VŠB – Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební
Program BSA Uživatelský a teoretický manuál Oldřich Sucharda
Ostrava 2010
Obsah
1
2
3
4
5
Úvod .................................................................................................................................. 3 1.1 Oblast použití .......................................................................................................... 3 1.2 Podmínky používání................................................................................................ 3 Instalace ............................................................................................................................ 4 2.1 Požadavky na hardware a software ......................................................................... 4 2.2 Instalace programu .................................................................................................. 4 Základní práce s programem ......................................................................................... 5 3.1 Uživatelské prostředí programu .............................................................................. 5 3.2 Příprava vstupních dat ............................................................................................. 6 3.2.1 Hlavička .................................................................................................... 6 3.2.2 Specifikace konečných prvků.................................................................... 6 3.2.3 Specifikace uzlů, okrajových podmínek a zatížení ................................... 7 3.2.4 Specifikace materiálových modelů ........................................................... 7 3.2.5 Tvorba výpočetního modelu nosníku........................................................ 8 3.3 Výpočet a posudek .................................................................................................. 8 3.4 Vyhodnocení výsledků ............................................................................................ 9 Teoretické vztahy........................................................................................................... 10 4.1 Metoda konečných prvků ...................................................................................... 10 4.2 Základní vztahy teorie pružnosti pro rovinnou úlohu ........................................... 10 4.3 Čtvercový konečný prvek...................................................................................... 11 4.4 Obdélníkový konečný prvek ................................................................................. 13 4.5 Řešení soustav lineárních rovnic........................................................................... 14 4.6 Posudek ................................................................................................................. 16 4.7 Podmínka HMH .................................................................................................... 16 4.8 Podmínka HMH modifikovaná pro beton ............................................................. 17 4.9 Podmínka porušení CEB-FIB................................................................................ 17 4.10 Podmínka Chen ..................................................................................................... 18 Literatura ....................................................................................................................... 19
2
1 Úvod 1.1 Oblast použití Software je určen pro analýzu stavebních konstrukcí a uplatní se při určování napjatosti, deformace a míry porušení betonu jako součásti výpočtu pro určování únosnosti a životnosti betonových konstrukcí. Oblast použití je pro výpočty a analýzy stavebních konstrukcí, které se idealizují rovinnými výpočetními modely. Software má grafické uživatelské rozhraní pro platformu Windows a umožňuje také vybrané funkcionality zpracovat v dávkovém režimu.
Obr. 1.1 Program BSA
1.2 Podmínky používání Program je možné používat na vlastní zodpovědnost uživatele k jakýmkoli účelům včetně komerčních, výzkumných a výukových. Program je dostupný na webových stránkách http://fast10.vsb.cz/bsa/. Software vznikl v rámci výzkumného centra CIDEAS - Centrum integrovaného navrhování progresivních stavebních konstrukcí.
3
2 Instalace 2.1 Požadavky na hardware a software Program je určen pro operační systém Windows Vista a vyšší. K instalaci a spuštění je požadovaná minimální konfigurace: • Pentium III 1,3 GHz a vyšší, • 1 GB paměti RAM, • 100 MB na pevném disku. Pro provoz programu jsou potřebné knihovny Microsoft. NET Framework, které jsou součástí instalace Windows Vista a vyšší. Skutečné hardwarové požadavky pro plnohodnotnou práci jsou závislé na velikosti výpočetních úloh.
2.2 Instalace programu Software je šířen v instalačním balíčku, který obsahuje soubory: instal.exe, manual.pdf. Spuštěním souboru instal.exe se nainstalují potřebné soubory do adresáře C:\BSA. Soubory jsou z důvodu antivirové ochrany šířeny prostřednictvím sítě internet ve formě komprimovaného archivu zip. Soubor manual.pdf obsahuje informace o oblasti použití, instalace, ovládání programu a použitých teoretických vztazích. Pro prohlížení manuálu je například vhodný Adobe Reader (Acrobat Reader) apod.
4
3 Základní práce s programem 3.1 Uživatelské prostředí programu Uživatelské prostředí programu je tvořeno nabídkou, která se skládá z několika částí: 1. Projekt – obsahuje základní funkce pro otevření a uložení projektu. Obsahuje také funkci pro ukončení projektu. 2. Zadání – nabídka slouží pro přípravu vstupních informací. Uživatel může editovat vstupní soubor, který je v textovém formátu výběrem nabídky Zadání>Editace vstupních dat. Pro potřeby tvorby výpočetního modelu nosníku se může využít nabídky Zadání>Tvorba výpočetního modelu nosníku.
Obr. 3.1 Uživatelské rozhraní výpočetního systému
3. Výpočet – slouží ke spouštění nejdůležitějších funkcí programu. Hlavní funkcionality se dělí na výpočet (Výpočet>Výpočet – analýza konstrukce > …) a provedení posudku dle vybraného kritéria (Výpočet>Posudek - …..). Při výpočtu (analýze konstrukce) se vybírá s dostupných konečných prvků. 4. Výsledky – obsahuje nabídku funkcionalit pro vyhodnocení výsledků z analýzy a posudku konstrukce. Výsledky jsou zobrazeny v textovém souboru. 5. Nápověda – obsahuje přístup k manuálu ve formě dokumentu pdf a informacím o programu.
5
3.2 Příprava vstupních dat Pro analýzu konstrukce – výpočetního modelu, je nutné vytvořit vstupní data v požadovaném formátu programu BSA. Datový formát vstupního souboru BS_input.txt je v textovém formátu a má následující tvar: hlavička (počet konečných prvků, počet uzlů, počet materiálových modelů), specifikace konečných prvků, specifikace uzlů, okrajových podmínek a zatížení, specifikace materiálových modelů. Umístění vstupního souboru je ve složce BSA\data. Mezi bloky vstupních dat nesmí být vynechány žádné volné řádky. Nejsou přípustné také žádné komentáře. 3.2.1 Hlavička Hlavička obsahuje tři celočíselné informace. Každé číslo je na vlastním řádku: počet konečných prvků, počet uzlů, počet materiálových modelů. Příklad hlavičky pro úlohu, která obsahuje 32 konečných prvků, 45 uzlů a jeden materiálový model má tvar: 32 45 1 3.2.2 Specifikace konečných prvků Každý konečný prvek je zapsán v jednom řádku a obsahuje následující informace: číslo konečného prvku, rezervovaný údaj (základní hodnota je 1), rezervovaný údaj (základní hodnota je 1), rezervovaný údaj (základní hodnota je 1), rezervovaný údaj (základní hodnota je 0), rezervovaný údaj (základní hodnota je 1), číslo uzlu konečného prvku, číslo uzlu konečného prvku, číslo uzlu konečného prvku, číslo uzlu konečného prvku. Vstupní informace se oddělují mezerami. Příklad zadání konečného prvku, který je 32 a je tvořen uzly (39, 44, 45, 40) se zapíše:
6
32
1
1
1
0
1
39
44
45
40
3.2.3 Specifikace uzlů, okrajových podmínek a zatížení Každý uzel je zadán jedním řádkem a obsahuje následují informace: číslo uzlu, souřadnice ve směru x [m], souřadnice ve směru y [m], neposuvná vazba ve směru x (1.000 – ano, 0.000 - ne ) neposuvná vazba ve směru y (1.000 – ano, 0.000 - ne ) zatížení ve směru x [N], zatížení ve směru y [N], Vstupní informace se oddělují mezerami. Příklad zadání uzlu 41 se souřadnicemi x = 10 m, y = 0 m a svislou neposuvnou vazbou se zapíše: 41 20.000000 0.000000 0.000000 1.000000
0.000
0.000
3.2.4 Specifikace materiálových modelů Materiálový model musí být zapsán v jednom řádku a obsahuje následující informace: číslo materiálového modelu, tloušťka konečného prvku pro zvolený materiálový model [m], modul pružnosti E [Pa], Poissonův součinitel [-], rezervovaný údaj (základní hodnota je 0.000), rezervovaný údaj (základní hodnota je 0.000), rezervovaný údaj (základní hodnota je 0.000). Vstupní informace se oddělují mezerami. Příklad materiálového modelu 1, který má modul pružnosti E = 20 GPa, Poissonův součinitel ν = 0,17 a tloušťku přiřazených konečných prvků 0,2 m se zapíše: 1
2.000
21000000000.000
0.170
7
0.000
0.000
0.000
3.2.5 Tvorba výpočetního modelu nosníku Pro potřeby tvorby výpočetního modelu nosníku je připraven preprocesor, který na základě vyplněných vstupních informací připraví data. Funkcionalita je dostupná v nabídce Zadání>Tvorba výpočetního modelu nosníku.
Obr. 3.2 Výpočetní model nosníku Program kontroluje validitu zadaných dat. Po vyplnění vstupních polí a označení podpor z nabídek se vstupní soubor vytvoří stiskem tlačítka Vytvoř výpočetní model nosníku. Generátor sítě konečných prvků tvoří pravidelnou síť konečných prvků.
3.3 Výpočet a posudek Výpočet – analýza konstrukce se spouští z nabídky Výpočet>Výpočet – analýza konstrukce. Program se může také spustit z příkazového řádku ze souboru BS_FEMx.exe. Výsledky výpočtu jsou dostupné v nabídce Výsledky. V nabídce Výpočet jsou dále nabídky jednotlivých typů posudků. Implementované posudky jsou: podmínka HMH, podmínka HMH modifikovaná pro beton, podmínka CEB-FIB, podmínka Chen. Před spuštěním posudku je uživatel vyzván k vyplnění informací, které se liší dle zvoleného kritéria. Výsledky posudku jsou dostupné v nabídce Výsledky>Posudek. 8
3.4 Vyhodnocení výsledků Výsledky jsou pro uživatele dostupné v nabídce Výsledky a dělí se do skupin: napětí, deformace, posudky. Výsledky z výpočtu jsou zobrazeny pro skupinu výsledků napětí ve formátu: napětí σx, napětí σy, napětí τxy, napětí σ1, napětí σ2 , úhel α. Každý řádek označuje jeden integrační bod. Deformace jsou zapsány ve sloupcovém formátu, kde každé dva řádky jsou uzel. První číslo je směr x a druhé směr y. Výsledky posudku jsou uloženy ve formátu 1 – vyhověl a 2 – nevyhověl. Výsledky jsou umístěny v souborech BS_output.txt, BS_deformace.txt a BS_posudek.txt ve složce BSA\data.
9
4 Teoretické vztahy 4.1 Metoda konečných prvků Zvolená metoda konečných prvků patří k numerickým metodám. Z pohledu matematiků se jedná o metodu řešící parciální diferenciální rovnice. Princip metody spočívá v diskretizaci úlohy na malé části (konečné prvky), na kterých se hledá přibližné řešení. Při hledání přibližného řešení se na konečných prvcích volí bázové funkce, které určují kvalitu výsledku na řešeném konečném prvku. Metoda konečných prvků patří mezi velmi univerzální metody, kdy pro jednotlivé části výpočtu se mohou řešit několika způsoby. V následujících podkapitolách jsou uvedeny základní charakteristicky zvolených metod (konečné prvky a metoda sdružených gradientů). Teoretická část pokračuje popisem vztahů, zvolených pro posudky.
4.2 Základní vztahy teorie pružnosti pro rovinnou úlohu Pro výpočet a teoretickou část jsou definovány základní vztahy pro rovinnou úlohu. Základní vztahy vychází z předpokladů teorie pružnosti a mohou se rozdělit do geometrických a fyzikálních rovnic a diferenciálních podmínek rovnováhy. Geometrické rovnice jsou ∂u ∂v ∂u ∂v ε x = , ε y = , γ xy = + , (4.2.1) ∂x ∂y ∂y ∂x které se zapisují maticově kde
ε = ∂T u ,
(4.2.2)
ε = {ε x , ε y , γ xy }T ,
(4.2.3)
je vektor poměrných deformací. Matice ∂ obsahuje diferenciální operátory a má tvar ∂ ∂x ∂= 0
0 ∂ ∂y
∂ ∂y . ∂ ∂x
(4.2.4)
Vektor přemístění má tvar u = {u , v} . T
(4.2.5)
Základní fyzikální rovnice se definují:
1 (σ x − µσ y ) , E 1 ε y = (σ y − µσ x ) , E 1 γ xy = τ xy , G
εx =
a maticově zapíší
10
(4.2.6) (4.2.7) (4.2.8)
σ = Dε , (4.2.9) kde σ je vektor napětí, D je matice tuhosti materiálu a ε vektor poměrných deformací. Matice tuhosti izotropního materiálu je v úlohách rovinné napjatosti
0 1 µ E D= 0 , (4.2.10) µ 1 1− µ 2 1 0 0 (1 − µ ) 2 kde E je modul pružnosti a µ je Poissonův součinitel. Tento tvar matice je platný pro fyzikálně lineární úlohy. Dvě diferenciální podmínky rovnováhy jsou
∂σ x ∂τ yx + + X = 0, ∂x ∂y ∂τ xy ∂x
+
∂σ y ∂y
(4.2.11)
+Y = 0 ,
(4.2.12)
které mají tvar v maticové podobě ∂σ + X = 0 , kde
(4.2.13)
σ = {σ x ,σ y ,τ xy }T ,
(4.2.14)
X = {X , Y } ,
(4.2.15)
je vektor napětí a T
je vektor objemových sil. Pro základní vztahy rovinné úlohy se často používají různé konvence, uvedené vzorce vycházejí ze značení v [13] a [14].
4.3 Čtvercový konečný prvek Odvozený čtvercový konečný prvek umožňuje, aby vytvořený zdrojový kód výpočetního programu a výpočet byl přehledný, jednoduchý a dostatečně kvalitní. Pro tento konečný prvek jsou zvolenými aproximačními funkcemi: u x ( x, y ) = N 1u x1 + N 2 u x 2 + N 3 u x 3 + N 4 u x 4 u y ( x, y ) = N1u y1 + N 2 u y 2 + N 3u y 3 + N 4 u y 4
11
.
(4.3.1)
1
3
4
a
2
y
a
x Obr. 4.1 Čtvercový konečný prvek
V maticovém zápisu můžeme zapsat rovnici:
ux (x, y) N1 0 N2 0 = uy (x, y) 0 N1 0 N2
a stručně
ux1 u y1 ux2 N3 0 N4 0 uy2 0 N3 0 N4 ux3 uy3 ux4 uy4
u( x, y ) = Nu .
Poměrná deformace uzlů konečného prvku se může vyjádřit: ε x = Bu
(4.3.2)
(4.3.3)
(4.3.4)
nebo podrobně rozepsat ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 0 0 0 0 ∂x ∂x ∂x εx ∂x ∂N3 ∂N1 ∂N2 ∂N4 . = 0 0 0 0 ⋅{u} ε y y y y y ∂ ∂ ∂ ∂ γ xy ∂N1 ∂N1 ∂N2 ∂N2 ∂N3 ∂N3 ∂N4 ∂N4 ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x
Vektor napětí se vyjádří použitím předešlých vztahů σ = Dε = DBu , kde D je matice tuhosti materiálu. Matice tuhosti čtvercového konečného prvku se pak zapíše: K = t ∫ B T DBdA . A
12
(4.3.5)
(4.3.6)
(4.3.7)
Tato matice tuhosti konečného prvku se dále může vyjádřit obecně pro stranu a konečného prvku, danou tloušťku t a materiálové vlastnosti izotropního materiálu (modul pružnosti E a poissonův součinitel µ). Matice tuhosti konečného prvku má tvar
k11 K=
k12 k 22
k13 k 23 k 33
k14 k 24 k 34 k 44
k15 k 25 k 35 k 45 k 55
k16 k 26 k 36 k 46 k 56 k 66
sym.
k17 k 27 k 37 k 47 k 57 k 67 k 77
k18 k 28 k 38 k 48 . k 58 k 68 k 78 k 88
(4.3.8)
Podrobně je konečný prvek odvozen v [19]. Konečný prvek má v implementované formě v programu čtyři integrační body.
4.4 Obdélníkový konečný prvek V rámci vývoje výpočetního programu pro analýzu betonových konstrukcí byl také zvolen konečný prvek se čtyřmi uzly a ve tvaru obdélníku. c
a
b
b
d
y
a
x Obr. 4.2 Obdélníkový konečný prvek Jeho bázové funkce jsou zvoleny ve tvaru 1 x y u g = = Bsα s = v 0 0 0
xy 0 0 0 0 1 x y
0 αs . xy
(4.4.1)
Pro další postup odvození se definuje vektor uzlových přemístění
q n1 = [u a , u b , u c , u d , v a , vb , vc , v d ,]
T
(4.4.2)
a transformační matice má tvar A* 0 As = , 0 A *
13
(4.4.3)
1 1 A* = 1 1
0 0 . a b ab 0 b 0 0 0 a 0
(4.4.4)
Inverzní matice k transformační matici se může v tomto případě zapsat ve tvaru
A
−1 s
A *−1 = 0
A * −1
1 1 = 1 1
0 , A *−1
(4.4.5)
0 a 0 0 . a b ab 0 b 0
(4.4.6)
0 0
Odvození konečného prvku pokračuje vyjádřením poměrných deformací ux 0 1 0 y 0 0 0 0 ε = v y = B 1 α s = 0 0 0 0 0 0 1 x α s . u + v 0 0 1 x 0 1 0 y x y
(4.4.7)
Z takto definovaných vztahů se již může vypočítat matice tuhosti konečného prvku K s1 = A −s 1T ∫ B1T DB 1dΩ1 A −S1 ,
(4.4.8)
Ω1
kde
Ω1
je plocha střednice konečného prvku,
D = hD , h je tloušťka stěny, D je matice tuhosti materiálu. Pro vyhodnocování napjatosti je vhodné si vyjádřit napětí ve tvaru σ x σ = σ y = Dε = DB1α s = DB1 A −S1q n1 . τ xy
(4.4.9)
Podrobné odvození konečného prvku a základní vztahy uvádí [5] a [6]. Konečný prvek má
v implementované formě v programu jeden integrační bod.
4.5 Řešení soustav lineárních rovnic Metoda konečných prvků vede na soustavu lineárních algebraických rovnic vyjadřujících podmínky rovnováhy v uzlech výpočetního modelu. Velikost soustavy rovnic je závislá na podrobnosti a rozměrech výpočetního modelu. Nejdůležitější kritéria numerických metod
14
řešící soustavy rovnic jsou přesnost řešení, výpočetní a časová náročnost, maximální velikost řešené soustavy a podmínky řešitelnosti. Obecná soustava lineárních rovnic má tvar a11 x1 + a12 x 2 + a1n x n = b1 = b2 = + a n 2 x2 a 3 n x n = bn , (4.5.1) kde x1, x2 až xn jsou neznámé, A = (aij), i = 1,..n, j = 1,..n je matice soustavy a b1, b2 až bn je vektor pravých stran. Obecné předpoklady řešení soustavy rovnic uvádí [2] a [3]. Soustava lineárních algebraických rovnic vzniklá řešením deformační varianty metody konečných prvků má tvar Ku = F , (4.5.2) kde K je matice tuhosti, u vektor uzlových deformací a F zatěžovací vektor. Nejdůležitější vlastnosti matice tuhosti v lineárních úlohách jsou, že matice tuhosti je čtvercová, pásová, symetrická podle hlavní diagonály a pozitivně definitní [11]. Podrobným zkoumáním matice tuhosti v praktických úlohách lze zjistit, že matice je řídká. a 21 x1 M a n1 x1
+ a 22 x 2
a1n x n
Metoda sdružených gradientů (The Conjugate Gradient Method) patří k metodám iteračním s krátkou rekurzí [4]. Metodou se řeší symetrické a pozitivně definitní matice. Tyto podmínky dobře splňuje řešená soustava rovnic v metodě konečných prvků. Mezi výhody metody sdružených gradientů patří, že se může upravit pro paralelní zpracování. Základní postup (algoritmus) vede nejpozději po n krocích k přesnému řešení. Maximální počet iterací n je dán rozměrem řešené soustavy. Rychlost konvergence metody se dále může zrychlit předpodmíněním. Základní algoritmus řešení soustavy rovnic metodou sdružených gradientů má tvar q Tk αk = T , p k Kp k
(4.5.3)
u k +1 = u k + α k p k ,
(4.5.3)
q k +1 = q k − α k Kp k ,
(4.5.4)
βk =
q Tk + q k +1 , q Tk +1q k
p k +1 = q k +1 + β k p k .
(4.5.5) (4.5.6)
Uvedený algoritmus se opakuje pro k = 0, 1,2, …n. Vektor q k představuje vektor reziduí, který je po n krocích rovný nule. U většiny úloh je ale vhodné používat normu, která ukončí výpočet na požadované úrovni přesnosti řešení. Nultý krok algoritmu se provádí q 0 = F − Ku 0 (4.5.7) p0 = q0 .
(4.5.8)
15
4.6 Posudek Pro vyhodnocování napjatosti jsou v programu BSA implementovány posudky, které zahrnují následující kriteria: podmínka HMH, podmínka HMH modifikovaná pro beton, podmínka CEB-FIB, podmínka Chen. Z důvodu přehlednosti se u rovinného stavu napjatosti využívá pro formulování podmínek porušení a plastizace hlavních napětí. Při posudku se vyhodnocuje každý integrační bod konečného prvku samostatně. Výsledky jsou uloženy ve formátu 1 – vyhověl a 2 – nevyhověl.
4.7 Podmínka HMH Podmínka HMH (Hüber – Misses – Henckey) [5] se také často označuje jako podmínka von Misses a lze zapsat ve tvaru: f = σ 12 − σ1σ 2 + σ 22 − f x ≤ 0, kde
(4.7.1)
σ1 je hlavní napětí ( σ1 > σ 2 ), σ 2 je hlavní napětí, f x je pevnost ( f y mez kluzu nebo f u mez pevnosti).
Graficky lze tuto Misesovu podmínku plasticity popsat elipsou. σ2
σ0
von Mises
σ0
Tresca
σ1
čistý smyk
Vnitřní oblast – materiál v pružném stavu Hraniční oblast – dojde ke zplastizování Vnější oblast – u materiálů bez zpevnění je stav nemožný Obr. 4.3 Podmínka HMH (von Mises) 16
4.8 Podmínka HMH modifikovaná pro beton Kritérium pro vyhodnocování napjatosti betonu musí respektovat odlišné chování při namáhání tlakem a tahem. K uvedenému problému existuje více přístupů. Jedna z podmínek, která je zvolena pro vyhodnocování betonu se definuje modifikací kritéria HMH [7]. Hraniční oblast v tlaku se definuje f uc = σ 12 + σ 22 − σ 1 σ 2 ,
(4.8.1)
kde f uc je jednoosá pevnost betonu v tlaku. Pro oblast taženou se uvažuje, že beton se poruší okamžitě a kritérium HMH se omezí pevností betonu v tahu f ut = σ 2 .
(4.8.2)
σ2 f ut
σ1
f uc
Obr. 4.4 Kritérium porušení betonu – modifikovaná podmínka HMH
4.9 Podmínka porušení CEB-FIB Další možností pro vyhodnocování porušení betonu je použití kriteria definované CEB-FIB Model Code 90 [8], která modifikuje podmínku podle Kupfera. Podmínka má dobrou shodu s experimenty a není náročná na vstupní data. Parametry podmínky CEB-FIB Model Code 90 jsou jednoosá pevnost betonu v tlaku f uc a tahu f ut . Hodnota dvouosé pevnosti betonu v tlaku se uvažuje 1,2 f uc . Pro formulování a vyhodnocení podmínky se vychází z předpokladu, že platí σ 1 > σ 2 a že α = σ 1 / σ 2 . Vymezení podmínky CEB-FIB Model Code 90 pro oblasti definované v intervalu σ 2 jsou:
17
σ 2 < −0,96 f uc
pro
− 0,96 f uc < σ 2 < 0
pro
σ2 > 0
pro
σ2 =
1 + 3,8α f uc , (1 + α ) 2
σ σ 1 = 1 + 0,8 2 f ut , f uc σ 1 = f ut .
(4.4.10a) (4.4.10b) (4.4.10c)
4.10 Podmínka Chen Podmínka plasticity Chen byla formulována speciálně pro beton [9,10] na základě experimentů prováděných mj. Kupferem [20]. V oblasti tlak - tlak je popsána funkcí: J2 +
Ayc
I 1 − τ yc2 = 0
(4.4.24)
1 2 Ayt I1 I 1 − τ yt2 = 0 , 6 3
(4.4.25)
3
a v ostatních oblastech je popsána funkcí: J2 + kde
I1 je první invariant tenzoru napětí, J2 je druhý invariant deviátoru napětí, Ayc , τ yc , Ayt , τ yt jsou materiálové konstanty.
Tato podmínka plasticity zanedbává vliv třetího invariantu deviátoru napětí J3, který má pouze malý vliv. Podmínka je definována pomocí mezí plasticity materiálu v jednoosém tlaku fyc, mezí plasticity v dvojosém tlaku fybc a mezí plasticity v jednoosém tahu, které jsou označeny v obr. 4.5.
Obr. 4.5 Chen-Chen podmínka plasticity
18
5 Literatura [1]
BILČÍK, J., FILLO, L., BENKO, V., HALVONÍK, J. Betónové konštrukcie. Bratislava: STU v Bratislavě, 2008. ISBN 978-80-227-2940-6.
[2]
BITTNAR Z., ŠEJNOHA J. Numerické metody mechaniky 2. Praha: ČVUT, 1992. ISBN 80-01-00901-7. BITTNAR Z., ŠEJNOHA J. Numerické metody mechaniky. Praha: ČVUT, 1992. ISBN 80-01-00855-X. BROŽOVSKÝ, J. Modelování fyzikálně nelineárního chování železobetonových konstrukcí, Disertační práce. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, 2003.
[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]
RAVINGER, J., KOLEKOVÁ Y. Pružnosť II. Bratislava: STU v Bratislavě, 2002. ISBN 80-227-1769-X. RAVINGER, J. Programy – statika, stabilita a dynamika stavebných konštrukcií. Alfa, Bratislava, 1990, ISBN 80-05-00090-1. RAVINGER, J. Modelovnie nelineárního posobenia železobetonového nosníka použitím MKP. Stavebnický čas. 35, 1987-8, 571-589. CEB - FIP Model Code 1990: Design Code. by Comite Euro-International du Beton, Thomas Telford, 1993. ISBN: 978-0727716965. CHEN, A. C. T., CHEN, W. F. Constitutive Relations for Concrete. Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE, 1975 CHEN, W. F. Plasticity in Reinforced Concrete. Mc. New York: Graw Hill, 1982. KOLÁŘ V., KRATOCHVÍL J., LEITNER F., ŽENÍŠEK A. Výpočet plošných a prostorových konstrukcí metodou konečných prvků, Praha: SNTL, 1979. ROMBACH, G. Anwendung der Finite-Elemente-Methode im Betonbau. 2. Auflage. Berlin: Ernst & Sohn, 2007. ISBN 978-3-433-01701-2.
[13]
SERVÍT, R. a kol. Teorie pružnosti a plasticity, I. díl, Praha: ČVUT v Praze, 1977.
[14]
SERVÍT, R. a kol. Teorie pružnosti a plasticity II, Praha: SNTL/ALFA, 1984. ISBN 978-80-7318-440-7.
[15]
SUCHARDA, O., BROŽOVSKÝ, J. Dílčí výzkumná zpráva CIDEAS za rok 2008 Metody nelineární analýzy detailů betonových konstrukcí vhodné pro posuzování životnosti. (1.1.3.1-13), MŠMT ČR, registrační číslo projektu 1M0579. SUCHARDA, O. Některé možnosti modelování betonových konstrukcí při nelineární analýze. Konstrukce, 2009, roč. 8, č. 5, s. 25-27. ISSN: 1213-8762. SUCHARDA, O. Dílčí výzkumná zpráva CIDEAS za rok 2009 Implementace konstitutivního modelu železobetonu pro úlohy automatizovaného posudku konstrukcí ve 2D (1.1.3.1-16), MŠMT ČR, registrační číslo projektu 1M0579. SUCHARDA, O. Vybrané problémy modelování betonových konstrukcí metodou konečných prvků. In Vedecko - pedagogické aspekty stavebnej mechaniky - Zborník
[16] [17]
[18]
19
[19]
[20]
príspevkov z medzinárodného seminára. Herľany: Technická univerzita Košice, 2009. ISBN 978-80-553-0245-4. SUCHARDA, O. Square Finite Element for 2D Plane Problems. In International Interdisciplinary Technical Conference of Young Scientists. Mezinárodní konference. Poznaň: Poznan University of Technology, pp. 131-135. 2008. ISBN 978-83-9268960 7. KUPFER H., HILSDORF H.,K., RÜSCH H. Behaviour of Concrete Under Biaxial Stress, Journal ACI, Proc. V.66, č. 8, 1969.
20
