VI. ANALISIS DWI RAGAM (ANALISIS KOVARIANS) COVARIANS ANALYSIS
Dengan dasar pemikiran bahwa berbagai ciri biofisik dari suatu plot percobaan tidak bereaksi secara terpisah tetapi seringkali secara fungsionil berhubungan satu dengan yang lain, maka analisis dwi ragam (analisis kovarians) secara bersamaan akan menguji varians dan kovarians diantara variabel-variabel yang dipilih, sedemikian sehingga efek perlakuan pada karakter yang menjadi minat utama akan dicirikan atau ditampilkan lebih akurat dari pada hanya dengan penggunaan analisis varians saja. Analisis kovarians membutuhkan pengukuran karakter yang menjadi minat utama kita, ditambah dengan pengukuran satu atau lebih variabel lain, yang disebut sebagai covariates. Dalam hal ini juga dibutuhkan bahwa fungsi hubungan antara covariate dengan karakter yang menjadi minat utama diketahui sebelumnya. Memperhatikan suatu percobaan varietas padi yang mana adanya populasi gulma dipakai sebagai covariate. Dengan mengetahui fungsi hubungan antara populasi gulma dan hasil gabah (sebagai karakter yang menjadi minat utama), analisis kovarians dapat mengkoreksi hasil gabah setiap plotnya terhadap level populasi gulma. Dengan pengkoreksian ini, variasi dalam hasil gabah yang diakibatkan oleh adanya populasi gulma dapat dihitung dan dipisahkan secara efektif dari variasi yang diakibatkan oleh perbedaan varietas (perbedaan perlakuannya). Analisis kovarians dapat diaplikasikan terhadap berapapun banyaknya covariate dan terhadap segala macam fungsi hubungan antara variabel-variabelnya. Tapi dalam bab ini difokuskan terutama terhadap kasus Covariate Tunggal yang mana hubungannya dengan karakter atau variabel yang menjadi minat utama adalah linier. Hal ini berdasarkan pada asumsi bahwa pada kebanyakan penelitian pertanian, kondisi covariate tunggal yang mempunyai hubungan linier dengan variabel utamanya adalah cukup memadai. Ada tiga kegunaan analisis kovarians yang penting dalam penelitian pertanian adalah: 1. Untuk mengontrol error percobaan dengan mengkoreksi rata-rata perlakuan meningkatkan pesisi. 2. Untuk membantu menginterpretasikan hasil percobaan 3. Untuk menduga data hilang.
Analisis Dwi Ragam
120
6. 1. ANALISIS KOVARIANS DALAM RAL Model Linier:
Yij i ( X ij X ) ij
I= 1, …, t J= 1, …, t Dimana:
Yij = hasil observasi ke-j dari perlakuan ke-i
= rata-rata populasi
i = pengaruh perlakuan ke-i ( X ij X ) = penyimpangan peragam X ke-ij dari rata-rata peragam
= Koefisien regresi error Y . X bY . X ij = Komponen random yang bekerja pada perlakuan ke-i observasi ke-j
Teladan: Suatu percobaan rumah kaca yang bertujuan untuk mempelajari kerusakan pada tanaman padi akibat penggerek batang coklat. Percobaan ini menguji beberapa macam banyaknya nympha penggerek batang coklat per anakan. Variabel yang menjadi minat utama dalam penelitian ini adalah malai produktif per plot (Y). Banyaknya anakan yang diamati sebelum nympha penggerek batang coklat ditempatkan, digunakan sebagai covariate (X). Data malai produktif (Y) dan banyaknya anakan awal (X) untuk setiap pot dari ke-50 pot (10 perlakuan dan 5 kali ulangan) terdapat pada Tabel 10.1. Preosedur perhitungan analisis kovarians-RAL: 1.
Hitung semua jumlah kuadrat (JK) utnuk masing-masing variabel X dan Y sesuai dengan analisis varians standar untuk RAL. Hasilnya terdapat pada tabel 10.2 dibawah lajur XX untuk X dan YY untuk variabel Y.
2.
Dengan r= banyaknya ulangan dan t= banyaknya perlakuan, Hitung jumlah hasil kali (JHK) untuk setiap sumber variasi (sumber keragaman) sebagai berikut:
FK
GX .GY r.t
(443)(425) 3765.50 5.10
JHK Total (XY)
t
r
( X i
ij
)(Yij ) FK
j
(5)(5) (12)(12) ... (8)(7) FK 310.50 Analisis Dwi Ragam
121
Table 10.1.Panicle Number per Hill (Y) and Initial Tiller Number per Hilla (X) in a Green House Study of Brown Planthopper Demage to Rice Treatment Replications No Nymphs, Rep. I Rep. II Rep. III no./tillerb X Y X Y X Y 1 0.0 5 5 12 12 11 11 2 0.1 7 7 9 9 14 8 3 0.2 9 9 5 5 12 13 4 0.5 7 6 10 10 6 8 5 1.0 8 8 5 5 13 11 6 2.0 12 11 5 5 9 11 7 5.0 7 7 4 4 11 11 8 10.0 7 8 20 16 6 7 9 25.0 10 4 6 7 12 11 10 50.0 10 10 10 13 7 11 Total 82 75 86 86 101 102 Grand Total (G) a Counted four days after transplanting b Placed on 88 day-old plant.
JHK Perlakuan (XY)
JHK Error (XY)
(T
X
)(TY )
r
Rep. IV X Y 5 8 9 8 5 7 8 8 5 5 7 8 6 5 9 9 5 5 7 8 66 71
Rep. V X Y 10 10 8 8 14 16 14 11 15 5 8 8 10 10 8 10 13 6 8 7 108 91
Treatment Total TX TY 43 46 47 40 45 50 45 43 46 34 41 43 38 37 50 50 46 33 42 49 443
425
FK
(43)((46) (47)(40) ... (42)(49) FK 4.90 5
= JHK Total (XY) – JHK Perlakuan (XY) = 310.50 – 4.90 = 305.60
3. Hitung JK terkoreksi untuk total, error dan perlakuan untuk veriabel Y, yakni sebagai berikut: JK Total* (Y) JK Total (Y )
( JHK Total ( XY ))2 ( JK Total ( X ))
(310.50) 2 394.50 214.64 536.02 JK Error* (Y) JK Error (Y )
321.20
( JHK Error ( XY )) 2 ( JK Error ( X ))
(305.60) 2 139.93 515.20
JK Perlakuan*(Y) = JK Total*(Y) – JK Error*(Y) = 214.64 – 139.93 = 74.71 Analisis Dwi Ragam
122
4. Hitung DB terkoreksi untuk error, total dan perlakuan: = DB error –1
DB Error*
= 40 – 1= 39
DB Perl.*
= DB total –1
DB Total*
= DB total* - DB Error* = 48 – 39 = 9
=49 – 1 = 48 5. Hitung KT terkoreksi untuk variabel Y untuk perlakuan dan error: KT Perl.* (Y)
KT error*
JK Perl . * (Y ) DB Perl . * (Y )
74.71 8.30 9
JK Error * (Y ) DB Error * (Y )
139.93 3.59 39
6. Hitung F-hitung sebagai F
KT Perl . * (Y ) KT Error * (Y ) 8.30 2.31 3.59
Selanjutnya nilai F-hitung ini dibandingkan dengan F-tabel dengan DB1 = DB perl.* dan DB2 = DB Error*
F( 9.39) 5%
dan 1%.
7. Hitung efisiensi relatif Analisis kovarians dibandingkan terhadap analisis varians standar, sebagai: RE
KT Error(Y ) (100) KT Error * (Y ) 1 KT Perl .( X ) JK Error ( X )
%
321.40 (100) 40 223% 20.82 9 (3.59)1
Analisis Dwi Ragam
515.20
123
Tabel. 10.2. Analysis of Covariance of CRD Data in table 10.1a Sum of Cross Poducts Source of Degree of Variation Freedom XX XY YY d.f Treatmen 9 20.82 4.90 73.30 Error 40 515.20 305.60 321.20 39 Total 49 536.02 310.50 394.50 48 Treatment 9 adjusted a cv= 22.3%, RE= 223% b * = significant at 5% level.
Y Adjusted for X SS MS Fb 139.93 3.59 214.64 74.71 8.30
F5%
2.31* 2.13
( 2 KTE*) JK ( XX ) Perl . 1 (t 1)( JK ( XX ) Error) r
Sd ( approx)
8. Hitung Koefisien regresi error, yaitu:
JHK Error( XY ) JK Error( X )
by . x
305.60 0.593 515.20
9. Hitung nilai rata-rata perlakuan terkoreksi sebagai:
Y i ' Y i by. x ( X i X )
i= 1, …, t
dimana:
Y i ' = nilai rata-rata variabel Y terkoreksi, pada perlakuan ke-i
Y i = nilai rata-rata variabel Y sebelum dikoreksi, pada perlakuan ke-i X i = nilai rata-rata variabel X pada perlakuan ke-i
X
= nilai rata keseluruhan variabel X
Teladan: Y 1 ' Y 1 0.593( X 1 X ) = 9.2 – 0.593 (8.6 – 8.86) = 9.35418 dst… (hasil keseluruhan dapat dilihat pada tabel 10.3). 10. Hitung nilai
Sd
untuk beda rata-rata perlakuan ke-i dan ke-j:
2 ( X i X j )2 Sd ( KT Error * Y ) r JK Error( X ) Bila DB error > 20 nilai
Analisis Dwi Ragam
S d (approx) yang dipakai:
124
Sd ( approx)
( 2 KTE*) JK Perl .( X ) 1 r (t 1) JK Error( X )
hanya satu nilai
Sd
yang dibutuhkan untuk semua perbandingan.
Table 10.3. Computation of The adjusted Treatment Means for Data on Panicle Number per Hill (Y) and Innitial tiller Number (X) in Table 10.1.
Treatment Number
Unadjusted treatment Mean
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sum Av.
a
Yi
Xi
D Xi X
Adjustment Faktor (C=0.593 D)
9.2 8.0 10. 8.6 6.8 8.6 7.4 10.0 6.6 9.8 85.0
8.6 9.4 9.0 9.0 9.2 8.2 7.6 10.0 9.2 8.4 88.6 8.9= X
-0.3 0.5 0.1 0.1 0.3 -0.7 -1.3 1.1 0.3 -0.5 -0.4a
-0.18 0.30 0.06 0.06 0.18 -0.42 -0.77 0.65 0.18 -0.30 -0.24a
Deviation
8.5= Y Except for Rounding error, the value should be zero.
b
Except for rounding error, this value should equal variable. Teladan: Untuk teladan di atas nilai
Sd ( approx)
Sd
Y
Adjusted Treatmen Mean Y i ' Y i C 9.38 7.70 9.94 8.54 6.62 9.02 8.17 9.35 6.42 10.10 85.24 8.52b
, the grand mean of the Y
(approx):
2(3.59) 20.82 1 (10 1)(515.20) 1.2010 5
Seperti yang telah diterangkan pada pendahuluan, bahwa antara variabel Y dan X mempunyai fungsi hubungan regresi yang linier:
Y a bX Dimana:
b= Koefisien regresi antara Y dan X a= intersep
Nilai b ini dapat dihitung dengan:
b
Analisis Dwi Ragam
JHK Perl .( XY ) 4.90 0.235350624 JK perl .( X ) 20.82
125
atau dengan rumus: b
XY
X Y
N X 2 2 X N
xy x2
x ( X i X ) ; y (Y i Y ) Untuk menguji apakah regresi Y pada X nyata atau tidak, dilakukan dengan Analisis regresi dari Error. Sumber Keragaman Regresi linier Sisa (Error Terkoreksi) Total (Error Y) Dimana: JK Regresi
Derajad Bebas 1 39
Jumlah Kuadrat 181.27 139.93
40
321.20
( JHK ErrorXY )2
JK Error X
Kuadrat F-tabel F-hitung Tengah 5% 1% 181.27 50.49** 4.09 7.33 3.59
(605.60)2 181.27 515.20
6. 2. ANALISIS KOVARIANS DALAM RAK Model linier:
Yij j i bY . X ( X ij X ) ij
i= 1, …, t j= 1, …, r Dimana: keterangan untuk semua simbol sama dengan keterangan pada model linier untuk RAL, kecuali:
j = pengaruh ulangan ke-j
Teladan: Suatu percobaan dimaksudkan untuk menguji 15 varietas padi yang ditanam pada lahan dengan level Fe yang meracun. Percobaan dilakukan dalam RAK dengan 3 ulangan. Baris-baris pelindung ditanami dengan varietas padi yang peka sebagai kontrol dan ditanam pada kedua sisi untuk setiap plot. Skor toleransi terhadap keracunan fe diamati untuk setiap plot termasuk juga pada baris–baris pelindung. Untuk masing-masing plot, skor untuk varietas yang peka ditentukan sebagai nilai covariate untuk plot tersebut. Data skor toleransi untuk masing-masing varietas yang diuji (variabel Y) dan skor untuk varietas peka yang bersangkutan (variabel X) ditunjukkan pada tabel 10.4.
Analisis Dwi Ragam
126
Prosedur Perhitungan Analisis Kovarians-RAK 1. Hitung semua jumlah kuadrat untuk masing-masing dari kedua variabel X dan Y sesuai dengan analisis varians standard untuk RAK. Hasilnya dapat dilihat pada tabel 10.5, pada kolom XX dan YY. Table 10.4. Scores for Tolerance for Iron Toxicity (Y) of 15 Rice Varieties and Those of the Corresponding Guard Rows of a Susceptible Check Variety (X) in a RCB Trial Variety Rep. I Rep. II Rep. III Variety Total Number X Y X Y X Y TX TY X Y 1 5 2 6 3 6 4 17 5.67 9 3.0 2 6 4 5 3 5 3 16 5.33 10 3.33 3 5 4 5 4 5 3 15 5.0 11 3.67 4 6 3 5 3 5 3 16 5.33 9 3.0 5 7 7 7 6 6 6 20 6.67 19 6.33 6 6 4 5 3 5 3 16 5.33 10 3.33 7 6 3 5 3 6 3 17 5.67 9 3.0 8 6 6 7 7 6 6 19 6.33 19 6.33 9 7 4 5 3 5 4 17 5.67 11 3.67 10 7 7 7 7 5 6 19 6.33 20 6.67 11 6 5 5 4 5 5 16 5.33 14 4.67 12 6 5 5 3 5 3 16 5.33 11 3.7 13 5 4 5 4 6 5 16 5.33 13 4.33 14 5 5 5 4 5 3 15 5.0 12 4.0 15 5 4 5 5 6 6 16 5.33 15 5.0 Total 88 67 82 62 81 63 251 5.58 192 4.27 2. Dengan r= banyaknya ulangan dan t= banyaknya perlakuan. Hitung FK, JHK total, JHK Perlakuan, JHK Ulangan dan JHK Error, sebagai berikut: FK
(251)(192) 1070.9333 (3)(15)
JHK Total (XY)
t
r
i
j
( X ij )(Yij ) FK
(5)(2) (6)(3) ... (6)(6) FK 28.0667 (TX )(TY ) FK r (17)(9) (16)(10) ... (16)(15) FK 19.400 3 RX RY FK JHK Ulangan (XY) t JHK Perlakuan (XY)
Analisis Dwi Ragam
(88)(67) (82)(62) (81)(63) FK 1.2667 15
127
JHK Error (XY) = JHK Total (XY) – JHK Perlakuan (XY) – JHK Ulangan (XY) = 28.0667 – 19.4000 – 1.2667 = 7.4000 3. Hitung JK Error (Y) terkoreksi:
( JHK Error ( XY )) 2 JK Error* (Y) JK Error(Y ) ( JK Error ( X ))
(7.4000) 2 13.7333 8.6420 10.7556 4. Hitung JK (perl. + Error)(Y) terkoreksi: JK (perl. + Error)*(Y)
2 JHK ( perl. Error )( XY ) JK ( Perl . Error )(Y ) JK ( perl. Error)( X )
(68.1333 13.7333)
(81.8666)
(19.400 7.400) 2 (10.3111 10.7556)
( 26.800)2 47.7730 ( 21.0667)
5. Hitung JK perl. (Y) terkoreksi: (dengan menggunakan hasil pada 3 dan 4) JK perl.*(Y) = JK (perl.+error)*(Y) – JK Error*(Y) = 47.7730 – 8.6420 = 39.1310 6. Untuk setiap JK terkoreksi pada langkah 3 – 5, hitunglah DB terkoreksi yang bersangkutan: DB Error*
= DB Error – 1 = 28 – 1 =7
DB (perl.+error)*
= (DB perl.+error) – 1 = 14 + 28 – 1 = 41 = DB (perl.+error)* – DB error*
DB (perl.)*
= 41 – 27 = 14 7. Hitung KT perl.* dan KT Error* untuk Y, sebagai berikut: KT Perl.* (Y)
KT error*
Analisis Dwi Ragam
JK Perl . * (Y ) DB Perl . *
39.1310 2.7951 14
JK Error * (Y ) DB Error *
8.6420 0.3201 27 128
Table 10.5. Analysis of Covariance of RCB Data in Table 10.4 Sum of Cross Poducts Source of Degree of Variation Freedom XX XY YY d.f SS MS Fb Total 44 22.9778 28.0667 82.8000 Replication 2 1.9111 1.2677 0.9333 Treatment 14 10.3111 19.4000 68.1333 Error 28 10.7556 7.4000 13.7333 27 8.6420 0.3201 Treatment 42 21.0667 26.8000 81.8666 41 47.7730 8.73** +Error Treatment 14 39.1310 2.7951 adjusted a cv= 13.2%, RE= 143% b * = significant at 1% level. 8. Hitung nilai F-hitung: F
KT Perl . * (Y ) KT Error * (Y )
2.7951 8.73 * * 0.3201
Selanjutnya nilai F-hitung diatas dibandingkan dengan nilai F-tabel dengan DB 1 = DB
Perl.*
dan
DB
2
=
DB
Error
pada
5%
dan
1%,
dimana
F5% (14;27) 2.08 dan F1% (14;27) 2.83 9. Langkah selanjutnya sama seperti pada analisis kovarians dalam RAL, langkah 710. Efisiensi relatif analisis kovarians terhadap analisis varians standard: RE
KT Error(Y ) (100)
KT Error * (Y ) 1 KT Perl .( X ) JK Error ( X )
13.7333 28(100) 143% 10.3111 14 (0.3201)1
%
10.7556
Koefisien regresi error, yaitu:
by . x
JHK Error( XY ) JK Error( X ) 7.4000 0.668 10.7556
Analisis Dwi Ragam
129
Nilai rata-rata perlakuan terkoreksi dihitung sebagai berikut:
Y i ' Y i by. x ( X i X ) dimana:
i= 1, …, t
Y i ' = nilai rata-rata variabel Y terkoreksi, pada perlakuan ke-i
Y i = nilai rata-rata variabel Y sebelum dikoreksi, pada perlakuan ke-i X i = nilai rata-rata variabel X pada perlakuan ke-i
X
= nilai rata keseluruhan variabel X
Teladan: Y 1 ' Y 1 0.688( X 1 X ) = 3.0 – 0.688 (5.67 – 5.58) = 2.9381
Y 15 ' = 5.0 – 0.688 (5.33 – 5.58) = 5.172 dst… (hasil keseluruhan dapat dilihat pada tabel 10.3).
Nilai
Sd
(approx) untuk pembandingan sembarang dan semua pasangan rata-rata
perlakuan, dihitung sebagai berikut:
S d ( approx)
JK Perl .( X ) (2 KTE*) 1 r (t 1) JK Error ( X )
2(0.3201) 10.3111 1 (15 1)10.7556 0.47751 3
Untuk menghitung nilai koefisien regresi antara variabel Y dan X, b adalah sebagai berikut:
b
JHK Perl .( XY ) 19.4000 1.8815 JK perl.( X ) 10.3111
Analisis Dwi Ragam
130
Analisis Regresi dari Error
Sumber Keragaman Regresi linier Sisa (Error Terkoreksi) Total (Error Y)
Derajad Jumlah Bebas Kuadrat 1 5.0913 27 8.642 28
Kuadrat Tengah 5.0913 0.3200
F-tabel 5% 1% 15.9103** 4.21 7.68
F-hitung
13.7333
( JHK ErrorXY ) 2 (7.4000) 2 5.0913 Dimana: JK Regresi JK Error X 10.7556 6.3 ANALISIS KOVARIANS DALAM SPLIT PLOT DENGAN RAK Model Linier:
Yijk k i ik j ( ) ij ba ( X ij X ) bb ( X ijk X ik ) k ij i= 1, …,a j= 1, …, b k= 1, …, r Dimana: keterangan untuk semua symbol sama dengan keterang yang lalu, kecuali: ba = Koefisien regresi error (a) bb = Koefisien regresi error (b)
( X ik X ) = deviasi dari variabel X rata-rata ke-ik dari rata-rata peragam X ( X ijk X ik ) = deviasi dari variabel X rata-rata ke-ijk dari rata-rata variabel x ke-ik. Teladan: Suatu percobaan lapangan yang dimaksudkan untuk mengevaluasi 8 pengelolaan pemupukan N pada 3 varietas padi dilakukan dengan menggunakan desain split-plot dalam 4 ulangan. Sebagai faktor main plot adalah varietas dan faktor sub plot adalah pengelolaan pemupukan N. Variabel utama Y, yang diamati adalah banyaknya gabah berisi per malai; dan sebagai variabel covariate, X, adalah skor kerusakan tanaman padi oleh pengerek batang coklat. Keseluruhan data ditunjukkan pada tabel 10.6. Table 10.6 Number of Filled Grain per Panicle (Y) and Score of Brown Planthopper Damagea (X) of Three Varieties (V1 to V3) tested with Eight Different Fertilizer Managements (F1 to F8)
Analisis Dwi Ragam
131
Treatment Treatment Total Fertilizer Rep. I Rep. II Rep. III Rep. IV Management X Y X Y X Y X Y V1 F1 3 46.9 1 37.3 1 28.9 3 58.1 F2 3 81.9 1 45.5 3 49.0 1 55.1 F3 5 50.0 1 78.1 3 71.6 3 79.1 F4 5 98.7 1 91.2 5 76.0 5 61.2 F5 5 65.3 1 87.3 3 80.4 5 61.1 F6 3 55.5 3 66.5 5 63.2 5 70.2 F7 5 51.0 5 54.1 5 62.1 5 58.3 F8 1 49.5 3 45.6 5 37.4 3 50.9 V2 F1 1 57.7 3 40.3 1 51.5 3 31.3 F2 5 69.6 1 81.6 3 56.1 5 73.5 F3 5 38.7 1 71.2 7 37.4 3 69.5 F4 7 53.8 3 64.5 7 52.5 3 53.5 F5 7 53.4 3 64.8 7 19.7 5 39.5 F6 5 73.2 1 86.0 7 41.7 5 61.3 F7 7 57.7 1 87.6 5 63.5 5 45.8 F8 7 61.8 1 58.7 5 22.8 7 35.8 V3 F1 3 37.5 3 63.8 7 36.8 4 95.5 F2 5 71.2 3 88.7 5 60.1 3 142.8 F3 3 64.8 1 139.5 3 50.7 3 110.9 F4 5 57.8 1 104.3 7 51.8 1 106.9 F5 3 63.7 1 77.8 3 125.4 1 98.0 F6 5 49.2 5 52.4 7 92.6 9 0.0 F7 1 60.5 7 30.4 7 16.0 9 0.0 F8 5 43.7 7 66.0 5 91.5 9 0.0 a Brown Planthopper damage is based on scores 0 to 9 with 1 refering to the lowest, and 9 to greatest, damage. Variety
Prosedur Perhitungan Analisis Kovarians Split-Plot 1. Hitung semua Jumlah Kuadrat (JK) untuk variabel X dan Y, masing-masing sesuai dengan analisis varians standard untuk split-plot. Hasilnya semua Jk tersebut ditunjukkan pada tabel 10.7 dibawah kolom YY untuk variabel Y dan dibawah kolom XX untuk variabel X. 2. Susun tabel dua arah: ulangan x faktor A, seperti ditunjukkan pada tabel 10.8. juga tabel dua arah: faktor A x faktor B seperi pada tabel 10.9. 3. Hitung jumlah hasil kali (JHK XY) untuk analisis main plot, yaitu: (tabel 10.6)
FK
G X . GY r.a.b
(383)(5893.3) 25311.8114 (5)(3)(8)
Analisis Dwi Ragam
132
XY FK
JHK Total (XY)
(3)(46.9) (1)(37.3) ... (9)(0.0) FK 2571.8114
JHK Ulangan (XY)
JHK A (XY)
X
RY
ab
FK
(104)(1413.1) ... (105)(1458.3) FK 470.1989
A
R
3.8
AY
X
rb
FK
(106)(1967.0) ... (141)(2150.5) FK 26.6667 4.8
Table 10.8. The Replication x variety Table of Totals (RA) Computed from Data in Table 10.6 Replication V1 V2 V3 Total (R) Replication X Y X Y X Y X Y I 30 498.8 44 465.9 30 448.4 104 1,413.1 II 16 505.6 14 554.7 28 622.9 58 1,638.2 III 30 468.6 42 345.2 44 524.9 116 1,338.7 IV 30 494.0 36 410.0 39 554.3 105 1,458.3 Variable total 106 1,967.0 136 1,775.8 141 2,150.5 (A) Grand total 383 5,893.3 (G) JHK error (a)(XY)
( RA)
X
( RA) Y
b
FK JHK Ulangan( XY ) JHK A( XY )
(30)(498.8) ... (39)(554.3) FK JHKU ( XY ) JHK A( XY ) 64.4583 8
4. Hitung Jumlah hasil kali (JHK XY) untuk analisis sub plot, yaitu: (tabel 10.9) JHK B (XY)
X
BY
FK
ra
(33)(585.6) (38)(875.1) ... (58)(563.7) FK 384.6781
JHK AB (XY)
Analisis Dwi Ragam
B
4.3
( AB)
X
r
( AB ) Y
FK JHK A( XY ) JHK B( XY )
133
(8)(171.2) (8)(180.8) ... (26)(201.2) FK JHK A( XY ) JHK B( XY ) 523.0500 4
JHK Error (b) (XY) = JHK Total (XY) – JHK Ulangan (XY) – JHK A (XY) – JHK Error (a) - JHK B (XY) – JHK AB (XY) = -1285.0094 5. Hitung JK (Y) terkoreksi untuk A; Error (a); B; AB; dan Error (b), dengan menggunakan rumus umum: 2 JHK ( XY ) JK * (Y ) JK (Y )
JK ( X )
Table 10.9. The Variety x Fertilizer Management Table of Totals (AB) Computed from Data in Table 10.6 Fertilizer Management F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
V1 X 8 8 12 16 14 16 20 12 106
Y 171.2 231.5 278.8 327.1 294.1 255.4 225.5 183.4
V2 X 8 14 16 20 22 18 18 20 136
JK Error(a)*(Y) JK Error (a)( XY )
V3
Y 180.8 280.8 216.8 224.3 177.2 262.2 254.6 179.1
X 17 16 10 14 8 26 24 26 141
Fertilizer Total (R)
Y 233.6 362.8 365.6 320.8 365.4 194.2 106.9 201.2
X 33 38 38 50 44 60 62 58 383
Y 585.6 875.1 861.2 872.2 836.7 711.8 587.0 563.7
( JHK Error(a)( XY )2 JK Error (a)( X )
(64.4583) 2 2262.3598 2113.1948 27.8542 JK A Error(a)* (Y ) JK A Error(a)( XY )
JHK A Error(a)( XY )2 JK A Error(a)( X )
(91.1250) 2 4456.4200 4291.1709 50.2500 JK Error(b)*(Y)
2 ( JHK Error (b)( XY ) JK Error (b)( XY )
JK Error (b)( X )
(1285.0094) 2 31448.5441 21793.8778 171.0312
Analisis Dwi Ragam
134
2 JHK B Error (b)( XY ) JK B Error (b) * (Y ) JK B Error (b)( XY ) JK B Error (b)( X )
43015.6573
(1669.6875) 2 31625.9967 244.7708
2 JHK AB Error (b)( XY ) JK AB Error (a) * (Y ) JK AB Error (b)(Y ) JK AB Error (b)( X )
44816.4356
(1808.0594) 2 31641.8592 248.1354
JKA*(Y) JK A Error(a)* (Y ) JK Error(a) * (Y ) =4291.1709 – 2113.1948 = 2177.9761 JKB*(Y) JK B Error(b)* (Y ) JK Error(b) * (Y ) = 31625.9967 – 21793.8778 = 9832.1189 JKAB*(Y) JK AB Error(b)* (Y ) JK Error(b) * (Y ) = 31641.8592 – 21793.8778 = 9847.9814 6. Hitung DB terkoreksi untuk masing-masing JK terkoreksi pada langkah 5 yaitu: DB Error (a)*= DB Error (a) – 1 = 6 – 1 = 5
DBA Error(a)* = DB A + DB Error (a)* - 1 = 2 + 6 – 1 = 7 DB A* = DBA Error(a)* - DB Error (a)* = 7 – 5 = 2. DB Error (b)*= DB Error (b) – 1 = 63 – 1 = 62
DBB Error(b)* = DB B + DB Error (b)* - 1 = 7 + 63 – 1 = 69 DB B* = DBB Error(b)* - DB Error (a)* = 69 – 62 = 7.
DBAB Error(b)* = DB AB + DB error (b) – 1 = 14 + 63 – 1 = 76 DB AB*= DBAB Error(b)* - DB Error (b)* = 76 – 62 = 14. 7. Hitung Kuadrat tengah terkoreksi (KT*) untuk Y: KT Error (a)* (Y)
JK Error(a) * (Y ) 2113.1948 422.6390 DB Error(a) * 5
JK A * (Y ) 2177.9761 1088.9880 DB A * 2
KT A* (Y)
KT Error (b)* (Y)
JK Error(b) * (Y ) 21793.8778 531.5142 DB Error(b) * 62
Analisis Dwi Ragam
135
KT B* (Y)
JK B * (Y ) 9832.1189 1404.5884 DB B * 7
KT AB* (Y)
JK AB * (Y ) 9847.9814 703.4272 DB AB * 14
8. Hitung nilai F-hitung untuk setiap efek yang perlu diuji (efek A, efek B dan efek AB), yaitu sebagai berikut: F (A)
KT A * (Y ) 1088.9880 2.58 (ns) KT Error(a) * (Y ) 422.6390
F (B)
KT B * (Y ) 1404.5884 4.00 * * KT Error (b) * (Y ) 351.5142
F (AB)
KT AB * (Y ) 703.4272 2.00 * KT Error(b) * (Y ) 351.5142
Selanjutnya nilai-nilai F-hitung diatas dibandingkan dengan F-tabel dengan DB yang sesuai; yaitu: F-tabel (A):
F 5% (2;5) = 5.79 F 1% (2;5) = 13.27
F-tabel (B):
F 5% (7;62) = 2.16 F 1% (7;62) = 2.94
F-tabel (AB):
F 5% (14;62) = 1.86 F 1% (14;62) = 2.39
9. Hitung koefisien regresi error untuk kedua macam error yang ada (yaitu error (a) dan error (b)):
b y. x (a)
JHK Error(a)( XY ) 64.4583 2.314 JK Error (a)( X ) 27.8542
b y. x (b)
JHK Error (b)( XY ) 1285.0094 7.513 JK Error (b)( X ) 171.0312
10. Hitung rata-rata perlakuan terkoreksi, dengan:
Y ij * Y i j by. x (a) X i X by. x (b) X i j X i
I= 1, …a J= 1, …b
Analisis Dwi Ragam
136
Dimana:
Y ij *
dan
Y ij =
nilai rata-rata variabel Y dan tak terkoreksi untuk
kombinasi perlakuan faktor A ke-i dan faktor B ke-j.
Xi
= nilai rata-rata variabel X untuk faktor A level ke-i
X ij
= rata-rata variabel X untuk kombinasi perlakuan faktor A level
ke-I dan faktor B ke-j.
X
= nilai rata keseluruhan variabel X.
Jadi untuk menghitung nilai rata-rata terkoreksi dari kombinasi perlakuan V1F1 (atau A1B1) adalah:
Y 11* Y 11 by. x (a) X 1 X by. x (b) X 11 X 1 dimana:
Y 11
171.2 42.800 4 8 2.000 4
bY . X (a) 2.314
106 3.3125 4.8
bY . X (b) 7.513
X 11
X1 X Jadi:
Y 11 *
383 3.990 (4)(8)(3)
= 42.800 – (2.314)(3.3125 – 3.990) – (-7.513)(2.000 – 3.3125) = 34.507
Perhitungan ini dilakuan untuk semua kombinasi perlakuan yang ada (3 x 8 kombinasi perlakuan), dan hasilnya ditunjukkan pada tabel 10.10 berikut:
Analisis Dwi Ragam
137
Tabel 10.10. Rata-rata perlakuan terkoreksi untuk data banyaknya gabah berisi permalai, menggunakan skor kerusakan oleh penggerek batang coklat sebagai covariate, dihitung dari data pada tabel 10.8 dan 10.9. Pengelolaan Pemupukan F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 Rata-rata
Rata-rata terkoreksi, gabah isi/malai V1 V2 V3 34.5 27.7 56.3 49.6 64.0 86.7 68.9 51.7 76.1 88.5 61.1 72.4 76.5 53.1 72.4 70.5 66.9 63.4 70.7 64.9 37.7 45.0 49.8 65.1 63.0 54.9 66.3
Rata-rata 39.5 66.8 65.6 74.0 67.3 66.9 57.8 53.3
11. Lakukan pengujian signifikansi beda rata-rata perlakuan terkoreksi. Untuk membuat perbandingan pasangan, nilai S d dihitung sebagai: a. untuk pasangan rata-rata perlakuan A terkoreksi, pada level B yang sama atau berbeda:
Sd
2 (b 1) KTEb * (Y ) KTEa * (Y )1 JKA( X ) rb (a 1) JKEa ( X )
Untuk teladan diatas:
Sd
2 (8 1)(351.5142) 422.63901 22.3958 15.895 (4)(8) (3 1)(27.8542)
b. Untuk pasangan rata-rata perlakuan B terkoreksi, pada level A yang sama:
Sd
JKB ( X ) JKAB ( X ) 2 KTEb * (Y ) 1 r a(b 1) JKE b ( X )
Untuk teladan diatas:
Sd
2 (73.7396 77.1042) (351.5142) 1 13.533 4 3(8 1)(171.0312)
c. Untuk pasangan rata-rata perlakuan A terkoreksi, mencakup seluruh level perlakuan B:
Analisis Dwi Ragam
138
Sd
2 JKA( X ) KTEa * (Y ) 1 rb (a 1) JKE a ( X )
Untuk teladan diatas:
karena efek interaksi AB nyata pada taraf nyata 5%
(lihat tabel 10.7), maka perbandingan rata-rata perlakuan A varietas yang mencakup seluruh level B, tidak seharusnya dilakukan.
Nilai
Sd
tidak
dihitung. d. Untuk pasangan rata-rata perlakuan B terkoreksi, mencakup seluruh level perlakuan A:
Sd
2 JKB ( X ) KTEb * (Y ) 1 ra (b 1) JKE b ( X )
Untuk teladan diatas: perbandingan rata-rata perlakuan B (pengelolaan pemupukan) yang mencakup seluruh level A, tidak seharusnya dilakukan, dengan alasan yang sama seperti pada c). Nilai S d tidak dihitung. 12. Hitung efisiensi relatif analisis kovarians terhadap analisis varians standard, sebagai berikut: a) RE (main plot)
b) RE (sub plot)
Analisis Dwi Ragam
JK Error (a)(Y ) 100 JKA( X ) (a 1)(r 1) KTEa * (Y ) 1 (a 1) JKEa ( X ) 2262.3598 100 64% 22.3958 (3 1)(4 1)(422.6390) 1 (3 1)27.8542 JK Error (b)(Y )
JKB ( X ) a(r 1)(b 1) KTEb * (Y ) 1 (b 1) JKE b ( X )
100
31448.5441 100 134% 73.7396 3(4 1)(8 1)(351.5142) 1 (8 1)171.0312
139
c) RE (sub plot dalam main plot)
JK Error (b)(Y ) JKB ( X ) JKAB ( X ) a(r 1)(b 1) KTEb * (Y ) 1 a(b 1) JKE b ( X )
100
31448.5441 100 136% (73.7396 77.1042) 3(4 1)(8 1)(351.5142) 1 3(8 1)(171.0312)
Dari hasil diatas tampak bahwa pwmakaian kovariate X (kerusakan oleh pengerek batang coklat) meningkatkan ketelitian (presisi) efek utama faktor B dan efek interaksi A x B untuk banyaknya gabah per malai (variabel Y) dengan masing-masing 34% dan 36%, tehadap bila dilakukan dengan analisis varians standard. Namun tidak meningkatkan presisi untuk efek utama faktor A. 6.4 Interpretasi Percobaan Anakova Pengaruh perlakuan pada: Y No.
X
1.
N.S.
Sebelum Kovariat Signifikan
2.
N.S
N.S.
3.
Signifikan
Signifikan
4.
Signifikan
Signifikan
5.
Signifikan
N.S.
Analisis Dwi Ragam
Kesimpulan Setelah kovariat N.S Pengaruh perlakuan pada Y ‘diperbesar’ oleh X Interpretasi harus dengan hati-hati. Signifikan Pengaruh yang sebenarnya perlakuan terhadap Y dihambat oleh keragaman dalam X. Signifikan Perlakuan memberikan pengaruh yang nyata pada Y yang melebihi pengaruh keragaman X. N.S Pengaruh perlakuan pada Y lebih disebabkan oleh keragaman dalam X. Signifikan Pengaruh perlakuan pada Y dihalangi oleh keragaman X yang signifikan
140
6.5 Confounding Dalam Percobaan Faktorial Confounding umumnya digunakan dalam situasi: (a) Banyaknya kombinasi perlakuan lebih besar dari unit percobaan yang tersedia. (b)
Banyaknya kombinasi perlakuan tidak dapat diaplikasikan ke material yang homogen dalam suatu blok lengkap.
(c)
Banyaknya unit percobaan yang dapat ditangani teknisi terbatas untuk jangka waktu tertentu.
(d)
Dalam ketelitian (presisi) hasil percobaan, vairans error percobaan meningkat dengan meningkatnya ukuran blok.
Perhatikan; Percobaan faktorial 23, dengan faktor A, B, & C. Banyak blok = 4. A 0 1 0 0 1 1 0 1
(1) A B C ab ac bc abc
Efek Mean A B C AB AC BC ABC
(1) + + + + -
B 0 0 1 0 1 0 1 1
a + + + +
C 0 0 0 1 0 1 1 1
Total kombinasi perlakuan b c ab ac + + + + + + + + + + + + + + + + -
Kemungkinan kombinasi perlakuan
bc + + + + -
abc + + + + + + + +
SUM
M A B C AB AC BC ABC
Penduga untuk A: (abc + a+ ab + ac) – (1 + b + c + bc) Penduga untuk AB: (abc + ab + c + 1) – (a + b + ac + bc) Penduga untuk ABC: (abc + a + b + c) – (ab + ac + bc + 1) kalau kita punya blok berikut: Analisis Dwi Ragam
141
Blok 1
Blok 2
1
b
abc
ab
c
bc
A
ac
Perbedaan antara (Blok 2 – Blok 1) = efek Blok
abc a ab ac (1) b c bc Efek blok ekivalen dengan efek utama A. Dapat disebut bahwa efek utama A dipautkan dengan blok.
Blok 1
Blok 2
a
b
ab
ac
abc
c
1
bc
Blok 1 – Blok 2 = Pendugaan interaksi ABC Efek ABC terpautkan dengan efek blok. Randomisasi: 1) Set kombinasi perlakuan di tempatkan secara acak kedalam blok-blok dengan pengacakan yang berbeda untuk setiap ulangan 2) Kombinasi perlakuan dalam tiap blok ditempatkan secara acak ke dalam plot-plo 3) Pengacakan yang berbeda dilakukan untuk setiap blok dan untuk tiap ulangan. Contoh:
Percobaan faktorial 23 2 blok di ulang 3 kali dan dalam tiap blok ada 4 plot.
Analisis Dwi Ragam
142
Efek interaksi tertinggi: Incomplete blok
I = (a, b, c, abc) II= (ab, ac, bc, (1)) ac
(1)
II
(1)
ab
II bc
ab
ac
bc
b
a
abc
c
I
I c
abc
a
Rep. 2
SoV
abc
b
a
bc
ac
(1)
ab
II b
Rep. 1
I
c
Rep. 3
df
Blok: Rep ABC Rep. X ABC Perlakuan: A B AB AC BC Error r Total
B–1=5 R–1=2 (a-1)(b-1)(c-1) = 1 (r-1)(a-1)(b-1)(c-1) = 2 (6) (a-1) = 1 (b-1) = 1 (a-1)(b-1) = 1 (a-1)(c-1) = 1 (b-1)(c-1) = 1 (abc-2)(r-1) = 12 (abcr-1) = 13
Keuntungan desain Confounded 1) Mengurangi eror pecobaaan dengan menggunakan blok yang lebih homogen. 2) Kemungkinan untuk menduga error percobaan jika confounding tidak diterapkan. Perhitungan JK:
CF
2 M
8r
2n 23 JKA
Analisis Dwi Ragam
A2 23 . r
143
JKBC
2 BC
JKABC
23 . r
2 ABC
23 . r
2 JK Total Yyijk CF
JK Blok ( Blok ) JK Re p
2
r
(Re p) 2 r
CF CF
JK (Re p ABC ) JK Blok JK Re p JK ABC
Analisis Dwi Ragam
144
Peranan Ha (hipotesis alternatif) dalam penentuan daerah kritis (daerah penolakan): a. Jika Ha mempunyai perumusan tidak sama ( ) maka dalam distribusi statistik yang digunakan, (yaitu distribusi normal untuk uji Z, dan distribusi student untuk uji t, dan seterusnya) terdapat dua daerah kritis, masing-masing pada ujung distribusi luar daerah kritis pada tiap ujung = 1 . 2 “Pengujian hipotesis ini disebut “Uji dua Pihak”
Daerah penolakan Ho Luas 1 2
d1 Kriteria:
Daerah penolakan Ho Luas 1
daerah penerimaan Ho
2
d2
- terima Ho jika harga statistik hitung terletak antara d1 dan d2 - tolak Ho jika harag statistik hitung
d2.
b. Untuk Ha yang mempunyai rumusan lebih besar (>) maka dalam distribusi statistik yang digunakan terdapat satu daerah kritis yang letaknya diujung sebelah kanan, luasnya =
Pengujian ini dinamakan “Uji satu pihak” atau “Uji pihak kanan”.
Daerah penolakan Ho (luas = )
Daerah Penerimaan Ho
d1
Analisis Dwi Ragam
145
c. Untuk Ha yang mempunyai rumusan lebih kecil (<) maka dalam distribusi statistiknya terdapat satu daerah kritis yang terletak diujung sebelah kiri, dan luasnya =
Pengujian ini disebut: “Uji satu pihak” atau “Uji pihak kiri”.
Daerah penolakan Ho Luas =
Daerah penerimaan Ho
Catatan: Uji Z (distribusi standard Normal: (0,1))
X o
Z
n (Uji Z digunakan bila nilai
atau
2 nya diketahui).
Uji t (distribusi t-student)
t
X o s n
(Uji t digunakan bila nilai
atau
2 nya tidak diketahui).
Uji Z untuk pengujian proporsi
Z
o n o (1 o X
terima Ho jika:
Analisis Dwi Ragam
Z1
2
o =peluang terjadinya peristiwa n
(1 )
Z Z1
2
(1 )
146
Uji X2 untuk menguji varians
X 2
terima Ho jika:
Analisis Dwi Ragam
( n ) S 2
02
X 2 ( n1); 12 X 2 X 2 ( n1)(1 12 )
147
