Vizsgaleírás A vizsga id®pontja 2015. május 26-29. A felel®knek nem jár felmentés a vizsga napján!
Tartalmi és formai elvárások
•
A tételt a vizsgázónak önállóan kell kifejtenie.
Közbekérdezni csak akkor lehet, ha teljesen helytelen
úton indult el vagy nyilvánvaló, hogy elakadt. (Ez esetben segít® kérdést lehet feltenni, amennyiben az még a felelési id®be belefér.) A felelet végén a vizsgáztató tanár rákérdezhet a problémás részletekre, így lehet®séget ad a hibák javítására.
•
A felelet el®tt legalább fél óra felkészülési id® lesz, akkor csak papír, ceruza, toll, körz®, vonalzó, szögmér® használható. Ezekr®l az eszközökr®l a vizsgázónak kell gondoskodnia.
•
A felelet hossza legfeljebb 15 perc lehet.
•
A tétel címében megjelölt témát logikusan, arányosan felépített, szabad el®adásban kell kifejtenie a vizsgázónak. A feleletben feltétlenül szerepelniük kell az alábbi részleteknek:
legalább két, a témához tartozó, a vizsgázó választása szerinti tétel pontos kimondása és bizonyítása; (az egyik tétel kiváltható egy részletesen bemutatott feladatmegoldással, ekkor a feladatot a vizsgázó hozza)
a téma matematikán belüli vagy azon kívüli alkalmazása, ennek részletes bemutatása
Értékelés Ha a vizsgázó nem tudott helyesen kimondani és bizonyítani legalább egy tételt, akkor a vizsgajegy legfeljebb közepes lehet. A vizsgajegy két témazáró jegyként kerül be a második félév jegyei közé. Elégtelen vizsga esetén meg kell ismételni a feleletet.
1
Tételek 1. Halmazok Halmazok megadási módjai. Halmaz, elem, részhalmaz, üres halmaz, halmazok uniója, metszete, különbsége, komplementere. Halmazok szemléltetése Venn-diagramon. Egész számok osztályozása oszthatósági tulajdonságaik alapján. Véges halmazok elemszáma. Logikai szita (2,3 halmazra). A halmazm¶veletek (unió, metszet) kommutativitása, asszociativitása disztributivitása. De Morgan-szabály. A halmazalgebra elemi fogalmai és m¶veletei konkrét számhalmazokon.
2. Logika, bizonyítási módszerek Állítások tagadása, kijelentések közötti és, vagy kapcsolatok, egyszer¶ és bonyolultabb következtetések helyességének vizsgálata, szükséges és elégséges feltételek, implikáció, ekvivalencia.
A minden és van olyan
kvantorok használata rövidítésként. Összetett állítások tagadása. Igazságtáblázatok. De Morgan-szabályok. Indirekt bizonyítás, teljes indukció. Példák teljes indukcióval bizonyítható azonosságokra (például els®
n
négy-
zetszám összege).
3. Alapm¶veletek és azonosságok A négy alapm¶velet elvégzése papíron. Törtm¶veletek: egyszer¶sítés, közös nevez®re hozás. Százalékszámítás. Valós számok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás.
n+1 k+1 = n k+1 . Teljes négyzetté alakítás. A szorzattá alakítás módszerei. Háromszögszámok és tetraéderszámok.
Nevezetes azonosságok
n k
+
(a ± b)n , an ± bn .
Pascal-háromszög, binomiális együtthatók és tulajdonságaik.
Számrendszerek, átváltás számrendszerek között. Alapm¶veletek különböz® számrendszerekben.
4. Oszthatóság, prímek Páros, páratlan. Az oszthatóság de níciója és elemi tulajdonságai. Oszthatósági szabályok tízes és más számrendszerekben. M¶veletek és oszthatósági szabályok. Négyzetszámok és köbszámok. M¶veletek (osztási) maradékokkal. Négyzetszámok maradékai, végz®dések, oszthatósági feladatok. Osztók számának meghatározása. Prímszámok, eratosztenészi szita; pozitív egész számok prímtényez®s felbontása. Végtelen sok
4k + 1
A prímek száma végtelen.
alakú prím van.
Pozitív egész kitev®j¶ hatványozás, azonosságok. Legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös. Az euklideszi algoritmus alkalmazása két szám legnagyobb közös osztójának kiszámítására. Diofantikus egyenletek, megoldhatóság, megoldások száma.
2
C11 / 10.C
Szóbeli vizsga tételek
2015. május
5. Számelméleti függvények Relatív prím.
Osztók száma (jel:
Euler-függvény (jel:
ϕ(n)).
d(n)). d(n) = k
alakú egyenletek megoldása.
Osztók összege (jel:
σ(n)).
A függvények multiplikativitása. A függvények értékei prímekre, prímhatványokra.
Tökéletes számok, Fermat-prímek, Mersenne-prímek.
6. Kongruenciák Kongruencia fogalma, tulajdonságai. Lineáris kongruenciák és a lineáris diofantoszi egyenletek. További (nem lineáris) diofantoszi egyenletek, megoldhatóság feltétele. alkalmazásai oszthatósági feladatokban.
Kínai maradéktétel.
Kongruenciák tulajdonságai,
Fermat-tétel, Euler-Fermat tétel, Wilson-tétel.
Maradékosztályok,
m¶veletek maradékosztályokkal.
7. Gyökvonás, hatványozás, racionális és irracionális számok A hatványozás de níciója és a hatványozási azonosságok pozitív egész, egész és racionális kitev®re.
m
an · am , an : am , (an ) , an · bn , an : bn . Ha n < m és 1 < a√, akkor√an < am ; ha n < m és 0 < a < 1, akkor n x és p x m¶veletek de níciója és tulajdonságai. an > am . Mértani sorozatok. A valós számokon értelmezett √ √ p p √ √ √ 2 √ √ n n n m ( x) = x, x2 = |x|, xy , x/y , xn . n xy , x/y , xk , x. Gyöktelenítés. Példák irracionális √ 2 irracionális. Racionális és irracionális számok tizedestört alakja. számokra.
8. Egyenletek, egyenletrendszerek Els®fokú egyenletek. Másodfokú egyenletek, diszkrimináns, megoldóképlet, gyöktényez®s alak, Viète-formulák. Paraméteres egyenletek.
Szöveges feladatok (út-id®, munka-teljesítmény, keverések, százalékok, születési dá-
tumok, számjegyek kitalálása).
Lineáris egyenletrendszerek.
Másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek.
Megoldási módszerek: mérlegelv, megoldóképlet, szorzattá bontás, egyenl® együtthatók módszere és fokozatos kiküszöbölés. Egyenletek gra kus megoldása. Magasabb fokú egyenletek megoldási módszerei: szimmetrikus egyenletek, polinomosztás.
9. Egyenl®tlenségek, széls®érték problémák Egyszer¶ algebrai egyenl®tlenségek megoldása (els®fokú és másodfokú).
Lineáris egyenl®tlenség rendszerek
megoldása gra kusan. Harmonikus, mértani, számtani és négyzetes közép, az egyenl®tlenségek bizonyítása.
A rendezési tétel.
A
közepek használata egyenl®tlenségek bizonyítására, széls®érték feladatok megoldására.
10. Koordináta-rendszer, függvények ábrázolása Két- és háromdimenziós koordináta-rendszer. Pontok és alakzatok ábrázolása koordináta-rendszerben. Lineáris-, másodfokú, négyzetgyök-függvény, abszolút érték, egészrész függvény, törtrész függvény és gra konjaik. Függvénytranszformációk, elemi függvénytulajdonságok.
y=
ax + b cx + d
alakú függvények ábrázolása.
Függvények tulajdonságai: értelmezési tartomány, értékkészlet, széls®érték, monotonitás, zérushely, páros és páratlan függvények. Egyenes és kör egyenlete.
3
C11 / 10.C
Szóbeli vizsga tételek
2015. május
11. A hatványozás általánosítása, exponenciális függvény, logaritmus Az egész és törtkitev®j¶ hatvány de níciója, az irracionális kitev®j¶ hatvány; azonosságok. Az exponenciális függvény ábrázolása, tulajdonságai; a logaritmus de níciója, azonosságok; a logaritmus függvény.
12. Trigonometrikus függvények és inverzeik A szögfüggvények általános de níciója, tulajdonságaik, inverzeik. Trigonometrikus azonosságok. Trigonometrikus függvények ábrázolása.
13. Sorozatok Sorozatok megadása képlettel, szövegesen, rekurzívan. Sorozatok tulajdonságai: monotonitás, korlátosság, periodicitás. Mértani és számtani sorozatok, általános képlet, összegképlet. Végtelen mértani sor. Kamatszámítás. Nevezetes összegek meghatározása. Teljes indukció. Fibonacci-sorozat és tulajdonságai.
14. Elemi geometria Pont, egyenes, sík. Háromszög, sokszög. Háromszög-egyenl®tlenség. Szögszámítás: háromszögek bels® és küls® szögösszege, Küls®-szög tétel. száma.
a > b ⇔ α > β, a = b ⇔ α = β.
Háromszögek nevezetes pontjainak létezése.
Sokszögek bels® és küls® szögösszege, átlók
Egybevágóság fogalma, háromszögek egybevágóságának
alapesetei. Egybevágósági transzformációk. Talpponti háromszög és Fagnano feladata minimális kerület¶ beírt háromszögre. Ponthalmazok: felez®mer®leges és szögfelez®. Pitagorasz-tétel és alkalmazásai. Sangaku problémák megoldása. Területképletek: háromszög (magassággal, oldalakkal, beírt kör sugarával, hozzáírt körök sugarával), négyzet, téglalap, trapéz, paralelogramma, deltoid. Területképletek és bizonyítási feladatok. Ceva-tétel és megfordítása, Menelaosz-tétel és megfordítása.
15. Hasonlóság Párhuzamos szel®k tétele és alkalmazásai. Súlyvonalak osztási aránya és középvonalak háromszögben. Középpontos hasonlóság és tulajdonságai. Középpontos hasonlósági helyzet. Hasonlósági transzformáció és tulajdonságai. Alakzatok hasonlósága. Háromszögek hasonlóságának alapesetei. Négyszögek hasonlósága. Sokszögek hasonlósága. nya.
Körök hasonlósága.
Szögfelez® tétel.
Hasonló alakzatok kerületének, területének felszínének, térfogatának ará-
Magasságtétel.
Befogótétel.
Aranymetszés, szerkesztése, az aranymetszés arányának
el®fordulása alakzatokban.
16. Körök geometriája Kör, érint®, húr.
Beírt kör, köréírt kör, hozzáírt kör létezése és szerkesztése.
Érint®szakaszok tulajdonságai,
hosszuk meghatározása. Két kör közös érint®i. Thalesz-tétel. Kerületi szögek tétele és alkalmazásai. Látókörív. Szerkesztési feladatok megoldása látókörökkel. Feuerbach-kör. Ptolemaiosz-tétel. Simson-egyenes. Szögmérés fokokkal és radiánban.
Ívhossz és középponti szög kapcsolata.
Kör kerülete, területe, körcikk,
körszelet és körgy¶r¶ területe. Pont körre vonatkozó hatványa, érint®- és szel®szakaszok tétele. Húrnégyszögek és érint®négyszögek.
4
C11 / 10.C
Szóbeli vizsga tételek
2015. május
17. Vektorok és vektorszorzások A vektor fogalma. Szabadvektor és helyvektor. Alapm¶veletek vektorokkal: összeadás, kivonás, szorzás skalárral. Vektorok lineáris kombinációja, vektorok felbontása komponensekre. Helyvektor, felez®pont, harmadolópont, általános osztópont, háromszög súlypontja. Koordináta-rendszer, standard bázis. Vektorok és vektorm¶veletek felírása Descartes-féle derékszög¶ koordináta-rendszerben. Vektorok térbeli problémáknál. Skaláris szorzat és tulajdonságai.
Mer®legesség.
Vektoriális szorzat és tulajdonságai.
Párhuzamosság, terü-
let. Komponensekre bontás vektorszorzások segítségével. Vektorszorzatok m¶veleti szabályai. Vektorszorzatok kiszámítása koordinátákkal. Vektorm¶veletek a zikában.
18. Háromszögek trigonometriája Szögfüggvények de níciója derékszög¶ háromszögben és általánosan. Területképlet:
T∆ = 12 ab sin γ .
Húrhossz
és kerületi szög kapcsolata. Szinusztétel. Koszinusztétel. Szögfüggvények alkalmazása síkbeli és térbeli feladatokban. Lapszögek és élszögek meghatározása szögfüggvényekkel.
19. Térgeometria Pont, egyenes, sík. Poliéder. Szabályos testek és síkgráfjuk. Euler poliédertétele:
C + L = E + 2.
Illeszkedés,
párhuzamosság, mer®legesség, távolság és hajlásszög térben. Kocka, téglatest, paralelepipedon, hasáb, gúla, kúp, csonkagúla, csonkakúp fogalma. Térfogat és felszínképletek (hasáb, gúla, kúp, gömb). Síkmetszetek szerkesztése. Legrövidebb utak térben és poliéder felszínén. Kocka térhálói. El®l- oldal- és felülnézetes feladatok. A geometria fogalmainak szemléletes felépítése gömbön.
20. Játékok Matematikai játékok bemutatása. Állás, lépés, befejez®dés. Nyer® stratégia. Nyer® pozíció és veszt® pozíció (kék-sárga színezés). Létra, király, bástya, kupac, NIM, Tic-Tac-Toe. Mérgezett csoki játék. Játékok gráfja. Szimmetria-stratégiával megnyerhet® játékok.
21. Kombinatorika Az összes eset rendszerezett felsorolása. Kombinatorikai feladatok megoldásának különféle módszerei, például táblázat, ágrajz, útrajz. Esetek megszámlálása: permutáció, kombináció, variáció (ismétléses, ismétlés nélküli). Skatulya-elv. Pascal háromszög tulajdonságai (például:
n 0
+
n 1
+ ... +
n n
= 2n ).
Binomiális tétel.
22. Valószín¶ségszámítás Kísérlet, esemény, a valószín¶ség klasszikus modellje (kedvez® esetek / összes eset). Esetek megszámlálása: permutációk, variációk, kombinációk. Biztos esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény. A valószín¶ség tulajdonságai:
0 ≤ P (A) ≤ 1, P (A) = 1 − P (A), P (A ∨ B) = P (A) + P (B) − P (A ∧ B).
Diszjunkt események. Függetlenség:
P (A ∧ B) = P (A) · P (B).
5
Feladatmegoldás fagráf segítségével.
C11 / 10.C
Szóbeli vizsga tételek
2015. május
23. Gráfok A gráf fogalma. fokszámokból.
Csúcs, él, hurokél, többszörös él, egyszer¶ gráf.
Petersen-gráf.
Komplementer gráf.
Gráfok izomor ája. Fagráfok. Az
n-csúcsú
Fokszám, fokszámösszeg, gráf felépítése a
Összefügg® gráfok, komponensek.
fagráfnak
n−1
Euler-vonal, Hamilton-út és kör.
6
Körök, körmentesség.
éle van. Gráfbejárások. Síkba rajzolható gráfok.
