9. előadás
P(k)
k
Véletlen gráfok szerkesztésekor n csomópontból indulunk ki. p valószínűséggel két csomópontot éllel kötünk össze.
A fokszámok Poisson eloszlásúak k − pN ( pN ) P (k ) = e k!
http://www.ct.infn.it/cactus/applets/Giant%20Component.html
Kisvilág gráfokat úgy szerkesztünk, hogy „rövidítőket” adunk rendezett gráfokhoz
A fokszámok eloszlása kicsúcsosodik az átlagérték körül
http://www.ct.infn.it/cactus/applets/Small%20Worlds.html
Növekvő hálózatok modellje (A.-L. Barabási – R. Albert 1999) 1) Növekedés Minden időlépésben egy új csomópont jelenik meg a rendszerben 2) Preferenciális csatolódás A csatolódás valószínűsége a csomópont fokszámától függ P(k) ∝ k
P (k ) =
∑
ki j =1, N
kj A fokszámok hatványfüggvény eloszlásúak
http://www.ct.infn.it/cactus/applets/Preferential%20Attachment.html
„divatos” ága a Komplex Rendszerek Fizikájának
Közgazdaság és a társadalomtudományok • makroskálán egy megfelelő rendszer a fizika egyes módszereinek az alkalmazására (makroskála: az egyének individualitása elhanyagolható és átlagos viselkedéssel helyettesíthető) • olyan folyamatok amelyben sok egyed komplikált módon kölcsönnhat • vannak nyilvánvaló ok-okozati kapcsolatok, habár egy bizonyos makroszinten a folyamatok stochasztikusnak (véletlenszerűnek) tűnnek • vannak univerzális és ismétlődő törvényszerűségek
Kondor Imre “ Bank és kockázat” (Mindentudás Egyeteme, 2004, május 24)
• lehet mérni, modellezni és kísérletezni ezen rendszerekben
fizikusi értelemben komplex rendszer
• létezik egy általános elv amely ezen rendszerek evolúcióját vezérli: a maximális nyereség elve
komplex modellekkel megközelíthető
Néhány divatos ökonofizika téma: • tőzsdeindexek és árak fluktuációinak a tanulmányozása, korrelációk ezek között... • a piac és tőzsde modellezése • gazdasági és kereskedelmi kapcsolatok hálójának leírása és modellezése, ezen kapcsolathálókon levő tranzakciók és információ-áramlások modellezése • banki kockázatok tanulmányozása és kezelése • a társadalomban levő pozíciók, jövedelmek és vagyoneloszlások leírása és modellezése
Kevesebb kísérleti adat (nehezen és általában csak indirekt módon mérhető) Vagyoneloszlás az ókori Egyiptomban
Kummulatív vagyoneloszlás a magyar nemesség körében 1500 körül* (logaritmikus skála) (az adott nemesi család birtokában levő jobbágyporták alapján) * Hegyi
Géza & Néda Zoltán (BBTE, Fizika Kar)
Vagyoneloszlás az India társadalom leggazdagabb 100 családja között (2002, 2003)
Vagyoneloszlás Nagy Brittániában (2000), (az örökösödési adatokból)*
Kummulatív eloszlásfüggvény Vagyon a sorszám függvényében logaritmikus skálán a kapott hatványfüggvény a Pareto törvényt igazolja
*
R. Coelho, Z. Neda and M.A. Santos, 2005
Pareto eredeti mérései α-ra
P>= ( w) =
C wα
α: a Pareto exponens
V. Pareto, Cours d’Economie Politique, vol. 2, Macmillian, Paris, 1897
Évi jövedelem eloszlása Japánban (1986-2000)
α∈[1.8, 2.2]
α : 0.8 − 2.6
Évi jövedelem eloszlása Olaszországban (1977-2002) α∈[1.6,1.9] Évi övedelem eloszlása az Egyesült államokban (2000) α = 2.1 Vagyoneloszlás a magyar nemesség körében 1500 körül α = 0.95 Vagyoneloszlás az India társadalom leggazdagabbjai között (2002, 2003)
α = 0.81; α = 0.93
Vagyoneloszlás Nagy Brittániában (2000), (az örökösödési adatokból)
α = 2.52
Minnél élénkebb gazdasági kapcsolatok vannak a vizsgált társadalom tagjai között annál nagyobb a Pareto exponens!
J.-P. Bouchod, M. Mezard; Physica A, vol. 282, pp.536-542 (2000) - Mindenki mindenkivel kölcsönhat (vagyont cserél)! Wi : az egyedek vagyonai; J(i,j) az egyedek közti kölcsönhatás erőssége; ηi(t): egy normális (Gauss) eloszlású véleltlenszerű változó
ηi (t ) = 0 2
ηi 2 (t ) − ηi (t ) = 2σ 2
dWi = ηi (t )Wi + ∑ J ( j , i )W j − ∑ J (i, j )Wi dt j ( ≠i ) j ( ≠i )
A feladat “másztersz egyenlete” (a vagyonok időbeli evolucióját vezérlő egyenlet) az átlagtér közelítés: az átlagtér megoldás:
α = 1+
J
σ2
J (i, j ) =
i = 1,2,...N
J N
ρ ech ( w) = A
exp[−
(α − 1) ] w
w1+α
Pareto exponens
N →∞
-A valódi társadalmakban a vagyoncsere nem egy teljesen összekötött hálon történik (nem mindenki mindenkivel hat kölcsön). - A társadalmi háló fogalma és topologiája (szerkezete) fontos a vagyoncsere mechanizmusának a leírásához! (ki kivel van összekötve?) - A vagyoncsere mechanizmusában a családi hálóknak van kitüntetett szerepe!
Barabási Albert László, „A hálozatok csodálatos világa”, (Mindentudás Egyeteme, 2005 okt. 10)
- Milyen a családi hálónak a szerkezete??? - A családi háló és vagyoneloszlás között szoros kapcsolat van!
családháló
vagyoneloszlás
-Egy helyes (komplex) modellnek generálnia kell úgy a helyes vagyoneloszlást mint az őt meghatározó társadalmi hálót - A modellnek realisztikus és lehetőleg egyszerű törvényszerűségeket kell tartalmaznia - A modell a bonyolult hálószerkezet miatt valószínűleg analitikusan nem tanulmányozható - Monte Carlo tipusú számítógépes szimulációk szükségesek.... * R. Coelho, Z. Neda, J.J. Ramasco şi M.A. Santos; Physica A, 2005
Szociális Háló, V. Hugo „Nyomorultak”
a csomópontok a családok a kötések az elsőrangú családi kapcsolatok
minden (i) csomópontnak van vagyona W(i) + és kora A(i) A modell állandói: - a családok száma - az összvagyon a rendszerben Kezdeti feltételek: - egy véletlenszerű háló - a vagyonok egyenletes eloszlása a (0,1) intervallumon - a családok kora a csomópontok (i) sorszáma
A modell dinamikája (1) A legöregebb csomópontot (i) eltávolítjuk. A vagyonát egyenletesen elosztjuk azon csomópontok között amellyel kötései voltak (ha nincs kötése senkivel, akkor a vagyonát preferenciálisan szétosztjuk az összes csomópont között) az örökösödési folyamat (2) Az eltávolított csomópont (i) 0 – korral visszakerül (születés) , és két olyan (j és k) csomóponthoz kapcsolódik amelyeknek a vagyona nagyobb mint: q (egy új család megalakítása pénzbe kerül). A q vagyon levónódik j és k vagyonából és preferenciálisan szétosztódik a családok között (az új család megalapításából a társadalomnak nyeresége van) . A j és k családok a megmaradt vagyonuk p-ed részét az új i családnak adják (megindulási vagyon) (3) Minden csomópont kora egységgel nő.
W ' ( i ) = [W ( j ) − q ] p + [W ( k ) − q ] p W ' ( k ) = [ W ( k ) − q ]( 1 − p ) W ' ( j ) = [ W ( j ) − q ]( 1 − p )
Kétparaméteres modell: q és p
(2)
A modell a helyes vagyoneloszlást és a hálóstrukturát is generálja! A vagyoneloszlás - q=0.7-0.9 és p=0.2-0.3 értékekre a P>=(w) kummulatív vagyonelszolás görbék megfelelőek - a társadalom felső 10%-ra érvényes a Pareto törvény - a kis vagyonok esetén P>=(w) exponenciális - az α-ra kapott értékek: 1.8 – 2.0
Számítógép-szimulációs eredmény a családháló modellre. Kummulatív eloszlásfüggvény log-log skálán. - p=0.3, q=0.7 (N=10000 csomópont, 10 generációs szimuláció) A számított Pareto exponens α=1.8
A családháló topológiája -A P(k) fokszám-eloszlás (a csomópontokból kiinduló kötések számának, k, eloszlása) exponenciális - kprob=2;
=1.9 (realisztikus) - a kialakuló családháló kis-világ (small-word) típusú (általában ez jellemző a valós társadalmi hálókra)
Számítógép-szimulációs eredmények a generált háló fokszámeloszlására. Normál-log skála, N=10000 család (csomópont ) és 10 generációs szimuláció
