TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı

´ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKA Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studi´ı

´ Í TRANSPORTNE-CHEMICK ˇ ´ MODELOVAN YCH ˚ PROCESU

Autorefer´ at dizertaˇ cn´ı pr´ ace

Liberec 2014

Ing. Luk´ aˇs Zedek

´ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKA Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborov´ ych studi´ı ´ Ustav mechatroniky a technické informatiky

Ing. Luk´ aˇs Zedek

Autorefer´ at dizertaˇ cn´ı pr´ ace

Studijn´ı program: Studijn´ı obor: ˇ Skolitel: N´ azev pr´ ace:

P3901 - Aplikované vˇedy v inˇzen´ yrstv´ı 3901V025 - Pˇr´ırodovˇedné inˇzen´ yrstv´ı ˇ doc. Ing. Jan Sembera, Ph.D. Modelov´ an´ı transportnˇe-chemick´ ych proces˚ u Modelling Reactive Transport Processes

Liberec, 2014

Technická univerzita v Liberci

Prohl´ aˇ sen´ı Byl jsem sezn´ amen s t´ım, ˇze na mou dizertaˇcn´ı práci se plnˇe vztahuje z´ akon ˇc. 121/2000 Sb., o pr´ avu autorském, zejména § 60 – ˇskoln´ı d´ılo. Beru na vˇedom´ı, ˇze Technick´ a univerzita v Liberci (TUL) nezasahuje do m´ ych autorsk´ ych pr´ av uˇzit´ım mé dizertaˇcn´ı práce pro vnitˇrn´ı potˇrebu TUL. Uˇziji-li dizertaˇcn´ı pr´ aci nebo poskytnu-li licenci k jej´ımu vyuˇzit´ı, jsem si vˇedom povinnosti informovat o této skuteˇcnosti TUL; v tomto pˇr´ıpadˇe m´ a TUL pr´ avo ode mne poˇzadovat u ´hradu náklad˚ u, které vynaloˇzila na vytvoˇren´ı d´ıla, aˇz do jejich skuteˇcné v´ yˇse. Dizertaˇcn´ı pr´ aci jsem vypracoval samostatnˇe s pouˇzit´ım uvedené literatury a na z´ akladˇe konzultac´ı s vedouc´ım mé dizertaˇcn´ı práce.

Datum:

Podpis:

2

Technick´ a univerzita v Liberci

Podˇ ekov´ an´ı Na tomto m´ıstˇe bych r´ ad podˇekoval lidem, kteˇr´ı mˇe nˇekter´ ym z n´ıˇze uveden´ ych zp˚ usob˚ u podpoˇrili pˇri pˇr´ıpravˇe dizertaˇcn´ı práce. ˇ Dˇekuji svému ˇskoliteli Doc. Ing. Janu Semberovi, Ph.D. za odborné rady, konzultace, které mi v pr˚ ubˇehu studia ochotnˇe poskytoval. Dˇekuji za finanˇcn´ı podporou prostˇrednictv´ım zamˇestnán´ı v rámci projekt˚ u Vlivy poˇcas´ı a zmˇen klimatu na ˇzivotn´ı prostˇred´ı a zemn´ı ” stavby-KLIPRO“ ˇc. 100113281 (program Ziel 3—C´ıl 3, vedouc´ı proˇ ˇ TA01021331 (vedouc´ı jektu Doc. Ing. Jan Sembera, Ph.D.), TACR projektu Doc. Ing. Jiˇrina Kr´ alovcov´ a, Ph.D.), ˇ 102/08/H081 (vedouc´ı projektu Prof. Ing. Aleˇs Richgrantu GACR ter, CSc.) a d´ıky u ´ˇcasti ve Studentské grantové soutˇeˇzi (2014) na MTI FM TUL. D´ ale dˇekuji mému otci za trpˇelivost, d˚ uvˇeru, podporu a v neposledn´ı ˇradˇe také za pravidelnˇe pˇripravované nedˇeln´ı obˇedy.

3


Abstrakt Dizertaˇcn´ı pr´ ace, jej´ıˇz autorefer´ at drˇz´ıte v rukou je vˇenována problematice poˇc´ıtaˇcové simulace vybran´ ych pˇr´ırodn´ıch jev˚ u a chemick´ ych reakc´ı, které ovliˇ nuj´ı ˇs´ıˇren´ı zneˇciˇstˇen´ı podzemn´ı vodou. V práci popisované poˇc´ıtaˇcové modely vyuˇz´ıvaj´ı inovativn´ı aplikace v jin´ ych oblastech zaveden´ ych postup˚ u a modelovac´ıch nástroj˚ u. Velká pozornost je v dizertaci vˇenov´ ana matematické formulaci popisu problému reakˇcn´ıho transportu kontaminace. V r´ amci práce je navrˇzen a byl provˇeˇren origin´ aln´ı popis problému reakˇcn´ıho transportu soustavou obyˇcejn´ ych diferenci´ aln´ıch rovnic. Navrˇzen´ y popis diferenciáln´ımi rovnicemi umoˇzn ˇuje zahrnout do modelu i rovnováˇzné chemické reakce, které jsou obvykle popisov´ any rovnicemi algebraick´ ymi. D´ıky zamˇeˇren´ı pr´ ace na matematick´ y popis simulovan´ ych u ´loh je moˇzné navrˇzené postupy analogicky aplikovat na modely dalˇs´ıch pˇr´ırodn´ıch a jin´ ych jev˚ u jako jsou napˇr´ıklad ˇs´ıˇren´ı tepla, mechanismus ztenˇcov´ an´ı ozonové vrstvy, zneˇciˇstˇen´ı vzduchu a mnoho dalˇs´ıch.

Kl´ıˇ cov´ a slova: reakˇcn´ı transport, poˇc´ıtaˇcová simulace, u ´loˇziˇstˇe jaderného odpadu, radioaktivn´ı rozpad, sorpce, omezená rozpustnost, matematick´ a formulace 4


Abstract My dissertation describes computer simulation of selected natural processes and reactive-transport problem which influence groundwater contaminant transport. Models described in my dissertation describe inovative application of approaches and simulation tools which are widely spread and often used in different simulation fields. Dissertation is strongly focused on mathematical formulation of reactive-transport problem description. In one part of the book we proposed and described tests of an original ordinary differential formulation of reactive transport problem. The proposed formulation enables to involve equlibrium reactions which are obviously described by algebraic equations. Thanks to a focus of dissertation on mathematical formulation of reactive transport problem, proposed approaches can be used analogicaly for simulation of similarly described natural and other processes such as heat transfer, ozone depletion chemical mechanism, air polution model and many others.

Keywords: reactive transport, computer simulation, radioactive waste disposal, radioactive decay, adsorption, limited solubility, mathematical formulation 5


Obsah Abstrakt

4

1 C´ıle dizertaˇ cn´ı pr´ ace

8

2 Shrnut´ı hlavn´ıch v´ ysledk˚ u pr´ ace 2.1 Reˇserˇsn´ı ˇc´ ast pr´ ace . . . . . . . . . . . . 2.2 Simulace radioaktivn´ıch rozpad˚ u . . . . 2.3 Model rovnov´ aˇzné sorpce . . . . . . . . 2.3.1 Pˇribliˇzné ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . 2.3.2 Srovn´ an´ı rychlosti model˚ u sorpce 2.4 Inovativn´ı popis chemick´ ych reakc´ı . . . 2.4.1 ODE popis rozpouˇstˇen´ı kalcitu . 2.5 Rozˇs´ıˇren´ı modelu reakc´ı o transport . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

9 9 10 12 14 15 16 17 19

3 Pˇ r´ınos pr´ ace

23

Reference

26

Publikace

27

Ovˇ eˇ ren´ a technologie

28

´ cast na projektech Uˇ

29

6


´ Uvod Pˇredstavovan´ a dizertaˇcn´ı pr´ ace pˇripraven´ a v rámci absolvován´ı studijn´ıho oboru Pˇr´ırodovˇedné inˇzen´ yrstv´ı“ leˇz´ı na pomez´ı v´ yzkum” n´ ych smˇer˚ u Modelov´ an´ı pˇr´ırodn´ıch a technick´ ych proces˚ u“ a Apli” ” kace numerick´ ych metod a v´ yvoj n´ astroj˚ u pro modelován´ı pˇr´ırodn´ıch ˇ s´ı tematick´ proces˚ u“. Sirˇ y okruh pr´ ace nese oznaˇcen´ı Numerické mo” delov´ an´ı sdruˇzen´ ych T-H-M-C proces˚ u v horninovém prostˇred´ı“. Dizertaˇcn´ı pr´ ace je vˇenov´ ana n´ avrhu a popisu efektivn´ıch postup˚ u poˇc´ıtaˇcové simulace vybran´ ych geochemick´ ych dˇej˚ u a je rozˇclenˇena do ˇctyˇrech n´ıˇze popsan´ ych kapitol. Prvn´ı kapitola kr´ atce, v nˇekolika bodech, pˇredstavuje c´ıle dizertaˇcn´ı pr´ ace. Druh´ a kapitola, pˇrin´ aˇs´ı souhrn z´ akladn´ıch znalost´ı a postup˚ u vyuˇz´ıvan´ ych pro simulaci reakˇcn´ıho transportu kontaminace podzemn´ı vodou. Kapitola obsahuje informace o obvyklém dˇelen´ı chemick´ ych reakc´ı v podzemn´ı vodˇe do nˇekolika skupin podle rychlosti reakc´ı a f´ aze reaktant˚ u. D´ ale je v kapitole uvedeno nˇekolik matematick´ ych formulac´ı vyuˇz´ıvan´ ych k poˇc´ıtaˇcovému modelován´ı geochemick´ ych reakc´ı r˚ uzn´ ych druh˚ u. Druhou kapitolu uzav´ırá krátké pˇredstaven´ı simulaˇcn´ıho n´ astroje Flow123D do nˇehoˇz byly v rámci praktické ˇc´ asti dizertaˇcn´ı pr´ ace pˇrid´ any souˇca´sti pro simulaci vybran´ ych geochemick´ ych, popˇr. geofyzik´ aln´ıch interakc´ı. Tˇeˇziˇstˇem pr´ ace je kapitola ˇ c´ıslo 3, kter´ a popisuje vlastn´ı navrˇzené postupy a metody modelov´ an´ı jev˚ u, které ovlivˇ nuj´ı, zpravidla zpomaluj´ı, transport zneˇciˇstˇen´ı podzemn´ı vodou. V jedné z podkapitol naleznete origin´ aln´ı matematickou formulaci popisu radioaktivn´ıch rozpad˚ u a line´ arn´ıch reakc´ı. Formulace byla v nˇekolika etap´ ach zpˇresˇ nov´ ana a peˇclivˇe provˇeˇrována. Dalˇs´ı podkapitola pˇredstavuje postup simulace rovnováˇzné sorpce, kter´ y umoˇzn ˇuje pˇredej´ıt ˇcasovˇe n´ aroˇcnému iteraˇcn´ımu ˇreˇsen´ı neline´ arn´ıch rovnic d´ıky vyuˇzit´ı pˇredpoˇc´ıtané interpolaˇcn´ı tabulky. N´ asleduj´ıc´ı podkapitola ukazuje aplikaci ˇreˇsiˇc˚ u z bal´ıku SundialsTB (octave-sundials) na simulaci rozpouˇstˇen´ı kalcitu podzemn´ı 7


vodou bez kontaktu s atmosférou. V této podkapitole je k matematickému popisu problému nejprve vyuˇzita soustava sestávaj´ıc´ı z algebraick´ ych spolu s obyˇcejn´ ymi diferenci´ aln´ımi rovnicemi (standardn´ı popis chemick´ ych reakc´ı). N´ aslednˇe je popis pˇreformulován do podoby soustavy obyˇcejn´ ych diferenci´ aln´ıch rovnic, které nesou informaci o kinetick´ ych i rovnov´ aˇzn´ ych reakc´ıch (inovace). V´ ysledky model˚ u rozpouˇstˇen´ı kalcitu byly srovn´ av´ any s v´ ystupy z provˇeˇren´ ych simulaˇcn´ıch program˚ u. Tˇret´ı kapitolu uzav´ır´ a ˇc´ ast vˇenovan´ a rozˇs´ıˇren´ı modelu rozpouˇstˇen´ı kalcitu o advekˇcn´ı transport l´ atek podzemn´ı vodou. I v pˇr´ıpadˇe tohoto rozˇs´ıˇreného modelu je cel´ y dˇej ve v´ ysledku popsán jednou soustavou obyˇcejn´ ych diferenci´ aln´ıch rovnic. ˇ Ctvrt´ a kapitola shrnuje pˇr´ınosy odevzdané dizertaˇcn´ı práce. V pˇ r´ıloh´ ach pr´ ace naleznete skripty pouˇzité v programu Octave k simulaci rozpouˇstˇen´ı kalcitu a k modelován´ı rozpouˇstˇen´ım kalcitu ovlivnˇeného transportu. Kromˇe toho obsahuj´ı pˇr´ılohy seznam publikac´ı a v´ yˇcet dalˇs´ıch aktivit v pr˚ ubˇehu studia.

1

C´ıle dizertaˇ cn´ı pr´ ace

Vzhledem k velké ˇs´ıˇri problematiky poˇc´ıtaˇcové simulace reakˇcn´ıho transportu jsem se v dizertaˇcn´ı pr´ aci zamˇeˇril na matematickou formulaci a na zp˚ usoby ˇreˇsen´ı soustav popisuj´ıc´ıch dan´ y problém. C´ıle odevzdané pr´ ace je moˇzné shrnout do nˇekolika následuj´ıc´ıch bod˚ u: • Zmapov´ an´ı matematického pozad´ı poˇc´ıtaˇcového modelován´ı reakˇcn´ıho transportu kontaminant˚ u podzemn´ı vodou. • N´ avrh inovativn´ıho matematického popisu problému reakˇcn´ıho transportu. • Pˇr´ıprava vlastn´ıch, efektivn´ıch algoritm˚ u pro vybrané pˇr´ıpady reakˇcn´ıho transportu kontaminace. 8


• Implementace navrˇzen´ ych postup˚ u a jejich pouˇzit´ı k simulaci zvolen´ ych pˇr´ırodn´ıch jev˚ u. • Porovn´ an´ı dosaˇzen´ ych v´ ysledk˚ u simulac´ı s v´ ysledky z´ıskan´ ymi vyuˇzit´ım provˇeˇren´ ych, komerˇcn´ıch program˚ u. V popisované pr´ aci je uvaˇzov´ an deterministick´ y pˇr´ıstup/model transportu l´ atek podzemn´ı vodou. Motivac´ı pro tuto volbu je zam´ yˇslené pouˇzit´ı v´ ysledn´ ych modelovac´ıch n´ astroj˚ u pro stanoven´ı rizik spojen´ ych s ukl´ ad´ an´ım radioaktivn´ıho odpadu a pro predikci u ´ˇcinnosti sanaˇcn´ıch z´ asah˚ u na oblastech region´ aln´ıho rozsahu. Praktickou ˇc´ ast´ı pro ovˇeˇren´ı teoretick´ ych z´ avˇer˚ u dizertaˇcn´ı práce je bud’to implementace a otestov´ an´ı vybran´ ych postup˚ u do reakˇcn´ıho modulu simulaˇcn´ıho softwaru Flow123D nebo jejich zprovoznˇen´ı pomoc´ı jiného programového n´ astroje (Octave). ´ celem rozˇs´ıˇren´ı programu Flow123D o simulaci vybran´ Uˇ ych geochemick´ ych interakc´ı bylo vytvoˇren´ı prostˇredku efektivn´ıho modelov´ an´ı tˇechto jev˚ u a nikoliv pˇr´ıprava modelovac´ıho nástroje u kterého je dosaˇzeno vysoké komplexnosti model˚ u na u ´kor rychlosti v´ ypoˇct˚ u. Vlastn´ı pr´ ace se soustˇredila na optimalizaci algoritm˚ u a v´ ypoˇcetn´ıch proces˚ u pouˇzit´ ych k simulaci reakˇcn´ıho transportu stejnˇe jako na inovaci matematického popisu problému.

2

Shrnut´ı hlavn´ıch v´ ysledk˚ u pr´ ace

V r´ amci jednotliv´ ych ˇc´ ast´ı této kapitoly jsou rámcovˇe pˇredstaveny hlavn´ı u ´koly vyˇreˇsené v r´ amci doktorského studia a popsané v dizertaˇcn´ı pr´ aci.

2.1

Reˇ serˇ sn´ı ˇ c´ ast pr´ ace

´ Uvodn´ ı kapitola pr´ ace obsahuje z´ akladn´ı seznámen´ı s problematikou modelov´ an´ı reakˇcn´ıho transportu. Hlavn´ı informace byly ˇcerp´ any z [10] a [11]. 9


Kl´ıˇcové z hlediska simulace transportu látek ovlivnˇeného chemick´ ymi reakcemi je jejich rozdˇelen´ı podle skupenstv´ı (pevné, kapalné) reaktant˚ u a podle relativn´ı rychlosti pr˚ ubˇehu reakce vzhledem k rychlosti transportu. K popisu rychl´ ych (tzv. rovnováˇzn´ ych) reakc´ı je zvykem pouˇz´ıvat algebraické rovnice a pro popis pomal´ ych (tzv. kinetick´ ych) reakc´ı se pouˇz´ıvaj´ı obyˇcejné diferenciáln´ı rovnice. Transportn´ı ˇc´ ast modelu je obvykle formulována v podobˇe soustavy parci´ aln´ıch diferenci´ aln´ıch rovnic. Vu ´vodn´ı kapitole jsou pˇredstaveny tradiˇcn´ı, stejnˇe jako aktuálnˇe pouˇz´ıvané a rozv´ıjené metody matematického popisu, simulace a propojen´ı transportn´ı ˇc´ asti modelu s jeho reakˇcn´ı sloˇzkou. Jako zástupci tradiˇcn´ıch simulaˇcn´ıch postup˚ u jsou zm´ınˇeny ty, které byly v rámci doktorského studia otestov´ any. Jsou to takzvan´ y Differential Alge” braic Equation Approach – DAE“ a na ˇstˇepen´ı operátoru postaven´ y Sequential Non-Iterative Approach – SNIA“. Z novˇejˇs´ıch metod je ” ve zkratce pops´ ano reakˇcnˇe orientované modelován´ı. V z´ avˇeru kapitoly je okrajovˇe zm´ınˇen dostupn´ y software poskytuj´ıc´ı moˇznost simulace reakˇcn´ıho transportu.

2.2

Simulace radioaktivn´ıch rozpad˚ u

Vlastn´ı pr´ ace na simulaci reakˇcn´ıho transportu zaˇcala vytvoˇren´ım softwarového n´ astroje pro poˇc´ıt´ an´ı referenˇcn´ıch model˚ u. Zm´ınˇen´ y software poslouˇzil k v´ ypoˇctu srovn´ avac´ıch dat pro pozdˇeji realizovanou simulaci radioaktivn´ıch rozpad˚ u. Radioaktivn´ı rozpady byly efektivnˇe modelovány za pouˇzit´ı maticového n´ asoben´ı. Realizovan´ y princip simulace radioaktivn´ıch rozpad˚ u spoˇc´ıv´ a v n´ asoben´ı velké matice koncentrac´ı CT (N × n, kde N je poˇcet element˚ u a n je poˇcet l´ atek, izotop˚ u) pˇred rozpadem (ovˇsem po transportu) malou matic´ı R (n × n). Matice koncentrac´ı je n´ asobena matic´ı rozpad˚ u zprava TCT R = CT +1 , kde T je velk´ a matice (N ×N ) popisuj´ıc´ı transport. Uvedená kombinace simulace transportu se simulac´ı rozpad˚ u je zaloˇzena na metodˇe 10


ˇstˇepen´ı oper´ atoru (Operator Splitting – OS) podle schématu TR (Transport-Reakce). V z´ akladn´ı verzi mˇela matice realizuj´ıc´ı simulaci rozpad˚ u pásov´ y, bidiagon´ aln´ı charakter. Tento tvar matice umoˇzn ˇoval v jednom ˇcasovém kroku modelu zohlednit pˇr´ıspˇevek koncentrace pouze od bezprostˇrednˇe pˇredch´ azej´ıc´ıho prvku v rozpadové ˇradˇe. Zm´ınˇen´ y jednoduch´ y tvar formulace problému vyvol´ aval nepˇresnosti ve v´ ysledc´ıch simulac´ı. Pro napraven´ı popsaného nedostatku byla matematická formulace simulovaného jevu upravena. Princip maticového násoben´ı z˚ ustal zachov´ an, ale pouˇz´ıvan´ a matice byla sestavena za pomoci racionáln´ı Padého aproximace eponenciely matice (eA∆t ), která je analytick´ ym c ˇreˇsen´ım u ´lohy d~ = A~ c , ~ c (0) = ~ c . Matice A byla k tomuto u ´ ˇ c elu 0 dt sestavena z kinetick´ ych konstant odpov´ıdaj´ıc´ıch poloˇcas˚ um rozpad˚ u prvk˚ u v simulované rozpadové ˇradˇe a mˇela tvar   −k1 k1 0 0 0  0 −k2 k2 0 0      . . . . . A= 0 . . 0  0     0 0 0 −kn−1 kn−1 0 0 0 0 −kn Padého aproximace R(A · ∆t) exponenciely matice A · ∆t byla poˇc´ıt´ ana podle vzorc˚ u R(A · ∆t) = [D(A · ∆t)]−1 N(A · ∆t), p P j (p+q−j)!p! N(A · ∆t) = (p+q)!j!(p−j) (A · ∆t) , D(A · ∆t) =

j=0 q P

j=0

(p+q−j)!q! (p+q)!j!(q−j) (−A

· ∆t)j ,

kde p je stupeˇ n ˇcitatele a q je stupeˇ n jmenovatele. Navrˇzen´ y postup simulace rozpad˚ u byl implementován do programu Flow123D. Uˇzivatel programu dostal moˇznost definovat si ve vstupn´ım souboru vlastn´ı, pˇr´ımé i rozvˇetvené rozpadové ˇrady. 11


Spr´ avnost simulace radioaktivn´ıch rozpad˚ u za pomoci Padého aproximace exponenciely matice A·∆t byla ovˇerena na jednoduch´ ych testovac´ıch u ´loh´ ach nalezen´ım analytického ˇreˇsen´ı problému. Shoda v´ ysledk˚ u analytického a numerického ˇreˇsen´ı navrˇzeného matematického modelu prok´ azala pouˇzitelnost Padého aproximace k simulaci radioaktivn´ıch rozpad˚ u. V´ yhodou numerického ˇreˇsen´ı je jeho ˇsirˇs´ı pouˇzitelnost a snaˇzˇs´ı implementace. ˇ Casov´ a n´ aroˇcnost simulace rozpad˚ u byla otestována na modelu region´ aln´ıho rozsahu (lokalita Roˇzn´ a-Olˇs´ı). Ukázalo se, ˇze v´ ypoˇcetn´ı ˇcasy model˚ u transportu kontaminace a v´ ypoˇcetn´ı ˇcasy model˚ u zohledˇ nuj´ıc´ıch nav´ıc jeˇstˇe radioaktivn´ı rozpady jsou vzájemnˇe srovnatelné.

2.3

Model rovnov´ aˇ zn´ e sorpce

Dalˇs´ım jevem, kter´ y silnˇe ovlivˇ nuje ˇs´ıˇren´ı kontaminace podzemn´ı vodou je rovnov´ aˇzn´ a sorpce kontaminantu na horninu. V matematick´ ych modelech je bˇeˇzné popisovat sorpce obecnˇe nelineárn´ımi funkcemi (tzv. izotermami) definuj´ıc´ımi vztah mezi koncentrac´ı rozpuˇstˇené l´ atky a koncentrac´ı l´ atky sorbované na povrch horniny. Pro popis jednovrstvé sorpce se ˇcasto vyuˇz´ıvaj´ı napˇr´ıklad tzv. lineárn´ı, Freundlichova nebo Langmuirova izoterma (viz napˇr. [12]). Zm´ınˇené izotermy se vyznaˇcuj´ı jednoduch´ ym matematick´ ym popisem s mal´ ym poˇctem parametr˚ u, které je moˇzné naj´ıt v literatuˇre. V r´ amci dizertaˇcn´ı pr´ ace byla navrˇzena a otestována efektivn´ı metoda pˇribliˇzného ˇreˇsen´ı neline´ arn´ıch rovnic popisuj´ıc´ıch jednovrstvou sorpci ve spojen´ı se z´ akonem zachov´ an´ı hmoty a se zohlednˇen´ım omezené rozpustnosti kontaminantu v podzemn´ı vodˇe. Z´ akon zachov´ an´ı hmoty m´ a pro pˇr´ıpad sorpce tvar cT = ca · n + cs · ρH · (1 − n), kde cT je celkov´ a koncentrace, ca je koncentrace látky rozpuˇstˇené ve vodˇe, cs je koncentrace sorbované l´ atky, n znaˇc´ı porozitu horniny a ρH je hustota horniny. Celkovou koncentraci jde dopoˇc´ıtat na z´ akladˇe hodnot ca , cs z transportn´ı ˇc´ asti modelu. 12


Koncept modelu sorpce l´ atky s omezenou rozpustnost´ı (mez ck ) je zaloˇzen´ y na pouˇzit´ı stejn´ ych promˇenn´ ych (m´ıst v pamˇeti poˇc´ıtaˇce) pro uloˇzen´ı koncentrac´ı sorbovan´ ych a sraˇzen´ ych látek. V pˇr´ıpadˇe nerozliˇsov´ an´ı mezi sraˇzenou a sorbovanou formou látky je moˇzné uvaˇzované dˇeje principielnˇe popsat grafy podobn´ ymi tˇem na obrázku 1.

(a) Omezenou rozpustnost´ı ovlivnˇ en´ a (b) Omezenou rozpustnost´ı ovlivnˇ en´ a line´ arn´ı sorpce. neline´ arn´ı sorpce.

Obr´ azek 1: Omezenou rozpustnost´ı ovlivnˇené, izotermami popsané sorpce.

Drobnou u ´pravou pˇredpisu z´ akona zachov´ an´ı hmoty m˚ uˇzeme definovat funkci g(ca ) ve tvaru g(ca ) = ca · n + f (ca ) · ρH · (1 − n), kde f (ca ) pˇredstavuje explicitn´ı, funkˇcn´ı pˇredpis izotermy. Pˇresn´ ym ˇreˇsen´ım u ´lohy se zohlednˇen´ım omezené rozpustnosti (s mez´ı rozpustnosti ck ) je hodnota koncentrace rozpuˇstˇené formy l´ atky ca = min{g −1 (cT ), ck } spolu s dopoˇc´ıtanou hodnotou cs koncentrace sorbované nebo sraˇzené formy l´ atky. 13


Sorpce je v modelu simulov´ ana tehdy, pokud cT ≤ cmax , kde T = ck · n + f (ck ) · ρH · (1 − n). V takové situaci je cs = f (ca ). ) doch´ az´ı k simulaci sráˇzen´ı. HodV opaˇcném pˇr´ıpadˇe (cT > cmax T nota ca je nastavena na ck a koncentrace cs je dopoˇctena podle vzorce cmax T

cs = (cT − n · ck )/(ρH · (1 − n)). K numerickému, iteraˇcn´ımu ˇreˇsen´ı rovnice cT = ca · n + f (ca ) · ρH · (1 − n) byla pouˇz´ıv´ ana bud’ Newtonova-Raphsonova metoda nebo algoritmus TOMS 748 implementovan´ y v rozs´ ahlé knihovnˇe funkc´ı boost C++ (v 1.0). 2.3.1

Pˇ ribliˇ zn´ eˇ reˇ sen´ı

V´ yraznˇe rychlejˇs´ı neˇz iteraˇcn´ı metody v´ ypoˇctu ˇreˇsen´ı modelu sorpce je stanoven´ı jeho aproximace v jednom kroku. Podm´ınkou pro poˇcitatelnost aproximace ˇreˇsen´ı jsou konstantn´ı parametry horniny (n, ρH ) v ˇcase a na definovan´ ych oblastech v prostoru. K aproximaci ˇreˇsen´ı sorpˇcn´ı ˇc´ asti modelu popsané rovnic´ı cT = ca · n + f (ca ) · ρH · (1 − n) s nezn´ amou ca bylo pouˇzito projekce dat z transportn´ı ˇcásti modelu na izotermu. Tato projekce je zaloˇzena na vyuˇzit´ı pˇredvypoˇctené interpolaˇcn´ı tabulky. Hodnoty uloˇzené v tabulce jsou transformované (rotované) souˇradnice bod˚ u na izotermˇe v m´ıstech, která odpov´ıdaj´ı svou polohou ekvidistantnˇe rozloˇzen´ ym d´ıl˚ um mnoˇzstv´ı látky cmax T na hranici rozpustnosti (mnoˇzstv´ı l´ atky v bodˇe [ck , f (ck )]). Grafické zn´ azornˇen´ı bod˚ u z interpolaˇcn´ı tabulky (hvˇezdiˇcky) ukazuje obr´ azek 2. Nez´ avisle promˇenn´ a v transformované souˇradné soustavˇe m´ a v´ yznam celkové koncentrace (cR cn´ı tabulce a = cT ). V interpolaˇ jsou uloˇzeny pouze hodnoty z´ avisle promˇenné cR s. Pˇred projekc´ı dat na izotermu mus´ı doj´ıt k jejich transformaci R (otoˇcen´ı) do souˇradné soustavy s osami cR a , cs . Po projekci jsou data otoˇcen´ım vr´ acena do p˚ uvodn´ı souˇradné soustavy. 14


Obr´ azek 2: Pr˚ useˇc´ıky v otoˇcené souˇradné soustavˇe. 2.3.2

Srovn´ an´ı rychlosti model˚ u sorpce

K otestov´ an´ı ˇcasové n´ aroˇcnosti navrˇzen´ ych zp˚ usob˚ u simulace jednovrstvé sorpce byla pˇripravena sada 2D model˚ u sorpc´ı ovlivnˇeného transportu kontaminace p´ orézn´ım mediem s konstantn´ımi nebo promˇenn´ ymi parametry. Pro modely s nekonstantn´ımi parametry horniny bylo nutno vyuˇz´ıt iteraˇcn´ı metody ˇreˇsen´ı zat´ımco v pˇr´ıpadˇe model˚ u s konstantn´ımi parametry mohla b´ yt pouˇzita v´ yraznˇe rychlejˇs´ı metoda aproximace ˇreˇsen´ı v jednom kroku. 2D oblast popisovaná modely byla diskretizov´ ana 1426 troj´ uheln´ıkov´ ymi elementy. Modely zahrnovaly simulaci sorpce popsané lineárn´ı, Langmuirovou nebo Freundlichovou izotermou. Ve vˇsech tˇrech pˇr´ıpadech byla sorpce simulov´ ana nejprve za pomoci Newton-Raphsonovy metody 15


(konstantn´ı parametry, iteraˇcn´ı ˇreˇsen´ı). D´ ale probˇehly simulace s vyuˇzit´ım metody TOMS 748 (nekonstantn´ı parametry, iteraˇcn´ı ˇreˇsen´ı) a nakonec byl aplikov´ an nov´ y postup zaloˇzen´ y na interpolaci (konstantn´ı parametry, ˇreˇsen´ı v jednom kroku). Délky bˇehu simulac´ı jsou zachyceny v tabulce 1. ˇ Tabulka 1: Casy simulac´ı transportu ovlivnˇeného sorpc´ı. type/alg. Newton (konst.) TOMS 748 interp. (konst.) linear 6.5 8.48 0.87 Freund. 8.98 41.1 0.87 Lang. 7.89 13.2 0.98 Pro vˇsechny pˇr´ıpady simulac´ı s konstantn´ımi parametry horniny a s pouˇzit´ım interpolace bylo zaznamenáno v´ yrazné zrychlen´ı v´ ypoˇct˚ u, které je patrné z porovn´ an´ı hodnot v prvn´ım a ve tˇret´ım sloupci tabulky 1. Ve vˇsech pˇr´ıpadech pouˇzit´ı algoritmu TOMS 748 bylo pozorováno zpomalen´ı v´ ypoˇct˚ u ve srovn´ an´ı se simulacemi problému NewtonovouRaphsonovou metodou. Na z´ akladˇe namˇeˇren´ ych délek trván´ı v´ ypoˇct˚ u se Newtonova-Raphsonova metoda jev´ı pro numerické modelován´ı sorpce jako vhodnˇejˇs´ı volba neˇz druh´ a z testovan´ ych iteraˇcn´ıch metod.

2.4

Inovativn´ı popis chemick´ ych reakc´ı

D˚ uleˇzit´ ym krokem k navrˇzen´ı origin´ aln´ıho postupu modelován´ı reakˇcn´ıho transportu jako celku bylo zvl´ adnut´ı simulace paraleln´ıch kinetick´ ych a rovnov´ aˇzn´ ych chemick´ ych reakc´ı. Jako testovac´ı u ´loha byl vybr´ an reakˇcn´ı mechanizmus rozpouˇstˇen´ı kalcitu v podzemn´ı vodˇe s obsahem CO2 a bez kontaktu s atmosférou. Mechanizmus zvolené reakce m˚ uˇze b´ yt pops´ an chemick´ ymi rovnicemi: • CO2 (aq) + H2 O H+ + HCO− 3 , konstanta K, • CaCO3 + H+ Ca2+ + HCO− 3 , konstanty l, L, 16


• H2 O H+ + OH− , konstanta M , kde konstanta l je kinetick´ a, zat´ımco velk´ ymi p´ısmeny K, L, M jsou znaˇceny konstanty rovnov´ aˇzné. V´ yˇse uveden´ ym chemick´ ym rovnic´ım pˇr´ısluˇs´ı po zjednoduˇsuj´ıc´ım pˇreznaˇcen´ı popis matematick´ ymi rovnicemi r˚ uzn´ ych typ˚ u: • A B + C, • B D + C,

K= dD dt

• konst. B + E,

Be Ce Ae ,

= kin(B, C, D) = l · 1 −

CD B

·

1 L

,

M = Be Ee ,

kde doln´ım indexem e jsou oznaˇceny hodnoty koncentrac´ı v chemické rovnov´ aze. K ˇreˇsen´ı modelu bez zahrnut´ı transportu byly nejprve vyuˇzity existuj´ıc´ı ˇreˇsiˇce (DASPK, IDA) soustav diferenciáln´ıch a algebraick´ ych rovnic (DAE – Differential–Algebraic Equation). Pro zvolené poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınky a parametry u ´lohy se v´ ysledky shodovaly s v´ ysledky hojnˇe pouˇz´ıvaného simulaˇcn´ıho softwaru The Geochemist’s Workbench. Dosaˇzen´ a shoda je zachycená na obrázku 3. ˇ siˇce DAE-soustav jsou relativnˇe ˇcasto pouˇz´ıvan´ Reˇ ym nástrojem pro simulaci prov´ azan´ ych fyzik´ aln´ıch, technologick´ ych a chemick´ ych dˇej˚ u. Jejich v´ yhodou je uˇzivatelsk´ a jednoduchost formulace matematického popisu pro ˇreˇsiˇc. V´ yraznou nev´ yhodou ˇreˇsené soustavy diferenciáln´ıch a algebraick´ ych rovnic je pouˇzit´ı rozsah˚ u reakc´ı na m´ıstˇe promˇenn´ ych. Rozsahy reakc´ı neumoˇzn ˇuj´ı snadné rozˇs´ıˇren´ı modelu o transport, kter´ y obvykle pracuje s promˇen´ ymi koncentracemi l´ atek. 2.4.1

ODE popis rozpouˇ stˇ en´ı kalcitu

Pro stejnou testovac´ı u ´lohu (rozpouˇstˇen´ı kalcitu) byl pˇripraven origin´ aln´ı matematick´ y popis sest´ avaj´ıc´ı ˇcistˇe z obyˇcejn´ ych diferenci´ aln´ıch rovnic.

17


Obr´ azek 3: Srovn´ an´ı v´ ysledk˚ u z Octave (modrá) a z programu The Geochemist’s Workbench (ˇcerven´ a). Odvozen´ı diferenci´ aln´ıho popisu je zaloˇzené na: 1. zaveden´ı pˇr´ıspˇevk˚ u“ RK , RM rovnováˇzn´ ych reakc´ı k ˇcasové ” zmˇenˇe modelovan´ ych koncentrac´ı ∂A ∂t ∂B ∂t ∂C ∂t ∂D ∂t ∂E ∂t

= (−1) · RK , = (−1) · kin(B, C, D) + RK + RM , = kin(B, C, D) + RK , = (−1) · kin(B, C, D), = RM ,

(1)

2. derivaci algebraick´ ych rovnic popisuj´ıc´ıch rovnováhy, 3. dosazen´ı diferenci´ aln´ıch rovnic (1) do v´ ysledk˚ u derivace rovnic rovnov´ ah, 4. vyj´ adˇren´ı pˇr´ıspˇevk˚ u“ RK , RM a ” 18


5. na jejich dosazen´ı zp´ atky do diferenci´ aln´ıch rovnic (1). V´ ysledn´ a diferenci´ aln´ı formulace u ´lohy m´ a tvar ∂A ∂t ∂B ∂t ∂C ∂t ∂D ∂t ∂E ∂t

=

A·(B−C+E)·kin(B,C,D) (A+C)B+AC+(A+C)E A·(B−C+E)·kin(B,C,D) (A+C)B+AC+(A+C)E A·(B−C+E)·kin(B,C,D) (A+C)B+AC+(A+C)E

= (−1) · kin(B, C, D) −

+

(2 A+C)·E·kin(B,C,D) (A+C)B+AC+(A+C)E

= kin(B, C, D) − = (−1) · kin(B, C, D) (2 A+C)·E·kin(B,C,D) = (A+C)B+AC+(A+C)E .

Odvozen´ a soustava byla ˇreˇsena se zvolen´ ymi poˇcáteˇcn´ımi podm´ınkami a parametry pomoc´ı solveru CVODE. V´ ysledky simulace byly shodné s v´ ysledky z´ıskan´ ymi ˇreˇsen´ım DAE-soustavy. Hlavn´ı v´ yhodou diferenci´ aln´ıho popisu provázan´ ych chemick´ ych reakc´ı je potlaˇcen´ı potˇreby vyuˇzit´ı metody ˇstˇepen´ı operátoru pˇri simulaci soubˇeˇznˇe prob´ıhaj´ıc´ıch kinetick´ ych a rovnováˇzn´ ych chemick´ ych reakc´ı. Dalˇs´ım kladem diferenci´ aln´ı formulace je moˇznost volby z ˇsiroké ˇsk´ aly metod pouˇz´ıvan´ ych pro ˇreˇsen´ı soustav obyˇcejn´ ych diferenci´ aln´ıch rovnic. Zjevnou nev´ yhodou diferenci´ aln´ıho popisu postihuj´ıc´ıho i rovnov´ aˇzné reakce je obt´ıˇznost jeho sestaven´ı a automatizace tohoto procesu.

2.5

Rozˇ s´ıˇ ren´ı modelu reakc´ı o transport

Postupem analogick´ ym formulaci jednotného, diferenciáln´ıho popisu rovnov´ aˇzn´ ych a kinetick´ ych reakc´ı byla sestavena soustava obyˇcejn´ ych diferenci´ aln´ıch rovnic rozˇs´ıˇren´ a o transportn´ı ˇcleny L(X), X ∈ {A, B, C, D, E}. Rozd´ıl byl v pouˇzité soustavˇe parcialn´ıch diferenci´ ´ aln´ıch rovnic ∂A ∂t ∂B ∂t ∂C ∂t ∂D ∂t ∂E ∂t

= L(A) − RK , = L(B) − kin(B, C, D) + RK + RM , = L(C) + kin(B, C, D) + RK , = L(D) − kin(B, C, D), = L(E) + RM , 19


které nahradily obyˇcejné diferenci´ aln´ı rovnice z modelu bez transportu a které bylo tˇreba pˇred ˇreˇsen´ım ve zkoumané oblasti diskretizovat. Zkoumanou oblast´ı byl ˇctverec (viz obr. 4) a k diskretizaci

Obr´ azek 4: Geometrie modelu. v prostoru byla pouˇzita metoda koneˇcn´ ych diferenc´ı. Pˇred simulac´ı byly na hranici oblasti nastaveny okrajové podm´ınky Dirichletova typu a na celé oblasti pˇredeps´ any poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınky. Pˇri modelov´ an´ı transportu l´ atek ve vodorovném smˇeru byl sledov´ an vliv zjemnˇen´ı v´ ypoˇcetn´ı s´ıtˇe na ˇcasov´ y v´ yvoj koncentrac´ı u vtoku a u v´ ytoku z oblasti (body oznaˇcené hvˇezdiˇckami). V´ ysledek byl v souladu s oˇcek´ av´ an´ımi. Zjemˇ nov´ an´ı s´ıtˇe vyvolalo pˇr´ıkˇrejˇs´ı pˇrechod (viz obr. 5) od chemi´ı modifikované poˇcáteˇcn´ı podm´ınky (modrá ˇc´ ara v grafu) k hodnotˇe urˇcené okrajovou podm´ınkou. Pro vˇetˇs´ı pˇrehlednost je v grafu zaznamen´ an pouze v´ yvoj pH. Pro stejn´ y scén´ aˇr simulace byl vyhodnocen také vliv zjemnˇen´ı s´ıtˇe na modelem pˇredpovˇezené prostorové rozloˇzen´ı pH podél osy x (smˇer proudˇen´ı). Pˇrechod mezi dvˇema mezn´ımi hodnotami v tomto pˇr´ıpadˇe reprezentoval takzvané ˇcelo kontaminace“. Spolu se zje” mˇ nov´ an´ım s´ıtˇe klesla numerick´ a difuze, v d˚ usledku ˇcehoˇz se ˇcelo kontaminace bl´ıˇzilo oˇcek´ avanému kolmému, skokovému pˇrechodu. Tento trend ukazuje obr´ azek 6. 20


Obr´ azek 5: Vliv zjemnˇen´ı s´ıtˇe ve smˇeru transportu. Kromˇe kvality v´ ysledk˚ u mˇelo zjemˇ nov´ an´ı s´ıtˇe vliv také na délku trván´ı simulac´ı. V´ ypoˇcetn´ı ˇcasy ukazuje tabulka 2. Tabulka 2: V´ ypoˇcetn´ı ˇcasy model˚ u. poˇcet uzl˚ u, nx × ny trv´ an´ı v´ ypoˇctu 7×7 28.22s 7×7 72.6s = 1m 12.6s 15×7 503.8s = 8m 23.8s 31×7 3143s = 52m 23s 63×7 2.062e+4s = 5h 43m 40.2s U ˇcasové n´ aroˇcnosti simulac´ı na poˇctu uzl˚ u v´ ypoˇcetn´ı s´ıtˇe lze pozorovat mocninnou funkˇcn´ı z´ avislost. 21


Obr´ azek 6: Vliv zjemnˇen´ı s´ıtˇe ve smˇeru osy x na pˇredpovˇezené prostorové rozloˇzen´ı pH. Zvyˇsov´ an´ı poˇctu uzl˚ u ve smˇeru osy x (smˇer proudˇen´ı, resp. transportu) vyvolalo z´ avislost v´ ypoˇcetn´ıho ˇcasu modelu danou funkc´ı t = 0.0033 · n2.5658 uzlu . Nejvˇetˇs´ı v´ yhodou diferenci´ aln´ı formulace u ´loh transportu popisovan´ ych v této kapitole je zahrnut´ı popisu vˇsech uvaˇzovan´ ych d´ılˇc´ıch jev˚ u do jedné soustavy rovnic stejného druhu. Otevˇrenou ot´ azkou z´ ust´ av´ a struktura matice soustavy a s n´ı spojen´ y v´ ybˇer vhodné v´ ypoˇcetn´ı metody, napˇr´ıklad nˇekteré nevyzkouˇsené z programu CVODE.

22


3

Pˇ r´ınos pr´ ace

Pˇr´ınosem odevzdané dizertaˇcn´ı pr´ ace je vytvoˇren´ı podrobného pˇrehledu, posouzen´ı efektivity vybran´ ych, v souˇcasné dobˇe pouˇz´ıvan´ ych postup˚ u matematického modelov´ an´ı reakˇcn´ıho transportu. Kromˇe toho byl ve vybran´ ych pˇr´ıpadech (radioaktivn´ı rozpad a rovnov´ aˇzné sorpce) pouˇzit inovativn´ı postup simulace, kter´ y pˇrinesl sn´ıˇzen´ı v´ ypoˇcetn´ıho ˇcasu modelu reakˇcn´ıho transportu se znám´ ymi parametry uvaˇzovan´ ych pˇr´ırodn´ıch jev˚ u. Parametry chemick´ ych reakc´ı byly z´ısk´ av´ any na z´ akladˇe u ´daj˚ u z literatury a expertn´ıch odhad˚ u. V´ yznamn´ ym teoretick´ ym v´ ysledkem pr´ ace bylo navrˇzen´ı origináln´ı matematické formulace popisu problému reakˇcn´ıho transportu. Zm´ınˇen´ a formulace umoˇzn ˇuje zahrnout popis rovnováˇzn´ ych, nekoneˇcnˇe rychl´ ych chemick´ ych reakc´ı do obyˇcejn´ ych diferenciáln´ıch rovnic. Znalosti, postupy a v´ ysledky z vypracované dizertaˇcn´ı práce lze vyuˇz´ıt pˇri konstruov´ an´ı poˇc´ıtaˇcov´ ych model˚ u pˇr´ırodn´ıch jev˚ u a technick´ ych proces˚ u v celé ˇradˇe oblast´ı lidské ˇcinnosti. Aˇckoli byly matematické z´ aklady pr´ ace pokl´ ad´ any za u ´ˇcelem stavby model˚ u reakˇcn´ıho transportu kontaminace, lze vybrané z nalezen´ ych nástroj˚ u (napˇr. DAE-solvery, ˇreˇsiˇce neline´ arn´ıch rovnic, symbolické ˇreˇsiˇce) vyuˇz´ıt i k ˇreˇsen´ı model˚ u zcela odliˇsn´ ych jev˚ u s podobn´ ym matematick´ ym popisem realizovan´ ym prostˇrednictv´ım kombinac´ı nelineárn´ıch algebraick´ ych a diferenci´ aln´ıch rovnic. Z v´ yˇse uvedeného vypl´ yv´ a, ˇze v´ ysledky pr´ ace spadaj´ı do oblasti aplikované matematiky a jsou orientov´ any na identifikaci a aplikaci vhodn´ ych matematick´ ych postup˚ u a n´ astroj˚ u urˇcen´ ych primárnˇe pro ˇreˇsen´ı problému reakˇcn´ıho transportu. Efektivita navrˇzen´ ych postup˚ u bude i nad´ ale ovˇeˇrována na benchmarkov´ ych u ´loh´ ach a porovn´ ana s jin´ ymi pˇr´ıstupy. D´ılˇc´ı v´ ysledky jiˇz byly prezentov´ any na konferenc´ıch Enumath 2009, MODELLING 2009, HYDROMODE 2010, ModelCare 2011, MSDL 2011, HYDROMODE 2013 a MODELLING 2014. V souˇcasnosti (2014) je posuzov´ an ( Under review“) ˇclánek zaslan´ y do ” 23


ˇcasopisu Computers & Geosciences. V pˇr´ıpravˇe je dále ˇclánek do sborn´ıku pˇr´ıspˇevk˚ u z konference MODELLING 2014, kter´ y bude speci´ aln´ım ˇc´ıslem ˇcasopisu Mathematics and Computers in Simulation. S ohledem na velkou ˇs´ıˇri problematiky simulace reakˇcn´ıho transportu se nab´ız´ı cel´ a ˇrada moˇznost´ı pokraˇcován´ı v rozv´ıjen´ı a zvyˇsován´ı efektivity modelovac´ıch n´ astroj˚ u. Otevˇren´ ym problémem k ˇreˇsen´ı z˚ ust´ ava kupˇr´ıkladu nalezen´ı u ´ˇcinné metody ˇreˇsen´ı modelu reakˇcn´ıho transportu popsaného parci´ aln´ımi diferenciáln´ımi rovnicemi.

24


Reference Kompletn´ı seznam pouˇzité literatury naleznete v dizertaˇcn´ı práci. [1] C. I Steefel, D. J DePaolo, and P. C Lichtner. Reactive transport modeling: An essential tool and a new research approach for the Earth sciences. Earth and Planetary Science Letters, 240(34):539–558, 2005. [2] Y. Fang, S. B Yabusaki, S. J Morrison, J. P Amonette, and P. E Long. Multicomponent reactive transport modeling of uranium bioremediation field experiments. Geochimica et Cosmochimica Acta, 73(20):6029–6051, 2009. [3] Y. Fang, G. T. Yeh, and W. D Burgos. A general paradigm to model reaction-based biogeochemical processes in batch systems. Water Resources Research, 39(4):1083, 2003. [4] G. T. Yeh, Y. Fang, F. Zhang, J. Sun, Y. Li, M. H. Li, and M. D. Siegel. Numerical modeling of coupled fluid flow and thermal and reactive biogeochemical transport in porous and fractured media. Computational Geosciences, 14(1):149–170, 2009. [5] C. Simersk´ a. Systémy algebro-diferenci´ aln´ıch rovnic, volume 50 of Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. 2005. [6] J. Carrayrou, R. Mosé, and P. Behra. Operator-splitting procedures for reactive transport and comparison of mass balance errors. Journal of Contaminant Hydrology, 30(68):239–268, 2004. ˇ ˇ [7] J. Ehlerov´ a, J. Sedlbauer, and J. Sembera. Zpr´ ava VC Pokroˇcilé sanaˇcn´ı technologie a procesy o modulu chemických reakc´ı a jeho propojen´ı s transportn´ım modulem, 2005. [8] C. Moler and C. Van Loan. Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later. SIAM Review, 45(1):3–49, 2003. 25


[9] K. J. Farley, D. A. Dzombak, and F. M. M. Morel. A surface precipitation model for the sorption of cations on metal oxides. Journal of Colloid and Interface Science, 106(1):226 – 242, 1985. [10] J. Rubin. Transport of reacting solutes in porous media: Relation between mathematical nature of problem formulation and chemical nature of reaction. Water Resources Research, 19:1231–1252, 1983. Article first published online: 9 JUL 2010. [11] G. T. Yeh and V. S. Tripathi. A Critical Evaluation of Recent Developments in Hydrogeochemical Transport Models of Reactive Multichemical Components. 1989. [12] Y. S. Ho, W. T. Chiu, and Ch. Ch. Wang. Regression analysis for the sorption isotherms of basic dyes on sugarcane dust. Bioresource Technology, 96(11):1285–1291, 2005.

26


Publikace Sborn´ıky z konferenc´ı: ˇ • Sembera, J.; Zedek, L. (70%): ODE’s for description of reactive transport including equiliblirial reactions. sborn´ık abstrakt˚ u z konference MODELLING 2014, bˇrezen 2014, ISBN: 978-8086407-47-0 • Zedek, L.: Vyuˇzit´ı DAE-solver˚ u pro simulaci reakˇcn´ı ˇcásti problému ˇs´ıˇren´ı kontaminace podzemn´ı vodou. Sborn´ık abstrakt˚ u ˇ a zemˇedˇelská univerz konference HYDROMODE 2013, Cesk´ zita v Praze, z´ aˇr´ı 2013, ISBN: 978-80-2132393-3 • Zedek, L.: Zahrnut´ı vlivu chemick´ ych reakc´ı do modelu transportu kontaminace podzemn´ı vodou. Sborn´ık abstrakt˚ u z konˇ a zemˇedˇelská univerzita v Praference HYDROMODE 2010, Cesk´ ze, listopad 2010, ISBN: 978-80-213-2100-7 ˇ • Sembera, J.; Zedek, L. (75%): Pouˇzit´ı Anal´ yzy hlavn´ıch komponent pro redukci dimenze reakˇcnˇe-transportn´ıho modelu. Sborn´ık pˇr´ıspˇevk˚ u semin´ aˇre SIMONA 2009, Technická univerzita v Liberci, ISBN: 978-80-7372-543-3 Technické zpr´ avy: • Zedek, L.: Testov´ an´ı pouˇzitelnosti vybran´ ych modul˚ u programu Flow123D na u ´loze region´ aln´ıho rozsahu. technická zpráva, ARTEC-V´ yzkumné centrum: Pokroˇcilé sanaˇcn´ı technologie a procesy, ˇcerven 2011 • Zedek, L.: Zpr´ ava o zapracov´ an´ı simulace radioaktivn´ıch rozpad˚ u s bifurkacemi do programu Flow123D. technická zpráva, ARTEC-V´ yzkumné centrum: Pokroˇcilé sanaˇcn´ı technologie a procesy, kvˇeten 2011 • Zedek, L.: Zpr´ ava o postupech modelov´ an´ı reakˇcn´ıho transportu. technick´ a zpr´ ava, ARTEC-V´ yzkumné centrum: Pokroˇcilé sanaˇcn´ı technologie a procesy, ˇr´ıjen 2010 27


• Kr´ alovcov´ a, J.; Zedek, L. (40%): Popis modelu lokality Melechovverze2“ technick´ a zpr´ ava, ARTEC-V´ yzkumné centrum: Po” kroˇcilé sanaˇcn´ı technologie a procesy, bˇrezen 2010 Kniha: • Koˇsek, M.; Zedek, L. (25%); Hokr, M.; Rálek, P.: Vybran´ y matematick´ y apar´ at pro simulaci fyzikáln´ıch pol´ı, Technická univerzita v Liberci, Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborov´ ych studi´ı, Liberec, prosinec 2011, ISBN: 978-80-7372808-3 ˇ anek v ˇcasopisu (v souˇcasnosti recenzovan´ Cl´ y): ˇ • Sembera, J.; Zedek, L. (60%): Effective Computer Simulation of Equilibrium Adsorption with Limited Solubility, zaslána revize do Computers and Geosciences, ˇcerven 2014

Ovˇ eˇ ren´ a technologie ˇ • Flanderka, D.; Sembera, J.; Zedek, L. (75%): Program PCAChemie.exe. ARTEC-V´ yzkumné centrum: Pokroˇcilé sanaˇcn´ı technologie a procesy, prosinec 2009

Vystoupen´ı na konferenc´ıch V pr˚ ubˇehu doktorského studia jsem vystoupil s prezentac´ı nebo s posterem na n´ asleduj´ıc´ıch konferenc´ıch a workshopech: • MODELLING 2014, prezentace ODE’s for Description of Re” active Transport Including Equilibrium Reactions“, Roˇznov ˇ a republika, 2. – 6. ˇcerven 2014, pod Radhoˇstˇem, Cesk´ • HYDROMODE 2013, prezentace Vyuˇzit´ı DAE-solver˚ u pro ” simulaci reakˇcn´ı ˇc´ asti problému ˇs´ıˇren´ı kontaminace podzemn´ı ˇ ˇ a republika, 19. – 20. vodou“, Kostelec nad Cern´ ymi lesy, Cesk´ z´ aˇr´ı 2013, 28


• Conference on Modelling Storage in Deep Layers 2011, prezentace Testing of the Software Flow123D for Regional-Scale ” Reactive Transport Models“, Schwetzingen, Spolková republika Nˇemecko, 11. – 13. ˇr´ıjna 2011, • MODELCARE 2011, poster Comparison of Effectivity of Two ” Different Approaches to Reactive Transport Simulation“, Leipzig, Spolkov´ a republika Nˇemecko, 18.-22. záˇr´ı 2011, • HYDROMODE 2010, prezentace Zahrnut´ı vlivu chemick´ ych ” reakc´ı do modelu transportu kontaminace podzemn´ı vodou“, ˇ a republika, 14. – 15. záˇr´ı 2010, Chloumek u Mˇeln´ıka, Cesk´ • SIMONA 2009, prezentace Pouˇzit´ı anal´ yzy hlavn´ıch kompo” nent pro redukci dimenze reakˇcnˇe-transportn´ıho modelu“, Liˇ a republika, 21. – 23. z´ berec, Cesk´ aˇr´ı 2009, • MODELLING 2009, prezentace Application of Principal Com” ponent Analysis in Modelling of Underground Solute Transˇ a republika, 22. – 26. port“, Roˇznov pod Radhoˇstˇem, Cesk´ ˇcerven 2009, • ENUMATH 2009, prezentace The Use of Principal Compo” nent Analysis for Reduction of Dimension of Reactive Transˇ edsko, 29. ˇcerven – 3. ˇcervenec 2009. port Model“, Uppsala, Sv´

´ cast na projektech Uˇ ˇ • GACR 102/08/H081: Nestandardn´ı aplikace fyzikáln´ıch ” pol´ı-analogie, modelov´ an´ı, ovˇeˇrov´ an´ı a simulace“ ˇ TA02021132: Mobilita kontaminant˚ • TACR u a dalˇs´ıch sloˇzek ” prostˇred´ı-integrace do expertn´ıho systému vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho transportnˇe-reakˇcn´ı modelov´ an´ı“ 29


ˇ TA01021331: V´ • TACR yvoj modelovac´ıch nástroj˚ u predikce ” rozvoje THC proces˚ u a jejich vlivu na migraci radionuklid˚ u v geosféˇre“ • SGS 7822, TUL-NTI 2012: Modelován´ı komplexn´ıch fy” zik´ aln´ıch dˇej˚ u, numerické modely a informatika“ • SGS, TUL-MTI 2013-2014: Progresivn´ı mechatronické, ” ˇr´ıd´ıc´ı a mˇeˇr´ıc´ı systémy s aplikac´ı vyspˇel´ ych simulaˇcn´ıch metod“

Zahraniˇ cn´ı pracovn´ı st´ aˇ z Hostitelsk´ a organizace: Oddˇelen´ı: Vedouc´ı oddˇelen´ı: Term´ın st´ aˇze:

Ghent University, Galglaan 2, B-9000 Gent, Belgie Department of mathematical analysis Mari´ an Slodiˇcka 01.09.2012–30.11.2012

N´ aplˇ n st´ aˇ ze: • Studium matematického popisu paraleln´ıch chemick´ ych reakc´ı. • Pˇr´ıprava model˚ u vybrané testovac´ı u ´lohy (rozpouˇstˇen´ı kalcitu podzemn´ı vodou). 1. Pr´ ace s analytick´ ymi ˇreˇsiˇci Maple a Sage. 2. Vyuˇzit´ı numerick´ ych ˇreˇsiˇc˚ u soustav diferenciáln´ıch a algebraick´ ych rovnic. • Koncepˇcn´ı n´ avrh simulace sorpce v kombinaci s omezenou rozpustnost´ı.

30

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı

Recommend Documents