Vlnová teorie Ing. Bc. Michal Malík, Ing. Bc. Jiří Primas
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR
Vlnová teorie Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Helmholtzova rovnice • • •
Využívá se ve fyzice při řešení úloh s parciálními diferenciálními rovnicemi pro prostor i čas. Helmholzova rovnice je časově nezávislou podobou původně řešené rovnice. Je získána pomocí metody separace proměnných využívané ke zjednodušení problému.
U k U 0 , k 0 nk0 2
–
2
1 2
kde skalární funkce U U r představuje některou ze šesti složek vektorů E a H a kde k 0 . c0
Vlnová teorie Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Monochromatické elektromagnetické vlny •
•
Je-li elektromagnetická vlna vlnou monochromatickou, jsou všechny složky elektrického a magnetického pole harmonickými funkcemi času se stejnou frekvencí. Tyto složky lze vyjádřit pomocí komplexních amplitud:
E r , t Re E r .e jt H r , t Re H r .e jt
– kde E r a H r jsou komplexní amplitudy elektrického a magnetického pole a je úhlová frekvence
Vlnová teorie Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Odvození vztahu pro optickou intenzitu I. 2 r , t I r , t 2 u • Intenzita bývá definována jako: – Středujeme-li kvadrát rovnice vlny přes čas delší než je perioda vlny, ale kratší než je délka pozorovaného jevu, získáme optickou intenzitu.
•
Vyjdeme z rovnice monochromatické vlny:
•
Operace středování, kterou se chystáme použít funguje následovně: T 1 u u dt 2T T
•
Po dosazení můžeme napsat: 2 I r , t 2 u 2 r , t 2T
u r , t a r cos2t r
T
2 2 dt a r cos 2 t r
T
– využijeme jednoduchého vzorce pro práci s goniometrickými funkcemi:
cos2 x
cos 2 x 1 2
Vlnová teorie Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Odvození vztahu pro optickou intenzitu II. •
Po dosazení do integrálu se konečně dostáváme k výpočtu: T
1 2 dt a r 1 cos 4 t 2 r 2 u 2 r , t 2T T T T 1 2 2 a r dt a r cos4t 2 r dt 2T T T 1 2 T 1 a r t T 2T 2T
T
a r cos 4t 2 r dt 2
T
1 2 1 a r T T 2T 2T
1 a 2 r 2T
T
T
2 dt a r cos 4 t 2 r
T
2 dt a r cos 4 t 2 r
T
Vlnová teorie Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Odvození vztahu pro optickou intenzitu III. •
Podíváme-li na graf funkce kosinus, lze úlohu vyřešit úvahou:
r 0
r 0 • • •
Zvolení hodnot integračních mezí závisí zcela na nás, pokud dodržíme podmínku, že to bude čas delší než je perioda vlny ale kratší než je délka pozorovaného jevu. Funkce kosinus je sudá (symetrická podle osy y). Integrál takové funkce je roven 0 pokud si integrační meze T a -T zvolíme takto:
T k . ,
kde k je celé číslo
Vlnová teorie Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Odvození vztahu pro optickou intenzitu IV. •
Pokud tedy uvažujeme T jako celočíselný násobek čísla π, celý integrál bude roven nule:
2 2 2 I r , t 2 u r , t a r U r •
Můžeme tedy říci, že optická intenzita monochromatické vlny je čtverec modulu její komplexní amplitudy a také, že intenzita monochromatické vlny se nemění s časem.
Vlnová teorie Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Elementární elektromagnetické vlny – transverzální •
Jedná se o monochromatickou elektromagnetickou vlnu, jejíž složky elektrického a magnetického pole jsou rovinné vlny:
E r E0 .e jkt
H r H 0 .e jkt
Vlnová teorie Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Elementární elektromagnetické vlny – sférické A • Sférická vlna je definovaná takto: U r e jkr r 2 je vlnové číslo. c c • Komplexní amplituda sférické vlny vznikající v bodě r0 je: – kde r je vzdálenost od počátku a k
U r
a r r0
•
Její vlnoplochy jsou sféry se středem v r0.
•
Vlna s takto definovanou komplexní amplitudou je sférická vlna postupující dovnitř (ve směru k počátku), na rozdíl od vlny šířící se ven (ve směru od počátku).
A jkr U r e r
