Vlny v plazmatu lineární × nelineární Lineární vlny - malá porucha určitého v čase i prostoru pomalu proměnného stavu Lineární rozvoj veličin
a = a0 + a1 (r , t )
b = b0 + b1 (r , t ) a0, b0 mohou obecně být funkcemi r , t 2 2 a , a ⋅ b , b Součiny 1 1 1 1 zanedbáme (malé 2.řádu)
a1 = ∫ ak exp(ikr ) dk V neohraničeném prostředí Poruchy se vyvíjejí nezávisle na sobě, stačí zkoumat vývoj periodické poruchy.
PV 1
Často nás budou zajímat vlastní módy, tj. řešení ve tvaru
{
(
)}
a = Re a1 ⋅ exp ⎡i kr − ωt ⎤ ⎣ ⎦
Vlastní módy jsou jednou z charakteristik prostředí. Budeme hledat disperzní vztah ω = ω ( k ) Způsob popisu • Dvoukapalinová hydrodynamika - jednoduchý, ale v některých případech neúplný popis prostředí • Vlasovova rovnice Rozdělení vln • Podélné vlny x příčné vlny • Vysokofrekvenční (elektronové) vlny x nízkofrekvenční • Plazma bez stacionárního B x plazma v magnetickém poli
PV 2
Plazmové vlny podélné vlny - rychlost u k vysokofrekvenční (v 1. přiblížení mi → ∞ ) Uvažujeme malé odchylky od homogenního stacionárního stavu
ne = n0 + n1 ( r , t )
ue = u0 + u1 ( r , t )
Rovnice kontinuity =0 ∂ne + div ( neue ) = 0 ∂t ∂n0 0. řád ∂t + div ( n0u0 ) = 0 ⎛ ⎞ ∂n1 + div ⎜ n1 u0 + n0u1 ⎟ = 0 ⎜ ⎟ 1. řád ∂t ⎝ 0 ⎠ ∂n1 + n0 div u1 = 0 ⇒ ∂t
n0 = Zni
n0 = const.
zanedbáme n1u1
= 2. řád
PV 3
E = 0 + E1 ( r , t ) Změny hustoty elektronů –> q q div E = e ( ne − Zni ) div E1 = e n1 ε0 ε0 Pohybová rovnice ∂ue qe ∇pe + ( ue ∇ ) ue = E− −ν ei ( ue − ui ) ∂t me me ne qe ∂u1 ∇p1 E1 − + ν ei ⋅ u1 = ( ∇p0 = 0 ) me me n0 ∂t
Budeme předpokládat řešení tvaru e
(
a ( r , t ) = Re A e
(
i kr −ωt
)
)
(
i kr −ωt
)
( k reálné)
∗ ∗ − i ( kr −ω t ) ⎞ ⎛ = Re ⎜ A e ⎟ ⎝ ⎠
1 i ( kr −ωt ) a = ( Ae + c.c.) 2
Velká písmena – komplexní amplitudy PV 4
Studené plazma bez srážek (vypadnou poslední členy na obou stranách pohyb.rce)
∂n1 + n0 div u1 = 0 ∂t
div E1 = −
e
ε0
−i ω N1 + n0i kU = 0
n1
ikE +
∂u1 e = − E1 ∂t me
ε0
N1 = 0
e E =0 −i ω U + me
u, E k ∂ 2 n1 e 2 n0 + n1 = 0 2 ∂t ε 0 me
e
2 e n0 2 ω pe = ε 0 me
U =
ω N1 ⋅
k n0
ie E = N1 ε 0k
Oprava na ionty 2 ω p2 = ω pe + ω pi2
Ze 2 n0 ω = ε 0 mi 2 pi
PV 5
Reakce na vysokofrekvenční pole E1 (může být vnější nebo vnitřní) ⎛ ⎞ 2 ie n0 ⎜ ⎟ je = −e n0u1 + n1u0 = E ⎜⎜ ⎟⎟ meω 1 0 ⎠ ⎝
σE
∂ρ ∂ + div j = 0 div ε 0 E = − div j ε 0 div E = ρ ∂t ∂t ⎛ ij⎞ −i ω div ⎜ ε 0 E + ⎟ = 0 frekvence ω ω⎠ ⎝ ⎛ iσ E ⎞ div ε 0 ⎜1 + ⎟E = 0 vlastní vlny náboje ⎝ ωε 0 ⎠
( )
2 ω e n0 p εr = 1− = 1 − ω2 ε 0meω 2
2
εE =0
E ≠ 0 ⇒ εr = 0
a tedy disperzní vztah ω = ωp nezávisí na k ⇒ plazmové oscilace PV 6
Vliv srážek
∂u1 ∂ n1 ∂n1 e 2 ν ω +ν ei ⋅ u1 = − E1 + ⋅ + ei p n1 = 0 2 me ∂t ∂t ∂t ν 2 − t ν ν − iω t 2 ei ei − iωt ω 2 ± ωp − n1 = n10e e tlumené osc. řešení ∼ e 1,2 = −i 2
ei
p
2
Vliv tlaku při T
=0
4
dω vg = =0 dk
prostorový tvar poruchy se zachovává, zvolíme k = k xˆ ⇒ u1 = u1 xˆ ∂u1 e 1 ∂ adiabatický děj, ω > νei ⇒ srážky nestačí P1xj = − E1 − izotropizovat rozdělovací funkci m m n ∂r ∂t e
e 0
j
∂ P1xx ∂x
PV 7
Neporušený tlak p0 = n0 k BT0 (skalár, T0 elektronová teplota) Porucha tlaku napříč vlnovému vektoru je dáno pouze změnou hustoty
P1 yy = P1zz = n1k BT0
(T1⊥ = 0 )
V podélném směru práce tlaku se musí změnit v tepelnou energii
1 dn n0 V0 k B dT = − p0 dV = p0 V0 d n → n1 , dT → T1 2 n0 dU 2 p0 2k BT0 ⇒ k BT1 = 2 n1 = n1 P1xx = n1k BT0 + n0 k BT1 = 3k BT0 n1 n0 n0 V podélném směru se elektrony chovají jako částice s 1 stupněm volnosti (γ=3) 2 2 2 ∂ n 3 k T ∂ n e n0 ∂ e 3k BT ∂n1 B 0 1 1 ⇒ 2 − + n1 = 0 u1 = − E1 − 2 ∂t me ∂x ε 0 me ∂t me me n0 ∂x 2 2 2 2 2 ω = ω + 3 k v v ( Te = kBTe / me ) Plazmová vlna se šíří p Te
PV 8
Disperzní vztah ω 2 = ω p2 + 3k 2 vTe2
vϕ =
ω
2 = 3vTe +
ω p2
k k2 2 dω 3kvTe vg = = 2 dk ω p2 + 3k 2 vTe 2 3vTe vg = vϕ
prostředí s časovou a prostorovou disperzí
ε r(l ) (
2 ω p2 3k 2 vTe ω, k = 1 − 2 − ω ω2
)
PV 9
Popis pomocí Vlasovovy rovnice
∂f e ∂f e ∂f e +v − eE =0 ∂t ∂r ∂p
řešení f 0 ( p ) , E0 = 0
ˆ Poruchy f1 ( r , p ), E1 , k = xk Řešení tvaru exp(ikx-iωt)
eE1 ∂f 0 = f1 i ω − kv x ∂px div E1 = −
e
ε0
n1 = −
e
ε0
∫
∂f 0 ∂f1 ∂f1 + vx − eE1 =0 ∂t ∂x ∂px
porucha nemusí být malá pro v x = vϕ = ω / k ⇒ rezonanční elektrony
f1dp
⎛ ⎞ ∂f 0 e2 1 ik ε 0 ⎜ 1 + dp ⎟ E1 = 0 ∫ ⎝ ε 0 k ω − kv x ∂px ⎠
εr
ikE1 = −
e
ε0
∫i
eE1 ∂f 0 dp ω − k v x ∂p x
ω p2 g ( px ) dp x εr =1− 2 ∫ 2 ω 1 − kv ω
(
x
)
−1 g ( p ) = n 0 ∫ f 0 ( p )dp y dp z x kde PV 10
Při
vϕ =
ω k
vTe
použijeme Taylorův rozvoj, rezonanční elektrony zanedbáme
(při vϕ > c nejsou vůbec žádné rezonanční elektrony)
ω p2 3k 2 v2x ⎞ 2 k v ⎛ ε r ≅ 1 − 2 ∫ g ( px ) ⎜1 + + v x = ux = 0 2 ⎟ dp x předp. ω ω ⎠ ω ⎝ 2 2 ω ω p2 3k 2 vTe p 2 2 2 2 1 ε = − − ω ≅ ω + 3 k vTe r Pak ⇒ 2 2 2 p ω ω ω x
Při vϕ < c ? co s pólem v integrálu – odpověď musíme hledat řešením počáteční úlohy, tj. porucha je zadána na počátku v čase t0 a sledujeme, jak se vyvíjí Pro řešení počáteční úlohy musíme použít Laplaceovu transformaci ∞
Laplaceův obraz je definován integrálem
A(ω ) = ∫ a(t ) eiωt dt t0
pro ω s dostatečně
velkou kladnou imaginární částí (pro a(t) omezené je to pro Im(ω) > 0) Pro ostatní ω získáme Laplaceův obraz analytickým prodloužením funkce PV 11
εr =1+
meω p2 k
1 dg ∫ ω − kv x dpx dpx
Pro Im(ω) > 0 leží integrační cesta pod pólem, při analytickém prodloužení musí cesta zůstat nadále pod pólem (musíme pól obejít zespodu !)
Z reziduové věty víme že integrál přes polokružnici dá Pro ω/k << c je
i×π×reziduum
me me me ⎛ meω ⎞ 1 1 P δ ⎜ px − =− =− − iπ ⎟ k p − meω k p − meω k ⎝ k ⎠ ω − kv x x x k k
Zde P označuje integrál ve smyslu hlavní hodnoty
PV 12
Pro ω reálné je
2 m 2 e dg Im ε r (ω , k ) = −π ω p 2 k dp x
mω px = e k
Im(εr) < 0 Im(εr) > 0 Hledáme komplexní ω =ωR+i ωI takové, že εr(ω,k) = 0 Slabě tlumené (pomalu rostoucí) vlny |ωI| << ωR PV 13
d Re ε r (ω R ) ε r (ωR + iωI ) = Re ε r (ωR ) + i Im ε r (ωR ) + iωI =0 dω R 2 ω p2 3k 2 vTe je Re ε r (ω R ) = 1 − ω 2 − ω 2 = 0 Pro ωR/k >> vTe R R a tedy
ω = ω + 3k v 2 R
2 p
2
2 Te
imaginární část frekvence je
2 m Im ε r (ωR ) 2 e ωR dg = π ωp ωI = − d Re ε r (ωR ) 2k 2 dpx d ωR
Vývoj je exp(-iωRt)exp(ωIt) Pro Maxwellovo rozdělení je
mω px = e R k
- rychlost Landauova útlumu je γL=-ωI
ωI = −
2 2 π ω pω R 3 8 k 3 vTe
⎛ ωR2 ⎞ exp ⎜ − 2 2 ⎟ ⎝ 2 k vTe ⎠ PV 14
Energie plazmové vlny ∂E 1 ∂ 2 ε 0 E = − jE −ε 0 = j ⇒ 2 ∂t ∂t
1 E = E e−iωRt + E * eiωRt 2
(
2π
E je komplexní amplituda, R značí reálnou část, středuji přes čas ε0 d
2 1 E = − ( Re σ (ω ) ) E 4 dt 2
ε0 d
2
1 d Im σ E − 4 dt 4 dω 2
ωR
d Im σ Re σ (ω ) = Re σ (ωR ) − ωI dω
2 2 d 1 E = − Re σ (ω R ) E dt 2
iσ ε = 1 + Vodivost σ a permitivita εr souvisí r ωε
obecný vztah
0
)
ωR
ωR
dE užito d t = ω I E
→ označme ε R = Re(ε r )
2⎤ 2 d ⎡1 d 1 (ωε 0ε R ) E ⎥ = − Re σ (ωR ) E ⎢ d t ⎢⎣ 4 d ω 2 ⎥⎦ ωR W = hustota energie tot
(plazmová vlna d (ωε 0ε R ) = 2ε 0 ) dω PV 15
Lineární × Nelineární Landaův útlum v soustavě spojené s vlnou je ωR=0 eE
U p = −eϕ = − cos kx E1 = E sin kx a k a pohybová rovnice elektronu je
me x = −eE sin kx elektron osciluje v potenciální jámě s frekvencí 1/ 2
⎛eEk ⎞ ωb = ⎜ ⎟ ⎝ me ⎠
(bouncing frequency)
ωb−1 pohyb není ovlivněn polem a Landaův útlum je lineární v čase t = π / ωb začínají elektrony vracet energii vlně pro γ L = −ωI > ωb
pro časy t
zachycené elektrony vϕ − vt < v < vϕ + vt
me vt2 / 2 = 2 eϕ m 1/ 2
⎛ eE ⎞ vt = 2 ⎜ ⎟ m k ⎝ e ⎠
PV 16
BGK módy (Bernstein, Green, Kruskal) Vychází z nehomogenní rovnováhy – přesné nelineární řešení Stacionární Vlasovova rovnice pro částice s má řešení ⎛ p2 ⎞ ∂f ∂f + qs E =0 vx f = f⎜ + qsϕ ( x) ⎟ = f (U ) ∂x ∂p ⎝ 2ms ⎠ Nejjednodušší řešení pro chladné nezachycené svazky
ne (x)ve ( x) = n0 ve0
n0 ni (x)vi ( x) = vi 0 Z
v e ( x) = v e20 + 2eϕ ( x) / me
Rovnice kontinuity pro e,i a pohyb částic v potenciálním poli (vi obdobně) Hustoty nábojů částic dosadíme do Poissonovy rovnice vi 0 ⎞ e n0 ⎧⎪⎛ d ϕ e n0 ⎛ v e 0 2eϕ 1 = − = + ⎜ ⎨ ⎜ ⎟ d x2 ε 0 ⎝ v e ( x) vi ( x) ⎠ ε 0 ⎪⎜⎝ me v 2e 0 ⎩ 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
−1/ 2
⎛ 2 Zeϕ − ⎜1 − ⎜ M i v2 i0 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
−1/ 2
⎫ ⎪ ⎬ ⎭⎪
Rovnice obdobná jako pro pohyb v potenciálním poli – potenciál V(ϕ) ⎛ n0 ⎧⎪ 2eϕ d ϕ ∂ 2 = − + ϕ V ( ) m v 1 ⎜ =− V (ϕ ) ⎨ e e0 ⎜ 2 2 kde ε m v dx ∂ϕ e 0 ⎪ e0 ⎝ ⎩ 2
1/ 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
M i vi0 ⎛ 2 Zeϕ + ⎜1 − Z ⎜⎝ M i v 2i 0 2
1/ 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎫ ⎪ ⎬ ⎭⎪ PV 17
Pro malá ϕ
eϕ ( x)
d 2 ϕ 2n0 e 2 ϕ =0 + 2 ε0K dx
2 M v K = me ve20 = i i 0 Z
(poslední = pro snazší řešení)
ϕ ( x) = ϕ0 sin
řešení
(
2 x / λe
)
kde λe = v e 0 / ω pe
periodický potenciál elektrony jej vidi obráceně K libovolnému potenciálu lze sestrojit takové stacionární rozdělení iontů a elektronů, že vyvolá příslušný potenciál
Case-van Kampenovy módy Hledá se f1 pro zadané ω, k f1 = f1 exp ( ikx − iωt ) obsahují δ funkce - nefyzikální Existují kombinace CvK módů, které singularity nemají
PV 18
Vysokofrekvenční elektrostatické vlny v plazmatu se stacionárním magnetickým polem B0 k B0
magnetické pole vlny neovlivní ⇒ plazmové vlny
k ⊥ B0 kromě elektrostatické síly elektrony vrací navíc i magnetické pole –
cyklotronová frekvence ωc při T=0
ω 2 = ω p2 + ω c2 ≡ ω h2
horní hybridní frekvence
horní hybridní vlny – plazmové vlny ve směru kolmém na B0 v teplém plazmatu se šíří v důsledku termokinetického tlaku (obdobně jako plazmové vlny) navíc existují vlastní lineární módy Vlasovovy rovnice, které nemají hydrodynamický ekvivalent – Bernsteinovy módy PV 19
Svazkové nestability (Dvousvazková nestabilita)
Mnoho situací – pohyb elektronů proti iontům či pohyb skupin elektronů Nejjednodušší situace (zvláště z hlediska analytického řešení) – 2 svazky elektronů proti sobě – ionty nehybné ui=0 nA0= nB0= n0/2, Zni = n0 vTe << v0 E0=0 ∂nα ∂ ∂uα e eE + (uα ∇uα ) = − div E = − ( n A + nB − n0 ) + ( nα uα ) = 0 me ∂t ε0 ∂ t ∂x hledáme vývoj lineární poruchy nα1, uα1, E1 ~ exp(ikx-iωt) −iω n A1 + ik ( n0 u A1 / 2 − v 0 n A1 ) = 0 − iω nB1 + ik ( n0 u B1 / 2 + v 0 nB1 ) = 0 eE1 eE1 e −iω u A1 − ikv 0 u A1 = − − iω u B1 + ikv 0 u B1 = − ikE1 = − ( n A1 + nB1 ) ε0 me me z pohybových rovnic vyjádříme amplitudy rychlostí a dosadíme do rovnic kontinuity PV 20
nA1 = k
n0 eE1 (−i ) 2 2 me (ω + kv0 )
nB1 = k
n0 eE1 (−i ) 2 2 me (ω − kv0 )
a dosadíme do
⎞ e 2 n0 ⎛ 1 1 + ikE1 = ik ⎜ ⎟ E1 2 2 ⎜ Poissonovy rovnice 2ε 0 me ⎝ (ω + kv 0 ) (ω − kv 0 ) ⎟⎠ a odtud
získáme disperzní vztah
1=
ω p2 ⎛
1
⎜ 2 ⎜⎝ (ω + kv 0 )2
⎞ + ⎟ 2 (ω − kv0 ) ⎟⎠ 1
a upravíme
ω 4 + (2 k 2 v 02 + ω p2 ) ω 2 + k 2 v 02 ( k 2 v 02 − ω p2 ) = 0
, charakter řešení 2 2 ω > 0, ω závisí na znaménku absolutního členu, pokud > 0, 1 2 > 0 a systém 2 2 2 2 2 k v < ω ω > 0, ω p , pak 0 je stabilní, pokud 1 2 < 0 a existuje kořen s kladnou imaginární frekvencí – řešení roste v čase – nestabilita 2 ω1,2
ω p2 ⎛
2 2 ⎞ k v = k 2 v 02 + ⎜1 ± 1 + 8 2 0 ⎟ ω p ⎟⎠ , pro 2 ⎜⎝
k 2 v02 < ω p2 je ω3,4 = ±i −ω22 a rostoucí
2 ω = i − ω 2 je rostoucí exp(-iω3t) = exp (γt) řešení 3 PV 21
2 2 k pro v0
ω p2 je ω3 = iγ = i k v0
nejrychleji – v maximu
chceme najít mód (k), který roste
d(−ω22 ) =0 2 2 d( k v 0 )
ωp 3 2 k v = ωp ; γ = ⇒ 8 8 2 2 0
čili nejrychleji rychlejší mód roste jen o trochu pomaleji než je ωp Jak vypadají rostoucí módy ? Pro malé k pro narůstající mód ω = i k v0 se poruchy hustot svazku A,B téměř vyruší (horní obrázek – v0=2) Pole E1 vytvářeno jen malou sumou hustot řádu ~k2v02/ωp2 narůstající pole exp(ikx+kv0t) Nejrychleji rostoucí mód (dolní obr.) Je vidět nenulovou sumu poruch hustot svazků A,B Zde zvláštní případ zesilující statické poruchy (dáno symetrií úlohy) PV 22
Jiný případ – pohyb elektronů vůči iontům rychlost v0 zavedu x=ω/ωp a y=kv0/ωp Disperzní vztah
me / M i 1 1= + = F ( x, y ) 2 2 x ( x − y)
pro y> hranice má disperzní vztah 4 reálné kořeny - je stabilní pro y < hranice má rovnice jen 2 reálné kořeny – nestabilita
2
⎛ M i ⎞ ⎛ me ⎞ y = ⎜⎜1 + 3 ⎟⎟ ⎜ ⎟ hranice stability m M e ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝
2/3
2
⎛ me ⎞ ⎜⎜1 + 3 ⎟⎟ ≈ 1 (tedy kv ≈ω ) 0 p Mi ⎠ ⎝
1/ 3
maximální růst
⎛ me ⎞ ⎟ M ⎝ i⎠
γ max = ω p ⎜
PV 23
