Vlny v trubici VUT FSI v Brně Měření provedeno: Vedoucí práce: Měření provedli: Zpracoval:
Úkol: Měřením rezonančních frekvencí podélného vlnění v trubici určit rychlost šíření zvuku ve vzduchu.
Teoretická část: Kmitání je libovolný periodický pohyb jednoho bodu. Pokud lze závislost výchylky bodu na čase popsat pomocí funkcí sin, cos, mluvíme o harmonickém kmitání: u (t ) = U max sin(ω t )
(1)
kde U max je amplituda kmitů a ω = 2π f je jejich kruhová frekvence. Vlnění je pak soubor kmitání. Pro postupující vlnu platí, že výchylka v bodě x v čase t je: x u1 ( x, t ) = U max sin ω (t − ) c
(2)
x ) je fáze postupné vlny. c Vlna postupující trubicí se odráží na konci, který je otevřený nebo uzavřený. Pro odraženou vlnu platí: kde ω (t −
2l − x u 2 ( x, t ) = U max sin ω (t − )+ ϕ c
(3)
kde změna fáze ϕ = 0 pro odraz na otevřeném konci a ϕ = π pro odraz na uzavřeném konci. Dopadající vlna u1 a odražená vlna u 2 se sčítají ve výslednou, tzv. stojatou vlnu: l ϕ l− x ϕ u ( x, t ) = 2U max sin ω (t − ) + cos ω − c 2 c 2
(4)
Sčítané vlny se nejvíce posilují, když postupují souběžně jejich vrchy a důly. Říkáme, že jsou ve fázi, tzn.jejich fáze se liší o n ⋅ 2π .
Posílení tedy nastává při rezonančních frekvencích: ϕ + ϕ ' c fr = n + ⋅ 2π 2l
(5)
kde n = 0,1,2, , Pro měření v uzavřené trubici lze vztah upravit do tvaru:
π +π c c fr = n + ⋅ = [ n + 1] ⋅ 2π 2l 2l
(6)
Hodnoty rezonančních frekvencí pro různé řády n a délky l získáme měřením. Úlohy: 1.Měření vlny při frekvenci 680kHz Zadání: Změřte a určete tvar vlny zvuku při frekvenci 680kHz. Postup: Nastavili jsme přístroje na správnou frekvenci a správné zobrazení. Následně jsme na osciloskopu nastavili sledování napětí. Posunuli jsme mikrofon co nejdále od reproduktoru a odečetli jsme hodnotu napětí z osciloskopu. Dále jsme posunuli mikrofon o 2cm blíže k reproduktoru a odečtení napětí jsme opakovali. Takhle jsme se přibližovali k reproduktoru po 3cm až úplně k němu. Výsledkem je graf závislosti napětí na vzdálenosti mikrofonu od reproduktoru. Výsledná vlna má ovšem opačnou amplitudu než vyplývá z grafu. To je dáno tím, že mikrofon funguje v závislosti na tlaku a ten je opační k pohybu částic. Zhodnocení: Z měření vyplývá graf funkce cosinus. Z toho usuzuji, že vlna měla tvar funkce sinus. naměřené hodnoty při prekvenci 674 Hz I[cm]
2
5
8
11
U[V]
4.3
2.8
1.8
0.84
14
17
20
23
0.84 2.04 3.16 3.88
26
29
32
35
4.3 3.96
3.04
1.72
38
41
0.2 1.28
Měření při f=674 Hz
U[V]
5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1
U[V]
0.5 0 2
5
8
11
14
17
20
23
26
29
32
35
38
41
l [cm]
2Měření rychlosti zvuku Zadání: Změřte průměrnou rychlost a chybu aritmetického průměru zvuku ve vašem prostředí Postup: Jelikož jme schopni změřit čas t, za který náš signál dorazí z reproduktoru na konec trubice s mikrofonem ve vzdálenosti „s“ měření jsme založili na vztahu pro výpočet rychosti tj. v=s/t. Nejprve jsme nastavili délku trubice a přístroje pro danou operaci. Po spuštění jsme na osciloskopu odečetli čas „t“. Tento postup jsme ještě několikrát opakovali. Odečtené hodnoty bylo potřeba dosadit do vzorce pro výpočet rychlosti a získat několik, vetšinou odlišných, hodnot. Z těch jme následně udělali aritmetický průměr a určili chybu. č.1 Tabulka naměřených a vypočtených hodnot (vlastní) č.m. Délka trubice [cm] v [m/s] t [ms] 1. 40 1,24 322 2. 45 1,35 333 3. 50 1,56 340
Tabulka vypočtený a naměřených hodnot n [m/s] [m/s] 1. 322 2. 333 3. 340 4. 336 5. 335 6. 336 329,3 7. 323 8. 328 9. 322 10. 326 11. 326 12. 325
σ [m/s]
±3,7
σ… střední kvadratická chyba aritmetického průměru
Zhodnocení: Změřili jsme bez problémů rychlost zvuku v našich podmínkách. Jelikož se rychlost zvuku na hladině moře udává 340m/s a naše průměrná rychlost byla 329,3m/s, můžeme říci, že bylo měření správné, protože se nacházíme ve vyšší poloze a je zde menší atmosférický tlak. 3. Měření frekvence v závislosti na délce trubice Zadání: Změřte, přepočítejte a vytvořte graf závislosti rezonanční frekvence na délce trubice s uzavřenými konci. Postup: Nastavíme přístroje na daný typ měření a délku trubice jako nejdelší možnou (tj. 50cm). Na generátoru nastavujeme frekvenci tak, aby byl dodržen rezonanční řád n=1 a zároveň byla amplituda na maximální hodnotě. Jakmile splňujeme podmínky, danou frekvenci zapíšeme a přepočítáme podle vzorce pro rezonanční frekvenci . Dále postupujeme obdobně. Potom sestrojíme graf, ve kterém budou hodnoty teoretické a hodnoty naměřené. tabulka naměřených a vypočtených hodnot č.m. 1/l[cm] fm[Hz] 1 0.02 672 2 0.022 748 3 0.025 850 4 0.028 1012 5 0.033 1161 6 0.04 1416 7 0.05 1760 8 0.06 2283
ft[Hz] 658 731 822.5 940 1096.67 1316 1645 2193.3
Měření rezonanční frekvence n=1 2500 2000
f[Hz]
1500
fm[Hz] ft[Hz]
1000 500 0 0.02
0.022
0.025
0.028 1/l [1/cm]
l… délka trubice … rezonanční frekvence měřená … rezonanční frekvence teoretická
0.033
0.04
0.05
0.06
Zhodnocení: Rezonanční frekvence je lineárně závislá na délce trubice. Je vidět, že měřené hodnoty se liší od počítaných. To může být způsobeno např. chybou v přesnosti odčítání hodnot z osciloskopu. Prohnutí křivky je způsobeno nepřesností výpočtu a měření. 4.Úkol Zadání: Pružná tyč o délce l=450mm je upevněna na obou koncích. Jeden konec se nepatrně chvěje s frekvencí f=756Hz. Chvění se přenáší na tyč a šíří se tyčí rychlostí c=340 m/s. a) Ověřte výpočtem, zda uvedená frekvence, případně frekvence 567Hz, je rezonanční. Stejná tyč je nyní upevněna jen jedním koncem. Druhý konec je nepatrně rozechvíván s frekvencí 567Hz b) Ověřte, zda je daná frekvence rezonanční
a)
Frekvence 756Hz je rezonanční. Frekvence 567Hz není rezonanční.
b) Frekvence 567Hz je rezonanční.
