo-element ligt is nu een klein beetje verschoven. Dit gaat zo door totdat je de motor uitzet. Alle elementen waaruit de piëzo-motor is opgebouwd zijn nu apart besproken. In figuur A4.6 staat de hele piëzomotor getekend. Dit is dezelfde figuur als de figuur helemaal bovenaan deze appendix, maar in figuur A4.6 zijn alle details opgenomen. Figuur A.6. (volgende bladzijde) Het schema van de piëzo-motor.
97
D
C
B
A
+9V
On/Off BT1 9V
5
C6 56pF
D1 1N4148
U1A
U1F
R6 100k
C1 100nF
D2 1N4148
U1B
U1E
HEF40106B
C2 100nF
4 D3 1N4148
U1C
U1D
C3 100nF
D4 1N4148
+
C4 10uF
3
+32V
D5 1N4148
D6 1N4148
R5 470k
gnd
50k
R1 5k6 R3
Direction
Q5 BC550C
Frequency Q1 BC557C
D7 1N4148
SW1 Slide Switch DPDT
2
Q2 BC550C R4 1M
R7 47k
Q3 BC557C
R8 100k
R2 1k
1
TP2
1
TP1
Q4 BC557C
R9 100k
Masterclass Piëzo-translator
1
C5 10nF
1
1
Piëzo
R10 100k
of
Huygens Laboratorium - GF Title
Document Number
Sheet
Size
Friday, January 19, 2001
A4 GF0005 Date:
Rev 1.3
D
C
B
A
98
