Volume 9 Nomor 1
Maret 2015
Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan | Maret 2015 | Volume 9 Nomor 1 | Hal. 1โ10
KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy1, Novita Dahoklory2 1,2
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Pattimura Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon, Indonesia e-mail:
[email protected]
Abstrak Suatu daerah integral ๐
dengan lapangan hasil bagi ๐(๐
), ๐
dikatakan sebagai Daerah Dedekind jika dan hanya jika ๐
adalah ring Noetherian, tertutup secara integral di ๐(๐
) dan setiap ideal prima yang bukan nol adalah ideal maksimal. Penelitian ini akan dibahas karakteristik Daerah Dedekind dan hubungan antara Daerah Dedekind dan Daerah Ideal Utama dengan tahapan sebagai berikut: mengidentifikasi ๐
yang tertutup secara integral dan ideal fraksional dari ๐
, Selanjutnya diberikan karakteristik Daerah Dedekind serta kaitan antara Daerah Dedekind dan Daerah Ideal Utama. Hasil penelitian menunjukkan bahwa jika setiap ideal fraksional di ๐
memiliki invers maka ๐
daerah Dedekind dan setiap Daerah Ideal Utama memenuhi Daerah Dedekind. Kata Kunci: Daerah Dedekind, ideal fraksional, tertutup secara integral.
CHARACTERIZATION OF DEDEKIND DOMAIN Abstract An integral domain ๐
with quetion field ๐(๐
) is called a Dedekind Domain if and only if ๐
satisfied Noetherian ring, integrally closed over its quetion field ๐(๐
), and every nonzero prime ideal of ๐
is maximal ideal. In this paper, we discuss about the identification of the characteristic of Dedekind Domain and the relation of Dedekind Domain and prinsipal ideal domain by identifying the integrally closed domain and fractional then determine the characteristic of Dedekind Domain. The result proves that if every fractional ideal in ๐
is invertible then ๐
is Dedekind Domain and that every principal ideal domain is a Dedekind Domain. Keywords: Dedekind domain, fractional ideal, integrally closed.
1. Pendahuluan Matematika dibagi dalam berbagai rumpun keilmuan, antara lain Aljabar, Analisis, Matematika Terapan, dan Statistik. Dalam aljabar sendiri terbagi dalam berbagai bidang seperti Aljabar Abstrak, Aljabar Linier, Aljabar Geometri dan sebagainya. Aljabar Abstrak merupakan bidang yang mempelajari struktur aljabar antara lain ruang vektor, modul, grup dan ring. Salah satu konsep aljabar abstrak yang telah dipelajari adalah konsep ring. Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) dan pergandaan (โ) yang memenuhi aksioma-aksioma ring yaitu terhadap operasi penjumlahan merupakan grup abelian, dan terhadap operasi pergandaan merupakan semi grup dan memenuhi sifat distributif kiri dan kanan terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan. Selanjutnya ring yang memenuhi sifat komutatif terhadap pergandaan disebut ring komutatif. Dalam aljabar abstrak, daerah Dedekind merupakan daerah integral dimana setiap ideal tak nolnya dapat difaktorkan menjadi hasil kali dari ideal-ideal prima. Selanjutnya salah satu sifat yang dimiliki oleh ring komutatif secara umum adalah bahwa untuk setiap ideal maksimalnya merupakan ideal prima, sebaliknya belum tentu berlaku. Tetapi dalam daerah Dedekind pada ideal prima yang bukan nol berlaku juga sebaliknya, yaitu untuk setiap ideal prima yang bukan nol adalah ideal maksimal. Daerah Dedekind memiliki banyak karakteristik. Dalam penelitian ini akan dijelaskan karakteristik daerah Dedekind serta kaitan daerah Dedekind dengan daerah ideal utama. 1
2
Persulessy & Dahoklory | Karakterisasi Daerah Dedekind
2. Tinjauan Pustaka Daerah Dedekind diperkenalkan oleh Richard Dedekind pada tahun 1879. Dalam aljabar abstrak, daerah Dedekind merupakan daerah integral dimana setiap ideal tak nolnya dapat difaktorkan menjadi hasil kali dari ideal-ideal prima. Dalam [1], Passman menulis bahwa suatu daerah integral ๐ท dengan lapangan hasil bagi ๐ merupakan daerah Dedekind jika dan hanya jika (i) ๐ท memenuhi ring noether, (ii) ๐ท tertutup secara integral (Integrally closed), dan (iii) setiap ideal prima tak nolnya merupakan ideal maksimal. Dasar teori mengenai konsep dasar ring diberikan dalam [2] dan ring komutatif, ring noether, dan ideal fraksional juga mengacu pada [3]. Selanjutnya untuk teori modul mengacu pada [4]. Untuk menjelaskan kaitan daerah Dedekind dan daerah ideal utama diperlukan beberapa definisi dan teorema pendukung yakni definisi daerah ideal utama, definisi Daerah Faktorisasi Tunggal (DFT) serta teorema pendukung yang merujuk pada [5]. Selanjutnya definisi tertutup secara integral dan pembahasan mengenai karakteristik Daerah Dedekind juga mengacu pada [1]. Definisi 1. Suatu ring (๐
, +,ยท) adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma berikut : i. Terhadap penjumlahan (๐
, +) merupakan grup abelian. ii. Terhadap pergandaan (๐
, ยท) merupakan semi grup yaitu tertutup dan asosiatif. iii. Memenuhi sifat distributif kiri dan kanan, yaitu untuk setiap ๐, ๐, ๐ ๐ ๐
berlaku : a. Distributif Kiri, ๐ โ (๐ + ๐) = ๐ โ ๐ + ๐ โ ๐ dan b. Distributif Kanan (๐ + ๐) โ ๐ = ๐ โ ๐ + ๐ โ ๐. Definisi 2. Diberikan ๐
ring, ๐
dikatakan sebagai ring komutatif (commutative ring) jika operasi pergandaan pada ๐
memenuhi komutatif sedemikian hingga (โ ๐, ๐ โ ๐
) ๐๐ = ๐๐. Definisi 3. Ring ๐
yang memuat elemen satuan dinamakan sebagai ring dengan elemen satuan (dinotasikan dengan 1๐
) pada operasi pergandaan (โ 1๐
โ ๐
)(โ ๐ โ ๐
)1๐
๐ = ๐1๐
= ๐. Elemen 1๐
disebut elemen satuan (unity element). Definisi 4. Ring komutatif ๐
yang memuat elemen satuan disebut sebagai ring komutatif dengan elemen satuan. Definisi 5. Diberikan ๐
ring komutatif dengan elemen satuan, ๐
disebut daerah integral jika ๐๐ = 0 , berlaku ๐ = 0 atau ๐ = 0, sehingga ๐
tidak memuat pembagi nol. Definisi 6. Diberikan ๐
ring komutatif dengan elemen satuan, suatu elemen ๐ โ ๐
yang bukan nol disebut unit jika terdapat ๐ โ ๐
sedemikian hingga ๐ = ๐๐ = 1๐
. Definisi 7. Jika ๐
daerah integral, maka dapat dibentuk suatu lapangan ๐(๐
) yang memuat semua elemen berbentuk ๐๐ โ1 dimana ๐, ๐ โ ๐
dengan โ 0๐
, ๐(๐
) disebut lapangan hasil bagi (quetion field). Definisi 8. Misalkan ๐
ring dan ๐ผ โ ๐
, ๐ผ disebut ideal dari ring ๐
jika memenuhi : i. Untuk setiap ๐, ๐ โ ๐ผ maka ๐ โ ๐ โ ๐ผ. ii. Untuk setiap ๐ โ ๐ผ dan ๐ โ ๐
, maka ๐๐ โ ๐ผ dan ๐๐ โ ๐ผ. Selanjutnya untuk setiap ๐ โ ๐
, ๐ผ๐ = {๐๐|๐ โ ๐ผ} dengan ๐ผ๐ โ ๐ผ disebut ideal kanan dan ๐๐ผ = {๐๐|๐ โ ๐ผ} dengan ๐๐ผ โ ๐ผ disebut ideal kiri. Definisi 9. Diberikan (๐
, +,โ) suatu ring, Ideal ๐ผ disebut ideal utama jika ๐ผdapat dibangun oleh suatu elemen dalam ๐
yaitu ๐ โ ๐
sedemikian hingga ๐ผ = โฉ๐โช. Definisi 10. Suatu daerah integral ๐
dinamakan Daerah Ideal Utama jika setiap ideal di ๐
merupakan ideal utama. Teorema 1. Diberikan ๐
daerah integral, ๐, ๐ โ ๐
, ๐ membagi ๐ jika dan hanya jika โฉ๐โช โ โฉ๐โช. Definisi 11. Misalkan ๐
suatu ring komutatif dan ๐ผ suatu ideal dari R. ๐ผ disebut Ideal Prima jika dalam ๐
, jika jika ๐ด๐ต โ ๐ผ, maka ๐ด โ ๐ผ atau ๐ต โ ๐ผ.
Barekeng: Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan | Maret 2015 | Volume 9 Nomor 1 | Hal. 1 โ 10
3
Definisi 12. Misalkan ๐
suatu ring dan ๐ผ adalah suatu ideal dari ๐
dengan ๐ผ โ ๐
. ๐ผ disebut Ideal Maksimal dari ๐
, jika tidak ada ideal dari ๐
yang memuat ๐ผ selain ๐ผ dan ๐
sendiri. Definisi 13. Suatu daerah integral ๐ท disebut daerah faktorisasi tunggal atau Unique Factorization Domain (UFD) jika memenuhi : i. Jika ๐ โ ๐ท, ๐ โ 0, maka ๐ dapat ditulis sebagai perkalian sejumlah hingga elemen-elemen tak tereduksi di ๐ท yaitu ๐ = ๐ข๐1 ๐2 โฆ ๐๐ dengan ๐๐ elemen-elemen tak tereduksi (1 โค ๐ โค ๐) dan ๐ข unit di ๐ท. ii. Jika ๐ โ ๐ท dan ๐ = ๐ข๐1 ๐2 โฆ ๐๐ = ๐ฃ๐1 ๐2 โฆ ๐๐ dengan masing-masing ๐๐ elemen-elemen tak tereduksi dan ๐ข, ๐ฃ unit di ๐ท, maka ๐ = ๐ dan ๐๐ berasosiasi dengan ๐๐ untuk suatu dan (1 โค ๐ โค ๐) dan (1 โค ๐ โค ๐ ). Definisi 14. Diberikan ring komutatif ๐
dengan elemen satuan dan indeterminate ๐. ๐
[๐] = {๐๐ ๐ฅ ๐ + ๐๐โ1 ๐ฅ ๐โ1 + โฏ + ๐1 ๐ฅ 1 + ๐0 ๐ฅ 0 |๐๐ โ ๐
, ๐ โฅ 0} adalah ring polinomial atas ๐
dengan indeterminate ๐ dimana ๐ adalah bilangan bulat non negatif dan ๐๐ adalah elemen dari ๐
. Dari Definisi 14 diketahui bahwa ๐
[๐ฅ] merupakan himpunan dari semua polinomial dengan koefisiennya ada dalam ring ๐
. Definisi 15. Jika ๐(๐ฅ) adalah polinomial berderajat ๐, maka koefisien ๐๐ disebut sebagai koefisien utama (leading coefficient) dari ๐(๐ฅ). Polinomial ๐(๐ฅ) dikatakan sebagai polinomial monik jika koefisien utamanya adalah 1. Dari Definisi 15 diketahui bahwa bentuk umum dari polinomial monik yaitu ๐(๐ฅ) = โ๐๐=0 ๐๐ (๐ฅ)๐ = ๐ฅ ๐ +๐๐โ1 ๐ฅ ๐โ1 + โฏ + ๐1 ๐ฅ 1 + ๐0 ๐ฅ 0, karena koefisien utamanya adalah 1. Definisi 16. Diberikan ๐
ring komutatif dengan elemen satuan, ๐
dikatakan memenuhi syarat rantai naik (ascending chain) jika setiap rantai naik dari ideal-ideal : ๐ด1 โ ๐ด2 โ ๐ด3 โ โฏ โ โฏ, terdapat suatu bilangan bulat ๐ sedemikian hingga ๐ด1 โ ๐ด2 โ โฏ โ ๐ด๐ = ๐ด๐+1 = ๐ด๐+1 = โฏ Definisi 17. Diberikan ๐
ring komutatif dengan elemen satuan dikatakan ring Noetherian jika memenuhi kondisi rantai naik pada idealnya. Definisi 18. Diberikan ๐
ring dengan elemen satuan dan ๐ grup abelian terhadap penjumlahan, serta diberikan pula suatu operasi biner (disebut pergandaan skalar) โ โถ ๐
ร ๐ โ ๐ . Himpunan ๐ disebut modul kiri atas ring ๐
jika memenuhi aksioma perkalian skalar yaitu untuk setiap ๐1 , ๐2 , ๐ โ ๐ dan untuk setiap ๐1 , ๐2 , ๐ โ ๐
i. ๐ โ (๐1 + ๐2 ) = ๐ โ ๐1 + ๐ โ ๐2 ; ii. (๐1 + ๐2 ) โ ๐ = ๐1 โ ๐ + ๐2 โ ๐; iii. (๐1 ๐2 ) โ ๐ = ๐1 โ (๐2 โ ๐); iv. 1๐
. ๐ = ๐, dengan 1๐
merupakan elemen satuan di ๐
. Definisi 19. Diberikan ๐
ring dengan elemen satuan dan ๐ grup abelian terhadap penjumlahan, serta diberikan pula suatu operasi biner (disebut pergandaan skalar)โ โถ ๐ ร ๐
โ ๐ . Himpunan ๐ disebut modul kanan atas ring ๐
jika memenuhi aksioma perkalian skalar yaitu untuk setiap ๐1 , ๐2 , ๐ โ ๐ dan untuk setiap ๐1 , ๐2 , ๐ โ ๐
i. (๐1 + ๐2 ) โ ๐ = ๐1 โ ๐ + ๐2 โ ๐; ii. ๐ โ (๐1 + ๐2 ) = ๐1 โ ๐ + ๐2 โ ๐; iii. ๐ โ (๐1 ๐2 ) = (๐ โ ๐1 )๐2; iv. ๐ โ 1๐
= ๐, dengan 1๐
merupakan elemen satuan di ๐
. Definisi 20. Diberikan ๐
ring dengan elemen satuan dan ๐ grup abelian terhadap penjumlahan, jika ๐ adalah modul kiri dan modul kanan maka ๐ disebut bimodul.
4
Persulessy & Dahoklory | Karakterisasi Daerah Dedekind
Contoh 1. Diberikan ๐
daerah integral dengan lapangan hasil bagi ๐(๐
), maka ๐(๐
) merupakan bimodul atas ๐
. Definisi 21. Misalkan ๐ modul atas ring ๐
ring dengan elemen satuan dan ๐ โ ๐ maka ๐adalah submodul dari ๐ jika dan hanya jika : i. ๐ merupakan subgrup abelian dari ๐; ii. Operasi pergandaan skalar pada ๐ juga berlaku pada ๐. Contoh 2. Diberikan ๐
ring dengan elemen satuan adalah modul atas ๐
sendiri. Jika ๐ ideal ๐
, maka ๐ merupakan submodul dari ๐
. Definisi 22. Diberikan ๐
suatu ring komutatif, ๐ modul atas ๐
, jika ๐ โ ๐, maka himpunan ๐
โฉ๐โช = {โ ๐๐ ๐ ๐ |๐๐ โ ๐
, ๐ ๐ โ ๐} dikatakan sebagai submodul yang dibangun secara berhingga. 3. Hasil dan Pembahasan 3.1. Tertutup Secara Integral Definisi 23. Diberikan ๐ daerah integral dengan ๐
subring dari ๐, suatu elemen ๐ โ ๐ dikatakan integral atas ๐
jika terdapat polinomial monik ๐(๐ฅ) di ๐
[๐ฅ] berlaku ๐(๐ ) = 0. Secara umum suatu ๐ โ ๐ dikatakan integral atas ๐
jika terdapat polinomial monik ๐(๐ฅ) di ๐
[๐ฅ] yaitu ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ +๐๐โ1 ๐ฅ ๐โ1 + โฏ + ๐1 ๐ฅ 1 + ๐0 ๐ฅ 0 , dimana ๐ merupakan akar dari polinomial ๐(๐ฅ), yaitu ๐(๐ ) = ๐ ๐โ1 1 0 ๐ +๐๐โ1 ๐ + โฏ + ๐1 ๐ + ๐0 ๐ = 0. Definisi 24. Diberikan daerah integral ๐
dengan lapangan hasil bagi ๐(๐
). ๐
dikatakan tertutup secara integral jika ๐ โ ๐(๐
)integral atas ๐
maka ๐ โ ๐
. Contoh 3. Daerah integral โค dengan lapangan hasil bagi โ, โค tertutup secara integral. ๐
Penyelesaian. Misalkan suatu ๐ = โ โ dengan ๐ โ โ yang integral atas โค dengan (๐ , ๐ก) = 1, maka ada suatu ๐ก polinomial monik ๐(๐ฅ) di โค[๐ฅ] yaitu ๐
๐(๐ฅ) = โ ๐๐ ๐ฅ ๐ = ๐0 ๐ฅ 0 + ๐1 ๐ฅ 1 + ๐2 ๐ฅ 2 + โฏ + ๐ฅ ๐ ๐=0 ๐ ๐ก
sedemikian hingga ๐ = โ โ yang integral atas โค maka ๐
๐ ๐ ๐ ๐ 0 ๐ 1 ๐ 2 ๐ ๐ ๐ ( ) = โ ๐๐ ( ) = ๐0 ( ) + ๐1 ( ) + ๐2 ( ) + โฏ + ( ) ๐ก ๐ก ๐ก ๐ก ๐ก ๐ก ๐=0
sehingga diperoleh ๐
๐ ๐ ๐ ๐ ( ) = โ ๐๐ ( ) ๐ก ๐ก ๐=0
๐โ1
๐ ๐ ๐ ๐ 0 = ( ) + โ ๐๐ ( ) ๐ก ๐ก ๐=0
๐โ1
๐ ๐ ๐ ๐ ( ) = โ(โ ๐๐ ( ) ) ๐ก ๐ก ๐=0
๐โ1
๐โ1
๐=0
๐=0
๐ ๐ ๐ = โ(โ ๐๐ ( ) )๐ก ๐ = โ(โ ๐๐ ๐ ๐ ๐ก ๐โ1โ๐ )๐ก ๐ก ๐
Barekeng: Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan | Maret 2015 | Volume 9 Nomor 1 | Hal. 1 โ 10
dari persamaan diatas diperoleh ๐ก|s n , karena (๐ , ๐ก) = 1 akibatnya ๐ก|s, sehingga diperoleh tertutup secara integral di โ.
๐ ๐ก
5
โ โค, Jadi โค
Proposisi 2. Diberikan ๐
suatu daerah integral dengan lapangan hasil bagi ๐(๐
), jika ๐
memenuhi daerah faktorisasi tunggal maka ๐
tertutup secara integral. ๐
Bukti. Misalkan ๐ elemen dari suatu ๐(๐
) dan ๐ integral atas ๐
. Misalkan ๐ = dimana ๐ โ ๐
, ๐ โ ๐
\{0} dan ๐ ๐ dan ๐ saling prima (faktor persekutuan hanya elemen unit) karena ๐
daerah faktorisasi tunggal maka ๐ dan ๐ dapat ditulis sebagai hasil kali elemen-elemen tak tereduksi yaitu ๐ = ๐ข๐1 ๐2 โฆ ๐๐ ๐ = ๐ข๐1 ๐2 โฆ ๐๐ dimana ๐ข merupakan elemen unit di ๐
dan ๐๐ , ๐๐ merupakan elemen tak tereduksi di ๐
, karena ๐ผ dan ๐ saling prima maka ๐๐ โ ๐๐ ๐
Selanjutnya diketahui bahwa ๐ = ๐ integral atas ๐
, maka terdapat suatu polinomial monik ๐(๐ฅ) = ๐ ๐ + ๐๐โ1 ๐ ๐โ1 + โฏ + ๐0 = 0 sehingga ๐ ๐ ( )๐ + ๐๐โ1 ( )๐โ1 + โฏ + ๐0 = 0 ๐ ๐ ๐ persamaan di atas dikalikan dengan ๐ diperoleh ๐๐ + ๐๐โ1 ๐๐๐โ1 + โฏ + ๐0 ๐ ๐ = 0 ๐๐ = โ(๐๐โ1 ๐๐๐โ1 + โฏ + ๐0 ๐๐ ) ๐๐ = โ๐(๐๐โ1 ๐๐โ1 + โฏ + ๐0 ๐๐โ1 ) Sehingga diperoleh ๐ habis membagi ๐๐ , kondisi ini dapat berlaku jika ๐ merupakan unit, sehingga diperoleh ๐ โ ๐
. ๐ Terbukti bahwa suatu daerah faktorisasi tunggal memenuhi tertutup secara integral. 3.2. Ideal Fraksional Definisi 25. Diberikan ๐
daerah integral dengan lapangan hasil bagi ๐(๐
), suatu ideal fraksional dari ๐
adalah suatu ๐
โsubmodul yang bukan nol ๐ด dari ๐(๐
) sedemikian hingga ๐๐ด โ ๐
, untuk suatu ๐ โ ๐
yang bukan nol. Dari definisi di atas diketahui bahwa ๐(๐
) merupakan modul atas ๐
dengan ideal fraksionalnya merupakan suatu submodul yang bukan nol dari ๐(๐
). Dari definisi ideal fraksional di atas juga, diketahui bahwa suatu ideal yang bukan nol dalam ๐
juga merupakan suatu ideal fraksional dengan ๐ = 1. 1
Contoh 4. Pada daerah integral bilangan bulat โค dengan lapangan hasil bagi โ, himpunan 2 โค merupakan ideal fraksional dari โค. 1
Penyelesaian. Harus dibuktikan terlebih dahulu himpunan 2 โค merupakan โค โsubmodul dari โ. 1
i. himpunan 2 โค merupakan โค โsubmodul dari โ 1)
1 โค 2
merupakan grup abelian terhadap opreasi penjumlahan 1
2) Operasi pergandaan skalar yang berlaku pada โ juga berlaku pada 2 โค 1
1
1
a. Ambil sebarang ๐ โ โค dan ๐ฅ, ๐ฆ โ โค dimana ๐ฅ, ๐ฆ โ โค 2 2 2 1 1 ๐ฅ+๐ฆ ๐(๐ฅ + ๐ฆ) ๐๐ฅ + ๐๐ฆ ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐ ( ๐ฅ + ๐ฆ) = ๐ ( )=( )= = + 2 2 2 2 2 2 2
6
Persulessy & Dahoklory | Karakterisasi Daerah Dedekind 1
1
b. Ambil sebarang ๐, ๐ โ โค dan 2 ๐ฅ โ 2 โค dimana ๐ฅ โ โค 1 1 1 1 1 (๐ + ๐) ๐ฅ = ๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ = ๐ฅ๐ + ๐ฅ๐ 2 2 2 2 2 1 1 c. Ambil sebarang ๐, ๐ โ โค dan ๐ฅ โ โค dimana ๐ฅ โ โค 2 2 1 1 1 (๐๐) โ ๐ฅ = (๐๐ ๐ฅ) = ๐ (๐ ๐ฅ) 2 2 2 1 1 d. Ambil sebarang 2 ๐ฅ โ 2 โค 1 1 1 1. ๐ฅ = ๐ฅ. 1 = ๐ฅ 2 2 2 1 ii. Terdapat suatu ๐ โ โค yang bukan nol berlaku ๐( โค) โ ๐
yaitu {ยฑ2, ยฑ4, โฆ } 2
Dari pembuktian di atas diperoleh
1 โค 2
merupakan suatu ideal fraksional dari โค.
Teorema 3. Jika ๐ด suatu ๐
โsubmodul dari ๐(๐
) yang dibangun secara berhingga maka ๐ด merupakan suatu ideal fraksional dari ๐
. Bukti. Misalkan ๐ด suatu ๐
-submodul dari ๐(๐
) dibangun secara berhingga oleh ๐1 , ๐2 , โฆ ๐๐ โ ๐(๐
). ๐ด dapat ditulis sebagai ๐ด = ๐1 ๐๐ + ๐2 ๐๐ + โฏ + ๐๐ ๐๐ ๐
dengan ๐๐ โ ๐
dan ๐๐ โ ๐(๐
) maka ๐๐ = ๐๐, dimana ๐๐ โ ๐
dan ๐๐ โ ๐
\{0} ๐
๐ด= Jika
๐๐ . ๐๐
๐1 ๐1 ๐๐ ๐
+ ๐
+ โฏ+ ๐
๐1 ๐2 ๐๐
Misalkan ๐ = ๐1 ๐2 โฆ ๐๐ maka diperoleh
๐1 (๐2 โฆ ๐๐ ) ๐1 (๐1 ๐3 โฆ ๐๐ ) ๐๐ (๐1 โฆ ๐๐โ1 ) ๐๐ + ๐๐ + โฏ + ๐๐ . ๐ ๐ ๐ Persamaan di atas dapat ditulis sebagai ๐1 ๐2 ๐๐ ๐ด = ๐๐ + ๐๐ + โฏ + ๐๐ ๐ ๐ ๐ Maka diperoleh ๐ด merupakan suatu ideal fraksional yaitu untuk suatu ๐ โ ๐
yang bukan nol diperoleh ๐๐ด โ ๐
. โ ๐ด=
Definisi 26. ๐
daerah integral dengan lapangan hasil bagi ๐(๐
) dan ๐ด, ๐ต ideal-ideal fraksional dari ๐
, maka hasil kali ๐ด๐ต merupakan himpunan dari penjumlahan berhingga โ๐ ๐๐ ๐๐ dimana ๐๐ โ ๐ด, ๐๐ โ ๐ต. Sama seperti perkalian pada ideal biasa di ๐
perkalian dari dua ideal fraksional juga merupakan ideal fraksional, berikut diberikan pembuktiannya dalam teorema berikut. Teorema 4. ๐
daerah integral dengan lapangan hasil bagi ๐(๐
)dan ๐ด, ๐ต ideal-ideal fraksional dari ๐
, maka hasil kali ๐ด๐ต merupakan ideal fraksional. Bukti. Diketahui ๐ด dan ๐ต ideal-ideal fraksional dari ๐
maka terdapat ๐, ๐ โ ๐
yang bukan nol sedemikian hingga ๐๐ด โ ๐
, dan ๐ ๐ต โ ๐
. Jika ๐๐ด dan ๐ ๐ต dikalikan maka diperoleh (๐๐ด)(๐ ๐ต) = (๐๐ )๐ด๐ต โ ๐
7
Barekeng: Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan | Maret 2015 | Volume 9 Nomor 1 | Hal. 1 โ 10
Karena ๐๐ โ ๐
bukan nol dan ๐ด๐ต submodul yang bukan nol maka diperoleh ๐ด๐ต ideal fraksional. โ Definisi 27. ๐
daerah integral dengan lapangan hasil bagi ๐(๐
) dan ๐ด ideal fraksional dari ๐
, maka ideal fraksional ๐ด memiliki invers jika terdapat ๐ต suatu ideal fraksional dari ๐
sedemikian hingga ๐ด๐ต = ๐
. 1
Contoh 5. โค daerah integral dengan lapangan hasil bagi โ , ideal fraksional ๐โค memiliki invers yaitu ๐ โค. 1
Penyelesaian. Diketahui ๐โค merupakan suatu ideal fraksional, selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa ๐ โค merupakan suatu ideal fraksional dari โค, sesuai dengan Teorema 2 maka ๐ด๐ต merupakan suatu ideal fraksional, 1 selanjutnya perkalian dua ideal fraksional ๐โค dan ๐ โค diperoleh : 1 1 (๐โค) ( โค) = (๐ ) โค = 1. โค = โค ๐ ๐ Sehingga diperoleh
1 โค ๐
merupakan invers dari ideal fraksional ๐โค.
Teorema 5. Jika ๐ด memiliki invers maka ๐ด dibangun secara berhingga. Bukti. Diketahui ๐ด memiliki invers, maka terdapat ๐ดโฒ sedemikian hingga ๐ด๐ดโฒ = ๐
sehingga terdapat 1 โ ๐ด๐ดโฒ dengan 1 = โ ๐๐ ๐๐ โฒ = ๐1 ๐1โฒ + ๐2 ๐2โฒ + โฏ + ๐๐ ๐๐ โฒ ๐
untuk suatu ๐1 , ๐2 , โฆ , ๐๐ โ ๐ด dan ๐1 โฒ, ๐2 โฒ, โฆ , ๐๐ โฒ โ ๐ดโฒ. Jika ๐ โ ๐ด maka ๐ = (๐๐1โฒ )๐1 + (๐๐2โฒ )๐2 + โฏ + (๐๐๐โฒ )๐๐ , dimana setiap ๐๐1โฒ โ ๐
, sehingga ๐ด dibangun secara berhingga oleh ๐1 , ๐2 , โฆ , ๐๐ sehingga ๐ด dibangun secara berhingga. โ
3.3. Daerah Dedekind Pada bagian ini akan diberikan karakteristik daerah Dedekind yang mencakup definisi daerah Dedekind, dan teorema dalam daerah Dedekind serta kaitan antara daerah Dedekind dan daerah ideal utama. Definisi 28. (Passman, 1991) Daerah integral ๐
dengan lapangan hasil bagi ๐(๐
) dikatakan sebagai suatu daerah Dedekind jika memenuhi: i. ๐
merupakan ring Noetherian. ii. ๐
tertutup secara integral. iii. Setiap ideal prima bukan nol dari ๐
adalah ideal maksimal. Contoh 6. Daerah integral bilangan bulat โค dengan lapangan hasil bagi โ merupakan daerah Dedekind. Penyelesaian. (i) โค ring Noetherian Diketahui bahwa ideal di โค berbentuk ๐โค, yaitu ๐โค = {๐โค|๐ โ โค} Jika suatu rantai di ideal dalam โค ๐โค โ ๐ฃ1 โค โ ๐ฃ2 โค โ โฏ Berdasarkan Teorema 1 diketahui bahwa jika ๐|๐ maka โฉ๐โช โ โฉ๐โช, dari kondisi rantai di atas diketahui bahwa ๐ฃ1 |๐ dan ๐ฃ1 |๐ฃ2 dan seterusnya
8
Persulessy & Dahoklory | Karakterisasi Daerah Dedekind
Selanjutnya karena ๐ โ โค, maka dapat ๐ difaktorkan sebagai elemen-elemen tak tereduksi, berikut langkah-langkah faktorisasi dari ๐ ๐ = ๐1 ๐ฃ1 = ๐1 (๐2 ๐ฃ2 ) = (๐1 ๐ฃ2 (๐3 ๐ฃ3 ) โฎ = (๐1 ๐2 โฆ ๐๐ )๐ฃ๐ ๐ฃ๐ merupakan elemen tak tereduksi sehingga ๐ฃ๐ = ๐ข๐ฃ Dimana ๐ข merupakan unit dan ๐ฃ berasosiasi dengan ๐ฃ๐ , sehingga โฉ๐ฃ๐ โช hanya dimuat pada โค dan โฉ๐ฃ๐ โช sendiri. maka kondisi rantai di atas akan stasioner pada ๐ฃ๐ โค ๐โค โ ๐ฃ1 โค โ ๐ฃ2 โค โ โฏ โ ๐ฃ๐ โค. Jadi setiap koleksi ideal pada ring โค memenuhi kondisi rantai naik, sehingga โค ring Noetherian (ii) Pada Contoh 3 telah dijelaskan bahwa โค tertutup secara integral. (iii) Setiap ideal prima bukan nol di โค adalah ideal maksimal. Akan ditunjukan โฉ๐โชadalah ideal maksimal. Diketahui bahwa โค merupakan daerah ideal utama sehingga setiap ideal di โค berbentuk ๐โค = โฉ๐โช Misalkan โฉ๐โชsuatu ideal prima utama maka ๐ merupakan suatu elemen prima. Karena dalam daerah integral berlaku ๐ elemen prima maka ๐ tidak tereduksi sehingga ๐ dapat ditulis sebagai ๐ = ๐ข๐ฅ dimana ๐ข elemen unit dan ๐ฅ berasosiasi dengan ๐, Selanjutnya misalkan โฉ๐โช โ โฉ๐โช Karena ๐
daerah ideal utama maka diperoleh ๐|๐. Sehingga ๐ merupakan salah satu faktor dari ๐, maka ๐ merupakan unit atau berasosiasi dengan ๐, sehingga muncul dua kondisi yaitu a. Jika ๐ unit maka diperoleh โฉ๐โช = โค b. Jika ๐ berasosiasi dengan ๐, maka ๐ = ๐ข๐ sehingga diperoleh โฉ๐โช = โฉ๐โช Dari kondisi (a) dan (b) diperoleh โฉ๐โช merupakan ideal maksimal karena ideal yang memuat โฉ๐โช hanya โฉ๐โช dan โค. Dari pembuktian (i), (ii), dan (iii) diperoleh โค merupakan daerah Dedekind. Untuk menjelaskan kaitan daerah Dedekind dan daerah ideal utama, diberikan proposisi sebagai berikut: Proposisi 6. Diberikan ๐
daerah ideal utama maka ๐
daerah Dedekind. Bukti. (i) Daerah ideal utama memenuhi ring Noetherian Diketahui suatu kondisi rantai pada ๐
๐ผ1 โ ๐ผ2 โ ๐ผ3 โ โฏ โ ๐ผ๐ โ ๐ผ๐+1 โ โฏ Didefinisikan ๐ผ = โ ๐ผ๐ ๐โฅ1
maka diperoleh ๐ผ ideal di ๐
, karena ๐
daerah ideal utama maka ๐ผ adalah ideal utama yaitu ๐ผ = โฉ๐โช, ๐ โ ๐ผ, sehingga ๐ dimuat di suatu ๐ผ๐ , misalkan ๐ผ๐ , maka diperoleh ๐ผ โ ๐ผ๐ .
Barekeng: Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan | Maret 2015 | Volume 9 Nomor 1 | Hal. 1 โ 10
9
Karena ๐ผ merupakan gabungan dari ideal-ideal ๐ผ๐ maka ๐ผ๐ โ ๐ผ sehingga diperoleh ๐ผ๐ = ๐ผ. Berdasarkan rantai ideal di atas maka diperoleh ๐ผ๐ โ ๐ผ๐+1 โ ๐ผ๐ maka ๐ผ๐ = ๐ผ๐+1 . Terbukti daerah utama adalah ring Noetherian. (ii) Telah diketahui bahwa suatu daerah ideal utama memenuhi daerah faktorisasi tunggal, sehingga dengan menggunakan Proposisi 2 yaitu Daerah faktorisasi tunggal memenuhi tertutup secara integral diperoleh daerah ideal utama memenuhi tertutup secara integral. (iii) Setiap ideal prima bukan nol di ๐
merupakan ideal maksimal Diberikan ๐
suatu daerah ideal utama dan โฉ๐โช suatu ideal prima dari ๐
, dimana ๐ โ ๐
. Karena ๐
merupakan daerah ideal utama sehingga setiap ideal di ๐
berbentuk ๐๐
= โฉ๐โช. Misalkan โฉ๐โช suatu ideal prima maka berdasarkan maka ๐ merupakan suatu elemen prima maka yang bukan nol dari โค, sehingga ๐ tidak tereduksi, karena ๐
daerah ideal utama , maka ๐ = ๐ข๐ฅ dimana ๐ข elemen unit dan ๐ฅ berasosiasi dengan ๐. Selanjutnya misalkan โฉ๐โช โ โฉ๐โช. Karena ๐
daerah ideal utama maka diperoleh ๐|๐. Maka ๐ dapat ditulis sebagai ๐ = ๐๐. Karena ๐ elemen tak tereduksi maka ๐ hanya memiliki faktor yang berasosiasi dengan ๐ atau suatu unit, sehingga diperoleh ๐ merupakan unit atau berasosiasi dengan ๐, sehingga muncul dua kondisi yaitu a. Jika ๐ unit maka diperoleh โฉ๐โช = ๐
; b. Jika ๐ unit berasosiasi dengan ๐, maka ๐ = ๐ข๐ sehingga diperoleh โฉ๐โช = โฉ๐โช. Dari kondisi (a) dan (b) diperoleh โฉ๐โช merupakan ideal maksimal karena โฉ๐โช hanya di โฉ๐โช dan ๐
. Dari pembuktian (i), (ii), dan (iii) diperoleh ideal utama merupakan daerah Dedekind. โ Teorema 7. Diberikan ๐
daerah integral, setiap ideal fraksional yang bukan nol di ๐
memiliki invers maka ๐
daerah Dedekind. Bukti. Diketahui ๐
daerah integral, setiap ideal fraksional di ๐
memiliki invers. Akan dibuktikan ๐
daerah Dedekind. i. ๐
ring Noetherian Dari Teorema 5, diketahui bahwa Jika ๐ด suatu ideal fraksional memiliki invers maka ๐ด dibangun secara berhingga, karena diketahui ideal yang bukan nol dalam ๐
juga merupakan ideal fraksional maka diperoleh ๐
ring Noetherian, karena berlaku jika setiap ideal di ๐
dibangun secara berhingga maka ๐
ring Noetherian. ii. ๐
tertutup secara integral Misalkan ๐ โ ๐(๐
) integral atas ๐
, maka terdapat polinomial monik ๐(๐ฅ) di ๐
[๐ฅ] yaitu ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ +๐๐โ1 ๐ฅ ๐โ1 + โฏ + ๐1 ๐ฅ 1 + ๐0 ๐ฅ 0 , dimana ๐ merupakan akar dari polinomial ๐(๐ฅ), sehingga ๐(๐ ) = ๐ ๐ +๐๐โ1 ๐ ๐โ1 + โฏ + ๐1 ๐ 1 + ๐0 ๐ 0 = 0. ๐ sehingga ๐ ๐ = โ โ๐โ1 ๐=0 ๐ ๐๐ dengan ๐๐ โ ๐
. Asumsikan himpunan ๐โ1
๐=โ ๐=0
๐ ๐ ๐๐
Sehingga diperoleh ๐ merupakan suatu submodul yang bukan nol dari ๐(๐
) yang dibangun oleh {1, ๐ , ๐ 2 , โฆ ๐ ๐ } dan memuat ๐ , berdasarkan Teorema 2 maka ๐ adalah suatu ideal fraksional. Dari rumusan ๐ ๐ , juga diperoleh ๐ 2 โ ๐. Karena himpunan ๐ suatu ideal fraksional bukan nol dari ๐
, maka ๐ memiliki invers yaitu ๐ โ1, dengan ๐๐ โ1 = ๐
sehingga diperoleh ๐๐๐ โ1 โ ๐๐ โ1 maka ๐ โ ๐
. Karena ๐ memuat ๐ sehingga diperoleh ๐ โ ๐
maka berlaku ๐
tertutup secara integral. iii. Diberikan ๐ suatu ideal prima tak nol dan ๐ผ ideal sejati dari ๐
dengan ๐ โ ๐ผ maka ๐ โ ๐๐ผ โ1 โ ๐ผ๐ผ โ1 = ๐
. โ1 Selanjutnya (๐๐ผ )๐ผ โ ๐. Karena ๐ ideal prima dan ๐ โ ๐ผ, maka diperoleh (๐๐ผ โ1 ) โ ๐. Oleh karena itu, ๐๐ผ โ1 = ๐. Selanjutnya dengan mengalikan persamaan tersebut dengan ๐ผ๐โ1 diperoleh ๐ผ = ๐
. Jadi ๐ ideal maksimal. Dari pembuktian (i), (ii), dan (iii) diperoleh ๐
memenuhi daerah Dedekind. โ
10
4.
Persulessy & Dahoklory | Karakterisasi Daerah Dedekind
Kesimpulan
Dari hasil pembahasan, dapat disimpulkan bahwa jika setiap ideal fraksional di ๐
memiliki invers maka ๐
suatu daerah Dedekind dan suatu daerah ideal utama memenuhi daerah Dedekind. Daftar Pustaka [1] D. S. Passman, A Course in Ring Theory, California: Wadsworth & Brooks Cole, 1991. [2] V. K. Khana dan S. K. Bhambri, A Course in Abstract Algebra, Jangpura, New Delhi, 1993. [3] D. S. Dummit dan R. M. Foote, Abstract Algebra, 2nd penyunt., New York: John William Inc., 1999. [4] T. W. Hungerford, Algebra, New York: Springer Verlag, 1974. [5] J. J. Watkins, Topics in Commutative Ring Theory, New Jersey: Princeton University Press., 2007. [6] D. Surowski, Workbook in Higher Algebra, Manhattan: Kansas State University, 2000.