Verhoudingen van vermogens, spanningen, stromen, geluidsdruk worden in de elektronica vaak in decibels uitgedrukt

Nepers, Bels en decibels, dB rekening 1 Inleiding Verhoudingen van vermogens, spanningen, stromen, geluidsdruk worden in de elektronica vaak in decibels uitgedrukt. Als we dB uitzetten in een assenstelsel dan is de dB schaal logaritmisch. De dB is steeds een logaritme van een verhouding Wat is nu een logaritme?

2 Definitie van logaritme De logaritme bij grondtal a van een getal x, is die macht waartoe a verheven moet worden om x te krijgen. De logaritme is de omgekeerde bewerking van machtsverheffen: a

log( x)  y  a y  x

waarin a : het grondtal x : het getal waarvan we de logaritme nemen y : de logaritme van het getal x Voorbeeld 10 log(1000)  3  10 3  1000 Voor de natuurlijk e logaritme met grondtal 2,82 wordt dit ln(10)  2,302  2,7182 2,302  10 Opdracht: test dit op uw rekenmachine met enkele voorbeelden. In de dB rekening werken we bijna uitsluitend met logaritmen met het grondtal 10. Enkel als je nepers tegenkomt dan is er gewerkt met de natuurlijke logaritme (grondtal 2,82) Zetten we y= 10log(x) in de verticale as en x in de horizontale as dan krijgt de curve volgend verloop.

Nepers, Bels en decibels

1/16

LM

Grafiek van de logaritme met grondtal 10 als functie van x. Let op: aan de linkerzijde van de grafiek heeft de logaritme een asymptoot naar -oneindig als x zeer klein wordt.

2.1 Ordegrootte en logaritmes De logaritme geeft de ordegrootte van een getal aan. Als we 10 als grondtal nemen (Briggse Logaritme) is dat goed te zien: logaritme van 1 geeft 0 logaritme van 10 geeft 1 logaritme van 100 geeft 2 logaritme van 1000 geeft 3

We merken op dat de gegeven voorbeelden machten van 10 zijn (1000 = 10*10*10) = 103. Het werkt ook voor negatieve machten bijvoorbeeld: logaritme van 0,1 geeft -1 logaritme van 0,01 geeft -2 logaritme van 0,001 geeft –3

Voor steeds kleinere getallen wordt de logaritme een steeds groter negatief getal. Daarom heeft de grafiek van de logaritme een asymptoot bij nul. De logaritme van 0 is dan ook niet gedefinieerd. De logaritme met grondtal 10 geeft dus ongeveer het aantal decimalen waaruit een getal bestaat. Voor getallen die geen macht van 10 zijn is het iets ingewikkelder, bijvoorbeeld: logaritme van 50 geeft ongeveer 1,70. (omdat 101,7 =50)


2/16

LM

Verder moet x een positief reëel getal zijn. Ook a (het grondtal) is positief en mag bovendien niet gelijk zijn aan 1.

3

Andere grondtallen

Bovenstaande voorbeelden zijn gebaseerd op machten van het grondtal 10. We kunnen echter ook bijvoorbeeld 2 als grondtal nemen. 2

log van 2 geeft 1 want 21=2; log van 4 geeft 2 want 22=4 2 log van 8 geeft 3 … 2

Logaritmes met verschillende grondtallen zijn eenvoudig in elkaar om te zetten door gebruik te maken van:

a

log( b) 

x x

log( b) log( a)

De 2log(6) is bijgevolg te berekenen als: 2

log( 6) 

10 10

log( 6) 0,778   2,585 log( 2) 0,301

Controleren we dit even:

22.585  6

4 Natuurlijke logaritme De natuurlijke logaritme heeft een bijzonder grondtal: e=2,718281828... (e is net als pi een reëel getal dat een oneindig aantal niet-repeterende decimalen heeft.) Deze logaritme is zo belangrijk in de wiskunde dat hij zijn eigen symbool heeft: ln.

4.1 Gebruik van logaritmen Al eeuwen geleden was de logaritme belangrijk voor mensen die veel moesten rekenen: een eigenschap van logaritmen is namelijk dat je een vermenigvuldiging om kunt zetten naar een optelling met behulp van bijvoorbeeld logaritmen: log (a * b) = log (a) + log(b) Je kunt dus de logaritme van a opzoeken, en de logaritme van b, beide optellen en bij de uitkomst het antwoord van de vermenigvuldiging terugzoeken. Hiervoor zijn eeuwenlang logaritmentafels (tabellen van getallen met hun logaritme) uitgerekend en gepubliceerd.


3/16

LM

Op dezelfde manier is log (a / b) = log (a) - log(b). Een deling wordt herleid tot een aftrekking. Ze werden gebruikt door zeelieden bij de plaatsbepaling op zee (navigatie), door ingenieurs, etc. John Napier is degene die wordt beschouwd als de ontdekker/uitvinder van logaritmen, hij publiceerde erover in zijn werk Minifici Logarithmorum Canonis Descriptio uit 1614. Hij gebruikte oorspronkelijk als grondtal 1/e. De natuurlijke logaritme wordt naar hem ook wel de 'Neperse' logaritme genoemd, die met het grondtal tien (10) de 'Briggse'. Ook de rekenliniaal is op het principe van logaritmen gebaseerd: de schalen zijn zo ingedeeld dat de logaritmen van de weergegeven getallen lineair verlopen: het lijnstuk tussen 1 en 2 is even lang als het lijnstuk tussen 2 en 4. Door het optellen van twee lijnstukken ter lengte van de logaritme van de getallen leest men bij de uitkomst het resultaat van de vermenigvuldiging ervan af. Door de opkomst van de zakrekenmachine zijn zowel logaritmentafels als rekenlinialen in onbruik geraakt.

Pagina’s van een oude logaritmentafelboek


4/16

LM

Pagina’s van een oude logaritmentafelboek

De voorloper van de rekenmachine, de rekenliniaal De rekenliniaal werd tot de uitvinding van de zakrekenmachine veel gebruikt door ingenieurs en wetenschappers. Men kan ermee vermenigvuldigen, optellen, aftrekken, delen, kwadrateren, kuberen en worteltrekken. Het instrument lijkt veel op een liniaal die is voorzien van een groot aantal schaalverdelingen en een beweegbaar middengedeelte. Het werkt volgens het principe dat alle wiskundige berekeningen kunnen worden uitgevoerd op een aantal verschuifbare schalen. In het middengedeelte, dat de loper wordt genoemd, zijn fijne lijntjes gekrast waarmee de gebruiker snel en efficiënt verschillende logaritmische schalen op één lijn kan zetten.

De logaritme komt goed van pas wanneer iets zo'n enorm bereik heeft dat het verschil tussen de allerlaagste en allerhoogste waarde ons ook niet zo veel meer zegt. Zo worden frequentieassen meestal in een logaritmische schaal weergegeven.

Logaritmische en liniaire schaal

Bekende logaritmische schalen zijn:  

decibel, de cent (een cent is gedefinieerd als het honderdste deel van een halve toon in de muziek)


5/16

LM



de pH (zuurtegraad).



Schaal van Richter

5 Decibel en Neper De decibel dankt zijn naam aan Alexander Graham Bell bekend van telefonie. Daar er vaak moest gewerkt worden met opeenvolgende versterkingen en verzwakkingen was het gemakkelijker om deze op te tellen en van elkaar af te trekken dan te vermenigvuldigen. Vandaar dat men hier de hulp van logaritmen inriep.


6/16

LM

Alexander Graham Bell

De Bel is een grote eenheid. In de praktijk werken we met de decibel. De decibel (dB) is gelijk aan 0.1 Bel. De Bel is de logaritme (grondtal 10) van de verhouding tussen twee grootheden:

G  G  Bel  log 1  en in dB wordt dit dus dB  10. log 1   G0   G0 

waarbij G0 een referentieniveau is. Willen we de vermogensversterking van een versterker in dB uitdrukken dan is Pin het referentie niveau. Puit de grootheid te vergelijken ten opzichte van Pin. De versterking in dB is dan:

P  10 log  uit   Pin 

Naast de decibel wordt soms gebruik gemaakt van de Neper (Np) Bij de Neper gebruikt men de natuurlijke logaritme. Het grondtal van de natuurlijke logaritme is het getal e. Bij benadering is e= 2,71828183.  G1 Np  ln  G  0

   

In de dB rekening gebruiken we enkel de Briggse logaritme, grondtal 10. Voor omzetten van nepers (grondtal e) naar dB zie punt 3.


7/16

LM

Twee grootheden verschillen 1 Np als de ene e2 keer (= 7.389056099) zo groot is als de andere. Een verhouding van 100x komt overeen met 4,6Np en een verhouding van 1000 is dan 6,9 Np Twee grootheden verschillen 10 dB als de ene 10 keer zo groot is als de andere; ze verschillen 20 dB als de ene 100 keer zo groot is als de andere en 30 dB als de verhouding 1000x is. Het handige van dB en Np is dat versterkingen en verzwakkingen herleid worden tot optellingen en aftrekkingen. Immers uit de wiskunde weten we dat: log(a.b) = log(a)+ log(b) en dat : log (a/b) = log(a) – log(b)

Voorbeeld: log (100.1000) = log(100) + log(1000) log (100.000)=5 log(100)=2 log(1000)=3 log(100)+log(1000)=5 Praktisch voorbeeld: Een transmissielijn heeft opeenvolgende versterkingen en verzwakkingen (de verzwakkingen worden veroorzaakt door de kabel lengtes): +10dB , -12dB, +18 dB en – 3dB ondergaat een totale versterking van: +10dB

-12dB

+18dB

Pin

-3dB

Puit = Pin +3dB

Een transmissielijn met opeenvolgende versterkingen en verzwakkingen. De verzwakking wordt veroorzaakt door de lengte van de kabel

De totale versterking is: 10dB +( -12dB) +18 dB + (– 3dB) = +3dB Dit komt overeen met een versterking van 2 keer. Immers:

P   3db  10. log  uit   Pin  P   0,3  log  uit   Pin  Puit  10 0,3  2 Pin


8/16

LM

6 Soorten Decibels Er bestaan verschillende typen decibels, afhankelijk van het gekozen referentieniveau. De meest voorkomende zijn: dBmV. Decibel met als referentieniveau 1 millivolt over 75 ohm. Dit referentieniveau komt overeen met een 2 vermogen van 13.33333333 nanowatt (P = U /R). dBV. Decibel ten opzichte van 1 volt dBu. Decibel voor spanningsmetingen. Referentieniveau is 774.5967 millivolt over 600 ohm, wat overeenstemt met een vermogen van 1 milliwatt. Zodoende komt een spanning van V volt overeen met een vermogen van 20.log(V/0.774.6) dBu. dBa. Decibel adjusted. Dit is het gewogen absolute ruisvermogen. Het referentieniveau 0 dBa is gelijk aan 3.16 picowatt. 'Gewogen' betekent gefilterd met een speciaal filter. Synoniem: dBrn adjusted. dBm. Decibel met als referentieniveau 1 milliwatt. dBW. Decibel ten opzichte van 1 watt. dBspl. Logaritmische eenheid voor de geluidsintensiteit, berekend uit de geluidsdruk (sound pressure level). Referentieniveau: 20 micropascal. Deze geluidsdruk is ooit eens bepaald als de druk waarbij een groep studenten net iets begint te horen bij een frequentie van 1 kHz. De pijngrens ligt bij 120 dBspl.

Andere gebruikte waarden: dBk. Decibel met als referentieniveau 1 kilowatt. dBa0 (a nul). Ruisvermogen, uitgedrukt in dBa. dBc. Decibel ten opzichte van het vermogen van de draaggolf (carrier). dBC betekent ook wel: decibel gewogen met een C-filter. dBFS. Decibel full scale. Het referentieniveau is de volle schaaluitslag van het meetinstrument in kwestie. dBi. Antenneversterking in dB ten opzichte van een isotrope straler in de vrije ruimte met een versterking van 0 dB. dBm0 (m nul). Vermogen in dBm ten opzichte van een 'zero transmission level point' (0TLP), een waarde waarbij de signaalsterkte nul geacht wordt te zijn. dBr.


9/16

LM

Relatieve vermogensverhouding uitgedrukt in dB. Er moet worden opgegeven wat het referentieniveau is. dBrn. Decibel ten opzichte van referentieruis. Het gewogen (met weegfilter) ruisvermogen in dB wordt ten opzichte van 1 picowatt genomen. Dus 0 dBrn = -90 dBm. De weegmethode moet worden aangegeven, bijvoorbeeld: DBrnC (C-message) dBrnC0 (C-message t.o.v. 0TLP) dBrn (f1-f2) (vlakke ruisvermogen in dBrn tussen de frequenties f1 en f2) dBrn(144-line) dBx. Decibel boven een referentie-koppelwaarde. Wordt doorgaans gebruikt voor het opgeven van de hoeveelheid overspraak in telefoonlijnen. Meer info: http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel


10/16

LM

7 Samenvatting formules 1 Bel  10 decibel 1 1 decibel  Bel 10 Relatie tussen dB en Np : Np  20/ln(10) dB  8.685889638 dB De decibel en Np duiden steeds een verhou ding aan ! G  G  Np  ln  1  dB  10 log  1   G0   G0  decibel grondtal  10, Nepergrondtal e  2,178 Voor vermo gen : P  A P (absoluut)   uit   Pin  P  A P in dB  10 log  uit   Pin 

Voor spanning en stroom I  A I (absoluut)   uit   I in  I  A I in dB  20 log  uit   I in  U  A U (absoluut)   uit   U in  P  A U in dB  20 log  uit   Pin  Waarom 10.log voor vermogen en 20.log voor spanning en stroom? Dat er 10 log gebruikt wordt voor het vermogen komt omdat het resultaat uitgedrukt wordt in decibel. Een decibel is 1/10 van een Bel. Bij spanning en vermogen geldt onderstaande redenering. In de telefonie is Zin meestal = Zuit = 600  We weten dat:


11/16

LM

2

P

U2 R

als Z in  Z uit

U uit 2 Puit  Uuit  Z  Z dan is : AP     Pin U in 2  Uin  Z 2

in dB wordt dit :

U   Uuit  2 AP  10 log uit   20 log  want : log( x )  2 log( x)  Uin   U in 

Voor de stroom kan een analoge werkwijze gevolgd worden. Ga dit na! Soms zijn de eigenschappen van een apparaat opgegeven in een bepaald decibel-type, terwijl men liever een andere eenheid zag. Voorbeeld: ingangsgevoeligheid van een versterker is opgegeven in dBm, maar hoe veel volt is dat?

8 Voorbeeldoefeningen 1. Een versterker heeft bij een ingansvermogen van 1mw een uitgangsvermogen van 80W. Bereken de versterking absouluut en in dB.

 P   80  Ap absoluut   uit     80.000 x 3   Pin   1.10   P Ap in dB  10 log P  ref

   10 log 80.000  49dB  

2. Op een LF generator staat een knop om de uitganspanning met 20dB te verzwakken. Hoeveel keer wordt de uitganspanning verminderd als de knop ingeduwd is?

U   20dB  log 1  20  U2 

U  U U   1  log 1   1  101  1  0,1 U2 U2  U2 

De spanning wordt dus 10 x kleiner. 3. De gevoeligheid van een versterker is -10 dBm, de ingangsimpedantie is 50 Ω. Bereken de ingangsspanning. Volgens de definitie van de dBm is het referentieniveau 1mW


12/16

LM

 P          10  10 log  P    1  log P   log 1 (1)   P Ap  10 log  P  P  P  P  ref   ref   ref   ref  P      0,1   P   P  0,1.Pref  0,1*1mW  0,1mW 10 1   P  P   ref   ref  2 U P  U  P  R  U  0.0001W * 50  0.0707V R

   

9 Voorbeelden van de sterkte van geluiden De hier gepresenteerde waarden zijn ontleend aan vele bronnen, zodat er soms grote variaties mogelijk zijn. dB(A) Beleving 0 Hoordrempel 10 Net hoorbaar 20 30 Erg stil 40 50 55 60

70

75 80

85

90

95

100

Voorbeelden

Normale ademhaling, vallend blad Radiostudio, boomblaadjes in de wind, fluisteren op 1.5 m Bibliotheek (30-40 dB), zacht gefluister op 5 m, opnamestudio Huiskamer, slaapkamer, rustig kantoor, rustige woonbuurt, vogels bij zonsopkomst, zacht geroezemoes in een klas Rustig Licht autoverkeer op 30 m, eigen kantoorkamer, regen, koelkast, in het bos Koffiezetapparaat, elektrische tandenborstel (50-60 dB) Indringend Airconditioning (50-75 dB), normale conversatie, wasmachine (50-75 dB), vaatwasser (55-70 dB), naaimachine, wasdroger, pianospel (60-70 dB), F16A straaljager op 6000 m hoogte (59 dB) Storend bij Verkeer op de snelweg, druk kantoor, elektrisch scheerapparaat (50-80 telefoneren dB), stofzuiger (60-85 dB), geluid van hard staande TV, auto op 15 m, fortissimo zingen op 1 m afstand Elektrische mixer, koffiemolen (70-80 dB), druk restaurant (70-85 dB), F16A straaljager op 3000 m hoogte (74 dB) Hinderlijk Wekkeralarm op 0.7 m, haardroger (60-95 dB), rumoerig kantoor, zwaar verkeer (80-85 dB) op 15 m, toilet doorspoelen (75-85 dB), deurbel, rinkelende telefoon, fluitende ketel, gemotoriseerde maaimachine (65-95 dB), machinaal handgereedschap, pneumatisch gereedschap op 15 m, kamermuziekorkestje (75-85 dB), klassieke gitaar van dichtbij Handzaag, mixer met ijs (83 dB), foodprocessor (80-90 dB), F16A straaljager op 1500 m hoogte, geluid van vliegtuig door de geluidsbarrière (80-89 dB) Zeer hinderlijk, Zware vrachtwagen op 15 m, bulldozer op 15 m, druk stadsverkeer, mixer gehoorbeschadiging (80-90 dB), tractor, vrachtwagen, schreeuwend praten, gejuich bij rustig na 8 u sportevenement, gillend kind, passerende motorfiets, kleine luchtcompressor Elektrische drilboor, op de snelweg rijden met open dak, viool (84-103 dB), fluitspel van dichtbij (85-111 dB), trombone van dichtbij (85-114 dB), F16A straaljager op 600 m hoogte Zeer luid Zware vuilniswagen, naar vuurwerk kijken, metro (90-115 dB), machine in fabriek, klas in timmerschool, motorfiets (95-110 dB), sneeuwmobiel, danszaal, boom box, diesel vrachtwagen, ketelslager, grote luchtcompressor, pneumatische beitel, krachtig spuitend gaslek,


13/16

LM

105 110

Extreem luid

115 120

125 130

135 140 150

160 170 180

Pijngrens volgens andere bron Pijngrens Permanente gehoorschade volgens andere bron

Onherstelbare gehoorschade

194

versnellingsbak auto, in de auto op drukke snelweg, F16A straaljager op 300 m hoogte Sneeuwblazer, helikopter op 30 m (100-105 dB), krachtige maaimachine, pauken, roffel op grote trom, F16A straaljager op 150 m hoogte (107 dB) Heimachine, rockconcert (110-130 dB), schreeuwen in iemands oor, gillend huilende baby, speelgoed piepbeestje dicht tegen het oor, motorzaag, bladblazer, disco, drukke videospelhal, symfonie-orkest gemiddeld niveau, onveilige walkman op zijn hardst (112 dB), op een sneeuwmobiel rijden, zandstralen, hard spelende radio of hifi, F16A straaljager op 90 m hoogte Krijsende metrowielen Luidste menselijke stem, autoclaxon op 1 m, startend vliegtuig op 70 m, klinkhamer, kettingzaag (120-125 dB), hameren op een spijker, pneumatische boor (100-120 dB), zware machine, sirene van ambulance, voetbal in het stadion (117 dB), klas met schreeuwende kinderen Hifi in de auto (normale installatie), piek van symfonie-orkest (120-137 dB) Donderslag (120-130 dB), pneumatische hamer, zeer krachtige boormachine, luchtalarm, slagwerksectie van orkest, stock-car race, grote ventilator van 100000 kuub/u Sommige luide speelgoedpiepbeestjes Luchtalarmsirene van dichtbij, vliegtuigen op vliegdekschip, propellorvliegtuig van dichtbij, straalvliegtuig op 300 m (135-145 dB) Startend straalvliegtuig van dichtbij, artillerie op 150 m, voetzoeker, knallen van een ballon (157 dB), piek van rockconcert of normaal niveau nabij de luidsprekers Vuurwerk op 1.5 m, geweerschot (163 dB), pistoolschot (166 dB) Schot van krachtig hagelgeweer Raketlanceerplatform Saturnusraket (geluidsdruk is 1 atm)

9.1.1 Maximale blootstellingsduur dagelijks Bron: de Amerikaanse Occupational Safety and Health Administration regulation 1910.95, geluidsblootstelling voor beroepsmensen. tot 80 dB 85-90 dB 92 dB 95 dB 97 dB 100 dB 102 dB 105 dB 110 dB 115 dB 120 dB 130 dB boven 135 dB

Onbeperkt 8 uur 6 uur 4 uur 3 uur 2 uur 1.5 uur 1 uur 30 min 15 min 7.5 min 3.5 min 0


14/16

LM

Bij dagelijkse blootstelling is het verstandig vanaf 85 dB altijd geluidsbeschermers te dragen en vanaf 90 dB goede oordoppen. Gehoorbeschadiging is meestal cumulatief, dus ieder beetje telt op bij een vorige beschadiging.

10 Oefeningen 1. Een versterker heeft een spanningsversterking van 200x. Hoe groot is de spanningsversterking in dB 2. Een versterker heeft een stroomversterking van 20 dB. Hoe groot is de stroom aan de uitgang als aan de ingang een stroom vloeit van 1mA? 3. In filters wordt de bandbreedte uitgedrukt als zijnde de frequenties waarbinnen de versterking niet meer dan 3dB toeneemt of met 3 dB daalt. Hoeveel is dit in % indien het gaat om: a. Vermogenversterking b. Spanningsversterking c. Stroomversterking 4. Op een concert wordt een geluidsniveau van 110dBa gemeten. Hoeveel maal is dit (in absolute waarde) meer dan het geluid van een auto aan een snelheid van 80 km/u (70 dBa) 5. Een FM antenne levert een signaal van 30dBµv in het 100Mhz frequentiegebied. Dit signaal wordt via een coax kabel met een impedantie van 75Ω met een lengte van 10m toegevoerd aan een versterker met een versterking van 20dB. Na de versterker komt terug een coax kabel met een lengte van 50m. Op het einde van deze sectie wordt het signaal toegevoerd aan een splitter (1 ingang -2 uitgangen). De splitter heeft een verzwakking van 4,4 dB. De uitgangen van de splitter zijn nagenoeg direct verbonden met de antenne ingang van 2 radio’s. Hoeveel signaal blijft er over op de antenneingang van de radio (, in dB en in V). Alle gebruikte materiaal heeft een impedantie van 75 Ω. Hieronder de eigenschappen van het gebruikte materiaal. a) Kabel

Attribute Type

Attribute Value

Cable Type

URM202

Outer Sheath Material Cable OD

PVC 4.8 → 5.3mm

Sheath Colour

Grey

Reel Length

200m

Connector Cable Group

G

Impedance

75Ω

Capacitance

56pF/m

URM202 (Standard) Television Aerial Downleads to BS2316, suitable as a general purpose TV aerial downlead Connector / Cable group G 7//0.25mm plain copper stranded conductor, cellular polythene insulated and plain copper braid covered by an outer PVC sheath, available in various


15/16

LM

colours. Technical specification Attenuation (per 10m) 10MHz 100MHz 1000MHz 0.4dB 1.1dB

4dB

b) Versterker

http://www.kathrein.de/en/sat/products/doc/9351501c.pdf Compact-Verstärker; 1 Eingang AM-FM/BI/BIII/UHF; Verst.: AM -1,5, VHF-UHF 20 dB; Rauschm.: 7 dB; Fernspeisung über Ausg. mögl.: 15 V/100 mA Max. Ausgangspegel: 108 dbµV (DIN 66 dB KMA)

C) Splitter

Hirschmann multitap, antennesplitter met f-connectors. 1 ingang - 2 uitgangen. 2-Voudig verdeelelement met f aansluiting. Demping: 3.8 db. Retourgeschikt. Type: 1x in - 2x out. Frequencyrange: 5-1000 mhz. Loss: 3.9 - 4.4 db


16/16

LM

Verhoudingen van vermogens, spanningen, stromen, geluidsdruk worden in de elektronica vaak in decibels uitgedrukt

Recommend Documents