41
10.
Grafy ů
S problematikou posloupností, vektor a matic, které byla v nována kapitola 8, i se zpracováním dat, o kterém jsme hovo ili v p edchozí kapitole, úzce souvisí grafy. Grafické zobrazení je vhodným dopl kem výpo t a m že sloužit i k p ehlednému znázorn ní velkého množství dat. Pr zkum možností, které Mathcad v této oblasti poskytuje, necháváme z v tší ásti na vás. V této kapitole uvádíme pouze základní p ehled. ě
ř
ř
ů
ň
ů
č
ř
ů
ě
ě
č
ř
10.1
Rovinný graf x-y
Nej ast ji patrn použijete rovinný graf x-y (X-Y Plot). Proto mu zde v nujeme nejvíce místa. U ostatních druh graf jsou mnohé postupy obdobné. č
ě
ě
ě
ů
10.1.1
ů
Vytvo ení grafu
Mathcad pracuje s body o sou adnicích x-y, které m žeme íseln zadat (viz. obr. 44) nebo je po ítat z nadefinované funkce y = f(x) (viz. obr. 45). Tyto hodnoty se znázorní podle zvoleného typu grafu. Nap . požadujeme-li sloupcový graf, vykreslí v bodech x sloupe ky o výšce y, chceme-li árový graf, spojí jednoduše body o sou adnicích x-y úse kami.1 ů
ř
č
ě
č
ř
č
ř
č
č
Graf dostaneme na míst kurzoru (levý horní okraj), pokud klepneme myší na ě
tla ítko v sad pod ikonou . Objeví se obrys grafu, kde je t eba vyplnit názvy polí ísel, která mají být na ose x a na ose y.2 Rozsahy jednotlivých os zadávat nemusíme, Mathcad zvolí ty „nejlepší“. Chcete-li v jednom grafu znázornit na jedné ose více polí, je t eba jejich názvy odd lit árkou. č
ě
ř
č
ř
ě
č
Pole sou adnic bod m žeme zadávat r zn : ů
ř
ů
ů
ě
•
vypsat jako vektor (v tšinou v p ípad nepravidelného kroku mezi ísly - viz. obr. 44),
•
zadat jako posloupnost ísel pomocí tla ítka - viz. pole sou adnic x na obr. 45),
ě
ř
ě
č
č
(v p ípad pravidelného kroku
č
ř
ě
ř
1
U komplexních ísel se znázorní pouze jejich reálná ást. Ješt jednodušší je to u tzv. rychlých graf (QuickPlots) - viz. kap. 10.1.2. č
2
č
ů
ě
Grafy
42
•
vypo ítat jako funk ní hodnoty v daných bodech - viz. pole sou adnic y na obr. 45,
•
vypo ítat jako posloupnost ísel ve form vektoru - viz. obr. 48.
č
č
ř
č
č
ě
Jak grafy fungují je nejlépe vid t z uvedeného p íkladu. Na obr. 44 jsou vykresleny árové grafy, kde sou adnice jsou p ímo dány zvolenými vektory a, b, c, d. Pokud chceme znázornit všechny prvky, posta í na p íslušné osy uvést pouze názvy vektor (viz. obr. 44 vlevo).3 Chceme-li vykreslit jen n které prvky, uvedeme jejich indexy (viz. obr. 44 vpravo - index i). ě
č
ř
ř
ř
č
ř
ů
ě
obr. 44 1 a
1
2
3
b
5
4
5
5
c
d
6
9
7 2
8
i 8 a
6
c
4
0 .. 1
8 6 d 4
b
i
d 2
2
0
0 0
2
4
6
8
10
0
2
b
4
6
a, c i
3
ů
ů
Pokud mají vektory na vodorovné a svislé ose r zný po et prvk (nap . vektory b a c), odpovídá po et znázorn ných bod po tu prvk kratšího vektoru (b). č
ů
č
ě
ů
č
Grafy
ř
43
10.1.2
Grafy funkcí ů
ů
Nejprve funkce nadefinujeme. Všimn te si, prosím, jakým zp sobem m žete v Mathcadu definovat vlastní funkce, nap . s(ϕ) a c(ϕ) na obr. 45 a funkce(z) na obr. 46.4 ě
ř
ů
Potom zvolíme posloupnost bod , ve kterých bude Mathcad po ítat funk ní hodnoty. P i vykreslování graf funkcí si musíme dát pozor, abychom toto pole nezávisle prom nných zvolili dostate n “husté” a graf funkce byl pat i n hladký. č
č
ů
ř
ě
č
ě
ř
č
ě
Na obr. 45 znázorníme grafy dvou goniometrických funkcí pro x od 0 do 6π. Tento úsek rozd líme pravideln po jedné desetin (tedy asi na 190 bod ). Zp sob vytvá ení takové posloupnosti je vysv tlen v kapitole 8.1. ů
ě
ě
ů
ě
ř
ě
. Na Potom už p emístíme kurzor na nové místo a klepneme do tla ítka vodorovnou osu napíšeme název zvolené posloupnosti ísel a na svislou osu jeden nebo více názv funkcí, odd lených árkami. U názv funkcí musí být v závorce uvedeno, pro které body má být vypo tena funk ní hodnota. ř
č
č
ů
ů
ě
č
č
č
obr. 45 s( ϕ ) x
sin( 2. ϕ )
2. cos ( ϕ )
c( ϕ )
0 , 0.1.. 6. π
2 1 s( x ) 0 c( x ) 1 2 0
5
10
15
20
x
Nová verze Mathcadu umož uje vytvo it tzv. rychlý graf (QuickPlot): Na volné místo napíšeme vztah obsahující pouze jednu prom nnou (nap . tan(α α)), klepneme ň
ř
ě
ř
na ikonu a umístíme kurzor mimo graf. Nadefinovaný vztah bude na svislé ose a nezávisle prom nná na ose vodorovné, p i emž Mathcad automaticky vybere rozsah této prom nné od -10 do +10 (viz. obr. 46). Pokud chceme umístit na svislou osu ě
ř
č
ě
4
ů
U funkcí více prom nných m že být argument funkce i název vektoru prom nných. ě
ě
Grafy
44
více funkcí, odd líme jednotlivé funkce árkou a teprve pak klepneme na ikonu (viz obr. 46 vpravo). ě
č
obr. 46 funkce( z)
40
3
3. z
2.5
2. z
1000
4000
20 2000
funkce ( z) tan ( α )
0
3 w
4.w 0
20 40
2000 10
0 α
10
10
0 z, w
10
ů
M žeme nakreslit také parametrický graf. Na vodorovnou i svislou osu vypíšeme funkce jedné prom nné, jejíž rozsah (pokud nezadáme jinak) op t zvolí Mathcad automaticky: ě
ě
obr. 47 P íklad použití parametrického grafu ř
xo
3 .m
vo
15 .
m s
β
60 . deg
závislost vodorovné vzdálenosti na ase:
x( t)
závislost svislé vzdálenosti na ase:
y( t)
zvolený asový úsek:
t
č
č
č
v o . cos ( β ) . t 1. . 2 gt 2 0 , 0.1 .. 2 . s
(Mathcad by zvolil od -10 do +10 bez jednotky) 10
y( t )
5
0
5
10 x( t )
15
20
Hledaná trajektorie y = f(x)
Grafy
xo
v o . sin( β ) . t
45
10.1.3
Úprava grafu
Na obr. 44 až 47 jsou vykresleny grafy už po jistých úpravách. Chcete-li grafy formátovat, posta í na n dvakrát klepnout myší. Objeví se ty stránkové dialogové okno, ve kterém si sami vyzkoušejte funkce jednotlivých položek.5 Po každé zm n stiskn te tla ítko Apply (Použít). Dialogové okno z stane na obrazovce a m žete pozorovat zm ny grafu. č
ě
č
ř
ě
ů
ě
ě
ů
č
ě
Za zmínku stojí položka Show Markers na stránce X-Y Axes, jejíž funkce by nemusela být ihned z ejmá. Tato položka umožní umístit do grafu ve zvolených sou adnicích x resp. y svislé resp. vodorovné áry. Položka Legend Label na stránce Traces umožní zvolit popis jednotlivých ar, který se objeví, pokud není zaškrtnuta položka Hide Legend (viz. obr. 47). ř
ř
č
č
Stisknutím tla ítka Change to Defaults na stránce Defaults se vrátíte ke standardnímu nastavení pro daný dokument. Zaškrtnutím položky Use for Defaults zm níte podle upraveného grafu standardní nastavení pro všechny p íští grafy v dokumentu. Zm nit standardní nastavení všech graf v dokumentu m žeme také hned na za átku práce, pokud vybereme položku menu Format, Graph, X-Y Plot nebo otev eme nový dokument založený na šablon se zm n ným standardním nastavením graf (viz. kap. 7.4). č
ě
ř
ů
ů
ě
č
ř
ě
ě
ě
ů
Po jednom klepnutí myší na graf m žete provád t další úpravy grafu: ů
ě
•
Pomocí položky menu Format, Graph, Trace nebo tla ítka č
v sad pod ě
ur íte p esné sou adnice bodu, do kterého klepnete myší, a m žete je ikonou kopírovat do clipboardu. Zaškrtnete-li položku Track Data Points, ode ítáte sou adnice bod , ze kterých byl graf sestrojen (sou adnice se pohybují ve skocích a k p esunu mezi jednotlivými body m žeme použít klávesy se šipkami). ů
č
ř
ř
č
ů
ř
ř
ů
ř
•
Položka menu Format, Graph, Zoom nebo tla ítko grafu, který lze rychle vybrat tažením myší.
•
Dále se objeví automaticky zvolené rozsahy os ve „vani kách“ a m žete je prostým p epsáním zm nit.
č
ř
ů
č
ř
•
umožní provést vý ez
ě
Pokud nejste spokojeni s velikostí grafu, potáhn te myší za úchytky na okraji ráme ku. ě
č
5
ů
Pokud jsme klepli p ímo na osu grafu, název grafu nebo název osy, m žeme formátovat pouze tyto objekty. ř
Grafy
46
10.2
Polární graf ů
V p ípadech, kdy nezávisle prom nná je úhel, m že být výhodný polární graf (Polar Plot). Práce s polárním grafem je obdobná práci s rovinným grafem x-y (viz. kap. 10.1). ř
ě
se objeví obrys grafu se dv ma Po klepnutí myší na ikonku s polárním grafem ernými tvere ky. Do spodního vyplníme nezávisle prom nnou - úhel,6 do levého tvere ku vyplníme závisle prom nnou, která by m la pokud možno nabývat pouze kladných hodnot.7 Do erných tvere k , které se potom objeví po pravé stran m žete zvolit rozsah, p i emž hodnoty rostou od st edu grafu k okraji a nejnižší hodnota (uprost ed) m že být nula. ě
č
č
č
č
ě
č
ě
ě
ů
č
č
č
ě
ů
ř
č
ř
ů
ř
Na ukázku uvádíme sinusoidu, která se v tomto typu grafu zobrazí jako kružnice. Pole nezávisle i závisle prom nných jsou dané výpo tem jako posloupnosti ísel ve form vektor (x a s). Znázor ujeme všechny prvky vektoru, tedy nemusí být uveden jejich index. Interval od 0 do π jsme rozd lili na 20 dílk : ě
č
č
ů
ě
ň
ů
ě
obr. 48 i
0 .. 20
xi
0.05 . i . π
120
90
sin xi
60
0.8
150 s
si
30
0.4 180
0
0
210
330 240
270 x
300
ů
U polárního grafu je také možné k zobrazení výraz s jednou prom nnou využít tzv. rychlý graf (viz. kap. 10.1.2). Nezávisle prom nnou pak volí Mathcad v rozmezí 0 až 2π. ě
ě
6
ů
Pokud není uvedena jiná jednotka, považuje Mathcad daná ísla za hodnoty úhl v radiánech. 7 Mathcad totiž považuje v tomto typu grafu záporné hodnoty za kladné, které pooto í o 180°, takže graf m že být zcela zdeformovaný. č
č
ů
Grafy
47
Formátování polárního grafu se provádí obdobn (viz. kap. 10.1.3). ě
10.3
jako u rovinného grafu x-y
Graf vektorového pole ů
ů
Jestliže známe x-ové a y-ové složky vektor , m žeme vytvo it graf vektorového pole (Vector Field Plot). Tento druh grafu umožní zobrazit i matici komplexních ísel. ř
č
se objeví ráme ek s jedním erným tvere kem. Zde Po stisknutí tla ítka vypíšeme název matice x-ových složek a árkou odd lený název matice y-ových složek vektor . Po klepnutí myší mimo graf se objeví pole vektor o stejné ploše jako mají dané matice a rozm ry každého vektoru jsou dány vždy odpovídající dvojicí prvk matic. Prvky s indexy (0,0) jsou zobrazeny vlevo dole. č
č
č
č
č
č
ě
ů
ů
ě
ů
obr. 49 1 2 3 X
1 2 3
2 3 4
1 2 3
Y
3 4 5
1 2 3
4 5 6
1 2 3
X, Y Místo dvou matic x-ových a y-ových složek je možno uvést jedinou matici komplexních ísel. Reálné ásti prvk se pak zobrazí jako x-ové složky a imaginární jako y-ové složky vektor . ů
č
č
ů
Graf vektorového pole m žeme op t formátovat, pokud na n j dvakrát klepneme myší. ů
ě
ě
Grafy
48
10.4
Prostorové grafy
Prostorové grafy slouží v tšinou ke grafickému zobrazení matic. Osy x a y pak mají význam ádk a sloupc matice a na ose z je hodnota odpovídajícího prvku matice. Do erného tvere ku, který se po stisku p íslušné ikony grafu objeví, vyplníme název matice. Výjimkou je prostorový graf x-y-z (3D Scatter Plot). ě
ů
ů
ř
č
č
č
ř
Mathcad umož uje následující zp soby zobrazení matic: ů
ň
•
Prostorová plocha (Mesh):
(Surface Plot). Tomuto typu zobrazení se také íká sí ř
ť
obr. 50 0 .. 15
i
0 .. 15
j
vypoctenai, j
sin
i . π 15
cos
j . π 15
2 1 0
0
5 10 15
1 0
5
10
15
vypoctena Pokud u tohoto typu zobrazení vyplníme do erného tvere ku pod grafem názvy t í stejn rozsáhlých matic odd lené árkou, vykreslí se tzv. parametrický prostorový graf. Mathcad interpretuje tyto t i matice jako x-ové, y-ové a z-ové sou adnice bod na ploše. č
ě
ě
č
č
ř
č
ů
ř
ř
Grafy
49
•
Sloupcový graf
(3D Bar Chart):
obr. 51
2 1 0 1
vypoctena •
Vrstevnicový graf
(Contour Plot):
obr. 52 15 0.5
0
0
10
0.5
0.5 0.5
0 0.5
0
1
1
5
1.5 1
1.5
1 0 0
5
10
15
vypoctena Formátování všech t chto graf se provádí stejným zp sobem - dvakrát klepneme na upravovaný graf a máme obdobn jako u rovinného grafu x-y (viz. kap. 10.1.3) k dispozici ty stránkové formátovací okno. ů
ů
ě
ě
č
ř
ů
Upozor ujeme zvlášt na položku Display As na stránce View, kde m žeme p epínat mezi r znými zp soby zobrazení matice. Krom p edchozích t í druh zobrazení je zde ješt možnost Data Points. Jedná se o zobrazení prvk matice ve form bod v prostoru ádek-sloupec-hodnota. ň
ě
ů
ř
ů
ů
ě
ě
ř
ř
ů
ř
Grafy
ě
ů
50
ů
Všechny p edchozí druhy prostorových graf zobrazovaly matici. Osy x a y p edstavovaly ádky a sloupce dané matice. Jinak je to u prostorového grafu x-y-z (3D Scatter Plot). Zde m žeme nadefinovat obvyklými zp soby (viz. kap. 8.2.3) vektory sou adnic x, y, z a jména t chto t í vektor (odd lená árkou) vypíšeme do ř
ř
ř
ů
ů
ů
ř
č
ě
ř
ě
erného tvere ku, který se objeví po stisku tla ítka obraz bod v nadefinovaných sou adnicích: č
č
č
č
. Dostaneme prostorový
ů
ř
obr. 53
a
0.1
2.7
4.1
2.3
1.5
3.8
3.8
b
3
c
0.5
0.9
0
1.8
5.6
0.7
0
6 4 2 0
0
1
2
3
2 4 6
a, b, c Formátování tohoto grafu je obdobné jako u graf p edchozích. ů
ř
Grafy
51
10.5
Animace
Mathcad umož uje vytvo ení pohybujícího se grafu nebo m nícího se matematického výpo tu. To je možné díky vestav né prom nné FRAME, která dokáže m nit svoji hodnotu s asem. ň
ř
ě
č
ě
ě
ě
č
Postup vzniku pohybujícího se grafu je následující: •
Vytvo íme graf podle pravidel popsaných v p edchozích kapitolách, avšak p i zadávání zobrazovaných hodnot použijeme n kde prom nnou s názvem FRAME, nap . x:0,0.1;(FRAME+1)*π π/4 , ř
ř
ř
ě
ě
ř
•
zvolíme položku menu View, Animate,
•
tažením myší uzav eme vytvo ený graf do ráme ku,
•
zadáme odkud kam se má hodnota prom nné FRAME pohybovat a p ípadn i rychlost p ehrávání,
ř
ř
č
ě
ř
ě
ř
•
stiskneme tla ítko Animate,
•
vidíme ukázku animace pro nastavené hodnoty prom nné FRAME a potom se na obrazovce objeví okno, ve kterém si m žeme vytvo enou animaci p ehrávat (stiskem šipky vlevo dole),
č
ě
ů
ř
•
ř
hotovou animaci lze uložit pomocí tla ítka Save As (koncovka .avi) a p ehrát pozd ji pomocí položky menu View, Playback a na pravém tla ítku myši Open. č
ř
ě
č
Pro spušt ní animace je vhodné použít nap . hyperlink (viz. kap. 7.6.1). ě
ř
Nezapomínejte, že Mathcad volí p i grafickém zobrazování automaticky rozsahy os tak, aby graf dob e vypadal. P i animacích je n kdy vhodn jší zadat rozsahy os pevn (viz. kap. 10.1.3). ř
ř
ř
ě
ě
ě
ů
ů
Další možnosti, které existují p i animaci objekt , necháme na pr zkumu uživatele. Doporu ujeme využít p íklady obsažené v menu Help, Resource Center v ásti QuickSheets, Animations. ř
č
ř
č
Grafy
