TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

STAVOVÝ POPIS DYNAMICKÉHO SYSTÉMU Michal Menkina

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR

STAVOVÝ POPIS DYNAMICKÉHO SYSTÉMU Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření

POPIS DYNAMICKÉHO SYSTÉMU Popis obyčejnými diferenciálními rovnicemi • vnější popis – definuje závislost y (výstupu) na u (vstupu) v podobě obyčejné diferenciální rovnice vyššího řádu • vnitřní popis – popisuje dynamiku změn stavových proměnných v podobě soustavy obyčejných diferenciálních rovnic 1. řád


x  ( x1 , x2 , x3 , x4 ,, xn ),

u  (u1 , u2 ,, um ),

x  vektor stavových veličin

u  vektor buzení

u1

u

 um

 x1  x3

x  x2  xn

 x4

y1



y

yk

y  ( y1 , y2 ,  , yk ), y  vektor výstupů


STAVOVÝ POPIS DYNAMICKÉHO SYSTÉMU Stavová rovnice

t

x (t )  f (x(t ), u(t ))  x(t )   f (x( ), u( ))d  x(t0 ) f  ( f1 , f 2 , , f n )

t0

f - vektor funkčních hodnot nultých derivací x, u Výstupní rovnice

y(t )  g(x(t ), u(t )) g  ( g1 , g 2 , , g k )), g - vektor funkčních hodnot nultých derivací x,u


Simultální integrace

u

f1

1 s

f2

1 s





fn

1 s

fa f  ( f1, f2 ,, fn )), f  vektor funkčních hodnot nultých derivací x,u

x1 x2

xn

a


Stavová rovnice pro lineární časově invariantní spojitý systém

x(t )   n , u(t )   m , y (t )   k

x (t )  Ax(t )  Bu(t ) y(t )  Cx(t )  Du(t )

A   nn - matice soustavy B   nm - matice buzení C   k n - matice výstupu D   k m - matice převodu

D u(t )

B

 

x (t )

 dt A

x(t )

C

 

y (t )


Transformace vnějšího popisu na stavový(vnitřní) Vyjádření stavovým popisem je nejednoznačné, tj. je nekonečně mnoho možných vyjádření. Kanonické tvary stavového vyjádření (FROBENIOVY FORMY) I. Normální forma řiditelnosti NFŘ

an y ( n )    a1 y '  a0 y  bn u ( n )    b1u '  b0 u pro an  1

C  b0  bn a0

 0  0  A    0   a0 b1  bn a1

1 0

0 1

 0  a1

 0  a2

0  0       1    an 1   

b2  bn a2  bn 1  bn an 1 

0  0    B      0   1  D  bn 


NFŘ vede na simulační schéma metody snižování řádu derivace

u(t )

  bn 1



bn  0

v(n) xn



v(n1) xn an1

bn  2



v(n2) xn1 an2

b0 v

 

x1 a0

y (t )


II. Normální forma pozorovatelnosti NFP

y ( n )    a1 y '  a 0 y  bn 1u ( n 1)    b1u '  b0 u   a n 1 a  n2 A     a1   a 0 C  1 0

1

0 

0  0 0

1  0 0

   

0 0    1 0 

 bn 1  b   n2  B     b  1   b0 

0 

0

D  0 


NFP vede na simulační schéma metody postupné integrace



u(t ) b1

b0

 a0

xn



xn

bn 1



xn1

xn1

 

 a1

x2

an 1





x1



x1



y (t )


III. Jordanův tvar

y ( n)    a1 y'  a0 y  bn1u ( n1)    b1u '  b0u Y ( s ) n i  , si - jsou různé jednonásobné kořeny F ( s)  U (s) i 1 s  si  s1 0 0 0 s 0 2  A   0 0 s3      0 0 0

 0 1 1  0    0  B  1       1  sn 

C  1 2 3  n  D   0


Simulační schéma Jordanova tvaru

x1



x1

1

x2

2

xn

n

s1

u(t )

x2

 s2

xn

  sn



y (t )


Souvislost mezi stavovým(vnitřním) a vnějším popisem dynamického systému

x (t )  Ax (t )  Bu (t ) y (t )  Cx (t )  Du (t )  s X ( s )  AX ( s )  BU ( s ) ( s I  A ) X ( s )  BU ( s ) X ( s )  ( s I  A ) 1 BU ( s ) Y ( s )  CX C ( s )  DU ( s ) Y ( s )  C ( s I  A ) 1 BU ( s )  DU ( s ) Y ( s )  (C ( s I  A ) 1 B  D ) U ( s ) adj ( s I  A ) Y (s) 1  C ( sI  A ) B  D  C F(s)  BD U (s) det( s I  A )


Přepočet počátečních podmínek y ( n )    a 1 y '  a 0 y  b n  1 u ( n  1 )    b1 u '  b 0 u



x  A x  B u y  Cx  Du

y (0 )  y 0 y ' (0 )  y 1



x (0 )

 y ( n  1 ) (0 )  y n  1 y (0 )  C x (0 )  D u (0 ) y ' (0 )  C A x (0 )  C B u (0 )  D u ' (0 ) y '' (0 )  C A 2 x (0 )  C A B u (0 )  C B u ' (0 )  D u '' (0 )  y ( n  1 ) (0 )  C A ( n  1 ) x (0 )  C A ( n  2 ) B u (0 )    C B u ( n  2 ) (0 )  D u ( n  1 ) (0 )  C   CA   x (0 )       ( n 1 )  C A 

1

y0   y1     ( n  1) (0 ) y

 D u (0 )



 C B u (0 )







 C A ( n  2 ) B u (0 )



  0      D u ( n  1) (0 )  0


Transformace stavového vyjádření x  Ax  B u y  Cx  D u

x  Tx , kde T musí být regulární x  T 1x

 T    B u A x  Ax  D u y  Cx  dosadíne za x  1x  B u T 1x  AT  1x  D u y  CT  1 x  TB u x  T AT  1x  D u y  CT   T 1 AT A B  T 1B   CT C  D D

Stavové vyjádření yj lineárního časově invariantního systému (A, B, C, D) má nekonečně mnoho ekvivalentních  1 ,TB , CT  1 ,D), kde T reprezentací (TAT j regulární je g matice definující j transformační matici stavu.

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Recommend Documents