Villamosságtan
Dr. Radács László főiskolai docens A3 épület, II. emelet, 7. ajtó Telefon: 12-13 e-mail:
[email protected] Honlap: www.uni-miskolc.hu/~elkrad
Ajánlott irodalom
Demeter Károlyné - Dén Gábor – Szekér Károly – Varga Andrea: Villamosságtan I. Demeter Károlyné: Villamosságtan II. Hollós Edit - Vágó István: Villamosságtan Fodor György: Elméleti elektrotechnika I-II.
SI mértékrendszer Alapegységek: m, kg, s, A, K, cd, mól Kiegészítő egységek: rad, sr Nem használható egységek: q, kp, kp/cm2 (at), mmHg, LE, cal
Önálló nevű származtatott egységek/1 Mennyiség neve
Jele
Egység neve, jele
Kifejezés más egységekkel
frekvencia
f
hertz, Hz
f=1/T, [s-1]
erő
F
newton, N
F=m.a, [mkgs-2]
munka, energia, hőmennyiség
W
joule, J
W=F.s, [Nm]
teljesítmény
P
watt, W
P=W/t, [J/s]
villamos töltés
Q
coulomb, C
Q=I.t,
villamos feszültség
U
volt, V
U=P/I, [W/A]
[As]
Önálló nevű származtatott egységek/2 Mennyiség neve
Jele
Egység neve, jele
Kifejezés más egységekkel
ellenállás
R
ohm, Ω
R=U/I, [V/A]
vezetés
G
siemens, S
G=1/R, [A/V]
kapacitás
C
farad, F
C=Q/U, [As/V]
mágneses fluxus
Φ
weber, Wb
Φ=∫u.dt [Vs]
mágneses indukció
B
tesla, T
B=Φ/A, [Vs/m2]
induktivitás
L
henry, H
L=NΦ/I, [Vs/A]
Prefixumok 101 102 103 106 109 1012 1015 1018
deka hekto kilo mega giga tera peta exa
da h k M G T P E
10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18
deci centi milli mikro nano piko femto atto
d c m μ n p f a
Villamos alapmennyiségek Töltés Kémiailag tovább nem bontható anyag elem atom Atom atommag neutron proton mp=mn elektronfelhő elektron Qp=-Qe=1,6.10-19 C A töltés kvantált, az elemi töltés az elektron töltése. Azonos nemű töltések taszítják, különneműek vonzzák egymást. Semleges atomnál np=ne, különben ion.
Töltéseloszlások
Pontszerű - elhanyagolható méretű gömb töltése Elektromos dipólus – két azonos nagyságú, de ellentétes előjelű töltés közel egymáshoz. dipólusmomentum: p=Q.ℓ [C.m]
Vonalmenti:
λ=dQ/dℓ
Felületi:
σ=dQ/dA
Térfogati:
ρ=dQ/dV
Coulomb törvény Pontszerű töltések között fellépő erőhatás számítására Q1
r
Q2
F
1 Q1 Q2 r F 2 4 r r
A Q2-re ható erő:
Permittivitás: Vákuumra: Relatív:
N
ε = εo εr [F/m]
1 o
9
36 10
εr > 1
8,86 *10
12
F/ m
(táblázatokból)
Különböző anyagok relatív permittivitása: Anyag
r
paraffin csillám
1,9 - 2,2 4-8
üveg porcelán speciális kerámiák
5 - 16 6 ~ 100
báruimtitanát
~ 1000
víz
81
etilalkohol petróleum levegő
24 2,1 1,000 59
Villamos térerősség A Q1 töltés maga körül elektromos teret létesít, amelyben egy másik töltésre (Q2)erő hat. Elektromos erőtörvény:
F
Q2 E
E
V m
Negatív töltés esetén az E és F iránya ellentétes. Térerősség:
F E Q
2
Egységnyi pozitív töltésre ható erő.
Villamos eltolás (Villamos indukció)
A térerősség függ a teret kitöltő közegtől, annak permittivitásától
1 Q1 r E 2 4 r r
V m
A közegtől független, a töltés és a villamos tér kapcsolatára jellemző a villamos eltolás:
D
E
Q1 r 2 4 r r
C/ m2
Az elektrosztatika Gauss-tétele Pontszerű töltés terében:
D
Q
r 4 r2 r
„r” sugarú gömbbel körülvéve, a felület minden pontján azonos nagyságú és a felületre merőleges a „D”.
A felület szorozva az eltolással a közbezárt töltést adja: Q
Általánosítva:
D dA
D.A
Q
A
A felület, mint vektor:
A villamos tér szemléltetése erővonalak
1. Az erővonal a + töltés felületéről indul és a – töltés felületén végződik 2. Az erővonal a töltés felületéről merőlegesen indul ill. lép be
Két azonos nagyságú ellentétes ill. azonos előjelű töltés erőtere
Homogén erőtér: a tér minden pontjában azonos a térjellemző
Villamos munka A villamos tér munkavégzése a töltésen, amíg A-ból B-be viszi
A dℓ szakaszon végzett elemi munka:
dW F d cos
F d Q E d
A-tól B-ig összegezve: B
WAB
B
dW Q E d
A
WBA = - WAB
A
J
Feszültség, potenciál Feszültség: egységnyi töltés által végzett munka UAB
W AB Q
B
E d
E d 0
V
A
Mérése: voltmérővel V
Potenciál: egységnyi töltésnek a tetszőlegesen felvett vonatkoztatási pontba juttatásához szükséges energia. Az A pont potenciálja: UA UAO
W AO Q
O
E d
A
Az UAB feszültség: UAB = UA - UB
V
Kapacitás, kondenzátor Két, egymástól elszigetelt vezető (elektróda). U feszültséget rákapcsolva, az elektródákon +Q ill. –Q töltés halmozódik fel.
Q=CU C – kapacitás, mértékegysége: [F] farad jele:
Síkkondenzátor kapacitása Q
-Q
A lemezek felülete: A
d
C
Q D. A U U
.E A U
.
U A d U
.A d
C
A [F] d
Kondenzátorok kapcsolásai Párhuzamos kapcsolás: Q1
U
C2
C1 n
Qp
Qn
Q2
i 1
U
Cn
Cp
n
Qi
Qp
n
Ci U U Ci U Cp i 1
i 1 n
Cp
Ci i 1
Kondenzátorok kapcsolásai Soros kapcsolás: +Q
+Q -Q -Q
C1 U1
+Q
+Q
-Q
Cn Un
C2 U2
Cs
U
U n
U
n
Ui i 1
Q
n
i 1 Ci
1 Cs
n
-Q
Q
1
i 1 Ci
1
i 1 Ci
Q
1 Cs
Kondenzátorban tárolt energia A töltésmentes kondenzátor fegyverzeteire töltést juttatunk.
Δt idő alatt végzett munka: W u q uC u
A tárolt energia, amíg a töltés Qo-ra és a feszültség Uo-ra nő W
1 Qo Uo 2
1 C Uo2 2
2
1 Qo 2 C
Áram Töltések rendezett mozgása villamos tér hatására. Áramerősség: egy A felületen időegység alatt áthaladó töltésmennyiség. dQ i A dt Ha a felület árama időben állandó I
egyenáram.
Q t
Az áram megállapodás szerinti iránya: a pozitív töltések valóságos, vagy látszólagos elmozdulási iránya. Mérése: ampermérővel A
Szilárdtestek áramvezetése
Vezetők: szabad vegyértékelektronok könnyen elmozdulnak a villamos tér hatására. (ρ≈10-7 Ωm) Ideális vezetőben a töltések mozgatása munkavégzést nem igényel. Szigetelők: ideális szigetelőben a töltések villamos tér hatására nem mozdulnak el. (ρ≈1014 Ωm) Félvezetők: alacsony hőmérsékleten szigetelők, termikus gerjesztés hatására nő a vezetőképességük (ρ≈1 Ωm)
Áramkör i
Villamos termelő, Generátor
+
Vezető, u
i -
i i
Terhelés, Fogyasztó
A feszültség megállapodás szerinti iránya: a potenciál csökkenés iránya Az u és i iránya a generátoron ellentétes, a fogyasztón azonos
Generátor Valamilyen nem villamos energia hatására a pozitív és negatív töltések szétválnak, a pólusok között villamos teret létesítenek.
Ideális feszültséggenerátor (Rb=0)
áramgenerátor (Rb=∞)
+
i u -
Generátorok osztályozása Forrásmennyiség időfüggvénye szerint
Váltakozó áramú (Periodikus, lineáris középértéke=0
Egyenáramú
Állandó
Változó
Folyamatos
Szinuszos
Szaggatott
Egyéb (Pl. négyszög)
Ohm-törvény Vezető két végpontja közötti feszültség arányos a rajta átfolyó árammal. U=R.I R - a vezető két pontja közötti ellenállás [Ω] R≥0
Jele:
az ellenálláson u és i iránya azonos i
R u
R=0 rövidzár R=∞ szakadás
A vezető ellenállása az anyagától és geometriai méreteitől függ
R
1 A A
ρ - fajlagos ellenállás [Ωm] σ - fajlagos vezetés [1/Ωm] T
o [1
(T To )]
α - hőmérsékleti együttható ρ és α értéke táblázatból Villamos vezetés:
1 G R
A
[G] = S (siemens)
Anyag
Fajlagos ellenállás ρ [10-8 Ωm]
Hőmérsékleti együttható α [1/oC]
Ezüst
1,59
0,006 1
Réz
1,68
0,006 8
Alumínium
2,65
0,004 29
Wofram
5,6
0,004 5
Vas
9,71
0,006 51
Platina
10,6
0,003 927
Manganin
48,2
0,000 002
Ólom
22
Higany
98
Konstantán
49
Szén (grafit)
3 – 60
0,000 5
Germánium
1 – 500
0,05
Szilícium
0,1 – 60
0,07
... 0,000 9 ...
Üveg
1 – 10 000
...
Kvarc
7,5
...
1 - 100
...
Keménygumi
A vezetőben mozgó töltés a vezető atomjaival ütközve energiája egy részét átadja hő keletkezik W=UQ Ha I=állandó, akkor a t idő alatt átáramló összes töltés:
Q=It A végzett munka: A teljesítmény:
Joule-törvény
W U I t [J] W [W] P t 2
P UI I2 R U R
2
I G U G 2
Villamos hálózatok (áramkörök) Kétpólusok összekapcsolásával létrehozott alakzatok.
Részei: Csomópont: kettőnél több hálózati elem kapcsolódási pontja Ág: két csomópont közötti hálózatrész, amelyen ugyanaz az áram folyik Hurok: azon ágak összessége, amelyeken végighaladva a kiindulási pontba jutunk anélkül, hogy bármely ágon többször haladtunk volna
Villamos hálózatok elemei (kétpólusok)
Aktív elemek (források)
- Feszültséggenerátor - Áramgenerátor
Passzív elemek
- Energia fogyasztók: ellenállás - Energia tárolók: induktivitás kapacitás
Hálózatok osztályozása Koncentrált paraméterű Lineáris Invariáns
Elosztott paraméterű Nemlineáris Variáns
Feladat: Analízis Szintézis Kikötés: csak stacioner állapotot vizsgálunk
Referencia (vonatkozási, mérő) irányok Vonatkozási irány: az áramok és feszültségek előre, önkényesen felvett iránya. Ha a számítás eredménye pozitív, akkor „eltaláltuk” a megállapodás szerinti irányt, ha negatív akkor nem. Általában a passzív kétpólusoknál a feszültség és áram irányát egyezőre, aktív kétpólusoknál ellentétesre vesszük fel. Ha egyes mennyiségeknek adott az iránya, akkor azt vesszük fel vonatkozási iránynak.
Kirchhoff törvények I. Csomóponti Töltésmegmaradás Egy csomópontba be- és kifolyó áramok összege zérus. (A vonatkozási irány szerint) n
ik 0
k 1
Pl: i1 – i2 + i3 + i4 – i5 = 0
Kirchhoff törvények II. Hurok Energiamegmaradás Egy hurokban működő feszültségek összege zérus. n
uk 0
k 1
Pl:
uL1 + uR1 – uG2 + uC2 – uR3 +uLM3 + uG3 – uC4 + uG4 –uR4 = 0
Passzív kétpólusok alapösszefüggései Tetszőleges időfüggvény
Egyenáram
Ellenállás
u = i.R
U = I.R
Induktivitás
di u L dt
rövidzár
Kapacitás
du i C dt
szakadás
Egyenáramú hálózatok Valamennyi áram és feszültség időben állandó, ezért a hálózatokban csak időben állandó forrásmennyiségű generátorok és ellenállások találhatók. A legegyszerűbb hálózat: U Ug I U Ug R R 2 U P U I I2 R R
Pg
Ug I
UI
P Pg 0
Passzív hálózatrészek Ellenállások soros kapcsolása (áramuk azonos)
U=U1+U2+ . . . +Un=I(R1+R2+ . . . +Rn)=IRs
Rs
n
Ri
i 1
Passzív hálózatrészek Ellenállások párhuzamos kapcsolása (feszültségük azonos)
I I1 I 2 ... I n
1 U( R1 1 Rp
1 1 Ri
1 1 U ... ) R2 Rn Rp
2 elem esetén: replusz
n i
Rp
R1 R 2 R1 * R 2 R1 R 2
Feszültség- és áramosztó
U1
R1 U R1 R 2
U2
R2 U R1 R 2
I1 I
R2 R1 R 2
I2 I
R1 R1 R 2
Passzív hálózatrészek Csillag-delta, delta-csillag átalakítás Hárompólusok
Y
Δ
R 12
R 1R 2 RY
R 23
R 2R 3 RY
R 31
R 3R1 RY
1 1 1 R Y R1 R 2
Δ
1 R3
R
Y
R1
R 31R 12 R
R2
R 12 R 23 R
R3
R 23 R 31 R
R12
R 23
R 31
Valóságos generátorok Thevenin generátor
Uk Ug R b I U g2
2
Ph I R t
I
Rb
Rt
Karakterisztika
Ug Rb Rt Rt 2
Ug I I2R b I2R t
Pg
Ph Pg
I2R t I2R b I2R t
Pv Ph
Rt Rb
Rt
Ha:
Rt=0 Uk=0 Ph=0
0≤Rt ≤ ∞ intervallumban
Rt=∞
Ph-nak maximuma van
I=0 Ph=0
Szélsőérték-számítással: Rt= Rb-nél Teljesítmény illesztés!
Ph max
Rt Rb
U g2 Rb Rb
2
Rb Rb Rb
Rb
0,5
U g2 4Rb
Norton generátor
I
Ig
Uk
Ib
Ig
Uk Rb
Ig R b I R b
Ug=IgRb esetén megegyezik a Thevenin karakterisztikával, tehát minden ottani megállapítás érvényes.
Ph max
I g2 4
Rb
Hálózatszámítási feladatok megoldhatósága
Áganként 1 ismeretlen: meghatározásuk az ágegyenletekből. (U=IR vagy U=Uo±IR) Áganként 2 ismeretlen: összesen 2a darab egyenlet szükséges - a darab ágegyenlet, - (c-1) darab független csomóponti egyenlet, - h=a-(c-1) darab független hurokegyenlet. Áganként 3 ismeretlen: nem oldható meg.
Hurokáramok módszere
A Kirchhoff egyenletek ismeretlenjeinek a számához képest az egyenletek, ill. az ismeretlenek száma kb. a felére csökken (Megegyezik a független hurokegyenletek számával.) Tennivalók: 1. Felveszünk fiktív hurokáramokat (független hurkokra) 2. Kifejezzük velük az ágáramokat 3. Megjegyzés: a hurokáramok a csomóponti egyenleteket automatikusan kielégítik 4. Felírjuk a hurokegyenleteket az ágáramokkal 5. A hurokáramokkal kifejezett ágáramokat behelyettesítve rendezzük az egyenletrendszert 6. Megoldjuk a hurokáramokra 7. Visszahelyettesítjük a 2.-be, megkapjuk az ágáramokat
A módszer bemutatása 1. A példahálózat: 5 ismeretlen áramú ág c=3 csomópont h=5-(3-1)=3 független hurok
2. I1=Ia, I2=Ia-Ib, I3=Ia-Ic, I4=Ic-Ib, I5=-Ic 3. Pl:
I1+I5-I3=0,
Ia-Ic+Ic-Ia=0
4.
5.
Átrendezve
Mátrix alakban:
-Főátlóban a hurkok saját ellenállásai; -Azon kívül szimmetrikusan a hurkok közös ellenállásai, az áramok vonatkozási irányától függő előjellel;
- A jobb oldalon a hurokban működő forrásfeszültségek, a körüljárási iránytól függő előjellel. Ezen törvényszerűségek alapján az 1. lépés után a mátrixos alak közvetlenül felírható, megoldás után a 2.-be helyettesítve megkapjuk az ágáramokat.
Csomóponti potenciálok módszere
A Kirchhoff egyenletek ismeretlenjeinek a számához képest az egyenletek, ill. az ismeretlenek száma kb. a felére csökken (Megegyezik a független csomóponti egyenletek számával.) Tennivalók 1. Felveszünk egy alappontot és fiktív csomóponti potenciálokat 2. Kifejezzük velük az ágáramokat 3. Megjegyzés: a csomóponti potenciálok a hurokegyenleteket automatikusan kielégítik 4. Felírjuk a csomóponti egyenleteket az ágáramokkal 5. A csomóponti potenciálokkal kifejezett ágáramokat behelyettesítve rendezzük az egyenletrendszert 6. Megoldjuk a csomóponti potenciálokra 7. Visszahelyettesítjük a 2.-be, megkapjuk az ágáramokat
A módszer bemutatása
1. A példahálózat: 5 ismeretlen áramú ág c=4 csomópont
3 független csomópont 2. I1=G1(UA-UB), I2=G2(UC-UB), I3=G3UA, I4=G4UA, I5=G5UC 3. Pl:
UA-UB-I1R1=0,
UA-UB-G1(UA-UB)R1=0
4.
5.
A B
I1+I3+I4=0 -I1-I2-Ig1=0
C
I2+I5-Ig2=0
A B
G1(UA-UB)+G3UA+G4UA=0 -G1(UA-UB)-G2(UC-UB)=Ig1
C
G2(UC-UB)+G5UC=Ig2
Átrendezve A
(G1+G3+G4)UA
B C
-G1UA 0 UA
-G1UB
0 UC
+(G1+G2)UB -G2UC -G2UB +(G2+G5)UC
=0 = Ig1 = Ig2
Mátrix alakban
G1 G 3 G 4 G1 0
G1 G1 G 2 G2
0 G2 G 2 G5
UA UB UC
0 I g1 Ig 2
- Főátlóban a csomópontok saját vezetései;
- Azon kívül szimmetrikusan a csomópontok közös vezetései, mindig negatív előjellel; - A jobb oldalon a csomópontban működő forrásáramok az irányuktól függő előjellel. Ezen törvényszerűségek alapján az 1. lépés után a mátrixos alak közvetlenül felírható, megoldás után a 2.-be helyettesítve megkapjuk az ágáramokat.
Szuperpozíció elv Több forrást tartalmazó lineáris, reciprok hálózatokban a források együttes hatása meghatározható egyenkénti hatásaik összegzésével. Az egyes források hatásának vizsgálatakor a többit dezaktivizálni kell. (Feszültséggenerátor Ug=0, áramgenerátor Ig=0) Akkor lehet és célszerű alkalmazni, ha a hálózatban több generátor működik.
Reciprocitás
Kapcsoljunk az egyik póluspárra feszültségforrást, a másikat zárjuk rövidre és mérjük meg az áramot Kapcsoljunk a másik póluspárra feszültségforrást, az elsőt zárjuk rövidre és mérjük meg az áramot ' '' A hálózat a két kapura nézve reciprok, ha I2 I1
Helyettesítő generátorok tétele Bármely lineáris, invariáns, aktív hálózat helyettesíthető egy valóságos generátorral. Ha feszültséggenerátor Ha áramgenerátor I
A U
B
Thevenin tétel Norton tétel L e z á r á s
U és I kapcsolatát kizárólag a lezárás határozza meg.
Thevenin tétel Rb
A RABer
UABo B
Ug = UABo
és
A
Ug B
Rb = RABer esetén ekvivalensek
Norton tétel A
A RABer
IABz
Ig
Rb
B
Ig = IABz
és
Rb = RABer esetén ekvivalensek
B
Millmann tétel n
Uo
G i UGi
i 1 n
G i Go
i 1
Alkalmazás: pl. háromfázisú rendszer csillagponteltolódásának számítására
Millmann tétel duálja
n
Io
R i IGi
i 1 n
Ri
i 1
Ro
Soros és párhuzamos feszültséggenerátorok
p
s
Ub
s
UGi
i 1
és
Rb
Ri
i 1
Ub
G i UGi
i 1
p
p
és
Gi
i 1
Gb
Gi
i 1
Soros és párhuzamos áramgenerátorok
s
Ib
R i IGi
i 1 s
és
Ri
i 1
p
s
Rb
Ri
i 1
Ib
p
IGi
i 1
és
Gb
Gi
i 1
Ideális áramgenerátor áthelyezése
Ideális feszültséggenerátor áthelyezése
