Průběh funkce c ÚM FSI VUT v Brně
20. srpna 2007
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
• 1. f = x3 − 12x
• 2. f = x2 e−x
• 3. f =
x ln x
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. Nakreslete graf funkce
f (x) = x3 − 12x
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. f = x3 − 12x Řešení: Df = R Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. f = x3 − 12x Řešení: Df = R f 0 = 3x2 − 12 Určíme první derivaci a zjistíme, kdy je kladná a kdy záporná. K tomu je třeba zjistit nulové body derivace, tedy řešit rovnici 3x2 − 12 = 0.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. f = x3 − 12x Řešení: Df = R f 0 = 3x2 − 12
x1,2 = ±2
b
|
b
-2
0
2
Grafem derivace je parabola. Tam, kde je její graf nad osou x je první derivace kladná, kde je parabola pod osou x, je první derivace záporná. Poznámka: Lze to zjistit i tak, že do předpisu derivace dosadíme libovolný bod ze zkoumaného intervalu a zjistíme znaménko výsledné hodnoty. c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. f = x3 − 12x Řešení: Df = R f 0 = 3x2 − 12
x1,2 = ±2
b
-2
|
0
b
2
Určili jsme intervaly monotonnosti.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. f = x3 − 12x Řešení: Df = R f 0 = 3x2 − 12
x1,2 = ±2
b
-2
|
0
b
2
V bodech x = ±2 dochází ke změně monotonie a derivace v nich existuje a je v nich rovna nule, tudíž v nich nastávají lokální extrémy. Konkrétně v bodě x = −2 lokální maximum, v bodě x = 2 lokální minimum, f (2) = −16, f (−2) = 16. c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. f = x3 − 12x Řešení: Df = R f 00 = 6x Určíme druhou derivaci a zjistíme, kdy je kladná a kdy záporná. K tomu je třeba zjistit nulové body derivace, tedy řešit rovnici 6x = 0.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. f = x3 − 12x Řešení: Df = R f 00 = 6x
x=0
|
0
Vpravo od bodu x = 0 je druhá derivace kladná a proto je zde původní funkce f konvexní, vlevo od bodu x = 0 je záporná a tedy f je zde konkávní. Toto jsme zjistili dosazením libovolného bodu ze zkoumaného intervalu, např f 00 (2) = 24 > 0. c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. f = x3 − 12x Řešení: Df = R f 00 = 6x
x=0
|
0
Určili jsme intervaly konvexnosti a konkávnosti.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. f = x3 − 12x Řešení: Df = R f 00 = 6x
x=0
|
0
V bodě x = 0 dochází ke změně z konkávní na konvexní, je to tedy inflexní bod f (0) = 0.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. f = x3 − 12x Řešení: Df = R Je třeba ještě určit asymptoty. Asymptoty bez směrnice zde nebudou vzhledem k definičnímu oboru, budeme tedy hledat asymptoty se směrnicí: 3 = lim x −12x x x→∞
Takto se určí směrnice asymptoty pro x → ∞.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. f = x3 − 12x Řešení: Df = R Je třeba ještě určit asymptoty. Asymptoty bez směrnice zde nebudou vzhledem k definičnímu oboru, budeme tedy hledat asymptoty se směrnicí: 3 2 = ∞ lim x −12x x ∞ = lim 3x − 12 = ∞ x→∞
x→∞
Použili jsme l’Hospitalovo pravidlo
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. f = x3 − 12x Řešení: Df = R Je třeba ještě určit asymptoty. Asymptoty bez směrnice zde nebudou vzhledem k definičnímu oboru, budeme tedy hledat asymptoty se směrnicí: 3 = ∞ lim x −12x lim 3x2 − 12 = ∞ x ∞ = x→∞ x→∞ h i 3 2 = −∞ lim x −12x x −∞ = lim 3x − 12 = ∞ x→−∞
x→−∞
Asymptota pro x → −∞ se hledá podobně. Jelikož obě směrnice jsou nekonečné, nebude zde žádná asymptota se směrnicí.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 1. f = x3 − 12x y 16 f (x) = x3 − 12x
-2
0
2
x
-16
-2
c ÚM FSI VUT v Brně
0
2
Průběh funkce
Příklad 2. Nakreslete graf funkce
f (x) = x2 e−x
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R f 0 = 2xe−x − x2 e−x = xe−x (2 − x) Určíme první derivaci a zjistíme, kdy je kladná a kdy záporná. K tomu je třeba zjistit nulové body derivace, tedy řešit rovnici xe−x (2 − x) = 0.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R f 0 = 2xe−x − x2 e−x = xe−x (2 − x)
x1,2 = {0, 2}
b
|
0
2
Výraz e−x je vždy kladný, nulové body se týkají pouze ostatních členů. Nyní budeme postupovat tak, že do předpisu derivace dosadíme libovolný bod ze zkoumaného intervalu a zjistíme znaménko výsledné hodnoty. c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R f 0 = 2xe−x − x2 e−x = xe−x (2 − x)
x1,2 = {0, 2}
b
|
0
2
Určili jsme intervaly monotonnosti.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R f 0 = 2xe−x − x2 e−x = xe−x (2 − x)
x1,2 = {0, 2}
b
|
0
2
V bodech x = {0, 2} dochází ke změně monotonie a derivace v nich existuje a je v nich rovna nule, tudíž v nich nastávají lokální extrémy. Konkrétně v bodě x = 2 lokální maximum, v bodě x = 0 lokální minimum, f (0) = 0, f (2) = 4ln 2. c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R f 00 = e−x (2 − x) − xe−x (2 − x) − xe−x = e−x (x2 − 4x + 2) Určíme druhou derivaci a zjistíme, kdy je kladná a kdy záporná. K tomu je třeba zjistit nulové body derivace, tedy řešit rovnici x2 − 4x + 2 = 0, protože výraz e−x je vždy kladný.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R f 00 = e−x (2√− x) − xe−x (2 − x) − xe−x = e−x (x2 − 4x + 2) x1,2 = 2 ± 2
√ 2− 2
b
|
2
b
√ 2+ 2
Grafem zkoumaného výrazu je parabola viz obr., znaménko druhé derivace závisí pouze na tomto výrazu, tedy kde je parabola nad osou x, je celý výraz kladný, kde pod osou x, je záporný. c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R f 00 = e−x (2√− x) − xe−x (2 − x) − xe−x = e−x (x2 − 4x + 2) x1,2 = 2 ± 2
√ 2− 2
b
|
2
b
√ 2+ 2
Určili jsme intervaly, na kterých je funkce f konvexní a konkávní. Lze to udělat i pomocí dosazování bodů ze zkoumaných intervalů do předpisu druhé derivace a určením znaménka tohoto výrazu. c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R f 00 = e−x (2√− x) − xe−x (2 − x) − xe−x = e−x (x2 − 4x + 2) x1,2 = 2 ± 2
√ 2− 2
b
|
2
b
√ 2+ 2
√ V bodech x = 2± 2 dochází ke změně z konvexní na konkávní resp. naopak, druhá derivace je v nich rovna nule, tudíž to jsou inflexní body. c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R Zbývá určit asymptoty. Aymptoty bez směrnice zde nebudou vzhledem k definičnímu oboru, určíme asymptoty se směrnicí: 2 −x lim x ex = x→∞
Takto určíme směrnici asymptoty pro x → ∞
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R Zbývá určit asymptoty. Aymptoty bez směrnice zde nebudou vzhledem k definičnímu oboru, určíme asymptoty se směrnicí: 2 −x 1 lim x ex = lim exx = ∞ = lim ∞ ex = 0 x→∞
x→∞
x→∞
Použili jsme l’Hospitalovo pravidlo, směrnice asyptoty pro x → ∞ je 0.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R Zbývá určit asymptoty. Aymptoty bez směrnice zde nebudou vzhledem k definičnímu oboru, určíme asymptoty se směrnicí: 2 −x 1 lim x ex = lim exx = ∞ = lim ∞ ex = 0 x→∞
x→∞
lim x2 e−x − 0x
x→∞
x→∞
Takto se zjistí konstantní člen asymptoty
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R Zbývá určit asymptoty. Aymptoty bez směrnice zde nebudou vzhledem k definičnímu oboru, určíme asymptoty se směrnicí: 2 −x 1 lim x ex = lim exx = ∞ = lim x = 0 ∞ x→∞ x→∞ x→∞ e 2 lim 2x lim x2 e−x − 0x = lim x2 e−x = lim xex = ∞ ∞ = x→∞ ex = x→∞ x→∞ x→∞ ∞ 2 ∞ = lim ex = 0 x→∞
Použili jsme dvakrát l’Hospitalovo pravidlo, rovnice asymptoty tedy je y = 0x + 0 = 0, tedy je to osa x.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R Zbývá určit asymptoty. Aymptoty bez směrnice zde nebudou vzhledem k definičnímu oboru, určíme asymptoty se směrnicí: 2 −x lim x ex = x→−∞
Takto určíme směrnici asymptoty pro x → −∞
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x
Řešení: Df = R Zbývá určit asymptoty. Aymptoty bez směrnice zde nebudou vzhledem k definičnímu oboru, určíme asymptoty se směrnicí: 2 −x lim x ex = [∞ · ∞] = ∞ x→−∞
Pro x → −∞ asymptota se směrnicí neexistuje, protože limita vyšla nekonečná
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 2. f = x2 e−x y
4e−2 0
0
c ÚM FSI VUT v Brně
x
2
√ 2- 2
2
√ 2+ 2
Průběh funkce
Příklad 3. Nakreslete graf funkce
f (x) =
x ln x
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
Řešení: Df = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞) Nejprve je třeba určit definiční obor. Funkce ln x je definována pouze pro kladná čísla a navíc je ve jmenovateli zlomku, tedy nesmí být rovna nule. To vylučuje x = 1, protože ln 1 = 0.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
Řešení: Df = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞) f0 =
ln x−1 ln 2 x
Určíme první derivaci a zjistíme, kdy je kladná a kdy záporná. K tomu je třeba zjistit nulové body derivace, tedy řešit rovnici ln x − 1 = 0. V bodě x = 1 není definována ani derivace funkce f ani samotná funkce. Je třeba jej zahrnout do dělících bodů.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
Řešení: Df = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞) f0 =
ln x−1 , ln 2 x
nulový bod v bodě x=e.
b
|
0
b
1
e
Nyní budeme postupovat tak, že do předpisu derivace dosadíme libovolný bod ze zkoumaného intervalu a zjistíme znaménko výsledné hodnoty. Zkoumáme tedy intervaly (0, 1), (1, e) a (e, ∞).
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
Řešení: Df = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞) f0 =
ln x−1 , ln 2 x
nulový bod v bodě x=e.
b
|
0
b
1
e
Určili jsme intervaly monotonnosti.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
Řešení: Df = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞) f0 =
ln x−1 , ln 2 x
nulový bod v bodě x=e.
b
|
0
b
1
e
V bodě x = e dochází ke změně monotonie a derivace v něm existuje a je v rovna nule, tudíž v něm nastává lokální extrém. Konkrétně lokální minimum, f (e) = e
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
Řešení: Df = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞) f 00 =
1 ln 2 x−(ln x−1)2ln x· x1 x 4
ln x
=
1 ln x(2−ln x) x 4
ln x
Určíme druhou derivaci a zjistíme, kdy je kladná a kdy záporná. K tomu je třeba zjistit nulové body derivace, tedy řešit rovnici 2 − ln x = 0. V bodě x = 1 není definována ani druhá derivace funkce f ani samotná funkce. Je třeba jej zahrnout do dělících bodů.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
Řešení: Df = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞) 1
ln 2 x−(ln x−1)2ln x· 1
x f 00 = x = ln 4 x 2 nulový bod v bodě x = e .
b
|
0
1 ln x(2−ln x) x 4
ln x
,
b
1
e2
Nyní budeme dosazovat do druhé derivace body ze zkoumaných intervalů (0, 1), (1, e2 ) a (e2 , ∞) a zjistíme znaménko výsledné hodnoty. Jmenovatel je vždy kladný, navíc x1 je vždy kladné na Df . c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
Řešení: Df = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞) 1
ln 2 x−(ln x−1)2ln x· 1
x f 00 = x = ln 4 x 2 nulový bod v bodě x = e .
interval (0, 1) (1, e2 ) (e2 , ∞)
1 ln x(2−ln x) x 4
ln x
znaménko ln x − + +
,
znaménko 2 − ln x + + −
Určili jsme znaménka výrazů, odtud pak intervaly konvexnosti a konkávnosti.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
Řešení: Df = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞) 1
ln 2 x−(ln x−1)2ln x· 1
x f 00 = x = ln 4 x 2 nulový bod v bodě x = e .
b
|
0
1 ln x(2−ln x) x 4
ln x
,
b
1
e2
V bodě x = e2 dochází ke změně z konvexní na konkávní, druhá derivace v něm existuje a je v rovna nule, tudíž je to inflexní bod, 2 f (e2 ) = e2 c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
Řešení: Df = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞) Zjistíme, jakhse fichová pro x → 0+ : 0 =0 lim lnxx = −∞ x→0+
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
Řešení: Df = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞) Zjistíme, jakhse fichová pro x → 1− : 0 =0 lim lnxx = −∞ x→0+ lim lnxx = 01− = −∞ x→1−
Výraz se chová jako levá část funkce porných hodnot, tedy zleva.
c ÚM FSI VUT v Brně
1 x,
jmenovatel jde k 0 ze zá-
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
Řešení: Df = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞) Zjistíme, jakhse fichová pro x → 1+ : 0 =0 lim lnxx = −∞ x→0+ lim lnxx = 01− = −∞ x→1− lim lnxx = 01+ = +∞ x→1+
Výraz se chová jako pravá část funkce x1 , jmenovatel jde k 0 z kladných hodnot, tedy zprava.
c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
Řešení: Df = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞) Tímto jsme našli asymptotu bez směrnice, je to přímka x = 1. Nyní asymptoty seh směrnicí: i 0 =0 lim lnxx = −∞ x→0+ lim lnxx = 01− = −∞ x→1− lim lnxx = 01+ = +∞ + x→1 1 lim lnxx = ∞ ∞ = lim 1/x = lim x = ∞ x→∞
x→∞
x→∞
Použili jsme l’Hospitalovo pravidlo. Asymptota se směrnicí neexistuje. Navíc nelze zkoumat směr x → −∞ vzhledem k definičnímu oboru. c ÚM FSI VUT v Brně
Průběh funkce
Příklad 3. f (x) =
x ln x
y e2 2
e
c ÚM FSI VUT v Brně
0
1
e
0
1
e
e2
x
e2
Průběh funkce
