ve zvoleném typu bypassové anastomózy

Západoˇceská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných vˇed Katedra mechaniky

Bakaláˇrská práce Modelov´ an´ı proudˇ en´ı nestlaˇ citeln´ e kapaliny ve zvolen´ em typu bypassov´ e anastom´ ozy

V Plzni, 2009

Dagmar Jarkovsk´ a

Prohl´ aˇsen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem bakaláˇrskou práci zpracovala samostatnˇe a ˇze jsem uvedla vˇsechny pouˇzité prameny a literaturu, ze kterých jsem ˇcerpala.

Plzeˇ n, 29.05. 2009

...........................................

Podˇ ekov´ an´ı Ráda bych podˇekovala vedouc´ı své bakaláˇrské práce Ing. Alenˇe Jonáˇsové a konzultantovi bakaláˇrské práce Ing. Janu Vimmrovi, Ph.D. za mnoˇzstv´ı poskytnutých rad a ˇcas, který mi pˇri psan´ı této práce vˇenovali. Dále dˇekuji své rodinˇe za finanˇcn´ı i psychickou podporu bˇehem celého mého studia. M˚ uj velký d´ık patˇr´ı také vˇsem ˇclen˚ um Katedry mechaniky za znalosti, jeˇz mi v pr˚ ubˇehu studia pˇredávali.

Abstrakt C´ılem této práce je provést numerické simulace laminárn´ıho proudˇen´ı krve v side-to-side anastomóze sekvenˇcn´ıho aorto-koronárn´ıho bypassu. Krev je uvaˇzována jako nestlaˇcitelná newtonská kapalina, jej´ıˇz laminárn´ı proudˇen´ı je popsáno nelineárn´ım systémem Navierových-Stokesových rovnic. Analýza hemodynamiky v bypassové anastomóze je realizována pro dva r˚ uzné modely. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe se jedná o dvourozmˇerný idealizovaný model paraleln´ı konfigurace side-to-side anastomózy. Pro modelován´ı stacionárn´ıho proudˇen´ı krve je v programovac´ım jazyce Fortran 90 vyvinut vlastn´ı program vyuˇz´ıvaj´ıc´ı metodu koneˇcných objem˚ u v kombinaci s metodou umˇelé stlaˇcitelnosti. Pro druhý, tentokrát trojrozmˇerný reálný model diamond konfigurace side-to-side anastomózy s reálnou geometri´ı je v komerˇcn´ım softwaru Altair Hypermesh 8.0 vytvoˇrena nestrukturovaná tetrahedrová výpoˇctová s´ıt’. Numerická simulace nestacionárn´ıho proudˇen´ı krve je provedena v prostˇred´ı programu Fluent 6.2. Z´ıskané výsledky jsou vyhodnoceny se zˇretelem na identifikaci problémových oblast´ı rozhoduj´ıc´ıch o pˇr´ıpadném selhán´ı implantovaného bypassového ˇstˇepu. Kl´ıˇ cov´ a slova: side-to-side anastomóza, laminárn´ı proudˇen´ı krve, nestlaˇcitelná newtonská kapalina, systém Navierových-Stokesových rovnic, metoda umˇelé stlaˇcitelnosti, Rungeovo-Kuttovo schéma, metoda koneˇcných objem˚ u, hemodynamika.

Abstract The objective of this study is to perform a numerical simulation of laminar blood flow in a side-to-side anastomosis of a sequential aorto-coronary bypass. The blood is assumed to be an incompressible Newtonian fluid, whose laminar flow is described by the non-linear system of the Navier-Stokes equations. The analysis of the hemodynamics in the bypass anastomosis is performed for two different models. In the first case, a 2D idealized model of the parallel side-to-side configuration is considered. In program language Fortran 90 own program using the finite volume method combined with the pseudo-compressibility method is developed for numerical solution. For the second, 3D real model of the diamond side-to-side configuration is considered, whose nonstructured tetrahedral grid is created in comercial software Altair Hypermesh 8.0. The numerical simulation of unsteady blood flow is implemented in Fluent 6.2. The obtained numerical results are analyzed with regard to identification of problematic areas, which may lead to possible bypass graft failure. Keywords: side-to-side anastomosis, laminar blood flow, incompressible Newtonian fluid, system of Navier-Stokes equations, pseudo-compressibility method, Runge-Kutta scheme, finite volume method, hemodynamics.

Obsah ´ Uvod

7

1 Obˇ ehov´ a soustava 1.1 Srdce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Cévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Krev a jej´ı mechanické vlastnosti . . . . . . . . 1.3.1 Plazma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Krevn´ı elementy . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Onemocnˇen´ı koronárn´ıch tepen a jejich léˇcba . . 1.5 Analýza hemodynamiky side-to-side anastomózy

. . . . . . .

. . . . . . .

9 9 10 11 12 12 13 15

2 Matematick´ e modelov´ an´ı proudˇ en´ı nestlaˇ citeln´ e newtonsk´ e kapaliny 2.1 Matematický model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Metoda umˇelé stlaˇcitelnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Numerické ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Pˇrevod rovnic do bezrozmˇerového tvaru . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Prostorová diskretizace - metoda koneˇcných objem˚ u. . . . . . . . ˇ 2.3.3 Casov´ a diskretizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Okrajové podm´ınky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

16 16 17 17 17 18 21 22

. . . .

23 23 25 25 26

3 2D model side-to-side anastom´ ozy 3.1 Vytvoˇren´ı modelu a výpoˇctové s´ıtˇe 3.2 Numerické výsledky . . . . . . . . . 3.2.1 Rozloˇzen´ı rychlosti . . . . . 3.2.2 Rozloˇzen´ı tlaku . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . v

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . literatuˇre

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . .

4 Re´ aln´ y 3Dmodel side-to-side anastom´ ozy 4.1 Vytvoˇren´ı modelu a výpoˇctové s´ıtˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Nastaven´ı ˇreˇsiˇce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Numerické výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Rozloˇzen´ı rychlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Rozloˇzen´ı smykového napˇet´ı na stˇenˇe modelu side-to-side anastomózy 4.3.3 Rozloˇzen´ı tlaku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31 33 37 37 38 38

Z´ avˇ er

43

5

OBSAH Literatura

6 45

´ Uvod Nemoci obˇehové soustavy pˇredstavuj´ı jednu z nejˇcastˇejˇs´ıch pˇr´ıˇcin u ´ mrt´ı v zem´ıch vyspˇelého svˇeta. Ischemická choroba srdeˇcn´ı, coˇz je nedostateˇcné prokrven´ı srdeˇcn´ıho svalu, m˚ uˇze v krajn´ım pˇr´ıpadˇe vést aˇz k infarktu myokardu, kdy docház´ı k odumˇren´ı ˇcásti tkánˇe kv˚ uli omezenému pˇr´ısunu okysliˇcené krve do postiˇzené oblasti. Jednu z moˇzných metod léˇcby pˇredstavuje implantace koronárn´ıho bypassu, neboli pˇremostˇen´ı nepr˚ uchodné oblasti ˇstˇepem, nejˇcastˇeji ˇziln´ıho p˚ uvodu. Vznikaj´ı tak r˚ uzná spojen´ı cév - anastomózy. Rozliˇsujeme tˇri typy: end-to-side, end-to-end a side-to-side. V posledn´ım pˇr´ıpadˇe docház´ı k boˇcn´ımu naˇsit´ı cév. Z dostupné literatury zabývaj´ıc´ı se bypassovými anastomózami se vˇetˇsina vˇenuje pouze typu end-to-side, napˇr. [1]. C´ılem této bakaláˇrské práce je analýza hemodynamiky v bypassové anastomóze typu side-to-side a identifikace oblast´ı, kde lze pˇredpokládat moˇzný rozvoj neointimáln´ı hyperplázie, nejˇcastˇejˇs´ı pˇr´ıˇciny selhán´ı implantovaných bypassových ˇstˇep˚ u. Studovány jsou dvˇe r˚ uzné konfigurace tohoto typu anastomózy, a sice paraleln´ı a diamond, [2]. Pˇredkládaná bakaláˇrská práce je rozˇclenˇena do ˇctyˇr kapitol: Prvn´ı z nich se vˇenuje obˇehové soustavˇe, jej´ım onemocnˇen´ım a jejich léˇcbˇe. Jsou zde vysvˇetleny lékaˇrské term´ıny z oblasti kardiologie a kardiochirurgie, které jsou pouˇz´ıvány v této bakaláˇrské práci. Na konci kapitoly jsou pak uvedeny poznatky o hemodynamice koronárn´ıho bypassu, z´ıskané z nˇekolika zahraniˇcn´ıch studi´ı vˇenovaných dané problematice. Ve druhé kapitole je popsán matematický model laminárn´ıho proudˇen´ı nestlaˇcitelné newtonské kapaliny, který tvoˇr´ı nelineárn´ı systém Navierových-Stokesových rovnic. Jedná se o elipticko-parabolický systém parciáln´ıch diferenciáln´ıch rovnic, jenˇz je metodou umˇelé stlaˇcitelnosi, [4], pˇreveden na hyperbolicko-parabolický systém. Ten je moˇzné numericky ˇreˇsit za pouˇzit´ı ˇcasovˇe závislých metod. K prostorové diskretizaci je zvolena metoda koneˇcných objem˚ u, k ˇcasové diskretizaci pak Rungeovo-Kuttovo dvoustupˇ nové schéma druhého ˇrádu pˇresnosti. Tˇret´ı kapitola se zabývá dvourozmˇerným idealizovaným modelem paraleln´ı konfigurace side-to-side anastomózy. Numerická simulace laminárn´ıho proudˇen´ı krve je provedena prostˇrednictv´ım vlastn´ıho programu vyvinutého v programovac´ım jazyce Fortran 90. Jako výstupn´ı okrajová podm´ınka jsou testovány tˇri varianty hodnot konstantn´ıho tlaku, jeˇz jsou vyhodnoceny z hlediska reálného pr˚ utoku krve koronárn´ım bypassem a celkového charakteru proudového pole. ˇ Ctvrt´ a kapitola této bakaláˇrské práce se vˇenuje trojrozmˇernému modelu diamond konfigurace side-to-side anastomózy. V tomto pˇr´ıpadˇe se jedná o reálnou geometrii, z´ıskanou ze sn´ımk˚ u z poˇc´ıtaˇcové tomografie, které byly poskytnuty Kardiochirurgickým oddˇelen´ım Fakultn´ı nemocnice Plzeˇ n. Dále je v této kapitole naznaˇcena tvorba nestrukturované tetrahedrové s´ıtˇe v komerˇcn´ım programu Altair Hypermesh 8.0. Vzhledem ke sloˇzitosti modelu je

7

´ Uvod

8

k numerickému ˇreˇsen´ı nestacionárn´ıho proudˇen´ı krve zvolen výpoˇcetn´ı software Fluent 6.2. Pro modelován´ı proudˇen´ı krve jsou pouˇzity fyziologické okrajové podm´ınky pˇrevzaté z [5], jeˇz jsou upravené pro potˇreby naˇseho modelu. Z´ıskané výsledky jsou analyzovány s ohledem na ˇcasový vývoj smykového napˇet´ı na stˇenˇe cév, rychlosti a tlaku v rámci jednoho srdeˇcn´ıho cyklu. V závˇeru této bakaláˇrské práce jsou numerické výsledky shrnuty a analyzovány z hlediska moˇzného selhán´ı implantovaného koronárn´ıho bypassu pro obˇe uvaˇzované konfigurace side-to-side anastomózy. Uvedeny jsou rovnˇeˇz pˇr´ıpadné výhledy do budoucna týkaj´ıc´ı se dané problematiky. Vzhledem k tomu, ˇze vˇsechny veliˇciny v této práci jsou znaˇceny standardnˇe a jejich význam je vˇzdy vysvˇetlen za pˇr´ısluˇsnými vztahy, nen´ı souˇcást´ı této práce seznam pouˇzitých symbol˚ u.

Kapitola 1 Obˇ ehov´ a soustava 1.1

Srdce

Srdce (cor ) je dutý svalový orgán o hmotnosti 260 - 320 g, [10], který zajiˇst’uje stálou cirkulaci krve v lidském tˇele. Protoˇze se vývojovˇe ˇrad´ı mezi cévy, je jeho vnitˇrn´ı struktura v principu totoˇzná se stavbou vˇetˇsiny cév. Vnitˇrn´ı vrstva (epikard ) je blána, která tvoˇr´ı výstelku obou s´ın´ı a komor. Jej´ı souˇcást´ı jsou i c´ıpaté chlopnˇe: dvojc´ıpá (mitráln´ı) mezi levou s´ın´ı a levou komorou a trojc´ıpá (trikuspidáln´ı) mezi pravou s´ın´ı a pravou komorou. Stˇredn´ı, nejsilnˇejˇs´ı vrstvou srdeˇcn´ı stˇeny je svalová vrstva (myokard ), jeˇz svou pravidelnou relaxac´ı a kontrakc´ı pumpuje krev do malého a velkého krevn´ıho obˇehu. Skládá se z pˇr´ıˇcnˇe pruhovaných vláken, která svým specifickým uspoˇrádán´ım vytváˇrej´ı trámˇcitou strukturu myokardu. Povrch srdce pokrývá tenká blána (epiObrázek 1.1: Anatomie srdce. kard ), pˇrecházej´ıc´ı podél pˇripojených cév ve vazivové pouzdro - osrdeˇcn´ık (perikard ). Srdce je tvoˇreno dvˇema s´ınˇemi (atria) a dvˇema komorami (ventriculi ), obr. 1.1. Pˇri staˇzen´ı komor (systole) docház´ı k vypuzován´ı krve ze srdce do aorty a plicnice, pˇri svém uvolnˇen´ı (diastole) se naopak obˇe komory pln´ı krv´ı ze s´ın´ı. Tok krve uvnitˇr srdce je detailnˇe znázornˇen na obr. 1.2, [7]. Odkysliˇcená krev pˇritéká z celého tˇela ˇzilami, které se pˇred srdcem spojuj´ı v horn´ı (1) a doln´ı (2) dutou ˇz´ılu (vena cava superior, vena cava inferior ) u ´ st´ıc´ı do pravé s´ınˇe (3). Odtud pak krev protéká trojc´ıpou chlopn´ı do pravé komory (4) a dále plicn´ı tepnou (arteria pulmonalis) do plic (5, 6), kde docház´ı k jej´ımu okysliˇcen´ı. Poté se jiˇz okysliˇcená krev vrac´ı plicn´ımi ˇzilami (7) do levé s´ınˇe (8), odkud pokraˇcuje dvouc´ıpou chlopn´ı do levé komory (9), z n´ıˇz je vypuzována do aorty (10) a vedena systémem tepen dále do celého tˇela. Srdce takto pˇreˇcerpá asi 5 litr˚ u krve za minutu, [10], coˇz pˇribliˇznˇe odpov´ıdá celkovému objemu krve obsaˇzenému v lidském organismu. Pˇri této ˇcinnosti spotˇrebuje srdeˇcn´ı sval velké mnoˇzstv´ı kysl´ıku, které mu dodává s´ıt’ vˇenˇcitých (koronárn´ıch) tepen,

9

1.2. C´ evy

10

obr. 1.3. Pˇri omezen´ı pˇr´ısunu kysl´ıku docház´ı k odumˇren´ı tkánˇe, coˇz m˚ uˇze vést aˇz k infarktu myokardu.

Obrázek 1.2: Tok krve v srdci.

1.2

Obrázek 1.3: Koronárn´ı tepny: RCX - ramus circumflexus, RIM - ramus intermedius, RD ramus diagonalis, RIA - ramus interventricularis anterior, RIVP - ramus interventricularis posterior, RPLD - ramus posterolateralis dexter, [15].

C´ evy

Obˇehovou soustavu tvoˇr´ı kromˇe srdce i cévy dˇel´ıc´ı se podle své stavby na tepny (arterie), které odvád´ı krev od srdce, ˇz´ıly (veny), které vedou krev do srdce, a vláseˇcnice (kapiláry), jeˇz pˇredstavuj´ı pˇrechod mezi obˇema pˇredchoz´ımi typy. Nejvˇetˇs´ı tepnou lidského tˇela je aorta, která má pr˚ usvit asi 30 mm a dále se vˇetv´ı na menˇs´ı tepny s pr˚ usvity 5 - 15 mm a tepénky (arterioly) o vnitˇrn´ım pr˚ umˇeru kolem 3 mm, [10]. Vnitˇrn´ı vrstvu tepny (tunica intima) tvoˇr´ı hladká, nesmáˇcivá výstelka (endotel), obr. 1.4. Stˇredn´ı vrstva (tunica media) se skládá z kruhovitˇe uspoˇrádáné hladké svaloviny, v n´ıˇz je vazivo umoˇzn ˇ uj´ıc´ı zmˇenu pr˚ usvitu tepny a t´ım i regulaci krevn´ıho toku a tlaku. Povrch cévy pˇredstavuje vnˇejˇs´ı vazivová vrstva (tunica adventicia), která obsahuje kolagenn´ı vlákna a je prostoupena vegetativn´ımi nervy. Vnitˇrn´ı stavba ˇz´ıly, obr. 1.5, se podobá stavbˇe tepny, pouze s t´ım rozd´ılem, ˇze jej´ı stˇena je výraznˇe tenˇc´ı, poddajnˇejˇs´ı a také obsahuje ménˇe svaloviny. V porovnán´ı s arteriáln´ı ˇcást´ı obˇehové soustavy proud´ı v ˇzilách krev pomaleji kv˚ uli tomu, ˇze je vystavena menˇs´ımu tlakovému spádu. Souˇcást ˇzil na doln´ıch konˇcetinách pˇredstavuje i ˇrada kapsovitých chlopn´ı, jejichˇz u ´ kolem je zabraˇ novat zpˇetnému toku krve vlivem gravitace. Vláseˇcnice jsou nejjemnˇejˇs´ı cévy o pr˚ usvitu v rozmez´ı 6 - 50 µm, [10]. Tvoˇr´ı je pouze jedna vrstva endotelových bunˇek, které svou strukturou umoˇzn ˇ uj´ı látkovou výmˇenu s mimocévn´ım prostorem.

1.3. Krev a jej´ı mechanick´ e vlastnosti

Obrázek 1.4: Stavba tepny.

1.3

11

Obrázek 1.5: Stavba ˇz´ıly.

Krev a jej´ı mechanick´ e vlastnosti

Krev (haema, sanguis) je nestlaˇcitelná vazká tekutina. Jej´ı objem v lidském tˇele závis´ı na pohlav´ı a hmotnosti ˇclovˇeka s t´ım, ˇze pr˚ umˇerná hodnota se ve vˇetˇsina pˇr´ıpad˚ u pohybuje kolem 5,5 l, [10]. Krev zastává v naˇsem organismu tˇri ˇzivotnˇe d˚ uleˇzité funkce: • transport kysl´ıku z plic do tkán´ı a oxidu uhliˇcitého z tkán´ı do plic, dále rozvod ˇzivin, hormon˚ u a enzym˚ u potˇrebných pro látkovou výmˇenu a odvod odpadn´ıch látek z organismu, • zajiˇstˇen´ı stálého vnitˇrn´ıho prostˇred´ı, tedy udrˇzován´ı stálého pH, teploty a acidobazické rovnováhy, • obranu proti infekc´ım a cizorodým látkám. Krev tvoˇr´ı z 55% krevn´ı plazma a ze 45% krevn´ı elementy (ˇcervené a b´ılé krvinky a krevn´ı destiˇcky). Pomˇer ˇcervených krvinek v˚ uˇci celkovému objemu krve se nazývá hematokrit, který se stanovuje po odstˇredˇen´ı krve obsahujc´ı soli zabraˇ nuj´ıc´ı jej´ımu sráˇzen´ı, obr. 1.6. Normáln´ı hodnoty se u muˇz˚ u pohybuj´ı v rozmez´ı 43,2% - 49,2% a u ˇzen v rozmez´ı 35,8% - 45,4%, [10], pˇriˇcemˇz hematokrit ˇziln´ı krve je o trochu vyˇsˇs´ı neˇz hematokrit tepenné krve. Pˇri zvýˇsené hla- Obrázek 1.6: Hematokrit. dinˇe ˇcervených krvinek se zvyˇsuje hustota krve, coˇz m˚ uˇze být pˇr´ıˇcinou vzniku trombózy - krevn´ı sraˇzeniny uvnitˇr cévy. Dalˇs´ı sledovanou hodnotou je rychlost sedimentace krevn´ıch ˇcástic. V proud´ıc´ı krvi jsou sledované elementy stejnomˇernˇe rozptýleny a tvoˇr´ı suspenzi ve viskózn´ı plazmˇe. V nesráˇzlivé ˇ krvi odstavené v nádobˇe se rozdˇel´ı jej´ı souˇcásti podle hustoty. Cerven´ e krvinky maj´ı tendenci pen´ızkovatˇet, neboli vytváˇret sloupeˇcky o velkém objemu a relativnˇe malém povrchu. Tyto shluky bunˇek klesaj´ı ke dnu nádoby rychleji, neˇz kdyby ˇcástice klesaly samostatnˇe. Pˇri chorobných nebo i nˇekterých fyziologických stavech (tˇehotenstv´ı) se zvyˇsuje rychlost pen´ızkovatˇen´ı ˇcervených krvinek a velikost jejich shluk˚ u. Normáln´ı hodnoty sedimentace jsou u muˇz˚ u stanoveny v rozmez´ı 1 - 3 mm/hod a u ˇzen v rozmez´ı 4 - 7 mm/hod, [9].

1.3. Krev a jej´ı mechanick´ e vlastnosti

1.3.1

12

Plazma

Plazma je tekutá sloˇzka krve. Jedná se o pr˚ uhlednou naˇzloutlou kapalinu skládaj´ıc´ı se pˇredevˇs´ım z vody (90%), anorganických (napˇr. sod´ık, drasl´ık, vápn´ık, hoˇrˇc´ık) a organických látek (cukry, tuky, b´ılkoviny). Mezi plazmatické b´ılkoviny patˇr´ı albuminy, které se tvoˇr´ı v játrech a dobˇre váˇzou vodu, protoˇze maj´ı ve srovnán´ı s ostatn´ımi plazmatickými proteiny pomˇernˇe malou molekulu. Kromˇe albumin˚ u obsahuje plazma jeˇstˇe globuliny a fibrinogen. Globuliny vznikaj´ı v m´ızn´ı tkáni a hraj´ı d˚ uleˇzitou roli v obranném systému organismu. Z fibrinogenu se p˚ usoben´ım enzym˚ u vytváˇr´ı vláknitý fibrin tvoˇr´ıc´ı základ zátky, jeˇz ucpává naruˇsenou cévn´ı stˇenu. Plazma zbavená fibrinogenu se nazývá krevn´ı sérum.

1.3.2

Krevn´ı elementy

Mezi krevn´ı ˇcástice patˇr´ı ˇcervené krvinky (erytrocyty), b´ılé krviny (leukocyty) a krevn´ı destiˇcky (trombocyty), obr. 1.7. ˇ Cerven´ e krvinky, tvoˇr´ıc´ı 95% vˇsech krevn´ıch element˚ u, jsou bezjaderné buˇ nky, obsahuj´ıc´ı ˇcervené krevn´ı barvivo hemoglobin. Maj´ı plochý bikonkávn´ı tvar s pr˚ umˇerem okolo 8 µm a tlouˇst’kou 2 µm, [10]. Zdravý dospˇelý ˇclovˇek má pˇribliˇznˇe 4,5 - 5,5 milion˚ u ˇcervených krvinek v jednom miObrázek 1.7: Krevn´ı ˇcástice lilitru krve, [9]. Vznikaj´ı z mateˇrských bunˇek v ˇcervené kostn´ı (zleva ˇcervená krvinka, dˇreni a zhruba o 120 dn´ı pozdˇeji zanikaj´ı ve slezinˇe. krevn´ı destiˇcka a b´ılá Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı funkc´ı erytrocyt˚ u je transport kysl´ıku, který krvinka). se váˇze na ˇzelezo obsaˇzené v hemoglobinu. B´ıl´ e krvinky vlastn´ı na rozd´ıl od tˇech ˇcervených jádro, a ˇrad´ı se tedy mezi pravé buˇ nky. Maj´ı oválný tvar s nejvˇetˇs´ım pr˚ umˇerem 15 - 27 µm, [10]. V jednom mililitru krve jich je obsaˇzeno pˇribliˇznˇe 4 000 - 10 000, [9]. Z hlediska své funkce v naˇsem tˇele pˇredstavuj´ı d˚ uleˇzitou souˇcást imunitn´ıho systému. Nˇekteré leukocyty (granulocyty) obsahuj´ı v cytoplazmˇe barvitelná zrna (granula). Podle toho, zda jsou granulocyty barvitelné kyselým nebo zásaditým barvivem, popˇr´ıpadˇe obˇema, je rozliˇsujeme na eozinofiln´ı, bazofiln´ı a neutrofiln´ı. Leukocyty bez barvitelných zrn (agranulocyty) dˇel´ıme na lymfocyty a monocyty. Ke krevn´ım element˚ um ˇrad´ıme i trombocyty, coˇz je nepˇresný název, protoˇze se nejedná o buˇ nky v pravém smyslu slova, ale pouze o bunˇeˇcné u ´ lomky o pr˚ umˇeru zhruba 2 - 4 µm, [9], odˇstˇepené z velkých bunˇek kostn´ı dˇrenˇe. Na jeden mililitr krve jich pˇripadá asi 300 000, [9]. Funkˇcnˇe a významovˇe se pod´ıl´ı na procesu sráˇzen´ı krve. V m´ıstˇe poˇskozen´ı cévy se nahromad´ı a vytvoˇr´ı zde zátku (destiˇckový trombus), do n´ıˇz se pak ukládaj´ı vlákna fibrinu.

´rn´ıch tepen a jejich l´ ˇba 1.4. Onemocnˇ en´ı korona ec

1.4

13

Onemocnˇ en´ı koron´ arn´ıch tepen a jejich l´ eˇ cba

Ischemick´ a choroba srdeˇ cn´ı patˇr´ı k negativn´ım ˇ e republice d˚ usledk˚ um modern´ıho ˇzivotn´ıho stylu. V Cesk´ zp˚ usob´ı kaˇzdoroˇcnˇe aˇz tˇretinu u ´ mrt´ı. Jedná se o onemocnˇen´ı koronárn´ıch tepen zásobuj´ıc´ıch srdeˇcn´ı sval okysliˇcenou krv´ı. Jeho nejˇcastˇejˇs´ı pˇr´ıˇcinou je ateroskler´ oza. Pˇri aterosklero- Obrázek 1.8: Aterosklerotickém procesu docház´ı k naruˇsen´ı cévn´ı stˇeny. Na poˇsko- tický proces. zeném m´ıstˇe vznikaj´ı aterosklerotické pláty sloˇzené z lipidového jádra a fibrózn´ıho krytu, obr. 1.8. Pˇresné pˇr´ıˇciny nejsou dosud známy, ale v´ı se o faktorech, které zvyˇsuj´ı nebezpeˇc´ı vzniku a rozvoje aterosklerózy. Nˇekteré z nich jsou ovlivniteln´ e, jako napˇr´ıklad kouˇren´ı, stres, vysoký krevn´ı tlak, cukrovka, zvýˇsená hladina krevn´ıch tuk˚ u a obezita spojená se ˇspatnými stravovac´ımi návyky a sedavým zp˚ usobem ˇzivota, jiné naopak neovlivniteln´ e, k nimˇz se ˇrad´ı vˇek (s vyˇsˇs´ım vˇekem riziko vzniku aterosklerózy stoupá), pohlav´ı (v´ıce jsou ohroˇzeni muˇzi) a dˇediˇcnost. D˚ usledkem aterosklerotického procesu se zuˇzuje pr˚ usvit koronárn´ı arterie a jej´ı stˇena ztrác´ı pruˇznost. Sn´ıˇzený pr˚ utok krve tepnou má za následek to, ˇze myokard nen´ı dostateˇcnˇe zásobován krv´ı a ˇzivinami, coˇz se projevuje pálivou bolest´ı v srdeˇcn´ı krajinˇe, tzv. anginou pectoris. Pokud se z´ uˇzená vˇenˇcitá tepna ucpe krevn´ı sraˇzeninou (trombem) a zcela se pˇreruˇs´ı pr˚ utok krve, m˚ uˇze doj´ıt i ku ´ plnému odumˇren´ı tkánˇe srdeˇcn´ıho svalu. Tento stav se oznaˇcuje jako infarkt myokardu. Pˇri onemocnˇen´ı vˇenˇcitých tepen jsou nejprve postiˇzenému podávány medikamenty. Pacient by mˇel zároveˇ n zmˇenit sv˚ uj ˇzivotn´ı styl, tzn. pˇrej´ıt na zdravˇejˇs´ı zp˚ usob stravován´ı, zvýˇsit fyzickou aktivitu, popˇr´ıpadˇe pˇrestat kouˇrit. Pokud se pˇresto projevy choroby zhorˇsuj´ı, pˇristupuje se k invazivn´ı terapii. Prvn´ı moˇznost´ı je angioplastika. Do m´ısta z´ uˇzen´ı (stenózy) se pomoc´ı katetru zavede balónek, jehoˇz nafouknut´ım se tepna v postiˇzené oblasti rozˇs´ıˇr´ı. Tento zákrok vˇsak ˇcasto nepˇrináˇs´ı trvalé zlepˇsen´ı, Obrázek 1.9: Aplikace stentu ˇ sen´ı protoˇze docház´ı k opˇetovnému z´ uˇzen´ı (restenóze). Reˇ do z´ uˇzené koronárn´ı tepny, 1 pˇredstavuje vloˇzen´ı stentu, který napomáhá udrˇzovat tep- vsunut´ı stentu do postiˇzeného nu roztaˇzenou a zabraˇ nuje tak vzniku restenózy v daném m´ısta arterie, 2 - roztaˇzen´ı m´ıstˇe. Jeho aplikace je znázornˇena na obr. 1.9. stentu pomoc´ı balónku, 3 - obNemocn´ı s rozsáhlým postiˇzen´ım, kde angioplastika noven´ı pr˚ utoku krve tepnou. nebo stent nejsou dostateˇcnˇe u ´ˇcinné, podstupuj´ı chirurgický zákrok v podobˇe pˇremostˇen´ı nepr˚ uchodné ˇcásti, resp. ˇcást´ı, koronárn´ı arterie pomoc´ı vhodného ˇstˇepu, neboli implantaci tzv. koron´ arn´ıho bypassu. Jedná se bud’ o aorto-koronárn´ı bypass, kde je prvn´ı (proximáln´ı) ˇcást ˇstˇepu napojena na aortu a druhá (distáln´ı) na koronárn´ı tepnu za m´ısto s pˇreruˇseným pr˚ utokem krve, nebo o koronaro-koronárn´ı bypass, pˇri nˇemˇz jsou oba konce ˇstˇepu naˇsity na koronárn´ı

´rn´ıch tepen a jejich l´ ˇba 1.4. Onemocnˇ en´ı korona ec

14

arterii. Kardiochirurgové se pˇri implantaci bypassu snaˇz´ı obnovit zásobován´ı krv´ı pro co nejvˇetˇs´ı oblast myokardu, ˇcasto proto jedn´ım ˇstˇepem pˇremost´ı v´ıce nepr˚ uchodných m´ıst, neboli ˇstˇep, popˇr´ıpadˇe ˇstˇepy, pˇripoj´ı k nˇekolika vˇetv´ım koronárn´ıho stromu najednou. Touto technikou se vytváˇr´ı tzv. sekvenˇcn´ı bypass, obr. 1.10. Bˇeˇznˇe se uˇz´ıvaj´ı syntetické a autologn´ı ˇstˇepy, jeˇz se dále dˇel´ı na tepenné a ˇziln´ı. Syntetická varianta se pro koronárn´ı bypass ukázala v praxi jako nevhodná a nacház´ı uplatnˇen´ı sp´ıˇse pˇri pˇremostˇen´ı tepen s vˇetˇs´ım pr˚ usvitem, napˇr. u tepen doln´ıch konˇcetin (stehenn´ı, podkolenn´ı). Pˇr´ıklad tepenného ˇstˇepu pˇredstavuje prsn´ı nebo vˇretenn´ı tepna (arteria mammaria, arteria radialis). Nejˇcastˇeji se vˇsak pouˇz´ıvaj´ı ˇziln´ı ˇstˇepy odebrané z doln´ıch konˇcetin (vena saphena magna, vena saphena parva). Pˇri aplikaci bypassu vznikaj´ı r˚ uzné typy vzájemného napojen´ı cév (anastomóz ), obr. 1.11, pro nˇeˇz se v lékaˇrstv´ı pouˇz´ıvaj´ı názvy pˇrevzaté z anglické terminologie: • end-to-side (obr. 1.11, vlevo nahoˇre): konec jedné cévy se naˇsije na stˇenu druhé, • end-to-end (obr. 1.11, vlevo dole): konce cév se pˇripoj´ı k sobˇe, • side-to-side (obr. 1.11, vpravo): boˇcn´ı spojen´ı cév.

Obrázek 1.10: Sekvenˇcn´ı aorto-koronárn´ı bypass, [3].

Obrázek 1.11: Typy bypassových anastomóz: end-to-side (vlevo nahoˇre), end-to-end (vlevo dole) a side-to-side (vpravo), [6].

Stejnˇe jako u angioplastiky je i ˇzivotnost koronárn´ıho bypassu omezená, v porovnán´ı s n´ı je vˇsak delˇs´ı. Zat´ımco u angioplastiky docház´ı k restenóze vˇetˇsinou do dvou let, 40-60% bypass˚ u ztrác´ı pr˚ uchodnost aˇz bˇehem deseti let, [3]. K nejˇcastˇejˇs´ım pˇr´ıˇcinám selhán´ı chirurgicky vytvoˇrených pˇremostˇen´ı patˇr´ı virové a bakteriáln´ı infekce, krevn´ı ˇ sraˇzeniny (tromby) a neointimáln´ı hyperplázie, obr. 1.12. Obrázek 1.12: Rez distáln´ı Jedná se o pooperativn´ı proces hojen´ı poˇskozené tkánˇe, anastomózou postiˇzenou inkterý m˚ uˇze za urˇcitých okolnost´ı vést ke ztrátˇe pr˚ uchod- timáln´ı hyperplázi´ı. nosti koronárn´ı tepny nebo ˇstˇepu zp˚ usobené nadmˇerným r˚ ustem vnitˇrn´ı výstelky cévn´ı stˇeny (tunica intima) v oblasti napojen´ı ˇstˇepu na nativn´ı arterii.

´za hemodynamiky side-to-side anastomo ´ zy v literatur ˇe 1.5. Analy

1.5

15

Anal´ yza hemodynamiky side-to-side anastom´ ozy v literatuˇ re

Z dostupné literatury zabývaj´ıc´ı se proudˇen´ım krve v koronárn´ım bypassu se problematice side-to-side anastomózy vˇenuje jen velmi málo studi´ı, z nichˇz jmenujme napˇr´ıklad [2] a [5]. V [2] je zkoumán stacionárn´ı i nestacionárn´ı tok krve ve dvou r˚ uzných konfigurac´ıch tohoto typu anastomózy. Konkrétnˇe se jedná o diamond, pˇri n´ıˇz jsou ˇstˇep a nativn´ı arterie k sobˇe um´ıstˇeny kˇr´ıˇzem, a pareleln´ı, kdy jsou obˇe cévy uloˇzeny rovnobˇeˇznˇe vedle uzné konfigurace sidesebe, obr. 1.13, kde G (graft) znaˇc´ı ˇstˇep a H Obrázek 1.13: Dvˇe r˚ to-side anastom´ o zy, G (graft) - bypassový (host) tepnu. Pojmy oznaˇcuj´ıc´ı tyto dvˇe konfigurace (diamond a paraleln´ı) budou pouˇzity i ˇstˇep, H (host) - nativn´ı arterie. pro potˇreby naˇs´ı práce. Z jejich porovnán´ı v [2] vyˇsla lépe paraleln´ı varianta, kde byl pozorován menˇs´ı poˇcet oblast´ı s extrémn´ı hodnotou smykového napˇet´ı na stˇenˇe. Dalˇs´ım sledovaným aspektem byl pomˇer pr˚ umˇer˚ u bypassového ˇstˇepu a koronárn´ı tepny, na n´ıˇz je napojen. Bylo zjiˇstˇeno, ˇze lepˇs´ıch výsledk˚ u je dosaˇzeno pˇri menˇs´ım pr˚ umˇeru nativn´ı arterie neˇz pˇri shodném pr˚ umˇeru cév. Na závˇer je nutné poznamenat, ˇze v této studii byl uvaˇzován znaˇcnˇe idealizovaný geometrický model side-to-side anastomózy, který neodpov´ıdá jej´ımu chirurgickému proveden´ı, a to zejména v oblasti napojen´ı ˇstˇepu na tepnu. V [5] byly sledovány rozd´ıly v hemodynamice side-to-side a end-to-side anastomózy. Ovˇsem na rozd´ıl od [2] byla pouˇzita reálná geometrie z´ıskaná z CT vyˇsetˇren´ı provedeného dvˇema pacient˚ um, jimˇz byl implantován bypassový ˇstˇep. Z této práce jsme pro naˇse potˇreby pˇrevzali ˇcasový pr˚ ubˇeh objemového pr˚ utoku krve v side-to-side anastomóze v rámci jedné periody odpov´ıdaj´ıc´ı jednomu srdeˇcn´ımu cyklu, obr. 1.14. Z nich jsme vyuˇzili hodnotu pr˚ utoˇcného mnoˇzstv´ı v bypassovém ˇstˇepu (ˇrez 1) a v nativn´ı arterii (ˇrez 3) pˇred m´ıstem vzájemného napojen´ı.

Obrázek 1.14: Objemový pr˚ utok Q(t) side-to-side anasotmózou: ˇrez 1 - ˇstˇep pˇred oblast´ı napojen´ı, ˇrez 2 - ˇstˇep za oblast´ı napojen´ı, ˇrez 3 - nativn´ı arterie pˇred oblast´ı napojen´ı, ˇrez 4 - nativn´ı arterie za oblast´ı napojen´ı, ˇrez 5 - nativn´ı arterie pˇred m´ıstem z´ uˇzen´ı.

Kapitola 2 Matematick´ e modelov´ an´ı proudˇ en´ı nestlaˇ citeln´ e newtonsk´ e kapaliny 2.1

Matematick´ y model

Uvaˇzujeme ˇcasoprostorový válec ΩT = Ω × (0, T ), kde Ω ⊂ R2 je dvourozmˇerná výpoˇctová oblast s hranic´ı ∂Ω = ∂Ωin ∪ ∂Ωout ∪ ∂Ωwall a (0, T ) je ˇcasový interval. Oznaˇcen´ı ∂Ωin pˇredstavuje ˇcást hranice výpoˇctové oblasti na vstupu, ∂Ωout znaˇc´ı výstup a ∂Ωwall pevnou, nepropustnou stˇenu. Výchoz´ı kompaktn´ı systém rovnic popisuj´ıc´ıch izotermické laminárn´ı proudˇen´ı nestlaˇcitelné newtonské kapaliny, pˇriˇcemˇz vnˇejˇs´ı objemové s´ıly neuvaˇzujeme, je tvoˇren • rovnic´ı kontinuity ∂vj = 0, ∂yj

(2.1)

• Navierovými-Stokesovými rovnicemi ̺

∂ ∂p τij ∂vi +̺ (vi vj ) + = , ∂t ∂yj ∂yi ∂yj

(2.2)

kde i, j = 1, 2, vi je i-tá sloˇzka vektoru rychlosti v = [v1 , v2 ]T ve smˇeru kartézské souˇradnice yi vektoru prostorových promˇenných y = [y1 , y2]T , ̺ je hustota kapaliny a τij je tenzor napˇet´ı definovaný následuj´ıc´ım zp˚ usobem:

∂vi ∂vj τij = η . + ∂yj ∂yi

(2.3)

Do (2.2) dosad´ıme (2.3) a vydˇel´ıme hustotou ̺ ∂ ∂ 2 vi ∂vi + (vi vj + P δij ) = ν , ∂t ∂yj ∂yj ∂yj 16

(2.4)

ˇitelnosti 2.2. Metoda umˇ el´ e stlac

17

kde P = ̺p je kinematický tlak, δij je Kroneckerova delta a ν = η̺ je kinematická vazkost. Spoleˇcnˇe s rovnic´ı kontinuity (2.1) tak dostaneme systém Navierových-Stokesových rovnic pro nestlaˇcitelnou newtonskou kapalinu ve 2D, který m˚ uˇzeme po sloˇzkách vyjádˇrit jako

∂u ∂t ∂v ∂t

∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y 2 ∂ 2 ∂ ∂ u ∂2u , + (u + P ) + (uv) = ν + ∂x ∂y ∂x2 ∂y 2 2 ∂ ∂ 2 ∂ v ∂2v . + (uv) + (v + P ) = ν + ∂x ∂y ∂x2 ∂y 2

(2.5) (2.6) (2.7)

Tento systém parciáln´ıch diferenciáln´ıch rovnic je elipticko-parabolický. K jeho numerickému ˇreˇsen´ı pouˇzijeme metodu umˇelé stlaˇcitelnosti, poprvé pouˇzitou Chorinem v roce 1967, [4].

2.2

Metoda umˇ el´ e stlaˇ citelnosti

Do rovnice (2.5) pˇridáme ˇclen vyjadˇruj´ıc´ı umˇelou stlaˇcitelnost uvaˇzované kapaliny. Z´ıskáme tak hyperbolicko-parabolický systém parciáln´ıch diferenciáln´ıch rovnic, který lze numericky ˇreˇsit pomoc´ı metod vhodných pro ˇreˇsen´ı hyperbolického systému parciáln´ıch diferenciáln´ıch rovnic

∂u ∂t ∂v ∂t

1 ∂P ∂u ∂v = 0, + + β 2 ∂t ∂x ∂y 2 ∂ 2 ∂ ∂ u ∂2u + (u + P ) + (uv) = ν + , ∂x ∂y ∂x2 ∂y 2 2 ∂ ∂ 2 ∂ v ∂2v + (uv) + (v + P ) = ν + , ∂x ∂y ∂x2 ∂y 2

(2.8) (2.9) (2.10)

kde parametr β [m s−1 ] je potˇreba vhodnˇe zvolit. V naˇsem pˇr´ıpadˇe ho √ odhadneme jako nejvˇetˇs´ı pˇredpokládanu velikost rychlosti ve výpoˇctové oblasti, β = max2 u2 + v 2 . Ω⊂R

2.3 2.3.1

Numerick´ eˇ reˇsen´ı Pˇ revod rovnic do bezrozmˇ erov´ eho tvaru

Modifikovaný systém Navieorových-Stokesových rovnic pro proudˇen´ı nestlaˇcitelné newtonské kapaliny (2.8) - (2.10) pˇrevedeme do bezrozmˇerového tvaru podle následuj´ıc´ıch vztah˚ u:

ˇeˇ 2.3. Numerick´ er sen´ı

x∗ = β∗ =

18

x lref

, y∗ =

y lref

, u∗ =

u uref

, v∗ =

v uref

,

β P t · uref ν , P ∗ = 2 , ν∗ = , t∗ = , uref uref νref lref

kde bezrozmˇerové veliˇciny jsou oznaˇceny hvˇezdiˇckou a kde lref , uref a νref pˇredstavuj´ı referenˇcn´ı hodnoty. Z´ıskáme tak bezrozmˇerový systém rovnic

∂u∗ ∂t∗ ∂v ∗ ∂t∗ u

∗ ∂v ∗ ∂P ∗ ∗2 ∂u +β + = 0, ∂t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂ ν ∗ ∂ 2 u∗ ∂ 2 u∗ ∂ ∗2 ∗ ∗ ∗ + ∗ (u + P ) + ∗ (u v ) = + , ∂x ∂y Re∞ ∂x∗ 2 ∂y ∗ 2 2 ∗ ∂ v ∂ ∂ ν∗ ∂2v∗ ∗ ∗ ∗2 ∗ + ∗ (u v ) + ∗ (v + P ) = + , ∂x ∂y Re∞ ∂x∗2 ∂y ∗2

(2.11) (2.12) (2.13)

·l

ref kde Re∞ = ref je Reynoldsovo ˇc´ıslo. V dalˇs´ım textu, pokud nebude výslovnˇe uvedeno νref jinak, uvaˇzujeme vˇsechny veliˇciny bezrozmˇerovˇe. Rovnice (2.11) - (2.13) lze pˇrepsat v kompaktn´ım vektorovém tvaru následuj´ıc´ım zp˚ usobem:

∂w ∂f(w) ∂g(w) ∂fv (w) ∂gv (w) 1 , + + = + ∂t ∂x ∂y Re∞ ∂x ∂y

(2.14)

kde pro vektor neznámých, tzv. primitivn´ıch promˇenných w a kartézské sloˇzky f(w), g(w) vektoru nevazkého toku a kartézské sloˇzky fv (w) a gv (w) vektoru vazkého toku plat´ı    2   2      0 P β u β v 0 ∂u ∂u 2 w =  u  , f(w) =  u + P  , g(w) =  uv  , fv (w) = ν  ∂x  , gv (w) = ν  ∂y  . ∂v ∂v v uv v2 + P ∂x ∂y

2.3.2

Prostorov´ a diskretizace - metoda koneˇ cn´ ych objem˚ u

K prostorové diskretizaci modifikovaného systému Navierových-Stokesových rovnic (2.14) pouˇzijeme metodu koneˇcných objem˚ u, [8], na strukturované ˇctyˇru ´ heln´ıkové s´ıti. Systém rovnic (2.14) zintegrujeme pˇres kaˇzdou ˇctyˇru ´ heln´ıkovou buˇ nku Ωij , i = 1, ..., NCI , j = 1, ..., NCJ , kde NC = NCI × NCJ je poˇcet vˇsech bunˇek zvolené s´ıtˇe, Z

Ωij

∂w dΩ = − ∂t

Z

Ωij

Z 1 ∂fv ∂gv ∂f(w) ∂g(w) dΩ + dΩ. + + ∂x ∂y Re∞ ∂x ∂y Ωij

(2.15)


19

Pˇresné ˇreˇsen´ı w(y, t) aproximujeme na ˇctyˇru ´ heln´ıkové buˇ nce Ωij konstantn´ı funkc´ı wij , která je stˇredn´ı hodnotou 1 wij ≈ |Ωij |

Z

(2.16)

w(y, t)dΩ,

Ωij

kde |Ωij | je obsah buˇ nky vypoˇc´ıtaný ze souˇradnic jej´ıch uzl˚ u, obr. 2.1, 1 |Ωij | = |(x3 − x1 )(y4 − y2 ) − (y3 − y1 )(x4 − x2 )|. 2

(2.17)

ˇ ru Obrázek 2.1: Ctyˇ ´ heln´ıková buˇ nka Ωij Po dosazen´ı (2.16) do rovnice (2.15) a následném pouˇzit´ı Greenovy vˇety, která pˇrevád´ı ploˇsné integrály na kˇrivkové, z´ıskáme rovnici dwij (t) |Ωij | = − dt

I

1 (f(w)nx + g(w)ny )dl + Re∞

I

(fv (w)nx + gv (w)ny )dl.

(2.18)

∂Ωij

∂Ωij

Kˇrivkové integrály na pravé stranˇe rovnice (2.18), vyjadˇruj´ıc´ı celkový tok hranic´ı ∂Ωij ˇctyˇru ´ heln´ıkové buˇ nky Ωij , nahrad´ıme souˇctem integrál˚ u pˇres jednotlivé strany buˇ nky 4 Z X dwij (t) y m |Ωij | = − (fm (w) x nm ij + gm (w) nij )dl + dt m=1

(2.19)

Γm ij

4 Z 1 X y m (fvm (w) x nm + ij + gvm (w) nij )dl, Re∞ m=1 Γm ij

x m y m kde nm y vektor vnˇejˇs´ı normály k m-té stranˇe Γm nky Ωij . ij = ( nij , nij ) je jednotkov´ ij buˇ Integrály v sumách v pˇredchoz´ı rovnici (2.19) nahrad´ıme aplikac´ı vˇety o stˇredn´ı hodnotˇe


20

4 1 X dwij (t) y m m (fm (w) x nm =− ij + gm (w) nij )|Γij | − dt |Ωij | m=1 4 1 X y m m x m − (fv (w) nij + gvm (w) nij )|Γij | , Re∞ m=1 m

(2.20)

kde |Γm elka m-té strany ˇctyˇru ´ heln´ıkové buˇ nky Ωij . Pokud zavedeme vektor vnˇejˇs´ı ij | je d´ x y T T normály Sm = (Sm , Sm ) = (∆ym , −∆xm ) = (ym+1 − ym , −(xm+1 − xm ))T k m-té stranˇe této buˇ nky, rovnici (2.20) m˚ uˇzeme pˇrepsat 4 1 1 X dwij (t) y x x y fm (w)Sm + gm (w)Sm − fv (w)Sm + gvm (w)Sm .(2.21) =− dt |Ωij | m=1 Re∞ m

Kartézské sloˇzky fm (w) a gm (w) nevazkého toku numericky aproximujeme následuj´ıc´ım zp˚ usobem: 1 (f(wij )) + f(wi+1j ), 2 1 f3 (w) = (f(wij )) + f(wi−1j ), 2

f1 (w) =

1 f2 (w) = (f(wij )) + f(wij+1 ), 2 1 f4 (w) = (f(wij )) + f(wij−1 ). 2

ˇ ru Obrázek 2.2: Ctyˇ ´ heln´ıková buˇ nka Ωij a duáln´ı buˇ nka Ωi+ 1 j pˇr´ısluˇsej´ıc´ı jej´ı prvn´ı stranˇe. 2

Výpoˇcet vazkých tok˚ u provedeme pomoc´ı duáln´ıch bunˇek zvolených podle obr. 2.2. K aproximaci derivac´ı rychlosti u na m-té stˇenˇe buˇ nky Ωij (vyberme napˇr´ıklad stˇenu m = 1) pouˇzijeme vˇetu o stˇredn´ı hodnotˇe a Greenovu vˇetu

∂u |Ωi+ 1 j | 2 ∂x

|Ωi+ 1 j | 2

∂u ∂y

i+ 12 j

i+ 12 j

≈

Z

Ωi+ 1 j 2

≈

Z

Ωi+ 1 j 2

I 4 X ∂u dΩ = uk Skx , unx dl = ∂x k=1

(2.22)

∂Ωi+ 1 j 2

I 4 X ∂u uk Sky , dΩ = uny dl = ∂y k=1 ∂Ωi+ 1 j 2

(2.23)


21

nky pˇr´ısluˇs´ıc´ı dané stranˇe. V´ ypoˇcet derivac´ı rychlost´ı na stˇenˇe kde |Ωi+ 1 j | je obsah duáln´ı buˇ 2 ˇctyˇru ´ heln´ıkové buˇ nky Ωij pro m = 1 tedy provedeme následovnˇe:

∂u ∂x

∂u ∂y

i+ 21 j

i+ 21 j

1

≈

|Ωi+ 1 j | 2

≈−

1

4 X

k=1 4 X

|Ωi+ 1 j | 2

uk ∆yk ,

(2.24)

uk ∆xk ,

(2.25)

k=1

kde ∆xk , ∆yk jsou souˇradnice vektoru vnˇejˇs´ı normály Sk ke k-té stˇenˇe duáln´ı buˇ nky a uk jsou rychlosti na téˇze stˇenˇe duáln´ı buˇ nky Ωi+ 1 j 2

u1 = 21 (uij + ui+ 1 j− 1 ), 2 2 u3 = 21 (ui+1j + ui+ 1 j+ 1 ), 2

2

u2 = 12 (u1+1j + ui+ 1 j− 1 ), 2 2 u4 = 12 (uij + ui+ 1 j+ 1 ). 2

2

Pro aproximaci derivac´ı rychlosti u na hranici výpoˇctové oblasti, tzn. neexistuje buˇ nka Ωi+1j , mus´ıme výpoˇcet trochu pozmˇenit: ∂u 1 (2.26) ≈ △ (u1 ∆y1 + uB2 B4 ∆yB2 B4 + u4 y4 ), ∂x i+ 1 j |Ω 1 | i+ 2 j 2 1 ∂u (2.27) ≈ − △ (u1 ∆x1 + uB2 B4 ∆xB2 B4 + u4 x4 ), ∂y i+ 1 j |Ω 1 | i+ j 2 2

kde

|Ω△ | i+ 21 j

je obsah troj´ uheln´ıkové duáln´ı buˇ nky (B1 , B2 , B4 ).

∂v )i+ 1 j , ( ∂v ) 1 urˇc´ıme obdobným zp˚ usobem, výmˇenou v za u. Aproximace derivac´ı ( ∂x ∂y i+ j 2

2.3.3

2

ˇ Casov´ a diskretizace

Pro ˇreˇsen´ı soustavy obyˇcejných diferenciáln´ıch rovnic (2.21) pouˇzijeme dvoustupˇ nové Rungeovo-Kuttovo schéma druhého ˇrádu pˇresnosti v ˇcase. 4 1 n x ∆t X n x y n n y fij = wij − f S + gm Sm − f S + gvm Sm , w |Ωij | m = 1 m m Re∞ vm m 4 ∆t X n x n+1 n n y x y em Sm wij = wij − fm Sm + gm Sm + e fm Sm +g − 2|Ωij | m=1 1 n x y n x y n e evm Sm + Dwij − . f S + gvm Sm + fvm Sm + g Re∞ vm m

(2.28)

(2.29)

n Z d˚ uvodu zajiˇstˇen´ı stability ˇreˇsen´ı je do výpoˇctu pˇridána umˇelá vazkost Dwij , která je definována n n n n n Dwij = (P1+1j − 2Pijn + Pi−1j )e + (P1j+1 − 2Pijn + Pij−1 )e,

pˇriˇcemˇz e = [ε, 0, 0], ε > 0.

(2.30)


22

ˇ Casov´ y krok Pˇri výpoˇctu ˇcasového kroku ∆t vycház´ıme z podm´ınky stability CF L ∆t ≤ min , ij χ kde vol´ıme CF L = 0, 8 pro Rungeovo-Kuttovo dvoustupˇ nové schéma a 1 1 2 |λ1 (A(wij )|max |λ2 (B(wij ))|max + , + + χ= ∆xij ∆yij Re∞ ∆x2ij ∆yij2

(2.31)

(2.32)

kde vlastn´ı ˇc´ısla Jacobiových matic A(wij ) a B(wij ) nevazkých tok˚ u f(w) a g(w) jsou q (2.33) |λ1 (A(wij ))|max = |uij | + u2ij + β 2 , q |λ2 (B(wij ))|max = |vij | + vij2 + β 2 (2.34) a aproximace délek stran buˇ nky Ωij poˇc´ıtáme ze vzorc˚ u ∆xij =

2|Ωij | , |S1 − S3 |

∆yij =

2|Ωij | , |S2 − S4 |

(2.35)

pˇriˇcemˇz |Ωij | je obsah buˇ nky a Sm , m = 1, 2, 3, 4 jsou vnˇejˇs´ı normály jej´ıch stran. Reziduum Pro moˇznost sledován´ı vývoje konvergence zvolené numerické metody urˇcujeme reziduum ve tvaru v 2 n+1 u n uP u |Ωij | Pij −Pij ∆t u ij P . (2.36) Rez = u t |Ωij | ij

Jedná se o váˇzený pr˚ umˇer ˇcasových derivac´ı kinematického tlaku v bezrozmˇerovém tvaru ze vˇsech bunˇek obsaˇzených ve výpoˇctové oblasti.

2.3.4

Okrajov´ e podm´ınky

Pro výpoˇcet byly zvoleny následuj´ıc´ı typy okrajových podm´ınek: • ∂Ωin (vstup): parabolický rychlostn´ı profil, hodnoty tlaku extrapolujeme z proudového pole, • ∂Ωout (výstup): konstantn´ı tlak, hodnoty rychlosti z´ıskáme extrapolac´ı z proudového pole, • ∂Ωwall (stˇena): podm´ınka nulové rychlosti na stˇenˇe (no-slip boundary condition).

Kapitola 3 2D model side-to-side anastom´ ozy 3.1

Vytvoˇ ren´ı modelu a v´ ypoˇ ctov´ e s´ıtˇ e

Pro dvourozmˇerný model side-to-side anastomózy byla vybrána diamond konfigurace, kdy jsou bypassový ˇstˇep a nativn´ı arterie um´ıstˇeny rovnobˇeˇznˇe vedle sebe, obr. 1.13 (vpravo). Hodnoty pr˚ umˇer˚ u obou cév, DG = 4, 297 mm pro ˇstˇep a DA = 1, 705 mm pro tepnu, byly namˇeˇreny na reálném modelu side-to-side anastomózy, j´ımˇz se zabývá následuj´ıc´ı kapitola této práce. Pro zidealizovaný dvourozmˇerný geometrický model, obr. 3.1, byly pouˇzity oblouky kruˇznic o polomˇerech 700 mm pro implantovaný ˇstˇep a 500 mm pro tepnu. Zvolené oblouky odpov´ıdaly stˇredovým u ´ hl˚ um 18◦ (ˇstˇep) a 25◦ (tepna).

Obrázek 3.1: Dvourozmˇerný zidealizovaný model side-to-side anastomózy. Ve srovnán´ı s modely side-to-side pouˇzitými v jiných prac´ıch, napˇr. [2], geometrie znázornˇená na obr. 3.1 lépe odpov´ıdá jej´ımu reálnému chirurgickému ˇreˇsen´ı, naznaˇcenému na obr. 3.2.

Obrázek 3.2: Chirurgické ˇreˇsn´ı side-to-side anastomózy (anchor technique), [6].

23

ˇen´ı modelu a vy ´poc ˇtov´ 3.1. Vytvor e s´ıtˇ e

24

Pro potˇreby následuj´ıc´ıch numerických výpoˇct˚ u byla v programu Matlab 7.0 vytvoˇrena ˇctyˇru ´ heln´ıková s´ıt’ o 37 440 buˇ nkách. Protoˇze krev byla modelována jako vazká newtonská kapalina, bylo provedeno zahuˇstˇen´ı s´ıtˇe v bl´ızkosti stˇen pro vhodné zachycen´ı mezn´ı vrstvy. Detail vygenerované výpoˇctové s´ıtˇe v proximáln´ı ˇcásti napojen´ı cév je znázornˇen na obr. 3.3. y [m] 0.506 0.505 0.504 0.503 0.502 0.501 0.5 0.499

−0.024

−0.022

−0.02

−0.018

−0.016

−0.014

−0.012

−0.01

x [m]

Obrázek 3.3: Detail výpoˇctové s´ıtˇe v proximáln´ı ˇcásti napojen´ı cév.

S vyuˇzit´ım metod numerického ˇreˇsen´ı nelineárn´ıho systému Navierových-Stokesových rovnic, uvedených v pˇredchoz´ı kapitole, byl v programovac´ım jazyce Fortran 90 vytvoˇren vlastn´ı numerický ˇreˇsiˇc proudˇen´ı krve v side-to-side anastomóze. Parametry urˇcuj´ıc´ı tokové vlastnosti krve protékaj´ıc´ı bypassovou anastomózou byly nastaveny podle hodnot bˇeˇznˇe uˇz´ıvaných v literatuˇre, napˇr. [2] nebo [5], • hustota: ρ = 1060 kg·m−3 , • dynamická vazkost: η = 0, 0037 kg·m−1 · s−1 . Okrajov´ e podm´ınky A Na obou vstupn´ıch ˇcástech (∂ΩG zovaného modelu side-to-side anastomózy in a ∂Ωin ) uvaˇ byly pˇredepsány parabolické rychlostn´ı profily, liˇs´ıc´ı se pouze hodnotou stˇredn´ı rychlosti G A v¯in = 0, 141 m · s−1 pro ˇstˇep a v¯in = 0, 022 m · s−1 pro koronárn´ı tepnu. Tyto hodnoty byly pˇrevzaty z [5] a upraveny tak, aby vyhovovaly rozmˇer˚ um modelu pouˇzitého v této A ) byly zad´ a ny konstantn´ ı tlaky, pro nˇeˇz byly testovány a ∂Ω práci. Na výstupech (∂ΩG out out tˇri varianty hodnot, tab. 3.1, tak aby bylo moˇzné sledovat zmˇeny proudového pole v ˇcásti koronárn´ı tepny za napojen´ım. Vzhledem k tomu, ˇze stˇeny modelu (∂Ωwall ) jsou uvaˇzovány pevné a nepropustné, byla na dané ˇcásti hranice uvaˇzována podm´ınka nulové rychlosti (noslip boundary condition).

´sledky 3.2. Numerick´ e vy

25

pG out [Pa] varianta ˇc. 1 12 000 varianta ˇc. 2 12 000 varianta ˇc. 3 12 000

pA out [Pa] 12 000 11 930 11 900

Tabulka 3.1: Hodnoty tlaku definovaného na výstupu implantovaného ˇstˇepu pG ı out a nativn´ A arterie pout .

3.2

Numerick´ e v´ ysledky

Pro numerickou simulaci proudˇen´ı krve byl pouˇzit dvourozmˇerný idealizovaný model paraleln´ı konfigurace side-to-side anastomózy. V rámci vlastn´ıho ˇreˇsiˇce vyvinutého v programovac´ım jazyce Fortran 90 byl bezrozmˇerový systém Navierových-Stokesových rovnic (2.11) - (2.13) numericky ˇreˇsen za pouˇzit´ı následuj´ıc´ıch referenˇcn´ıch hodnot: lref = DG = G = 0, 004 297 m, uref = v¯in = 0, 141 m · s−1 a νref = ν = ηρ = 0,0037 = 3, 490 6 · 10−6 m2 · s−1 . 1060 Pˇri výpoˇctu umˇelé vazkosti (2.30) byl pro vˇsechny uvaˇzované varianty okrajových podm´ınek zvolen jednotný koeficient umˇelé vazkosti ε = 0, 001. Vývoj konvergence metody umˇelé stlaˇcitelnosti byl sledován pomoc´ı rezidua definovaného vztahem (2.36), obr. 3.4. Výsledné rozloˇzen´ı rychlosti a tlaku pak bylo zobrazeno pomoc´ı vizualizaˇcn´ıch prostˇredk˚ u softwaru Matlab 7.0. Pro vytvoˇren´ı jisté pˇredstavy o dosaˇzených hodnotách v uvaˇzovaném dvourozmˇerném modelu jsou rychlosti a tlaky v této práci znázornˇeny rozmˇerovˇe. 0

0

10

10

−5

−5

Rez

10

Rez

10

−10

−10

10

10

−15

10

0

−15

5

10 Pocet iteraci

15 5

x 10

10

0

5

10 Pocet iteraci

15 5

x 10

Obrázek 3.4: Vývoj rezidua ˇcasové derivace tlaku v pr˚ ubˇehu výpoˇctu - varianta ˇc. 1, 2, 3.

3.2.1

Rozloˇ zen´ı rychlosti

Ze zobrazen´ı rychlostn´ıch profil˚ u ve vybraných ˇrezech v oblasti napojen´ı cév, obr. 3.5, je patrné, ˇze pˇri aplikaci prvn´ı varianty výstupn´ıch okrajových podm´ınek se pr˚ utok krve po naˇsit´ı bypassového ˇstˇepu výraznˇe nezvýˇsil a bypass tak neplnil svou funkci. Prvn´ı varianta okrajové podm´ınky se tedy ukázala jako nevhodná. U dalˇs´ıch dvou pouˇzitých variant, obr. 3.6 a 3.7, jiˇz bylo moˇzné pozorovat zˇretelný nár˚ ust pr˚ utoku krve na výstupu nativn´ı arterie. V distáln´ı oblasti anastomózy, kde se tok krve rozdˇeloval mezi bypassový ˇstˇepu a koronárn´ı tepnu, vˇsak docházelo k nárazu proudu na stˇenu tvoˇr´ıc´ı napojen´ı obou cév. Toto m´ısto pˇredstavuj´ıc´ı naˇsit´ı ˇstˇepu na koronárn´ı tepnu tak lze oznaˇcit jako


26

potenciáln´ı problematickou oblast, jeˇz m˚ uˇze významnˇe pˇrispˇet k selhán´ı bypassu. Z hlediska hemodynamiky pˇredstavuj´ı oblast se zvýˇseným rizikem vzniku intimáln´ı hyperplázie a následného selhán´ı bypassu m´ısta s n´ızkými rychlostmi. Nedocház´ı zde totiˇz k dostateˇcné stimulaci endotelových bunˇek cévn´ı stˇeny, coˇz zapˇr´ıˇciˇ nuje jej´ı zbytnˇen´ı. Na obr. 3.8 - 3.10 je znázornˇeno rozloˇzen´ı izoˇcar rychlosti v celém modelu side-to-side anastomózy, v oblasti napojen´ı cév a v jeho distáln´ı ˇcásti, kde lze identifikovat zónu n´ızké rychlosti pˇri spodn´ı stˇenˇe nativn´ı arterie. Velikost této oblasti se zmenˇsuje se zvˇetˇsuj´ıc´ım se rozd´ılem výstupn´ıch tlak˚ u pˇredepsaných na ˇstˇepu a nativn´ı arterii. Tˇret´ı varianta okrajových podm´ınek se tedy v tomto ohledu jev´ı jako nejvýhodnˇejˇs´ı, protoˇze zde docház´ı k rovnomˇernˇejˇs´ımu rozdˇelen´ı toku krve mezi ˇstˇep a nativn´ı arterii, a t´ım i zmenˇsen´ı zóny n´ızké rychlosti. V distáln´ı ˇcásti napojen´ı je moˇzné sledovat poruchy proudového pole, jejichˇz intenzita se zvyˇsuje s rostouc´ım rozd´ılem výstupn´ıch tlak˚ u. Tento fakt je pravdˇepodobnˇe zp˚ usoben ostrým u ´ hlem napojen´ı cév a pˇri budouc´ım modelován´ı side-to-side anastomózy by bylo vhodné jej zaoblit a pˇribl´ıˇzit tak v´ıce reálné geometrii. Je ovˇsem nutné poznamenat, ˇze pˇrestoˇze idealizovaná geometrie pouˇzitá v této bakaláˇrské práci nen´ı plnˇe vyhovuj´ıc´ı, odpov´ıdá chirurgickému ˇreˇsen´ı side-to-side anastomózy, obr. 3.2, lépe neˇz geometrie pouˇzité v jiných prac´ıch, napˇr. [2]. Oproti studi´ım, které se zabývaj´ı end-to-side anastomózou, [1], [5], nebyla v naˇsem pˇr´ıpadˇe zjiˇstˇena ˇzádná recirkulaˇcn´ı zóna, jej´ıˇz nebezpeˇc´ı spoˇc´ıvá ve zvýˇseném riziku hromadˇen´ı krevn´ıch element˚ u v dané oblasti a tud´ıˇz ohroˇzen´ı vznikem trombóz.

3.2.2

Rozloˇ zen´ı tlaku

Dalˇs´ı veliˇcinou, která má velký význam v obˇehové soustavˇe, je krevn´ı tlak. Mˇeˇren´ı tlaku patˇr´ı k bˇeˇznˇe provádˇeným lékaˇrským vyˇsetˇren´ım, kdy se pomoc´ı tlakomˇeru (tonometru) zjiˇst’uje systolický a diastolický tlak krve v paˇzn´ı tepnˇe. Jako normáln´ı hodnoty se uvád´ı 120 Torr (16 kPa) pro systolický tlak a 80 Torr (10,7 kPa) pro diastolický tlak, [9]. Vlivem ztráty pruˇznosti cévn´ıch stˇen m˚ uˇze doj´ıt k patologickému zvýˇsen´ı krevn´ıho tlaku - hypertenzi. Tlak hraje d˚ uleˇzitou roli jiˇz pˇred samotnou aplikac´ı bypassu, kdy je pˇri selektivn´ı koronarografii zjiˇst’ován transstenotický tlakový gradient, z jehoˇz hodnoty se urˇcuje stupeˇ n z´ uˇzen´ı koronárn´ı tepny. V pˇr´ıpadˇe modelovaného dvourozmˇerného bypassového ˇstˇepu a nativn´ı arterie spojených anastomózou typu side-to-side bylo pozorováno rovnomˇerné rozloˇzen´ı tlaku, pˇriˇcemˇz v oblasti napojen´ı vzniklo plato s konstantn´ı hodnotou tlaku. Z porovnán´ı r˚ uzných variant okrajových podm´ınek, obr. 3.11 - 3.13, lze vypozorovat, ˇze ˇc´ım vˇetˇs´ı byl rozd´ıl výstupn´ıch tlak˚ u, t´ım v´ıce byla namáhána distáln´ı ˇcást napojen´ı, coˇz je v souladu s výsledným rozloˇzen´ım rychlosti. U tˇret´ı varianty, obr. 3.10, zde totiˇz lze zaznamenat náraz proudu do m´ısta seˇsit´ı cév v distáln´ı ˇcásti anastomózy.


27

Obrázek 3.5: Varianta ˇc. 1 - rychlostn´ı profily ve zvolen´ ych ˇrezech v oblasti napojen´ı cév.




28

Obrázek 3.8: Varianta ˇc. 1. - rozloˇzen´ı izoˇcar rychlosti v celém modelu (nahoˇre), v oblasti napojen´ı cév (uprostˇred) a v distáln´ı ˇcásti napojen´ı (dole).

Obrázek 3.9: Varianta ˇc. 2 - rozloˇzen´ı izoˇcar rychlosti v celém modelu (nahoˇre), v oblasti napojen´ı cév (uprostˇred) a v distáln´ı ˇcásti napojen´ı (dole).


29

Obrázek 3.10: Varianta ˇc. 3 - rozloˇzen´ı izoˇcar rychlosti v celém modelu (nahoˇre), v oblasti napojen´ı cév (uprostˇred) a v distáln´ı ˇcásti napojen´ı (dole).

Obrázek 3.11: Varianta ˇc. 1 - rozloˇzen´ı izoˇcar tlaku v celém modelu a v oblasti napojen´ı cév.


30



Kapitola 4 Re´ aln´ y 3Dmodel side-to-side anastom´ ozy 4.1

Vytvoˇ ren´ı modelu a v´ ypoˇ ctov´ e s´ıtˇ e

Reálný trojrozmˇerný model sekvenˇcn´ıho aorto-koronárn´ıho bypassu byl vytvoˇren na základˇe vyˇsetˇren´ı srdce poˇc´ıtaˇcovou tomografi´ı (CT), obr. 4.1, u pacienta, muˇze ve vˇeku ˇsedesáti dvou let trp´ıc´ıho aterosklerózou. Jednalo se o kuˇráka s nadváhou a rodinnými dispozicemi ke vzniku kardiovaskulárn´ı choroby. Z´ uˇzen´ı (stenóza) koronárn´ı tepny bylo nejprve ˇreˇseno aplikac´ı stentu. Pˇribliˇznˇe po jednom roce vˇsak byly na jeho konc´ıch objeveny prvn´ı náznaky restenózy a muselo se pˇristoupit k chirurgickému vytvoˇren´ı dvojitého bypassu. Prvn´ı vˇetev, tzv. mamárn´ı bypass, byla vedena levou prsn´ı tepnou (arteria mammaria sinistra) k jedné z koronárn´ıch tepen (ramus interventricularis anterior, Obrázek 4.1: Sn´ımek z poˇc´ıtaˇcové RIA), obr. 1.3. Pro druhou vˇetev byl pouˇzit ˇziln´ı stˇep tomografie s vyznaˇcenou polohou (konkrétnˇe vena saphena magna), jehoˇz proximáln´ı ˇcást side-to-side anastomózy. byla naˇsita k vzestupné aortˇe. Distálnˇe byl ˇstˇep napojen k ramu diagonalis (RD) a ramu marginalis (RM), coˇz jsou koronárn´ı tepny nacházej´ıc´ı se na levé ˇcásti srdce, obr. 1.3. Pomoc´ı komerˇcn´ıho softwaru Amira pro rekonstrukci trojrozmˇerných objekt˚ u byl z 2Dsn´ımk˚ u, z´ıskaných z poˇc´ıtaˇcové tomografie, vytvoˇren 3Dmodel druhé vˇetve bypassu, tj. aorto-koronárn´ıho bypassu, obr. 4.2. Ten byl dále upravován v programu Altair Hypermesh ˇ ast pˇredstavuj´ıc´ı side-to-side anastomózu (v obr. 4.2 vyznaˇcená ˇcervenˇe), kterou se 8.0. C´ v této práci zabýváme, byla oddˇelena od zbytku modelu a konce cév byly uzavˇreny rovinnými plochami (funkce trim with surface), jeˇz byly voleny tak, aby byly pˇribliˇznˇe kolmé na stˇenu dané cévy. Pˇred samotným vytvoˇren´ım výpoˇctové s´ıtˇe bylo nutné model upravit a zaˇcistit, jelikoˇz nerovnosti a drobné mezery na jeho povrchu by jinak mohly pˇredstavovat problém pˇri následném s´ıt’ován´ı.

31

ˇen´ı modelu a vy ´poc ˇtov´ 4.1. Vytvor e s´ıtˇ e

32

Obrázek 4.2: Reálný model sekvenˇcn´ıho aort-koronárn´ıho bypassu, side-to-side anastomóza je znázornˇena ˇcervenˇe.

Po z´ıskán´ı spojitého modelu sloˇzeného z celé ˇrady na sebe navazuj´ıc´ıch ploch bylo moˇzné pˇristoupit ke generován´ı vlastn´ı s´ıtˇe. Nejprve byla po ˇcástech (vˇcetnˇe uzávˇer˚ u cév) ’ vytvoˇrena povrchová troj´ uheln´ıková s´ıt , tzv. shell. Poˇcet element˚ u byl urˇcen na kaˇzdé hranˇe daného u ´ seku zvláˇst’. Bylo pˇritom tˇreba volit hodnoty tak, aby s´ıt’ na povrchu tepny byla dostateˇcnˇe jemná a zároveˇ n ne pˇr´ıliˇs hustá v pˇr´ıpadˇe ˇstˇepu. Zvláˇstn´ı pozornost byla rovnˇeˇz vˇenována oblasti napojen´ı cév. Jako typy element˚ u byly pouˇzity výhradnˇe pravo´ uhlé troj´ uheln´ıky. Aˇckoliv byly testovány i jiné tvary (obecné troj´ uheln´ıky), ukázaly se v naˇsem pˇr´ıpadˇe jako nejvhodnˇejˇs´ı právˇe pravo´ uhlé troj´ uheln´ıky, jeˇz byly schopny vhodnˇe diskretizovat povrch modelu. Pˇredbˇeˇzný návrh s´ıtˇe byl dále upravován, napˇr´ıklad zmˇenou algoritmu, j´ımˇz byla vytvoˇrena. Problémy vznikaly hlavnˇe v oblasti napojen´ı bypassového ˇstˇepu na nativn´ı arterii, kde bylo dokonce nutné pˇristoupit k ruˇcn´ımu vytvoˇren´ı nˇekterých element˚ u tak, aby byl zajiˇstˇen pˇrirozený pˇrechod mezi obˇema cévami. Nakonec musela být ovˇeˇrena spojitost a návaznost jednotlivých bunˇek tak, aby povrchová s´ıt’ modelu tvoˇrila uzavˇrený objem. Ve finále bylo na základˇe pˇredem pˇripravené povrchové s´ıtˇe pˇristoupeno k tvorbˇe trojrozmˇerné s´ıtˇe sloˇzené ze ˇctyˇrstˇen˚ u (tetrahedr˚ u). Ta jiˇz, na rozd´ıl od shellu, nebyla konstruována po ˇcástech, ale celá najednou aplikac´ı vestavˇené funkce pro vytváˇren´ı speciáln´ıch s´ıt´ı urˇcených k numerické simulaci proudˇen´ı (CFD mesh). S pˇrihlédnut´ım k vstupn´ı a výstupn´ı ˇcásti modelu musely být definovány plochy, jimiˇz proud´ı kapalina, tzn. uzávˇery cév, a plochy pˇredstavuj´ıc´ı povrch modelu. Vzhledem k tomu, ˇze modelujeme vazkou kapalinu, bylo nutné vygenerovat s´ıt’ se zahuˇstˇen´ım v oblasti mezn´ı vrstvy, jeho parametry byly nastaveny takto • celková tlouˇst’ka mezn´ı vrstvy (total BL thickness): 0,015 mm, • tlouˇst’ka prvn´ı vrstvy (first layer thickness): 1, 75 · 103 mm, • ukazatel r˚ ustu tlouˇst’ky jednotlivých vrstev (growth rate): 1,2, • koeficient potlaˇcen´ı pˇrechod˚ u (smoth transition ratio): 0,8. Výsledná trojrozmˇerná s´ıt’ je zobrazena na obr. 4.3, kde horn´ı obrázek pˇredstavuje výslednou 3Ds´ıt’ side-to-side anastomózy, vpravo dole pak m˚ uˇzeme vidˇet detail s´ıtˇe uvnitˇr oblasti na-

ˇeˇ ˇe 4.2. Nastaven´ı r sic

33

pojen´ı bypassového ˇstˇepu na nativn´ı arterii a vlevo dole se nacház´ı detail vstupn´ı ˇcásti ˇziln´ıho ˇstˇepu. Oblast mezn´ı vrstvy je ve vˇsech pˇr´ıpadech znázornˇena ˇzlutˇe.

Obrázek 4.3: Trojrozmˇerná výpoˇctová s´ıt’ se zahuˇstˇen´ım v oblasti mezn´ı vrstvy (ˇzlutˇe) sloˇzená ze ˇctyˇrstˇen˚ u, nahoˇre uprostˇred - celý model side-to-side anastomózy, vlevo dole - detail vstupn´ı ˇcást ˇstˇepu, vpravo dole - detail vnitˇrku s´ıtˇe v oblasti napojen´ı ˇstˇepu na koronárn´ı arterii.

Obrázek 4.4: Rozm´ıstˇen´ı okrajových podm´ınek na modelu side-to-side anastomózy.

Výpoˇctová tetrahedrová s´ıt’ byla z programu Altair Hypermesh 8.0 exportována do preprocesoru Gambit 2.2, v nˇemˇz byla pro vybrané plochy 3Dmodelu provedena specifikace okrajových podm´ınek, konkrétnˇe jejich typ˚ u. Jejich rozm´ıstˇen´ı je naznaˇceno na obr. 4.4, kde na vstupu ˇstˇepu a koronárn´ı tepny budou ve Fluentu pˇredepsány vstupn´ı rychlosti (velocity inlet), na výstupech obou cév hodnoty tlaku (pressure outlet) a na zbývaj´ıc´ıch ˇcástech modelu podm´ınka pevné, nepropustné stˇeny (wall ).

4.2

Nastaven´ı ˇ reˇsiˇ ce

Výsledný trojrozmˇerný model výpoˇctové s´ıtˇe obsahuj´ıc´ı 658 847 ˇctyˇrstˇenných bunˇek byl importován do komerˇcn´ıho softwaru Fluent 6.2. V nˇem bylo pomoc´ı implementovaného ˇreˇsiˇce zaloˇzeného na dˇr´ıve zm´ınˇené metodˇe koneˇcných objem˚ u, [12], provedeno numerické ˇreˇsen´ı systému Navierových-Stokesových rovnic pro nestlaˇcitelnou newtonskou kapalinu. Pˇred spuˇstˇen´ım vlastn´ıho výpoˇctu bylo nutné nastavit parametry ˇreˇsiˇce a modelu. S ohledem na datový p˚ uvod modelu bypassu vycházej´ıc´ı z CT sn´ımk˚ u bylo nejprve tˇreba stanovit rozmˇerové jendotky importované s´ıtˇe, a to milimetry. Poté bylo provedeno nastaven´ı ˇreˇsiˇce • Define → Models → Solver → Segregated; Implicit; 3D; Unsteady; 2-nd Order Implicit; Cell-Based; Superficial Velocity, Second Order Upwind Dále byly definovány vlastnosti proud´ıc´ı kapaliny, tedy hustota a dynamická vazkost krve, jeˇz byly pˇrevzaty z [5],


34

• Define → Materials → Density = 1 060 [kg/m3]; Viscosity = 0,0037 [kg/m·s].

v(t) [m/s]

Typy okrajových podm´ınek pro jednotlivé hraniˇcn´ı plochy modelu byly specifikovány jiˇz v preprocesoru Gam0.4 Bypassovy step bit 2.2. V rámci výpoˇctového systému Fluent byly urˇceNativni arterie 0.3 ny jejich konkrétn´ı hodnoty. Na obou výstupech modelu, obr. 4.4, byly apliko0.2 vány konstantn´ı hodnoty tlaku urˇcené na základˇe vý0.1 sledk˚ u uvedených v pˇredchoz´ı kapitole, 12 000 Pa u bypassového ˇstˇepu a 11 900 Pa u nativn´ı arterie. Pro 0 výstupn´ı tlaky byla vyzkouˇsena i jiná rozmez´ı hod−0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 not s t´ım, ˇze z hlediska reálného pr˚ utoku pˇripojenou t [s] tepnou se výˇse uvedené hodnoty ukázaly být nejvhodnˇejˇs´ı. Na vstupn´ıch ˇcástech modelu byl pˇredepsán ob- Obrázek 4.5: Vstupn´ı rychlost déln´ıkový rychlostn´ı profil promˇenný v ˇcase, jehoˇz kon- (modˇre - bypassový ˇstˇep, ˇcervenˇe stantn´ı rychlost mˇela ˇcasový pr˚ ubˇeh znázornˇený - nativn´ı arterie). na obr. 4.5 pro obˇe cévy. K definován´ı rychlost´ı pro potˇreby numerického ˇreˇsiˇce byl v prostˇred´ı Fluentu pouˇzit soubor unsteady velocity.c, který zahrnoval dvˇe funkce popisuj´ıc´ı pr˚ ubˇehy rychlost´ı, prvn´ı na vstupu bypassového ˇstˇepu (unsteady velocity g) a druhá na vstupu koronárn´ı tepny (unsteady velocity a): #include "udf.h" DEFINE_PROFILE(unsteady_velocity_g, thread, position) { face_t f; real t = CURRENT_TIME; real omega; real A0; real A[8]; real B[8]; real Q; int k; int n; real D; real D1; real pi; pi = 3.14159265358979; omega = 2 * pi; A0 = 1.6023; A(1) = -0.314049; B(1) = 1.176580; A(2) = -0.655275; B(2) = 0.016720; A(3) = -0.126041; B(3) = -0.221331; A(4) = 0.004796; B(4) = -0.029649; A(5) = -0.026146; B(5) = -0.012491; A(6) = -0.021781; B(6) = 0.002927; A(7) = -0.032187; B(7) = 0.000484; A(8) = -0.020977; B(8) = -0.020584;

ˇeˇ ˇe 4.2. Nastaven´ı r sic n = 8; D = 0.0038; D1 = 0.004297; begin_f_loop(f, thread) {Q = A0; for (k = 1; k <= n; k++) {Q = Q+A[k]*cos(k*omega*t)+B[k]*sin(k*omega*t);} F_PROFILE(f, thread, position) = (4*D1*Q*pow(10,-6))/(pi*pow(D,3));} end_f_loop(f, thread) } DEFINE_PROFILE(unsteady_velocity_a, thread, position) { face_t f; real t = CURRENT_TIME; real omega; real A0; real A[8]; real B[8]; real Q; int k; int n; real D; real D1; real pi; pi = 3.14159265358979; omega = 2*pi; A0 = 0.1532; A(1)= -0.091668; B(1)=-0.393487; A(2)= -0.058554; B(2)=-0.036685; A(3)= -0.066023; B(3)=-0.040746; A(4)= -0.017091; B(4)=-0.055792; A(5)= 0.009549; B(5) =-0.008183; A(6)= -0.007700; B(6) =-0.002537; A(7)= -0.005439; B(7) =-0.008535; A(8)= -0.012313; B(8) =-0.006249; n = 8; D = 0.003; D1 = 0.001705; begin_f_loop(f, thread) {Q = A0; for (k = 1; k <= n; k++) {Q = Q+A[k]*cos(k*omega*t)+B[k]*sin(k*omega*t);} F_PROFILE(f, thread, position) = (4*D1*Q*pow(10,-6))/(pi*pow(D,3));} end_f_loop(f, thread) }

35


36

V obou pˇr´ıpadech se jednalo o pˇredpis rychlost´ı v závislosti na pr˚ utoˇcném mnoˇzstv´ı Q(t) [ml · s−1 ], které bylo v souladu s [5], obr. 1.14 (ˇrezy 1 a 3), dáno ve tvaru Fourierovy ˇrady 8 X [Ak cos(kωt) + Bk sin(kωt)], (4.1) Q(t) = A0 + k=1

oznaˇcuje u ´ hlovou rychlost danou periodou T srdeˇcn´ıho cyklu (dle [5] byla kde ω = 2π T v naˇsem pˇr´ıpadˇe zvolena hodnota T = 1 s). Pˇr´ısluˇsné koeficienty ˇrady (4.1) jsou uvedeny ˇ v tab. 4.1 pro ˇstˇep a v tab. 4.2 pro tepnu. Casovˇ e promˇenné pr˚ utoˇcné mnoˇzstv´ı v bypassovém ˇstˇepu i v koronárn´ı arterii bylo pˇrepoˇc´ıtáno na rychlost s vyuˇzit´ım znalosti pr˚ umˇer˚ u cév pouˇzitých v [5] a v naˇsem modelu, pro který byla jejich hodnota pˇribliˇznˇe odmˇeˇrena v softwaru Altair Hypermesh. Pro obˇe cévy byl pouˇzit stejný vztah vi (t) =

4 · 10−6 di Qi (t) πDi3

[m · s−1 ],

pro i = A, G,

(4.2)

kde vi (t) [m · s−1 ] je ˇcasovˇe promˇenná rychlost (v arterii vA a v ˇstˇepu vG ), Qi (t) [ml · s−1 ] pˇredstavuje pr˚ utoˇcné mnoˇzstv´ı dané pˇredpisem (4.1) pro obˇe cévy, di [m] pr˚ umˇer cévy pouˇzité v [5] (arterie dA = 0, 003 m a ˇstˇepu dG = 0, 0038 m) a Di [m] pr˚ umˇer cévy naˇseho modelu (arterie DA = 0, 001 705 m a ˇstˇepu DG = 0, 004 297 m). Jako okrajová podm´ınka na vstupu bylo rovnˇeˇz testováno pr˚ utoˇcné mnoˇzstv´ı (Mass Flow Inlet Boundary Condition), v naˇsem pˇr´ıpadˇe se vˇsak ukázalo jako nevyhovuj´ıc´ı a obt´ıˇznˇe aplikovatelné na naˇsi tetrahedrovou s´ıt’. k Ak [ml·s−1 ] Bk [ml·s−1 ] 1 -0,314049 1,176580 2 -0,655275 0,016720 3 -0,126041 -0,221331 4 0,004796 -0,029649 5 -0,026146 -0,012491 6 -0,021781 0,002927 7 -0,032187 0,000484 8 -0,020977 -0,020584 A0 = 1, 6023 [ml · s−1 ]

k Ak [ml·s−1 ] Bk [ml·s−1 ] 1 -0,091668 -0,393487 2 -0,058554 -0,036685 3 -0,066023 -0,040746 4 -0,017091 -0,055792 5 0,009549 -0,008183 6 -0,007700 -0,002537 7 -0,005439 -0,008535 8 -0,012313 -0,006249 −1 A0 = 0, 1532 [ml · s ]

Tabulka 4.1: Koeficienty Fourierovy ˇrady popisuj´ıc´ı ˇcasový pr˚ ubˇeh pr˚ utoˇcného mnoˇzstv´ı na vstupu bypassového ˇstˇepu.

Tabulka 4.2: Koeficienty Fourierovy ˇrady popisuj´ıc´ı ˇcasový pr˚ ubˇeh pr˚ utoˇcného mnoˇzstv´ı na vstupu nativn´ı arterie.

Po stanoven´ı hodnot okrajových podm´ınek byly dále specifikovány poˇcáteˇcn´ı podm´ınky odpov´ıdaj´ıc´ı volnému proudu (tzv. free-stream podm´ınky). Vzhledem k nestacionárn´ımu charakteru aplikovaných okrajových podm´ınek bylo nutné pˇred zahájen´ım výpoˇctu pˇredem definovat animace zobrazuj´ıc´ı rozloˇzen´ı smykového napˇet´ı na stˇenˇe, rychlosti a tlaku v rámci modelu side-to-side anastomózy.


4.3

37

Numerick´ e v´ ysledky

V pˇredchoz´ıch podkapitolách byla popsána tvorba tetrahedrové s´ıtˇe v programu Altair Hypermesh 8.0 pro model diamond konfigurace side-to-side anastomózy, jej´ıˇz reálná geometrie byla z´ıskána ze sn´ımk˚ u z poˇc´ıtaˇcové tomografie. Pomoc´ı komerˇcn´ıho softwaru Fluent 6.2 bylo numericky simulováno nestacionárn´ı laminárn´ı proudˇen´ı nestlaˇcitelné newtonské kapaliny. V pr˚ ubˇehu výpoˇctu byly ve Fluentu vygenerovány animace popisuj´ıc´ı rozloˇzen´ı smykového napˇet´ı na stˇenˇe, rychlosti a tlaku v trojrozmˇerném modelu side-to-side anastomózy v pr˚ ubˇehu jedné periody srdeˇcn´ıho cyklu. Aby bylo moˇzné porovnat zmˇeny veliˇcin v rámci jedné periody, musel být pro kaˇzdou z nich urˇcen jednotný rozsah hodnot, tab. 4.3. Pro vyhodnocen´ı výsledk˚ u byly do této práce zvoleny vizualizace rozloˇzen´ı smykového napˇet´ı na stˇenˇe, rychlosti a tlaku v celkem ˇsesti r˚ uzných ˇcasech bˇehem jedné periody srdeˇcn´ıho cyklu, obr. 4.6. Tyto ˇcasy byly vybrány tak, aby zachy- Obrázek 4.6: Casy ˇ zvolené pro vizualicovaly charakter nestacionárn´ıho proudˇen´ı krve zaci výsledk˚ u. v pr˚ ubˇehu této periody. S ohledem na to, ˇze systola nastává v ˇcase t = 0, 2 s a diastola v ˇcase t = 0, 8 s, [5], byly ˇcasy urˇceny, tak aby bylo moˇzné zobrazit stav proudového pole pˇred a po systole, resp. diastole. Model je vˇzdy znázornˇen v pohledu zpˇredu, kdy je naˇsit´ı cév skryto. Pouze u vizualizace výsledného rozloˇzen´ı smykového napˇet´ı na stˇenˇe je uveden i pohled zezadu, pˇri nˇemˇz je anastomóza viditelná. Rozsah Rychlost [m · s ] 0 ÷ 1,37 Tlak [Pa] 11 900 ÷ 13 000 Smykové napˇet´ı na stˇenˇe [Pa] 0 ÷ 90 −1

Tabulka 4.3: Rozsahy hodnot sledovaných veliˇcin.

4.3.1

Rozloˇ zen´ı rychlosti

Pˇrestoˇze na vstupn´ıch ˇcástech obou cév byla pˇredepsána konstantn´ı rychlost promˇenná v ˇcase, je z obr. 4.7 patrné, ˇze pomˇernˇe rychle docház´ı k plnému vyvinut´ı rychlostn´ıho profilu. V proximáln´ı ˇcásti arterie je moˇzné pozorovat zpˇetný tok krve, obr. 4.6, který trval pˇribliˇznˇe 40% celkové doby srdeˇcn´ıho cyklu. Byl kompenzován pˇr´ıtokem krve z bypassového ˇstˇepu, který ve svém maximu po systole dosahoval rychlosti 1,37 m · s−1 , obr. 4.7c. Naopak pˇri zvýˇsen´ı pr˚ utoku krve proximáln´ı ˇcást´ı nativn´ı arterie se pˇr´ıtok krve z bypassového ˇstˇepu sn´ıˇzil. T´ım byl zajiˇstˇen pr˚ utok krve distáln´ı ˇcást´ı koronárn´ı tepny po celou dobu srdeˇcn´ıho cyklu. Maximáln´ı hodnoty rychlosti proudu krve se zde pohybovaly okolo 0,4 m · s−1 , coˇz se bl´ıˇz´ı rychlostem bˇeˇznˇe se nacházej´ıc´ım v koronárn´ıch arteri´ıch, [9]. Aplikace bypassu se


38

tedy ukázala jako vhodná, protoˇze obnovila pr˚ utok krve v dané koronárn´ı tepnˇe a v klinické praxi by tak zajistila výˇzivu srdeˇcn´ı tkánˇe v pˇr´ısluˇsné oblasti. Z hlediska hemodynamiky krve se v tomto modelu bypassu jako nejproblematiˇctˇejˇs´ı jevila horn´ı stˇena proximáln´ı ˇcásti ˇstˇepu v oblasti napojen´ı na nativn´ı arterii, kde byla pozorována zóna n´ızké rychlosti. Jej´ı um´ıstˇen´ı bylo ˇcásteˇcnˇe dáno i pouˇzitou geometri´ı side-to-side anastomózy. Výrazné zkosen´ı rychlostn´ıch profil˚ u v této ˇcásti modelu je dáno pˇredevˇs´ım obloukovým zakˇriven´ım bypassového ˇstˇepu, obr. 4.7c.

4.3.2

Rozloˇ zen´ı smykov´ eho napˇ et´ı na stˇ enˇ e modelu side-to-side anastom´ ozy

Jednou z veliˇcin d˚ uleˇzitých pro popis charakteru proudˇen´ı krve v cévách je i smykové napˇet´ı na jejich stˇenˇe, obr. 4.8 a 4.9. Vˇetˇsina arteri´ı má snahu zmˇenou svého vnitˇrn´ıho pr˚ usvitu udrˇzet jeho hodnotu mezi 1 Pa aˇz 2 Pa, [8]. N´ızké hodnoty smykového napˇet´ı na stˇenˇe tepny mohou zp˚ usobovat zánˇetlivé procesy (ateroskleróza) a zbytnˇen´ı cévn´ı stˇeny v d˚ usledku nedostateˇcné stimulace endotelových bunˇek na jej´ım vnitˇrn´ım povrchu (intimáln´ı hyperplázie), vedouc´ı aˇz k selhán´ı aorto-koronárn´ıho bypassu. Rizikovými oblastmi vzhledem ke zvýˇsené pravdˇepodobnosti pozdˇejˇs´ıho selhán´ı bypassu jsou m´ısta, v nichˇz docház´ı k velkým oscilac´ım hodnot smykového napˇet´ı na stˇenˇe cévy v pr˚ ubˇehu periody srdeˇcn´ıho cyklu. V naˇsem modelu pˇredstavuje takovou oblast horn´ı stˇena distáln´ı ˇcásti ˇstˇepu v oblasti napojen´ı (shodnˇe s výsledky v [5]). Hodnoty smykového napˇet´ı na cévn´ı stˇenˇe se zde pohybovaly mezi hodnotami bl´ızk´ ymi 0 Pa, obr. 4.9b, a hodnotami dosahuj´ıc´ımi aˇz 90 Pa, obr. 4.8c. Vysoké hodnoty smykového napˇet´ı v proximáln´ı ˇcásti ˇstˇepu byly pravdˇepodobnˇe zp˚ usobeny pˇredepsanou vstupn´ı okrajovou podm´ınkou v podobˇe obdéln´ıkového rychlostn´ıho profilu promˇenného v ˇcase. Dalˇs´ımi kritickými oblastmi jsou, jak bylo jiˇz výˇse zm´ınˇeno, m´ısta s trvale velmi n´ızk´ ymi hodnotami smykového napˇet´ı. V side-to-side anastomóze se taková zóna objevila v proximáln´ı ˇcást arterie v m´ıstˇe pˇred napojen´ım bypassového ˇstˇepu. Posledn´ı problematickou oblast pak pˇredstavovalo m´ısto samotného naˇsit´ı cév, viditelné na pohledu zezadu (vˇzdy vpravo). V nˇekterých ˇcasových okamˇzic´ıch zde tˇesnˇe sousedila oblast s velmi n´ızkým smykovým napˇet´ım s oblast´ı tvoˇrenou velmi vysokými hodnotami, jak je patrné zejména z obr. 4.8b a 4.8c.

4.3.3

Rozloˇ zen´ı tlaku

S ohledem na význam tlaku v bypassové hemodynamice, zm´ınˇený na konci pˇredchoz´ı kapitoly, m˚ uˇzeme zhodnotit zbývaj´ıc´ı numerické výsledky, obr. 4.10. V urˇcitých fáz´ıch srdeˇcn´ıho cyklu, obr. 4.10b-4.10d, doˇslo ke zvýˇsenému namáhán´ı spodn´ı stˇeny proximáln´ı ˇcásti bypassového ˇstˇepu, kde hodnoty tlaku dosahovaly aˇz 13 000 Pa. Tento jev mohl být zp˚ usoben obloukovým tvarem ˇstˇepu. Ve zbylých fáz´ıch srdeˇcn´ıho cyklu, jeˇz jsou zobrazeny na obr. 4.10a, 4.10e a 4.10f, se tlak rozloˇzil rovnomˇernˇe a v oblasti napojen´ı vzniklo plato s konstantn´ı hodnotou tlaku stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe dvourozmˇerného modelu v pˇredchoz´ı kapitole.


39

(a) t1 = 0, 02 s

(b) t2 = 0, 16 s

(c) t3 = 0, 28 s

(d) t4 = 0, 40 s

(e) t5 = 0, 48 s

(f) t6 = 0, 78 s

Obrázek 4.7: Rychlostn´ı profily ve vybraných ˇrezech side-to-side anastomózy v ˇcasech t1 , t2 , t3 , t4 , t5 a t6 .


40

(a) t1 = 0, 02 s

(b) t2 = 0, 16 s

(c) t3 = 0, 28 s Obrázek 4.8: Smykové napˇet´ı na stˇenˇe side-to-side anastomózy v pohledu zepˇredu a zezadu v ˇcasech t1 , t2 a t3 .


41

(a) t4 = 0, 40 s

(b) t5 = 0, 48 s

(c) t6 = 0, 78 s Obrázek 4.9: Smykové napˇet´ı na stˇenˇe side-to-side anastomózy v pohledu zepˇredu a zezadu v ˇcasech t4 , t5 a t6 .


(a) t1 = 0, 02 s

(c) t3 = 0, 28 s

(e) t5 = 0, 48 s

42

(b) t2 = 0, 16 s

(d) t4 = 0, 40 s

(f) t6 = 0, 78 s

Obrázek 4.10: Rozloˇzen´ı tlaku v side-to-side anastomóze v ˇcasech t1 , t2 , t3 , t4 , t5 a t6 .

Z´ avˇ er Aplikace koronárn´ıho bypassu je chirurgická technika, pˇri n´ıˇz je nepr˚ uchodná ˇcást, popˇr. ˇcásti, koronárn´ı arterie pˇremostˇena ˇstˇepˇem, nejˇcastˇeji ˇziln´ıho p˚ uvodu. Pˇri tom vznikaj´ı r˚ uzná umˇele vytvoˇrená napojen´ı cév - anastomózy. Rozliˇsujeme tˇri základn´ı typy: end-to-side, end-to-end a side-to-side anastomózu. C´ılem této bakaláˇrské práce byla analýza hemodynamiky side-to-side anastomózy, kdy docház´ı k boˇcn´ımu napojen´ı cév. V rámci pˇredloˇzené bakaláˇrské práce byl nejprve vytvoˇren idealizovaný dvourozmˇerný model paraleln´ı konfigurace, pro nˇejˇz byla v softwaru Matlab 7.0 autorkou vygenerována ˇctyˇru ´ heln´ıková výpoˇctová s´ıt’ se zahuˇstˇen´ım v bl´ızkosti pevných, nepropustných stˇen. Vstupn´ı okrajovou podm´ınku pˇredstavoval parabolický rychlostn´ı profil a pro výstupn´ı podm´ınku byly testovány tˇri r˚ uzné varianty hodnot konstantn´ıho tlaku. K numerické simulaci ustáleného proudˇen´ı krve v side-to-side anastomóze byl vyuˇzit vlastn´ı ˇreˇsiˇc zaloˇzený na metodˇe koneˇcných objem˚ u v kombinaci s metodou umˇelé stlaˇcitelnosti. Z testovaných okrajových podm´ınek reálnému pr˚ utoku krve v bypassové anastomóze nejlépe odpov´ıdala tˇret´ı varianta, protoˇze zde doˇslo k nejvýraznˇejˇs´ımu nár˚ ustu pr˚ utoku nativn´ı arteri´ı. Zároveˇ n se zde vˇsak objevovaly nejvˇetˇs´ı poruchy proudového pole zp˚ usobené ostrým u ´ hlem napojen´ı cév. Pˇri dalˇs´ım modelován´ı side-to-side anastomózy by bylo vhodné tento problém odstranit, napˇr. plynulejˇs´ım pˇrechodem mezi obˇema cévami v oblasti napojen´ı. Kv˚ uli zvýˇsenému riziku vzniku intimáln´ı hyperplázie byla identifikována zóna s n´ızkou rychlost´ı, a to na spodn´ı stˇenˇe nativn´ı arterie v oblasti napojen´ı, pˇriˇcemˇz nejvˇetˇs´ı byla zaznamenána u prvn´ı varianty okrajových podm´ınek. Ve druhé stˇeˇzejn´ı ˇcásti této práce byl ze sn´ımk˚ u z poˇc´ıtaˇcové tomografie z´ıskán trojrozmˇerný model diamond konfigurace side-to-side anastomózy, pro nˇejˇz byla v programu Altair Hypermesh 8.0 zkonstruována nestrukturovaná tetrahedrová výpoˇctová s´ıt’. Numerické ˇreˇsen´ı probˇehlo v prostˇred´ı komerˇcn´ıho softwaru Fluent 6.2, kde byly na vstupn´ıch oblastech obou cév specifikovány konstantn´ı rychlosti promˇenné v ˇcase a na výstupech konstantn´ı hodnoty tlaku zvolené na základˇe výsledk˚ u z pˇredchoz´ıch numerických simulac´ı. Jako m´ısto s potenciáln´ı moˇznost´ı rozvoje intimáln´ı hyperplázie byla urˇcena proximáln´ı ˇcást bypassového ˇstˇepu v oblasti napojen´ı, kde se nacházela zóna s trvale n´ızkými rychlostmi, dále m´ısto, v nˇemˇz smykové napˇet´ı na stˇenˇe cév dosahovalo extrémn´ıch hodnot, a to distáln´ı ˇcást ˇstˇepu v oblasti napojen´ı. Riziková oblast se objevila i pˇr´ımo v m´ıstˇe naˇsit´ı bypassového ˇstˇepu na nativn´ı arterii, stýkaly se zde totiˇz zóny s velmi vysokým a velmi n´ızkým smykovým napˇet´ım, coˇz m˚ uˇze vést ke zvýˇsenému nebezpeˇc´ı vzniku krevn´ıch sraˇzenin - tromb˚ u. Pˇri porovnán´ı této práce se studiemi, jeˇz se vˇenuj´ı anastomóze typu end-to-side, [1], [5], bylo zˇrejmé, ˇze side-to-side anastomóza má lepˇs´ı hemodynamické vlastnosti a riziko pˇr´ıpadného selhán´ı je zde tedy niˇzˇs´ı. Pˇri jej´ım budouc´ım modelován´ı by bylo moˇzné

43

´vˇ Za er

44

pˇristoupit k urˇcitým vylepˇsen´ım, a to nejen z hlediska geometrie a pouˇzité numerické metody, ale napˇr´ıklad i zp˚ usobu vizualizace výsledk˚ u, jenˇz se v pˇr´ıpadˇe trojrozmˇerného modelu ukázal jako nedostaˇcuj´ıc´ı.

Literatura [1] Bertolotti, C. a Deplano, V.: Three-dimensional numerical simulations of flow through a stenosed coronary bypass. Journal of Biomechanics, 33, (2000), 1011-1022. [2] Bonert, M., Myers, J. G., Fremes, S., Williams, J. a Ethier, C. R.: A Numerical Study of Blood Flow in Coronary Artery Bypass Graft Side-to-Side Anastomoses. Annals of Biomedical Engineering, 30, (2002), 599–611. [3] Dominik, J.: Kardiochirurgie, Grada, Praha, 1998. [4] Chorin, A. J.: A Numerical Method for Solving Incompressible Viscous Flow Problems. Journal of Computational Physics, 2, (1967), 12-26. [5] Frauenfelder, T., Boutsianis, E., Schertler, T., Husmann, L., Leschka, S., Poulikakos, D., Marincek, B. a Alkadhi, H.: Flow and wall shear stress in end-to-side and side-to-side anastomosis of venous coronary artery bypass grafts. BioMedical Engineering OnLine, 6:35, (2007), doi: 10.1186/1475-925X6-35. [6] Hoballah, J. J.: Vascular reconstructions: anatomy, exposures and techniques, Springer-Verlag, New York, 2000. [7] Institut klinické a experimentáln´ı medic´ıny: http://www.ikem.cz ´ˇ ´, A.: Finite volume modelling of blood flow in a bypass model, Diplomová [8] Jona sova ˇ práce, ZCU v Plzni, Plzeˇ n, 2001. ´, J., Mala ´, H.: Somatologie a antropologie, Státn´ı peda[9] Klementa, J., Machova gogické nakladatelstv´ı, Praha, 1981. ˇ v Plzni, Plzeˇ ˇen, J., Rosenberg, J., Jan´ıc ˇek, P.: Biomechanika, ZCU [10] Kr n, 2001. [11] Manuál Altair Hypermesh (verze 8.0) [12] Manuál Fluent (verze 6.2) [13] Manuál Gambit (verze 2.2) [14] Manuál Matlab (verze 7.0) [15] Nemocnice na Homolce: http://www.homolka.cz

45

ve zvoleném typu bypassové anastomózy

Recommend Documents