Odpružená sedačka
Petr Školník, Michal Menkina
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR
Odpružená sedačka Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Cíl cvičení: Cílem tohoto cvičení by mělo být oprášení znalostí z předmětu Základy Spojitého Řízení. Měla by se osvěžit znalost tvorby simulačních modelů z dané diferenciální rovnice, která je odvozena na základě fyzikálních principů dané situace. Dále by mělo být osvěženo využití prostředí Matlab/Simulink Simulink k výpočtu vytvořeného simulačního modelu.
Příklad 1: F
y(t) m
g k
g=10 m/s m=20 kg F=800 N k=4000 N/m c=100 N·s/m c
Úkolem je vytvořit simulační model a provézt simulaci systému, který je dán odpruženou sedačkou. Úlohu je možné si představit jako hmotu, která reprezentuje samotnou sedačku, která je pak pomocí pružiny s tuhostí k [N/m] a tlumiče s tlumením c [N·s/m] pružně spojena s pevným rámem. Jako buzení budeme uvažovat vnější sílu F [N], která je vyvolána usednutím řidiče na sedačku. Výsledkem by měl být průběh polohy sedačky v čase y(t) [m] v závislosti na působící síle a parametrech prvků sedačky.
Odpružená sedačka Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Řešení: Pro vytvoření simulačního modelu je nutno nejprve vytvořit diferenciální pohybovou rovnici daného problému. Použijeme tedy princip uvolňování tělesa, kde provedeme odstranění jednotlivých částí (pružina, tlumič) a nahradíme je silami kterými působí na těleso. Působící síly: • gravitační síla působící na sedačku směrem dolů • síla stlačené pružiny působící na sedačku proti směru výchylky • síla tlumiče působící proti směru okamžité rychlosti • hmotnost řidiče přepočtená na gravitační sílu Síla vzniklá součtem těchto sil se nazývá d’Alambertova a způsobuje zrychlení sedačky y(t) Výsledná pohybová rovnice pak vypadá následovně:
m y(t) k y(t) c y(t) m g F(t)
Odpružená sedačka Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Řešení: Jak je vidět jde o lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty a jak je známo pro vytvoření simulačního schématu můžeme použít dvě metody a to: a) Metodu snižování řádu derivace b) Metodu postupné integrace Metoda snižování řádu derivace: Metoda snižování řádu derivace spočívá vtom, vyjádřit si na jednu stranu rovnice nejvyšší řád derivace a ve schématu pak vyjádřit takto daný součet nižších řádů derivací.
k c F(t) y(t) y(t) y(t) g m m m
Odpružená sedačka Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Metoda postupné integrace: Metoda postupné integrace spočívá vtom, vyjádřit si na jednu stranu rovnice nejvyšší řád derivace a postupně rovnici integrovat až zmizí všechny derivace.
c k y(t) m y( )d m y( )d mF u( )d g u( )d
Odpružená sedačka Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Ověření výsledků: Sílu F(t) je třeba volit tak, aby se její účinek projevil až po nějaké době a sedačka měla dostatek času k ustálení počátečního poklesu. Ten je způsoben vlivem vlastní vahou sedačky. Je možné simulovat zatížení a odlehčení sedačky. Pro kontrolu výsledku je možné si spočítat ustálené hodnoty výchylky sedačky s řidičem a bez řidiče. 0.1 0.05
S řidičem
0
F() m g y() k •
Bez řidiče
y()
m g k
-0.05 F[10.kN];y[m]
•
-0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.3 -0.35 -0.4
0
5
10 t[s]
15
Odpružená sedačka Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 2: Matematicko-fyzikální analýzou se nám podařilo vyřešit příklad 1 a provést několik simulací. Ovšem nastává zde problém v popisu řidiče, který byl v prvním příkladě nahrazen pouze silou, která aproximovala gravitační sílu, jenž je způsobena jeho vahou. Je třeba si uvědomit, že usednutím řidiče na sedačku dojde ke zvětšení její hmotnosti, respektive řidič se stane součástí sedačky a působí i na něj reakce pružiny a tlumiče. Právě změnou hmotnosti sedačky pak dojde ke značné změně dynamických vlastností, kterou si ukážeme v tomto příkladě. Řešení: Předešlí příklad tedy můžeme modifikovat, tak že v první řadě vypustíme gravitační sílu vyvolanou hmotností řidiče. V druhé řadě pak připustíme že hmotnost, která je k podložce přichycena pružinou a tlumičem, nebude konstantní, ale bude funkcí času. Pohybovou rovnici pak můžeme modifikovat do následujícího tvaru:
m(t) y(t) k y(t) c y(t) m(t) g
Odpružená sedačka Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Řešení: Jak je vidět, tak vstupem do rovnice je časově proměnná hmotnost, která je dána hmotností sedačky a řidiče, jenž na ní usedá. Tedy rovnice přestává být lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a tudíž její analytické řešení by už bylo o poznání komplikovanější. Při vytváření schémata v Simulinku, pak můžeme například použít blok „PRODUCT“ k násobení dvou signálů, z nichž jeden je dán funkcí hmotnosti.
Odpružená sedačka Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Řešení: Jak je vidět na porovnání simulačních výsledků pro oba případy, tak při zatížení sedačky se dynamika výchylky podstatně změní. Co by se, ale měnit nemělo je dynamika při odlehčení sedačky a ustálená hodnota výchylky. 0.2
0.1
m[1000*kg];y[m]
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
0
2
4
6
8
10 t[s]
12
14
16
18
20
Odpružená sedačka Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 3: Mějme zadavatele, který pro maximální pohodlnost svých výrobků požaduje zadaný průběh výchylky po dosednutí řidiče. Tedy sedačka musí po určité době poklesnout do dvojnásobku ustálené výchylky a následně za stejnou dobu se vrátit do ustálené výchylky a to pokud možno bez překmitů. Hodnoty požadovaného průběhu výchylky jsou uvedeny na obrázku.
Odpružená sedačka Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření 2
Řešení:
1+exp(-t) 1-exp(-t)
1.8
y
Hodnotu požadované výchylky lze dosáhnout vhodnou volbou pružiny, potom tedy velikost a počet kmitů sedačky je nutno nastavit parametry tlumiče.
To je právě kámen úrazu. Jestliže máme lineární diferenciální rovnici druhého řádu, pak právě nastavením tlumení můžeme mít dva komplexně sdružené kořeny charakteristické rovnice, které ovlivňují tlumené kmitání systému. To je v pořádku, ale problém je, že vrcholy těchto překmitů jsou obaleny křivkou K(1+e-1/T) a nelze tedy najít takové tlumení, aby bylo dosaženo tak velkého překmitu, natož aby tento překmit byl právě jeden.
10i
1.6 1.4
10.5i 11i
1.2
15i
12i 120i
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
1
2
3
4
5 t[s]
6
7
8
9
Zadání proto nelze splnit při zachování stávající struktury odpružení. K řešení by mohlo vézt použití nelineárních prvků nebo kombinace většího množství sérioparalelně zapojených prvků.
10
