VÍZÁRAMLÁS EGY KÚTHOZ EGY VÉGTELEN ANIZOTROP VÍZVEZETŐ RÉTEGBEN Irta Istaravos S. PAPADOPULOS, U.S. Geological Survey, Washington, D.C. Fordította: G.L. Seymour M.Sc., Brisbane, 2005. [Angol nyelvű forrás: NONSTEADY FLOW TO A WELL IN AN INFINITE ANISOTROPIC AQUIFER , Proc. Dubrovnik Symposium on "Hydrology of Fractured Rocks" pp 21-31, 1965 című kiadványból]
Bevezetés A vízvezető rétegek hidraulikai tulajdonságainak becslése céljából végzett kút-pumpálási kísérletek értékeléséhez alkalmazott matematikai megoldások feltételezik a vízvezető réteg izotróp, radiálisan szimmetrikus tulajdonságát. E matematikai módszerek nem alkalmazhatók anizotrop vízvezetőkre, mint például törött, hasadozott kőzetek, amelyekben a törések és elválási lapok befolyásolják a kőzet áteresztő képességének irányát, és ezért radiális szimmetria helyett e vízvezető kőzetek áteresztő képességét az ellipszist megközelítő merőleges szimmetria tengelyek jellemzik. A probléma meghatározása Egy vízvezető rétegben a vízáramlást Darcy törvénye írja le, amely szerint az áramlási sebesség arányos a hidraulikus fej negatív gradiensével. Vektor alakban írva:-
ahol = a sebesség vektor K = az áteresztőképesség aranyos tényezője (hidraulikus vezetőképesség) h = hidraulikus fejmagasság. Az izotrop vízvezetővel ellentetében, egy anizotrop vízvezető kőzetben a sebesség vektor és hidraulikus gradiens vektor általában nem párhuzamos, más szavakkal, a hidraulikus gradiens és tényeges áramlási sebesség irányai szükségszerűen nem azonosak. Egy anizotrop vízvezetőben K arányossági tényező egy másodrangú szimmetrikus tenzor, más néven "áteresztései tenzor", amely átalakítja a hidraulikus gradiens komponenst sebesség komponenssé. Egy adott anizotrop rendszerben a sebesség és hidraulikus gradiens komponensek együttes iránya a tér három ortogonális tengelyének csupán egyikével azonos. Az ortogonális tengelyek képezik az áteresztő képesség "főtengelyeit". A vízvezető anizotropiájánk mértekét a főtengelyek menti irányok, és azok mentén kialakult áteresztőképességek mérteke határozzák meg.
E tanulmány a két-dimenziós anizotrop áramlás vizsgálatához T "áteresztő képességi tenzort" alkalmazza, ahol T a következő tényezők szorzata:K, (távolság/idő dimenzióval) a két-dimenziós hidraulikus vezetőképességi tenzor és b, a vízvezető réteg vastagsága a távolság konzisztens egységében. T két-dimenziós "áteresztő képességi tenzor" a következő módon irható mátrix alakban:-
ahol x és y szabadon választott ortogonális tengelyek. A fenti mátrix maximum és minimum áramlási sebességekkel jellemzett ξ és η főtengelyek mentén a következőképpen egyszerűsödik:-
Analitikai megoldás A leszívás eloszlását egy kút körül, amely teljes vastagságban harántol és állandó vízhozammal csapol egy végtelen és anizotrop artézi vízvezető réteget, a következő határérték probléma írja le:-
ahol s a leszívás, Txx, Tyy and Txy az áteresztőképességi tenzor tényezői, S a tárolóképességi együttható,
Q a vízkivétel (pumpálás) mértéke, δ a Dirac delta függvény, x és y egy szabadon felvett ortogonális rendszer koordinátái, amely eredte egybeesik a pumpált kúttal, és t a pumpálás kezdetétől eltelt idő. E határérték probléma az integrál transzformáció elmélet alkalmazásával nyert megoldást. Laplace transzformáció alkalmazása "t" és a kezdeti határérték körülmény (2) tekintetében a következő kifejezést adja:-
ahol s' az s Laplace transzform, és p a transzformáció paramétere. A fenti egyenlet komplex Fourier transzformációja x értékre a következőképpen alakítja át az egyenletet:
ahol w egyenlő S érték transzformációjával, a a transzformáció paramétere, és Komplex Fourier transzformáció ismételt alkalmazása y tekintetében a következő explicit megoldáshoz vezet:
ahol
z egyenlő w érték transzformációjával, és β a transzformáció paramétere. Az eljárás egyenlet (10)-hez vezet függetlenül a három transzformáció sorrendjétől. Következésképpen az inverzió rendje lényegtelen, és alkalmasság szerint szabadon választható. Először az inverz Fourier transzformáció alkalmazása a következő eredményhez vezet:
A soron következő inverz Laplace transzformáció konvoluciós integrál segítségével a következő eredményt adja:
ahol L-1 a w inverz Laplace transzformációja. Végül az inverz Fourier transzformáció x tekintetében az ismert megoldáshoz vezet néhány matematikai manipuláció segítségével:
ahol W(u) a hidrológiában jól ismert "kút függvény", egy negatív exponenciális integrál
amelyben
Ha a koordináta tengelyek x és y egybeesnek az áteresztőképességi tenzorok principális tengelyeivel, ξ és η, egyenlet (13) a következőképpen egyszerűsödik
ahol Tξξ és Tηη jelzik a "principális áteresztőképességeket" és
Egyenlet (15) hasonló Collins [1961] egyenletéhez. Kis értékekkel (u < 0.02) az argumentumban egyenlet (13) és (15)-ben leirt kút függvényt Cooper és Jacob [1946] módszere jó megközelítésben approximálta:
Az approximációt behelyettesítve egyenlet (13) és (15)-be a következő megoldást adja viszonylag nagy idő értékekre:
a szabadon felvett tengelyekre, és
a principális tengelyekre. Ahogyan a leszívás egyenletei jelzik, egy hosszú időértékre az egyenlő leszívás szintvonalai koncentrikus ellipszist követnek a kút körül, amely egy anizotrop vízvezetőből von el vizet (Ábra 1), főtengellyel a maximális áteresztőképesség mentén (ξ), és alárendelt tengellyel a minimális áteresztőképesség (η) mentén.
Ábra 1.
AZ ANALÓG MODELL EREDMÉNYE Az előzőekben kapott megoldást elektromos analóg modelling igazolta. Az analóg modell, egy négyzetes ellenállás-kondenzátor hálózat, a következő hidraulikai paraméterekre készült: Principális áteresztőképességek, Tξξ és Tηη = 37 cm2/sec és 11 cm2/sec, Tárolási együttható, S = 0.048, Kúthozam, Q = 6.67 l/sec, Ortogonális metszéspontok = 50 m. Az elektromos analóg modell nód pontjai egy ortogonális négyzetháló 50 m-es metszéspontjainak (nód pontjainak) felelnek meg. A modell a végtelen tér egy trénegyedét ábrázolta, amelyet ξ és η tengelyek határoltak le. A végtelen vízvezető réteg utánzása céljából a modell túlterjedt a területen, amelyet a vízkivétel befolyásolt volna a vizsgált időszak alatt.
Ábra 2. Ábra 2 mutatja a mért és számított leszívást 50 m-es négyzethálón, 105 másodperc vízkivétel során. Eltérések a számított és észlelt leszívások között láthatók Ábra 3 diagrammon, a ξ = 100 méter és η = 100 méter metszésponton. A görbe, amely a leszívást mutatja be, az oszcilloszkóp ernyőjéről készített fénykép alapján készült. A mért és számított értékek jó egyezést mutatnak. A mérsékelt eltérések műszer tévedésnek tudhatók be.
Ábra 3.
A MODELL ALKALMAZÁSA PUMPÁLÁSI KÍSÉRLETEK ÉRTÉKELÉSÉBEN Analitikai megoldások a mennyiségi hidrológiai tanulmányokban azt kívánják, hogy a vízvezető képződmény alapvető állandói, az áteresztőképesség és víztároló koefficiens, számszerű megoldást nyerjen valami módon. E képződmény konstansok meghatározása álltában pumpálási kísérlet eredményének kiértékelésével, nevezetesen a vizsgált felszín alatti vízrendszerben észlelt és elméleti szintsüllyedések összehasonlításával érhető el. Anizotrop vízvezetők esetében egyenlet (13) vagy (17) adja az elméleti leírást arra az esetre, amelyben a principális tengelyek irányai nem ismertek. Egyenlet (15) vagy (18) adja az elméleti leírást ismert tengelyek tekintetében.. Általában "típus görbe", vagy - ha a körülmények alkalmasak - "egyenes vonal" módszerek alkalmazhatók a feladat végrehajtásához. Mindkét módszer jól ismert és alkalmazott az izotrop vízvezetők értékelésében. Az eljárás lényege az, hogy a megfigyelő kutakban észlelt leszívás s értékeit log-log vagy ál-log alapon ábrázoljuk az idő tvel vagy az idő reciprokával 1/t az abszcisszán. Radiális szimmetria hiányában az összetett leszívási grafikonok (s az r2/t abszcisszán, ahol r a radiális távolság), és a távolság-leszívás (s
az r abszcisszán) módszerek nem alkalmazhatók anizotrop vízvezetők esetében. Mivel egy anizotrop vízvezető esetében négy állandót kell meghatározni (három áteresztőképességi komponens Txx, Tyy és Txy, valamint a víztároló coefficiens S), legalább három megfigyelő kút létesítése kívánatos. A megfigyelő kutak különböző irányokban és távolságra helyezkednek el a pumpált kúttól. A következőkben bemutatjuk a "típus görbe" és "egyenes vonal" módszerek alkalmazását az anizotrop vízvezető értékelésében. A bemutatott esetben három megfigyelő kút állt rendelkezésre, és az anizotrop vízvezető principális tengelyeinek iránya ismeretlen volt. Ha több mint három megfigyelő kút áll rendelkezésre, a bemutatott módszer alkalmazandó a kutak három tagú csoportjain.
Típus görbe módszer 1. Válassz egy alkalmas négyszöglet alapú koordináta rendszert Origóval a pumpált kúton. 2. A kútfüggvény táblázatból, W(u) [Wenzel, 1942], készíts egy típus görbét, W(uxy) a uxy abszcisszán, dupla logaritmus papíron. Az így késztett görbe képezi az úgynevezett típus görbét. 3. Ábrázold mindhárom megfigyelő kútban észlelt leszívás értékeket, s, az idő reciprok értékein az abszcisszán, 1/t, a típus görbének megfelelő skálán, dupla logaritmus papíron. 4. A megfigyelő furásokban észlelt leszívások adatgörbéit helyezd a típus görbére és mozgasd úgy, (ügyelve arra, hogy a görbék koordináta vonalai párhuzamosak maradnak) hogy minden egyes megfigyelő kút adatgörbéje a legjobb egyezést mutat a típus görbével. Válassz egy megegyező pontot minden egyes megfigyelő kút görbéjének koordináta rendszerén és jegyezd le e megegyező pontok megfelelő koordináta értékeit a típus görbén. Az így nyert kettős koordináta párok segítségével, W(uxy), s, uxy és 1/t, számíthatók a vízvezető képződmény hidraulikus paraméterei. 5. Helyettesítsd be W(uxy) és s értékeket egyenlet (13)-ba és számítsd (TxxTyy—Tx2y) értékét. Mindhárom megegyező koordináta pont azonos, vagy hozzávetőlegesen azonos értéket kell hogy számítson (TxxTyy—Tx2y) számára. Ha nem, szakmai ítélet bevonása szükséges az értékek "átlagolását" illetően. 6. Helyettesítsd be egyenlet (14)-be uxy és 1/t értékeket mindhárom megegyező pontról valamint (TxxTyy—Tx2y) 5-ik pontban számított értékét. A megegyező pontokhoz tarozó megfigyelő kutak kartográfiai koordinátáinak felhasználásával számítsd STxx, STyy és STxy szorzatok értékeit mindhárom megfigyelő kútra. 7. E szorzatokból old meg Txx, Tyy és Txy értékeit S-re [S tárolási együttható mindhárom kútra azonos - a Fordító megjegyzése] olymódon, hogy behelyettesíted azokat a (TxxTyy—Tx2y) kifejezésbe, amelynek értéke ismert az 5-ik lépésből, és számítsd S értékét. 8. S kiszámítása után számítsd Txx, Tyy és Txy értékeit a 6-ik lépésben kapott szorzatokból.
Egyenes vonal módszer Az egyenes vonal módszer alkalmazható abban az esetben, ha mindhárom megfigyelő kútban az észlelt leszívási mérések abba az azonos időszakaszba esnek, amelyre egyenlet (17) alkalmazható. 1. Azonos a típus görbe módszer első lépésével. 2. Rajzold minden egyes megfigyelő kútból kapott s leszívási adatokat ál-logaritmus papírra t-vel a logaritmus skálán. Ha az adat-pontok megközelítik az egyenes vonalat, egyenlet (17) jó valószínűséggel alkalmazható. [A Forditó megjegyzése: Ál-logaritmus papíron az x tengely logaritmus ciklusokat ábrázol, y tengely pedig lineáris skálát követ.] 3. Minden egyes megfigyelő kút adatpontjainak arra a részére, amely az egyenest megközelíti, rajzolj egy egyenest e pontokon keresztül. Egyenlet (17) vizsgálata azt mutatja, hogy ennek az egyenesnek a lejtését (∆s / log ciklus) egyenlet (19) a következőkben írja le:
és a t időszakasz t0 értékét egyenlet (20) határozza meg:
4. Határozd meg t0 és ∆s / log ciklus értékeit az egyenesekhez. Mindhárom egyenes lejtése azonos, vagy hozzávetőlegesen azonos. Ha jelentős különbség észlelhető, átlagold az értékeket. 5. Helyettesítsd be az egyenes lejtésének értékét (∆s / log ciklus) egyenlet (19)-be, és számítsd (TxxTyy—Tx2y) értékét. 6. Egyenlet (20)-ba helyettesítsd be t0 értékeit minden egyes egyeneshez, valamint az 5-ik lépésben kapott (TxxTyy—Tx2y) értékét, és a vonatkozó megfigyelő kutak koordinátáinak felhasználásával old meg az eredményként kapott három egyenletet (szimultán egyenlet rendszer). 7. Kövesd a típus görbe módszer 7-ik és 8-ik lépéseit S, Txx, Tyy és Txy számításához.
A principális áteresztőképességek értékének és tengelyek orientációjának számítása A típus görbével, vagy egyenes vonal módszerrel számított áteresztőképességi tenzor Txx, Tyy és Txy komponenseinek birtokában a principális áteresztőképességek Tξξ és Tηη, és a principális tengelyek iránya számítható a tenzor tulajdonságok alkalmazásával. Az invariáns és tenzor transzformáció szabályaiból kapott és a következőkben bemutatott viszonyok alkalmazhatók minden másodfokú szimmetrikus tenzorra:
ahol θ a szög x és ξ tengelyek között, pozitív x tengelytől az óramutató irányával ellentétben, és használhatóság könnyítése érdekében korlátozott 0<= θ
BEMUTATÓ PÉLDA Az anizotrop vízvezető hidraulikus tulajdonságaink meghatározására egy 12 órás pumpálási kísérlet került végrehajtásra. Vízkivétel PW termelőkútból 12.57 liter/sec hozammal történt, és a leszívást három kútban, OW-1, OW-2 és OW-3-ban észleltük. A kutak elhelyezkedését Ábra 4 mutatja. A leszívási adatokat Tábla 1 tartalmazza. A feladat a vízvezető réteg víztároló együtthatójának, valamint principális áteresztőképességeinek és azok irányának meghatározása volt.
Ábra 4. Megoldás A koordináta tengelyek választása úgy történt, hogy a rendszer origója a pumpált PW kúton helyezkedik el, és az x tengely OW-1 megfigyelő kúton megy keresztül. A megfigyelő kutak koordinátái:-
Ábra 5. Az ál-logaritmus adatvonalak (Ábra 5) azt mutatják, hogy az értékelés egyenes vonal módszere alkalmazható. A vonalak lejtése azonos mindhárom megfigyelő kút későbbi [és ezért uralkodó - Fordító megjegyzése] szakaszában, és értéke 1.15 m/log ciklus. A t0 értékek:-
Egyenlet (19)-ből a következő értéket kapjuk:
Egyenlet (20)-ba behelyettesítve egyenlet (24), (25) és (26)-ból, a következő egyenlet rendszert kapjuk:
Az egyenlet rendszer szimultán megoldása a következő eredményeket hozza:
Egyenlet (27)-ből behelyettesítve egyenlet (26)-ba adja a víztárolási együtthatót:
vagy
Végül behelyettesítve egyenlet (28)-ból egyenlet (27)-be az áteresztőképességi tenzor komponenseit kapjuk:
Az áteresztőképességi tenzor komponenseinek ismeretében egyenlet (21) és (22) a principális áteresztőképességeket számítja:
A θ szög x és ξ tengelyek között egyenlet (23) segítségével számítható:
TÁBLA 1 Leszívási adatok OW-1, OW-2, és OW-3 megfigyelő kutakból Idő t (perc) a pumpálás kezdetétől 0.5 1 2 3 4 6 8 10 15 20 30 40 50 60 90 120 150 180 240 300 360 480 720
Leszivás, s (meters) OW-1
OW-2
OW-3
0.335 0.591 0.911 1.082 1.215 1.405 1.549 1.653 1.853 2.019 2.203 2.344 2.450 2.541 2.750 2.901 2.998 3.075 3.235 3.351 3.438 3.587 3.784
0.153 0.343 0.611 0.762 0.911 1.089 1.225 1.329 1.531 1.677 1.853 2.019 2.123 2.210 2.416 2.555 2.670 2.750 2.901 2.998 3.118 3.247 3.455
0.492 0.762 1.089 1.284 1.419 1.609 1.757 1.853 2.071 2.210 2.416 2.555 2.670 2.750 2.963 3.118 3.218 3.310 3.455 3.565 3.649 3.802 3.996
IRODALOM COLLINS, R.E. 1961. Flow of fluids through porous materials. New York, Reinhold Publishing Corp. p. 115. COOPER, H.H. Jr. and JACOB, C.E. 1946. A generalized graphical method for evaluating formation constants and summarizing well field history. Trans. Am. Geophys. Union, vol. 27, no. iv, pp. 526-534. FERRANDON, J. 1948. Les lois de 1'ecoulement de filtration. Genie civil, vol. 125, no. 2, pp. 24-28. LIAKOPOULOS, A. 1962. On the tensor concept of the hydraulic conductivity. Review of Engineering, Am. Univ. of Beirut, no. 4, pp. 35-42. SCHEIDEGGER, A.E. 1954. Directional permeability of porous media to homogeneous fluids. Geofisica Pura e Applicata, vol. 28, pp. 75-90. WENZEL, L. K. 1942. Methods of determining permeability of water bearing materials, 192 p. (U.S. Geol. Survey Water-Supply Paper 887.)
