Vliv dekoherence na kvantovou nelokalitu a komplementaritu

Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci Katedra optiky

Vliv dekoherence na kvantovou nelokalitu a komplementaritu

Vypracoval:

Miroslav Gavenda

Vedoucí diplomové práce: Studijní obor: Datum odevzdání:

Mgr. Radim Filip, PhD. Optika a optoelektronika ............

Olomouc 2004

c Miroslav Gavenda, 2004

Poděkování Na tomto místě bych chtěl poděkovat svému vedoucímu diplomové práce Mgr. Radimu Filipovi, PhD. za odbornou pomoc při našich četných konzultacích a za mnoho užitečných rad. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. V Přerově dne 14. dubna 2005

Miroslav Gavenda

Obsah

Úvod 1 Kvantová komplementarita 1.1 Dualita jednoho fotonu . . . . . . . . . . 1.2 Dualita při interakci qubitu s prostředím 1.3 Kvantifikace duality . . . . . . . . . . . 1.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Experimentální testy duality . . . . . .

1

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

5 5 7 8 14 16

2 Komplementarita, EPR argument a Bellovy nerovnosti 2.1 EPR argument a lokálně realistické teorie . . . . . . . . . 2.2 Bellovy nerovnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kvantová provázanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Experimentální testy Bellových nerovností . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

20 20 21 24 27

Bellových nerovností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

31 31 33 39 40

. . . . .

. . . . .

. . . . .

3 Dualita mezi komplementárními znalostmi a 3.1 Komplementární znalosti . . . . . . . . . . . 3.2 Znalosti a porušení Bellových nerovností . . . 3.3 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Návrh experimentu . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

porušení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Závěr

46

Seznam literatury

47

Úvod Komplementarita je jedním ze základních principů kvantové fyziky, vyjadřující fakt, že kvantové systémy mají vlastnosti, které jsou reálně měřitelné, ale vzájemně se vylučují. Jedním z dokladů komplementarity je vlnově-částicová dualita ukazující, že v závislosti na experimentální situaci se kvantový objekt (např. elementární částice, foton, atom) chová buď jako vlna nebo jako částice. Klasickým příkladem, dokládajícím vlnově-částicové chování kvantových objektů, je Youngův dvouštěrbinový experiment. Tento experiment provedl Young v roce 1802 s elektromagnetickými vlnami. Já ho popíši pro elektrony tak, jak to provedli Feynman, Leighton a Sands v [58]. Ze zdroje elektronů vylétávají elektrony směrem k překážce, ve které jsou zhotoveny dvě štěrbiny. V případě, že necháme obě štěrbiny otevřené, jako na Obrázku 1 vlevo, dochází v rovině detekce ke vzniku interferenčního obrazce 1 , projevujícího se prostorově modulovanou intenzitou dopadajících elektronů. Došlo k interferenci elektronů a tedy zcela jasnému vlnovému projevu elektronů. Ve druhém případě, kdy necháme jednu ze štěrbin uzavřenu (viz Obrázek 1 vpravo), interferenční obrazec zmizí. Získali jsme informaci o tom, kterou štěrbinou elektron prošel, tedy jistou částicovou vlastnost, ale zaplatili jsme za to ztrátou interference, která vyjadřuje vlnové vlastnosti. Projevila se vlnově-částicová dualita jedné a téže elementární částice. První, kdo se snažil teoretickým způsobem uchopit tento pozoruhodný jev, byl Niels Bohr. Ve svých pracích [1, 2, 4] představil pojem komplementarity a zavedl formulaci tzv. principu komplementarity: Kvantovému systému nelze připsat všechny klasické vlastnosti najednou. Některé se vzájemně doplňují ale zároveň vylučují, nelze je zároveň přesně změřit v jednom experimentálním uspořádání. Princip komplementarity tvrdí, že v kvantové fyzice existují komplementární pozorovatelné, tj. takové, že pokud precizně změříme jednu z nich, možné výsledky měření na druhé budou zcela náhodné. ˆ s vlastMějme dvě pozorovatelné A a B reprezentované dvěma hermitovskými operátory Aˆ resp. B ′ ′ ními stavy |A i a |B i. Potom A a B jsou komplementární pozorovatelné, jestliže pravděpodobnost |hA′ |B ′ i|2 , že systém připravený ve stavu |B ′ i najdeme ve stavu |A′ i na konkrétním stavu |A′ i nezávisí a také naopak pravděpodobnost, že systém připravený ve stavu |A′ i nezávisí na konkrétním stavu |B ′ i. Příkladem komplementárních pozorovatelných jsou ortogonální spiny částice se spinem 1 ~ ~ ˆ ˆ 2 vyjádřené operátory spinu Sx = 2 σx a Sz = 2 σz nebo hybnost a poloha např. ve směru x s odpovídajícími operátory pˆx a x ˆ. Vezměme si například měření polohy a hybnosti částice. Víme, že amplituda pravděpodobnosti, že naměříme polohu x′ , když má částice určitou hybnost p′x je dána ′ ′ 1 hx′ |p′x i = √ eix px /~ . 2π~

(1)

Vidíme, že pravděpodobnost P , že naměříme nějakou hodnotu x′ pokud známe hybnost p′x je P = 1 = konst.. To znamená, že pravděpodobnost P je stejná pro libovolné x′ . Poloha |hx′ |p′x i|2 = 2π~ a hybnost jsou komplementární pozorovatelné. Z principu komplementarity plynou Heisenbergovy relace neurčitosti, pomocí nichž Bohr vysvětluje komplementaritu. Říká, že při pokusu rozlišit, kterou dráhou se kvantový objekt vydal dochází k nekontrolovatelné výměně hybnosti mezi detektorem dráhy a objektem a tím ke zvýšení neurčitosti hybnosti. Jednoduše lze relaci neurčitosti mezi hybností px a polohou x objektu vyjádřit nerovností ∆px ∆x ≥ 1 Korektně

~ , 2

řečeno vzniká i difrakční obrazec způsobený difrakcí elektronů na štěrbině.

(2)

Prekazka

Detektor

Zdroj

Prekazka

Detektor

Zdroj

detekovana intenzita

detekovana intenzita

Obrázek 1: Youngův experiment

kde ∆px resp. ∆x jsou neurčitosti měření hybnosti resp. polohy objektu ve směru x. V souvislosti s Youngovým experimentem lze říci, že neurčitost (2) mezi hybností a polohou nám nedovoluje (bez narušení elektronu vedoucí ke snížení vizibility interferenčních proužků) určit, kterou štěrbinou elektron prošel. Einstein, který byl odpůrcem kvantové fyziky jako nedeterministické teorie, obměnil experimentální uspořádání Youngova pokusu (více viz [7]) s cílem ukázat, že je možné zjistit dráhu elektronu a zároveň zachovat interferenci. Bohr ve své reakci však ukázal, že Einsteinovy předpoklady jsou mylné a princip komplementarity je platný. Další významný krok v oblasti kvantové komplementarity a interference udělal R.P. Feynman. Feynman představil ve dvou bodech tzv. zákon skládání amplitud [58], podle kterého můžeme zjistit, jestli bude kvantový systém interferovat či nikoli: • Pokud kvantový objekt může procházet od zdroje k měřícímu aparátu po různých cestách, které nejsou ani principiálně rozlišitelné, potom výsledná pravděpodobnost detekce výskytu tohoto objektu se získá jako absolutní hodnota na druhou ze součtu amplitud pravděpodobnosti pro jednotlivé cesty. Nastává interference. • Pokud jsou tyto cesty rozlišitelné (i v principu), potom se výsledná pravděpodobnost detekce výskytu objektu získá jako součet pravděpodobností pro jednotlivé dráhy. Interference je zničena. Zákonem skládání amplitud Feynman zobecnil pojem vlnově-částicové duality, která uvažovala jen komplementaritu mezi polohou a hybností, na obecnější dualitu mezi interferencí a znalostí dráhy. V souladu s Feynmanovým zákonem skládání amplitud můžeme zavést pojem duality: Pozorování interferenčních proužků a zjištění informace o dráze se vzájemně vylučují. Dalším krokem k porozumění komplementarity byl EPR argument. EPR argument byl výsledek myšlenkového experimentu fyziků A. Einsteina, B. Podolského a N. Rosena [3], ve kterém se snažili na ”zvláštním” kvantovém stavu dokázat, že je možné současně změřit (přesně) polohu a hybnost částice. Chtěli tím vyvrátit princip komplementarity a dokonce kvantovou teorii. Jejich ”zvláštním” kvantovým stavem byl entanglovaný pár dvou částic, který vznikl interakcí obou částic v minulosti. Poloha ani hybnost žádné z částic není v takovém stavu přesně definována, zatímco součet poloh a rozdíl hybností obou částic ano. Měřením polohy nebo hybnosti první částice okamžitě zjistíme i polohu nebo hybnost částice druhé. EPR říká, že obě částice mohou být od sebe vzdáleny velmi daleko a měření na první částici nemůže okamžitě ovlivnit částici druhou (podmínka lokality), a že výsledky měření musí být známé před provedením měření (podmínka reality), které musí být obsaženy ve fyzikální teorii (podmínka úplnosti fyzikální teorie). Protože kvantová teorie nedokáže předpovědět výsledky všech měření, EPR konstatuje, že kvantová teorie je neúplná a princip komplementarity není platný. Podívejme se konkrétně na původní verzi EPR argumentu. Uvažujme dvě částice, které interagovaly v nějakém čase od t = 0 do t = T . V čase t > T už částice neinteragují a celý systém

obou částic se vyvíjí podle Schrödingerovy rovnice. Vlnová funkce obou částic je Z ∞ Ψ(x1 , x2 ) = e(i/~)(x1 −x2 +x0 )p dp,

(3)

−∞

kde x0 je konstanta, která je rovna součtu poloh obou částic. Změříme-li hybnost první částice, musí ∂ být podle kvantové teorie její vlnová funkce rovna vlastní funkci operátoru pˆ = −i~ ∂x s vlastní 1 ′ ′ hodnotou p tj. pˆαp′ (x1 ) = p αp′ (x1 ) ′

αp′ (x1 ) = e(i/~)p x1

(4)

To, ale bude znamenat, že stav druhé částice bude díky (3) ′

′

βp′ (x2 ) = e−(i/~)(x2 −x0 )p = konst. e−(i/~)p x2 .

(5)

Stav (5) je také vlastní stav operátoru pˆx ale s vlastní hodnotou hybnosti −p′ . Podobně víme, že při měření polohy první částice bude její vlnová funkce vlastní funkcí operátoru polohy x ˆ tj. x ˆfx′ (x1 ) = x′ fx′ (x1 ) (6) fx′ (x1 ) = δ(x1 − x′ ) To, ale bude znamenat, že stav druhé částice bude díky (3) gx′ (x2 ) = ~δ(x2 − x′ − x0 ).

(7)

Stav (7) je také vlastní stav operátoru polohy xˆ ale s vlastní hodnotou x′ + x0 . Vidíme, že měřením hybnosti na jedné částici zjistíme i bez měření na druhé částici její hybnost a stejně to platí i v případě měření polohy. Výsledky měření buď mezi polohami nebo mezi hybnostmi částic jsou korelované. Avšak mezi polohou a hybností žádné korelace nejsou, protože poloha a hybnost jsou komplementární a nekompatibilní pozorovatelné. EPR pak tvrdí, že kvantová teorie je neúplná, protože nedokáže s jistotou určit všechny možné výsledky měření v EPR experimentu. Zastánci EPR však sami doufají, že je možné najít lokálně realistickou teorii navíc obsahující tzv. skryté parametry (tj. nám momentálně neznámé proměnné). Statistické předpovědi kvantové teorie by pak byly dosaženy pomocí středování přes tyto skryté parametry a lokální realismus by byl zachován. Reakce na EPR argument na sebe nenechala dlouho čekat a přišla v podobě článku od N. Bohra [4], který obhajuje kvantovou teorii tím, že na obě částice tvořící EPR pár se musíme dívat jako na společný systém. Po provedeném kvantovém měření na jedné částici se rozdělení pravděpodobnosti možných výsledků celého systému okamžitě změní. Jak už jsem uvedl výše, zavedl pojem komplementarity, aby zdůraznil, že měření např. polohy a hybnosti nelze provést s úplnou přesností v jednom experimentu, proto taková měření není možné slučovat. Avšak teprve v roce 1965 John S. Bell [5] představil ve formě nerovností možnost, jak experimentálním testem rozhodnout mezi lokálním realismem a kvantovou teorií. Bellovy nerovnosti byly od té doby mnohokrát experimentálně testovány a kvantová optika sehrála při těchto testech významnou úlohu. Výsledky testů Bellových nerovností dokumentovaly porušení Bellových nerovností o mnoho standardních odchylek. I když je komplementární chování kvantových objektů známo již téměř jedno sto let, přitahuje stále mnoho pozornosti fyziků. Důvodem jsou především nové přístupy ke kvantové komplementaritě z pohledu kvantových korelací (kvantového entanglementu) mezi kvantovými objekty, na které poprvé upozornil EPR argument. Snahou fyziků bylo kvantifikovat komplementaritu pomocí vhodných experimentálně měřitelných veličin, jak to například provedli B.-G. Englert a J. Bergou v [8]. Tyto přístupy vedly k hlubšímu poznání komplementarity a objevu kvantového smazávání (quantum erasing), které změnilo představu o ireverzibilitě kvantových procesů. Kvantové smazávání má využití v oblasti zpracování kvantové informace, kde dekoherence způsobuje ztrátu informace ze zkoumaného systému do prostředí (šum). Pomocí kvantového smazávání můžeme obnovit tuto informaci a tím umožnit fungování kvantových protokolů (o kvantových protokolech více v [55, 56, 51]). V kontextu kvantového smazávání se také začalo diskutovat o fyzikální příčině komplementarity a o rozdílném

vlivu náhodných klasických fluktuací a kvantového entanglementu na komplementaritu v různých experimentálních uspořádáních [15, 17]. Práce je pojata jako teoretická s využitím analytických výpočetních metod a opírá se o kvantovou teorii. Je rozdělena do tří kapitol. V první kapitole mojí práce podrobně představuji poznatky z oblasti kvantové komplementarity. Zabývám se zde kvantitativní analýzou duality pro dvoučásticové systémy výhradně s diskrétními proměnnými (tj. sleduji pozorovatelné jejichž příslušné operátory mají diskrétní spektrum vlastních hodnot). Představuji fenomén kvantové komplementarity - kvantové smazávání, které hraje klíčovou roli v oblasti kvantové dekoherence. Věnuji se dále základním pozorovatelným a nerovnostem kvantové komplementarity pro čisté i smíšené kvantové stavy. Dále uvádím některé z nejdůležitějších experimentů potvrzujících teoretické předpovědi chování komplementárních pozorovatelných. Ve druhé kapitole se věnuji EPR argumentu, Bellovým nerovnostem a kvantové provázanosti (entanglementu). Dále se věnuji nejdůležitějším testům Bellových nerovností. Diskutuji problémy s experimenty zabývajícími se porušením Bellových nerovností, které stále dávají prostor pro vysvětlení všech fyzikálních jevů pomocí lokálně realistických teorií. Ve třetí kapitole definuji nové pozorovatelné k popisu kvantové komplementarity pro obecné smíšené dvoučásticové stavy tak, abych mohl lépe vystihnout její souvislost s Bellovými nerovnostmi. Odvozuji nové nerovnosti mezi komplementárními pozorovatelnými a Bellovým faktorem. Na příkladě dvou konkrétních kvantových stavů demonstruji použitelnost zavedených pozorovatelných. Dále navrhuji experiment, pomocí něhož můžeme testovat navržené nerovnosti. Cílem mojí práce je analyzovat kvantovou komplementaritu a kvantové smazávání v jednoduchých dvoučásticových kvantových systémech a diskutovat možnost předpovědi výsledku měření na jedné částici při měření částice druhé s ní korelované. Za tímto účelem definuji zisky znalostí ∆K(ΠM → ΠS ) a ∆K(Π′M → Π′S ) ve dvou komplementárních bázích, které udávají nárůst schopnosti předpovědět měření ΠS , Π′S na stavu S z měření ΠM , Π′M na stavu M . Dále odvodím pro libovolný smíšený dvouqubitový stav a pro jakékoli měření ΠS , Π′S , ΠM , Π′M nerovnost 2

[∆K(ΠM → ΠS )]2 + [∆K(Π′M → Π′S )] ≤



Bmax 2

2

,

(8)

kde Bmax je Bellův faktor. Tato nerovnost omezuje naši schopnost předpovědět měření v komplemen2 tárních bázích. Pro stejná měření ΠM = ΠM ′ dostáváme následující nerovnost [∆K(ΠM → ΠS )] + 2 [∆K(ΠM → Π′S )] ≤ 1. V [45, 46] bylo ukázáno, že každý smíšený dvouqubitový stav můžeme převést pomocí lokálních filtračních operací na jedné kopii stavu stochasticky na stav diagonální v Bellově bázi, který má nulové apriorní znalosti. Znamená to, že těmito lokálními filtračními operacemi můžeme dokonce nerovnost (8) pro vhodná měření ΠS , Π′S , ΠM , Π′M převést v rovnost s obecně jiným Bellovým faktorem na pravé straně. Na dvou konkrétních příkladech kvantových stavů analyzuji vliv dekoherence na dualitu mezi komplementárními zisky znalostí. Dále navrhuji experiment pro testování odvozených nerovností pro dva typy kvantových stavů: #1 maximálně entanglovaný ˆ ˆ Bellův stav (singlet) |Ψ− i a #2 Wernerův stav R|Ψ− ihΨ− | + 1−R 4 1 ⊗ 1. Experiment je založen na experimentech pro testování Bellových nerovností v Hongově-Ouově-Mandelově interferometru. Využívá se polarizačních stavů dvou EPR korelovaných fotonů k jejichž produkci je využito spontánní sestupné parametrické konverze typu I v nelineárním krystalu v kombinaci s děličem svazku. Pomocí měření koincidencí na dvou separovaných fotonech v různých polarizačních bázích získáváme experimentální hodnoty zisků znalostí ∆K(ΠM → ΠS ) a ∆K(Π′M → Π′S ). Práci jsem vypracoval v typografickém systému LATEX 2ε pod operačním systémem GNU Slackware Linux. Grafy a některé obrázky jsem vytvořil pomocí programu GLE verze 4.0 a ostatní obrázky systémem METAPOST nebo Xfig.

1 Kvantová komplementarita 1.1

Dualita jednoho fotonu

Kvantová optika umožňuje provést jednoduché a názorné testy kvantové komplementarity pomocí interferenčních experimentů s jednotlivými fotony. Takový druh experimentu může být proveden pomocí jednofotonové interference v Machově-Zehnderově interferometru (viz Obrázek 1.1), kde apriorní informaci o dráze fotonu měníme pomocí vstupního děliče svazku s proměnným dělícím poměrem. Podívejme se jaké předpovědi pro dualitu fotonu nám dává kvantová mechanika. Abychom mohli správně demonstrovat dualitu fotonu, musíme zajistit, aby se v každé chvíli v interferometru nacházel maximálně jeden foton. Z jednofotonového zdroje se šíří foton ve stavu |Ψi na dělič svazku DS1(w) s nastavitelným dělícím poměrem (1 − w) : w. Dělič svazku nám vytvoří následující superpozici √ √ (1.1) 1 − w|Ψi + w|Ψ⊥ i, která bude záviset na zvoleném dělícím poměru (1 − w) : w. Stav |Ψi resp. |Ψ⊥ i nám udává, že foton jde horním resp. dolním ramenem interferometru. Tyto stavy jsou zřejmě ortogonální, protože je dokážeme přesně rozlišit hΨ|Ψ⊥ i = 0. V jednom rameni způsobíme relativní fázový rozdíl ϕ mezi stavy |Ψi a |Ψ⊥ i. To můžeme udělat např. posunem zrcadla Z1 a dostaneme následující změnu stavu √ √ √ √ změna fáze 1 − w|Ψi + w|Ψ⊥ i −−−−−−−−−→ 1 − w|Ψi + eiϕ w|Ψ⊥ i.

(1.2)

V souladu s definicí duality se nyní pokusíme měřit dráhu, kterou foton prošel. Za tím účelem umístíme do obou ramen jednofotonové detektory D1 a D2 jako na Obrázku 1.1 vlevo. Pokud klikne detektor D1 víme, že foton prošel horním ramenem a podobně v případě kliknutí detektoru D2 víme, že šel dolním ramenem. Matice hustoty stavu ρd před detekcí dráhy je p   w(1 − w)e−iϕ 1−w p ρd = (1.3) w(1 − w)eiϕ w

Kvantové měření vyjádříme pomocí projektorů P1 = |ΨihΨ| a P2 = |Ψ⊥ ihΨ⊥ |. Potom pravděpodobnosti p1 resp. p2 , že klikne detektor D1 resp. D2 budou p1 = Tr(ρd P1 ) = 1 − w p2 = Tr(ρd P2 ) = w

(1.4)

V reálném experimentu budeme měřit relativní četnosti detekcí a pravděpodobnosti odhadneme N1 2 takto p1 ≈ N a p2 ≈ N N0 , kde N1 resp. N2 je počet úspěšných detekcí detektorem D1 resp. D2 a N0 0 je počet vstupujících fotonů do interferometru. V experimentech Youngova typu se úvahy o dualitě teoreticky soustředily jen na extrémně komplementární situace, tj. buď pozorujeme jednotkovou vizibilitu interferenčních proužků a nevíme vůbec, kterou drahou částice prošla a nebo naopak nepozorujeme žádnou interferenci a známe přesně dráhu částice. Až v článku K.W. Wootterse a H.W. Zurka [7], se poprvé objevila myšlenka kvantifikovat interferenci a znalost dráhy a tak zjistit jaké jsou vztahy mezi nimi v případech kdy získáme jen částečnou znalost o dráze nebo interferenci. Informaci o dráze fotonu můžeme ohodnotit veličinou L = max {p1 , p2 } = max {1 − w, w},

(1.5)

D2 11111111 00000000 Z2 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111

1111111 0000000 Z2 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111

D1

D1

DS2 D2

Ψ

Ψ DS1(w)

Ψ LASER

1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 Z1 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111

DS1(w)

fáze LASER

Ψ

11111111111111 00000000000000 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 Z1 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111

fáze

Obrázek 1.1: Měření duality jednoho fotonu

která nabývá hodnot mezi 12 a 1. Hodnota L = 1 nám říká, že naše znalost dráhy bude dokonalá, zatímco pro L = 12 budou naše předpovědi zcela náhodné. Výslednou informaci o dráze fotonu můžeme lépe ohodnotit pomocí předpověditelnosti P = 2L − 1, která se rovná rozdílu mezi oběma pravděpodobnostmi 1 P = |p1 − p2 | = |1 − 2w| ≈ |N1 − N2 | (1.6) N0 Abychom mohli měřit interferenci, umístíme před detektory D1 a D2 další dělič svazku DS2 s dělícím poměrem 12 : 21 (viz Obrázek 1.1 vpravo), který způsobí následující změnu stavu √

√ √ √ √ √ o 1 n DS2 1 − w|Ψi + eiϕ w|Ψ⊥ i −−−→ √ |Ψi( 1 − w + eiϕ w) + |Ψ⊥ i( 1 − w − eiϕ w) . 2

Stav před detekcí bude dán maticí hustoty p  1 + cos(ϕ) w(1 2 p − w) ρi = 1 − w − i sin(ϕ) w(1 − w) 2

1 2

p  − w + i sin(ϕ) w(1 − w) p . 1 2 − cos(ϕ) w(1 − w)

(1.7)

(1.8)

Vyjádříme pravděpodobnost p(ϕ), že klikne detektor D1 p(ϕ) = Tr(ρi P1 ) = Interferenci vyjádříme pomocí vizibility V0 =

p 1 + cos(ϕ) w(1 − w) 2

p pmax − pmin = 2 w(1 − w), pmax + pmin

(1.9)

(1.10)

kde pmax = maxϕ p(ϕ) a pmin = minϕ p(ϕ). Experimentálně nejdříve změříme četnost detekcí M1 (ϕ) na detektoru D1 v závislosti na změně fáze ϕ. Tím získáme aproximaci p(ϕ) pomocí relativní četnosti 1 (ϕ) detekcí p(ϕ) ≈ MM , kde M0 je počet fotonů vstupujících do interferometru. Mezi P a V0 můžeme 0 odvodit rovnost P2 + V02 = (1 − 2w)2 + 4w(1 − w) = 1 (1.11) Rovnost (1.11) vyjadřuje dualitu mezi zjištěním dráhy a interferencí. Můžeme ji experimentálně testovat pro různé hodnoty parametru w tím, že provedeme nejdříve experiment s měřením dráhy fotonu a potom za stejných podmínek druhý experiment s měřením interference. Pomocí relativních četností vyjádříme P a V0 a dosadíme je do rovnosti (1.11). Parametr w nám přesně udává jakou informaci máme o dráze fotonu a zároveň jakou vizibilitu interferenčních proužků jsme schopni pozorovat. Dělící poměr w nám vyjadřuje účinnost detekce dráhy. Tento příklad ukazuje, že čím lépe víme, kterou dráhou se kvantový objekt vydal, tím horší interferenční obrazec dostaneme a naopak. Je zde zcela evidentní komplementární chování mezi znalostí dráhy, kterou objekt prošel a vizibilitou interferenčních proužků. Důležité je, že dualita

ρ

ρ ρ

S

ρ

S

ρ

SM

M

M

ρ=ρ ⊗ ρ 0

S

M

pˇ red interakc´ı

interakce

po interakci

Obrázek 1.2: Dva interagující kvantové systémy

vyjádřená relací (1.11) byla experimentálně testována jak pro polní částice (fotony [9, 14]) tak i částice hmotné (neutrony [10, 11], atomy [12]). Experimenty s neutrony potvrzující relaci (1.11) byly provedeny ve skupině H. Raucha ve Vídni [10, 11]. Bylo využito neutronové interferometrie, kde zdrojem neutronů je jaderný reaktor. Svazek neutronů letící ze zdroje je zeslaben tak, že se v interferometru nachází vždy jen jeden neutron. Interferometrem je monolitický křemíkový krystal. Pomocí absorpčního materiálu v jednom rameni interferometru se simuluje vliv detekce dráhy na vizibilitu interferenčních proužků (to odpovídá v případě fotonů výše popsanému děliči svazku s proměnným dělícím poměrem). Jejich experimentální data potvrzují rovnost (1.11).

1.2

Dualita při interakci qubitu s prostředím

Při analýze duality v předchozích experimentech byl detektor uvažovaný jako klasický měřící přístroj. Jestliže budeme uvažovat detektor jako kvantový objekt, dostaneme kvalitativně jiný pohled na kvantovou komplementaritu. Umožní nám to v jistých případech pomocí vhodného měření na kvantovém stavu detektoru získat více informace o dráze nebo větší vizibilitu interferenčních proužků. Podívejme se na to, jak vyjádřit interakci stavu se dvěma stupni volnosti (qubitem) a prostředím. Tento plně kvantový model interakce nám bude sloužit jako základ pro studium kvantové komplementarity. Příkladem qubitu by mohl být spin elektronu (”nahoru”, ”dolů”), polarizace fotonu (vertikální, horizontální) nebo Ramseyho interferometr (přechod v první nebo druhé zóně) V následné analýze není důležité jakou konkrétní fyzikální realizaci qubitu zvolíme, všechny tyto systémy jsou kinematicky ekvivalentní. Matice hustoty ρS pro obecný smíšený stav se dvěma stupni volnosti se dá vyjádřit jako √ √ (1.12) ρS = w1 |ΨiS hΨ| + w2 |Ψ⊥ iS hΨ⊥ | + ε w1 w2 |Ψ⊥ iS hΨ| + ε∗ w1 w2 |ΨiS hΨ⊥ |, kde |ΨiS a |Ψ⊥ iS jsou dva ortogonální stavy, které charakterizují qubit. Z kvantové teorie víme, jaké vlastnosti musí mít matice hustoty. Proto pro náš stav platí ρS

≥

Tr(ρS ) =

0 1,

(1.13)

ze kterých vyplynou podmínky na koeficienty w1 , w2 a ε v (1.12) 0 ≤ w1,2 ≤ 1

w1 + w2 = 1 |ε| ≤ 1.

(1.14)

Obrázek 1.3: Měřením na M zvyšujeme znalost nebo vizibilitu na S

mˇeˇren´ı na M

M ρSM S

mˇeˇren´ı na S

pˇr´ıprava obecn´eho stavu ρSM

Pokud je |ε| = 1, dostáváme čistý stav. Pro takový obecný stav dostaneme následující hodnoty předpověditelnosti a apriorní vizibility P V0

= |w1 − w2 | √ = 2 w1 w2 |ε|.

(1.15) (1.16)

Nyní se podívejme jak vyjádřit qubity, které interagují s okolním prostředím. Schéma takové interakce je na Obrázku 1.2. Před interakcí je celkový stav qubitu a prostředí ρ0 = ρS ⊗ ρM . Interakce takového systému znamená, že jeho podsystémy byli po určitou dobu v kontaktu. Stav se vyvíjel podle dynamických zákonů kvantové teorie. Obecně můžeme celkový systém po interakci vyjádřit jako √ (1) (2) ρSM = w1 |ΨiS hΨ|ρM + w2 |Ψ⊥ iS hΨ⊥ |ρM + w1 w2 (|Ψ⊥ iS hΨ|χM + |ΨiS hΨ⊥ |χ†M ), (1.17) kde S označuje náš zkoumaný systém a M prostředí. Všimněme si, že obecně nelze matici hustoty ρSM stavu po interakci vyjádřit jako direktní součin matic hustoty jeho podsystémů S a M . Lze si (1) (2) všimnout, že stavy prostředí vyjádřené operátory ρM , ρM a χM jsou závislé na změně báze qubitu S. Pokud chceme vyjádřit stav systému S resp. prostředí M provedeme stopu přes prostředí M resp. sytém S. V průběhu interakce se dva systémy vzájemně provazují (entanglují) tak, že vzniká obecně neseparabilní (entanglovaný) stav.

1.3

Kvantifikace duality

Uvažujme obecný smíšený stav (1.17), který vznikl po interakci qubitu S a nějakého prostředí M , které nám bude sloužit jako pomocný systém monitorující zkoumaný systém S. Předpokládejme, že jsme schopni takový stav připravit. Budeme provádět měření na prostředí M a snažíme se z výsledků měření co nejlépe předpovídat buď dráhu, kterou systém S prošel nebo zvýšit vizibilitu interferenčních proužků. Schéma takového měření je na Obrázku 1.3. (k) Uvažujme tedy nějaké měření ΠM vyjádřené projektory PM s vlastností X (k) (k) (l) (k) PM PM = δkl PM , PM = ˆ1M . (1.18) k

Měřením na stavu (1.17) budeme získávat různé výsledky s pravděpodobností (k)

p(k) = TrSM (PM ρSM )

(1.19) (k)

Tedy s pravděpodobností p(k) dostaneme výsledek odpovídající PM a my víme, že zkoumaný qubit se dostal do stavu, který je dán parciální stopou přes systém M (k)

ρS =

(k)

(k)

TrM (PM ρSM ) (k)

TrSM (PM ρSM )

=

TrM (PM ρSM ) . p(k)

(1.20)

p(2) (2)

3)

,ε (

)

( 2 3)

p (3

( 1 3)

(1) )

,ε

ΠM

,w

(w1 , w2 , ε)

)

(1)

,w2

(1)

(1)

p

(w 1

Netˇr´ıdˇen´e qubity

(2)

(w1 , w2 , ε(2) )

(w

Mˇeˇren´ı

Obrázek 1.4: Třídění qubitů do skupin podle výsledku měření

Tím jsme stav qubitu roztřídili podmíněně do k skupin podle výsledku měření (viz Obrázek 1.4). (k) (k) Formálně můžeme zapsat stavy (1.20) podobně jako stav (1.12) s novými parametry w1 , w2 a ε(k) . S ohledem na získání co největší možné informace o dráze fotonu vyjádříme v každé skupině (k) (k) (k) předpověditelnosti P(PM ) = |w1 − w2 | a sečteme je s váhami danými pravděpodobnostmi (1.19). Dostaneme veličinu znalost X X X (k) (k) (k) (k) (1) (2) K(ΠM ) = p(k) P(PM ) = p(k) |w1 − w2 | = |TrM {PM (w1 ρM − w2 ρM )}|, (1.21) k

k

k

která nabývá hodnot od 0 do 1. Znalost K vyjadřuje rozdíl mezi správným a špatným odhadem dráhy, který jsme provedli po měření ΠM . Např. K = 0.6 znamená, že ve 20% případů budeme hádat špatně a v 80% případů správně. Naše schopnost předpovědět dráhu systému S závisí na provedeném měření na prostředí M . Největší hodnotu K(ΠM ) nazýváme rozlišitelnost (1)

(2)

(1.22)

D = max K(ΠM ) = TrM |w1 ρM − w2 ρM |, ΠM

kde 0 ≤ D ≤ 1. Všimněme psi, že se v definici rozlišitelnosti vyskytuje absolutní hodnota z operátoru. ˆ ˆ† ˆ Tu počítáme jako hodnoty p|X| = X X (více viz [59]). My však chceme spočítat stopu z absolutní √ ˆ kde navíc X ˆ †X ˆ je matice konečného rozměru. Potom Tr|X| ˆ = P λk , kde ˆ † X), operátoru tj. Tr( X k ˆ † X. ˆ Nejmenší hodnota znalosti odpovídá situaci, kdy neprovádíme λk jsou vlastní hodnoty matice X žádné měření a rovná se předpověditelnosti

P = min K(ΠM ) = |w1 − w2 |,

(1.23)

ΠM

kde 0 ≤ P ≤ 1. Mezi právě definovanými veličinami platí zřejmá nerovnost P ≤ K(ΠM ) ≤ D.

(1.24)

Rozlišitelnost D tedy odpovídá maximální možné znalosti o dráze systému S, kterou můžeme získat měřením na prostředí M . Naopak předpověditelnost P odpovídá apriorní znalosti o dráze systému S bez provedení měření na M . Abychom získali pomocí kvantového měření co největší vizibilitu interferenčních proužků, vyjáq (k)

(k)

(k)

dříme nyní v každé skupině apriorní vizibility V0 (PM ) = 2 w1 w2 ε(k) a sečteme je s váhami danými pravděpodobnostmi (1.19). Dostaneme vizibilitu q X X X √ (k) (k) (k) (k) (k) (k) w1 w2 |ε(k) | = 2 w1 w2 (1.25) |TrM (PM χM )|, V(ΠM ) = p V0 (PM ) = 2p k

k

k

která nabývá hodnot od 0 do 1. Největší hodnotu vizibility dosažitelnou kvantovým měřením budeme nazývat koherencí1 √ (1.26) C = sup V(ΠM ) = 2 w1 w2 TrM (|χM |). ΠM

1 Výskyt

suprema v definici koherence je vyjádřením faktu, že pro některé stavy neexistuje měření, které by ji maximalizovalo. Více viz [8].

Obrázek 1.5: Machův-Zehnderův interferometr. Schéma experimentu provedeného Schwindtem et al. [14]. D2

Z1

PDM

DS2

CD

PD

H V D1

PDS

DS1

Z2

LASER

Nejmenší hodnotu vizibility pak představuje apriorní vizibilita V0 , kterou získáme bez provedení měření. Mezi výše definovanými veličinami platí opět zřejmá relace V0 ≤ V(ΠM ) ≤ C.

(1.27)

Získání větší vizibility interferenčních proužků odpovídá kvantovému smazávání jak už jsem zmínil dříve. Dualitu můžeme demonstrovat pomocí nerovností, které se dají odvodit mezi výše zavedenými veličinami. Nerovnost V02 + D2 ≤ 1 (1.28) nazývaná relace duality, nám udává jakou největší informaci o dráze můžeme získat při dané apriorní vizibilitě. Další nerovnost P2 + C2 ≤ 1 (1.29) nazývaná relace smazávání, nám udává jakou největší koherenci můžeme získat při dané předpověditelnosti. Vyjadřuje tedy efektivitu kvantového smazávání. Z nerovností (1.28) a (1.29) snadno odvodíme nerovnost mezi P a V0 P2 + V02 ≤ 1, (1.30) která vyjadřuje komplementární chování mezi apriorní vizibilitou a předpověditelností. S případem, kdy se nerovnost (1.30) saturuje jsme se setkali v úvodu této kapitoly. Dá se však odvodit i fundamentálnější nerovnost K2 (ΠM ) + V2 (ΠM ) ≤ 1, (1.31) která ukazuje komplementární vztah mezi znalostí a vizibilitou pro zvolené měření ΠM (určité zvolené třídění). Uvažujme Machův-Zehnderův interferometr jako na Obrázku 1.5. Ze zdroje fotonů se šíří jednotlivě na dělič svazku vertikálně lineárně polarizované fotony ve stavu |V iM . Po průchodu děličem √ √ svazku DS1 dostaneme stav |Si = w1 |ΨiS |V iM + w2 |Ψ⊥ iS |V iM , kde stavy |ΨiS resp. |Ψ⊥ iS charakterizují dolní resp. horní rameno interferometru. Potom se fotony odráží na zrcadlech Z1 a Z2 . V jednom rameni interferometru jsme umístili půlvlnovou fázovou destičku PDM , která v závislosti na jejím úhlu natočení θ mění polarizaci přicházejícího fotonu. Stav se za touto destičkou mění na |Sθ i =

√ √ w1 |ΨiS |V iM + w2 |Ψ⊥ iS (cos 2θ|V iM + sin 2θ|HiM ).

(1.32)

Při θ = 0 se polarizace nemění a při θ = 45 ◦ se vertikální polarizace mění na horizontální (|V iM → |HiM ). Potom následuje druhý dělič svazku DS2 a polarizační analyzátor skládající se ze čtvrtvlnové fázové destičky ČD, půlvlnové fázové destičky PD, polarizačního děliče svazku PDS a dvou

Obrázek 1.6: Experimentální data a teoretické křivky vizibility V a znalosti K pro vertikálně polarizovaný vstup v závislosti na úhlu θ natočení půlvlnové destičky PDM . (Zdroj: Schwindt et al. [14])

V 2+ K2

1 0.8 0.6

Znalost 0.4 (optimalni baze) 0.2

Vizibilita

(ne optimalni baze) 0 0˚

7.5˚

15˚

θ

22.5˚

30˚

37.5˚

45˚

jednofotonových detektorů D1 a D2 , který nám umožní provádět kvantové měření na systému M v libovolné polarizační bázi. Toto měření můžeme vyjádřit projektory 1 sin 2α(e−iβ |V iM hH| + h.c.) 2 1 (2) PM (α, β) = sin2 α|V iM hV | + cos2 α|HiM hH| − sin 2α(e−iβ |V iM hH| + h.c.), 2 (1)

PM (α, β) = cos2 α|V iM hV | + sin2 α|HiM hH| +

(1.33)

které splňují následující vztahy (1)

(2)

(1)

(2)

PM (α, β)PM (α, β) = 0, PM (α, β) + PM (α, β) = 1.

(1.34)

Prozatím uvažujme, že měříme v bázi |V iM , |HiM (α = β = 0). Co se stane v případě, že θ = 0? Stav před druhým děličem svazku bude roven |S0 i =

√ √ w1 |ΨiS |V iM + w2 |Ψ⊥ iS |V iM .

(1.35)

To znamená, že v tomto případě nezjistíme pomocí měření polarizace fotonu, kterým ramenem foton prošel. Dráhy se stávají nerozlišitelné a my budeme pozorovat interferenci. V případě, že θ = 45 ◦ se stav před děličem svazku změní na |S45 ◦ i =

√ √ w1 |ΨiS |V iM + w2 |Ψ⊥ iS |HiM .

(1.36)

Nyní měřením polarizace můžeme dokonale rozlišit, jestli šel foton horním nebo dolním ramenem, protože polarizace fotonu nám monitoruje dráhu fotonu. Interference vymizí. Položme si nyní otázku, jak můžeme předpovídat ještě před měřením, kterým ramenem foton projde. Vhodnou veličinou k popisu dráhy je předpověditelnost P = |hΨ|S TrM (|Sθ ihSθ |)|ΨiS − hΨ⊥ |S TrM (|Sθ ihSθ |)|Ψ⊥ iS | = |w1 − w2 |.

(1.37)

Je to rozdíl pravděpodobností w1 resp. w2 , že foton projde horním resp. dolním ramenem. Předpověditelnost je vyjádřením naší apriorní znalosti o dráze, kterou foton prošel. V našem případě souvisí s vyvážeností děliče svazku. Např. u vyváženého děliče svazku (w1 = w2 = 12 ) dostáváme P = 0 a tedy nemáme žádnou apriorní znalost o dráze fotonu. Pokud by bylo např. w1 = 1 (w2 = 0), věděli bychom apriori, že foton projde dolním ramenem P = 1. Pro kvantifikaci interference zvolíme opět vizibilitu interferenčních proužků. Definujme pravděpodobnost p(ϕ), že systém S nalezneme v superpozici |Iϕ i = √12 (|Ψi + eiϕ |Ψ⊥ i). Tedy p(ϕ) = TrSM (|Sθ ihSθ ||Iϕ ihIϕ |). Fázi ϕ měníme pomocí posuvného zrcadla Z2 . Potom apriorní vizibilita bude V0 =

pmax − pmin pmax + pmin

(1.38)

0.6

(a)

0.4

Vizibilita Znalost V 2+ K2

0.2 0 1

(b) 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0˚

(c)

7.5˚

22.5˚

θ

30˚

37.5˚

45˚

1 Exp. data

0.8 2

Teorie

0.6

Teorie + korekce

2

V +K

15˚

0.4 0.2 0 0

1/3

F

2/3

1

Obrázek 1.7: Teoretické výsledky a experimentální data pro K a V. (a) úplně smíšený stav. (b) smíšený stav s čistotou 65%. (c) Měření K2 + V2 v závislosti na čistotě stavu F. (Zdroj: Schwindt et al. [14])

Tato vizibilita je vyjádřením apriorní schopnosti kvantového systému interferovat. V našem konkrét√ ním příkladě dostaneme V0 = 2 w1 w2 | cos 2θ|. Vidíme, že v případě P = 0 a pro θ = 0 (stav (1.35)) dostáváme V0 = 1, ale pro θ = 45 ◦ (stav (1.36)) je V0 = 0 v souladu s naším předchozím rozborem. Půlvlnová destička v rameni interferometru při vhodném natočení označí cestu1 fotonu a tím ovlivní apriorní vizibilitu. Qubit reprezentovaný v našem příkladě interferometrem se dvěma ortogonálními stavy |ΨiS a |Ψ⊥ iS bude interagovat se stavem polarizace fotonu. Tím se vytvoří entanglovaný stav (1.32), jehož míra provázanosti (entanglementu, míra korelací) bude dána parametrem θ, který můžeme kontrolovat pomocí natočení půlvlnové destičky uvnitř interferometru. Uvažujme nyní stav (1.36) s P = 0, o kterém víme, že V0 = 0. Ukážeme si nyní, že je možné docílit pomocí kvantového měření polarizace fotonu v různých bázích buď zvýšení vizibility interferenčních proužků nebo zvýšení možnosti předpovědět dráhu fotonu interferometrem. Pokud budeme měřit v původní bázi α = 0, β = 0 budeme schopni získat úplnou informaci o tom, kterým ramenem foton prošel. Tedy klikne buď detektor D1 nebo D2√ . Pokud budeme provádět měření v bázi α = 45 ◦ , β = 0 √ tj. |+iM = 1/ 2(|V iM + |HiM ), |−iM = 1/ 2(|V iM − |HiM ), bude se nám stav (1.36) jevit v této bázi jako r r w1 w2 (|ΨiS + |Ψ⊥ iS )|+iM + (|ΨiS − |Ψ⊥ iS )|−iM . (1.39) |S45 ◦ i = 2 2 To znamená, že měřením v bázi |+iM , |−iM nebudeme schopni rozlišit jestli šel foton horním ramenem nebo dolním. Tímto měřením vlastně ”smažeme” informaci o dráze fotonu, proto proceduru obnovení vizibility interferenčních proužků měřením na pomocném systému nazýváme kvantové smazávání. Nyní je zřejmé, že pokud zvolíme nějaké další měření v bázi, která je různá od výše uvedených dvou budeme schopni v jednom experimentu (tzv. simultánní měření) získat nějakou informaci (neúplnou) o dráze fotonu, která se rovná znalosti K(α, β) i zvýšit vizibilitu interferenčních proužků V(α, β). Maximální znalost bude dána rozlišitelností D a maximální vizibilita koherencí 1 Anglicky

takový element označujeme jako ”Which Way Maker”

Obrázek 1.8: Graf znázorňující znalost a vizibilitu v závislosti na měření α pro stav |Ψ− i. 1.2

2

2

2

2

K ( ), V ( )

K ( )+V ( ) 1.0 0.8 0.6 0.4

0.0

2

2

0.2

K( )

V( ) 0

/16

/8

3 /16

/4

C. Vezměme stav (1.36) pro P = 0. Podívejme se jak v tomto případě vypadají znalost K(α) a vizibilita V(α) v závislosti na provedeném měření α (β = 0) na prostředí M , které je vyjádřeno pomocí projektorů (1.33). Dostaneme K(α) V(α)

= | cos(2α)|

= | sin(2α)|.

(1.40)

a jako limitní případy, pro žádné nebo optimální měření dostaneme V0 = P = 0

(1.41)

D=C=1 V relaci (1.31) dostáváme rovnost. Dále vidíme, že můžeme dostat jednotkovou vizibilitu tj. koherenci a také jednotkovou znalost tj. rozlišitelnost, avšak pro různá měření α. Grafy K2 (α) a V2 (α) pro β = 0 jsou na Obrázku 1.8. Na nich je zřetelně vidět komplementární chování mezi znalostí a vizibilitou. S měnícím se měřením (vzrůstajícím α) se znalost dráhy K(α) snižuje a naproti tomu se vizibilita V(α) zvyšuje. Kvantové smazávání je způsobeno existencí korelací mezi systémem a prostředím a je závislé na naší schopnosti najít vhodné měření a také takové měření provést. Obrázek 1.5 představuje uspořádání experimentálního testu duality a kvantového smazávání, který provedli Schwindt, Kwiat a Englert [14] s fotony o vlnové délce 670 nm. Pro detekci využili lavinové fotodiody použité v Geigerově režimu a jednofotonové moduly s účinností kolem 60%. Aby mohli produkovat fotony ve Fockově stavu, museli zeslabit vstupní pulzy tak, aby pravděpodobnost, že se v interferometru vyskytnou dva a více fotonů byla téměř nulová. Vizibilita byla měřena tak, že byly odstraněny následující elementy polarizační dělič svazku PDS a čtvrtvlnová ČD a půlvlnová destička PD a potom počítány relativní četnosti jednoho z detektorů v závislosti na měnící se fázi (provedli také redukci na okolní šum). Fáze byla měněna posouváním zrcadla piezoelektrickým měničem. Potom byly tyto elementy vráceny zpět a mohla být měřena znalost.

Nejprve měřili znalost K a vizibilitu V v optimalizované bázi v závislosti na úhlu θ natočení půlvlnové destičky uvnitř interferometru . Pro případ kdy vstupní stav byl lineárně polarizovaný foton |V i experimentální data potvrdila teoretické předpovědi (na Obrázku 1.6) tj. vizibilita s rostoucím úhlem θ klesá a znalost naopak. Dále postavili zdroj, který byl schopný připravit libovolný smíšený stav. Využili diodový laser a zařízení, které bylo schopno kontrolovat relativní poměr vertikální a horizontální polarizace ve výstupním stavu. Provedli stejná měření i na smíšených stavech s různým stupněm čistoty a dostali opět shodu s teoretickými výsledky (Obrázek 1.7). Dále provedli kvantové smazávání na čistém stavu pro různá θ a také na smíšeném stavu (1:2 čistý:smíšený). Potvrdili teoretické výsledky i v tomto případě (Obrázek 1.9).

Obrázek 1.9: Experimentální data a teoretické křivky kvantového smazávání v závislosti na zvoleném měření α pro různé vstupní stavy: (a) vertikálně polarizovaný vstupní stav, který byl otočen uvnitř interferometru o úhel θ = 45 ◦ (plná čára) nebo o úhel θ = 10 ◦ (tečkovaná čára). (b) úplně smíšený stav pro θ = 45 ◦ . (c) smíšený stav (33% čistoty) pro θ = 22, 5 ◦ (plná čára). Pro srovnání jsou zobrazeny i teoretické výsledky pro čistý stav (tečkovaná čára) a úplně smíšený stav (čárkovaná čára). (Zdroj: Schwindt et al. [14]) 1

Vizibilita

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -90˚ -75˚ -60˚ -45˚ -30˚ -15˚ 0˚ 15˚ 30˚ 45˚ 60˚ 75˚ 90˚ (a) α 1

Vizibilita

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -90˚ -75˚ -60˚ -45˚ -30˚ -15˚ 0˚ 15˚ 30˚ 45˚ 60˚ 75˚ 90˚ α (b) 1

Vizibilita

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -90˚ -75˚ -60˚ -45˚ -30˚ -15˚ 0˚ 15˚ 30˚ 45˚ 60˚ 75˚ 90˚ α (c)

1.4

Příklady

Podívejme se nyní na konkrétní příklady duality a kvantového smazávání v Machově-Zehnderově interferometru z Obrázku 1.5. Zkoumáme jakým způsobem je systém S monitorován systémem M díky vzájemným korelacím. Budeme diskutovat případy bez dekoherence i s dekoherencí v systému S i M , která je způsobena klasickou náhodnou fluktuací fáze nebo náhodnou změnou polarizace.  Představme si ideální případ, při kterém neuvažujeme v experimentu žádné fázové fluktuace ani ve stavu systému S ani v prostředí M . Je to případ bez dekoherence. V souladu s notací zavedenou v sekci 1.2 vyjádříme obecný čistý stav jako

|ψiSM =

p
√ √ w1 |ΨiS |V iM + w2 eiϕ |Ψ⊥ iS 1 − D2 |V iM + Deiξ |HiM ,

(1.42)

kde D je experimentální parametr, který nám říká, jak dobře jsme schopni rozlišit mezi |ΨiS a |Ψ⊥ iS (vyjadřuje natočení půlvlnové destičky PDM ) a ϕ je relativní fáze mezi stavy systému S a √ ξ je relativní fáze mezi stavy prostředí M . Pokud zavedeme další parametr U = 2 w1 w2 můžeme

vyjádřit apriorní vizibilitu V0 , předpověditelnost P, rozlišitelnost D a koherenci C p V0 = U 1 − D2 p 1 − U2 P = p 1 − U 2 (1 − D2 ) D = C =

U

(1.43)

Pokud dosadíme uvedená vyjádření do relace duality (1.28) a smazávání (1.29) dostaneme v obou případech rovnost. To znamená, že v případě bez dekoherence dostáváme ideální případ duálního chování i kvantového smazávání. Víme přesně kolik informace můžeme získat o dráze fotonu při dané apriorní vizibilitě a také o kolik můžeme zvýšit koherenci při dané předpověditelnosti.  Podívejme se nyní na případ dekoherence jen v systému S. Uvažujme pro jednoduchost stav (1.42) s P = 0 (tj. U = 1). Necháme fluktuovat relativní fázi ϕ (tu můžeme indukovat pomocí fluktuace v nastavení zrcadla Z2 ) v systému S s gaussovským pravděpodobnostním rozdělením  1 ϕ2  p(ϕ) = √ exp − 2 , 2σ σ 2π

(1.44)

kde σ 2 je variance. To znamená, že výslednou matici hustoty musíme středovat přes fázové rozdělení. Zavedeme nový parametr R, který bude charakterizovat odolnost vůči dekoherenci R=

∞

 σ2  p(ϕ)e±iϕ dϕ = exp − 2 −∞

Z

(1.45)

R je tím menší čím větší jsou fázové fluktuace (variance σ 2 ). Dostaneme p V0 = R 1 − D2 P =

0

D =

D

C =

R.

(1.46)

Vidíme, že se vzrůstající dekoherencí, klesá apriorní vizibilita i koherence. Zatímco rozlišitelnost není dekoherencí ovlivněna. Dekoherence také způsobila, že nedosáhneme rovnosti v relacích (1.28) a (1.29), protože matice hustoty stavu po dekoherenci pro R < 1 už nepředstavuje čistý stav.  Podobně vyřešíme situaci, kdy dekoherence působí jen v prostředí M . To znamená, že systém M , který slouží k monitorování systému S je sám monitorován jiným prostředím. Podívejme se na dekoherenci v prostředí M způsobenou náhodnou změnou polarizace fotonu. Neuvažuji fázovou dojde ještě před interakcí fotonu s půlvlnovou fluktuaci. Představme si, že s pravděpodobností 1−R 2 destičkou PDM ke změně polarizace z vertikální na horizontální a naopak (tj. |V iM ⇄ |HiM ) a s ke změně nedojde. Potom dostaneme pravděpodobností 1+R 2

P =

p 1 − D2

D =

RD

C =

1

V0

=

0

(1.47)

Náhodná změna polarizace nám způsobí snížení možnosti rozlišit dráhu fotonu, ale neovlivní nám možnost smazat informaci o dráze. V relaci smazávání dostaneme rovnost, ale v relaci duality rovnost pro R < 1 nedostaneme. Nyní necháme fluktuovat jen relativní fázi ξ mezi polarizačními stavy fotonu |V iM a |HiM . Pokud předpokládáme stejné rozdělení pravděpodobnosti fluktuací a P = 0 jako v předchozím

x D0 LS 000000 111111 111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111

D4 D2

B

A

LASER

111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 GT 000000 111111

BBO

BSB

Z2

BSA

BS KOINCIDENCE

D3 Z1 D1

Obrázek 1.10: Schéma experimentu se zpožděnou volbou. (Zdroj: Kim et al. [44]).

příkladě dostaneme V0 P

=

p 1 − D2

= 0

p D = D D2 + R2 (1 − D2 ) p 1 − D2 (1 − R2 ) C =

(1.48)

Dekoherence v prostředí M způsobená fluktuací fáze nám ovlivňuje rozlišitelnost i koherenci. Pro R = 0, dostaneme rozlišitelnost D = D2 , která klesá rychleji než v případě dekoherence v systému (D = D). Koherence C je pro R = 0 rovna vizibilitě V0 , to znamená, že nelze smazat žádnou informaci.

1.5

Experimentální testy duality

S rozvojem teorie o dualitě, vzrůstala potřeba provést experimentální testy dosažených teoretických výsledků. Některé testy jsem již uvedl v předcházejících podkapitolách. Další testy s fotony provedli Trifonov et al. v [9] a Herzog et al. v [16]. V této podkapitole se budu zabývat velice důležitým druhem experimentu tzv. experimentem se zpožděnou volbou (delayed choice experiment). To je druh experimentu, ve kterém systém S a systém M jsou dva fyzicky separované systémy. V takovém experimentu můžeme nejdříve detekovat systém S a až potom se rozhodnout, jestli budeme zjišťovat dráhu nebo provádět kvantové smazávání systému S prostřednictvím měření na systému M . Chceme tím dokázat, že volba okamžiku měření nemá vliv na dualitu. V experimentu v Machově-Zehnderově interferometru, který jsem popsal v podkapitole 1.2 není možné experiment se zpožděnou volbou provést, protože polarizační stav fotonu není možné odseparovat od fotonu samotného a v experimentu nám s detekcí fotonu zaniká i jeho polarizační stav! Experiment se zpožděnou volbou provedli Y.-H. Kim, R. Yu, S.P. Kulik, Y.H. Shih a M.O. Scully [44]. Jeho schéma je na Obrázku 1.10. Světlo o vlnové délce 351,1 nm

přichází z argonového-iontového laserového zdroje na dvouštěrbinovou překážku. Za překážkou se nachází nelineární krystal BBO, kde dochází buď v oblasti označené A nebo B ke spontánní sestupné parametrické konverzi typu II (SPDC-II), vstupního fotonu světla na dva fotony výstupní zvané signální a jalový. Výstupní pár fotonů z oblasti A nebo B je neklasicky korelovaný (entanglovaný) a tvoří tzv. EPR pár. O produkci EPR párů se zmíním v další kapitole. Signální foton se šíří směrem ke spojné čočce LS, která vytvoří ve svém ohnisku Fourierův obraz, signální vlny a tím nám zajistí jednodušší výpočty ve Fraunhoferově aproximaci. Tento obraz můžeme zaznamenávat posuvem detektoru D0 ve směru x. Jalový foton přichází přes Glenův-Thompsonův hranol do vyváženého interferometru. Např. uvažme cestu jalového fotonu generovaného v oblasti B interferometrem. Foton B se s 50% pravděpodobností odrazí na děliči svazku BSB k detektoru D4. Kliknutí detektoru D4 nám poskytne informaci, že foton vznikl v místě B tj. získáme informaci o dráze fotonu a protože jsou jalový a signálový foton entanglovány získáme dráhovou informaci i o signálovém fotonu! S 50% pravděpodobností však foton projde děličem svazku BSB a po odraze na zrcadle Z2 přichází na další dělič svazku BS. Opět se může odrazit nebo projít a tak způsobit kliknutí detektoru D2 nebo D1. Ze symetrického uspořádání experimentu vidíme, že podobná analýza platí i pro foton, který vznikl v oblasti A. Informaci o jeho dráze zaznamenává detektor D3. Pokud projde foton A děličem svazku BSA po odraze od zrcadla Z1 přichází na dělič svazku BS, kde se buď odrazí nebo projde a klikne detektor D1 nebo D2. Vidíme, že dělič svazku BS způsobí, že pomocí detektorů D1 a D2 nejsme schopni rozlišit foton A od fotonu B. Dělič svazku smaže informaci o cestě fotonu a obnoví interferenci. Dvoufotonová interference se měří pomocí koincidencí mezi detektorem D0, kterým procházíme ve směru x a vždy jedním z dalších detektorů. Předpokládáme, že v případě koincidence mezi D3 a D0 (četnost koincidencí označíme R03 ) nebo D4 a D0 (R04 ) nebude docházet k interferenci, zatímco v případě koincidence mezi D1 a D0 (R01 ) nebo D2 a D0 (R02 ) budeme schopni pozorovat interferenci. Abychom mohli považovat tento experiment za experiment se zpožděnou volbou je optická dráha mezi krystalem BBO a detektorem D0 zvolena kratší než optická dráha mezi detektorem D0 a ostatními detektory. V experimentu činil tento rozdíl 2,5 m. To byl dostatečný rozdíl s ohledem na časovou odezvu detektorů (1 ns), aby mohli zajistit nejdříve detekci signálového fotonu detektorem D0 a teprve potom se zpožděním odpovídajícímu době, kterou světlo projde dráhu 2,5 m tj. 8 ns detekovat jalový foton některým z ostatních detektorů. Jinými slovy úspěšná koincidence nastala jestliže jalový foton byl detekován právě za dobu 8 ns od detekce signálového fotonu. Teoretické předpovědi pro četnost koincidencí R01 , R02 , R03 a R04 se dají spočítat s pomocí fotodetekční rovnice. Ve Fraunhoferově aproximaci a se započtením difrakce na štěrbině [61] dostaneme     xπb xπa cos2 R01 ∝ sinc2 fλ fλ     xπa xπb R02 ∝ sinc2 sin2 fλ fλ   xπa R03 ∝ sinc2 fλ R04 = R03 ,

(1.49)

kde a je šířka každé štěrbiny, b je vzdálenost mezi štěrbinami, λ je vlnová délka světla a f je ohnisková vzdálenost čočky LS. Experimentální data a teoretické výsledky koincidenčních měření R01 , R02 a R03 , která jsou ukázána na Obrázcích 1.11, 1.12 a 1.13, jsou ve shodě.

Obrázek 1.11: Koincidence R01 mezi detektory D0 a D1 v závislosti na poloze x detektoru D0. Pozorujeme interferenci. (Zdroj: Kim et al. [44])

R01

140

120

Koincidence

100

80

60

40

20

0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

x (poloha D0) (mm)

Obrázek 1.12: Koincidence R02 mezi detektory D0 a D2 v závislosti na poloze x detektoru D0. Pozorujeme interferenci, která se od případu s R01 liší jen fázovým posuvem. (Zdroj: Kim et al. [44]) 140

R02 120

Koincidence

100

80

60

40

20

0 0.0

0.5

1.0

1.5

x (poloha D 0 ) (mm)

2.0

2.5

3.0

Obrázek 1.13: Koincidence R03 mezi detektory D0 a D3 v závislosti na poloze x detektoru D0. Interference je zničena. Stejná situace vznikne i pro R04 . (Zdroj: Kim et al. [44])

140

R03 120

Koincidence

100

80

60

40

20

0

0.0

0.5

1.0

1.5

x (poloha D 0) (mm)

2.0

2.5

3.0

2 Komplementarita, EPR argument a Bellovy nerovnosti 2.1

EPR argument a lokálně realistické teorie

Kvantová teorie byla již od svých počátků předmětem velkých diskuzí. Diskutovalo se o interpretaci vlnové funkce a dokonce i o úplnosti kvantové teorie. Dokladem jsou učené disputace mezi dvěma velkými fyziky 20. století A. Einsteinem a N. Bohrem [52]. Z této diskuze a také z Einsteinovy víry, že přírodní zákony jsou zcela deterministické (ze znalosti počátečních podmínek dokážeme přesně určit budoucí stav systému), realistické (výsledky všech měření jsou předem určeny a existují nezávisle na teorii) a lokální (neexistuje tzv. ”působení na dálku”) navrhl společně se svými dvěma kolegy B. Podolskym a N. Rosenem myšlenkový experiment, ve kterém se snažili dokázat, že kvantová teorie je neúplná [3]. Jeho původní verzi jsem popsal v úvodu. Nyní představím novější verzi (”Gedankenexperiment”) jejich myšlenkového experimentu podle D. Bohma [49] z roku 1952. Bohm přeformuloval původní EPR experiment pro částice se spinem 12 . Na tomto experimentu je vidět souvislost komplementarity a EPR argumentu. Prostřednictvím EPR experimentu dává komplementarita omezení na míru předpověditelnosti výsledků měření. Bohm uvažoval částici se spinem 0, která se rozpadla na dvě částice se spinem 12 (Obrázek 2.1). Protože se spin zachovává, celkový systém složený z obou částic má neustále nulový spin. Částice se po rozpadu šíří vzájemně opačným směrem, proto je můžeme jednoduše odlišit a označit jako částici L (šířící se vlevo) a částici R (šířící se vpravo). Celkový stav systému po rozpadu částice bude dán následujícím čistým stavem  1  (2.1) |ψi = √ |z, ↑iL |z, ↓iR − |z, ↓iL|z, ↑iR , 2

kde z značí, že spin částice je ve směru osy z (bez újmy na obecnosti), šipka nahoru ↑ resp. dolů ↓ reprezentuje spin ”nahoru” resp. ”dolů” a L resp. R označení směru šíření částice vlevo resp. vpravo. Superpozici (2.1) nazýváme EPR korelovaný pár. Tento stav je mimo jiné zajímavý tím, že ho není možné pomocí změny báze napsat jako součin dvou jednočásticových stavů. Ve směru šířících se částic byly umístěny Sternovy-Gerlachovy přístroje (S-G), které dokáží měřit spinový stav částice v libovolném směru. Měření spinu částice R ve směru osy z odpovídá následujícím projektorům R Pz,↑

=

R Pz,↓

=

1 + σzR 2 1 − σzR 2

spin ”nahoru” spin ”dolů

(2.2)

Podívejme se, jaké budou výsledky měření spinů obou částic ve stavu (2.1). S pravděpodobností R Tr(Pz,↑ |ψihψ|) = 1/2 dostaneme měřením spinu částice R výsledek ”nahoru” a celý systém zkolabuje R do stavu |z, ↓iL|z, ↑iR a s pravděpodobností Tr(Pz,↓ |ψihψ|) = 1/2 dostaneme měřením spinu částice R výsledek ”dolů” a celý systém zkolabuje do stavu |z, ↑iL |z, ↓iR . Je vidět, že pokud naměříme na jedné částici spin ”nahoru”, na druhé částici musíme naměřit spin ”dolů” a nebo naopak, protože po měření na jedné částici dochází k redukci stavu podle postulátu kvantového měření. Při měření spinu částic L a R ve směru z dostáváme úplně korelované výsledky a dokonce jsme schopni měřením na jedné částici s jistotou říci, jaký bude výsledek měření na částici druhé aniž bychom měření na druhé částici vůbec provedli! To platí nezávisle na tom, jak se daleko od sebe

S−G na L

S−G na R

z

z

EPR pár

L

R

x

x

Obrázek 2.1: EPR experiment.

částice nacházejí! Pokud budeme měřit spin obou částic ve stejném směru, vždy budeme dostávat korelované výsledky, protože při změně báze zachovává stav (2.1) svůj neseparabilní tvar. To je rozdíl mezi klasickou a kvantovou korelací. Např. stav |z, ↑iL |x, ↓iR je také korelovaný, ale jen klasicky, protože v jiné bázi již perfektní korelaci výsledků nedostaneme. Neplatí to však např. pro měření spinu částice R ve směru z a měření spinu částice L ve směru x na stavu (2.1). Pokud po měření částice R ve směru z dostaneme nějaký výsledek např. ”nahoru”, nebudeme schopni s jistotou předpovědět výsledek měření spinu ve směru x na částici L. Operátory spinu ve směru x a z totiž nekomutují tj. [σx , σz ] = −2iσy 6= 0. Pozoruhodné korelace ve stavu (2.1) dávají vzniknout následujícímu EPR argumentu (Einstein-Podolsky-Rosen). EPR argument dává požadavky na úplnou fyzikální teorii: • Lokalita: Neexistuje tzv. ”působení na dálku”, tj. pokud subsystémy už dále neinteragují nemůže měření na jednom z nich žádným způsobem (okamžitě) ovlivnit měření na druhém. • Realita: Jestliže můžeme předpovědět s jistotou (s jednotkovou pravděpodobností) výsledek měření nějaké fyzikální veličiny aniž bychom tím narušili měřený systém, potom existuje element fyzikální reality, který odpovídá měřené fyzikální veličině. (Výsledek každého měření je předem určen.) • Úplnost: Každý element fyzikální reality musí mít svůj obraz v úplné fyzikální teorii. Teorie splňující tyto požadavky nazýváme lokálně realistické. EPR dále argumentují, že podle požadavku lokality nemůže měření na první částici žádným způsobem ovlivnit druhou částici a také že jsou všechny možné výsledky měření určeny již při vzniku částic (požadavek reality) tj. existují elementy reality odpovídající měření spinu na druhé částici v libovolném směru. Pokud jsme na částici R měřili spin ve směru z a dostali nějaký výsledek (”nahoru” nebo ”dolů) nejsme schopni podle kvantové teorie předpovědět výsledek měření spinu např. ve směru x. Zastánci EPR na základě svých kritérií lokálního realismu tvrdí, že kvantová teorie je neúplná.

2.2

Bellovy nerovnosti

Akademická debata o úplnosti či neúplnosti kvantové teorie se dramaticky změnila po tom, co v roce 1965 John S. Bell představil světu své nerovnosti [5], které vyjadřují omezení na míru korelací obsažených v systémech splňujících kritéria lokálního realismu. Takovéto nerovnosti potom můžeme experimentálně testovat a tím rozhodnout o úplnosti kvantové teorie. Podívejme se na tvar Bellovy nerovnosti představené J.F. Clauserem, M.A. Hornem, A. Shimonym a R.A. Holtem (zkracované jako CHSH Bellovy nerovnosti) v [21], který je vhodnější k experimentálním testům, než původní Bellovo vyjádření. Představme si, že máme připravený ensamble

párů částic. Jedna částice z páru se pohybuje směrem k jednomu pozorovateli např. Alici a druhá částice ke druhému pozorovateli k Bobovi. Alice i Bob provádí jednoduchý ano-ne experiment. Alice měří na své částici pozorovatelnou A. Její měření bude záviset na parametru a Alicina měřícího přístroje a na skryté proměnné λ, jmenovitě A(a, λ). Podobně Bobovo měření B(b, λ) na jeho částici bude záviset na parametru b Bobova měřícího přístroje a také na skrytém parametru λ. A(a, λ) nezávisí na b, protože předpokládáme podmínku lokality. Podobně B(b, λ) nezávisí na a. Výsledkem měření mohou být jen dvě hodnoty 1 a −1. Skrytý parametr λ by měl nést tu dodatečnou informaci, s níž podle lokálně realistických teorií určíme výsledky všech možných měření na těchto dvou částicích. Po měření se Alice a Bob sejdou a ze svých naměřených dat spočítají korelační funkce výsledku měření. Potom se dá ukázat, že platí následující CHSH Bellova nerovnost −2 ≤ E(a, b) + E(a, b′ ) + E(a′ , b) − E(a′ , b′ ) ≤ 2,

(2.3)

R kde E(a, b) = Ω A(a, λ)B(b, λ)̺(λ)dλ je korelační funkce, ̺ je pravděpodobnostní rozdělení skrytého parametru a Ω je měřitelný prostor skrytých parametrů. Ekvivalentně můžeme vyjádřit Bellovy nerovnosti pomocí tzv. Bellova operátoru který má tvar kombinací 4 pozorovatelných A, A′ , B a B ′ s jednotkovou normou, z nichž Alice volí mezi měřením nekomutujících operátorů A, A′ a Bob B, B ′ . Bellův operátor je tvaru B = A ⊗ B + A ⊗ B ′ + A′ ⊗ B − A′ ⊗ B ′ .

(2.4)

Bellova nerovnost se vyjádří prostřednictvím střední hodnoty Bellova operátoru |hBi| ≤ 2

(2.5)

Jestliže je stav vysvětlitelný pomocí lokálního realismu, pak je splněna Bellova nerovnost. Je to podmínka nutná nikoli postačující! Pokud najdeme stav, který pro nějaké parametry měření porušuje Bellovu nerovnost, nemůžeme ho popsat lokálně realistickou teorií.  Pro EPR pár (2.1) můžeme jednoduše najít čtyři operátory, které porušují Bellovu nerovnost. Měření v jakékoli bázi vyjádříme pomocí Pauliho matic A

= ~k~σ

B A

= m~ ~σ ~ = k ′ ~σ

B′

~ ′ ~σ , = m

′

(2.6)

~ ′ jsou třírozměrné reálné jednotkové vektory, které vyjadřují směr měření (natočení Skde ~k, k~′ , m, ~ m G přístroje). Vektory (2.6) vyjádřím ve sférických souřadnicích. Pro jednoduchost budu předpokládat měření v rovině (xz) ~k k~′ m ~ ~′ m

= (sin θ, 0, cos θ) = (sin θ′ , 0, cos θ′ ) = (sin ξ, 0, cos ξ) = (sin ξ ′ , 0, cos ξ ′ )

(2.7)

Střední hodnota Bellova operátoru bude |hBi| = | cos(θ − ξ) + cos(θ′ − ξ) + cos(θ − ξ ′ ) − cos(θ′ − ξ ′ )|. Pro měření θ=

π π π , θ′ = − , ξ = 0, ξ ′ = , 4 4 2

√ dostaneme hodnotu |hBi| = 2 2, která porušuje Bellovu nerovnost.

(2.8)

(2.9)

Porušení Bellových nerovností pro některé kvantové stavy a vhodně zvolená měření je důsledkem korelací mezi subsystémy kvantového systému. (Např. pro jeden qubit existuje lokálně realistická teorie předpovídající všechny možné výsledky měření [6].) Nabízí se nyní otázka jestli existuje kritérium, podle kterého bychom rozhodli jestli daný stav porušuje Bellovu nerovnost. V případě čistých stavů máme jednoduché kritérium. Každý neseparabilní čistý stav porušuje Bellovu nerovnost a naopak čisté stavy, které neporušují Bellovu nerovnost, jsou separabilní. Pro smíšené stavy nemáme obecně takové kritérium, avšak pro stavy z Hilbertova prostoru ρ ∈ C2 ⊗ C2 , máme nutnou i postačující podmínku porušení Bellových nerovností [32]. Nejdříve vyjádříme matici hustoty ρ ∈ C2 ⊗ C2 v Hilbertově-Schmidtově bázi ρ=

3 3 3  X X 1 ˆ ˆ X tij σi ⊗ σj , mi σi + ni σi ⊗ ˆ1 + ˆ1 ⊗ 1⊗1+ 4 i,j=1 i=1 i=1

(2.10)

kde σi jsou Pauliho matice, ni a mi jsou koeficienty dvou vektorů v R3 a tij jsou koeficienty reálné matice Tρ tj. tij = Tr(ρσi ⊗ σj ). Uvažujme symetrickou matici Uρ = TρT Tρ . Označíme dvě největší vlastní hodnoty matice Uρ jako u1 a u2 a jejich součet M (ρ) = u1 + u2 . Platí následující kritérium. Matice hustoty (2.10) porušuje pro nějaký Bellův operátor (2.4) Bellovu nerovnost (2.5) právě tehdy, když M (ρ) > 1. Můžeme pak definovat dokonce maximální hodnotu porušení Bellových nerovností tzv. Bellův faktor p Bmax = max hBi = 2 M (ρ). (2.11) B

√ Matice hustoty porušuje Bellovu nerovnost právě tehdy, když je splněna nerovnost 2 < Bmax ≤ 2 2. Nalezení konkrétního operátoru, který toto maximální porušení Bellových nerovností způsobuje, však nemusí být jednoduchý úkol. Všimněme si, že Bmax je závislé jen na vlastnostech matice Tρ , která vyjadřuje korelaci mezi oběma podsystémy. Parametry ni resp. mi , které popisují stavy podsystémů, nehrají v porušení Bellovy nerovnosti žádnou roli.  Spočítejme Bmax pro Wernerův stav ρW = p|Ψ− ihΨ− | +

1 − pˆ ˆ 1 ⊗ 1. 4

(2.12)

Rozepsáním našeho stavu do Hilbertovy-Schmidtovy báze (2.10) dostaneme matici   −p 0 0 Tρ =  0 −p 0  (2.13) 0 0 −p √ Největší vlastní hodnoty matice Uρ budou zřejmě u1 = u2 = p2 a Bmax = 2 2p. Výsledek odpovídá naší předchozí zkušenosti, protože pro p = 1 dostaneme EPR pár a ten porušuje Bellovu nerovnost, zatímco pro p = 0 dostaneme úplně smíšený stav neporušující Bellovu nerovnost. Stav splňuje Bellovu nerovnost právě tehdy, když p ≤ √12 . Přirozeně se také začal diskutovat lokální realismus v případě vícequbitových stavů. V [34, 39] byla odvozena zobecněná Bellova nerovnost, která vyjadřuje nejen nutnou ale i postačující podmínku, aby N -qubitový smíšený stav splňoval kritéria lokálního realismu. Zobecněná Bellova nerovnost má tvar X X | sk11 −1 . . . skNN −1 E(k1 , . . . , kN )| ≤ 2N , (2.14) s1 ,...,sN =−1,1 k1 ,...,kN =1,2

kde E(k1 , . . . , kN ) = hΠN nkj )i je zobecnění korelační funkce, kterou jsme poznali ve dvouquj=1 Aj (~ bitovém případě. Aj (~nkj ) pak představuje měření pozorovatelné vyjádřené vektorem ~nkj na j-tém qubitu. Tato zobecněná Bellova nerovnost se dá vyjádřit ekvivalentně pomocí nerovností X X | S(s1 , . . . , sN ) sk11 −1 . . . skNN −1 E(k1 , . . . , kN )| ≤ 2N , (2.15) s1 ,...,sN =−1,1

k1 ,...,kN =1,2

kde S(s1 , . . . , sN ) je znaménková funkce nabývající hodnot ±1. Znaménkových funkcí S(s1 , . . . , sN ) N je celkem 22 . To znamená, že N -qubitový stav je vysvětlitelný pomocí lokálně realistické teorie právě tehdy, když je splněna zobecněná Bellova nerovnost (2.14) a nebo právě tehdy, když je splněno N všech 22 Bellových nerovností (2.15). Např. pro N = 2 dostaneme 16√různých Bellových nerovností odpovídající 16-ti různým znaménkovým funkcím. Pro S(s1 , s2 ) = 2 cos( π4 (s1 + s2 )) dostaneme CHSH Bellovu nerovnost (2.3). Pokud vyjádříme obecný smíšený N -qubitový stav jako ρ=

1 2N

3 X

x1 ,...,xN =0

Tx1 ,...,xN σx11 ⊗ · · · ⊗ σxNN ,

(2.16)

kde σ0 je jednotková matice, {σi }31 jsou Pauliho matice a T je korelační tenzor, můžeme získat následující kritérium proto, aby kvantový stav (2.16) splňoval zobecněnou Bellovu nerovnost (2.14). Stav (2.16) splňuje zobecněnou Bellovu nerovnost (2.14) právě tehdy, když pro libovolné jednotkové vektory ~c i = (ci1 , ci2 ) platí nerovnost 2 X

x1 ,...,xN =1

2.3

c1x1 · · · cN xN |Tx1 ···xN | ≤ 1.

(2.17)

Kvantová provázanost

Jak jsme viděli kvantové korelace hrají velkou roli při studiu komplementarity a také při porušení Bellových nerovností. Právě EPR argument první upozornil na existenci stavů, které nemají klasické vlastnosti. Erwin Schrödinger si všiml neklasických vlastností stavu (2.1) a nazval ho entanglovaným stavem. Entanglement můžeme specifikovat podle následujícího vyjádření: Jestliže dva systémy interagovaly v minulosti, není obecně možné popsat každý ze subsystémů pomocí čistého stavu. To je vyjádření principu neseparability. Podívejme se na Hilbertův prostor HAB = HA ⊗ HB , který je složen ze dvou prostorů HA a HB . Pro dvoučásticové systémy můžeme definovat následující podmínku separability. Stav ρ ∈ HAB = HA ⊗ HB je separabilní, jestliže ho můžeme zapsat ve tvaru konvexní sumy ρ=

n X j=1

pj ρj ⊗ ρ˜j ,

(2.18)

Pn kde j=1 pj = 1, ρj ∈ HA a ρ˜j ∈ HB . Stav, který není separabilní (klasicky korelovaný1), nazýváme entanglovaný (neklasicky korelovaný). Pro čisté stavy je kritérium jednoduché a je dáno Schmidtovou dekompozicí (např. viz [55]). Pro libovolný čistý stav |ψi můžeme najít báze {|ai i} ∈ HA a {|bi i} ∈ HB tak, že |ψi =

k X i=1

ci |ai i ⊗ |bi i

(2.19)

Stav (2.19) je entanglovaný, jestliže jsou alespoň dva koeficienty ci nenulové. Příkladem jsou čtyři Bellovy stavy, které jsou maximálně entanglované dvouqubitové stavy a tvoří jednu z bází Hilbertova 1 Klasicky

korelovaný stav zde znamená, že pro přípravu takového stavu zcela postačuje generátor náhodných čísel produkující číslo j s pravděpodobností pj a dvě nezávislá zařízení přijímající číslo z generátoru náhodných čísel. Potom jedno zařízení vytváří stav ρj a druhé ρ˜j .

prostoru C2 ⊗ C2 |Ψ− i = |Ψ+ i = |Φ− i = |Φ+ i =

1 √ (|01i − |10i) 2 1 √ (|01i + |10i) 2 1 √ (|00i − |11i) 2 1 √ (|00i + |11i) 2

(2.20)

První z nich je singlet ostatní tři jsou triplety. Pro obecné smíšené stavy však neznáme nutné a postačující podmínky pro rozhodnutí o separabilitě stavu. Naštěstí v případě systémů dimenze C2 ⊗ C2 a C2 ⊗ C3 takové podmínky existují [28, 30]. Kritérium separability je založeno na parciální transpozici. Matice hustoty ρ ∈ C2 ⊗ C2 nebo ρ ∈ C2 ⊗ C3 je separabilní, právě tehdy když je její parciální transpozice ρT2 pozitivní (má jen nezáporné vlastní hodnoty). Parciálně transponovaná matice ρT2 se vytvoří z matice ρ následovně     T T X11 X12 X11 X12 T2 ρ= , −−−− −→ ρT2 = T T X21 X22 X21 X22

(2.21)

kde Xij jsou submatice. Neboli pokud vyjádříme matici hustoty v nějaké bázi {em } ∈ C2 , {fξ } ∈ C2 můžeme parciální transpozici vyjádřit pomocí maticových elementů ρiξ,jη

=

2 ρTiξ,jη

=

hei ⊗ fξ |ρ|ej ⊗ fη i

(2.22)

ρiη,jξ

Kritérium parciální transpozice je velice silným kritériem pro určení separability kvantového stavu.  Uvažujme opět Wernerův stav ρW = p|Ψ− ihΨ− | +

1 − pˆ ˆ 1 ⊗ 1. 4

(2.23)

Matice hustoty ρW a její parciální transpozice ρTW2 se dají zapsat jako  1−p 4

 0 ρW =   0 0

0 1+p 4 − p2

0

0 − p2

1+p 4

0

  1−p 0 4  0 0  T 2 T  −−−−−→ ρ 2 =  W  0 0  1−p − p2 4

0 1+p 4

0 0

0 0 1+p 4

0

 − 2p 0   0 

(2.24)

1−p 4

Vlastní hodnoty {λi }4i=1 matice ρTW2 jsou λ1,2,3

=

λ4

=

1+p , 4 1 − 3p . 4

(2.25)

Stav (2.23) je separabilní právě tehdy, když p ≤ 13 . Původně byla za vhodné kritérium separability považována Bellova nerovnost. Reinhard F. Werner v [35] však našel příklad stavu (2.23), který je entanglovaný (neklasicky korelovaný) a přitom splňuje Bellovu nerovnost. Příklady Wernerova stavu uvedené v této podkapitole demonstrují tento fakt, protože pro hodnotu p v rozmezí 13 < p ≤ √12 je (2.23) entanglovaný, ale zároveň neporušuje Bellovu nerovnost. Werner dokonce explicitně zkonstruoval lokálně realistickou teorii popisující jeho stav. Tento příklad změnil pohled na Bellovy nerovnosti a neklasické korelace. Zatímco víme, že

každý stav porušující Bellovy nerovnosti je entanglovaný, naopak to obecně neplatí. Jen v případě čistých stavů víme, že neseparabilní čistý stav porušuje Bellovy nerovnosti a naopak. Příčina proč je Bellova nerovnost slabým separabilním kritériem, je v tom, že v Bellových nerovnostech počítáme pravděpodobnosti výsledků vždy jen na jednom páru částic. Přitom musíme zajistit produkci identických párů, abychom mohli provést statistické měření. A. Peres v [29] uvádí, že abychom odhalili neseparabilitu, měli bychom provádět kolektivní měření na více identicky připravených párech. Na příkladě Wernerova stavu, který splňuje Bellovu nerovnost a dokonce pro něho existuje explicitní lokálně realistický model, ukazuje, že při kolektivním měření na pěti stejných stavech (direktní součin původních Wernerových stavů) je Bellova nerovnost porušena. Tedy neseparabilní Wernerův stav porušuje Bellovy nerovnosti, pokud provádíme kolektivní měření. To je výsledek, který ukazuje, že záleží na druhu měření, který provedeme na systému. V případě Bellových nerovností testujeme jeden systém pomocí ideálního (von Neumannova) měření. V případě kolektivního měření podle Perese provádíme ideální měření na direktním součinu stejných stavů. Můžeme však provádět také sekvenční měření, které spočívá v tom, že provedeme nejprve nějaké první měření na celém systému a podle výsledku měření provedeme měření Bellova operátoru na podsystémech. Podsystém pak může porušovat Bellovy nerovnosti. Sekvenční měření v souvislosti s porušením Bellových nerovností poprvé uvažoval S. Popescu [37]. Ten ukazuje, že sekvenční měření na neseparabilním Wernerově stavu dimenze větší než 5 ⊗ 5, který neporušuje Bellovy nerovnosti, vede k porušení Bellových nerovností. Popescu mluví o ”skryté nelokalitě”. Objev ”skryté nelokality” změnil pohled na Bellovy nerovnosti. N. Gisin ve své práci [43] uvádí další možnost zvýšení korelací mezi podsystémy vhodného smíšeného stavu pomocí tzv. lokální filtrů. Uvažuje smíšený stav ρ, který před lokální filtrací neporušuje Bellovy nerovnosti. Poté provede na stavu lokální filtraci tj. na každém podsystému provede nějakou operaci, která nezávisí na operaci na druhém podsystému a tím získá filtrovaný stav ρf ρf =

(AS ⊗ BM )ρ(AS ⊗ BM )† , Tr{(AS ⊗ BM )ρ(AS ⊗ BM )† }

(2.26)

kde AS resp. BM jsou nějaké operace (lokální filtrace) na systému S resp. M splňující relace A†S AS ≤ ˆ1S a B † BM ≤ ˆ 1M . Ukazuje se, že pro vhodně zvolené filtrace a smíšené stavy může filtrovaný stav M ρf porušovat Bellovy nerovnosti. Dalším významným krokem v oblasti korelací byl objev distilačního protokolu nazvaný po svých tvůrcích BBPSSW protokol [48]. BBPSSW protokol umožňuje z velkého ensamblu smíšených neseparabilních stavů získat maximálně entanglovaný stav (singlet). Podmínkou je, aby fidelita1 ensamblu byla větší než 21 . M., P. a R. Horodecki využili BBPSSW protokol, lokální filtrace a separabilní kritérium pro smíšené stavy k důkazu, že každý neseparabilní smíšený stav dimenze 2 ⊗ 2 může být distilován na maximálně entanglovaný stav (singlet) (viz [31]). Tedy můžeme tvrdit, že pomocí lokálních operací a klasické komunikace dokážeme každý smíšený stav dimenze 2 ⊗ 2 převést na stav, který porušuje Bellovu nerovnost. V tomto smyslu pak původní stav také porušuje Bellovu nerovnost. Lokální filtrace (2.26), které poprvé uvažoval Gisin, jsou stále předmětem zkoumání, protože uvažované kolektivní měření Peresem a BBPSSW distilace jsou obecně velice složité. Snahou je, pouze pomocí lokálních operací a klasické komunikace (LOCC) na jedné kopii stavu, zvýšit co nejvíce entanglement mezi podsystémy nejlépe až na maximálně entanglovaný Bellův stav (singlet), který maximálně porušuje CHSH Bellovu nerovnost. Bylo ukázáno, že obecně není možné smíšený dvouqubitový stav přivést pomocí LOCC na jedné kopii stavu až na maximálně entanglovaný Bellův stav [47]. Avšak podařilo se ukázat, že libovolný dvouqubitový stav lze přivést (alespoň asymptoticky) pomocí LOCC na jedné kopii stavu až na stav, který je diagonální v bázi tvořené Bellovými stavy (2.20). Optimálními operacemi, které umožňují maximálně možné porušení CHSH Bellovy nerovnosti a současně maximalizují entanglement, jsou stochasticky reverzibilní filtrační operace tvořené 1 Fidelita f stavu ρ je v tomto případě definována jako f = max hψ|ρ|ψi, kde maximum bereme přes všechny maximálně entanglované stavy.

1a

VSTUP Z LASERU

χ

(2)

NELIN. KRYSTAL

2b 2a 1b

Obrázek 2.2: Generace entanglementu pomocí SPDC

Lorentzovými transformacemi. Podrobnosti a důkazy jsou v [45, 46].

2.4

Experimentální testy Bellových nerovností

Experimentálním testováním Bellovy nerovnosti dokážeme rozhodnout, jestli je kvantová teorie úplná nebo ne. Abychom mohli provést experimentální testy Bellovy nerovnosti musíme být schopni připravit EPR páry kvantových objektů. V prvních testech Bellových nerovností se využívalo EPR párů korelovaných fotonů. EPR páry fotonů byly generovány v atomových kaskádních procesech. Např. S.J. Freedman a J.F. Clauser [22] ve svém experimentu z roku 1972 nebo A. Aspect, P. Grangier a G. Roger [24] z roku 1981 využili kaskádního přechodu v atomu vápníku zatímco E.S. Fry a R.C. Thompson [23] v roce 1976 využili kaskádního přechodu v atomu rtuti. Tyto rané experimenty potvrzovali sice porušení Bellových nerovností, ale jen o nemnoho standardních odchylek. Důvodem byla malá účinnost detektorů a také generace nekvalitních EPR párů v kaskádních procesech. S rozvojem kvantové optiky se naskytly možnosti generace EPR korelovaných párů fotonů v nelineárních optických procesech. Dnes nejběžnější metodou přípravy EPR korelovaných párů fotonů je spontánní sestupná parametrická konverze fotonů (SPDC = spontaneus parametric down conversion). SPDC je nelineární optický jev druhého řádu (interakce tří vln viz [54]), který způsobuje spontánní konverzi intenzivní čerpací vlny (laserové) na dvě vlny signálovou a jalovou, které mají poloviční frekvenci než má vlna vstupní (proces je degenerovaný). Signálová a jalová vlna jsou entanglované, protože vlny vznikají ve velice krátkém časovém intervalu a zachovává se celková energie (frekvence vln). Protože účinnost procesu vzrůstá s rostoucí intenzitou čerpací vlny, používají se ke generaci především ultrakrátké laserové pulzy, které mají velký špičkový výkon. Abychom vůbec byli schopni generovat nějaké konvertované záření musejí být splněny podmínky fázové synchronizace. Tj. frekvence vstupní čerpací vlny je součtem frekvencí vln výstupních a to samé platí pro vlnové vektory. Nesplnění těchto podmínek vede k velmi slabé účinnosti procesu. Podmínky fázové synchronizace se dají splnit v anizotropních nelineárních krystalech, kde vznikají řádná a mimořádná vlna, které vykazují odlišné indexy lomu v závislosti na směru šíření vln krystalem (anizotropie). Podle použitých vln rozeznáváme dva typy fázových podmínek: 1. SPDC typu I - signálová a jalová vlna jsou obě řádné vlny a čerpací vlna je mimořádná (v negativních krystalech) nebo signálová a jalová vlna jsou obě mimořádné vlny a čerpací vlna je řádná (v pozitivních krystalech) 2. SPDC typu II - signálová vlna je mimořádná a jalová řádná (nebo naopak). Čerpací vlna je mimořádná (v negativních krystalech) nebo řádná (v pozitivních krystalech) Používají se většinou jednoosé krystaly např. beta baryum borát β-BaB2 O4 (BBO), dihydrogen fosforečnan draselný KH2 PO4 (KDP), lithium niobát LiNbO3 , lithium jodád LiIO3 nebo titanyl

c

a

1111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111

b

koincidence

d

Obrázek 2.3: Generace entanglementu pomocí děliče svazku a koincidence

fosfát draselný KTiOPO4 (KTP). Je možné použít i dvouosých krystalů, které mají větší hodnoty optických susceptibilit, ale nalezení fázových podmínek je v nich obecně velice složité. Vybereme-li za krystalem fotony, které spolu se vstupním fotonem splňují zákon zachování hybnosti dostaneme frekvenčně korelované páry. Můžeme také korelovat směry šíření fotonů, když vybereme čtyři různé dobře definované směry šíření fotonů. Ve většině experimentů se však používá polarizačně entanglovaných párů fotonů, protože polarizační stavy fotonu se dají relativně snadno kontrolovat pomocí lineárních optických elementů např. fázových destiček, polarizačních rotátorů nebo polarizačních děličů svazku. Podívejme se jak můžeme generovat polarizačně entanglované páry fotonů (viz [53]). Pokud použijeme SPDC typu I, mají signálový a jalový foton stejnou polarizaci a vznikli v téměř shodném čase. Na Obrázku 2.2 máme ukázané schéma generace. Jalový a signálový foton se šíří ve směru kuželové plochy, která je centrována ve směru hybnosti vstupního fotonu. Pomocí vhodných clon můžeme vybrat fotony, jejichž frekvence jsou korelovány např. pár 1 nebo 2 na obrázku. Takový pár se dá využít pro produkci polarizačně entanglovaného EPR páru pomocí podmíněné generace na nepolarizujícím děliči svazku (Obrázek 2.3). Využívá se dvoučásticové interference a postselekčního výběru částic po průchodu děličem svazku. Na vstupy děliče ”a” a ”b” posíláme fotony z EPR páru a na výstupu ”c” a ”d” provádíme nedemoliční měření jejich polarizačního stavu. Potom pomocí koincidenčního čítače vybíráme entanglované stavy. Více o tomto zdroji je uvedeno ve třetí kapitole a v [40, 50]. V SPDC typu II jsou jalový a signálový foton vzájemně ortogonálně polarizovány. Oba fotony se šíří ve směru kuželových ploch, které ale nejsou soustředné. To znamená, že pokud vybereme clonami fotony ve dvou místech, kde se oba kužely protínají, budou vybrané fotony polarizačně korelované [42]. SPDC typu II generuje polarizačně korelované páry přímo a není potřeba žádné postselekce. Experimentální test Bellovy nerovnosti s využitím SPDC typu I a Hongova-OuovaMandelova interferometru provedli Z.Y. Ou a L. Mandel [41]. Jejich experimentální data porušovala Bellovu nerovnost o 6 standardních odchylek. Avšak výsledky experimentálních testů Bellových nerovností, které prokázali jejich porušení musíme interpretovat více kriticky. Pravý experimentální test Bellových nerovností, který by věrohodně bez jakékoliv pochyby vyvrátil lokální realismus, nebyl dosud proveden! Stále totiž existují mezery a překážky v dosavadních testech, které by mohli vést k tomu, že lokální realismus skutečně dokáže vysvětlit všechny výsledky měření. Jednou z překážek je detekční problém. V reálných experimentálních testech Bellových nerovností zaznamenáme jenom část z částic emitovaných zdrojem. To znamená, že potom testujeme Bellovy nerovnosti na menším souboru částic, který už nereprezentuje původní stav. Bellovy nerovnosti mohou být takovými testy sice porušeny, ale my je nemůžeme považovat za věrohodné. V pravém testu Bellových nerovností nepřichází v úvahu žádná postselekce částic. Např. v experimentu Oua a Mandela musíme započítat

ALICE

+

OD ZDROJE

_

a nebo a’

EOM PDS

GNC

0 nebo 1

Z

SYNCHRONIZACE

Obrázek 2.4: Měřící jednotka Alice.

všechny fotony, které vznikly v SPDC procesu. Ovšem problém, který zatím nebyl vyřešen je účinnost detektorů. Foton, který dopadne na detektor nemusí vždy vyvolat jeho kliknutí. Abychom skutečně vyvrátili lokální realismus bylo spočítáno, že účinnost detektorů v pravém experimentu musí být větší než 1+2√2 ≈ 82, 8%. V experimentu typu Oua a Mandela musí být dokonce větší než 91% (viz [33]). Těchto hodnot zatím žádný reálný detektor nedosahuje. Další překážkou pro provedení pravého testu Bellových nerovností se zdál být tzv. lokální problém. Ve většině experimentů bylo konkrétní měření např. a a b nastaveno před skutečnou generací EPR párů (především z důvodu nesnadné justáže). To ovšem znamená, že rozdělení pravděpodobnosti ”skrytých parametrů” ̺(λ) může na nastavení měření a a b záviset ̺(λ) → ̺(λ, a, b). Lokální problém vyřešíme tím, že nastavení měření zvolíme zcela náhodně a až po generaci EPR páru. První pokus provedli ve výše zmíněném experimentu Aspect et al., kteří použili k nastavení polarizačních analyzátorů periodicky modulovaný signál. Bohužel ten není náhodný, a proto se dá předpovědět zvolené měření. Jeden z experimentů, který dokázal vyřešit lokální problém provedli Weihs et al. [25] ve Vídni. Ve svém experimentu separovali dva pozorovatele (Alici a Boba) na takovou vzdálenost, aby volba měření na jednom z nich nemohla být ovlivněna druhým. Náhodnost volby měření byla zaručena generátory náhodných čísel a koincidence výsledků měření se vyhodnocovaly až po skončení měření. Zdrojem EPR korelovaných párů fotonů byl proces SPDC typu II v krystalu BBO. Vstupní světlo o vlnové délce 351 nm a výkonu 400 mW z argon-iontového laseru vyprodukovalo 2 fotony o vlnové délce 702 nm. Pomocí půlvlnové destičky a kompenzátoru vyprodukovali maximálně entanglovaný stav (singlet). Každý z fotonů byl navázán do jednomodového vlákna. Jeden z fotonů byl veden k Alici a druhý k Bobovi. Alice a Bob byli od sebe vzdáleni 400 m to znamená, že k ovlivnění měření na opačné straně může podle Einsteinova postulátu dojít až za 1,3 µs. Alice i Bob mají zcela shodné měřící stanice, které jsou spojeny dalším pomocným vláknem, které slouží k synchronizaci času. Schéma měřící aparatury jednoho z pozorovatelů je na Obrázku 2.4. Alice i Bob provádějí měřící proces. Ten začíná vygenerováním náhodného čísla v GNC (0 nebo 1), které řekne elektro-optickému modulátoru EOM, do které ze dvou polarizací (a, a′ ) má přicházející foton otočit. Potom následuje polarizační dělič svazku PDS, za kterým následují dva detektory + nebo −. Na záznamové médium počítače Z se po měření zapíše vygenerované náhodné číslo (0 nebo 1), detektor, který klikl (+ nebo −) a čas, ve kterém to nastalo. Jedno měření trvá méně než 100 ns, což dává dostatečnou rezervu do 1,3 µs. Měřící proces se mnohokrát opakuje. Až po skončení měření se data z obou měřících stanic vyhodnotí. Počítají se koincidence Cij (a, b) mezi detektorem Alice i a Boba j (i, j ∈ {+, −}) při

natočení elektro-optického modulátoru Alice ve směru a a Boba ve směru b. Korelační funkce je E(a, b) ≈

C++ (a, b) + C−− (a, b) − C+− (a, b) − C−+ (a, b) , N

(2.27)

kde N = C++ (a, b) + C−− (a, b) + C+− (a, b) + C−+ (a, b) je počet všech měření. Pro Alici zvolili měření polarizace ve směru 0 ◦ , 45 ◦ a pro Boba 22, 5 ◦, 67, 5 ◦, pro které z teorie dostaneme Bmax = √ 2 2 ≈ 2, 828. Jejich typická naměřená hodnota byla 2,73 ± 0,02. To je sice méně než Bmax , ale oni sami předpokládali, že jejich měření nepřesáhne hodnotu 2,74 vzhledem k různým nedokonalostem v měření. Další překážkou pro provedení pravého testu Bellovy nerovnosti se zdál být tzv. paměťový problém. Bellova nerovnost se testuje na statistickém souboru, který se skládá z identických korelovaných párů. Při odvození Bellovy nerovnosti se mlčky předpokládá, že EPR páry ze statistického souboru nejsou korelovány. Ovšem obecně to nemusí být pravda. Můžeme si představit, že jedna částice z prvního EPR páru míří k Alici. Měření na částici uvolní do okolí informaci o provedeném měření i o jeho výsledku. Při měření částice z dalšího EPR páru může výsledek měření záviset nejen na měření této částice, ale i na informaci o výsledku měření částice z předešlého EPR páru. Iterativně pak dojdeme k tomu, že měření na aktuální částici může záviset i na všech předchozích měřeních a jejich výsledcích. To je model tzv. jednostranné paměti. Je možné si představit i to, že měření na straně Alice může být ovlivněno předchozími měřeními na straně Boba. To potom vede k tzv. dvoustranné paměti. V [38] je ukázáno, že zavedením paměti nijak nezvýšíme úroveň korelací, které můžeme dosáhnout v lokálně realistické teorii. To znamená, že omezení v Bellově nerovnosti zůstává stejné.

3 Dualita mezi komplementárními znalostmi a porušení Bellových nerovností 3.1

Komplementární znalosti

V první kapitole jsem ukázal jakým způsobem kvantifikovat dualitu pro obecný smíšený stav qubitu a prostředí pomocí znalosti a vizibility. Viděli jsme, že znalost odpovídá schopnosti předpovídání dráhy, kterou náš zkoumaný systém projde, pomocí měření na pomocném systému. Vizibilita odpovídá schopnosti systému interferovat. V této kapitole budu studovat problém, jak pomocí měření ΠM na qubitu M jednoznačně určit, která báze ze dvou komplementárních bází ΠS ,Π′S se právě vyskytuje na qubitu S. To odpovídá jednoznačné diskriminaci kvantového stavu. Vzájemně komplementárními bázemi budu rozumět takové, pro které je překryv bázových stavů z různých bází maximální. S ohledem na definici komplementarity z úvodu mé práce dostaneme, že báze tvořená stavy |ξ1 i, |ξ2 i je komplementární k bázi tvořené stavy |η1 i, |η2 i, pokud pravděpodobnosti |hξi |ηj i|2 jsou nezávislé na volbě bázových stavů. Komplementární bázi Π′S s bázovými stavy |Ψ′ iS , |Ψ′⊥ iS k bázi ΠS s bázovými stavy |ΨiS , |Ψ⊥ iS dostaneme pomocí následující transformace
1 |Ψ′ iS = √ |ΨiS + eiφ |Ψ⊥ iS 2
1 |Ψ′⊥ iS = √ − e−iφ |ΨiS + |Ψ⊥ iS . 2

(3.1)

Podmínka pro komplementární báze je zřejmě splněna. Bázové stavy |ΨiS , |Ψ⊥ iS si můžeme opět představit jako různé dráhy fotonu v Machově-Zehnderově interferometru. Potom bázové stavy |Ψ′ iS , |Ψ′⊥ iS by pro měnící se φ odpovídaly pozorování proužků a antiproužků. V této kapitole si však vybereme fixní φ a pro takovou bázi budeme studovat dualitu. Znamená to, že nebudeme optimalizovat výběr fáze φ vzhledem k maximu interference. Dále budeme abstrahovat od konkrétního experimentálního uspořádání. Vhodná veličina pro předpovídání báze ΠS nebo Π′S pomocí měření na qubitu M je znalost, kterou jsme poznali v první kapitole. Abych mohl diskutovat dualitu a kvantové smazávání v souvislosti s porušením Bellových nerovností zavedu zisk znalosti ∆K(ΠM → ΠS ) a komplementární zisk znalosti ∆K(Π′M → Π′S ). Zisk ∆K(ΠM → ΠS ) bude odpovídat rozlišení mezi ortogonálními dráhami |ΨiS a |Ψ⊥ iS při měření ΠM , zatímco komplementární zisk ∆K(Π′M → Π′S ) bude odpovídat rozlišení mezi komplementárními ortogonálními ”dráhami” |Ψ′ iS a |Ψ′⊥ iS při měření Π′M . Tím opustím pojem interference, ale ukáži souvislost mezi předpovídáním dráhy a porušením Bellových nerovností ve formě nerovnosti mezi komplementárními zisky znalostí a Bellovým faktorem. Zjednodušená experimentální situace je ukázána na Obrázku 3.1. Na qubitu M stavu ρSM provádím měření ΠM a Π′M , ze kterých se snažím předpovídat výsledky měření ΠS a Π′S na qubitu S. Experiment by mohl být proveden i se zpožděnou volbou. Podívejme se nejprve na zavedení zisků komplementárních znalostí. Uvažujme obecný smíšený stav, který vznikl interakcí qubitu S a qubitu M a napišme ho v nějaké bázi např. |ΨiS , |Ψ⊥ iS , kterou můžeme označit pomocí měření ΠS (1) (2) (2) (1) (2) (1) vyjádřeném projektory PS = |ΨiS hΨ|, PS = |Ψ⊥ iS hΨ⊥ |, kde PS + PS = 1 a PS PS = 0. (2)

(1)

ρSM = w1 |ΨiS hΨ|ρM + w2 |Ψ⊥ iS hΨ⊥ |ρM + (1)

(2)

√ w1 w2 (|Ψ⊥ iS hΨ|χM + h.c.),

(3.2)

kde 0 ≤ w1,2 ≤ 1 a w1 + w2 = 1. Operátory ρM , ρM , χM závisí na volbě báze |ΨiS ,|Ψ⊥ iS . Měření (2) (1) na systému M označíme ΠM a vyjádříme ho pomocí projektorů PM , PM , které splňují vztahy

0

0

ρSM

ΠM

A:

ΠS

1

1

0

, ΠM

B:

, ΠS

ρSM

1

0 1

Obrázek 3.1: Experimentální situace (1)

(2)

(1)

(2)

(k)

PM + PM = 1 a PM PM = 0. Jestliže se realizuje projekce PM na stavu (3.2) bude stav qubitu S roven q (k) (k) (k) (k) (k) ρS = w1 |ΨiS hΨ| + w2 |Ψ⊥ iS hΨ⊥ | + w1 w2 (|Ψ⊥ iS hΨ|ε(k) + h.c.). (3.3)

Pokud tento stav přetransformujeme do báze Π′S získáme (k)

ρ˜S = A|Ψ′ iS hΨ′ | + B|Ψ′⊥ iS hΨ′⊥ | + (C|Ψ′⊥ iS hΨ′ | + h.c.),

(3.4)

kde q 1 (k) (k) (k) (k) A = {w1 + w2 + w1 w2 (ε(k) eiφ + ε∗(k) e−iφ )} 2 q 1 (k) (k) (k) (k) B = {w1 + w2 − w1 w2 (ε(k) eiφ + ε∗(k) e−iφ )} 2 q q 1 (k) (k) (k) (k) (k) (k) C = − e−iφ {w1 − w2 − eiφ ε(k) w1 w2 + e−iφ ε∗(k) w1 w2 } 2

Dostaneme následující komplementární předpověditelnosti (k)

(k)

Znalost je rovna

(k)

P(PM → ΠS ) = |w1 − w2 | q (k) (k) (k) P(PM → Π′S ) = |A − B| = w1 w2 |ε(k) eiφ + ε∗(k) e−iφ |

K(ΠM → ΠS ) =

2 X

k=1

(k)

p(k) P(PM → ΠS ) =

2 X

k=1

(k)

(1)

(3.5)

(2)

|TrM PM (w1 ρM − w2 ρM )|,

(3.6)

kde v závorkách je vyznačena závislost na zvolené bázi ΠS a na zvoleném měření ΠM . Protože se zabýváme situacemi, kdy měřením na systému M chceme získat větší znalost než bez měření, budeme raději pracovat se ziskem znalosti ∆K(ΠM → ΠS ), který vyjadřuje rozdíl mezi získanou znalostí a předpověditelností ∆K(ΠM → ΠS ) = K(ΠM → ΠS ) − P(ΠS ), (3.7) kde 0 ≤ ∆K(ΠM → ΠS ) ≤ 1. Pro nás zajímavé situace nastanou, jestliže bude ∆K(ΠM → ΠS ) > 0, protože získáváme nenulovou informaci. Podobně vyjádříme zisk rozlišitelnosti ∆D(ΠS ) = max{∆K(ΠM → ΠS )} = D(ΠS ) − P(ΠS ). ΠM

(3.8)

Z toho ihned plyne, že 0 ≤ ∆K(ΠM → ΠS ) ≤ ∆D(ΠS ). Analogicky jako v případě báze ΠS můžeme vyjádřit předpověditelnost P(Π′S ), zisk znalosti ∆K(Π′M → Π′S ) a zisk rozlišitelnosti ∆D(Π′S ) i pro bázi Π′S a nějaké měření Π′M prostou záměnou nečárkovaných měření za čárkované. Odvodím podmínku duality, která platí pro komplementární zisky znalostí ∆K(ΠM → ΠS ) a ∆K(ΠM → Π′S ) při stejném měření ΠM . Využijeme-li Minkowského nerovnost |a + b| ≤ |a| + |b|, dostaneme q (k)

P(PM → Π′S ) ≤ 2

(k)

(k)

w1 w2 |ε(k) |.

(3.9)

Protože platí |ε(k) | ≤ 1, dostaneme využitím (3.5) a (3.9) nerovnost (k)

(k)

(3.10) P2 (PM → ΠS ) + P2 (PM → Π′S ) ≤ 1 P P P2 2 2 Využijeme-li Schwartzovy nerovnosti ( k=1 ak bk )2 ≤ ( k=1 a2k )( k=1 b2k ) pro ak , bk ∈ R a nerov(j) (k) (j) nosti (3.10), dostaneme pro a1 = P(PM → ΠS ), b1 = P(PM → ΠS ), a2 = P(PM → Π′S ) a (k) b2 = P(PM → Π′S ) (j)

(k)

(j)

(k)

P(PM → ΠS )P(PM → ΠS ) + P(PM → Π′S )P(PM → Π′S ) ≤ 1.

(3.11)

Využijeme-li definice znalosti (3.6) a podobně definice komplementární znalosti, dostaneme 1≥

2 X

j,k=1

(k)

(j)

(k)

(j)

p(j) p(k) {P(PM → ΠS )P(PM → ΠS ) + P(PM → Π′S )P(PM → Π′S )} = =

2 X

p

(j)

(j) P(PM

j=1

+

2 X j=1

(j)

→ ΠS )

p(j) P(PM → Π′S )

2 X

k=1 2 X

k=1

(k)

p(k) P(PM → ΠS )+

(3.12)

(k)

p(k) P(PM → Π′S ) =

= K2 (ΠM → ΠS ) + K2 (ΠM → Π′S ).

Užitím (3.7) a (3.12), získáme hledanou podmínku duality pro zisky komplementárních znalostí pro stejné měření ΠM 2 2 [∆K(ΠM → ΠS )] + [∆K(ΠM → Π′S )] ≤ 1 (3.13)

Všimněme si podobnosti nerovnosti (3.13) s nerovností (1.31). Nerovnost (3.13) vyjadřuje omezení na zisky znalostí ve dvou komplementárních bázích, které můžeme dostat při provedení stejných měření ΠM (ve stejné bázi) na qubitu M . To znamená, že stejným měřením nedokážeme zároveň jednoznačně dokonale rozlišit mezi horní a dolní dráhou fotonu v Machově-Zehnderově interferometru a mezi komplementárními dráhami. Projevila se dualita mezi zisky znalostí ve dvou komplementárních bázích.

3.2

Znalosti a porušení Bellových nerovností

Zatím jsme odvodili komplementární podmínku pro stejná měření. Jak bude vypadat komplementární podmínka pro různá měření ΠM a Π′M ? Jedno triviální omezení pro zisky komplementárních znalostí známe 2 2 [∆K(ΠM → ΠS )] + [∆K(Π′M → Π′S )] ≤ 2, (3.14)

protože 0 ≤ ∆K(ΠM → ΠS ), ∆K(ΠM → ΠS ) ≤ 1. Odvodíme nyní nerovnost mezi zisky komplementárních znalostí, která souvisí s porušením Bellových nerovností  2 Bmax 2 ′ ′ 2 [∆K(ΠM → ΠS )] + [∆K(ΠM → ΠS )] ≤ , (3.15) 2

kde Bmax je Bellův faktor (2.11). Nerovnost omezuje pomocí Bellova faktoru naši schopnost získat měřením na qubitu M znalosti ve dvou komplementárních bázích. Je třeba poznamenat, že v nerovnosti (3.15) chápeme Bellův faktor jako pouhé číslo, které omezuje míru korelací mezi systémem S a M . Neklademe si za cíl studovat pomocí nerovnosti (3.15) rozdíl mezi lokálně realistickými teoriemi a kvantovou teorií. Provedu dva důkazy nerovnosti (3.15). První důkaz je založen na unitárních transformacích reprezentovaných grupou SU(2) matic. Druhý důkaz je založen na unitárních transformacích reprezentovaných rotacemi z grupy SO(3) matic. Vyjádříme matici hustoty (3.2) ekvivalentně v HilbertověSchmidtově bázi ρSM =

3 3 3 X X 1 ˆ ˆ ˆ X (1 ⊗ 1 + 1 ⊗ ml σl + nl σl ⊗ ˆ1 + tkl σk ⊗ σl ), 4 l=1

l=1

k,l=1

(3.16)

kde ˆ1 je jednotkový operátor, ml , nl jsou vektory v R3 , σl jsou Pauliho matice a koeficienty tkl tvoří reálnou korelační matici T . Vektory ml a nl určují stavy qubitu S ρS = 12 (ˆ1 + nl σl ) a M 1 + ml σl ). Důkaz je založen na tvrzení, že libovolný smíšený stav dvou qubitů S a M (3.16) ρM = 21 (ˆ vygenerujeme provedením unitárních operací US ⊗ UM qubitu S a M na stavu s diagonální korelační 2 2 ¯2 maticí T¯ = diag(t¯11 , t¯22 , t¯33 ) s uspořádanými diagonálními členy t¯33 ≥ t¯11 , t22 tj. ρ¯SM =

3

3

3

l=1

l=1

k=1

X X 1 ˆ ˆ ˆ X (1 ⊗ 1 + 1 ⊗ m ¯ l σl + n ¯ l σl ⊗ ˆ1 + t¯kk σk ⊗ σk ), 4

(3.17)

nebo-li ρSM = (US ⊗ UM )¯ ρSM (US ⊗ UM )† . Stav (3.17) můžeme vyjádřit ekvivalentním způsobem ve vhodné bázi jako (2)

(1)

¯M + h.c.), ρM + (|V iS hH|χ ρ¯SM = |V iS hV |¯ ρM + |HiS hH|¯

(3.18)

kde (0)

ρ¯M = (1) ρ¯M

=

χ ¯M =

 1+n ¯3 + m ¯ 3 + t¯33 m ¯ 1 + im ¯2  1 1−n ¯3 + m ¯ 3 − t¯33

1 4 4

1 4

m ¯ 1 + im ¯2

 n ¯ 1 − i¯ n2 t¯11 + t¯22

m ¯ 1 − im ¯2 1+n ¯3 − m ¯ 3 − t¯33

m ¯ 1 − im ¯2 1−n ¯3 − m ¯ 3 + t¯33 

t¯11 − t¯22 n ¯ 1 − i¯ n2 .



(3.19)



(3.20) (3.21)

Pro stav (3.18) s diagonální korelační maticí T¯ získáme následující vztahy pro předpověditelnost a zisk rozlišitelnosti (0) (1) P = |TrM (¯ ρM − ρ¯M )| = |¯ n3 | (3.22) ( |t¯33 | − |¯ n3 | pro ∆D > 0 (1) (0) (3.23) ∆D = TrM |¯ ρM − ρ¯M | − P = 0 jinak a pro komplementární předpověditelnost a zisk rozlišitelnosti P′ = |Tr(χ ¯M eiφ + χ ¯†M e−iφ )| = |¯ n1 cos φ + n ¯ 2 sin φ| q  t¯ 2 cos2 φ + t¯ 2 sin2 φ − P′ pro ∆D′ > 0 11 22 ∆D′ = Tr|χ ¯M eiφ + χ ¯†M e−iφ | − P′ = 0 jinak

Využijeme-li definici Bellova faktoru Bmax (2.11), dostaneme ( p 2 2 2 2 + t¯ 2 pro t¯33 ≥ t¯11 ≥ t¯22 2 t¯33 11 p Bmax = 2 2 2 2 + t¯ 2 2 t¯33 pro t¯11 < t¯22 ≤ t¯33 22

(3.24) (3.25)

(3.26)

Pro další postup v důkazu je důležité, že Bmax je invariantní vzhledem k unitárním operacím US ⊗UM provedených na stavu (3.18). Invariance Bellova faktoru vyplývá z nezávislosti singulárních hodnot korelační matice na unitární transformaci US ⊗ UM . Pravá strana nerovnosti (3.15) 2 (¯ 2 ¯ 2  2 2 2 t + t11 pro t¯33 ≥ t¯11 ≥ t¯22 Bmax = 33 (3.27) 2 2 2 2 2 2 t¯33 + t¯22 pro t¯11 < t¯22 ≤ t¯33 bude nezávislá na unitární transformaci US ⊗ UM . Důkaz bude probíhat tak, že pomocí unitární transformace US ⊗ UM vygenerujeme ze stavu (3.18) libovolný smíšený dvouqubitový stav (3.16). Rozlišitelnost, předpověditelnost, komplementární rozlišitelnost a komplementární předpověditelnost nezávisí na provedené unitární transformaci UM na qubitu M . To plyne z pozorování, že √ √ † † |, kde {λi } jsou vlastní hodnoty matice XM XM i matice Tr|XM | = λ1 + λ2 = Tr|UM XM UM

† † UM XM XM UM . Proto v dalších úvahách můžeme unitární transformaci UM vynechat. Abychom však dokázali nerovnost (3.15) pro libovolnou bázi ΠS musíme ještě provést unitární transformaci UΠS odpovídající změně báze. Proto pro důkazy stačí, provedeme-li formálně jednu společnou uni˜S = US UΠS na stavu (3.18), která v sobě obsahuje dva kroky: první unitární tární transformaci U transformací US vygenerujeme ze stavu (3.18) stav (3.16) a druhou unitární transformací UΠS budeme měnit bázi na qubitu S. Pak vyjádříme rozlišitelnost D(ΠS ) a komplementární rozlišitelnost D(Π′S ) a budeme se snažit dokázat (3.15). Provedu dva důkazy, které se odlišují matematickým ˜S První důkaz spočívá v provedení unitární transformace U ˜S na stav vyjádřením transformace U ˜ (3.18), kde US je maticovou reprezentací speciální unitární grupy transformací SU(2), která se dá explicitně vyjádřit pomocí Eulerových úhlů α, β, γ ! β − 2i (α−γ) β − 2i (α+γ) − sin cos e e 2 2 ˜S = U (3.28) i i sin β2 e 2 (α−γ) cos β2 e 2 (α+γ)

˜S na (3.18) a získáme stav Provedeme unitární transformaci U ˜ † = |V iS hV |ρ + |HiS hH|ρ + (|V iS hH|χM + h.c.), ˜S ρ¯SM U ρSM = U S M M (1)

(2)

(3.29)

kde (0)

β 1 β (0) ρ¯M + sin2 ρ¯M (1) − sin β(e−iγ χ ¯M + h.c.) 2 2 2 β (1) 1 β (0) ¯M + h.c.) = sin2 ρ¯M + cos2 ρ¯M + sin β(e−iγ χ 2 2 2 1 β β † −i(α−γ) (1) (0) = sin βe−iα (¯ ρM − ρ¯M ) + cos2 χ ¯M e−i(α+γ) − sin2 χ ¯ e 2 2 2 M

ρM = cos2 (1)

ρM

χM

Spočítáme rozlišitelnost D(ΠS ). Za tímto účelem definuji matici A (0)

(1)

A = 2(ρM − ρM ),

(3.30)

s maticovými prvky A11 = cos β(¯ n3 + t¯33 ) − n ¯ 1 sin β cos γ + n ¯ 2 sin β sin γ A12 = −t¯11 sin β cos γ − it¯22 sin γ sin β

A21 = A∗12

A22 = cos β(¯ n3 − t¯33 ) − n ¯ 1 sin β cos γ + n ¯ 2 sin β sin γ

√ √ (0) (1) Označíme-li λ1,2 vlastní hodnoty matice (ρM − ρM )2 , pak D(ΠS ) = λ1 + λ2 . Vlastní hodnoty jsou rovny  p 1 λ1,2 = A211 + A222 + 2A12 A21 ± |A11 + A22 | 4A12 A21 + (A11 − A22 )2 = 8 1 (3.31) n3 cos β − n ¯ 1 sin β cos γ + n ¯ 2 sin β sin γ|± = |¯ 4 q 2   2 √ 1 2 cos2 β + sin2 β(t¯ 2 cos2 γ + t¯ 2 sin2 γ) ± t¯33 = P(ΠS ) ± X 11 22 4 a pro rozlišitelnost D(ΠS ) dostáváme D(ΠS ) = kde

√  √ 1 |P(ΠS ) + X| + |P(ΠS ) − X| , 2

P(ΠS ) = |¯ n3 cos β − n ¯ 1 sin β cos γ + n ¯ 2 sin β sin γ| 2 2 2 2 2 2 X = t¯33 cos β + sin β(t¯11 cos γ + t¯22 sin2 γ).

(3.32)

(3.33)

Rozlišíme dva případy ∆D(ΠS ) =

(√ X − P(ΠS ) 0

pro ∆D(ΠS ) > 0

(3.34)

jinak

Nás bude zajímat jen případ první, protože ve druhém případě dostaneme nulový zisk rozlišitelnosti ∆D(ΠS ) = 0. Můžeme uzavřít náš výpočet tvrzením, že pro ∆D(ΠS ) > 0 platí q 2 cos2 β + sin2 β(t¯ 2 cos2 γ + t¯ 2 sin2 γ) − P(Π ). (3.35) ∆D(ΠS ) = t¯33 S 11 22 Nyní spočítáme komplementární rozlišitelnost D(Π′S ). Musíme transformovat stav (3.29) do komplementární báze pomocí (3.1), kde |Ψ′ iS = |+i, |Ψ′⊥ iS = |−i (3.1)

′

(0)

′

(1)

′

ρSM −−−−→ ρ′SM = |+iS h+|ρM + |−iS h−|ρM + (|+iS h−|χM + h.c.),

(3.36)

kde ′

(0)

′

(1)

 1  (0) (1) ρM − eiφ χM − e−iφ χ†M + ρM 2  1  (0) (1) = ρM + eiφ χM + e−iφ χ†M + ρM 2

ρM = ρM ′

(3.37) (3.38)

a χM v další analýze nebudeme potřebovat. Provedeme podobný výpočet jako v případě D(ΠS ). Definujme matici B jako ′ ′ (0) (1) B = 2(ρM − ρM ), (3.39) kde B11 = sin β cos α(¯ n3 + t¯33 ) + n ¯ 1 (cos α cos γ cos β − sin α sin γ)−

−n ¯ 2 (cos α cos β sin γ + sin α cos γ) B12 = t¯11 (cos α cos γ cos β − sin α sin γ) + it¯22 (cos α cos β sin γ + sin α cos γ) ∗ B21 = B12

B22 = sin β cos α(¯ n3 − t¯33 ) + n ¯ 1 (cos α cos γ cos β − sin α sin γ)− −n ¯ 2 (cos α cos β sin γ + sin α cos γ)

Závislost na φ nemusíme uvažovat, protože můžeme udělat záměnu (α + φ) → α bez újmy na ′ ′ √ √ (1) (0) obecnosti. Označíme-li ν1,2 vlastní hodnoty matice (ρM − ρM )2 , pak D(Π′S ) = ν1 + ν2 . Vlastní hodnoty jsou rovny  p 1 2 2 B11 + B22 + 2B12 B21 ± |B11 + B22 | 4B12 B21 + (B11 − B22 )2 = 8 √ 2 1 = P(Π′S ) ± Y 4

ν1,2 =

(3.40)

a pro komplementární rozlišitelnost dostaneme D(Π′S ) = kde

√  √ 1 |P(Π′S ) + Y | + |P(Π′S ) − Y | , 2

P(Π′S ) = n ¯ 3 sin β cos α + n ¯ 1 (cos α cos γ cos β − sin α sin γ)− −n ¯ 2 (cos α cos β sin γ + sin α cos γ) 2 2 Y = t¯33 sin2 β cos2 α + t¯11 (cos α cos γ cos β− 2 2 − sin α sin γ) + t¯22 (cos α cos β sin γ + sin α cos γ)2 .

(3.41)

Opět rozlišíme dva případy ∆D(Π′S )

=

(√ Y − P(Π′S ) pro ∆D(Π′S ) > 0 0

jinak

(3.42)

Nás bude zajímat opět jen případ první. Pokud ∆D(Π′S ) > 0 dostaneme ∆D(Π′S ) =

√ Y − P(Π′S )

(3.43)

Máme vše připraveno pro poslední krok k důkazu. Z relací (3.35) a (3.43) plyne při uvážení, že 2 2 2 t¯33 ≥ t¯11 ≥ t¯22 2 2 2 2 2 [∆D(ΠS )] + [∆D(Π′S )] ≤ t¯33 cos2 β + sin2 β(t¯11 cos2 γ + t¯22 sin2 γ)+ 2 2 + t¯33 sin2 β cos2 α + t¯11 (cos α cos γ cos β − sin α sin γ)2 + 2 + t¯22 (cos α cos β sin γ + sin α cos γ)2 ≤ 2 2 2 2 2 2 ≤ t¯11 + t¯33 + (t¯11 − t¯33 ) sin2 α sin2 β ≤ t¯11 + t¯33

(3.44)

2 2 2 A pro případ, kdy t¯33 ≥ t¯22 ≥ t¯11 dostaneme 2 2 2 2 cos2 β + sin2 β(t¯11 cos2 γ + t¯22 sin2 γ)+ [∆D(ΠS )]2 + [∆D(Π′S )] ≤ t¯33 2 2 + t¯33 sin2 β cos2 α + t¯11 (cos α cos γ cos β − sin α sin γ)2 + 2 + t¯22 (cos α cos β sin γ + sin α cos γ)2 ≤ 2 2 2 2 2 2 ≤ t¯22 + t¯33 + (t¯22 − t¯33 ) sin2 α sin2 β ≤ t¯22 + t¯33

(3.45)

Získáme nerovnost 2

2

[∆D(ΠS )] + [∆D(Π′S )] ≤



Bmax 2

2

.

(3.46)

A nakonec užitím vztahů ∆K(ΠM → ΠS ) ≤ ∆D(ΠS ) a ∆K(Π′M → Π′S ) ≤ ∆D(Π′S ) dostaneme (3.15). Důkaz je hotový. Druhý důkaz nerovnosti (3.15) je založen na souvislosti mezi unitárními maticemi U z grupy SU(2) a rotacemi O z grupy SO(3) tj. U (~n.~σ )U † = (O~n).~σ . Stav (3.18) s diagonální korelační maticí † . Opět mohu uvažovat jen T¯ se transformuje na obecný stav (3.16) s korelační maticí T = OS T¯OM ¯ transformaci na systému S tj. T = OS T , kde OS je rotační matice 

o11 OS = o21 o31

o12 o22 o32

 o13 o23  , o33

s maticovými prvky o11 = cos α cos β cos γ − sin α sin γ,

o12 = − cos α cos β sin γ − sin α cos γ, o13 = cos α sin β,

o21 = sin α cos β cos γ + cos α sin γ, o22 = − sin α cos β sin γ + cos α cos γ, o23 = sin α sin β,

o31 = − sin β cos γ,

o32 = sin β sin γ, o33 = cos β,

(3.47)

kde α ∈ h0, 2π), β ∈ h0, π), γ ∈ h0, 2π). Pokud provedeme formálně rotaci OS na stavu (3.18) dostaneme stav (3.16) s následujícím vyjádřením   1 1 + n3 + m3 + t33 m1 − im2 + t31 − it32 (0) ρM = (3.48) 1 + n3 − m3 − t33 4 m1 + im2 + t31 + it32   1 1 − n3 + m3 − t33 m1 − im2 − t31 + it32 (1) (3.49) ρM = 1 − n3 − m3 + t33 4 m1 + im2 − t31 − it32   1 n1 − in2 + t13 − it23 t11 − it12 − it21 − t22 χM = (3.50) 4 t11 + it12 − it21 + t22 n1 − in2 − t13 + it23 (0)

(1)

Nyní můžeme formálně spočítat D(ΠS ) a D(Π′S ) pro stav (3.16), proto vyjádříme matice (ρM −ρM ) ′ ′ (1) (0) a (ρM − ρM )   1 n3 + t33 t31 − it32 (0) (1) (3.51) ρM − ρM = 2 t31 + it32 n3 − t33 ′

(0)

′

(1)

ρM − ρM = χM eiφ + χ†M e−iφ =   1 (n1 + t13 ) cos φ + (n2 + t23 ) sin φ (t11 − it12 ) cos φ + (t21 − it22 ) sin φ = 2 (t11 + it12 ) cos φ + (t21 + it22 ) sin φ (n1 − t13 ) cos φ + (n2 − t23 ) sin φ

(3.52)

Spočítám předpověditelnosti a rozlišitelnosti

P(ΠS ) = |n3 | q q 1 1 D(ΠS ) = |P(ΠS ) + t231 + t232 + t233 | + |P(ΠS ) − t231 + t232 + t233 | 2 2 P(Π′S ) = |n1 cos φ + n2 sin φ| √ √ 1 1 D(Π′S ) = |P(Π′S ) + Z| + |P(Π′S ) − Z|, 2 2

(3.53)

kde Z = (t211 +t212 +t213 ) cos2 φ+(t221 +t222 +t223 ) sin2 φ+2(t11 t21 +t22 t12 +t13 t23 ) sin φ cos φ. Dostaneme následující vyjádření (p t231 + t232 + t233 − P(ΠS ) pro ∆D(ΠS ) > 0 ∆D(ΠS ) = 0 jinak (√ Z − P(Π′S ) pro ∆D(Π′S ) > 0 ∆D(Π′S ) = (3.54) 0 jinak Provedeme-li explicitně rotaci diagonální matice T = OS T¯ dostaneme   t11 t12 t13 T = t21 t22 t23  t31 t32 t33

(3.55)

s maticovými prvky

t11 = t¯11 (cos α cos β cos γ − sin α sin γ), t12 = t¯22 (− cos α cos β sin γ − sin α cos γ), t13 = t¯33 cos α sin β, t21 = t¯11 (sin α cos β cos γ + cos α sin γ),

t22 = t¯22 (− sin α cos β sin γ + cos α cos γ), t23 = t¯33 sin α sin β, t31 = −t¯11 sin β cos γ, t32 = t¯22 sin β sin γ, t33 = t¯33 cos β,

(3.56)

2

2

Pomocí (3.54) a (3.56) můžeme vyjádřit [∆D(ΠS )] a [∆D(Π′S )] jako funkce diagonálních členů 2 2 2 matice T¯, čísel n ¯ i a Eulerových úhlů. Jestliže t¯33 ≥ t¯11 ≥ t¯22 2

2

[∆D(ΠS )] + [∆D(Π′S )] ≤ t231 + t232 + t233 + (t211 + t212 + t213 ) cos2 φ+

+(t221 + t222 + t223 ) sin2 φ + 2(t11 t21 + t22 t12 + t13 t23 ) sin φ cos φ ≤ 2  Bmax 2 2 2 2 2 2 2 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤t11 + t33 + (t11 − t33 ) sin β sin (α − φ) ≤ t11 + t33 = 2

(3.57)

2 2 2 Pro případ t¯33 ≥ t¯22 ≥ t¯11 bychom analogicky dokázali, že 2

2 2 [∆D(ΠS )] + [∆D(Π′S )] ≤ t¯22 + t¯33 = 2



Bmax 2

2

(3.58)

Tím jsme dokázali nerovnost (3.15) pro libovolné měření ΠM , Π′M na qubitu M i libovolnou bázi ΠS , Π′S qubitu S. V nerovnosti (3.15) dává Bellův faktor omezení na možné hodnoty zisků komplementárních znalostí, které můžeme získat měřením na systému M . Pokud má kvantový stav předpověditelnosti rovny nule tj. P(ΠS ) = P(Π′S ) = 0 bude se zisk a komplementární zisk rozlišitelnosti rovnat rozlišitelnosti a komplementární rozlišitelnosti tj. ∆D(ΠS ) = D(ΠS ), ∆D(Π′S ) = D(Π′S ). Z toho odvodíme, že nerovnost (3.15) se mění pro vhodně zvolená měření ΠS , Π′S , ΠM , Π′M v rovnost, pokud jsou předpověditelnosti rovny nule tj. P(ΠS ) = P(Π′S ) = 0 pro libovolné báze ΠS , Π′S (nebo-li n1 = n2 = n3 = 0 v Hilbertově-Schmidtově bázi). Na konci podkapitoly 2.3 jsem uvedl, že v [45, 46] bylo dokázáno, že každý smíšený dvouqubitový stav (3.16) můžeme převést pomocí lokálních operací (2.26) na jedné kopii stavu stochasticky (s nenulovou pravděpodobností) na stav diagonální v Bellově bázi (2.20). Filtrovaný stav pak bude vypadat takto ρf = p1 |Ψ− ihΨ− | + p2 |Φ− ihΦ− | + p3 |Ψ+ ihΨ+ | + p4 |Φ+ ihΦ+ |, (3.59) √ p f kde p1 + p2 + p3 + p4 = 1. Bellův faktor Bmax = 2 2 (p1 − p4 )2 + (p2 − p3 )2 filtrovaného stavu f (3.59) bude větší nebo roven Bellovu faktoru pro původní stav tj. Bmax ≥ Bmax . Stav (3.59) má ′ předpověditelnosti P(ΠS ) = P(ΠS ) = 0 rovny nule a zisky rozlizlišitelností ∆D = |p1 − p2 + p3 − p4 |, ∆D′ = |p1 + p2 − p3 − p4 |. Pro stav (3.59) platí nerovnost (3.15) s novým Bellovým faktorem f Bmax na pravé straně a jak jsem uvedl výše pro vhodně zvolená měření a báze ΠS , Π′S , ΠM , Π′M ji můžeme změnit v rovnost. Výsledkem je, že každý dvouqubitový smíšený stav můžeme převést pomocí LOCC operací (stochastických filtračních operací) na jedné kopii kvantového stavu na stav, který pro vhodná měření saturuje nerovnost (3.15) s obecně větším Bellovým faktorem na pravé straně než měl původní stav. Na stavu, který je diagonální v Bellově bázi již dále není možné pomocí LOCC zvýšit Bellův faktor.

3.3

Příklady

Podívejme se teď na analýzu dvou stavů, které mají nulové předpověditelnosti. Oba stavy můžeme vyprodukovat z maximálně entanglovaného Bellova stavu |Ψ− iSM = √12 (|V HiSM − |HV iSM ) vhodnými lokálními transformacemi na qubitu M . První stav získáme pokud provedeme náhodnou změnu polarizace na qubitu M |V iM ↔ |HiM s pravděpodobností (1 − R1 )/2 a zároveň provedeme fázový posuv o π mezi lineárními polarizacemi |V iM → |V iM , |HiM → −|HiM s pravděpodobností (1 − R2 )/2. Výsledkem těchto operací bude následující směs Bellových stavů   1 − R1 1 + R2 1 + R1 |Ψ− ihΨ− | + |Φ− ihΦ− | + ρ = 2 2 2   1 − R1 1 − R2 1 + R1 |Ψ+ ihΨ+ | + |Φ+ ihΦ+ | , 2 2 2 (3.60)

kde 0 ≤ R1 , R2 ≤ 1. Pokud spočítáme předpověditelnosti dostaneme P = P′ = 0 a tedy nemáme žádnou apriorní znalost. Pokud ale budeme provádět vhodná měření na prostředí, získáme obecně nenulový zisk a komplementární zisk ∆D = R1 ∆D′ = R2 .

(3.61)

Jelikož jsou tyto hodnoty na sobě nezávislé můžeme je také nezávisle kontrolovat. Jestliže budeme uvažovat stav s R1 = 1, můžeme měnit komplementární zisk až k hodnotě R2 a zisk se přitom měnit vůbec nebude. V opačném případě R2 = 1 můžeme měnit zisk až k hodnotě R1 nezávisle na p komplementárním zisku. Bellův faktor je Bmax = 2 R12 + R22 . Pozoruhodný případ nastane pokud R1 = 0 a R2 ≥ 0. Znamená to, že tato dekoherence v polarizaci nám neumožňuje získat zisk, ale neovlivňuje nám komplementární zisk. Ve druhém příkladě budeme analyzovat Wernerův stav ρW = R|Ψ− ihΨ− | +

1 − Rˆ ˆ 1 ⊗ 1, 4

(3.62)

kde 0 ≤ R ≤ 1. Stav (3.62) získáme , když s pravděpodobností 1 − R nahradíme foton v systému M fotonem s úplně náhodnou polarizací. Dostaneme ∆K(α) = R| cos 2α| ∆K′ (α) = R| sin 2α| ∆D = R ∆D′ = R,

(3.63)

kde α vyjadřuje měření (1.33) (β = 0) na qubitu M . Výsledek ukazuje, že vzrůst pravděpodobnosti náhodné polarizace způsobuje pokles obou zisků a to stejným způsobem. Bellův faktor je B√ max = √ 2 2R. Stav (3.62) je entanglovaný pro R > 1/3 a porušuje Bellovy nerovnosti pro R > 1/ 2. Je zajímavé, že můžeme dostat nenulový zisk i v případě, když stav neporušuje Bellovy nerovnosti a dokonce není entanglovaný (R ≤ 1/3). Ovšem precizní smazání tj. jednotkový zisk můžeme získat jen v případě entanglovaného stavu.

3.4

Návrh experimentu

Následuje návrh experimentu pro testování nerovností (3.13) a (3.15) pro maximálně entanglovaný ˆ ˆ Bellův stav (singlet) |Ψ− i = √12 (|V HiSM −|HV iSM ) a Wernerův stav ρW = R|Ψ− ihΨ− |+ 1−R 4 1⊗ 1. Tento experiment je založen na experimentu pro testování porušení Bellových nerovností, využívající SPDC typu I a interferenční měření v Hongově-Ouově-Mandelově interferometru. Tento experiment však není možno považovat za test Bellových nerovností, protože využívá postselekce fotonů. Experimentální schéma je na Obrázku 3.2. Kryptonový laser, pracující v kontinuálním režimu, čerpá nelineární krystal LiIO3 , ve kterém dochází k SPDC typu I, který jsem popsal v podkapitole 2.4. Jsou generovány dva fotony s horizontální polarizací, jalový a signálový, které se vyznačují silnou časovou korelací. K produkci polarizačně entanglovaných párů fotonů se využívá podmíněné generace na nepolarizujícím děliči svazku BS. Podívejme se na generaci |Ψ− i. V SPDC procesu typu I vznikají dva horizontálně polarizované fotony. Polarizaci jednoho fotonu otočíme pomocí půlvlnové destičky λ/2 na vertikální polarizaci. Oba dva fotony necháme dopadat na nepolarizující symetrický dělič svazku BS jako na Obrázku 2.3. Symetrický dělič svazku provádí unitární transformaci kreačních operátorů na vstupu a† , b† na kreační operátory c† , d† na výstupu podle relace 1 a† = √ (ic† + d† ) 2 1 b† = √ (c† + id† ). 2

(3.64)

D3

D1

M

/2 GP /2 /2 /2

PBSS

D4

/2

D2

Obrázek 3.2: Experimentální schéma. LiIO3 - nelinární krystal, BS - dělič svazku, λ/2 - půlvlnová destička, GP kompenzační skleněná destička, PBSM a PBSS - polarizační děliče svazku, Di - detektory.

Vstupní stav, který dopadá na dělič svazku je |IN i = a†V b†H |0i, kde a†V znamená, že na vstupní port a dopadá foton s vertikální polarizací, b†H odpovídá horizontálně polarizovanému fotonu vstupujícímu do portu b a |0i je vakuový stav. Využijeme-li transformace (3.64) dostaneme za děličem svazku následující výstupní stav  1 † † icV cH + id†V d†H − c†V d†H + c†H d†V |0i = 2  1 i|V ic |Hic + i|V id |Hid − |V ic |Hid + |Hic |V id , = 2

|OU T i =

(3.65)

kde např. |V id označuje horizontálně polarizovaný foton vystupující z portu d. Vidíme, že první dva členy odpovídají stavům, kdy oba fotony jsou na výstupu c nebo d, zatímco další dva členy představují stav |Ψ− i. Pokud detektory ve výstupních portech zaznamenají koincidenci, byl vygenerován stav |Ψ− i. To nastane v 50% případů. Ostatní případy neuvažujeme (postselekce). Generace Wernerova stavu je jednoduchá. Wernerův stav ρW je nekoherentní superpozicí (směsí) stavu |Ψ− icd a ˆ1c ⊗ ˆ1d = |V ic hV |V id hV | + |V ic hV |Hid hH| + |Hic hH|V id hV | + |Hic hH|Hid hH|. Wernerův stav budeme generovat postupně tak, že budeme posílat na dělič svazku fotony ve třech různých kombinacích polarizačních stavů - horizontální a vertikální, dva horizontální a dva vertikální. Měří se koincidence v nějaké vzdálenosti od středu Hongova-Ouova-Mandelova dipu pro výše uvedené polarizační kombinace fotonů a výsledné koincidence se sečtou. Tím vygenerujeme Wernerův stav, jehož parametr R závisí na vzdálenosti měření od středu Hongova-Ouova-Mandelova dipu. Experimentální hodnoty zisku a komplementárního zisku jsou získány pomocí koincidenčních měření v různých bázích, které měníme pomocí polarizačních analyzátorů v každém výstupním rameni. Polarizační analyzátory se sestávají z půlvlnové destičky λ/2, čtvrtvlnové destičky (v aktuálním experimentu nebyly použity) a polarizačního děliče svazku PBSS nebo PBSM . Za každým výstupním portem polarizačních děličů svazku PBSS a PBSM jsou fotony navázány do vlákna, kterými jsou vedeny k jednofotonovým detekčním modulům Di . Pomocí relací (3.6) a (1.33) vyjádříme experimentální aproximaci znalosti K(ΠM → ΠS ) = K(α, β) ≈

|C11 − C21 | + |C12 − C22 | , C11 + C21 + C12 + C22

(3.66)

(k)

(j)

kde Ckj ≈ TrSM (ρSM PS PM ) je počet koincidencí mezi k-tým detektorem na S a j-tým detektorem na M a α, β vyjadřují měření na M . Podobně vyjádříme předpověditelnost P(ΠS ) = P ≈

|C11 − C21 + C12 − C22 | . C11 + C21 + C12 + C22

(3.67)

Zisk znalosti dostaneme jako jejich rozdíl tj. ∆K(α, β) = K(α, β) − P.

(3.68)

Komplementární zisk dostaneme analogicky pro měření v komplementární bázi Π′S ∆K′ (α, β) = K′ (α, β) − P′ .

(3.69)

Zbývá nám vyjádřit Bellův faktor Bmax . Korelační funkce je vzhledem k (2.27) E(µ, ν) ≈

C11 + C22 − C12 − C21 , C11 + C21 + C12 + C22

(3.70)

kde µ resp. ν jsou úhly natočení půlvlnových destiček reprezentující měřené báze na qubitu S resp. M . Potom Bmax = |E(µ, ν) + E(µ′ , ν) + E(µ, ν ′ ) − E(µ′ , ν ′ )| dostaneme pro µ = 0 ◦ , µ′ = 45 ◦ , ν = 22, 5 ◦ a ν ′ = −22, 5 ◦. Tato natočení jsou optimální pro singlet i Wernerův stav. V reálném experimentu je však třeba počítat s nedokonalostí polarizačního děliče svazku, který se projevuje nesymetrickým dělícím poměrem a to různými hodnotami pro vertikální a horizontání polarizaci. Tato nesymetrie se kompenzuje skleněnou destičkou GP umístěnou v jednom rameni interferometru. Další problém vzniká nedokonalým překryvem prostorových modů na děliči svazku, který vede k produkci dalších nekoherentních příměsí ke stavu |Ψ− i. V tomto experimentu to znamená, že výstupní stav je nekoherentní superpozicí stavu |Ψ− i a stavu |Ψ+ i. Další zdroje chyb můžeme hledat např. v nepřesném nastavení úhlů polarizačních prvků. Výše popsaný experiment byl proveden v laboratoři1 J. Soubustou, A. Černochem a M. Duškem. Byl měřen stav |Ψ− i a dva Wernerovy stavy s různým parametrem R: #1 Wernerův stav s R ≈ 0.82 porušující Bellovy nerovnosti a #2 Wernerův stav s R ≈ 0.45, který je entanglovaný, ale neporušuje Bellovy nerovnosti. 2 Na Obrázku 3.3 jsou zobrazeny naměřené hodnoty čtverců zisků znalostí [∆K(ϑ)] (v grafu 2 2 ˜ 2 ), [∆K′ (ϑ)] (v grafu označeno jako K ˜ ′ ) a jejich součtu v závislosti na úhlu označeno jako K natočení ϑ = 2α (β = 0) půlvlnové destičky pro experimentální aproximaci stavu |Ψ− i (P = 0.032 ± 0.005, P′ = 0.052 ± 0.004). Na Obrázku 3.4 jsou zobrazeny naměřené hodnoty součtu čtverců 2 2 zisků znalostí [∆K(ϑ)] + [∆K′ (ϑ′ )] v závislosti na úhlech ϑ, ϑ′ natočení půlvlnových destiček pro experimentální aproximaci stavu |Ψ− i. Maximální ukázaná hodnota na svislé ose odpovídá naměřené hodnotě (Bmax /2)2 . V tomto případě byl naměřen Bellův faktor Bmax = 2.70 ± 0.03. 2 2 Na Obrázku 3.5 jsou zobrazeny naměřené hodnoty čtverců zisků znalostí [∆K(ϑ)] [∆K′ (ϑ)] a jejich součtu v závislosti na úhlu natočení ϑ = 2α (β = 0) půlvlnové destičky pro experimentální aproximaci Wernerova stavu s R ≈ 0.82 (P = 0.019 ± 0.007, P′ = 0.018 ± 0.003). Na Obrázku 3.6 2 jsou zobrazeny naměřené hodnoty součtu čtverců zisků znalostí [∆K(ϑ)]2 + [∆K′ (ϑ′ )] v závislosti ′ na úhlech ϑ, ϑ natočení půlvlnových destiček pro experimentální aproximaci Wernerova stavu s R ≈ 0.82. V tomto případě byl naměřen Bellův faktor Bmax = 2.36 ± 0.02. 2 2 Na Obrázku 3.7 jsou zobrazeny naměřené hodnoty čtverců zisků znalostí [∆K(ϑ)] [∆K′ (ϑ)] a jejich součtu v závislosti na úhlu natočení ϑ = 2α (β = 0) půlvlnové destičky pro experimentální aproximaci Wernerova stavu s R ≈ 0.45 (P = 0.012 ± 0.008, P′ = 0.006 ± 0.004). Na Obrázku 3.8 2 2 jsou zobrazeny naměřené hodnoty součtu čtverců zisků znalostí [∆K(ϑ)] + [∆K′ (ϑ′ )] v závislosti ′ na úhlech ϑ, ϑ natočení půlvlnových destiček pro experimentální aproximaci Wernerova stavu s R ≈ 0.45. V tomto případě byl naměřen Bellův faktor Bmax = 1.32 ± 0.02. Nerovnosti (3.15) a (3.13) jsou pro výše uvedená měření splněny. 1 Společná

laboratoř optiky Univerzity Palackého a Fyzikálního ústavu Akadamie věd ČR v Olomouci.

Obrázek 3.3: Naměřené hodnoty čtverců zisků znalostí [∆K(ϑ)]2 , [∆K′ (ϑ)]2 a jejich součtu v závislosti na úhlu natočení ϑ = 2α (β = 0) půlvlnové destičky pro experimentální aproximaci stavu |Ψ− i. (Zdroj: J. Soubusta, A. Černoch a M. Dušek)

Obrázek 3.4: Naměřené hodnoty součtu čtverců zisků znalostí [∆K(ϑ)]2 + [∆K′ (ϑ′ )]2 v závislosti na úhlech natočení ϑ, ϑ′ půlvlnových destiček pro experimentální aproximaci stavu |Ψ− i. Naměřený Bellův faktor Bmax = 2.70 ± 0.03. (Zdroj: J. Soubusta, A. Černoch a M. Dušek)

Obrázek 3.5: Naměřené hodnoty čtverců zisků znalostí [∆K(ϑ)]2 , [∆K′ (ϑ)]2 a jejich součtu v závislosti na úhlu natočení ϑ = 2α (β = 0) půlvlnové destičky pro experimentální aproximaci Wernerova stavu s R ≈ 0.82. (Zdroj: J. Soubusta, A. Černoch a M. Dušek)

Obrázek 3.6: Naměřené hodnoty součtu čtverců zisků znalostí [∆K(ϑ)]2 + [∆K′ (ϑ′ )]2 v závislosti na úhlech natočení ϑ, ϑ′ půlvlnových destiček pro experimentální aproximaci Wernerova stavu s R ≈ 0.82. Naměřený Bellův faktor Bmax = 2.36 ± 0.02. (Zdroj: J. Soubusta, A. Černoch a M. Dušek)

Obrázek 3.7: Naměřené hodnoty čtverců zisků znalostí [∆K(ϑ)]2 , [∆K′ (ϑ)]2 a jejich součtu v závislosti na úhlu natočení ϑ = 2α (β = 0) půlvlnové destičky pro experimentální aproximaci Wernerova stavu s R ≈ 0.45. (Zdroj: J. Soubusta, A. Černoch a M. Dušek)

Obrázek 3.8: Naměřené hodnoty součtu čtverců zisků znalostí [∆K(ϑ)]2 + [∆K′ (ϑ′ )]2 v závislosti na úhlech natočení ϑ, ϑ′ půlvlnových destiček pro experimentální aproximaci Wernerova stavu s R ≈ 0.45. Naměřený Bellův faktor Bmax = 1.32 ± 0.02. (Zdroj: J. Soubusta, A. Černoch a M. Dušek)

Závěr Ve své práci jsem se zabýval kvantovou komplementaritou v jednoduchých dvoučásticových systémech. V první kapitole jsem ukázal jak se popisuje dualita mezi zjištěním dráhy a interferencí pro smíšené dvouqubitové stavy. Vyšetřoval jsem vliv dekoherence na kvantovou komplementaritu, která se efektivně projevuje nutností zabývat se namísto čistých kvantových stavů smíšenými. Ukázal jsem možnost použít kvantové smazávání při obnově vizibility interferenčních proužků. Duální chování a kvantové smazávání je omezeno nerovnostmi zvanými relace duality (1.28) a smazávání (1.29). Kvantová komplementarita je důsledkem existence korelací mezi subsystémy kvantového systému. Uvedl jsem i některé experimenty testující dualitu a kvantové smazávání. Nový pohled na kvantovou komplementaritu dává EPR argument, který jsem popsal ve druhé kapitole. Dále jsem se zabýval Bellovými nerovnostmi a kvantovou provázaností. Uvedl jsem operacionalistická kritéria, podle kterých rozhodneme o porušení Bellových nerovností a o entanglementu pro dvouqubitové kvantové stavy. Ve třetí kapitole jsem dokázal, že schopnost jednoznačně rozlišit mezi bázovými stavy popisujícími dráhovou informaci a komplementárními bázovými stavy je limitováno pro libovolný dvouqubitový smíšený stav nerovností (3.15). Nerovnost (3.15) ukazuje souvislost mezi komplementaritou a porušením Bellových nerovností. Bellův faktor Bmax , který figuruje na pravé straně nerovnosti omezuje naši schopnost jednoznačně určit, která báze (ΠS nebo Π′S ) se aktuálně vyskytuje v kvantovém stavu. Je dokázáno, že každý dvouqubitový smíšený stav můžeme pomocí vhodných stochasticky reverzibilních filtračních operací na jedné kopii kvantového stavu převést na stav diagonální v Bellově bázi. Protože má stav diagonální v Bellově bázi nulové předpověditelnosti, můžeme dokonce nerovnost (3.15) pro vhodná měření ΠS ,Π′S ,ΠM ,Π′M změnit v rovnost, ale s obecně větším Bellovým faktof rem Bmax na pravé straně. Takto obdržená rovnost dává i fyzikální interpretaci pro Bellův faktor. Nerovnost (3.15) se pro stejná měření na pomocném systému mění na nerovnost (3.13). Dále byl navržen experiment s korelovanými páry fotonů, který testuje nerovnosti (3.15) a (3.13) pro Bellův ˆ ˆ stav |Ψ− i a Wernerův stav ρW = R|Ψ− ihΨ− | + 1−R 4 1 ⊗ 1. Experimentální výsledky z tohoto experimentu potvrzují teoretické analýzy. Ve své práci jsem uvažoval pouze dvouqubitové stavy. Nabízí se otázka, jak by se mohla rozšířit navržená metoda zkoumání duality v případě složitějších systémů (systémy s více qubity i systémy s více stupni volnosti). Obdobné úvahy by se daly rozšířit i pro kvantové stavy se spojitými proměnnými.

Seznam literatury [1] BOHR, N.: Naturwissenschaften 16, (1928) 245. [2] BOHR, N.: Nature 121, (1928) 580. [3] EINSTEIN, A., PODOLSKY, B. and ROSEN, N.: Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Phys. Rev. 47, (1935) 777-780. [4] BOHR, N.: Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Phys. Rev. 48, (1935) 696-702. [5] BELL, J.S.: On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox. Physics 1, 195-200. [6] BELL, J.S.: On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics. Rev. Mod. Phys. 38, (1966) 447-452. [7] WOOTERS, K.W., ZUREK, H.W.: Complementarity in the double-slit experiment: Quantum nonseparability and a quantitative statement of Bohr’s principle. Phys. Rev. D 19 (1979) 473484. [8] ENGLERT, B.-G. and BERGOU, J. A.: Quantitative quantum erasure. Opt. Comm. 179 (2000) 337-355. [9] TRIFONOV, A., BJÖRK, G., SÖDERHOLM J. and TSEGAYE T.: Comprehensive experimental test of quantum erasure. Eur. Phys. J. D 18, (2002) 251-258. [10] BADUREK, G., RAUCH, H. and TUPPINGER, D.: Neutron interferometric double-resonance experiment. Phys. Rev. A 34, (1986) 2600-2608. [11] RAUCH H., SUMMHAMMER, J., ZAWISKY, M. and JERICHA, E.: Low-contrast and lowcounting-rate measurements in neutron interferometry. Phys. Rev. A 42, (1990) 3726-3732. [12] DÜRR, S., NONN, T. and REMPE, G. Origin of quantum-mechanical complementarity probed by a ”which-way” experiment in an atom interferometer. Nature 395, (1998) 33-37. [13] ENGLERT, B.-G.: Fringe Visibility and Which-Way Information: An Inequality. Phys. Rev. Lett. 77, (1996) 2154-2157. [14] SCHWINDT, P. D. D., KWIAT P. G. and ENGLERT B.-G.: Quantitative wave-particle duality and nonerasing quantum eraser. Phys. Rev. A 60 (1999) 4285-4290. [15] ENGLERT, B.-G., SCULLY M.O. and WALTHER H.: On mechanisms that enforce complementarity. ArXiv:quant-ph/9910037. [16] HERZOG, T.J. et al.: Complementarity and the Quantum Eraser. Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 3034-3037. [17] LUIS, A. and SÁNCHEZ-SOTO, L.L.: Complementarity Enforced by Random Classical Phase Kicks. Phys. Rev. Lett. 81, (1998) 4031-4035. [18] BJÖRK, G. and KARLSSON, A.: Complementarity and quantum erasure in welcher Weg experiments. Phys. Rev. A 58, (1998) 3477-3483.

[19] LUIS, A.: Complementarity and certainty relations for two-dimensional systems. Phys. Rev. A 64, (2001). [20] JAKOB, M. and BERGOU, J.A.: Quantitative complementarity relations in bipartite systems. ArXiv:quant-ph/0302075. [21] CLAUSER, J.F., HORNE, M.A., SHIMONY, A. and HOLT R.A.: Proposed Experiment to test Local Hidden-Variable theories. Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 880-884. [22] FREEDMAN, S.J. and CLAUSER, J.F.: Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories. Phys. Rev. Lett. 28 (1972) 938-941. [23] FRY, E.S. and THOMPSON, R.C.: Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories. Phys. Rev. Lett. 37 (1976) 465-468. [24] ASPECT, A., GRANGIER, P. and ROGER, G.: Experimental Tests of Realistic Local Theories via Bell’s Theorem. Phys. Rev. Lett. 47 (1981) 460-463. [25] WEIHS, G., JENNEWEIN, T., SIMON, CH., WEINFURTER, H. and ZEILINGER, A.: Violation of Bell’s Inequality under Strict Einstein Locality Conditions. Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 5039-5043. [26] BENETT, C.H. and BRASSARD, G.: In Proc. IEEE Int. Conference on Computers, Systems and Signal Processing, IEEE, New York, (1984). [27] HORODECKI, R. and HORODECKI, P.: Perfect correlations in the Einstein-Podolsky-Rosen experiment and Bell’s inequalities. Phys. Lett. A 210 (1996) 227-231. [28] PERES, A.: Separability criterion for density matrices. Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 1413-1415. [29] PERES, A.: Quantum nonlocality and inseparability. ArXiv:quant-ph/9609016. [30] HORODECKI, M., HORODECKI, P. and HORODECKI, R.: Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions. Phys. Lett. A 223 (1996) 1-8. [31] HORODECKI, M., HORODECKI, P. and HORODECKI, R.: Inseparable two spin- 21 density matrices can be distilled to a singlet form. Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 574-577. [32] HORODECKI, R., HORODECKI, P. and HORODECKI, M.: Violating Bell inequality by mixed spin- 12 states: necessary and sufficient condition. Phys. Lett. A 200 (1995) 340-344. ˙ [33] ZUKOWSKI, M., KASZLIKOWSKI, D. and SANTOS, E.: Irrelevance of photon events distinguishability in a class of Bell experiments. Phys. Rev. A 60 (1999) R2614-R2617. ˙ [34] BRUKNER, Č., ZUKOWSKI, M. and ZEILINGER, A.: The essence of entanglement. ArXiv:quant-ph/0106119. [35] WERNER, R. F.: Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden-variable model. Phys. Rev. A 40 (1989) 4277-4280. [36] POPESCU, S.: Bell’s inequalities versus teleportation: What is nonlocality? Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 797-799. [37] POPESCU, S.: Bell’s Inequalities and Density Matrices: Revealing ”Hidden” Nonlocality. Phys. Rev. Lett. 74 (1995) 2619-2622. [38] BARRET, J., COLLINS, D., HARDY, L., KENT, A. and POPESCU, S.: Quantum nonlocality, Bell inequalities and the memory loophole. ArXiv:quant-ph/0205016. ˙ [39] ZUKOWSKI, M.: Some news about Bell inequalities. J. Mod. Opt. 50 (2003) 1151-1163.

[40] HONG, C.K., OU, Z.Y. and MANDEL, L.: Measurement of Subpicosecond Time Intervals between Two Photons by Interference. Phys. Rev. Lett. 59 (1987) 2044-2046. [41] OU, Z.Y. and MANDEL, L.: Violation of Bell’s Inequality and Classical Probability in a TwoPhoton Correlation Experiment. Phys. Rev. Lett. 61 (1988) 50-53. [42] KWIAT, P.G., MATTLE, K., WEINFURTER, H., ZEILINGER, A., SERGIENKO, A.V. and SHIH, Y.: New High-Intenzity Source of Polarization-Entangled Photon Pairs. Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 4337-4342. [43] GISIN, N.: Hidden quantum nonlocality revealed by local filters. Phys. Lett. A 210 (1996) 151-156. [44] KIM, Y.-H., YU, R., KULIK, S.P., SHIH, Y.H. and SCULLY, M.O.: A Delayed Choice Quantum Eraser. ArXiv:quant-ph/9903047. [45] VERSTRAETE, F., DEHAENE, J. and De MOORE, B.: Local Filtering operations on two qubits. ArXiv:quant-ph/0011111. [46] VERSTRAETE, F. and WOLF, M.M.: Entanglement versus Bell Violations and Their Behavior under Local Filtering Operations. Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 170401-1 [47] KENT, A.: Entangled Mixed States and Local Purification. Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 28392841. [48] BENNET, C.H., BRASSARD, G., POPESCU, S., SCHUMACHER, B., SMOLIN, J. and WOOTTERS, W.K.: Phys. Rev. Lett. 76 (1996) 722. [49] BOHM, D.: Phys. Rev. 85 (1952) 166. [50] BOSE, S. and HOME, D.: A generic source of entanglement showing complementarity between entanglement and particle distinguishability. ArXiv:quant-ph/0101093. [51] CLEVE, R., EKERT, A., MACCHIAVELLO C. and MOSCA, M.: Quantum Algorithms Revisited. ArXiv:quant-ph/9708016. [52] BOHR., N.: Atomic Physics and Human knowledge, Wiley, New York, 1958. [53] JAEGER, G. and SERGIENKO A.V.: Multi-photon quantum interferometry. Progress in Optics 42, (2001) 277-324. [54] BOYD, R.W.: Nonlinear Optics, Academic Press, Boston 1992. [55] NIELSEN, M.A. and CHUANG, I.L.: Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge 2000. [56] BOUWMEESTER, D., EKERT, A. and ZEILINGER, A.: The Physics of Quantum Information. Springer-Verlag, Berlin 2000. [57] FORMÁNEK, J.: Úvod do kvantové teorie, Academia, Praha 1983. [58] FEYNMAN, R.P.: Feynmanove prednášky z fyziky, Alfa, Bratislava, 1990. [59] BLANK, J., EXNER, P. a HAVLÍČEK, M.: Lineární operátory v kvantové fyzice. Karolinum, Praha 1993. [60] DUŠEK, M.: Koncepční otázky kvantové teorie, Nakladatelství UP, Olomouc 2002. [61] HAVELKA, B.: Teorie elektromagnetického pole, Státní pedagogické nakladetelství, Praha 1965.