P´ar informac´ı o nekoneˇcn´ych ˇrad´ach (doplˇ nkov´ y text k pˇredmˇetu Matematick´a anal´ yza 3)
ˇ ak Pavel Reh´
(verze 12. kvˇetna 2015)
2
Nˇ ekolik slov na u ´ vod Tento text tvoˇr´ı doplnˇek k ˇc´ asti pˇredmˇetu Matematick´a anal´ yza 3 (partie t´ ykaj´ıc´ı se nekoneˇcn´ ych ˇrad). Nevyˇcerp´av´a absolutnˇe vˇse, co se na pˇredn´aˇsk´ach prob´ır´ a. Sp´ıˇse se snaˇz´ı struˇcnˇe a pˇrehlednˇe zachytit nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı pojmy a fakta, pˇr´ıpadnˇe jsou zde detailnˇeji pops´ any nˇekter´e vybran´e pas´aˇze, coˇz n´am pak pˇri pˇredn´ aˇsk´ ach ˇsetˇr´ı ˇcas.“ V kombinaci s pozn´amkami z pˇredn´aˇsek (kde zejm´ena ” podrobnˇeji komentujeme prob´ıranou l´atku, doplˇ nujeme ji, uv´ad´ıme ilustrativn´ı pˇr´ıklady a diskutujeme) a s pozn´amkami z pˇr´ısluˇsn´eho cviˇcen´ı by tento text mˇel tvoˇrit postaˇcuj´ıc´ı zdroj k pˇr´ıpravˇe na zkouˇsku. Je samozˇrejmˇe v´ıt´ana i samostatn´ a iniciativa student˚ u, kdy sami ˇcerpaj´ı i z jin´ ych zdroj˚ u (pˇriˇcemˇz poˇzadavky na rozsah znalost´ı jsou zˇrejm´e z obsahu textu a pˇredn´aˇsek). Existuje ˇrada dalˇs´ıch zaj´ımav´ ych a d˚ uleˇzit´ ych t´emat, kter´a se v r´amci teorie nekoneˇcn´ ych ˇrad bˇeˇznˇe prob´ıraj´ı, avˇsak vy je zde nenajdete. Vzhledem k celkov´emu zamˇeˇren´ı studia a s ohledem na ˇcasovou dotaci, m˚ uˇze n´aˇs kurs totiˇz podat pouze velmi struˇcn´e pˇribl´ıˇzen´ı t´eto discipl´ıny. Budu vdˇeˇcn´ y kaˇzd´emu, kdo mne upozorn´ı na nepˇresnosti ˇci chyby v textu Nˇekter´e nepˇresnosti — jde vlastnˇe sp´ıˇs o zjednoduˇsen´ı — jsou ovˇsem z´amˇern´e“, ” vzhledem k v´ yˇse zm´ınˇen´emu informativn´ımu“ charakteru cel´eho kurzu. N´aˇs ” ˇcasto intuitivn´ı pˇr´ıstup snad i napom´ah´a snadnˇejˇs´ımu porozumˇen´ı l´atky. ˇ ak Brno, 12. kvˇetna 2015, Pavel Reh´
3
Obsah 1 Z´ akladn´ı pojmy 1.1 Posloupnost, ˇrada, konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Nˇekter´e triky pouˇz´ıvan´e pˇri souˇctech ˇrad . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Operace s ˇc´ıseln´ ymi ˇradami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Krit´ eria konvergence pro ˇ rady s nez´ aporn´ ymi ˇ cleny 2.1 Srovn´ avac´ı krit´erium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Limitn´ı srovn´ avac´ı krit´erium . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Odmocninov´e krit´erium — Cauchyovo . . . . . . . . . . 2.4 Pod´ılov´e krit´erium — d’Alembertovo . . . . . . . . . . . 2.5 Srovn´ an´ı u ´ˇcinnosti odmocninov´eho a pod´ılov´eho krit´eria 2.6 Integr´ aln´ı krit´erium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
7 7 8 9 11 11 12 12 13 13 14
3 (Ne)absolutnˇ e konvergentn´ı ˇ rady 15 3.1 Alternuj´ıc´ı ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Absolutn´ı konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Pˇrerovn´ av´ an´ı ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Numerick´ e aspekty souˇ ctu ˇ rad 19 4.1 Odhad souˇctu alternuj´ıc´ı ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Odhad souˇctu pomoc´ı geometrick´e ˇrady . . . . . . . . . . . . . . 20 4.3 Integr´ aln´ı odhad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 Funkˇ cn´ı posloupnosti a ˇ rady 21 5.1 Krit´eria stejnomˇern´e konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.2 Vlastnosti stejnomˇernˇe konvergentn´ıch posloupnost´ı a ˇrad funkc´ı 23 6 Mocninn´ eˇ rady 25 6.1 Vlastnosti mocninn´ ych ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2 Taylorova ˇrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.3 Aplikace mocninn´ ych ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Literatura
33
5
Kapitola 1
Z´ akladn´ı pojmy 1.1
Posloupnost, ˇ rada, konvergence
Nejdˇr´ıve pˇripomeˇ nme, ˇze posloupnost re´aln´ ych ˇc´ısel {an } je zobrazen´ı a : N → R. Jin´e oznaˇcen´ı pro posloupnost je napˇr. {an }∞ cnou ˇradu n=1 , nebo (an ). Nekoneˇ definujeme n´ asledovnˇe. Uvaˇzujme posloupnost {an }. Potom v´ yraz a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · naz´ yv´ ame nekoneˇcnou ˇc´ıselnou ˇradou (nebo jen struˇcnˇe ˇradou) a oznaˇcujeme jej ! ∞ X X X an pˇr´ıpadnˇe an nebo an n=1
n∈N
Zaj´ım´ ame se o souˇcty a vlastnosti ˇrad. Abychom mohli d´at pr´avˇe definovan´ ym v´ yraz˚ um dobr´ y smysl, zav´ad´ıme tzv. posloupnost ˇca ´steˇcn´ych souˇct˚ u {sn }, kter´ a se definuje jako: s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , . . . , sn = a1 + a2 + · · · + an , . . . . U posloupnost´ı ˇc´ asteˇcn´ ych souˇct˚ u pak rozliˇsujeme jejich limitn´ı chov´an´ı: P∞ • Existuje-li vlastn´ı limita limn→∞ sn = s, pak ˇr´ık´ame, ˇze ˇrada n=1 an konverguje. 7
8
Kapitola 1
• Neexistuje-li vlastn´ı limita limn→∞ sn , pak ˇr´ık´ame, ˇze pˇriˇcemˇz zde rozliˇsujeme tˇri pˇr´ıpady:
P∞
n=1
an diverguje,
◦ Jestliˇze limn→∞ sn = ∞, pak ˇr´ık´ame, ˇze ˇrada urˇcitˇe diverguje k ∞. ◦ Jestliˇze limn→∞ sn = −∞, pak ˇr´ık´ame, ˇze ˇrada urˇcitˇe diverguje k −∞. ◦ Jestliˇze limn→∞ sn neexistuje, pak ˇr´ık´ame, ˇze ˇrada osciluje. Vyj´ adˇr´ıme-li an jako an = sn − sn−1 a provedeme-li limitn´ı pˇrechod, pak okamˇzitˇe dost´ av´ ame tzv. nutnou podm´ınku konvergence: Jestliˇze
P∞
n=1
an konverguje, potom limn→∞ an = 0.
Odtud obdrˇz´ıme jednoduch´e krit´eP rium pro divergenci: Jestliˇze limn→∞ an ∞ neexistuje, nebo limn→∞ an 6= 0, pak n=1 an diverguje. Bezprostˇrednˇe z definice plyne i n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı. Necht’ m ∈ N. Potom guje.
P∞
n=1
an konverguje, pr´avˇe kdyˇz
P∞
n=m+1
an konver-
Proto lze tvrdit, ˇze na konvergenci resp. divergenci ˇrady nem´a vliv chov´an´ı koneˇcn´eho poˇctu ˇclen˚ u. Z´aroveˇ n m´ame motivaci pro definici: Pokud nˇejak´ y pˇredpoklad nemus´ı b´ yt splnˇen pro koneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u, ˇr´ık´ame, ˇze plat´ı pro skoro vˇsechna n. To vˇsak nen´ı nic jin´eho, neˇz ˇze plat´ı od jist´eho indexu poˇc´ınaje.
1.2
Nˇ ekter´ e triky pouˇ z´ıvan´ e pˇ ri souˇ ctech ˇ rad
Obecnˇe je probl´em nalezen´ı souˇctu (konvergentn´ı) ˇrady velmi obt´ıˇzn´ y aˇz v podstatˇe nemoˇzn´ y; neexistuje ˇz´adn´ y univerz´aln´ı n´avod. Existuj´ı vˇsak situace, kter´e jsme schopni uspokojivˇe a nˇekdy i pˇrekvapivˇe snadno ˇresit. My si zde uvedeme alespoˇ n nˇekter´e z nich. P∞ • Rozpozn´ ame-li, ˇze ˇrada m´a tvar n=1 aq n−1 , kde a 6= 0, q 6= 0, pak se jedn´a o geometrickou ˇradu, kter´a konverguje v pˇr´ıpadˇe, kdy pro kvocient plat´ı |q| < 1, a m´ a souˇcet ∞ X a aq n−1 = . 1 − q n=1 Odvod’te si tuto skuteˇcnost. Napovˇezme, ˇze staˇc´ı uvaˇzovat dva pomocn´e ˇc´ asteˇcn´e souˇcty s˜n = 1 + q + · · · + q n−1 a q˜ sn = q + q 2 · · · + q n , kter´e od sebe odeˇctete. Rovnˇeˇz diskutujte, jak´e typy divergence mohou nastat v z´avislosti na hodnotˇe kvocientu.
Kapitola 1
9
• Pˇr´ıpad, kdy n-t´ y ˇclen ˇrady je vhodn´ ym algebraick´ ym souˇctem v´ yraz˚ u na n z´ avisl´ ych, nebo se d´ a na takov´ y souˇcet upravit. Touto vhodnost´ı“ m´ame ” na mysli situaci, kdy se v n-t´em ˇc´asteˇcn´em souˇctu vˇetˇsina“ sˇc´ıtanc˚ u zruˇs´ı ” d´ıky opaˇcn´ ym znam´enk˚ um a posunut´emu indexu a zbyde pouze zafixovan´ y poˇcet sˇc´ıtanc˚ u (tj. maj´ıc´ı stejn´ y poˇ c et ˇ c len˚ u pro libovoln´ y ˇ c a ´ steˇ c n´ y souˇ c et). √ P √ √ n + 2 − 2 n + 1 + n , jej´ı souˇcet Typickou takovou ˇradou je napˇr. √ je 1 − 2. Nˇekdy tato vlastnost nen´ı na prvn´ı pohled patrn´a a je potˇreba u ´pravy (ˇcasto, ale ne vˇzdy, najde vyuˇzit´ı rozklad v parci´aln´ı zlomky), napˇr. P 1 ’ cty obou uveden´ ych ˇrad. n(n+2) . Odvod te si s detaily souˇ ˇ • Rady typu X
an bn ,
a posloupnost a {bn } je geometrick´a posloupnost s kde {an } je aritmetick´ kvocientem |q| < 1. Vyuˇz´ıv´ ame toho, ˇze pro n-t´ y ˇc´asteˇcn´ y souˇcet {sn } plat´ı (1 − q)sn =sn − qsn = fixn´ı poˇcet ˇclen˚ u z´avisl´ ych na n“ + ” + n-t´ y ˇc´asteˇcn´ y souˇcet geometrick´e ˇrady.“ ” Napˇr. ˇradu s = 3.
P 2n−1 2n
lze takto pohodlnˇe seˇc´ıst. Pokuste se o to; mˇelo by vyj´ıt
• Nˇekter´e ˇrady lze vidˇet jako line´arn´ı kombinaci jednoduˇsˇs´ıch ˇrad. Jak uvid´ıme pozdˇeji, konvergentn´ı ˇrady se skuteˇcnˇe chovaj´ı line´arnˇe. Seˇctˇete napˇr. ˇradu P 6n−3+4·3−n . N´ apovˇeda: ˇradu lze napsat jako line´arn´ı kombinaci jist´e geo2n metrick´e ˇrady a ˇrady, kterou jsme uvedli v pˇredchoz´ım odstavci. Pro souˇcet plat´ı s = 9 + 54 . • Pozdˇeji si uk´ aˇzeme jeˇstˇe dalˇs´ı triky pro souˇcet ˇrady, kter´e jsou zaloˇzeny na jist´ ych hezk´ ych vlastnostech stejnomˇernˇe konvergentn´ıch funkˇcn´ıch ˇrad.
1.3
Operace s ˇ c´ıseln´ ymi ˇ radami
N´ asleduj´ıc´ı vlastnosti lze pomˇernˇe jednoduˇse dok´azat s pouˇzit´ım pˇr´ısluˇsn´ ych posloupnost´ı ˇc´ asteˇcn´ ych souˇct˚ u a operacemi na jejich limit´ach. P P P P • Souˇcet. Jestliˇ an , bn jsou konvergentn´ı ˇrady a an = A, bn = P ze B, potom (an + bn ) je konvergentn´ı a plat´ı X
(an + bn ) = A + B.
Najdˇete pˇr´ıklad ukazuj´ıc´ı, ˇze tvrzen´ı o konvergenci nelze obr´atit.
10
Kapitola 1 P • Analogie distributivn´ıho z´akona. Jestliˇze an konverguje, pak pro liboP voln´e C ∈ R konverguje t´eˇz Can a plat´ı X X Can = C an . Tvrzen´ı o konvergenci lze pro C 6= 0 obr´atit. • Linearita. Dvˇe pˇredchoz´ı vlastnosti lze ch´apat jako aditivitu resp. homogenitu. S pouˇzit´ım indukce lze pak prov´est rozˇs´ıˇren´ı, kde uvaˇzujeme libovolnou line´ arn´ı kombinaci. P∞ • Analogie asociativn´ıho z´akona. Necht’ n=1 an je konvergentn´ı ˇrada a necht’ {nk } je rostouc´ı posloupnost pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Poloˇzme n0 = 0 a pro k ∈ N oznaˇ c me b = a + a + · · · + ank . Potom ˇrada k n +1 n +2 k−1 k−1 P∞ b konverguje a plat´ ı k k=1 ∞ X k=1
bk =
∞ X
an .
n=1
• Analogie komutativn´ıho z´akona. Na tomto m´ıstˇe by mohl ˇcten´aˇr oˇcek´avat nˇejak´e tvrzen´ı o pˇrerovn´av´an´ı ˇclen˚ u ˇrady. Ponˇevadˇz vˇsak analogie komutativn´ıho z´ akona pro konvergentn´ı ˇrady obecnˇe neplat´ı a k jeho platnosti je potˇreba silnˇejˇs´ı vlastnosti, totiˇz tzv. absolutn´ı konvergence, zformulujeme pˇr´ısluˇsn´e tvrzen´ı pozdˇeji.
Kapitola 2
Krit´ eria konvergence pro ˇ rady s nez´ aporn´ ymi ˇ cleny P V t´eto kapitole uvaˇzujeme ˇrady typu an , kde an ≥ 0 pro P vˇsechna n ∈ N. Ponˇevadˇz posloupnost ˇc´ asteˇcn´ ych souˇct˚ u je neklesaj´ıc´ı, je an konvergentn´ı nebo urˇcitˇe divergentn´ı k ∞. Promyslete si, proˇc by staˇcilo pˇredpokl´adat nez´apornost pro skoro vˇsechny ˇcleny ˇrady (tj. pro velk´a n). Z d˚ uvodu form´aln´ı jednoduchosti ji vˇsak pˇredpokl´ ad´ ame pro vˇsechny ˇcleny. Je t´eˇz zˇrejm´e, ˇze uveden´ a krit´eria lze snadno modifikovat, nahrad´ıme-li pˇredpoklad nez´apornosti pˇredpokladem nekladnosti.
2.1
Srovn´ avac´ı krit´ erium
Manipulac´ı s pˇr´ısluˇsn´ ymi posloupnostmi ˇc´asteˇcn´ ych souˇct˚ u lze snadno dok´azat n´ asleduj´ıc´ı intuitivn´ı krit´erium. Pˇredpokl´ adejme, ˇze an ≤ bn pro skoro vˇsechna n ∈ N. Potom X X bn konverguje ⇒ an konveguje; X X an diverguje ⇒ bn diveguje.
Pozn´ amka . (i) Typick´ ymi ˇradami vhodn´ ´ˇcely jsou napˇr. P n−1 P y1mi pro srovn´avac´ı u geometrick´ a ˇrada aq nebo ˇrada . S pouˇ z it´ ım n´ ıˇ z e diskutovan´eho nα apar´ atu (Odstavec 2.6) urˇcete, pro kter´e hodnoty parametru α ˇrada diverguje resp. Tyto ˇrady lze v pˇr´ıpadˇe nutnosti modifikovat napˇr. ve P konverguje. 1 , kde C je nˇejak´ a konstanta. Vˇsimnˇete si, ˇze zachov´an´ı konversmyslu (n+C)α gence ˇci divergence — pˇrid´ ame-li konstantu C — je snadn´ ym d˚ usledkem vyuˇzit´ı 11
12
Kapitola 2
nemˇennosti konvergence resp. divergence tˇechto ˇrad pˇri zmˇenˇe koneˇcnˇe mnoha ˇclen˚ u a pˇr´ıpadn´e aplikaci srovn´avac´ıho krit´eria. (ii) Pochopitelnˇe nem˚ uˇze existovat ˇrada, kter´a by slouˇzila jako univerz´aln´ı majoranta (tj. ˇrada s vˇetˇs´ımi nebo rovn´ ymi ˇcleny) ˇci minoranta (tj. ˇrada s menˇs´ımi nebo rovn´ ymi ˇcleny) pro kaˇzdou ˇradu.
2.2
Limitn´ı srovn´ avac´ı krit´ erium
N´ asleduj´ıc´ı krit´erium srovn´av´a ˇcleny ˇrad v limitˇe. V d˚ ukazu se pouˇz´ıv´a pˇredchoz´ıho srovn´ avac´ıho krit´eria. Pro ˇcleny ˇrady, kter´e se ocitaj´ı ve jmenovateli, poˇzadujeme kladnost. Necht’ existuje limn→∞
an bn
= L ∈ h0, ∞) ∪ {∞}. Potom
X X L < ∞, bn konverguje ⇒ an konveguje; X X L > 0, bn diverguje ⇒ an diverguje.
2.3
Odmocninov´ e krit´ erium — Cauchyovo
N´ asleduj´ıc´ı krit´erium m´a dvˇe verze, nelimitn´ı a limitn´ı. D˚ ukaz je zaloˇzen na srovn´ an´ı zkouman´e ˇrady s jistou konverguj´ıc´ı geometrickou ˇradou, resp. na vyˇsetˇren´ı nutn´e podm´ınky konvergence. (i) Nelimitn´ı verze: √ n √ n
an ≤ q < 1 pro skoro vˇsechna n ∈ N ⇒
X
an konverguje;
an ≥ 1 pro nekoneˇcnˇe mnoho n ∈ N ⇒
X
an diverguje.
(ii) Limitn´ı verze: Necht’ existuje limn→∞
√ n
an = q ∈ h0, ∞) ∪ {∞}. Potom
q<1⇒
X
an konverguje;
q>1⇒
X
an diverguje.
Pozn´ amka . Nastane-li q = 1, nelze o konvergenci ˇrady t´ımto krit´eriem rozhodnout.
Kapitola 2
2.4
13
Pod´ılov´ e krit´ erium — d’Alembertovo
N´ asleduj´ıc´ı krit´erium je do velk´e m´ıry podobn´e pˇredchoz´ımu. M´a tak´e dvˇe verze, nelimitn´ı a limitn´ı. D˚ ukaz je opˇet zaloˇzen na srovn´an´ı zkouman´e ˇrady s jistou konverguj´ıc´ı geometrickou ˇradou, resp. na vyˇsetˇren´ı nutn´e podm´ınky konvergence. Zde pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze ˇcleny an jsou kladn´e. (i) Nelimitn´ı verze: X an+1 ≤ q < 1 pro skoro vˇsechna n ∈ N ⇒ an konverguje; an X an+1 ≥ 1 pro skoro vˇsechna n ∈ N ⇒ an diverguje. an (ii) Limitn´ı verze: Necht’ existuje limn→∞
an+1 an
= q ∈ h0, ∞) ∪ {∞}. Potom
q<1⇒
X
an konverguje;
q>1⇒
X
an diverguje.
Pozn´ amka . Nastane-li q = 1, nelze o konvergenci ˇrady t´ımto krit´eriem rozhodnout.
2.5
Srovn´ an´ı u ´ˇ cinnosti odmocninov´ eho a pod´ılov´ eho krit´ eria
Lze dok´ azat, ˇze odmocninov´e krit´erium je u ´ˇcinnˇejˇs´ı neˇz pod´ılov´e krit´erium. To plyne z toho, ˇze: • plat´ı n´ asleduj´ıc´ı nerovnosti lim inf n→∞
√ an+1 ≤ lim inf n an n→∞ an √ ≤ lim sup n an n→∞
≤ lim sup n→∞
an+1 ; an
• existuje ˇrada splˇ nuj´ıc´ı postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku pro konvergenci z odmocninov´eho krit´eria, avˇsak nikoliv z pod´ılov´eho krit´eria.
14
Kapitola 2
Zejm´ena plat´ı, ˇze m˚ uˇzeme-li o konvergenci (ˇci divergenci) rozhodnout pod´ılov´ ym krit´eriem, pak m˚ uˇzeme rozhodnout i odmocninov´ ym krit´eriem. ˇ adn´e z nich vˇsak nen´ı Existuje cel´ a ˇrada dalˇs´ıch (a jemnˇejˇs´ıch) krit´eri´ı. Z´ univerz´ aln´ı v tom smyslu, ˇze bychom podle nˇej mohli rozhodnout o konvergenci (divergenci) libovoln´e ˇrady.
2.6
Integr´ aln´ı krit´ erium
Vzhledem k definic´ım Riemannova integr´alu a nevlastn´ıho integr´alu na neomezen´em intervalu nen´ı pˇrekvapuj´ıc´ı, ˇze existuje u ´zk´a souvislost mezi nekoneˇcn´ ymi ˇradami a nevlastn´ımi integr´aly. Uvaˇzujme funkci f definovanou na h1, ∞), kter´a je zde nez´aporn´a a nerostouc´ı. D´ ale necht’ f (n) = an pro n ∈ N (pˇr´ıpadnˇe pro skoro vˇsechna n). Potom Z ∞ X an konverguje ⇔ f (x) dx. 1
Nakreslete si obr´ azek ilustruj´ıc´ı situaci napˇr. pˇri volbˇe an =
1 n.
Kapitola 3
(Ne)absolutnˇ e konvergentn´ı ˇ rady Nyn´ı se vr´ at´ıme k ˇrad´ am, kde ˇcleny mohou nab´ yvat libovoln´ ych re´aln´ ych (kladn´ ych i z´ aporn´ ych) hodnot. Zaˇcneme d˚ uleˇzit´ ym speci´aln´ım pˇr´ıpadem, kdy ˇcleny stˇr´ıdaj´ı znam´enka.
3.1
Alternuj´ıc´ı ˇ rady
P ˇ Rada an se naz´ yv´ a alternuj´ıc´ı, pr´avˇe kdyˇz plat´ı sgn an+1 = − sgn an pro vˇsechna n ∈ N. Vylouˇc´ıme-li ˇradu s nulov´ ymi ˇcleny, lze kaˇzdou alternuj´ıc´ı ˇradu ps´at ve tvaru ∞ X
(−1)n−1 an nebo
n=1
∞ X
(−1)n an ,
n=1
kde an > 0 pro vˇsechna n ∈ N. Jiˇz v´ıme, ˇze plat´ı nutn´ a podm´ınka konvergence. N´asleduj´ıc´ı tzv. Leibnizovo krit´erium tvrd´ı, ˇze za jist´ ych podm´ınek je pro alternuj´ıc´ı ˇrady i podm´ınkou postaˇcuj´ıc´ı. Necht’ {an } je nerostouc´ı posloupnost kladn´ ych ˇc´ısel. Potom ∞ X
(−1)n−1 an konverguje ⇔ lim an = 0. n→∞
n=1
15
16
Kapitola 3
Nebudeme prov´ adˇet detiln´ı d˚ ukaz tohoto krit´eria. Je vˇsak uˇziteˇcn´e popsat si z´ akladn´ı myˇslenku. Pokuste se i o jej´ı grafick´e zn´azornˇen´ı. Nejdˇr´ıve na ˇc´ıselnou osu naneseme s1 = a1 . Hodnotu s2 dostaneme odeˇcten´ım a2 , je tedy nalevo od s1 . K nalezen´ı s3 nyn´ı potˇrebujeme pˇriˇc´ıst a3 , kter´e je menˇs´ı neˇz a2 , a je tedy s3 mezi s1 a s2 . Pokraˇcujeme-li t´ımto zp˚ usobem, vid´ıme, ˇze posloupnost ˇc´ asteˇcn´ ych souˇct˚ u osciluje zpˇet a dopˇredu. Ponˇevadˇz an jde monotonnˇe k nule, ˇ asteˇcn´e souˇcty se sud´ kaˇzd´ y n´ asleduj´ıc´ı krok je menˇs´ı a menˇs´ı. C´ ym indexem jsou rostouc´ı a ˇc´ asteˇcn´e souˇcty s lich´ ym indexem jsou klesaj´ıc´ı. Nyn´ı jiˇz nen´ı tˇeˇzk´e uvˇeˇrit, ˇze oba konverguj´ı k ˇc´ıslu s, kter´e je souˇctem alternuj´ıc´ı ˇrady.
3.2
Absolutn´ı konvergence
S zit´ım pˇredchoz´ıho krit´eria nen´ı obt´ıˇzP n´e naj´ıt konvergentn´ı alternuj´ıc´ı ˇradu Ppouˇ ∞ ∞ n−1 an s an > 0 takovou, ˇze ete ji. Tato n=1 (−1) n=1 an diverguje; najdˇ skuteˇcnost n´ as m˚ uˇze motivovat k definici n´asleduj´ıc´ıch pojm˚ u. P P ˇ Rekneme, an konverguje absolutnˇe, jestliˇze konverguje |an |. P ˇze ˇrada P P Jestliˇze an konverguje a |an | diverguje, ˇr´ık´ame, ˇze ˇrada an konverguje neabsolutnˇe. P P Pozn´ amka . (i) Konvergence ˇrady |an | implikuje konvergenci ˇrady a . P n Skuteˇcnˇe, staˇc´ı si P uvˇedomit, ˇze plat´ı 0 ≤ an + |an | ≤ 2|an |. Jestliˇze |an | konverguje, pak i 2|a | konverguje a podle srovn´ a vac´ ıho krit´ e ria konverguje n P i (an + |an |). Potom X X X an = (an + |an |) − |an | je rozd´ıl dvou konvergentn´ıch ˇrad a proto je konvergentn´ı. Opak (tj., ˇze konP P vergence ˇrady an implikuje konvergenci ˇrady |an |) vˇsak obecnˇe neplat´ı ; najdˇete vhodn´ y protipˇr´ıklad. (ii) Pˇri urˇ an´ı absolutn´ı konvergence lze pouˇz´ıt krit´eria z pˇredchoz´ı kapiPcov´ toly, nebot’ |an | m´ a nez´aporn´e ˇcleny. Existuj´ı i krit´eria konvergence pro ˇrady s libovoln´ ymi ˇcleny. Ty vˇsak prob´ırat nebudeme.
3.3
Pˇ rerovn´ av´ an´ı ˇ rad
Jak jsme jiˇz dˇr´ıve naznaˇcili, pro platnost analogie komutativn´ıho z´akona nestaˇc´ı pouh´ a konvergence. Tou spr´avnou vlastnost´ı je aˇz absolutn´ı konvergence. NejP dˇr´ıve si vˇsak vysvˇetl´ıme, co m´ame na mysli tzv. pˇrerovn´ an´ım ˇrady an . Je to ˇrada X akn , kde {kn } je permutace mnoˇziny N. Plat´ı n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı.
Kapitola 3
17
P Jestliˇze aP e, pak absolutnˇe konverguje i ˇrada n konvergujePabsolutnˇ P pˇrerovnan´ a akn a plat´ı akn = an . Velmi zaj´ımavˇe se pˇri pˇrerovn´ av´an´ı chovaj´ı neabsolutnˇe konvegrentn´ı ˇrady. Tzv. Riemannova vˇeta (jej´ıˇz d˚ ukaz je jiˇz trochu pracnˇejˇs´ı) n´am ˇr´ık´a, ˇze tyto ˇrady jsou vzhledem k pˇrerovn´ av´ an´ı znaˇcnˇe labiln´ı.“ ” P Necht’ an je neabsolutnˇ eP konvergentn´ P P ıas∈R Pje libovoln´e. Potom existuj´ı takov´ a pˇrerovn´ an´ı akn , apn , aqn ˇrady an , ˇze P • a = s; P kn • a urˇcitˇe diverguje; P pn • aqn osciluje.
18
Kapitola 3
Kapitola 4
Numerick´ e aspekty souˇ ctu ˇ rad Jak jsme se jiˇz zm´ınili, pˇresn´e urˇcen´ı souˇctu konvergentn´ı ˇrady m˚ uˇze b´ yt velmi obt´ıˇzn´ y probl´em. Situace se vˇsak m˚ uˇze zjednoduˇsit, pouˇzijeme-li numerick´ y ” pˇr´ıstup“, kdy n´ am staˇc´ı nal´ezt souˇcet alespoˇ n pˇribliˇznˇe — ovˇsem pˇri zachov´an´ı jist´e pˇresnosti — za pomoc´ı koneˇcn´eho poˇctu ˇclen˚ u, pˇriˇcemˇz se snaˇz´ıme urˇcit velikost chyby. Tato myˇ s lenka je zaloˇ z ena na skuteˇ c nosti, ˇze souˇcet konvergentn´ı P∞ ˇrady s = n=1 an lze ps´ at ve tvaru s = sn + Rn , kde sn = a1 +a2 +· · ·+an je n-t´ y ˇc´ asteˇcn´ y souˇcet ˇrady a Rn = an+1 +an+2 +· · · je tzv. zbytek po n-t´em ˇclenu. Ponˇevadˇz Rn vlastnˇe ud´av´a velikost chyby, prim´arnˇe n´ am p˚ ujde o nalezen´ı odhad˚ u pro velikost zbytku |Rn |. To provedeme pro tˇri speci´ aln´ı typy ˇrad. Aplikace budou zm´ınˇeny v kapitole o mocninn´ ych ˇrad´ach, pˇredevˇs´ım pˇri pˇribliˇzn´em vyjadˇrov´an´ı funkˇcn´ıch hodnot a integr´al˚ u.
4.1
Odhad souˇ ctu alternuj´ıc´ı ˇ rady
Necht’ {an } je nerostouc´ı posloupnost kladn´ ych ˇc´ısel takov´a, ˇze limn→∞ an = 0. Potom plat´ı |Rn | < an+1 .
V d˚ ukazu hraje d˚ uleˇzitou roli (dˇr´ıve zm´ınˇen´a) Leibnizova vˇeta a jej´ı d˚ ukaz. 19
20
4.2
Kapitola 4
Odhad souˇ ctu pomoc´ı geometrick´ eˇ rady
Necht’
P
an je ˇc´ıseln´a ˇrada, pro kterou plat´ı an+1 an ≤ q < 1pro vˇsechna n ∈ N.
Potom |Rn | ≤ |an |
q . 1−q
D˚ ukaz je zaloˇzen na n´asleduj´ıc´ıch vztaz´ıch ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X q k q k = |an | |an |q = |an |q |an+k | ≤ an+k ≤ , |Rn | = 1−q k=1
k=1
k=1
k=0
kde nerovnost |an+k | ≤ |an |q k lze indukc´ı odvodit z pˇredpokladu.
4.3
Integr´ aln´ı odhad
P Necht’ an je konvergentn´ı ˇrada s nez´aporn´ ymi ˇcleny a an = f (n), kde f je nez´ aporn´ a a nerostouc´ı funkce na intervalu [1, ∞). Potom Z ∞ Rn ≤ f (x) dx. n
R n+1 V d˚ ukazu hraje d˚ uleˇzitou roli nerovnost an+1 ≤ n f (x) dx. Cel´a situace m´ a t´eˇz n´ azornou geometrickou interpretaci. Pokuste se ji zobrazit napˇr. pro posloupnost an = n12 .
Kapitola 5
Funkˇ cn´ı posloupnosti a ˇ rady V t´eto kapitole se budeme vˇenovat objekt˚ um, kter´e lze ch´apat jako jist´e zobecnˇen´ı ˇc´ıseln´ ych posloupnost´ı a ˇrad. Nyn´ı m´ısto posloupnosti ˇc´ısel uvaˇzujeme posloupnost re´ aln´ ych funkc´ı {fn (x)} definovan´ ych na nˇejak´e mnoˇzinˇe, napˇr. intervalu I. Mluv´ıme pak o funkˇcn´ı posloupnosti nebo posloupnosti funkc´ı. Tedy je to zobrazen´ı, kter´e kaˇzd´emu n ∈ N pˇriˇrad´ı funkci fn : I → R. Chceme-li popsat intuitivn´ı pˇredstavu posloupnosti {fn (x)} bl´ıˇz´ıc´ı se k nˇejak´e funkci f (x), nab´ız´ı se vyuˇz´ıt´ı faktu, ˇze pˇri zafixovan´em x0 ∈ I je {fn (x0 )} ˇc´ıselnou posloupnost´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze tato konverguje, jej´ı limita bude funkˇcn´ı hodnotou limitn´ı funkce v x0 . Tzv. bodovou konvergenci zav´ ad´ıme takto: Funkˇcn´ı posloupnost {fn (x)} bodovˇe konverguje k funkci f na intervalu I, jestliˇze konverguje v kaˇzd´em bodˇe x ∈ I (tj. pro kaˇzd´e x ∈ I konverguje ˇc´ıseln´ a posloupnost {fn (x)}). P´ıˇseme limn→∞ fn (x) = f (x) na I nebo fn → f na I. Uvaˇzujeme-li {fn (x)} definovanou na intervalu I, potom symbol ∞ X
fn (x) = f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x) + · · ·
n=1
naz´ yv´ ame nekoneˇcnou ˇradou funkc´ı (nebo funkˇcn´ı ˇradou). T´ımto symbolem m´ ame vlastnˇe na mysli tzv. posloupnost ˇc´ asteˇcn´ych souˇct˚ u {sn (x)}, kde sn (x) = f1 (x) + · · · + fn (x), n ∈ N. P∞ Bodovou konvergenci funkˇcn´ı ˇrady n=1 fn (x) na intervalu I (zcela v souladu s oˇcek´ av´ an´ım) definujeme jako bodovou konvergenci posloupnosti ˇc´ asteˇcP n´ ych souˇct˚ u na I; funkci s(x) = limn→∞ sn (x) pak naz´ yv´ame souˇctem ∞ ˇrady n=1 fn (x).
21
22
Kapitola 5
Bodov´ a konvergence posloupnosti funkc´ı, resp. ˇrady funkc´ı, pochopitelnˇe z´ avis´ı na intervalu, na kter´em konvergenci vyˇsetˇrujeme. Nejvˇetˇs´ı mnoˇzinu (vzhledem k mnoˇzinov´e inkluzi), na n´ıˇz posloupnost funkc´ı, resp. ˇrada funkc´ı, bodovˇe konverguje, naz´ yv´ame oborem konvergence poslounosti funkc´ı, resp. ˇrady funkc´ı. Bodov´ a konvergence m´a bohuˇzel ten nedostatek, ˇze obecnˇe nepˇren´aˇs´ı nˇekter´e d˚ uleˇzit´e vlastnosti funkc´ı na jejich limitu, resp. souˇcet. Typick´ ym pˇr´ıkladem je posloupnost {xn }, kter´a bodovˇe konverguje na intervalu h0, 1i. Sami si urˇcete f (x) = limn→∞ xn a vˇsimnˇete si, ˇze zat´ımco xn jsou funkce spojit´e na h0, 1i pro kaˇzd´e n ∈ N, tak limitn´ı funkce f (x) tuto vlastnost nem´a. Podobnˇe nelze napˇr. tvrdit, ˇze je moˇzn´e beztrestnˇe“ zamˇen ˇovat poˇrad´ı integrace a limity, pˇr´ıp. ” derivace a limity, pˇr´ıp. integrace a sumace, pˇr´ıp. derivace a sumace. T´ımto jsme z´ıskali dobrou motivaci k zaveden´ı silnˇejˇs´ıho typu konvergence, totiˇz tzv. stejnomˇern´e konvergence. ˇ Rekneme, ˇze posloupnost funkc´ı {fn (x)} konverguje stejnomˇernˇe k funkci f (x) na intervalu I, jestliˇze pro kaˇzd´e ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, ˇze pro vˇsechna n ∈ N, n ≥ n0 , a vˇsechna x ∈ I plat´ı |fn (x) − f (x)| < ε. P´ıˇseme fn ⇒ f na I. Chceme-li prov´est srovn´an´ı bodov´e a stejnomˇern´e konvergence, je rozumn´e nejdˇr´ıve pˇreformulovat jejich definice do n´asleduj´ıc´ıho tvaru: ◦ Bodov´ a konvergence (fn → f na I): (∀x ∈ I)(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 )(|fn (x) − f (x)| < ε). ◦ Stejnomˇern´ a konvergence (fn ⇒ f na I): (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀x ∈ I)(∀n ≥ n0 )(|fn (x) − f (x)| < ε). Vˇsimnˇete si, jak se pouze“ zmˇenilo poˇrad´ı kvantifik´ator˚ u. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe ” n0 z´ avis´ı na ε a x, kdeˇzto v druh´em pˇr´ıpadˇe je n0 z´avisl´e pouze na ε. Odtud pˇr´ımo plyne fn ⇒ f na I ⇒ fn → f na I. Opaˇcn´ a implikace vˇsak neplat´ı. Pokuste se t´eˇz o geometrick´e zn´azornˇen´ı bodov´e resp. stejnomˇern´e konvergence. Zejm´ena si vˇsimnˇete, ˇze v pˇr´ıpadˇe stejnomˇern´e konvergence od jist´eho indexu n0 vˇsechny dalˇs´ı ˇcleny posloupnosti leˇz´ı v ep” silonov´em p´ asu“, tj. mezi grafy funkc´ı f + ε a f − ε na I; tohle nem˚ uˇze b´ yt n evidentnˇe splnˇeno napˇr. u posloupnosti {xP } na h0, 1i. ∞ Stejnomˇernou konvergenci ˇrady funkc´ı n=1 fn (x) na I definujeme (v souladu s oˇcek´ av´ an´ım) jako stejnomˇernou konvergenci posloupnosti jejich ˇc´asteˇcn´ ych souˇct˚ u.
Kapitola 5
5.1
23
Krit´ eria stejnomˇ ern´ e konvergence
Je velmi jednoduch´e vysledovat n´ asleduj´ıc´ı nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku; jde vlastnˇe o upraven´ y pˇrepis definice“. ” Necht’ {fn (x)} je posloupnost funkc´ı na I a an = sup{|fn (x) − f (x)| : x ∈ I}. Potom plat´ı fn ⇒ f na I
⇔
lim an = 0.
n→∞
N´ asleduj´ıc´ı (tzv. Weierstrassovo krit´erium) umoˇzn ˇuje pomˇernˇe snadnou detekci stejnomˇern´e konvergence funkˇcn´ı ˇrady za pˇredpokladu, ˇze pˇr´ısluˇsnou funkˇcn´ı posloupnost lze odhadnout vhodnou ˇc´ıselnou posloupnost´ı. Necht’ {fn (x)} je posloupnost funkc´ı na P I. D´ale necht’ existuje posloupnost nez´ aporn´ ych ˇc´ısel {an } takov´ a, ˇze ˇrada an konverguje a plat´ı |fn (x)| ≤ an Potom
P
pro vˇsechna x ∈ I a n ∈ N.
fn (x) konverguje stejnomˇernˇe na intervalu I.
Existuj´ı i dalˇs´ı (silnˇejˇs´ı, avˇsak komplikovanˇejˇs´ı) krit´eria pro zjiˇst’ov´an´ı stejnomˇern´e konvergence ˇrad, kter´e si vˇsak nebudeme uv´adˇet.
5.2
Vlastnosti stejnomˇ ernˇ e konvergentn´ıch posloupnost´ı a ˇ rad funkc´ı
Jak jiˇz bylo naznaˇceno v´ yˇse, pˇri bodov´e konvergenci funkˇcn´ı posloupnosti resp. ˇrady se na limitn´ı funkci resp. souˇcet nemusej´ı pˇren´aˇset nˇekter´e d˚ uleˇzit´e vlastnosti. Stejnomˇern´ a konvergence tento nedostatek ponˇekud napravuje. D˚ uleˇzit´e vlastnosti stejnomˇernˇe konvergentn´ıch funkˇcn´ıch posloupnost´ı jsou shrnuty v n´ asleduj´ıc´ım tvrzen´ı. ◦ Jestliˇze fn ⇒ f na I a fn (x) jsou spojit´e na I, potom je i f (x) spojit´a na I. ◦ Jestliˇze fn ⇒ f na ha, bi a fn (x) jsou integrovateln´e na ha, bi, potom je i f (x) integrovateln´ a na ha, bi a plat´ı Z b Z b Z b f (x) dx = lim fn (x) dx = lim fn (x) dx. a
a
n→∞
n→∞
a
24
Kapitola 5
◦ Bud’ {fn (x)} posloupnost funkc´ı, kter´e maj´ı na otevˇren´em intervalu I derivaci. Necht’ {fn (x)} konverguje na I a {fn0 (x)} stejnomˇernˇe konveguje na I. Pak funkce f (x) = limn→∞ fn (x) m´a na I derivaci a plat´ı f 0 (x) =
lim fn (x)
0
n→∞
= lim fn0 (x). n→∞
Nyn´ı zformulujeme analogick´a tvrzen´ı pro stejnomˇernˇe konvergentn´ı funkˇcn´ı ˇrady. P ◦ Jestliˇze fn (x) jsou spojit´e na I, ˇrada fn (x) konverguje stejnomˇernˇe na I a m´ a souˇcet s(x), potom je i s(x) spojit´a na I. P ◦ Jestliˇze fn (x) jsou integrovateln´e na ha, bi, fn (x) stejnomˇernˇe konverguje na ha, bi a m´ a souˇcet s(x), potom je i s(x) integrovateln´a na ha, bi a plat´ı ! Z b Z b X ∞ ∞ Z b X s(x) dx = fn (x) dx = fn (x) dx. a
a
n=1
n=1
a
◦ Bud’ {fn (x)}Pposloupnost funkc´ı, kter´e P maj´ı na otevˇren´em intervalu I derivaci. Necht’ fn (x) konverguje na I a fn0 (x) stejnomˇernˇe konveguje P na I. Pak funkce s(x) = fn (x) m´a na I derivaci a plat´ı 0
s (x) =
∞ X n=1
!0 fn (x)
=
∞ X n=1
fn0 (x).
Kapitola 6
Mocninn´ eˇ rady Velmi d˚ uleˇzit´ ym pˇr´ıpadem funkˇcn´ı ˇrady je tzv. mocninn´a ˇrada. Bud’ {an } posloupnost re´ aln´ ych ˇc´ısel, x0 libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo. Mocninnou ˇradou (nebo t´eˇz potenˇcn´ı ˇradou) se stˇredem v bodˇe x0 a koeficienty an rozum´ıme ˇradu funkc´ı tvaru ∞ X
an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · · + an (x − x0 )n + · · · .
n=0
Bez u ´jmy na obecnosti lze pˇredpokl´adat, ˇze stˇredem mocninn´e ˇrady je poˇc´atek, tedy ˇc´ıslo 0. Na tento pˇr´ıpad lze totiˇz snadno pˇrev´est jakoukoliv ˇradu se stˇredem v x0 pomoc´ı substituce y = x − x0 . Jak uvid´ıme v n´ asleduj´ıch u ´vah´ach, oborem konvergence mocninn´e ˇrady mohou b´ yt pouze mnoˇziny jednoduch´ ukaz peho“ tvaru. Zaˇcnˇeme s tvrzen´ım, jehoˇz d˚ ” — v pˇr´ıpadˇe existence limn→∞ n |an | — vyuˇ z ´ ıv´ a odmocninov´ e ho krit´ e ria k P vyˇsetˇren´ı absolutn´ı konvergence ˇc´ıseln´e ˇrady cn , kde cn = an xn . My sice n´ıˇze m´ ame ponˇekud slabˇs´ı pˇredpoklad, ovˇsem d˚ ukaz by byl obdobn´ y. Uvaˇzujme mocninnou ˇradu
an xn . Necht’ p a = lim sup n |an |.
P
n→∞
◦ Jestliˇze a = 0, potom ˇrada absolutnˇe konverguje pro vˇsechna x ∈ R; ˇr´ık´ ame, ˇze ˇrada vˇzdy konverguje. ◦ Jestliˇze a = ∞, potom ˇrada diverguje pro vˇsechna x 6= 0; ˇr´ık´ame, ˇze ˇrada vˇzdy diverguje. ◦ Jestliˇze 0 < a < ∞, potom ˇrada absolutnˇe konverguje pro |x| < 1/a a diverguje pro |x| > 1/a.
25
26
Kapitola 6
Vzhledem k pr´ avˇe uveden´emu tvrzen´ı zav´ad´ıme tzv. polomˇer konvergence r n´ asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: ∞ pro a = 0, r = 0 pro a = ∞, 1 pro a ∈ (0, ∞). a O polomˇeru konvergence hovoˇr´ıme zvl´aˇstˇe v tom tˇret´ım (jaksi smysluplnˇejˇs´ım) pˇr´ıpadˇe, pro nˇejˇz m´ ame nˇekolik dalˇs´ıch pozn´amek. Interval (−r, r) naz´ yv´ame konvergenˇcn´ı interval. Chov´an´ı ˇrady v krajn´ıch bodech konvergenˇcn´ıho intervalu je tˇreba vyˇsetˇrit zvl´aˇst’, protoˇze z´avis´ı na tvaru mocninn´e ˇrady. Jin´ ymi slovy, nelze obecnˇe ˇr´ıci, zda v tˇechto bodech ˇrada konverguje ˇci diverguje. Oborem konvergence mocninn´e ˇrady (kter´a vˇzdy nekonverguje), je proto konvergenˇcn´ı interval s pˇr´ıpadn´ ymi jeho krajn´ımi body, pokud v nich ˇrada konverguje. p P Jestliˇze existuje limn→∞ n |an | = a, pak m´a mocninn´a ˇrada an xn polomˇer konvergence 1 p r= , limn→∞ n |an | pˇriˇcemˇz klademe r = ∞, je-li a = 0, a r = 0, je-li a = ∞. Ze vztah˚ ych v Odstavci 2.5 plyne, ˇze v pˇr´ıpadˇe existence limity u uveden´ plat´ ı limn→∞ aan+1 n an . r = lim n→∞ an+1
6.1
Vlastnosti mocninn´ ych ˇ rad
Jak jsme jiˇz dˇr´ıve vidˇeli, kl´ıˇcovou roli u funkcion´aln´ıch ˇrad hraje stejnomˇern´a konvergence. D´ıky speci´aln´ımu tvaru mocninn´e ˇrady je situace u mocninn´ ych ˇrad pomˇernˇe jednoduch´a. Pˇrednˇe plat´ı: P Jestliˇze r > 0 je polomˇer konvergence ˇrady an xn , pak tato ˇrada stejnomˇernˇe konverguje na kaˇzd´em uzavˇren´em podintervalu h−R, Ri intervalu (−r, r).
ˇze
D˚ usledkem tohoto faktu jsou n´asleduj´ıc´ı vlastnosti (vˇsude pˇredpokl´ad´ame, P an xn m´ a polomˇer konvergence r > 0). ◦ Souˇcet ˇrady je spojit´a funkce na intervalu (−r, r). ◦ Pro vˇsechna x ∈ (−r, r) plat´ı ! Z x X ∞ ∞ Z ∞ ∞ X X xn+1 n an t dt = an tn dt = an , n+1 0 n=0 n=0 0 n=0
Kapitola 6
27
pˇriˇcemˇz mocninn´ a ˇrada na prav´e stranˇe m´a stejn´ y polomˇer konvergence r. ◦ Pro libovoln´ y interval ha, bi ⊂ (−r, r) plat´ı ! Z b X ∞ ∞ Z b ∞ ∞ X X X bn+1 an+1 n an x dx = an xn dx = an − . an n + 1 n=0 n + 1 a n=0 n=0 a n=0 ◦ Pro vˇsechna x ∈ (−r, r) plat´ı ∞ X
!0 an x
n
=
n=0
∞ X
n
0
(an x dx) =
n=0
∞ X
nan xn−1 ,
n=0
pˇriˇcemˇz mocninn´ a ˇrada na prav´e stranˇe m´a stejn´ y polomˇer konvergence r.
6.2
Taylorova ˇ rada
Pˇredchoz´ı u ´vahy lze mimo jin´e velmi efektivnˇe vyuˇz´ıt pˇri ˇreˇsen´ı u ´lohy typu: Je d´ ana mocninn´a ˇrada. Urˇcete jej´ı souˇcet.“ ” Nyn´ı se budeme zab´ yvat u ´lohou opaˇcnou: Je d´ ana funkce. Rozviˇ nte ji do mocninn´e ˇrady.“ ” T´eˇz uvid´ıme, ˇze tato teorie m´ a ˇcetn´e aplikace. Nejdˇr´ıve pˇripomeˇ nme jeden z d˚ uleˇzit´ ych v´ ysledk˚ u diferenci´aln´ıho poˇctu (tzv. Taylorovu vˇetu). Jestliˇze funkce f m´a derivace aˇz do ˇr´adu n + 1 v intervalu I = hx, x0 i nebo v I = hx0 , xi, potom f (x) =
∞ X f (n) (x0 ) (x − x0 )n + Rn (x), n! n=0
(6.1)
kde Rn je tzv. Taylor˚ uv zbytek, kter´ y lze vyj´adˇrit napˇr. jako Rn (x) =
(x − x0 )(n+1) (n+1) f (ξ), (n + 1)!
kde ξ ∈ I, x 6= ξ 6= x0 . Je zde pouˇzita obvykl´a konvence f (0) = f a 0! = 1. V´ yraz v (6.1) n´ as motivuje k definici tzv. Taylorovy ˇrady. Necht’ funkce f m´ a v bodˇe x0 derivace vˇsech ˇr´ad˚ u. Mocninnou ˇradu ∞ X f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! n=0
naz´ yv´ ame Taylorovou ˇradou funkce f v bodˇe x0 . Je-li x0 = 0, pak hovoˇr´ıme o Maclaurinovˇe ˇradˇe.
28
Kapitola 6 O Taylorovˇe ˇradˇe funkce f plat´ı n´asleduj´ıc´ı d˚ uleˇzit´a sledov´an´ı.
◦ Obecnˇe nemus´ı platit, ˇze souˇcet Taylorovy ˇrady funkce f je roven t´eto funkci. Jak vˇsak d´ ale uvid´ıme, existuj´ı podm´ınky, za kter´ ych rovnost plat´ı. ◦ Nutn´ a a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka. Vzhledem k tomu, ˇze Taylor˚ uv polynom lze ch´ apat jako n-t´ y ˇc´ asteˇcn´ y souˇcet, neboli jako rozd´ıl f (x) − Rn (x), je n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı evidentn´ı. Pˇredpokl´adejme, ˇze funkce f m´a v bodˇe x0 derivace vˇsech ˇr´ ad˚ u. Pak plat´ı rovnost f (x) =
∞ X f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! n=0
(6.2)
na intervalu I obsahuj´ıc´ım bod x0 pr´avˇe tehdy, kdyˇz pro posloupnost {Rn (x)} Taylorov´ ych zbytk˚ u plat´ı lim Rn (x)
n→∞
pro vˇsechna x ∈ I. ◦ D´ ale se d´ a uk´ azat, ˇze lze-li funkci f na nˇejak´em intervalu, jehoˇz vnitˇrn´ım bodem je x0 , rozv´est do mocninn´e ˇrady se stˇredem x0 , pak je takov´ y rozvoj y a je souˇcasnˇe Taylorov´ ym rozvojem funkce f . pouze jedin´ ◦
Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka. Pˇredpokl´adejme, ˇze funkce f m´a na otevˇren´em in-
tervalu I derivace vˇsech ˇr´ad˚ u a existuje k ∈ (0, ∞) tak, ˇze |f (n) (x)| ≤ k pro vˇsechna n ∈ N a vˇsechna x ∈ I (tzv. stejnomˇern´a ohraniˇcenost posloupnosti {f (n) }). Potom Taylorova ˇrada funkce f v libovoln´em bodˇe x0 ∈ I konverguje k f , tj. plat´ı (6.2). D˚ ukaz je snadn´ y: m´ame odhad |Rn (x)| ≤
k |x − x0 |n+1 (n + 1)!
(tato nerovnost b´ yv´ a nˇekdy naz´ yv´ana Taylorovou nerovnost´ı a m˚ uˇze m´ıt znaˇcn´e ˇ vyuˇzit´ı napˇr. pˇri aproximaci funkc´ı). Rada sestaven´a z posloupnosti na prav´e stranˇe odhadu konverguje (ovˇeˇrte napˇr. pod´ılov´ ym krit´eriem). D´ıky nutn´e podm´ınce konvergence ˇc´ıseln´e ˇrady pak tato posloupnost jde v limitˇe do nuly a jde tedy do nuly i posloupnost Taylorov´ ych zbytk˚ u. Nyn´ı si uved’me, jak vypadaj´ı Maclaurinovy rozvoje nˇekter´ ych element´arn´ıch funkc´ı. Odvozen´ı si jako cviˇcen´ı proved’te sami. Z´aroveˇ n si uvˇedomte, ˇze zde vlastnˇe m´ ame alternativn´ı definice zn´am´ ych funkc´ı, nyn´ı pomoc´ı polynom˚ u nekoneˇc”
Kapitola 6
29
n´ ych stupˇ n˚ u“. ex = sin x = cos x = ln(1 + x) = (1 + x)a =
∞ X xn , n! n=0 ∞ X
(−1)n
n=0 ∞ X
(−1)n
n=0 ∞ X
x2n+1 , (2n + 1)! x2n , (2n)!
(−1)n+1
n=1 ∞ X n=0
kde a ∈ R a
x ∈ R,
a n x , n
xn , n
x ∈ R,
x ∈ R, x ∈ (−1, 1],
x ∈ (−1, 1),
a a(a − 1)(a − 2) · · · (a − n + 1) = n! n
ˇ je binomick´y koeficient. Rada z posledn´ıho rozvoje se naz´ yv´a binomick´ a ˇrada. Jej´ım speci´ aln´ım pˇr´ıpadem (pro a = n ∈ N) je zn´am´a binomick´ a vˇeta n n 2 n n n (1 + x) = 1 + x+ x + ··· + x , 1 2 n kde se binomick´e koeficienty redukuj´ı na zn´am´a kombinaˇcn´ı ˇc´ısla. Pˇri volbˇe k a = −1 dost´ av´ ame −1 = (−1) a binomick´a ˇrada se st´av´a geometrickou ˇradou. k
6.3
Aplikace mocninn´ ych ˇ rad
Pouˇzit´ı teorie mocninn´ ych ˇrad je velmi ˇsirok´e, napˇr.: pˇribliˇzn´ y v´ ypoˇcet funkˇcn´ıch hodnot, pˇribliˇzn´ y v´ ypoˇcet integr´ al˚ u, v´ ypoˇcet limit, ˇci ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic. My zde struˇcnˇe naznaˇc´ıme alespoˇ n prvn´ı dvˇe z tˇechto aplikac´ı. Pˇribliˇzn´ y v´ ypoˇcet funkˇcn´ıch hodnot. Napˇr. chtˇejme spoˇc´ıst ln 2 s chybou men−5 ˇs´ı neˇz 10 . Teorie mocninn´ ych ˇrad n´am umoˇzn ˇuje, abychom k tomu pouˇzili pouze koneˇcn´ y poˇcet dat a pouze standardn´ı aritmetick´e operace, coˇz je z numerick´eho hlediska kl´ıˇcov´e. Pˇripomeˇ nme, ˇze mocninnou ˇradu lze totiˇz ch´apat jako polynom nekoneˇcn´eho stupnˇe.“ Nejprve pouˇzijeme rozvoj funkce ln(1 + x), kde ” klademe x = 1. Potom ln 2 = 1 −
1 1 1 + − + ··· 2 3 4
1 a podle Odstavce 4.2 je chyba |Rn | < n+1 . Je tedy potˇreba seˇc´ıst aspoˇ n 100 000 ˇclen˚ u t´eto ˇrady, abychom dos´ ahli poˇzadovan´e pˇresnosti. Nyn´ı pouˇzijeme rozvoj
30
Kapitola 6
1+x funkce ln 1−x . Uvˇedom´ıme-li si, ˇze
ln
1+x = ln(1 + x) − ln(1 − x), 1−x
je snadn´e odvodit ∞ X 1+x x2n−1 ln =2 , 1−x 2n − 1 n=1
x ∈ (−1, 1). Chceme-li poˇc´ıtat ln 2, pak je tˇreba zvolit x = 13 . Pro odhad chyby pouˇzijeme tvrzen´ı z Odstavce 4.3, podle nˇehoˇz an+1 q ≤ q < 1. < 10−5 , kde |Rn | ≤ |an | 1−q an Hodnota q zde z´ avis´ı na x a ponˇevadˇz plat´ı an+1 2n + 1 = x2 ≤ x2 pro n ∈ N, an 2n + 3 pro pˇr´ıpad x = 13 tedy vezmeme q = 19 . Snadno pak jiˇz lze ovˇeˇrit, ˇze |R5 | < 10−5 , a proto staˇc´ı vz´ıt pro poˇzadovanou pˇresnost prvn´ıch pˇet ˇclen˚ u. Z uveden´eho pˇr´ıkladu vid´ıme, ˇze pro v´ ypoˇcet funkˇcn´ıch hodnot lze pouˇz´ıt v´ıce pˇr´ıstup˚ u, pˇriˇcemˇz nˇekter´e z nich mohou b´ yt podstatnˇe v´ yhodnˇejˇs´ı. V´ yhoda druh´eho pˇr´ıstupu v tomto pˇr´ıpadˇe spoˇc´ıv´a d´ale v tom, ˇze jej lze pouˇz´ıt tak´e tehdy, kdyˇz hodnota x pˇres´ ahne konvergenˇcn´ı interval, napˇr. x = 5. Pˇripomeˇ nme, ˇze ln(1 + x) um´ıme rozvinout pouze pro x ∈ (−1, 1]. Argument funkce logaritmus v 1+x ln 1−x vˇsak m˚ uˇze nab´ yvat libovoln´e (kladn´e) hodnoty, pˇriˇcemˇz x st´ale splˇ nuje poˇzadovan´e omezen´ı. Promyslete si to a doplˇ nte detaily u vˇsech pˇredchoz´ıch u ´vah v tomto pˇr´ıkladu. D´ ale se pokuste o nˇejak´e vhodn´e pˇribliˇzn´e vyj´adˇren´ı ˇc´ısla π. Pˇribliˇzn´ y v´ ypoˇcet integr´al˚ u. Jiˇz dˇr´ıve jsme vidˇeli, ˇze v´ ypoˇcet urˇcit´ ych integr´al˚ u (coˇz v naˇsem pˇr´ıpadˇe v podstatˇe vˇzdy znamenalo nalezen´ı primitivn´ı funkce k integrandu a dosazen´ı mez´ı) m˚ uˇze b´ yt u ´loha znaˇcnˇe netrivi´aln´ı, ˇci v jist´em smyslu dokonce nemoˇzn´a (v pˇr´ıpadˇe tzv. vyˇsˇs´ıch transcendentn´ıch funkc´ı). ı prvn´ıch tˇr´ı ˇclen˚ u pˇr´ısluˇsn´eho rozvoje chceme pˇribliˇznˇe vypoˇc´ıst napˇr. R −x R 1 Pomoc´ 2 −x2 dx a odhadnout chybu. Poznamenejme, ˇ z e e dx je vyˇsˇs´ı transcene 0 dentn´ı funkce. Postupujeme takto: 2
• Nap´ıˇseme si Maclaurin˚ uv rozvoj funkce e−x , coˇz lze uˇcinit velmi snadno, pˇr´ımo z v´ yˇse uveden´eho rozvoje funkce ex . R x −t2 uˇzeme (d´ıky stejnomˇern´e konvergenci) • Integr´ al 0 e dt, kde x ∈ R, m˚ ps´ at jako ˇradu, kde jsme ˇclen po ˇclenu integrovali p˚ uvodn´ı rozvoj a dostaneme: Z x ∞ X 2 x2n+1 e−t dt = (−1)n . (2n + 1) · n! 0 n=0
Kapitola 6
31
• Urˇcit´ y integr´ al pak lze vyj´ adˇrit ˇradou z pˇredchoz´ıho bodu, kde klademe x = 1. • Ponˇevadˇz se jedn´ a o alternuj´ıc´ı ˇradu s klesaj´ıc´ımi ˇcleny, podle Odstavce 4.2 plat´ı, ˇze velikost chyby pˇri souˇctu prvn´ıch tˇr´ı ˇclen˚ u je menˇs´ı neˇz absolutn´ı 1 . hodnota ˇctvrt´eho ˇclenu, tj. |R3 | < 7·3! • Pˇribliˇzn´ a hodnota integr´ alu Z 1 2 1 1 . . e−x dx = 1 − + = 0, 77 3 10 0 je urˇcena s chybou menˇs´ı neˇz 0, 03 (nebot’ Doplˇ nte si vˇsechny detaily v´ ypoˇctu.
1 7·3!
< 0, 03).
32
Kapitola 6
Literatura [1] Z. Doˇsl´ a, V. Nov´ ak, Nekoneˇcn´e ˇrady, skripta PˇrF MU Brno 1998. [2] L.E. Garner, Calculus and Analytic Geometry, Dellen Publ. Comp., 1988. [3] L. Kosm´ ak, Z´ aklady matematickej anal´ yzy, Alfa SNTL 1984. [4] J. Stewart, Calculus, Concepts and Contexts, Brooks/Cole Pub Co., 2000. ˇ at, Nekoneˇcn´e rady, Academia 1974. [5] T. Sal´
33