Komercˇnı´ vy´robky pro kvantovou kryptografii Miroslav Dobsˇ´ıcˇek Katedra pocˇ´ıtacˇu˚, Fakulta elektrotechnicka´, Cˇeske´ vysoke´ ucˇenı´ technicke´ v Praze, Karlovo na´meˇstı´ 13, 121 35 Praha 2, Cˇeska´ republika
[email protected] Kvantova´ kryptografie je pomeˇrneˇ mlady´ obor, ktery´ v blı´zke´ budoucnosti slibuje prˇine´st bezpodmı´necˇneˇ bezpecˇny´ prˇenos dat. Teoreticky´ za´klad je zna´m jizˇ 20 let, laboratornı´ prototypy oveˇrˇujı´ v rea´lny´ch podmı´nka´ch snad vsˇechny sveˇtove´ banky a pro sˇirokou verˇejnost jsou dostupne´ prvnı´ komercˇnı´ vy´robky. V tomto doprovodne´m textu k prˇedna´sˇce bude vysveˇtleno, co vlastneˇ ona kvantova´ kryptografie znamena´, ve ktery´ch oblastech nalezne sve´ uplatneˇnı´, a v jake´m cˇasove´m horizontu zacˇne by´t zajı´mava´ pro strˇednı´ a male´ spolecˇnosti. Konkre´tneˇ budou zmı´neˇny vy´robky pro kvantovou distribuci klı´cˇu˚ a genera´tory na´hodny´ch cˇ´ısel. Stranou nezu˚stanou ani informace o stavu vy´voje kvantovy´ch pocˇ´ıtacˇu˚.
1
´ vod U
Vsˇichni ma´me svu˚j stı´n, touhy a prˇa´nı´, vlastnosti, ktere´ na´s cˇinı´ zvla´sˇtnı´mi a jedinecˇny´mi. Zatı´mco stı´n skry´va´me mozˇna´ snad v prˇ´ıpadeˇ, zˇe silueta cˇinı´ nasˇe strˇednı´ partie veˇtsˇ´ı nezˇ ve skutecˇnosti jsou, soukromı´ si strˇezˇ´ıme mnohem vı´ce a le´pe. A jak uzˇ tomu by´va´, cˇ´ım le´pe neˇco strˇezˇ´ıme, tı´m vı´ce to ostatnı´ zajı´ma´. V digita´lnı´m sveˇteˇ na´m s ochranou dat poma´hajı´ sˇikovne´ matematicke´ teorie a neme´neˇ sˇikovnı´ programa´torˇi, kterˇ´ı je uva´deˇjı´ v zˇivot. Ochranou fyzickou se zde zaby´vat nebudeme. Boura´nı´ zdı´, vrta´nı´ trezoru˚ a jine´ manua´lnı´ pra´ce prˇenecha´me pro dnesˇek jiny´m. Pro u´plnost zby´va´ rˇ´ıci, zˇe socia´lnı´ u´toky take´ vynecha´me. Mı´sto toho si povı´me, jak zatı´m neju´plneˇjsˇ´ı fyzika´lnı´ pohled na fungova´nı´ sveˇta - kvantova´ mechanika - pomu˚zˇe vyrˇesˇit neˇktere´ proble´my, ktere´ klasicka´ kryptografie, potazˇmo informatika, ma´. Kryptografie se zejme´na snazˇ´ı rˇesˇit autorizovanost prˇ´ıstupu, autenticˇnost a integritu dat, bezpecˇnou komunikaci a bezpecˇne´ pocˇ´ıta´nı´. Za´kladnı´ stavebnı´ kameny jsou jednosmeˇrne´ hash funkce, kombinovane´ transpozicˇnı´ a substitucˇnı´ sˇifry, redukce ke zna´my´m nedeterministicky polynomia´lnı´m proble´mu˚m jako rozklad na prvocˇ´ıselny´ soucˇin nebo vy´pocˇet diskre´tnı´ch logaritmu˚, generova´nı´ na´hodny´ch cˇ´ısel. Prˇi blizˇsˇ´ım zkouma´nı´ i laik brzy zjistı´, zˇe jednosmeˇrne´ hash funkce nejsou tak u´plneˇ jednosmeˇrne´, na´hodna´ cˇ´ısla jsou na´hodna´ azˇ na tu periodu, bezpecˇnost transpozicˇnı´ch a substitucˇnı´ch bloku˚ se oveˇrˇuje tak, zˇe vy´stupnı´ posloupnost se jevı´ dostatecˇneˇ na´hodna´ a podobneˇ. Odborny´ termı´n hovorˇ´ı o takzvane´ podmı´neˇne´
bezpecˇnosti. Nepodmı´neˇnou bezpecˇnostı´ se mu˚zˇe pochlubit pouze neˇkolik ma´lo primitiv jako naprˇ´ıklad one-time pad. Jeho pouzˇitı´ bohuzˇel vyzˇaduje klı´cˇ nejme´neˇ stejneˇ dlouhy´ jako zpra´va urcˇena´ k zasˇifrova´nı´, a tudı´zˇ je znacˇneˇ neprakticky´. V praxi se proto pouzˇ´ıvajı´ podmı´neˇneˇ bezpecˇna´ primitiva a protokoly, prˇicˇemzˇ mı´ra podmı´neˇnosti se zpravidla vyjadrˇuje dobou potrˇebnou k provedenı´ u´toku hrubou silou. Doby u´toku prˇepocˇ´ıtane´ na sta´rˇ´ı vesmı´ru vypadajı´ bezesporu impozantneˇ a dostatecˇneˇ bezpecˇneˇ, ale na pozadı´ by na´s meˇlo tra´pit veˇdomı´, zˇe pokud neˇkdo vymyslı´ matematickou zkratku, prolomı´ sˇifru za ty´den nebo prˇes noc. V roce 1994 publikoval Peter Shor algoritmy pro nalezenı´ prvocˇ´ıselnı´ho rozkladu a vy´pocˇet diskre´tnı´ch logaritmu˚ v polynomia´lnı´m cˇase na takzvane´m kvantove´m pocˇ´ıtacˇi. Pokud se v budoucnu podarˇ´ı vyrˇesˇit technologicke´ proble´my a kvantove´ pocˇ´ıtacˇe budou postaveny, je znacˇna´ cˇa´st soucˇasne´ kryptografie ohrozˇena. Za´kony kvantove´ mechaniky se ale nasˇteˇstı´ dajı´ pouzˇ´ıt nejen pro kryptoanaly´zu. Prvnı´ komercˇnı´ vy´robky pro kvantovou kryptografii, prˇesneˇji rˇecˇeno pro kvantovou distribuci klı´cˇu˚ a generova´nı´ kvantoveˇ na´hodny´ch cˇ´ısel, se jizˇ takrˇka dajı´ koupit na pultu nebo alesponˇ rezervovat doda´nı´.
2
Za´kladnı´ principy
Za´kladnı´ jednotkou klasicke´ (Shannonovy) informace je bit, ktery´ mu˚zˇe naby´vat pouze dvou diskre´tnı´ch hodnot 0 a 1. Kvantovy´ bit, zvany´ qubit, oproti tomu mu˚zˇe naby´vat nekonecˇneˇ mnoha hodnot, zjednodusˇeneˇ rˇecˇeno, mezi hodnotami 0 a 1 vcˇetneˇ. Tuto vlastnost zapisujeme pomocı´ Diracovy notace takto: |φi = α|0i + β|1i |φi je na´zev qubitu, α, β jsou komplexnı´ cˇ´ısla a {|0i, |1i} je ba´ze Hilbertova prostoru H2 . Pro na´zornost si prˇedstavı´me na´sledujı´cı´ prˇ´ıklad. Ma´me slecˇnu Alici (je to beˇzˇneˇjsˇ´ı dı´vcˇ´ı jme´no nezˇ φ), jako ba´ze stanovı´me {zˇivot, smrt} a potom prohla´sı´me, zˇe Alice je z 80% zˇiva´ a z 20% mrtva´. Prˇ´ıklad se take´ hodı´ pro vysveˇtlenı´ Kodanˇske´ interpretace kvantove´ho stavu. Proble´m je na´sledujı´cı´. Qubit mu˚zˇe by´t realizova´n jaky´mkoliv dvojdimenziona´lnı´m kvantovy´m syste´mem. V praxi se nejcˇasteˇji pouzˇ´ıva´ polarizace fotonu (horizonta´lnı´/vertika´lnı´) nebo 1/2-spinovy´ moment cˇa´stice (nahoru/dolu). Pokud se pokusı´me zmeˇrˇit polarizaci zachycene´ho fotonu z neˇjake´ho konkre´tnı´ho zdroje, mu˚zˇeme zacˇ´ıt dosta´vat vy´sledky 60% horizonta´lnı´ polarizace a 40% vertika´lnı´ polarizace. Jak si s tı´mto poznatkem poradit? Albert Einstein byl zasta´ncem teorie chybeˇjı´cı´ch parametru˚, ktera´ rˇ´ıkala, zˇe foton byl jizˇ prˇed meˇrˇenı´m v dane´m polarizovane´m stavu. Na´hodnost vy´sledku, kterou pozorujeme prˇi meˇrˇenı´, je da´na doposud neobjeveny´mi parametry syste´mu.
Tato interpretace je sice logicka´, nicme´neˇ beˇhem cˇasu byla experimenta´lneˇ pomocı´ Bellovy´ch nerovnostı´ vyvra´cena. Kodanˇska´ interpretace oproti tomu rˇ´ıka´, zˇe foton je v obou stavech najednou a meˇrˇenı´ je destruktivnı´ uda´lost, ktera´ foton nutı´ prˇijmout jednu z klasicky´ch hodnot (vertika´lnı´/horizonta´lnı´ polarizaci), ktere´ jsme vymezili jako jedine´ mozˇne´ vy´stupy meˇrˇenı´. Paralela k Alici spocˇ´ıva´ v tom, zˇe jejı´ stav snadno prohla´sı´me za stav mezi zˇivotem a smrtı´ za´rovenˇ. Azˇ po ”meˇrˇenı´” prˇijmeme mozˇne´ vy´sledky {byla zˇiva´, byla mrtva´} podle toho, jestli pod skalpelem krˇicˇela nebo ne. Tento prˇ´ıklad je trochu morbidnı´, ale dobrˇe vyjadrˇuje, zˇe v kvantove´m sveˇteˇ nasˇe klasicka´ meˇrˇenı´ a hodnoty neda´vajı´ dost dobrˇe smysl. Tedy le´pe rˇecˇeno, neda´va´ smysl zı´skane´ hodnoty v kvantove´m sveˇteˇ interpretovat. Takove´ uvazˇova´nı´ vede k tzv. paradoxu˚m kvantove´ho sveˇta. Jinak samozrˇejmeˇ klasickou hodnotu z meˇrˇenı´ potrˇebujeme zı´skat, abychom s nı´ da´le mohli v nasˇ´ı realiteˇ pracovat.
3
Aplikace v kryptografii
V soucˇasne´ dobeˇ je rozpracova´no neˇkolik teoriı´ jak za´kony kvantove´ho sveˇta vyuzˇ´ıt pro kryptograficke´ u´cˇely. Kvantova´ distribuce klı´cˇu˚ a generova´nı´ kvantoveˇ na´hodny´ch cˇ´ısel se jizˇ dostaly z fa´ze prototypu˚ k prvnı´m komercˇnı´m vy´robku˚m, a proto si o nich povı´me vı´ce. Kvantova´ distribuce klı´cˇe Jednou z nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ıch vlastnostı´ je, zˇe nezna´my´ kvantovy´ stav nemu˚zˇeme kopı´rovat. Anglicky je tato skutecˇnost oznacˇova´na jako no-cloning theorem. Z toho vyply´va´, zˇe prˇed kopı´rova´nı´m je potrˇeba stav nejdrˇ´ıve zmeˇrˇit. Jak jizˇ vı´me, meˇrˇenı´ nena´vratneˇ znicˇ´ı linea´rnı´ superpozici a prˇinutı´ qubit kolabovat na jednu z os ba´ze ve ktere´ prova´dı´me meˇrˇenı´. Kdyzˇ vzpomeneme na pa´r vlastnostı´ vektorovy´ch prostoru˚, uveˇdomı´me si, zˇe ke znicˇenı´ linea´rnı´ superpozice nedojde v prˇ´ıpadeˇ, pokud tato pozice bude prˇ´ımo jednou z os ba´ze meˇrˇenı´. Na ilustraci tohoto tvrzenı´ si vezmeme k ruce komplexnı´ cˇ´ısla. Meˇjme komplexnı´ cˇ´ıslo z = 4 + 3j. Vynesenı´ do syste´mu sourˇadnic je jednoduche´. Nynı´ kdyzˇ provedeme ”meˇrˇenı´” a vy´sledkem bude hodnota 4, vı´me zˇe komplexnı´ cˇ´ıslo zkolabovalo na rea´lnou osu x. Opacˇny´ prˇ´ıpad znamena´ kolaps na imagina´rnı´ osu y. Nynı´ si ale prˇedstavme situaci, zˇe sourˇadnice oproti jejich standardnı´ pozici pootocˇ´ıme tak aby osa x protı´nala bod z. Prˇi meˇrˇenı´ v takto upraveny´ch sourˇadnicı´ch vzˇdy nameˇrˇ´ıme ”rea´lnou osu” a qubit nijak nezmeˇnı´me. S touto znalostı´ se jizˇ mu˚zˇeme pustit do popisu protokolu BB84 pro kvantovou distribuci klı´cˇu˚, ktery´ v roce 1984 vymysleli pa´nove´ G. Brassard a Ch. Bennet. Alice se chce s Bobem dohodnout na posloupnosti bitu˚, kterou budou zna´t pouze oni dva. Alice vygeneruje dva na´hodne´ bitove´ rˇeteˇzce de´lky n, Bob jeden na´hodny´
bitovy´ rˇeteˇzec te´zˇe de´lky. Alice nynı´ po kvantove´m kana´lu (kvalitnı´ opticke´ vla´kno) posı´la´ polarizovane´ fotony a to na´sledovneˇ: Odesı´lany´ rˇeteˇzec 1 0 1 1 1 0 Volba ba´ze 1 0 1 0 0 1 Odeslany´ qubit |10 i |0i |10 i |1i |1i |00 i Alice prˇipravuje qubity tak, aby spra´vna´ ba´ze pro meˇrˇenı´ obcˇas byla standardnı´ a obcˇas tzv. ba´ze dua´lnı´, ktera´ je oproti standardnı´ pootocˇena o 45 stupnˇu˚. Bobu˚v na´hodny´ rˇeteˇzec nenı´ nic jine´ho nezˇ volba ba´ze, ve ktere´ zkusı´ ten a ten prˇijaty´ qubit zmeˇrˇit. Dle pravdeˇpodobnosti se trefı´ zhruba v 50% prˇ´ıpadu˚. Po prˇijetı´ vsˇech qubitu˚ Bob Alici pozˇa´da´ (nynı´ jizˇ komunikace probı´ha´ po beˇzˇne´m verˇejne´m kana´le), aby mu sdeˇlila jejı´ volbu ba´zı´ a on tak veˇdeˇl, ktere´ pozice ma´ dobrˇe. Dobre´ pozice jı´ ohla´sı´ a v tuto chvı´li oba sdı´lı´ ”tajny´” rˇeteˇzec. Tajny´ v uvozovka´ch, protozˇe jsme jesˇteˇ do hry nezapojili sˇpio´na Evu. Eva odposloucha´va´ kvantovy´ kana´l, a protozˇe nezna´me´ kvantove´ stavy nemu˚zˇe kopı´rovat pro pozdeˇjsˇ´ı zpracova´nı´, nezby´va´ jı´ jina´ technika nezˇ tipnout ba´ze, zmeˇrˇit a prˇeposlat. Jenzˇe jejı´ meˇrˇenı´ v nespra´vny´ch ba´zı´ch zpu˚sobı´ neopravitelne´ chyby, ktere´ Alice a Bob odhalı´ vza´jemny´m porovna´nı´m cˇa´sti sdı´lene´ho rˇeteˇzce. Prˇi vy´skytu nesrovnalostı´ je zrˇejme´, zˇe kvantovy´ kana´l bud’ byl odposloucha´va´n nebo je porouchany´. Pokud k zˇa´dne´ chybeˇ nedojde, tak Alice a Bob povazˇujı´ zbytek sdı´lene´ho rˇeteˇzce za opravdu tajny´. Sdı´leny´ klı´cˇ nynı´ mohou pouzˇ´ıt pro one-time pad nebo trˇeba AES. Kvantove´ generova´nı´ na´hodny´ch cˇ´ısel Na´hodna´ cˇ´ısla jsou jednı´m ze za´kladnı´ch primitiv pro mnoho kryptograficky´ch protokolu˚. Klasicky´m pocˇ´ıtacˇem nikdy nedoka´zˇeme skutecˇneˇ na´hodna´ cˇ´ısla generovat, vzˇdy se jedna´ o deterministickou posloupnost danou algoritmem. Do dnesˇnı´ doby se proto ”na´hodna´” cˇ´ısla zı´ska´vala meˇrˇenı´m fyzika´lnı´ch jevu˚, ktere´ bez znalosti pocˇa´tecˇnı´ch podmı´nek pu˚sobı´ chaoticky. Jako prˇ´ıklad mu˚zˇeme uve´st proudovy´ sˇum na rezistoru. Zı´ska´va´nı´ na´hodny´ch cˇ´ısel tı´mto zpu˚sobem nenı´ prˇ´ılisˇ pohodlne´ a rychle´. Bohuzˇel take´ zı´skana´ cˇ´ısla vykazovala jiste´ tendence (bias), ktere´ bylo potrˇeba dalsˇ´ım zpracova´nı´m eliminovat. V soucˇasne´ dobeˇ se povedlo vylepsˇit technologie do te´ mı´ry, zˇe jizˇ doka´zˇeme vystrˇelit jediny´ foton, nechat ho odrazit/projı´t polopropustny´m zrcadlem a na´sledneˇ detekovat, ktera´ situace nastala. Odraz nebo pru˚chod fotonu na polopropustne´m zrcadle je povazˇova´n za jev zcela na´hodny´. Take´ bias zpu˚sobeny´ nedokonalostı´ polopropustne´ho zrcadla je maly´ a nenı´ potrˇeba ho korigovat.
4
Komercˇnı´ vy´robky
Acˇkoliv se vsˇechny velke´ IT spolecˇnosti jako IBM, NEC, HP, Toshiba zaby´vajı´ vy´vojem komercˇnı´ch vy´robku˚ pro kvantovou kryptografii, pouze dveˇ mensˇ´ı spolecˇnosti se mohou pochlubit opravdu hotovy´mi vy´robky k prodeji. Jedna´ se o sˇvy´carskou firmu id Quantique zalozˇenou prˇi Zˇenevske´ univerziteˇ a americkou firmu MagiQ. id Quantique nabı´zı´ produkt pro kvantovou distribuci klı´cˇu˚. Jedna´ se o dveˇ ”cˇerne´ skrˇ´ınˇky”, ktere´ se propojı´ standardnı´m opticky´m vla´knem a USB kabelem k osobnı´mu pocˇ´ıtacˇi. Samotne´ pocˇ´ıtacˇe pak mohou by´t propojeny libovolnou technologiı´, naprˇ. Ethernetem. Prˇenos je mozˇne´ uskutecˇnit azˇ do vzda´lenosti 70 km. Maxima´lnı´ rychlost je do 1000 bit/s. Vedle tohoto vy´robku lze samostatneˇ zakoupit jednofotonova´ deˇla a odpovı´dajı´cı´ detektory. Dalsˇ´ım vy´robkem je modul pro kvantove´ generova´nı´ na´hodny´ch cˇ´ısel. Rychlost generova´nı´ je azˇ 4Mb/s. Modul je mozˇno zakoupit bud’samostatneˇ nebo integrovany´ na PCI karteˇ. Varianta karty se cˇtyrˇmi moduly doka´zˇe generovat na´hodna´ cˇ´ısla azˇ rychlostı´ 16Mb/s. Vy´robek firmy MagiQ pro kvantovou distribuci klı´cˇu˚ se nazy´va´ Navajo. Od konkurencˇnı´ho vy´robku firmy id Quantique se lisˇ´ı zabudovanou vlastnı´ technologiı´ pro budova´nı´ virtua´lnı´ch priva´tnı´ch sı´tı´. Maxima´lnı´ rychlost je uvedena pomeˇrneˇ ma´lo rˇ´ıkajı´cı´m u´dajem 100 klı´cˇu˚ za sekundu. Nejvysˇsˇ´ı mozˇna´ vzda´lenost je take´ mlhaveˇ uvedena na hranici 60-70 km. Cena se pohybuje v rˇa´du 50 000 dolaru˚. Vedle komercˇnı´ verze existuje jesˇteˇ varianta pro univerzity a vy´zkumna´ pracovisˇteˇ, ktera´ nabı´zı´ sˇirsˇ´ı sˇka´lu nastavenı´ prˇ´ıstroje. Firma NEC uva´dı´, zˇe se jı´ v roce 2004 povedlo vyzkousˇet prˇenos rychlostı´ 100kb/s na vzda´lenost 40 km a nema´ pry´ v teˇchto parametrech konkurenci. Dostupne´ informace od vsˇech firem majı´ spolecˇne´ prˇedevsˇ´ım to, zˇe mlzˇ´ı v konkre´tnı´ch hodnota´ch rychlosti prˇi dane´ vzda´lenosti. Mı´sto toho poukazujı´ na maxima´lnı´ hodnoty, honosı´ se mnozˇstvı´m pru˚kopnicky´ch prˇ´ıvlastku˚ a cenu produktu˚ va´m sdeˇlı´ pouze prˇi telefonicke´ objedna´vce. Potrˇebne´ je take´ rˇ´ıci, zˇe po kvantove´m kana´lu je zatı´m mozˇne´ komunikovat pouze point-to-point. Rozbocˇovacˇe jsou proble´m, protozˇe abychom mohli qubit ˇ esˇenı´m by mohly by´t rozbocˇovacˇe nakopı´rovat, je potrˇeba ho nejdrˇ´ıve zmeˇrˇit. R vyuzˇ´ıvajı´cı´ kvantovou teleportaci, ale tato technologie je teprve ve svy´ch pocˇa´tcı´ch. Obdobna´ rˇesˇenı´ potom bude mozˇne´ pouzˇ´ıt pro prˇenos qubitu na delsˇ´ı vzda´lenost. Soucˇasna´ hranice okolo 70 km je da´na nedokonalostı´ opticky´ch vla´ken. Prˇi te´to vzda´lenosti je jizˇ veˇtsˇina fotonu˚ pohlcena vla´knem a zesı´lenı´ nenı´ mozˇne´, protozˇe by posˇkodilo prˇena´sˇeny´ stav.
5
Kvantove´ pocˇ´ıtacˇe
Samotne´ kvantove´ pocˇ´ıtacˇe se zatı´m vyvı´jejı´ pomalu. Pro smysluplne´ vyuzˇitı´ je potrˇeba mı´t syste´m s desı´tkami azˇ stovkami qubitu˚. Odborneˇji se hovorˇ´ı o x-qubitove´m kvantove´m registru. Bohuzˇel je obtı´zˇne´ udrzˇet evoluci kvantove´ho registru pod taktovkou algoritmu izolovaneˇ od okolnı´ho prostrˇedı´. Zna´me´ technologie majı´ sve´ hranice zhruba na nedostatecˇny´ch 10-20 qubitech. Poslednı´m zna´my´m u´speˇchem byla v roce 2001 faktorizace (Shoru˚v algoritmus) cˇ´ısla 15 na 7-mi qubitove´m syste´mu, ktery´ pouzˇ´ıval magnetickou nuklea´rnı´ rezonanci. Tento experiment probeˇhl v laboratorˇ´ıch firmy IBM. Pro prˇedstavu, onen ”pocˇ´ıtacˇ” byla zkumavka s trochou kapaliny. Diametra´lnı´ rozdı´l mezi stavem kvantove´ kryptografie a samotny´mi kvantovy´mi pocˇ´ıtacˇi je lehce vysveˇtlitelny´. Stacˇ´ı pouzˇ´ıt analogii ke klasicke´mu sveˇtu. Poslat bit informace po me´diu umeˇlo lidstvo mnohem drˇ´ıve nezˇ mohlo obdivovat architekturu procesoru˚ rˇady Alpha.
6
Za´veˇr
Za´veˇrem mu˚zˇeme rˇ´ıci, zˇe beˇhem nadcha´zejı´cı´ch let se kvantova´ kryptografie stane beˇzˇnou soucˇa´stı´ sı´tı´ s vysoky´m du˚razem na bezpecˇnost. Prodej vy´robku˚ podporˇ´ı vy´voj technologiı´ pro pra´ci ve sveˇteˇ maly´ch cˇa´stic a kvantove´ pocˇ´ıtacˇe se stanou skutecˇnostı´. Pokud tedy vsˇechno nebude u´plneˇ jinak.
Reference [1] Nielsen, M.A. - Chuan, I.L.: Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2000. [2] Shor, P.W.: Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer, SIAM Journal on Computing, 26(5), 1997. [3] Bennet, Ch. - Brassard, G.: Quantum crzptography: publick-key distribution and coin tossing, IEEE Systems and Signal Processing, 1984. [4] http://www.idquantique.com . [5] http://www.magiqtech.com .
