South Bohemia Mathematical Letters Volume 21, (2013), No. 1, 38–46.
˚ TVOREN ˇ ´ VLASTNOSTI KVAZI–MULTIAUTOMATU YCH ´ ´ ´ ´ HYPERGRUPOU LINEARN ICH DIFERENCIALN ICH ´ ˚ OPERATORU V JACOBIHO TVARU ˇ EP ˇ AN ´ KREHL ˇ ´IK ST
Abstract. V pr´ aci jsou studov´ any hyperstruktury line´ arn´ıch diferenci´ aln´ıch oper´ ator˚ u druh´ eho ˇr´ adu v Jacobiho tvaru pro konkr´ etn´ı diferenci´ aln´ı rovnice. Tyto struktury jsou vstupn´ı abecedou konstruovan´ ych kvazi–multiautomat˚ u, jakoˇ zto aplikabiln´ıch struktur tvoˇr´ıc´ıch souˇ c´ ast souˇ casn´ e mezin´ arodn´ı rozv´ıjen´ e teorie multistruktur (naz´ yvan´ ych tak´ e hyperstrukturami). D´ ale jsou pops´ any specifick´ e vlastnosti takov´ ychto konkr´ etn´ıch kvazi–multiautomat˚ u, kter´ e mohou slouˇ zit jako prostˇredky pro modelov´ an´ı r˚ uzn´ ych proces˚ u, nebo b´ yt vyuˇ zity pro transfer jist´ eho typu.
V algebraick´e teorii jsou zkoum´any r˚ uzn´e koncepty automat˚ u. V minulosti se automaty povaˇzovali za syst´emy, kter´e mohou b´ yt pouˇzity pro pˇrenos informac´ı specifick´eho typu. Automaty patˇr´ı k syst´em˚ um zahrnuj´ıc´ım modelov´an´ı r˚ uzn´ ych proces˚ u. Tyto pojmy souvisej´ı s pojmy jako akce pologrup nebo grup na mnoˇzinˇe. V tˇechto pˇr´ıpadech jsou uˇz´ıvan´e term´ıny jako kvazi–automaty nebo poloautomaty nebo jen jednoduch´e automaty bez v´ ystupu, kter´e jsou urˇcit´ ym zobecnˇen´ım automatu Mealy–typu. Pˇripomeˇ nme si, ˇze automat Mealy–typu je syst´em A = (A, X, Y, δ, λ), kde A, X, Y jsou nepr´azdn´e mnoˇziny a δ : A × X −→ A a λ : A × X −→ Y jsou funkce definovan´e na A × X. Mnoˇziny A, X, Y jsou mnoˇziny stav˚ u, vstup˚ u, v´ ystup˚ u,v dan´em poˇrad´ı. Funkce δ je tranzitn´ı funkce, nebo tak´e pˇrechodov´ a funkce a funkce λ je funkc´ı v´ ystupn´ı. Funkci automatu m˚ uˇzeme popsat n´asledovnˇe. Na vstup x ∈ X je aplikov´an stav a ∈ A automatu A. Jako n´ asledek toho pˇrech´az´ı automat A do stavu δ(a, s) ∈ A a bˇehem t´eto translace automat A odeˇsle na v´ ystup hodnotu λ(a, y) ∈ Y . Tedy tento koncept automatu je matematick´a interpretace re´aln´eho syst´emu, kter´ y pracuje v diskr´etn´ım ˇcase. D´ ale, kdyˇz definice automatu zahrnuje rozˇs´ıˇren´ı funkc´ı δ a λ (kart´ezsk´ y souˇcin stavov´e mnoˇziny A a voln´e pologrupy slov nad vstupn´ı abecedou X nebo v´ ystupn´ı abecedou Y , v dan´em poˇrad´ı) pak s pˇrirozen´ ym zobecnˇen´ım, pˇrejdeme k pojmu kvazi–automat. Pro upˇresnˇen´ı; kvazi–automat je syst´em A = (A, S, δ), kter´ y se skl´ ad´ a z nepr´ azdn´e mnoˇziny A, libovoln´e pologrupy S a zobrazen´ı δ: A × S −→ A takov´eho, ˇze δ(δ(a, r), s) = δ(a, rs) pro libovoln´e a ∈ A a r, s ∈ S. Toto je zˇrejm´e zobecnˇen´ı automatu bez v´ ystupu; zejm´ena kaˇzd´ y automat bez v´ ystupu A = (A, S, δ) je kvazi–automat takov´ y, ˇze jeho vstupn´ı pologrupa je voln´a. Jestliˇze vstupn´ı pologrupa S kvazi–automatu A = (A, S, δ) je kancelativn´ı (”zkratiteln´a”) pologrupa, tj. pro libovoln´e r, s, t ∈ S, Key words and phrases. kvazi–multiautomat, hypergrupa, diferenci´ aln´ı oper´ ator, ˇ casov´ a funkce. 38
VLASTNOSTI KVAZI–MULTIAUTOMAT˚ U
39
rt = st ⇒ s = r, pak A = (A, S, δ) naz´ yv´ame poloautomat. Poznamenejme, ˇze pojem kvazi–automat byl zaveden S.Ginsburgem toho ˇcasu pod term´ınem kvazi– stroj, jako zobecnˇen´ı automatu Mealyho typu. Zkoum´ an´ı algebraick´ ych struktur zejm´ena v nekomutativn´ı algebˇre pˇrirozenˇe vedlo k hyperstruktur´ am - tak´e ˇcasto naz´ yvan´ ym multistruktury. Jedna z hlavn´ıch motivac´ı pro tento v´ yzkum pˇriˇsla z geometrie. Anal´ yza geometrick´ ych struktur vedla k rozliˇcn´ ym bin´ arn´ım hyperstuktur´am a to hlavnˇe k pojmu spojnicov´eho prostoru, kter´ y byl zkoum´ an Waltrem Prenowitzem, jenˇz spoleˇcnˇe s Jamesem Jantosciakem rozvinul nˇekter´e ˇc´ asti geometrie. Dalˇs´ı motivace pro zkoum´an´ı hyperstruktur m˚ uˇzeme naj´ıt v chemii nebo nukle´arn´ı fyzice. Pˇripomeˇ nme, ˇze multistruktury naz´ yvan´e tak´e hyperstruktury patˇr´ı k v´ yznamn´e ˇc´ asti modern´ı algebry. Zejm´ena, hypergrupy (dˇr´ıve naz´ yvan´e tak´e multigrupy) jsou vhodn´e zobecnˇen´ı grup. Pojem hypergrupy zavedl v roce 1934, Fr´ederic Marty [16, 22] na 8. mezin´ arodn´ım kongresu skandin´avsk´ ych matematik˚ u. Teorie hyperstruktur a zejm´ena teorie hypergrup, zasahuje nˇekolik oblast´ı matematiky. Zm´ın´ıme nˇekter´e z nich: geometrie (deskriptivn´ı, sf´erick´a, projektivn´ı) uveden´e v [14] ,grafy a hypergrafy, bin´ arn´ı relace, uspoˇr´adan´e mnoˇziny a zejm´ena svazy, uspoˇr´adan´e algebraick´e struktury, automaty, kryptografie, k´ody, obecn´e syst´emy, umˇel´a inteligence, polygroupy (aplikovan´e v kombinatorice), pravdˇepodobnost, fuzzy mnoˇziny, nˇekter´e dalˇs´ı aplikace a speci´ aln´ı konstrukce. Uvedeme zde jen z´akladn´ı pojmy z t´eto matematick´e teorie. Definice 1. Hypergrupoid je dvojice (H, ∗), kde H je nepr´azdn´a mnoˇzina, bin´arn´ı hyperoperace ”∗” je zobrazen´ı kart´ezsk´eho souˇcinu H × H do syst´emu vˇsech nepr´azdn´ ych podmnoˇzin mnoˇziny H (bˇeˇznˇe oznaˇcovan´e P ∗ (H)). Hypergrupoid splˇ nuj´ıc´ı axiom asociativity se naz´ yv´a polohypergrupa. • Axiom asociativity: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c pro kaˇzdou trojici prvk˚ u a, b, c ∈ H S (zde a ∗ M = m∈M a ∗ m pro kaˇzd´e a ∈ H, ∅ = 6 M, M ⊂ H); Polohypergupa splˇ nuj´ıc´ı axiom reprodukce se naz´ yv´a hypergrupa. • Axiom reprodukce: a ∗ H = H = H ∗ a pro kaˇzd´e a ∈ H.
Pro libovoln´e dvˇe nepr´ azdn´e podmnoˇziny A, B mnoˇziny H definujeme jejich hypersouˇcin jako [ A ∗ B = {a ∗ b; a ∈ A, b ∈ B}. Podhypergrupoid hypergrupy (H, ∗) je dvojice (S, ∗), kde S ∗ S ⊂ S ⊂ H. Poznamenejme, ˇze relace incidence nepr´azdn´ ych mnoˇzin A, B, tedy A ∩ B 6= ∅, se v literatuˇre o hyperstruktur´ach obvykle oznaˇcuje A ≈ B. Hypergrupa (H, ∗) se naz´ yv´a transpoziˇcn´ı hypergrupa nebo tak´e spojnicov´ y (nekomutativn´ı) prostor, jestliˇze splˇ nuje axiom transpozice: Pro kaˇzdou ˇctveˇrici a, b, c, d ∈ H ze vztahu b \ a ≈ c/d plyne a ∗ d ≈ b ∗ c, kde mnoˇziny b \ a = {x ∈ H; a ∈ b ∗ x}, c/d = {x ∈ H; c ∈ x ∗ d} se naz´ yvaj´ı lev´ a a prav´ a extenze (nˇekdy t´eˇz lev´ y a prav´ y zlomek).
40
ˇ EP ˇ AN ´ KREHL ˇ ´IK ST
V teorii o hypergrup´ ach je prezentov´ana jist´a konstrukce kde na uspoˇr´adan´e komutativn´ı grupˇe definujeme bin´arn´ı hyperoperaci pak z t´eto grupy z´ısk´ame komutativn´ı hypergrupu. Uspoˇr´adanou grupou rozum´ıme trojici (G, ·, ≤), kde (G, ·) je grupa a bin´ arn´ı relace ≤ je uspoˇr´ad´an´ı na G takov´e, ˇze pro libovolnou trojici x, y, z ∈ G plyne z vlastnosti x ≤ y tak´e x · z ≤ y · z, z · x ≤ z · y. V uspoˇr´adan´e grupˇe budeme symbolem [a)≤ oznaˇcovat hlavn´ı konec generovan´ y prvkem a ∈ G, definovan´ y takto: [a)≤ = {x ∈ G; a ≤ x}. Nyn´ı uvedeme d˚ uleˇzit´ y pˇr´ıklad hypergrupy determinovan´e uspoˇr´adanou grupou (G, ·, ≤) (viz napˇr. [1, 2, 4]). Pro kaˇzdou dvojici prvk˚ u a, b ∈ G definujeme hyperoperaci ∗ na mnoˇzinˇe G takto: a ∗ b = [a · b)≤ . Potom (G, ∗) je hypergrupa, kter´a je komutativn´ı, pr´avˇe kdyˇz grupa (G, ·) je komutativn´ı. Toto tvrzen´ı b´ yv´a oznaˇcov´ano v teorii hyperstruktur jako ”koncov´e lemma” (napˇr. [4, 28, 29], d˚ ukaz viz napˇr. [2]). V jist´e implicitn´ı podobˇe je toto tvrzen´ı jiˇz obsaˇzeno v pr´aci [34]. Ve spojen´ı s bin´ arn´ımi hyperstrukturami je uveden pojem multiautomatu, kter´ y je studov´ an napˇr. v pr´ aci [17]. Tyto speci´ aln´ı konstrukce tvoˇren´e vstupn´ı hypergrupou, kter´a je formov´ana r˚ uzn´ ymi oper´ atory (transformacemi oper´ator˚ u re´aln´ ych nebo komplexn´ıch funkc´ı, diferenci´ aln´ımi nebo integr´ aln´ımi oper´atory) pˇredstavuj´ı pˇredmˇet urˇcit´eho z´ajmu. Pouˇzijeme jist´ y transfer od kvazi–automatu se vstupn´ı pologrupou do tˇr´ıdy kvazi– multiautomat˚ u (bez v´ ystupu) tvoˇren´ ymi vstupn´ı hypergrupou. Uvˇedomme si, ˇze multiautomaty jsou akce polohypergrup nebo hypergrup na dan´em f´azov´em prostoru. Definice 2. [21] Kvazi–multiautomat bez v´ ystupu je trojice M = (H, S, δ) kde (H, ·) je polohypergrupa, S je nepr´azdn´a mnoˇzina a δ : H × S → S je tranzitn´ı (pˇrechodov´ a) funkce splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku: 1) δ(b, δ(a, s)) ∈ δ(a · b, s) pro vˇsechna a, b ∈ H, s ∈ S ( podm´ınka obecn´e sm´ıˇsen´e asociativity - GMAC (the Generalized Mixed Associativity Condition)). Mnoˇzina S se naz´ yv´ a stavov´a mnoˇzina kvazi–multiautomatu M, struktura (H, ·) se naz´ yv´ a vstupn´ı (polo)–hypergrupa kvazi–multiautomatu M a δ je tranzitn´ı funkce. Prvky mnoˇziny S se naz´ yvaj´ı stavy, prvky mnoˇziny A se naz´ yvaj´ı vstupn´ı symboly (nebo tak´e slova). Poznamenejme, ˇze prvn´ı, kdo zaˇcal v pades´at´ ych letech systematick´e studium vlastnost´ı glob´ aln´ıch rovnic s odpov´ıdaj´ıc´ı levou stranou, tj. y 00 + p(x)y = 0, kde p ∈ C(I) byl profesor Otakar Bor˚ uvka.Pod oznaˇcen´ım C(I) (uˇz´ıv´a se i oznaˇcen´ı C0 (I)) budeme rozumˇet okruh vˇsech spojit´ ych funkc´ı na intervalu I ⊂ R (kde R je interval re´ aln´ ych ˇc´ısel) s obvykl´ ym sˇc´ıt´an´ım a n´asoben´ım funkc´ı. Analogicky okruh vˇsech spojit´ ych funkc´ı na intervalu I, kter´e maj´ı vˇsechny derivace aˇz do ˇr´adu k pro nˇejak´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo k, budeme oznaˇcovat Ck (I). Symbolem C+ (I) oznaˇc´ıme podpolookruh okruhu C(I), tvoˇren´ y vˇsemi kladn´ ymi nenulov´ ymi spojit´ ymi funkcemi. V monografii [26], p. 229 je dok´az´ano, ˇze pokud h je f´aze a ϕ je rozptyl v´ yˇse uveden´e rovnice (srov. [26]), pak plat´ı, ˇze h a ϕ splˇ nuje Abelovu funkcion´aln´ı rovnici h(ϕ(x)) = h(x) + π sgn h0 . Rovnice v Jacobiho formˇe vedly ke zkoum´an´ı grup a hypergrup oper´ ator˚ u L(0, p), p ∈ C(I). Definujeme L(0, q)y = y 00 + q(x)y. Otakar Bor˚ uvka naˇsel krit´erium glob´ aln´ı ekvivalence pro diferenci´aln´ı rovnice druh´eho ˇr´adu v Jacobiho tvaru, tj. y 00 + q(x) · y = 0, q ∈ C(I)
VLASTNOSTI KVAZI–MULTIAUTOMAT˚ U
41
Existuje cenn´ a literatura, kter´a je vˇenov´ana t´eto problematice z hlediska pˇr´ıstupu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho klasick´e algebraick´e a geometrick´e struktury [24, 25, 26, 27, 28]. Konkr´etn´ı motivac´ı pro zkoum´an´ı hypergrup tvoˇren´ ych line´arn´ımi diferenci´aln´ımi ˇ oper´ atory m˚ uˇzou b´ yt ˇcasov´e funkce [10, 11]. Casov´ e funkce jsou zde zastoupeny ˇ konkr´etn´ımi modelovac´ımi funkcemi tvaru ϕ(t) = tn exp(−λt) pro n = 2, 3. Uvedme nˇekter´e pˇr´ıklady. Plat´ı ϕ0 (t) = (n − λt)tn−1 · exp(−λt) a ϕ00 (t) = (−λ2 t2 − λnt + n(n − 1))tn−2 · exp(−λt). Z´ısk´ ame diferenci´ aln´ı rovnici druh´eho ˇr´adu z rovnic uveden´ ych v´ yˇse ϕ(t) = tn · exp(−λt), n ∈ {2, 3, ...}, λ ∈ R, tj. ϕ00 (t) + p(t)ϕ = 0 kde p(t) = (−λ2 t2 + 2λnt + n(n − 1))tn−2 , t ∈ h1, ∞) se vstupn´ımi podm´ınkami ϕ(1) = exp(−λ), ϕ0 (1) = (n − λ) exp(−λ). Tak´e diferenci´ aln´ı rovnice Gaussova pulsn´ıho sign´alu v(t) = a · exp(−2πt2 ).t ∈ h0, ∞) (cf. [33], p. 421) m˚ uˇze b´ yt vyj´adˇrena v Jacobiho formˇe v 0 (t) = −4aπt exp(−2πt2 ), v 00 (t) = 16aπ 2 t2 v(t), tedy v 00 (t) − 16aπt2 v(t) = 0, t ∈ h0, ∞), s poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınkou v(0) = a, v 0 (0) = 0. Uvedeme konkr´etn´ı pˇr´ıklad hyperstruktury a kvazi–multiautomatu, kter´e jsou tvoˇreny line´ arn´ımi diferenci´ aln´ımi oper´atory Jacobiho tvaru. Tedy z v´ yˇse uveden´e diferenci´ aln´ı rovnice v 00 (t) − 16aπt2 v(t) = 0, t ∈ h0, ∞) z´ısk´ame oper´ator d2 2 + aln´ı oper´ator odpov´ıd´a L(0, Ψ(a, t)) = dt 2 + 16aπt Id, kde a ∈ R . Tento diferenci´ lev´e stranˇe diferenci´ aln´ı rovnice jejichˇz prostorem ˇreˇsen´ı je syst´em ˇcasov´ ych funkc´ı v(t) = a · exp(−2πt2 ). Vˇ eta 3. Nechˇt T = h0, ∞) je interval re´ aln´ych ˇc´ısel a d2 JA2 (T ) = L (0, Ψ(a, t)) ; L(0, Ψ(a, t)) = 2 + 16aπt2 Id , dt je mnoˇzina vˇsech line´ arn´ıch diferenci´ aln´ıch oper´ ator˚ u v Jacobiho tvaru - tj. L (0, Ψ(a, t)) (y) = y(t)00 + 16aπt2 , kde a ∈ R+ . Jestliˇze L (0, Ψ(a1 , t))·L (0, Ψ(a2 , t)) = L (0, Ψ(a1 · a2 , t)) pro vˇsechna L (0, Ψ(a1 , t)), L (0, Ψ(a2 , t)) ∈ JA2 (T ) pak (JA2 (T ), ·, ≤) je komutativn´ı kvazi–uspoˇr´ adan´ a grupa. Pozn´ amka 4. Uv´ ad´ıme T m´ısto intervalu I ⊆ R pouˇz´ıvan´eho napˇr´ıklad v pracech [9, 10, 20, 21], jelikoˇz zde se jedn´a o ˇcasovou funkci, kter´a je definovan´a pro t ∈ h0, ∞) = T .
ˇ EP ˇ AN ´ KREHL ˇ ´IK ST
42
D˚ ukaz.
• Asociativita: Pˇredpokl´ adejme, ˇze L (0, Ψ(a0 , t)) , L (0, Ψ(a1 , t)) , L (0, Ψ(a2 , t)) ∈ JA2 (T ), pak
L (0, Ψ(a0 , t)) · (L (0, Ψ(a1 , t)) · L (0, Ψ(a2 , t))) = L (0, Ψ(a0 , t)) · L (0, Ψ(a1 a2 , t)) = L (0, Ψ(a0 a1 a2 , t)) = (L (0, Ψ(a0 a1 , t))) · L (0, Ψ(a2 , t)) = (L (0, Ψ(a0 , t)) · L (0, Ψ(a1 , t))) · L (0, Ψ(a2 , t)) . Neutr´ aln´ım prvkem k prvku L (0, Ψ(a, t)) je prvek L (0, Ψ(1, t)) a inverzn´ım prvkem je prvek L 0, Ψ( a1 , t) . • Uspoˇr´ ad´ an´ı: Z definice relace ”≤” plyne, ˇze relace je reflexivn´ı, tranzitivn´ı a antisymetrick´ a. Tedy mnoˇzina JA2 (T ) je uspoˇr´adan´a. • Kvazi–uspoˇr´ ad´ an´ı mnoˇziny JA2 (T ): Zb´ yv´ a ovˇeˇrit kvazi–uspoˇr´ad´an´ı mnoˇziny JA2 (T ) s bin´arn´ı operac´ı ”·”. Pˇredpokl´ adejme, ˇze L (0, Ψ(a0 , t)) , L (0, Ψ(a1 , t)) , L (0, Ψ(a2 , t)) ∈ JA2 (T ) a line´arn´ı diferenci´aln´ı oper´ atory splˇ nuj´ı vlastnost L (0, Ψ(a1 , t)) ≤ L (0, Ψ(a2 , t)) a L (0, Ψ(a0 , t)) je libovoln´ y oper´ ator. Pak Ψ(a1 , t) ≤ Ψ(a2 , t), pro vˇsechna t ∈ h0, ∞), z tohoto plyne Ψ(a0 , t) · Ψ(a1 , t) ≤ Ψ(a0 , t) · Ψ(a2 , t) pro vˇsechna t ∈ h0, ∞), proto L (0, Ψ(a0 , t)) · L (0, Ψ(a1 , t)) ≤ L (0, Ψ(a0 , t)) · L (0, Ψ(a2 , t)) . Protoˇze operace je komutativn´ı nemus´ıme prov´adˇet v´ ypoˇcet z druh´e strany a tedy (JA2 (T ), ·, ≤) je komutativn´ı kvazi–uspoˇr´adan´a grupa. Vˇ eta 5. Nechˇt T = h0, ∞) je interval re´ aln´ych ˇc´ısel, (JA2 (T ), ·, ≤) je komutativn´ı kvazi–uspoˇr´ adan´ a grupa. Jestliˇze definujeme na JA2 (T ) hyperoperaci: L (0, Ψ(a1 , t)) ∗ L (0, Ψ(a2 , t)) = {L (0, Ψ(b, t)) ; b ∈ R+ , Ψ(a1 , t) · Ψ(a2 , t) ≤ Ψ(b, t), t ∈ h0, ∞)} pro vˇsechna L (0, Ψ(a1 , t)) , L (0, Ψ(a2 , t)) ∈ JA2 (T ) pak (JA2 (T ), ∗)je komutativn´ı hypergrupa (v souladu s [4] Vˇetou 1) splˇ nuj´ıc´ı transpoziˇcn´ı axiom, tedy je (JA2 (T ), ∗) spojnicov´ym prostorem. D´ ale zkonstruujeme kvazi–multiautomat se vstupn´ı hypergrupou a mnoˇzinou stav˚ u, kterou tvoˇr´ı line´ arn´ı diferenci´aln´ı oper´atory v Jacobiho tvaru pro konkr´etn´ı ˇcasovou funkci v(t) = a · exp(−2πt2 ). A n´aslednˇe pop´ıˇseme vlastnosti determinuj´ıc´ı tento konkr´etn´ı kvazi–multiautomat. Vˇ eta 6. Nechˇt (R+ , ) je hypergrupou, kde a ∈ R+ . Hypergrupoid (R+ , ) je hypergrupou splˇ nuj´ıc´ı transpoziˇcn´ı axiom, struktura je tedy spojnicov´y prostor. Pak Av = ((R+ , ), JA2 (T ), δv ) je kvazi–multiautomat s mnoˇzinou stav˚ u JA2 (T ) a zobrazen´ım δv : R+ × JA2 (T ) −→ JA2 (T ) definovanou t´ımto zp˚ usobem δv (a1 , L (0, Ψ(a2 , t))) = L (0, Ψ(a1 · a2 , t))
VLASTNOSTI KVAZI–MULTIAUTOMAT˚ U
43
D˚ ukaz. Z vˇety 3.2 [32] plyne, ˇze hypergrupoid (R+ , ) s bin´arn´ı hyperoperac´ı [ [αa1 + βa2 )≤ a1 a2 = [α,β]∈R+ ×R+
splˇ nuje transpoziˇcn´ı axiom. Pak hypergrupa (R+ , ) je spojnicov´ y prostor. Ukaˇzme, ˇze struktura Av = ((R+ , ), JA2 (T ), δv ) splˇ nuje podm´ınku GMAC (the Generalized Mixed Associativity Condition). Pˇredpokl´ adejme, ˇze L (0, Ψ(a, t)) ∈ JA2 (T ) a a1 , a2 ∈ (R+ , ) V´ ypoˇcet lev´e strany: δv (a1 , δv (a2 , L (0, Ψ(a, t)))) = δv (a1 , L (0, Ψ(a · a2 , t))) = L (0, Ψ(a · a2 · a1 , t)) V´ ypoˇcet prav´e strany: δv (a1 a2 , L (0, Ψ(a, t))) = δv (
[
[αa1 · βa2 )≤ , L (0, Ψ(a, t))) =
[α,β]∈R+ ×R+
{L (0, Ψ(a · b, t)) ; ∃α, β ∈ R+ : αa1 · βa2 ≤ b}. Pro α = β = 1 a d´ ale b = a1 · a2 m´ame L (0, Ψ(a · b, t)) ∈ δv (a1 a2 , L (0, Ψ(a, t))) Struktura Av splˇ nuje GMAC a je tedy kvazi–multiautomatem.
Definice 7. [21] Kaˇzd´ y kvazi–multiautomat A = (H, S, δ) je: • Abelovsk´ y (nebo komutativn´ı) kdyˇz δ(s, x · y) = δ(s, y · x) pro vˇsechny trojice [s, x, y] ∈ S × H × H, • Cyklick´ y kdyˇz existuje stav s ∈ S takov´ y ˇze pro vˇsechny stavy t ∈ S existuje prvek a ∈ H s vlastnost´ı δ(s, a) = t. Nav´ıc jestliˇze mnoˇzina vˇsech gener´ ator˚ u A je pˇresnˇe mnoˇzina S pak kvazi–multiautomat je silnˇe souvisl´ y. Lemma 8. Nechˇt T = h0, ∞) je interval re´ aln´ych ˇc´ısel. Pak kvazi–multiautomat Av = ((R+ , ), JA2 (T ), δv ) je abelovsk´y, cyklick´y a n´ aslednˇe silnˇe souvisl´y. D˚ adejme, ˇze L (0, Ψ(a1 , t)) ∈ JA2 (T ) a d´ale b, c ∈ R+ . Pak b c = Sukaz. Pˇredpokl´ + α∈R [α · b · c)≤ a δv : R × JA2 (T ) −→ JA2 (T ) definujeme δv (a1 , L (0, Ψ(a2 , t))) = L (0, Ψ(a1 · a2 , t)) Je evidentn´ı ˇze hyperoperace“ ” na R+ je komutativn´ı, tedy plat´ı ˇze δv (L (0, Ψ(a, t)) , b c) = δv (L (0, Ψ(a, t)) , c b) Potom kvazi–multiautomat je abelovsk´ y (nebo komutativn´ı). Nyn´ı uk´ aˇzeme, ˇze struktura Av = ((R+ , ), JA2 (T ), δv ) je cyklick´a a n´aslednˇe i silnˇe souvisl´ a. Pˇredpokl´ adejme, L (0, Ψ(a1 , t)) , L (0, Ψ(a2 , t)) ∈ JA2 (T ) a d´ale b, ∈ R+ . Zobrazen´ı δv : R+ × JA2 (T ) −→ JA2 (T ) definovanou t´ımto zp˚ usobem δv (a1 , L (0, Ψ(a2 , t))) = L (0, Ψ(a1 · a2 , t)) . Pak δv (L (0, Ψ(a1 , t)) , b) = L (0, Ψ(a1 · b, t)); pro a1 = ab2 , m´ame a2 δv (L (0, Ψ(a1 , t)) , b) = L (0, Ψ(a1 · b, t)) = L 0, Ψ( · b, t) = L (0, Ψ(a2 , t)) . b + Tedy kvazi–multiautomat Av = ((R , ), JA2 (T ), δv ) je cyklick´ y.
44
ˇ EP ˇ AN ´ KREHL ˇ ´IK ST
Z v´ yˇse uveden´eho vypl´ yv´ a, ˇze kvazi–multiautomat Av je silnˇe souvisl´ y. Tedy pro kaˇzdou dvojici stav˚ u L (0, Ψ(a1 , t)) , L (0, Ψ(a2 , t)) ∈ JA2 (T ) existuje vstupn´ı symbol (slovo) b ∈ R+ s vlastnost´ı δv (b, L (0, Ψ(a1 , t))) = L (0, Ψ(a2 , t)). Definice 9. Kvazi–multiautomat A = (H, S, δ) se naz´ yv´a transitivn´ı, kdyˇz je splnˇena n´ asleduj´ıc´ı podm´ınka: Pro vˇsechna (s, t) ∈ S × S existuje automorfismus ρ kvazi–multiautomatu A (tj. ρ : S −→ S je bijekce takov´a, ˇze ρ(δ(s, x)) = δ(ρ(s), x) pro kaˇzd´e s ∈ S a kaˇzd´e x ∈ H). Lemma 10. Kvazi–multiautomat Av = ((R+ , ), JA2 (T ), δv ) je transitivn´ı, tj. automorfismus grupy Aut(Av ) na stavov´e mnoˇzinˇe JA2 (T ) p˚ usob´ı transitivnˇe. D˚ ukaz. Pro vˇsechna r ∈ R+ definujeme Λr : Av −→ Av jako Λr (L (0, Ψ(a, t))) = L (0, Ψ(a · r, t)). Zobrazen´ı Λr je evidentnˇe bijektivn´ı a pro vˇsechny oper´atory L (0, Ψ(a, t)) ∈ JA2 (T ) a vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla r ∈ R+ m´ame δv (λr (L (0, Ψ(a, t))), b) = δv (L (0, Ψ(a · r, t)) , b) = L (0, Ψ((a · r) · b, t)) = L (0, Ψ(a · r · b, t)) = λr (L (0, Ψ(a · b, t))) = λr (δv (L (0, Ψ(a, t)) , b)) tedy Λr ∈ Aut(Av ). Nyn´ı, kdyˇz L (0, Ψ(a, t)) ∈ JA2 (T ), L (0, Ψ(b, t)) ∈ JA2 (T ) jsou libovoln´e oper´atory, pak a, b ∈ R+ a definujeme r = ab z´ısk´ame r ∈ R+ a λr (L (0, Ψ(a, t))) = L (0, Ψ(a · r, t)) = L (0, Ψ(b, t)) Kvazi–multiautomat Av = ((R+ , ), JA2 (T ), δv ) je transitivn´ı. Lemma 11. Nechˇt tranzitivn´ı kvazi–multiautomat Av = ((R+ , ), JA2 (T ), δv ) je kvaziperfektn´ı, pr´ avˇe tehdy kdyˇz je silnˇe souvisl´y. Pozn´ amka 12. V´ yˇse bylo dok´ az´ano, ˇze Av = ((R+ , ), JA2 (T ), δv ) je tranzitivn´ı a silnˇe spojit´ y kvazi–multiautomat, a tedy kvazi–multiautomat Av je kvaziperfektn´ı. Pro u ´plnˇejˇs´ı informaci ˇcten´aˇre je pˇripojen pomˇernˇe rozs´ahl´ y seznam literatury souvisej´ıc´ı se studovan´ ym t´ematem. References [1]
[2] [3]
[4]
[5]
[6]
´ BERANEK, J., CHVALINA, J.: Invariantn´ı podgrupy grup obyˇ cejn´ ych line´ arn´ıch diferenci´ aln´ıch oper´ ator˚ u druh´ eho ˇr´ adu, Acta Mathematica 13, Fac. Nat. Sci. Univ. Nitra (2010), p. 43-47. ISBN: 978-80-8094-781-1. CHVALINA, J.: Funkcion´ aln´ı grafy, kvaziuspoˇ r´ adan´ e mnoˇziny a komutativn´ı hypergrupy, Masarykova Universita Brno 1995. ISBN 80-210-1148-3. CHVALINA, J.: Infinite multiautomata with phase hypergroups of various operators. In 10th International Congress on Algebraic Hyperstructures and Applications, Brno (2008), p. 57-69. ISBN:978-80-7231-668-5. ´ L.: Join spaces of linear differential operators of the second CHVALINA, J., CHVALINOVA, order. Folia FSN Universitatis Masarykiane Brunensis, Mathematica 13, Colloquium on Differential and Difference Equations, Brno (2002), p. 77-86. ISBN: 80-21-3149-2. ˇ CHVALINA, J., MOUCKA, J.: Actions of join spaces of continuous functions on hypergroups of second-order linear differential operators, In 6th Workshop, Fac. of Civil Engin. Brno University of Technology, Brno (2003), p. 9. ISBN: 80-214-2741- 8. ˇ ´ ´ R.: Funktori´ CHVALINA, J., MOUCKA, J., VEMOLOV A, aln´ı pˇrechod od kvaziautomat˚ uk multiautomat˚ um, Internat. Colloq. On the Management of Educational Process, Proceedings, on CD–ROM, University of Defence, Brno (2006), p. 8. ISBN: 80-7231-139- 5.
VLASTNOSTI KVAZI–MULTIAUTOMAT˚ U
45
ˇ ´ P.: Join spaces of smooth functions and their actions on trans[7] CHVALINA, J., RACKOV A, position hypergroups of second order linear differential operators, In Aplimat – Journal of Applied Math (2008), No. 1, p. 55-63. ISBN 978-80-89313-03-7. ˇ ´ ´ S.: ˇ General ω-hyperstructures and certain appli[8] CHVALINA, J., HOSKOV A-MAYEROV A, cations of those, Ratio Math. 23 (2012), p. 55 - 72. ISSN: 1592-7415. ˇ ´IK, S.: ˇ Normal subhypergroups of hypergroups of ordinary linear [9] CHVALINA, J., KREHL second-order differential operators, South Bohemia Math. Letters Vol. 20 (2012), No. 1, p. 1-9. ISSN: 1804- 1450. ˇ ´IK, S.: ˇ Compactness of intervals of real numbers and the invertibility [10] CHVALINA, J., KREHL of certain hyperstructures, Internat. Colloq. On the Management of Educational Process, Proceedings, University of Defence, Brno (2013). ˇ ´IK, S., ˇ NOVAK, ´ [11] CHVALINA, J., KREHL M.: Modelling of non-periodic impulses and the Mellin integral transformation. Internat. Colloq. On the Management of Educational Process, Proceedings, University of Defence, Brno (2012), p. 79 – 83. ISBN: 978-80-7231-865- 0. [12] CORSINI, P.: Prolegomena of Hypergroup Theory. Aviani Editore, Italy 1993. ISBN: 88-772025-5. [13] CORSINI, P., LEOREANU FOTEA, V.: Applications of Hyperstructures Theory. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht / Boston / London 2003. ISBN: 1-4020-1222-5. [14] DAVVAZ, B., LEOREANU FOTEA, V.: Hyperring theory and Applications. Hadronic Press, Palm Harbor, Fl. U.S.A 2008. ISBN: 978-80-7231-779. [15] DAVVAZ, B.: Polygroup Theory and Related Systems. World Scientific, New Jersey – London – Singapore – Shanghai – Hong Kong 2013. ISBN: 978-9814425308. [16] DRESHER, M., ORE, O.: Theory of multigroups. Amer. J. Math. 60 (1938), p. 705 - 733. ˇ ´ S., ˇ CHVALINA, J.: Discrete transformation hypergroups and transformation [17] HOSKOV A, hypergroups with phase tolerance space. Discrete Math. 308 (2008), p. 4133 - 4143. ISSN: 0012- 365X. [18] JANTOSCIAK, J.: Transposition hypergroups: Noncommutative join spaces. J. of Algebra. Vol.187 (1997), p. 97 - 119. ISSN: 0021-8693. [19] JANTOSCIAK, J.: Transposition in hypergroups. Sixt Internat. Congress on AHA, 1996. Democritus Univ. of Thrace Press, Greece, p. 77 – 84. ISBN: 9608568714. ˇ ´IK, S.: ˇ Hypergroups of second-order differential operators in the Jacobi form and [20] KREHL multi-quasiautomata. EEICT, Proc. 18th Conf. Vol. 3(2012), p. 268-272. ISBN: 978-80-2144462- 1. ˇ ´IK, S.: ˇ Quasi–automata formed by continuous function and by second–order linear [21] KREHL differential operators in the Jacobi form. EEICT, Proc. 19th Conf. Vol. 3(2013), p. 149-153. ISBN: 978-80-214-4695-3. [22] MARTY, F.: Sur une g´ en´ eralization de la notion de groupe. Huitie‘me congre‘s des math´ ematiciens scandinaves, Stockholm (1934), p. 45 – 49. ´ M.D.– TAKAHARA, Y.: General System Theory. A Mathematical Founda[23] MESAROVIC, tions. Academic Press, New York 1975. ISBN: 0-12-491540-X. [24] NEUMAN, F.: Distribution of zeros of solutions of y” = q(t)y in relation to their behavior in large. Studia Sci. Math. Hungar. Vol.8, (1973), p. 177 – 185. ISSM:0081-6906. [25] NEUMAN, F.: Global theory of ordinary linear differential homogeneous equations in the real domain. Math. Inst. Czechoslovakian Academy of Sciences, Branch Brno (1987), p. 50. [26] NEUMAN, F.: Global Properties of Linear Ordinary Differential Equations. Academia Praha, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht /Boston / London, 1991. ISBN 80-200-04238. [27] NEUMAN, F.: On a representations of linear differential equations. Mathematical and Computer Modelling Vol.52, (2010), p. 355 - 360. ISSN: 0895-7177. ´ [28] NOVAK, M.: Potential of the “Ends lemma” to create ringlike hyperstructures from quasiordered (semi)hypergroups. South Bohemia Math. Letters Vol.17, No 1, (2009), p. 39 – 50. ISSN: 1804- 1450. ´ [29] NOVAK, M.: The notion of “Ends lemma” – based hyperstructures. Aplimat – Journal of Applied Math. Vol.3, (2010), p. 237 – 247. ISBN: 978-80-89313-47- 1. ´ [30] NOVAK, M.: Some basic properties of EL-hyperstructures. European J. of Combinatorics Vol.34, (2013), p. 446 - 459. ISSN: 0195- 6698.
46
ˇ EP ˇ AN ´ KREHL ˇ ´IK ST
[31] PRENOWITZ, W., JANTOSCIAK, J.: Geometries and join spaces. J. Reine Angew. Math, Vol.257, (1972), p. 100-128. ˇ ´ P.: Hypergroups of symmetric relations. 10th Internat. Congress on Algebraic [32] RACKOV A, Hyperstructures and Appl. Proc. of Contributions Univ. of Defence Brno (2008), p. 267-271. ISBN 978-80-7231-688-5. [33] SIEBERT, W. McC.: Circuits, Signals, and Systems. The MIT Press, McGraw-Hill Book Company, New York- San Francisco – Montreal – Toronto, 1986. ISBN:0-262-19229-2. [34] VOUGIOUKLIS, T.: Representations of hypergroups by generalized permutations. Algebra Universalis, Vol.29, (1992), p. 172- 183. ISSN: 1420-8911. [35] VOUGIOUKLIS, T.: Hyperstructures and their Representations. Monographs, Hadronic Press, Palm Harbor, Fl. U.S.A. 1994. ISBN 0-91176-86-X. Department of Mathematics, FEEC, Brno University of Technology, Brno, Czech Republic E-mail address:
[email protected]
