Kapitola 8
Plocha a její obsah 1
Definice plochy
Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny. Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako dvojrozměrný objekt ve třírozměrném eventuelně vícerozměrném prostoru, jehož body je možné popsat dvojicí souřadnic. Například každý bod na povrchu koule můžeme popsat jeho „zeměpisnou šířkouÿ a „zeměpisnou délkouÿ. V aplikacích se pojmu plochy používá pro modelování těles, která mají jeden rozměr zanedbatelný vůči rozměrům ostatním. Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky složitější objekt. Jeho studium vyžaduje komplikovanější matematický aparát. V našem výkladu se proto omezíme na jednodušší typy ploch, které vzniknou sjednocením konečně mnoha grafů spojitě diferencovatelných funkcí. Tato restrikce není příliš omezující z hlediska inženýrských aplikací, neboť téměř všechny potřebné plochy je možno reprezentovat tímto způsobem. Čtenáře, který by se chtěl seznámit s teorií ploch v její plné obecnosti odkazujeme na učebnici [2] . Základním prototypem plochy pro nás je graf C 1 funkce dvou proměnných – tedy množina definovaná rovností z = g(x, y). Jedna z takovýchto ploch je znázorněna např. na obrázku 1.1. Další příklady je možno získat záměnou souřadnic, tedy jako grafy funkcí, jejichž definičním oborem je základní oblast v rovině yz nebo xz. Takovéto plochy budeme nazývat elementárními plochami. Definice 8.1. Množina M ⊂ R3 se nazývá elementární plochou, jestliže platí alespoň jedna z následujících rovností (i) M = {(x, y, z) | z = g1 (x, y), (x, y) ∈ D1 }, kde g(x, y) je funkce spojitá na základní oblasti D1 ⊂ R2 a třídy C 1 na vnitřku D1 , (ii) M = {(x, y, z) | x = g2 (y, z), (y, z) ∈ D2 }, kde g2 (y, z) je funkce spojitá na základní oblasti D2 ⊂ R2 a třídy C 1 na vnitřku D2 , (iii) M = {(x, y, z) | y = g3 (x, z), (x, z) ∈ D3 }, kde g3 (x, z) je funkce spojitá na základní oblasti D3 ⊂ R2 a třídy C 1 na vnitřku D3 . 117
118
KAPITOLA 8. PLOCHA A JEJÍ OBSAH
Krajem K(M ) elementární plochy M dané grafem funkce g na oblasti D rozumíme množinu K(M ) = {(x, y, z) | (x, y) ∈ ∂D, z = g(x, y)}, kde ∂D je hranice oblasti D (viz [1], Definice 1.3 nebo Definice 11.1). Připomeňme, že vnitřek množiny D ⊂ R n jsou všechny body z D kromě hraničních, tj. D \ ∂D. Tři podmínky z Definice 8.1 zní možná složitě, ale říkají přesně to, že elementární plocha je část grafu funkce dvou proměnných při vhodném natočení. Vezměme si například krychli. Její horní stěna je elementární plocha, neboť je to část grafu dokonce konstantní funkce. Pokud by v Definici 8.1 byl pouze bod (i), museli bychom vyloučit například boční stěnu této krychle z elementárních ploch. Boční stěna, co by plocha, není o nic složitější než horní. Vylučovat ji by bylo nelogické. Proto jsou do definice přidány body (ii) a (iii), které zahrnují do elementárních ploch ploch i „nevhodněÿ natočené grafy funkce g(x, y). Příklad 8.2. (i) Množina p M = {(x, y, z) | z = 1 − x2 − y 2 , x2 + y 2 ≤ 1} p je grafem funkce g(x, y) = 1 − x2 − y 2 definované na základní oblasti, kterou je kruh se středem v počátku a poloměrem 1. Množina M je tedy elementární plocha (horní polosféra), jejímž krajem je kružnice 2 2 K(M ) = (x, y, z) | x + y = 1, z = 0 . (ii) Množina M=
p 2 (x, y, z) | y = 1 − x , 0 ≤ x, z ≤ 1
√ je definována jako graf funkce g(x, z) = 1 − x2 , jejímž definičním oborem je jednotkový čtverec {(x, z) | 0 ≤ x, z ≤ 1} v rovině xz. Tato plocha je částí povrchu válce s osou z a poloměrem 1. Krajem této plochy je uzavřená křivka, která vznikne sjednocením dvou rovnoběžných úseček a dvou oblouků kružnice.
2
Definice a výpočet obsahu plochy
Hlavním cílem této části je definovat základní kvantitativní charakteristiku plochy – její obsah. Dalším úkolem bude nalézt integrální vyjádření. Tato úloha je analogická problému stanovit délku křivky. Vzhledem ke dvourozměrnému charakteru ploch nás její řešení zavede ke dvojnému integrálu. Stejně jako v předchozích kapitolách budeme obsah elementární plochy definovat axiomaticky. Označme symbolem S(g, D) hledaný obsah elementární plochy dané grafem funkce g na základní oblasti D. Je jasné, že zobrazení, které dvojici (g, D) přiřadí číslo S(g, D) vyhovuje axiomu aditivity. Tedy (A)
S(g, D) = S(g, D1 ) + S(g, D2 ),
119
2. DEFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY
kde D1 , D2 je rozklad D na základní oblasti nemající společný vnitřní bod. Pokusme se nyní zjistit, jak se velikost obsahu plochy mění v závislosti na charakteru funkce g. Podívejme se na následující obrázek obr. 8.1.
z
z
y x
y x
(a)
(b)
Obr. 8.1.
Máme pocit, že obsah plochy na obrázku (b) je větší než obsah plochy na obrázku (a). Je to způsobeno tím, že jedna z ploch je grafem funkce s větším růstem. Intuitivně se tak přikláníme k názoru (exaktně ověřitelném například pro části rovin nebo rotační tělesa), že graf funkce bude mít větší obsah při větším stoupání čí klesání dané funkce. Protože mírou „rychlosti změnyÿ funkce je velikost jejího gradientu, viz ([1]), Kapitola 5, jsme vedeni k pozorování, že (M 0 )
S(g, D) ≤ S(h, D), kdykoliv k grad gk ≤ k grad hk na oblasti D.
Ukážeme, že pro jednoznačné určení obsahu postačí dokonce vyžadovat nerovnost (M 0 ) v případě, kdy grafem funkce h je část roviny. Proto se pokusíme nejprve stanovit obsah S(h, D). Předpokládejme tedy, že plocha M je grafem funkce h(x, y) = ax + by, jejímž definičním oborem je základní oblast D v rovině xy. Jedná se o rovinnou plochu, která je součástí roviny % s rovnicí z = ax + by. Typický příklad takovéto plochy je znázorněn na obr. 8.2. z % M y x
D Obr. 8.2.
120
KAPITOLA 8. PLOCHA A JEJÍ OBSAH
Na plochu M se můžeme dívat jako na oblast v rovině %, která vznikne promítnutím oblasti D do roviny % ve smyslu rovnoběžného promítání ve směru osy z. V rovině % můžeme zavést kartézský systém souřadnic (libovolným způsobem) a chápat ji tak jako kopii dvourozměrného prostoru R2 . Označme si jako e~1 a e~2 jednotkové a kolmé vektory ležící v %. Označme dále symbolem Φ příslušnou projekci, tj. zobrazení, jež každému bodu (x, y) základní souřadnicové roviny xy přiřadí bod na rovině %, který je průmětem bodu (x, y) do roviny % při rovnoběžném promítání ve směru osy z, Φ(x, y) = (x, y, ax + by). Zobrazení Φ budeme chápat jako zobrazení z R 2 do R2 , Φ(x, y) = (Φ1 (x, y), Φ2 (x, y)), jehož složky jsou dané rovnicí (x, y, ax + by) = Φ1 (x, y) e~1 + Φ2 (x, y) e~2 . Z geometrické podstaty je ihned vidět, že Φ zachovává aritmetické operace s vektory, což znamená, že Φ je lineární. Linearitu lze také snadno ověřit přímo ze vzorce pro Φ. Jakobián ∆Φ je pro lineární zobrazení konstantní funkce, viz 3.10. Dle pravidla o substituci v integrálu použité na zobrazení Φ máme ZZ ZZ 1= ∆Φ = ∆Φ · obsah(D), (8.1) S(h, D) = Φ(D)
D
Jinými slovy, obsah Φ(D) je vždy je ∆ Φ − násobek obsahu D, tedy (8.2)
obsah(Φ(D)) = ∆Φ · obsah(D).
Tento vztah říká, že poměr obsahů původního a promítnutého obrazce je vždy konstantní a roven jakobiánu ∆Φ . Představme si nyní na okamžik, že D je jednotkový čtverec h0, 1i × h0, 1i. V tomto případě je Φ(D) rovnoběžníkem, jehož strany jsou dány vektory u = (1, 0, a) a v = (0, 1, b). Z analytické geometrie víme, že obsah tohoto rovnoběžníku je velikost vektorového součinu u × v. Tedy p (8.3) obsah(Φ(D)) = ku × vk = k(−a, −b, 1)k = 1 + a2 + b2 .
Vzhledem k tomu, že obsah(D) = 1 dostáváme tak z (8.2), že ∆Φ =
p 1 + a 2 + b2 .
Na základě (8.2) a předchozí rovnosti máme pro obecnou základní oblast D následující vztah p (8.4) S(h, D) = 1 + a2 + b2 · obsah(D).
121
2. DEFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY
Po stanovení obsahu rovinné plochy se můžeme opět vrátit k principu monotonie (M 0 ). Předpokládejme, že existuje bod (x 0 , y0 ) v oblasti D, ve které je velikost gradientu funkce g maximální. Tedy nechť k grad g(x0 , y0 )k = max(k grad g(x, y)k). D
Položíme-li nyní funkci h(x, y) h(x, y) =
∂g ∂g (x0 , y0 ) x + (x0 , y0 ) y, ∂x ∂y
(x, y) ∈ D,
pak h(x, y) popisuje rovinu rovnoběžnou s tečnou rovinou ke grafu funkce g sestrojenou v bodě s největší velikostí k grad gk. Geometricky to znamená, že tato rovina je nejstrmější ∂g (x0 , y0 ), b = ze všech tečných rovin grafu funkce g. Podle předchozích úvah s volbou a = ∂x ∂g ∂y (x0 , y0 ) je (8.5)
S(h, D) =
s
1+
∂g (x0 , y0 ) ∂x
2
+
∂g (x0 , y0 ) ∂y
2
· obsah(D).
Víme rovněž, že grad h(x, y) = grad g(x 0 , y0 ), a tak k grad gk ≤ k grad hk. Podle (M 0 ) je pak S(g, D) ≤ S(h, D). Spojením s (8.5) máme tak konečně nerovnost s 2 2 ∂g ∂g + · obsah(D). S(g, D) ≤ max 1 + D ∂x ∂y Zcela analogická úvaha pro minimum funkce k grad gk pak v závěru implikuje nerovnosti (M )
min D
s
1+
∂g ∂x
2
+
∂g ∂y
2
· obsah(D) ≤ S(g, D) ≤ max D
s
1+
∂g ∂x
2
+
∂g ∂y
2
· obsah(D).
Nyní se zdá, že už máme vlastnosti (A) a (M ), které jsme hledali. Je tu však maličkost kazící dojem. V průběhu analýzy celé situace jsme v jednom okamžiku řekli: „Nechť (x 0 , y0 ) je bod z D, ve kterém je k grad gk maximální.ÿ Takový bod ovšem nemusí existovat. Příkladem je např. horní polosféra daná funkcí p g(x, y) = 1 − x2 − y 2 , D = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1}.
Bezprostředním výpočtem zjistíme, že k grad gk je na D shora neomezená funkce. Důvod našich potíží spočívá v tom, že jsme od funkce g požadovali, aby byla třídy C 1 pouze na vnitřku D. Abychom se vyhnuli této nepříjemnosti, budeme definovat obsah nejprve pro speciálnější elementární plochy a pak ho rozšíříme na všechny elementární plochy. V následující definici tak budeme požadovat, aby uvažovaná elementární plocha byla dána funkcí třídy C 1 na D. (Připomeňme si, že to znamená, že existuje otevřená množina G obsahující D, na které je funkce g třídy C 1 .) To zaručí existenci minima i maxima k grad gk na D.
122
KAPITOLA 8. PLOCHA A JEJÍ OBSAH
Definice 8.3. Zobrazení, které každé elementární ploše M dané grafem funkce g třídy C 1 na základní oblasti D přiřadí číslo S(g, D), se nazývá obsah plochy M , jestliže splňuje následující axiomy: (A) aditivita S(g, D) = S(g, D1 ) + S(g, D2 ), kdykoliv D1 , D2 tvoří rozklad oblasti D na základní oblasti D 1 a D2 bez společného vnitřního bodu; (M ) monotonie min D
s
1+
∂g ∂x
2
+
∂g ∂y
2
· obsah(D) ≤ S(g, D) ≤ ≤ max D
s
1+
∂g ∂x
2
+
∂g ∂y
2
· obsah(D).
Nyní, jak už jsme v axiomatické metodě zvyklí, musíme ukázat, že Definice 8.3 vůbec něco definuje. Věta 8.4. Zobrazení S(g, D) z Definice 8.3 existuje a je jediné. Platí přitom, že pro každou elementární plochu M danou C 1 funkcí g na základní oblasti D je s 2 2 ZZ ∂g ∂g + . 1+ (8.6) obsah(M ) = S(g, D) = ∂x ∂y D
Důkaz. Existence alespoň jednoho takového zobrazení je snadná. V (8.6) máme takového kandidáta přímo uvedeného. Musíme jen ověřit, že splňuje axiomy (A) a (M ). Aditivita vyplývá z vlastnosti dvojného integrálu. Počítáme-li integrály přes D 1 a D2 tvořící rozklad základní oblasti D, dostaneme v součtu integrál přes D. Podobně jednoduchá je verifikace monotonie: ZZ D
s
1+
∂g ∂x
2
+
∂g ∂y
2
≤ max D
s
1+
∂g ∂x
2
= max D
+
s
∂g ∂y
1+
2 ZZ
1=
D
∂g ∂x
2
+
∂g ∂y
2
obsah(D).
Zbývá tak dokázat jednoznačnost takového S(g, D). To se děje pomocí metody horních a dolních součtů. Takový postup jsme v předchozím textu prováděli detailně alespoň dvakrát a alespoň jednou ho ještě budeme provádět. Proto se nyní omezíme na konstatování, že i zde tato metoda dá jednoznačnost zobrazení S(g, D).
Příklad 8.5. Určete obsah S kulového vrchlíku M = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1, x2 + y 2 ≤ 1/2}.
123
2. DEFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY Uvedená plocha je grafem funkce p
g(x, y) = Přitom
−x ∂g (x, y) = p , ∂x 1 − x2 − y 2
a tedy
1+ Podle Věty 8.4 máme
2
+
S=
ZZ
∂g ∂x
1 kde x2 + y 2 ≤ . 2
1 − x2 − y 2 ,
D
∂g ∂y
−y ∂g (x, y) = p ∂y 1 − x2 − y 2
2
=
1 . 1 − x2 − y 2
1 p . 1 − x2 − y 2
Zvolme pro výpočet tohoto integrálu polární souřadnice. Pak
S =
Z2π Z1/2 0
0
% p 1 − %2
#1/2 "p √ ! 1 − %2 3 =π 1− . d% dϕ = 2π −2 2 0
Před Definicí 8.3 jsme slíbili, že zjistíme, jak spočítat obsah elementární plochy bez dodatečného omezení o diferencovatelnosti integrované funkce na celé základní oblasti. Stejný trik jsme již užili v závěru Kapitoly 2. Mějme základní oblast D danou např. D = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ ha1 , a2 i, s1 (x) ≤ y ≤ s2 (x)},
s1 (x) < s2 (x) na ha1 , a2 i,
která je na obrázku 2.3(a). Nechť g je funkce třídy C 1 na vnitřku D. Označíme n D 1E 1o 1 1 Dn = (x, y) ∈ R2 x ∈ a1 + , a2 − , s1 (x) + ≤ y ≤ s2 (x) − . n n n n
Pak Dn jsou základní oblasti obsažené ve vnitřku D, viz obr. 8.3. s2 (x)
1 n
D Dn
1 n
1 n
1 n
s1 (x)
a1
a2 Obr. 8.3.
124
KAPITOLA 8. PLOCHA A JEJÍ OBSAH
S Dále, Dn ⊂ Dn+1 a jejich sjednocení ∞ n=1 Dn dá celý vnitřek základní oblasti D. Funkce g je tak třídy C 1 na každém Dn . Elementární plochy Mn dané funkcí g nad Dn se postupně zvětšují až vyplní celou plochu M až na její kraj K(M ). Obsahy ploch M n se tím blíží k hledanému obsahu plochy M . Položíme tedy obsah(M ) = lim obsah(Mn ). n→∞
Věta 8.4 dovoluje spočítat obsahy M n , a tak s 2 2 Z Z s 2 2 ZZ ∂g ∂g ∂g ∂g lim obsah(Mn ) = lim 1+ 1+ + = + . n→∞ n→∞ ∂x ∂y ∂x ∂y D
Dn
Proto prohlásíme, že obsah elementární plochy M dané funkcí g třídy C 1 na vnitřku základní oblasti D je s 2 2 ZZ ∂g ∂g 1+ + . (8.7) obsah(M ) = ∂x ∂y D
Vidíme, že vzorec je zcela stejný jako v případě elementární plochy dané C 1 funkcí na D. Rozdíl spočívá v tom, že v předešlém případě vychází obsah vždy konečný, zatímco v případě obecné elementární plochy může být obsah nekonečný. Při výpočtu integrálu představujícího obsah plochy se často používají jiné než kartézské souřadnice. V Příkladu 8.5 jsme v průběhu výpočtu přešli k souřadnicím polárním. Protože popis plochy v jiných než kartézských souřadnicích je velice užitečný, odvodíme si v dalším výkladu vyjádření obsahu přímo pomocí nově zavedených souřadnic. Před q přesnou formulací tohoto pravidla se podívejme na geometrický význam výrazu
∂g 2 ∂g 2 1 + ( ∂x ) + ( ∂y ) ,
∂g ∂g , − ∂y , 1) je normálový který se v integrálním vyjádření obsahu vyskytuje. Vektor (− ∂x vektor ke grafu funkce g(x, y) směřující vzhůru. Vidíme tak, že výraz s 2 2 ∂g ∂g 1+ + ∂x ∂y
není nic jiného než velikost normálového vektoru indukovaného kartézskou parametrizací dané plochy. Věta 8.4 tak vlastně říká, že obsah plochy spočítáme integrací velikosti ka∂g ∂g , − ∂y , 1) vznikl jako nonického normálového vektoru. Víme, že normálový vektor (− ∂x vektorový součin následujících dvou tečných vektorů: (1, 0, (8.8)
s
1+
∂g ∂x
2
+
∂g ∂y
2
∂g ∂x )
a (0, 1,
∂g ∂y ).
∂g ∂g
. × 0, 1, = 1, 0, ∂x ∂y
Tedy
Při popisu kartézskými souřadnicemi je elementární plocha dána jako obraz Φ(D) základní oblasti D ⊂ R2 , prostřednictvím zobrazení Φ(x, y) = (x, y, g(x, y)),
(x, y) ∈ D.
2. DEFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY
125
Zobrazení Φ se často nazývá kartézská parametrizace dané plochy. Pro parciální derivace tohoto zobrazení platí: ∂g ∂Φ ∂g ∂Φ , . = 1, 0, = 0, 1, ∂x ∂x ∂y ∂y
S tímto novým značením a pomocí (8.8) můžeme integrální vyjádření obsahu přepsat do tvaru
ZZ
∂Φ ∂Φ
(8.9) S(f, D) =
∂x × ∂y . D
Vidíme tedy, že obsah plochy můžeme chápat jako integrál z velikosti vektorového součinu parciálních derivací její kartézské parametrizace. Nyní se podívejme na alternativní způsob popisu plochy. Plocha M může být popsána systémem rovnic x = Φ1 (s, t), y = Φ2 (s, t), z = Φ3 (s, t), (s, t) ∈ T. Uvedeným rovnicím se říká parametrizace elementární plochy M vzhledem k souřadnicím (parametrům) s, t. Hodnoty dvojice parametrů (s, t) jsou brány ze zadané základní oblasti T . Často budeme užívat následující stručný zápis: Zavedeme vektor Φ(s, t) = Φ1 (s, t), Φ2 (s, t), Φ3 (s, t) . Pak Φ je vlastně zobrazení Φ : T −→ M , neboť každé dvojici parametrů přiřazuje bod na ploše M . Pro elementární plochu danou grafem funkce g na základní oblasti D vždy platí
(8.10)
Φ3 = g(Φ1 , Φ2 ),
což vznikne dosazením za x, y a z do rovnice z = g(x, y). Speciálně vidíme, že první dvě složky (Φ1 , Φ2 ) parametrizace Φ představují zobrazení základní oblasti T do D: Φ1 (s, t), Φ2 (s, t) ∈ D pro každé (s, t) ∈ T . Následující tvrzení říká, že rovnost (8.9) platí pro parametrický popis daný jakýmkoliv jiným systémem souřadnic.
Tvrzení 8.6. Nechť M je elementární plocha daná funkcí z = g(x, y) definované v základní oblasti D ⊂ R2 . Nechť Φ = (Φ1 , Φ2 , Φ3 ) : T −→ R3 je spojitá parametrizace plochy M . Předpokládejme, že Φ je třídy C 1 na vnitřku T a že zobrazení θ = (Φ1 , Φ2 ) : T −→ D je prosté a má nenulový jakobián ∆θ na vnitřku T . Pak
ZZ
∂Φ ∂Φ
(8.11) obsah(M ) =
∂s × ∂t . T
126
KAPITOLA 8. PLOCHA A JEJÍ OBSAH
Poznámka 8.7. Kdyby elementární plocha M byla dána např. jako graf funkce typu x = g(y, z), pak zobrazení θ bude vytvořeno ze složek Φ 2 a Φ3 . Obecně bude θ vytvořeno z těch složek parametrizace Φ, které odpovídají nezávisle proměnným u funkce popisující elementární plochu. Důkaz. Důkaz Tvrzení 8.6 je založen na použití věty o substituci pro dvojný integrál. Víme, že s 2 2 ZZ ∂g ∂g obsah(M ) = 1+ + . ∂x ∂y D
Zobrazení θ : T −→ D představuje přechod od souřadnic s, t ke kartézským souřadnicím x, y θ(s, t) = Φ1 (s, t), Φ2 (s, t) . Rozepsáno ve složkách
x = Φ1 (s, t)
y = Φ2 (s, t).
∂Φ ∂Φ
První krok důkazu bude spočívat ve vyjádření výrazu
∂s × ∂t v kartézských souřadnicích. Rovnice (8.10) udává vztah mezi složkami parametrizace Φ. Proto Φ = Φ1 , Φ2 , g(Φ1 , Φ2 ) .
Nyní můžeme začít počítat
Analogicky
∂Φ ∂Φ1 ∂Φ2 ∂g ∂Φ1 ∂g ∂Φ2 . = , , + ∂s ∂s ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
∂Φ ∂Φ1 ∂Φ2 ∂g ∂Φ1 ∂g ∂Φ2 = , , + . ∂t ∂t ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t Provedeme vektorový součin obou výše uvedených vektorů. Když členy, které se navzájem odečítají již nebudeme uvádět, dostaneme ∂Φ ∂Φ × = ∂s ∂t ∂Φ2 ∂Φ1 ∂Φ1 ∂Φ2 ∂g ∂Φ2 ∂Φ1 ∂Φ1 ∂Φ2 ∂g ∂Φ1 ∂Φ2 ∂Φ2 ∂Φ1 = − , − , − = ∂s ∂t ∂s ∂t ∂x ∂s ∂t ∂s ∂t ∂y ∂s ∂t ∂s ∂t ∂Φ1 ∂Φ2 ∂Φ2 ∂Φ1 ∂g ∂g − ,− ,1 . = · − ∂s ∂t ∂s ∂t ∂x ∂y
Protože
∂Φ1 ∂Φ1 ∂Φ2 ∂Φ2 ∂Φ1 ∂s − = det ∂Φ2 ∂s ∂t ∂s ∂t ∂s
∂Φ1 ∂t ∂Φ2 ∂t
= det Jθ ,
můžeme poslední rovnost přepsat ve tvaru ∂g ∂Φ ∂Φ ∂g (8.12) × = det Jθ · − , − , 1 . ∂s ∂t ∂x ∂y
127
2. DEFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY Proto s
2 2
∂Φ ∂Φ ∂g ∂g
+ .
∂s × ∂t = ∆θ 1 + ∂x ∂y
(8.13)
Podle předpokladu ∆θ = 6 0 na vnitřku D. Můžeme tak psát s
2 2
∂g 1 ∂g ∂Φ ∂Φ
. (8.14) 1+ + = ×
∂x ∂y ∆θ ∂s ∂t
Dále, zobrazení θ je prosté na vnitřku D. Tím jsou splněny předpoklady Věty 3.12 o substituci pro θ. Jejím použitím spolu s uvážením (8.14) dostáváme následující rovnosti: s 2 2 Z Z s 2 2 ZZ ∂g ∂g ∂g ∂g 1+ 1+ obsah(M ) = + = + ∂x ∂y ∂x ∂y D
θ(T )
ZZ ZZ
∂Φ ∂Φ 1
·
× · ∆ = = θ
∂s ∂t ∆θ T
Tím je důkaz ukončen.
T
∂Φ ∂Φ
∂s × ∂t .
Při popisu geometrických útvarů, které intuitivně řadíme k plochám však s elementárními plochami nevystačíme. Kulovou plochu není například možné vyjádřit jako graf funkce žádné z dvojic proměnných. Lze ji však na druhé straně vyjádřit jako sjednocení elementárních ploch, horní a dolní polosféry. Jsme tak vedeni k myšlence definovat plochy jako sjednocení konečně mnoha ploch elementárních. Je přirozené přitom požadovat, aby jednotlivé elementární plochy na sebe navazovaly svými kraji. Formálním vyjádřením těchto požadavků je následující definice: Definice 8.8. Souvislá množina M ⊂ R3 se nazývá plocha, jestliže existují elementární plochy M1 , M2 , . . . , Mk takové, že (i) M = M1 ∪ M2 ∪ . . . ∪ Mk ; (ii) Je-li i 6= j, pak Mi ∩ Mj ⊂ K(Mi ) ∩ K(Mj ), přičemž průnik Mi ∩ Mj je buďto křivka nebo konečná či prázdná množina; Množinu elementárních ploch {M1 , M2 , . . . , Mk } splňujících výše uvedené požadavky nazýváme rozkladem plochy M . Rozklad plochy M na elementární plochy M 1 , M2 , . . . , Mk není jednoznačný. Plochu M lze rozložit mnoha způsoby. To je však z našeho hlediska nedůležité, neboť lze dokázat, že jak obsah tak i později integrace přes takovou plochu nezávisí na způsobu rozkladu. Příklad 8.9. (i) Kulová plocha M = {(x, y, z) | x 2 + y 2 + z 2 = r 2 }, o poloměru r > 0, je uzavřenou plochou. Jeden z jejích rozkladů je p M1 = {(x, y, z) ∈ R3 | z = 1 − x2 − y 2 , x2 + y 2 ≤ 1} p M2 = {(x, y, z) ∈ R3 | z = − 1 − x2 − y 2 , x2 + y 2 ≤ 1}.
128
KAPITOLA 8. PLOCHA A JEJÍ OBSAH
(ii) Povrch krychle se skládá ze šesti stěn, z nichž každá je elementární plochou. (iii) Sjednocení čtverců M1 = h0, 1i × h0, 1i × {0} a M2 = {0} × h0, 1i × h0, 1i je plocha složená ze dvou elementárních ploch. Každou plochu danou parametricky můžeme rozložit na elementární plochy dané parametricky. Pro tyto elementární plochy platí Tvrzení 8.6. Protože součet obsahů elementárních ploch je roven obsahu plochy dostáváme z aditivity integrálu vůči integračnímu oboru obecnější tvrzení. Věta 8.10. (Obecná parametrizace) Nechť M ⊂ R 3 je plocha se spojitou parametrizací Φ : T −→ M třídy C 1 a prostou na vnitřku základní oblasti T ⊂ R 2 . Pak
ZZ
∂Φ ∂Φ
obsah(M ) =
∂s × ∂t . T
Příklad 8.11. Určete obsah S povrchu koule o poloměru r > 0. Daná kulová plocha je popsána rovnicí x2 + y 2 + z 2 = r 2 . Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že střed je v počátku souřadnicového systému. Pro popis této sféry je výhodné použít sférických souřadnic (ϕ, ϑ). Přitom x = r cos ϕ cos ϑ (= Φ1 (ϕ, ϑ)) (8.15)
y = r sin ϕ cos ϑ (= Φ2 (ϕ, ϑ)) z = r sin ϑ
(= Φ3 (ϕ, ϑ)),
kde (ϕ, θ) ∈ h0, 2πi × h−π/2, π/2i. Čtenář si jistě povšiml, že jsme použili jinou variantu sférických souřadnic než v Kapitole 4, (4.4). Z geometrického významu rovnic (8.15) je vidět, že parametrizace Φ je prostá na (0, 2π)×(−π/2, π/2): Parametr θ udává „zeměpisnou délkuÿ a φ „zeměpisnou šířkuÿ bodu na sféře. Pokud nejsme na pólech nebo na nultém poledníku, má bod jednoznačně určené hodnoty (φ, θ). Podle Věty 8.10
ZZ
∂Φ ∂Φ
S=
∂ϕ × ∂ϑ . h0,2πi×h−π/2,π/2i
Vzhledem k tomu, že
∂Φ ∂ϕ ∂Φ ∂ϑ ∂Φ ∂Φ × ∂ϕ ∂ϑ
= (−r sin ϕ cos ϑ, r cos ϕ cos ϑ, 0) = (−r cos ϕ sin ϑ, −r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ) = r 2 (cos2 ϑ cos ϕ, cos 2 ϑ sin ϕ, sin ϑ cos ϑ),
129
3. CVIČENÍ dostáváme
∂Φ ∂Φ 2
∂ϕ × ∂ϑ = r cos ϑ.
(8.16) Závěrem je tedy
S=
Z2π Zπ/2 0 −π/2
π/2
r 2 cos ϑ dϑ dϕ = 2πr 2 [sin ϑ]−π/2 = 4πr 2 .
Poznámka 8.12. Poznamenejme, že k výpočtu velikosti vektorového součinu se často používá identita p (8.17) k~u × ~v k = k~uk2 · k~v k2 − (~u · ~v )2 .
Tato rovnost umožní výpočet velikosti normálového vektoru, aniž tento vektor přímo stanovíme. Je to obzvlášť výhodné pro kolmé vektory ~u a ~v . Pak je ~u · ~v = 0 a k~u × ~v k = k~uk k~v k.
3
Cvičení
Úloha. Určete obsah S rovinné plochy popsané podmínkami z = ax + by, x2 + y 2 ≤ 1 (a, b 6= 0, . Řešení. Uvedená plocha je elipsa, která je průnikem roviny o rovnici z = ax + by a válce zadaného nerovností x2 + y 2 ≤ 1. Vzhledem k tomu, že se jedná o graf funkce g(x, y) = ax + by definované na kruhu D = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1}, můžeme bezprostředně využít (8.4) a dostat tak p p S = 1 + a2 + b2 · obsah(D) = π 1 + a2 + b2 . Úloha. Určete obsah části hyperboloidu
z = xy, kde x2 + y 2 ≤ 1. Řešení. Jedná se o elementární plochu, která je grafem funkce g(x, y) = xy,
130
KAPITOLA 8. PLOCHA A JEJÍ OBSAH
jejíž definiční obor je jednotkový kruh D = {(x, y) | x 2 + y 2 ≤ 1}. Podle Věty 8.4 je ZZ p S= 1 + x2 + y 2 . D
Pro výpočet tohoto integrálu je vhodné použít polární souřadnice x = % cos ϕ, y = % sin ϕ, kde ϕ ∈ h0, 2πi, % ∈ h0, 1i. Dostáváme tak ZZ p Z2π Z1 p Z1 p 1 + x2 + y 2 = 1 + %2 % d% dϕ = 2π % 1 + %2 d% 0
D
=
0
0
i1 2 √ 2 hp π (1 + %2 )3 = π(2 2 − 1). 3 3 0
Úloha. Určete obsah S stěny nádoby tvaru rotačního paraboloidu 1 z = (x2 + y 2 ), x2 + y 2 ≤ 1. 2 Řešení. Přímou aplikací vztahu (8.6) dostaneme ZZ p (8.18) S= 1 + x2 + y 2 , D
kde D je jednotkový kruh. Úloha vede ke stejnému integrálu jako v předchozím příkladě. Proto √ 2 S = π(2 2 − 1). 3 Pro srovnání si nyní ukážeme alternativní způsob výpočtu založený na popisu zadané plochy v cylindrických souřadnicích x = % cos ϕ, y = % sin ϕ, z = z; kde ϕ ∈ h0, 2πi, % > 0. V těchto souřadnicích je plocha vymezena podmínkami z=
1 2 % , % ∈ h0, 1i, ϕ ∈ h0, 2πi. 2
Pro použití vztahu (8.11) je třeba stanovit parciální derivace parametrizace 1 Φ(%, ϕ) = % cos ϕ, % sin ϕ, %2 . 2
Jednoduchým výpočtem dostaneme
∂Φ ∂Φ = (cos ϕ, sin ϕ, %); = (−% sin ϕ, % cos ϕ, 0). ∂% ∂ϕ
131
3. CVIČENÍ Při výpočtu vektorového součinu je možno použít vztah (8.17)
p
∂Φ ∂Φ p 2 2 2 2
∂% × ∂ϕ = (1 + % )% − 0 = % 1 + % .
Pak konečně
Z2π Z1 p S= % 1 + %2 d%dϕ. 0
0
Všimněme si, že tento integrál je vyjádřením integrálu (8.18) v polárních souřadnicích. Jeho vyčíslením tedy musíme dospět ke stejnému výsledku. Úloha. Určete velikost plochy zadané vztahy y 2 + z 2 = 4ax, z ≥ 0, y 2 ≤ ax, x ≤ 4a, a > 0, . Řešení. Nejvýhodnější způsob jak uvedený obsah spočítat je reprezentovat zadanou plochu jako graf funkce proměnných y a z, tedy funkce x = h(y, z) =
1 2 (y + z 2 ) . 4a
Jejím definičním oborem D je průmět dané plochy do souřadnicové roviny yz. Pokusme se tento průmět stanovit na základě zadaných nerovností. Z podmínky x ≤ 4a máme 1 2 (y + z 2 ) ≤ 4a, a tedy y 2 + z 2 ≤ 16a2 . 4a
(8.19)
Z nerovnosti y 2 ≤ ax dostaneme y2 ≤
a 2 1 (y + z 2 ) = (y 2 + z 2 ). 4a 4
Po úpravě 3 2 z2 y ≤ , 4 4
(8.20)
tj.
z≥
√ 3|y|.
Spojení podmínek (8.19) a (8.20) implikuje, že D je kruhová √ výseč omezená√kružnicí se středem v počátku o poloměru 4a a dvojicí polopřímek z = 3y, y ≥ 0; z = − 3y, y ≤ 0. Z Věty 8.6 máme s 2 2 ZZ ZZ ∂h 1p 2 ∂h S= 1+ 4a + y 2 + z 2 . + = ∂y ∂z 2a D
D
Přechodem k polárním souřadnicím pak dostáváme 1 S = 2a
2π/3 Z Z4a
π/3 0
4a p √ π 1 4 2 2 3/2 2 2 4a + % % d% dϕ = (4a + % ) = πa2 ( 125 − 1). 6a 3 9 0
132
KAPITOLA 8. PLOCHA A JEJÍ OBSAH
Úloha. Stanovte jakou část zemského povrchu představuje oblast mezi 30 o a 31o severní šířky a 20o a 21o východní délky. Řešení. Zadaný problém budeme řešit obecně jako otázku obsahu části kulové plochy o poloměru r > 0, která je ve sférických souřadnicích x = r cos ϕ cos ϑ y = r sin ϕ cos ϑ z = r sin ϑ vymezena intervaly ϕ ∈ hϕ1 , ϕ2 i, ϑ ∈ hϑ1 , ϑ2 i. Využitím (8.16) a goniometrických identit dostáváme pro hledaný povrch S vztahy S =
Zϕ2 Zϑ2
ϕ 1 ϑ1
r 2 cos ϑ dϑ dϕ = (ϕ2 − ϕ1 )r 2 [sin ϑ]ϑϑ21 = 2
= (ϕ2 − ϕ1 )r · 2 cos
ϑ1 + ϑ 2 2
sin
ϑ2 − ϑ 1 2
.
Pro hledaný poměr u tedy platí ϑ2 −ϑ1 ϑ1 −ϑ2 ϑ1 +ϑ2 2 2(ϕ2 − ϕ1 )r 2 cos ϑ1 +ϑ sin sin (ϕ − ϕ ) cos 2 1 2 2 2 2 u= = . 2 4πr 2π Pro zadané numerické hodnoty (ϕ1 = u=
π 180
20 180 π,
ϕ2 =
21 180 π,
ϑ1 =
30 180 π,
ϑ2 =
31 180 π)
je
π cos 61π 360 sin 360 . = 2, 0855 · 10−5 . 2π
Úloha. Nalezněte obsah povrchu S anuloidu, jehož průřez má poloměr R 2 , přičemž vzdálenost středu průřezové kružnice od jeho osy je R 1 (R1 > R2 ). Řešení. K popisu této plochy se hodí souřadnice (ϕ, ψ), kde ϕ je úhel popisující polohu bodu v průřezové kružnici a ψ je úhel určující otočení vzhledem k ose z, viz. obr. 8.4.
z
R2
ϕ ψ x Obr. 8.4.
R1
y
133
3. CVIČENÍ Tedy x = (R1 − R2 cos ϕ) cos ψ
(= Φ1 (ϕ, ψ))
z = R2 sin ϕ
(= Φ3 (ϕ, ψ)),
y = (R1 − R2 cos ϕ) sin ψ
(= Φ2 (ϕ, ψ))
kde (ϕ, ψ) ∈ h0, 2πi × h0, 2πi. Platí, že ∂Φ ∂ϕ ∂Φ ∂ψ
= (R2 sin ϕ cos ψ, R2 sin ϕ sin ψ, R2 cos ϕ) = (−(R1 − R2 cos ϕ) sin ψ, (R1 − R2 cos ϕ) cos ψ, 0).
Vzhledem k tomu, že
∂Φ
∂ϕ = R2 ,
máme
∂Φ
∂ψ = R1 − R2 cos ϕ,
∂Φ ∂Φ · =0 ∂ϕ ∂ψ
∂Φ ∂Φ
= R2 (R1 − R2 cos ϕ). ×
∂ϕ ∂ψ
Konečně, S=
Z2π Z2π 0
0
R2 (R1 − R2 cos ϕ) dϕ dψ = 4π 2 R1 R2 .
Stanovte obsah následujících ploch: 1. průniku roviny o rovnici z = 2x+y s eliptickým válcem daným nerovnicí 2. grafu funkce f (x, y) = a, b, c > 0;
x2 2a
+
y2 2b
definované na množině dané nerovností
x2 9 x2 a2
2
+ y16 ≤ 1; +
y2 b2
≤ c2
3. části kulové plochy o rovnici x2 + y 2 + z 2 = r 2 , kterou z ní vytíná válec určený podmínkami x2 + y 2 ≤ rx, z ≥ 0; 4. plochy dané parametrickým vyjádřením x = u cos v, y = u sin v, z = u 2 , (u, v) ∈ h0, 4i × h0, 2πi; 5. plochy dané parametrickým vyjádřením x = u+v, y = u−v, z = v 2 , (u, v) ∈ h0, 1i2 ; 6. helikoidu daného parametrickým vyjádřením x = u cos v, y = u sin v, z = v, (u, v) ∈ h0, 1i × h0, 2πi; 7. plochy dané parametrizací x = u cos v, y = u sin v, z = 21 u2 sin 2v, (u, v) ∈ h0, 1i × h0, 2i
134
KAPITOLA 8. PLOCHA A JEJÍ OBSAH
8. Předpokládejme, že f je nezáporná spojitá funkce definovaná na intervalu ha, bi. Pomocí Věty 8.10 ukažte, že obsah plochy M , která vznikne rotací grafu funkce f kolem osy x je dán vztahem obsah(M ) = 2π
Zb
f (x)
a
p
1 + f 0 (x)2 dx.
9. Určete obsah rotační plochy, která vznikne rotací grafu funkce f (x) = sin x, x ∈ h0, πi kolem osy x. 10. Stanovte obsah povrchu elipsoidu s poloosami a, a, c, kde a < c. (Obsah povrchu obecného elipsoidu nelze explicitně vyjádřit bez tzv. eliptických integrálů.) 11. Nechť C je rovinná křivka a f : C → R je nezáporná spojitá funkce. Ukažte, že je-li R M = {(x, y, z) | (x, y) ∈ C, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}, pak obsah(M ) = C f.
Výsledky. √ √ √ √ √ √ 1. 12 6π; 2. 32 πab (1 + c2 )3/2 − 1 ; 3. r 2 (π − 2); 4. π6 (65 65 − 1); 5. 3 + 22 ln( 2 + 3); √ √ √ √ √ 6. π 2 + ln(1 + 2) ; 7. 23 ( 8 − 1); 9. 2π ln(1 + 2) + 2 ; 10. 2πa aε arcsin ε + a ,
kde ε =
√ c2 −a2 . c
