Hry v rozvinutém tvaru a opakované hry Obsah kapitoly
1) Hry v rozvinutém tvaru 2) Opakované hry I. Konečně opakované hry II. Nekonečně opakované hry
Studijní cíle
Cílem tohoto tematického bloku je osvojit si schopnost umět identifikovat, zda se jedná o hru strategickou nebo tahovou, případně o kombinace. Následně pak schopnost umět zvolit vhodnou strategii, vedoucí k úspěchu. Stejně tak u opakovaných her. 2-3hod
Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování
strom hry, explicitní hra, tah, strategie, rozhodovací uzel, konečně a nekonečně opakované hry
Úvod
Jak jsme uvedli v úvodu, hry dělíme na strategické a tahové. Doposud jsme se zabývali strategickými hrami. Nyní se seznámíme s hrami v explicitním tvaru, tedy s tahovými hrami, kde se účastníci nerozhodují současně, ale v jednotlivých tazích. Dále pak přejdeme k hrám, které se opakují.
Výkladová část
Hry v rozvinutém tvaru Jde o hry, kde následuje několik po sobě jdoucích tahů. Pro znázornění se používá tzv. strom hry. Grafem je množina rozhodovacích uzlů a hran. Má jeden počáteční uzel (kořen) a zpravidla několik koncových uzlů. Hráči se střídají a určují průběh hry v rozhodovacích uzlech. Prozatím předpokládáme vždy konečnou hru. Jde například o tyto typy her: Hry typu Stonožka, Ruská ruleta, Salónní hry, atd. Úkol 1: Prostudujte podrobně příklady her Stonožka, NIM 2x2, Ruská ruleta a Petrohradský paradox. Jaké znáte další paradoxy? Příklad hry v explicitním tvaru: Majitel firmy se rozhoduje, zda otevřít novou pobočku ve vzdáleném městě. Pokud pobočku otevře, zvýší se jeho čistý zisk o 100 tis. Kč měsíčně. Novou provozovnu však nebude zvládat řídit. Na to si bude muset najmout manažera. Majitel ho nebude moci kontrolovat a tak bude mít manažer volnou ruku a zároveň bude moci majitele podvádět. Pokud manažer nebude podvádět, získá také 100 tis. Kč měsíčně, pokud však bude podvádět, může si na úkor majitele firmy
1
přivydělat dalších 50 tis. Kč měsíčně a způsobí tím ekonomickou ztrátu 50 tis. Kč majiteli firmy. Obrázek 1.1 - rozhodovací strom pro hru o nové provozovně manažer je poctivý majitel získá 100 tis. manažer získá 100 tis.
majitel otvírá pobočku
manažer podvádí majitel získá -50 tis. manažer získá 150 tis.
manažer slibuje, že bude poctivý
majitel získá 0 manažer získá 50 tis. za jinou práci
majitel neotvírá pobočku
Vzhledem k tomu, že manažer nedokáže přesvědčit majitele firmy o své poctivosti, majitel firmy novou pobočku neotevře. Pak budou vznikat náklady obětované příležitosti ve výši 150 tis. Kč, protože manažer si nechá ujít zvýšení platu o 50 tis. a majitel přijde o zisk 100 tis. Kč. Pobočku majitel neotevře, protože neotevřením získá 0 Kč, ale otevřením může ztratit 50 tis. Kč. „Pro každou konečnou hru v rozvinutém tvaru s úplnou informací existuje dokonalá rovnováha podhry“ Příklad konfliktu dvou firem: Příklad je použit z učebnice DLOUHÝ M., FIALA P. Úvod do teorie her. Mějme dvě firmy, Firma 1 a Firma 2. Na trhu již působí Firma 1 a Firma 2 se rozhoduje, zda vstoupit. Firma 1 může bojovat proti vstupu druhé firmy, nebo nedělat nic. Důležitá je posloupnost tahů: Firmy mohou dělat rozhodnutí současně, pak jde o hru v normálním stavu; První tah musí učinit Firma 1; První tah musí učinit Firma 2. Máme celkem tři varianty her. Varianta 1: Dejme tomu, že jsou výplaty pro jednotlivé strategie zvolené tak, že Firma 1 při volbě strategie „boj“, získá jen v případě, že druhá Firma nevstoupí na trh. Druhá firma získá jen tehdy, pokud na trh vstoupí. Dilema však spočívá v tom, že se obě firmy rozhodují zároveň.
Firma 2 žádná akce
Firma 2 vstup
Firma 1 boj
7
0
0
-2
Firma 1 žádná akce
8
0
4
4
2
Jde o hru v normálním tvaru s nekonstantním součtem. Ryzí rovnovážné strategie jsou v pozici (2;2) a výplaty (4;4). V takovém případě bude Firma 1 volit strategii nereagovat na vstup druhé firmy. Druhá firma, aby získala, musí vstoupit, první si to uvědomuje a tak nebude činit žádné kroky, jinak by ztratila. Varianta 2: Strom hry – firma 1 má první tah Firma 1 je na tahu první a má k dispozici dvě strategie „boj“ a „žádná akce“. Druhá firma může reagovat pomocí dvou strategií „žádná akce“ a „vstup“
Firma 1
boj Firma 2
žádná akce (7;0)
žádná akce Firma 2
vstup (0;-2)
žádná akce (8;0)
vstup (4;4)
Firma 1 se musí předem rozhodnout, zda začne boj, pak teprve následuje odpověď druhé firmy. Jde o hru v rozvinutém tvaru. Dokonalá rovnováha je označena tučně červeně. Zde je situace naprosto odlišná, pokud Firma 1 zvolí „boj“, pak druhá firma vůbec na trh nevstoupí, protože by prodělala. Její výplata by byla -2, což odpovídá nákladům na vstup. Pokud by však Firma 1 zvolila strategii „žádná akce“, pak by Firma 2 na trh určitě vstoupila a získala kladnou výplatu 4, proto první Firma bude volit „boj“. Varianta 3: Strom hry – firma 2 má první tah Firma 2 je první na tahu a má k dispozici dvě strategie „vstup na trh“ a „žádná akce“. Jde opět o hru v rozvinutém tvaru. Firma 1 může k reakci použít strategie „boj“ a „žádná akce“. Firma 2
žádná akce Firma 1
boj (7;0)
žádná akce (8;0)
vstup na trh Firma 1
boj (0;-2)
žádná akce (4;4)
Firma 1 bude volit pro sebe lepší strategii „vstoupit“, protože jinak by nezískala nic. Firma 2 bude reagovat smířlivě a zvolí strategii „žádná akce“, jinak by poškodila sebe sama. Dokonalá rovnováha je opět značena tučně červeně. Na tomto příkladu názorně vidíme, že zvolené pojetí časového rozložení rozhodnutí hráčů ovlivňuje nejen typ zvoleného modelu, ale zejména volbu strategií a očekávaný výsledek.
3
Opakované hry Konečně opakované hry V konečně opakované hře vězňovo dilema existuje jediná Nashova rovnováha, ve které hráči volí podvod (nedodržení dohody)! Pokud byste chtěli podvod protihráče trestat v dalším kole, nebyl by to žádný trest, protože by stále podváděl, proto je nutné od začátku podvádět. Zdůrazněme, že tato strategie platí pouze v konečně opakovaných hrách. Úkol 2: Zamyslete se nad výše uvedeným textem a pokuste se sestavit dvou-matici. Hrajte hru na konečný počet kol. Je předchozí tvrzení pravdivé? Názorný příklad můžete nalézt v kapitole 5.2 DLOUHÝ M., FIALA P. Úvod do teorie her. Nekonečně opakované hry U nekonečně opakovaných her je tomu jinak. Zde se nabízí hned několik strategií: Vždy podvádějte (Always Defect), Vždy spolupracujte (Always Cooperate), Naivní GrimTrigger – spolupracovat do prvního podvodu ostatních a pak podvádět, vždy postihujete prohřešky ostatních hráčů, Grim Trigger – spolupracovat dokud všichni spolupracují, pak podvádět, tak postihujete i vlastní zradu, Oko za oko – v prvním kole spolupracovat, pak podle toho jak se chovali ostatní v předchozím kole, Omezená odplata – v prvním kole spolupracovat, dále x kol podvádět jako odplatu za podvod ostatních a po x kolex spolupracovat, Win-Stay, Lose-Shift – v prvním kole spolupráce a následná spolupráce po kolech (spolupráce, spolupráce) a (podvod, podvod), jinak podvádět, Jednou podvádějte – Oko za oko až do kola X, spolupracovat v kole X+1 a poté dle Oko za oko, Grim Deviate Once – Grim Trigger do kola X a pak podvádět. Případně jejich kombinace. Vždy zde záleží na citu pro hru, tedy na jakémsi šestém smyslu. Úkol 3: Jaké znáte vědecké experimenty her s opakováním a jaký byl jejich výsledek? Rozšiřující text
Shrnutí
Pro podrobné nastudování problematiky si podrobně prostudujte kapitoly 4 a 5 z DLOUHÝ M., FIALA P. Úvod do teorie her. 2. přepracované vydání. Praha 2009. VŠE – Oeconomica. ISBN 978-80245-1609-7. (nebo 1. vydání z roku 2007) V tomto tematickém bloku jsme doplnili své znalosti o další možné
4
typy her a především o možné strategie, které máme k dispozici. Kontrolní otázky a úkoly
Sestavte vlastní strom hry, kterou si definujete. Jaké znáte další paradoxy očekávaného užitku?
Studijní literatura
DLOUHÝ M., FIALA P. Úvod do teorie her. 2. přepracované vydání. Praha 2009. VŠE – Oeconomica. ISBN 978-80-245-1609-7. (nebo 1. vydání z roku 2007) HEISSLER H, VALENČÍK R., WAWROSZ P. Mikroekonomie středně pokročilý kurz. Praha 2010. VŠFS – EUPRESS. MAŇAS, M. Teorie her a konflikty zájmů. 1. vydání. Praha 2002. VŠE - Oeconomica. ISBN 80-245-0450-2. (nebo pozdější vydání) VALENČÍK, R. Teorie her a redistribuční systémy. 1. vydání. Praha 2008. VŠFS – Eupress. ISBN 978-80-7408-002-9. Hry v rozvinutém tvaru: http://www.gametheory.net/Mike/applets/ExtensiveForm/ Opakované vězňovo dilema: http://www.gametheory.net/Mike/applets/PDilemma/
Odkazy
Klíč k úkolům
Stromy her Stonožka, Ruská ruleta a NIM 2x2, konečně opakované hry a Axelrodův experiment.
Nejprve úkol č. 2: Modelovou hru si můžete zahrát na této adrese: http://www.gametheory.net/Mike/applets/PDilemma/Pdilemma.html NA DALŠÍCH STRÁNKÁCH JSOU K DISPOZICI KLÍČE K OSTATNÍM ÚKOLŮM !
Klíč k úkolu č. 1:
5
Příklady jsou z učebnice DLOUHÝ M., FIALA P. Úvod do teorie her. Stonožka 1 počátek hráč 1
2 přijmout (3;1)
3 pokračovat hráč 2
4 přijmout (2;6)
5 pokračovat hráč 1
6 přijmout (12;4)
7 pokračovat hráč 2
8 přijmout (8;24)
9 pokračovat hráč 1
10 přijmout (48;16)
11 (32;16)
Ruská ruleta
6
hráč 1
odstoupit
(prohra, výhra)
střílet
p1=1/6 (smrt, výhra)
p2=5/6 hráč 2
odstoupit
(výhra, prohra)
střílet
p1=1/5 (výhra, smrt)
p2=4/5 další tahy...
NIM 2x2
1 hráč 22 2 hráč 2 21 3 hráč 1 20 8 0 0 (-1)
3 hráč 2 20
4 hráč 1 11
5 hráč 1 10
6 hráč 1 10
9 hráč 2 10
10 hráč 2 10
11 0 0 (-1)
12 0 0 (-1)
13 0 0 (+1)
14 0 0 (+1)
7 0 0 (+1)
Klíč k úkolu č. 3: Zásadní experimenty provedl Robert Axelrod. První v roce 1979, kdy oslovil matematiky k napsání programů simulujících hry s opakováním, tak aby se zjistila nejúčinnější strategie. Následně pak vyzval na základě předchozích výsledků, aby napsali program, který porazí výslednou strategii. Jak vše dopadlo, se snažte sami zjistit z literatury.
7
